中考数学二次函数-经典压轴题及详细答案

-X 二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)

1.已知二次函数y = α√-2αχ + 3的最大值为4,且该抛物线与A 轴的交点为C ,顶点为

D ?

(1) 求该二次函数的解析式及点C , D 的坐标: (2) 点P(ΛO)是X 轴上的动点，

① 求IPC - PDl 的最大值及对应的点P 的坐标：

② 设0(0,2/)是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数y = a ?x ?1

-2a ?x ?+3的图像只有一个 公共

点，求f 的取值范围.

【答案】(i) y = -χ2+2x + 3, C 点坐标为(0,3),顶点D 的坐标为(1,4)； (2)①最

_ 3

7

大值是J∑, P 的坐标为(一 3,0),②,的取值范围为U_3或才Qv3或心??

2 2

【解析】 【分析】

孕=1,计算对称轴，即顶点坐标为(1, 4),再将两点代 2a

入列二元一次方程组求出解析式：

(2)根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时IPC-PDl 取得最大值，求出直线CD 与X

轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；

—χ-+ 2Λ"+3, X n 0,

, ,此函数是两个二次函数

—XJ — 2x + 3, X < 0.

的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点(0, 3 ),即点Q 与点C 重合时，两 图象有一个公共点，当线段PQ 过点(3, 0),即点P 与点(3, 0)重合时，两函数有两 个公共点，写出t 的取值：②线段PQ 与当函数y=a∣x∣2-2a∣×∣+c (x>0)时有一个公共点 时，求t 的值：③当线段PQ 过点

(-3, 0),即点P 与点(-3, 0)重合时，线段PQ 与当 函数y=a∣x∣2-2a∣x∣+c (×<0)时也有一个公共

点,则当t 冬3时,都满足条件;综合以上结 论，得出t 的取值. 【详解】

—2a

(I) VX= ???y = ax'-ax+3的对称轴为X = 1? T y = ax 2 -ax + 3人最大值为4,

???抛物线过点(1,4). 得 a-2a+3 = 4, 解得a = -l.

???该二次函数的解析式为y = —X? + 2x + 3.

C 点坐标为(0,3),顶点

D 的坐标为(1,4). (2) ①.? IPC-PDI≤CD,

(1)先利用对称轴公式X=

(3)先把函数中的绝对值化去，可知y = <

.?.当P,C,D三点在一条直线上时，IPC—PD|取得最大值.

连接DC并延长交y轴于点P, IPC-PDI = CD = λ^l2+(4-3)2= √2 ?

?,?∣PC-PD∣的最大值是?

易得直线CD的方程为y = χ + 3.

把P(t,0)代入，得t=-3.

此时对应的点P的坐标为(-3,0).

r

?y = alxl2-2a|x|+3 的解析式可化为y = ]^x, + ?A + 处≥。，

—X ~ —2x + 3, X V 0.

设线段PQ所在直线的方程为y = kx + b,将P(t,O), Q(0,2t)的坐标代入，可得线段

PQ所在直线的方程为y = -2x + 2t?

(1)当线段PQ过点(-3,0),即点P与点(—3,0)重合时,线段PQ与函数

—X 厶+ 2x + 3, Λ,≥ 0,

y= , 的图像只有一个公共点，此时t=-3?

—X" — 2x + 3, JVV 0.

广 .

???当t≤-3∣?,线段PQ与函数y = {-x,+2x + 3,Λ'0,的图像只有一个公共点.

—X ~ — 2Λ, + 3, X < 0.

(2)当线段PQ过点(0、3),即点Q与点C重合时，线段PQ与函数

■ ■)

y= -x, + 2x+3,x≥O,的图像只有—个公共点此时t = γ

—X — 2x + 3, X < 0. 2

当线段PQ过点(3,0),即点P与点(3,0)重合时，t=3,此时线段PQ与函数

y = <[-x^+"+H ≥ °，的图像有两个公共点.

—x~ — 2x + 3, X V 0. 3

3 7

综上所述，t的取值范围为t≤-3或-≤t<3或t = L

3 —X ~ + 2x + 3, % ≥ 0,

所以当-≤t<3时，线段PQ与函数y= . 的图像只有一个公共点.

2 -X ?_2兀 + 3,XV 0.

(3)将y = -2x + 2t 带入y = -x2+2x + 3(x ≥0),并整理，得x?-4x + 2t-3 = 0?

Δ = 16-4(2t-3) = 28-8t.

令28-8t=0,解得u??

2

■3

???当t =-时，线段PQ与函数y =]-X.+2X +3,Λ'0,的图像只有一个公共点.

2 -x^ —2x÷ 3, X < 0.

2 2

【点睛】

本题考查了二次函数的综合应用，先利用待左系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起：同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解.

2.如图，抛物线y=a×2+bx+3(α≠0)的对称轴为直线X= - 1,抛物线交X轴于4、C两点，与直线y=X-I交于人、B两点，直线&3与抛物线的对称轴交于点F.

(1)求抛物线的解析式.

(2)点P在直线AB上方的抛物线上运动，若AABP的而积最大，求此时点P的坐标.

(3)在平而直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标.

【答案】(l)y= - χ2 - 2x+3： (2)点P(-￡, ￡);⑶符合条件的点D的坐标为Dl(0, 3),

2 4

D2( - 6, - 3), D3( - 2, - 7).

【解析】

【分析】

(1)令y=0,求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是X=-I,求出点C的坐标，再根据待泄系数法求出抛物线的解析式即可；

(2)设点P(m, -m2-2m+3),利用抛物线与直线相交，求岀点B的坐标，过点P作PFll y 轴交直线AB卜点F,利用SAABP=SAPBF+S A MA,用含m的式子表ZF出△ ABP的而枳，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；

⑶求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，得到直线DID2、直线D1D3.直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标.

【详解】

解：⑴令y=0,可得：X - 1 = 0,解得：x = l,

.?.点A(l, 0),

V抛物线y=aχ2+bx+3(aH0啲对称轴为直线X= - 1,

.?. - 1×2 -1=-3,即点C( - 3, 0),

???抛物线的解析式为:y= - X 2 - 2x+3;

(2)?.?点P 在直线AB 上方的抛物线上运动,

.β

.设点 P(m, - m 2 - 2m+3)t

???抛物线与直线y=x ?1交于A 、B 两点，

二点 B( ■ 4, - 5),

如图，过点P 作PFIl y 轴交直线AB 于点F, 则点 F(m, m - 1)> .?. PF=? m 2 - 2m+3 - m+l= - m 2 ?

3m+4,

「?S A ABP = SA PBF÷S Δ PFA

~

- m 2 - 3m+4)(m+4)+- ( - m 2 - 3m+4)(l - m)

5 3 125 ——(rπ+ — ) + ------- ?

2 2 8 3

⑶当X=-I 时,y=?1?1=?2,

???点、E(-l, -2),

如图，直线BC 的解析式为y=5x+15,直线BE 的解析式为y=X ?1,直线CE 的解析式为y

=-X ? 3,

?.?以点B 、C 、E 、D 为顶点的四边形是平行四边形，

.?.直线D 1D 3的解析式为y=5x+3,直线D 1D 2的解析式为y=x+3,直线D2D3的解析式为y= ?=5x + 3 联立<

O

得6(0, 3),

〔y=x + 3

同理可得 D 2( - 6, - 3), D 3( - 2, -7),

综上所述，符合条件的点D 的坐标为6(0, 3), D 2( - 6, -3), D 3(-2, -7).

3

.,.-1J m=——时，P 大,

2

α + b + 3=0

9α-3b + 3=O

a=_l

b=_2

y=-x 2 -2x + 3

y=x-?

XI = — 4 解得:t,= -5

X 2=I

儿=0

3 点P(巧,

y

本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形而积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键：对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解.

3.已知，m,门是一元二次方程x2+4x+3=O的两个实数根，且ImlVin抛物线尸*+bχ+c 的图象经过点A (∏7, O) , B (0, n),如图所示.

(1)求这个抛物线的解析式：

(2)设(1)中的抛物线与X轴的另一个交点为抛物线的顶点为D,求出点C, D的坐标，并判断△ BCD的形状；

(3)点P是直线Be上的一个动点(点P不与点3和点C重合)，过点P作X轴的垂线，交抛物线于点M,点Q在直线8C上，距离点P为J∑个单位长度，设点P的横坐标为r, Δ PMQ的面积为S,求岀S与r之间的函数关系式.

备用图

【答案】(1))，=十一2兀一3：(2) C (3, 0) , D (1, -4) , Δ BCD是直角三角形;

] 3

—√ + 2-r(0

2 2

(3)

1 3 _『2_二/(『<()或/>3)

12 2

【解析】

试题分析：（2）先解一元二次方程，然后用待泄系数法求出抛物线解析式；

（2）先解方程求出抛物线与X轴的交点，再判断出ABOC和ABED都是等腰直角三角形, 从而得到结论：

（3）先求出QF=I,再分两种情况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可.

试题解析：解（I）???X+4x + 3 = 0,???召=一1,欠2=一3, Vm, n是一元二次方程

χ4 5+4x + 3 = 0 的两个实数根，且∣m∣<∣n∣, Λm=-1, n= - 3, T 抛物线y = F-2x-3

1 — Z? +C = O b = —2

的图彖经过点A (m, 0) , B (0, n),.??{ O , ???{ c，???抛物线解析式为C = _3 c = _3

y = x2 -2x-3 ；

(2)令y=0,则χ2-2χ-3 = 0,???片=一1，召=3, .?.C(3, 0),

?.? y = F-2x-3=(兀一1)2-4, .?.顶点坐标D (1, -4),过点D 作DE丄y 轴，

β.? OB=OC=3, /. BE=DE=I, .β. Δ BOC 和△ BED 都是等腰直角三角形,.β. Z OBC=Z DBE=45?

???Z CBD=90% A △ BCD是直角三角形：

(3)如图，■/ B (0, -3) , C (3, O) , A直线BC解析式为y=χ-3, T点P的横坐标为

t, PM丄X轴，.?.点M的横坐标为t, ???点P在直线BC上，点M在抛物线上，.?. P (t, t-

3) , M (t,尸一力一3),过点Q作QF丄PM, .?. △ PQF是等腰直角三角形，

TPQ=√Σ ，???QF=1 ?

①当点P 在点M 上方时，即0VtV3 时，PM=t - 3 - (t2-2t-3)=-r+3/?

1] ] = 3

/. S= - PMxQF= -(-t2+3t) = --t2+-t,②如图3,当点P 在点M 下方时,即tVO 或t

2 2 2 2

Il 1 3

>3时，PM=?-2r-3 - (t-3) =r2-3r? A S=-PM×QF=-(r-3t)=-r--r.

J 2 2 ' 2 2

4 3

--z2+L,z(0

综上所述，s={ / Z

5f2~2t (HO或03)

4?已知关于X 的一元二次方程X 2?(2∕c÷l ) X^=O 有两个实数根. (1)求k 的取值范围：

1 1 1

⑵设“沁方程两根，且亍厂□,求k 的值.

【解析】 【分析】

(1) 根据方程有两个实数根可以得到AR,从而求得k 的取值范围：(2)利用根与系数 的关系将两

根之和和两根之积代入代数式求k 的值即可. 【详解】

解：(1) △ = (2∕c+l) 2 - 4∕C 2 = 4∕C 2+4∕C +1 - 4∕c 2=4∕c+l

T △ ≥0

/. 4∕c+l≥0 .,.∕c≥ ■—:

4 ⑵?.?X1, X2是方程两根, /. X1+X2 = 2∕C +1

Xl×2 = k 2 9

1 1 I

又? ? — + —= -----

? X l

x 2

k _ 1

X 1 + x 2 _

1

k_r

1

9 k + ?

解得：k l = -ι + G k _

2 ? 2

【答案】 (1)

1

k≥-—

4

【点睛】

本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判別式等知识，牢记"两根之和等 于-匕，两根之积等于E 〃是解题的关键.

a

a

5?在平而直角坐标系中，我们泄义直线尸ax ?a 为抛物线y=a×6 7 8÷bx+c (a 、b 、C 为常数， a≠0)的"衍生直线"：有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其"衍生

三角形已知抛物线y =

+ 与其"衍生直线"交于A 、B 两点(点A

在点B 的左侧)，与X 轴负半轴交于点C.

(2) N 点的坐标为(0, 2√3-3) > (O, 2√3+3):

(3) E (-1,

)、F (0,

)或 E (-1,

) , F (-4, 12^ )

3

3

3

3

【解析】 【分析】

(I) 由抛物线的"衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；(2)过A 作AD 丄y 轴于点 D ?贝IJ 可知AN=AC,结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；(3)分别讨

6 填空：该抛物线的“衍生直线〃的解析式为 _______ ，点A 的坐标为 _________ ,点B 的坐

标为 ______ ;

7

如图，点Ivl 为线段CB ±一动点,将AACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的 对称点为

N,若AAMN 为该抛物线的"衍生三角形”，求点N 的坐标： 8

当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的"衍生直线"上，是否存在点F,使 得以点

A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标； 若不存在，

请说明理由

.

【答案】 (1)

y=_

又?.?Q ?

2

3

论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求岀满足条件的E 、F 坐 标即可 【详解】

yKχ+迹

3

3

AA (2 2√3)，B(1,0):

(2)如图1,过A 作AD 丄y 轴于点D,

在y = -班F 一空γ + 2 中，令y=o 可求得X= -3或x=l, 3 3

AC (-X0) t 且 A (-2, 2√3), ??? AC= √(-2+3)2+ (2√3)2=√13 由翻折的性质可知AN=AC=√fJ, ?.? △ AMN 为该抛物线的"衍生三角形", ???N 在y 轴上，且AD 二2, 在Rt ? AND 中，由勾

股左理可得

DN= √AN 2-AD 2=√TT4=3，

V OD=2√3，

??? ON=2√3-3 或 ON= 2√J+3,

???N 点的坐标为(0, 2√3-3) , (0, 2石+3)：

图】

(3)①当AC 为平行四边形的边时，如图2,过F 作对称轴的垂线FH,过A 作AK 丄X 轴

于点K,则有ACIl EF 且AC=EF,

??? Z ACK=Z EFH,

在厶ACK 和厶EFH 中

ZACK=ZEFH < ZAKC=ZEHF AC=EF

?

???△ ACK 旻△ EFH,

⑴.，李一也

亍+ 2憑一攀则抛物线的”衍生直线啲解析式为

联立两解析式求交点＜ 2√3 r 4√3

y =------ Jr ------- x + “

3 3 2√3 2√3 y= ------- x + -----

2√3

,解得V x=-2 y=2√J 込［y=θ'

x=l

.β. FH=CK=I t HE=AK= 2√3>

???抛物线的对称轴为el,

??? F点的横坐标为O或-2,

T点F在直线AB上，

???当F点的横坐标为O时，则F (0, ±5),此时点E在直线AB下方,

3

.?. E到y轴的距离为EH-OF=2√3--= ，即E的纵坐标为-土匕,

当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去:

②当AC为平行四边形的对角线时，

??? C (-3z0),且A (2 2√3) >

.?.线段AC的中点坐标为(-2.5, √3)，

设E (√L, t) , F (x, y),

则x-l=2× (-2.5) , y+t=2>∕J,

.?.x=4 y=2>∕3-t?

综上可知存在满足条件的点F,此时E (?1, ■士返)、(0, 迹)或E (?4

【点睛】

本题是对二次函数的综合知识考査，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本 题的关键，属于压轴题

6. 某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万 件：若按

每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假泄每月销售件数y （件）与价格X （元/件）之间满足一次函数关系.

（1） 试求y 与X 之间的函数关系式；

（2）

当销售价格左为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？

【答案】（1） Y = -IOOOOx+ 80000 （2）当销售价格圧为6元时，每月的利润最大，每月 的最大利润为40000元

【解析】解：（1）由题意,可设y=kx÷b,

???y 与X 之间的关系式为：y = -10000x+ 80000 . (2)设利润为W,则

W = (x-4)(-K)OOoX+80000) = —IOooo(X2-12x + 32) =-K)OOO(X —6)，+40000,

???当x=6时，W 取得最大值，最大值为40000元。

答：当销售价格泄为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元。

（1） 利用待定系数法求得y 与X 之间的一次函数关系式。

（2）

根据"利润=（售价-成本）X 售岀件数"，可得利润W 与销售价格X 之间的二次函数 关

系式，然后求出其最大值。

7. 如图，在平而直角坐标系中，已知点B 的坐标为（一1,0）,且OA = OC = 4OB ,抛物 线y = ax 2

+bx+c （a≠0）图象经过A,B,C 三点.

（1） 求A C 两点的坐标； （2） 求抛物线的解析式：

（3）

若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作加丄AC 于点D ，当PD 的值 最大

时，求此时点P 的坐标及Pr ）的最大值.

把(5, 30000),

(6, 20000)代入得:

5k + b = 30000

"6k + b = 20000 解得: Jk = -IOOOO [b = 80000

【答案】解：(1)点A、C的坐标分别为(4, 0)、(0, -4)：；

(2)抛物线的表达式为：y=+?3χ? 4 :

(3)PD有最大值，当x=2时，其最大值为2 JI，此时点P(2, -6). 【解析】

【分析】

(1)OA = OC=4OB = 4,即可求解；

(2)抛物线的表达式为：y=a (x+l) (χ-4) =a(x2-3x-4),即可求解; 8

8 PD=-(X-4-X2+3X +4),即可求解.

2

【详解】

解：(1) OA = OC=403=4,

故点人、C的坐标分别为(4, 0)、(0, -4):

(2)抛物线的表达式为：y=a (x+l) (χ-4) =a(√-3χ-4),

即-4α=-4,解得:a=l,

故抛物线的表达式为：＞'=x2-3x-4 :

(3)直线CA过点C,设其函数表达式为：y=kx -4,

将点4坐标代入上式并解得：k=l,

故直线CA的表达式为：y=x - 4,

过点P作y轴的平行线交AC于点H,

??? OA = OC=4,

ZOAC=ZOCA=45° ,

'：PHIly轴，

.?. ZPHD= ZOCA=45。,

设点P(JG x2-3x —4) > 则点H (X? x - 4) >

/7

PD=-(X-4-X2+3X +4)

2

=-—A-2+2√2X

2

V <0, :. PD有最大值，当x=2时，其最大值为2√2 .

此时点P(2, -6).

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、图象的而枳计算等，其中(3),用函数关系表示PD,是本题解题的关键

&在平而直角坐标系XOy中，顶点为A的抛物线与X轴交于B、C两点，与y轴交于点

D,已知A(l, 4), B(3, 0).

(1)求抛物线对应的二次函数表达式；

⑵探究：如图1，连接OA,作DE Il OA交BA的延长线于点E,连接OE交AD于点F, M 是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成而积相等的两部分？请说明理由；

⑶应用：如图2, P(m, n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n= - 1,连接PA、

PC,在线段PC上确泄一点M,使AN平分四边形ADCP的而积，求点N的坐标.提示：若点A、B 的坐标分别为(X】，y】)、(×2, y2),则线段AB的中点坐标为(冲1,卫宇丄).

【答案】(l)y= - χ2+2x - 3： (2)0M将四边形OBAD分成而积相等的两部分，理由见解析：

4 7

⑶点N(y ,-亍)?

【解析】

【分析】

(1)函数表达式为：y=a(χ-2)2+4,将点B坐标的坐标代入上式，即可求解：

(2)利用同底等高的两个三角形的而积相等，即可求解；

⑶由(2)知：点N是PQ的中点，根据C,P点的坐标求出直线PC的解析式,同理求岀AC,DQ 的解析式，并联立方程求出Q点的坐标，从而即可求N点的坐标.

【详解】

⑴函数表达式为：y=a(× - l)2+4,

将点B坐标的坐标代入上式得：0=a(3 - l)2+4,

解得：a= -1,

故抛物线的表达式为：y= - ×2+2x - 3；

(2)0M将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由：

如图1, ?.? DEIl AO, SAoDA = S AOEA,

SA ODA+S? AOM = SA OE A+S A AOM， H卩:S 贝边吊OMAD = SA OBM，

.?. S? OME = SA OBM*

二S 冈边ft； OMAD =SΔ OBM ：

(3)设点P(m, n), n= - n√+2m+3,而m+n= - 1,

解得：m=-l或4,故点P(4, - 5)：

如图2,故点D作QDIl AC交PC的延长线于点Q,

由(2)知：点N是PQ的中点，设直线PC的解析式为y=kx÷b,

f—Z:+/? = O

将点C(-l, 0)、P(4, -5)的坐标代入得：仁f f“

4k + b = —5

Zr=-I

解得：

b = →

所以直线PC的表达式为：y= - X - 1...①，

同理可得直线AC的表达式为：y=2x+2,

直线DQIl CA,且直线DQ经过点D(0, 3),

同理可得直线DQ的表达式为：y=2x+3...②，联立①②并解得:X=-P 即点Q(- p ￡)，

???点N是PQ的中点，

4 7

由中点公式得：点N(-,--).

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形而积的计算等，苴中(3)宜接利用(2)的结论，即点N是PQ的中点，是本题解题的突破点.

9.如图甲，直线Y= - X+3与X轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=×2+b×+c 与X轴的另一个交点为A,顶点为P.

(1)求该抛物线的解析式：

(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C, P, M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写岀所符合条件的点M的坐标：若不存在，请说明理由：

(3)当0Vx<3时，在抛物线上求一点E,使ACBE的而积有最大值(图乙、丙供画图探

3

【答案】(1) y=χ2-4x+3; (2) (2, _ )或(2, 7)或(2,? 1+2舲)或(2, -I-

2

3 3

2詬)：(3) E点坐标为(一，一)时，ACBE的而积最大.

3 2 4

【解析】

试题分析：(1)由直线解析式可求得B、C坐标，利用待宦系数法可求得抛物线解析式；

(2)由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示岀MC、MP和PC 的长，分MC=MP. MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标：

(3)过E作EF丄X轴，交直线BC于点F,交X轴于点D,可设出E点坐标，表示岀F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出ACBE的而积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E 点的坐标.

试题解析：(1) V直线y= - x+3与X轴、y轴分别交于点B、点C,

.?. B (3, O) , C (0, 3),

9+3b + c = 0 b = 4

把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得,

σ = 3 c = 3

???抛物线解析式为y=×2- 4X+3：

(2) ?.? y=×2 - 4×+3= (×- 2) 2- 1,

???抛物线对称轴为x=2, P (2, -1),

设M (2, t),且C (0, 3),

??? MC=J2押(f _ 3尸=J严-6f + 13，MP=It+ι∣, PC=J2：+ (T-3尸二2歩

???△ CPM为等腰三角形，

.?.有MC=MP、MC=PC 和MP=PC 三种情况,

____________ 3 3

①当MC=MP 时，则有J厂 _ 6f + I3=∣t+ι∣,解得t=-> 此时M(2,-):

②当MC=PC时，则有皿话2亦，解得t=- 1 (与P点重合，舍去)或t=7,此时M (2,

7):

③当MP=PC时，则有∣t+l∣=2^ξ,解得t=-l+2亦或t=-l-2亦，此时M (2,- 1+2亦)或(2, -l-

2√ξ):

（2, -l-2√ξ）:

（3）如图，过E 作EF 丄X 轴，交BC 于点F,

/. EF= - x+3 - (x 9 10 - 4x+3) = - ×2+3Xt

.??SWSW S 丄 EF ?OD+丄 EF ?BD 丄 EFgS (Z X )=-

2 2 2

3 3 3 ???当X=-时，ACBE 的面积最大，此时E 点坐标为（一，一），

2

2 4

3 3

即当E 点坐标为（—，一）时，△ CBE 的而积最大.

2

4

考点：二次函数综合题.

9

3

10

?如图’在平面直角坐标系中’已知抛物线尸产尹好轴交于A ?B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C,直线I 经过A, C 两点，连接BC. （1） 求直线I 的解析式；

（2） 若直线x=m （m<0）与该抛物线在第三象限内交于点E,与直线I 交于点D,连接

OD.当OD 丄AC 时，求线段DE 的长：

（3） 取点G （0, -1）,连接AG,在第一象限内的抛物线上，是否存在点P,

使

综上可知存在满足条件的点M,其坐标为（2,

）或（2, 7）或（2, -l+2√ξ）或

?.β 0<×<3t

则 F (X t -x+3),

若不存在，请说明理由.

存在点P （罟，普），使

交X 轴于点D ?

J) 2+Z

2 8

Z BAP=Z BcO -Z BAG,理由见解析.

【解析】 【分析】

（1）

根据题目中的函数解析式可以求得点A 和点C 的坐标，从而可以求得直线I 的函数解

析式；

（2） 根据题意作岀合适的辅助线，利用三角形相似和勾股定理可以解答本题：

（3）

根据题意画岀相应的图形，然后根据锐角三角函数可以求得Z OAC=Z OCB,然后根据

题目中的条件和图形，利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题. 【详解】

1

3

⑴???抛物线V≡产严

???当 y=o 时,w×1=l, X 2=-4,当 X=O 时,y=-2,

1 3

T 抛物线y= -X 2+ -x-2与X 轴交于A, B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C,

???点A 的坐标为（-4, 0）,点B （1, 0） I 点C （0, -2）, ???直线I 经过A, C 两点，设直线I 的函数解析式为y=kx÷b,

即直细的函数解析式如冷Z

（2）直线ED 与X 轴交于点F,如图1所示,

AO 二4, OC=2, Z AOC=90o , ??? AC=2 √5，

T ODJLAC, OA±OC, Z OAD=Z CAO, ???△ AOD ?△ ACO,

-4k+b=0 b=_2