概率论与数理统计自学课件 第三章
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概率论与数理统计课件第三章ppt
Y X
y1
y2
...
yj
… pi·
x1 p11 p12 … p1 … p1·
x... 2 p... 21 x... i p... i1
p· p·1
p... 22 p... i2
p·2
…j
… p2
… j...
… …
p...pi·jj
… … … …
…
p... 2· p... i ·
1
j
例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个 是次品，每次从袋中任意抽取一个，
设(X,Y)为连续型随机变量，其联合分布函 数和联合概率密度分别为F(x,y)和 f(x,y),则
f X
(x)
d dx
FX
(x)
f (x, y)dy
fY
( y)
d dy
FY
(
y)
f
(x,
y)dx
分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度
函数，简称边缘概率密度。
例2. 设(X,Y)的分布密度是
e(xy) , x 0, y 0
3.1
例1.甲乙掷色子,观察点数。
w1i={甲掷i点} w2j={乙掷j点}
X,Y (i, j)
i,j=(1,2,…,6)
二维随机变量的定义
对于随机试验E，Ω是其样本空间。X(w) 和 Y(w)是定义在样本空间Ω上的两个随机变量, 由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机变量 或二维随机向量。
y
w.
Y X
y1
y2
...
yj
…
x1 p11 p12 x... 2 p... 21 p... 22
x... i p... i1 p... i2
概率论与数理统计课件 第三章1
0, 其他.
求 (1) 边缘概率密度 pX ( x), pY ( y);
(2) P{ X＋Y ２}
y
(1,1)
y 1 x
2019/4/3
O x 1 x e2 x
第三章 多维随机变量及其分布
28
例3 设二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
Ce(3x4 y) , x 0, y 0,
(x, y)
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
23
3.说明
几何上, z p( x, y) 表示空间的一个曲面.
p( x, y)d x d y 1,
表示介于 p (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1.
P{( X ,Y )G} p( x, y) d x d y, G
19
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
20
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
21
四、二维连续型随机变量
1.定义
对于二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数 F ( x, y), 如果存在非负的函数 p( x, y) 使对于任意 x, y 有
yx
F ( x, y)
p(u, v) d ud v ,
记 P{X xi , Y yj } pij , i, j 1, 2,
称此为二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布律, 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律.
其中 pij 0,
pij 1.
i1 j1
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
13
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
1 ( arctan x)
南京工程学院《概率论与数理统计》第三章课件 盛骤
y
x1
x2
y1
x
lim F ( x , y ) lim F ( x , y ) 0;
性质4
一元右连续，即分别关于 x 、 y 是右连续的.
性质5 对任意的实数 x 1 ＜ x 2 , y 1 ＜ y 2 ，有： P { x 1＜ X ≤ x 2 , y 1 ＜ Y ≤ y 2 } =
则称随机变量 X 、Y 是相互独立的 . 2 . 离散型随机变量相互独立的充分必要条件(证) X , Y 相互独立 对所有 i , j ，都有 p i j = p i ·p ·j , 即有， P {X = x i ，Y = yj } = P{X = x i } P {Y = yj }. 注 判断两个离散随机变量不独立，只需找到某一 pi
性质3 若密度函数 f ( x ，y ) 连续，则有
2 F ( x ,y ) xy
p f ( x ,y )
性质4 二维连续随机向量概率计算公式 设 G 是平面上的任意一个区域，则
P {( X , Y ) G }
G
f ( x , y )dxdy.
其几何解释为：
P{ ( X,Y )G }的值等于以G为底，
注 联合分布函数是两个随机事件积事件的概率. 联合分布函数是否是两个随机事件概率的乘积?
分布函数的函数值的几何解释
将二维随机变量 X ,Y 看成是平面上随机点的 坐标, 那么,分布函数 F x , y 在点 x , y 处的函数值 就是随机点 X ,Y 落在下面左图所示的,以点 x , y y 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率 . y x, y
… … … …
例1
从1, 2, 3, 4 中随机地取一个数 X ，再从 1, … , X
x1
x2
y1
x
lim F ( x , y ) lim F ( x , y ) 0;
性质4
一元右连续，即分别关于 x 、 y 是右连续的.
性质5 对任意的实数 x 1 ＜ x 2 , y 1 ＜ y 2 ，有： P { x 1＜ X ≤ x 2 , y 1 ＜ Y ≤ y 2 } =
则称随机变量 X 、Y 是相互独立的 . 2 . 离散型随机变量相互独立的充分必要条件(证) X , Y 相互独立 对所有 i , j ，都有 p i j = p i ·p ·j , 即有， P {X = x i ，Y = yj } = P{X = x i } P {Y = yj }. 注 判断两个离散随机变量不独立，只需找到某一 pi
性质3 若密度函数 f ( x ，y ) 连续，则有
2 F ( x ,y ) xy
p f ( x ,y )
性质4 二维连续随机向量概率计算公式 设 G 是平面上的任意一个区域，则
P {( X , Y ) G }
G
f ( x , y )dxdy.
其几何解释为：
P{ ( X,Y )G }的值等于以G为底，
注 联合分布函数是两个随机事件积事件的概率. 联合分布函数是否是两个随机事件概率的乘积?
分布函数的函数值的几何解释
将二维随机变量 X ,Y 看成是平面上随机点的 坐标, 那么,分布函数 F x , y 在点 x , y 处的函数值 就是随机点 X ,Y 落在下面左图所示的,以点 x , y y 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率 . y x, y
… … … …
例1
从1, 2, 3, 4 中随机地取一个数 X ，再从 1, … , X
3-1概率论与数理统计PPT课件
随机变量的分布包含两个部分： 取哪些值？ 取这些值相应的概率是多少？
3.1.2 离散随机变量及其概率分布
离散随机变量 如果一个随机变量只取有限多个或者可数无穷多个 (可列个) 可能值，这种随机变量就称为离散随机变量。
离散随机变量所有可能的取值以及相应的概率
称为它的概率分布（律），简称分布律。一般表示成：
X
x1 x2 x3 … xn …
pk
p1 p2 p3 … pn …
根据概率的定义，离散随机变量分布律
必须满足下面两个条件：
(1) pi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, …
(2) ∑ pi = 1
看例题
3.2 重要的离散型随机变量
3.2.1 独立重复实验序列
1. 随机试验的独立性
对于一些随机试验来说，如果它们的结果互相 不影响，即每个随机试验的各种结果出现的概率不依 赖于其它随机试验出现的结果，就称这些随机试验是 相互独立的。
第3章 离散随机变量
3.1.1随机变量的概念 在涉及随机试验的实际问题中，经常遇到这样的
情况，很大一部分问题与数值发生联系，从而可以 将随机试验量化。
例1. 电话的次数 ，可能是0，1，2，… 例2 某射手对一活动靶进行射击，到击中目标为止， 所进行的射击次数，可能是1，2，…
例3 某一时间段内，车站到来的乘客数， 或在某一个区域里，野生动物的数量 ·····； 它所有可能的取值是一切非负整数。
看例9
例 (金融保险) 根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内 每个人死亡的概率是 0.005 ，现在有 10,000 人参加 保险，问未来一年中死亡人数不超过 60 人的概率。
解。 分析： 以 X 记这 10,000 人中死亡的人数，则显然有 X ~ B (104，0.005 ) ，需要计算P { X ≤ 60 } 。 P { X ≤ 60 } = ∑k6=00 [C10000k 0.005k 0.99510000 – k ] ≈ 0.9222 。
3.1.2 离散随机变量及其概率分布
离散随机变量 如果一个随机变量只取有限多个或者可数无穷多个 (可列个) 可能值，这种随机变量就称为离散随机变量。
离散随机变量所有可能的取值以及相应的概率
称为它的概率分布（律），简称分布律。一般表示成：
X
x1 x2 x3 … xn …
pk
p1 p2 p3 … pn …
根据概率的定义，离散随机变量分布律
必须满足下面两个条件：
(1) pi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, …
(2) ∑ pi = 1
看例题
3.2 重要的离散型随机变量
3.2.1 独立重复实验序列
1. 随机试验的独立性
对于一些随机试验来说，如果它们的结果互相 不影响，即每个随机试验的各种结果出现的概率不依 赖于其它随机试验出现的结果，就称这些随机试验是 相互独立的。
第3章 离散随机变量
3.1.1随机变量的概念 在涉及随机试验的实际问题中，经常遇到这样的
情况，很大一部分问题与数值发生联系，从而可以 将随机试验量化。
例1. 电话的次数 ，可能是0，1，2，… 例2 某射手对一活动靶进行射击，到击中目标为止， 所进行的射击次数，可能是1，2，…
例3 某一时间段内，车站到来的乘客数， 或在某一个区域里，野生动物的数量 ·····； 它所有可能的取值是一切非负整数。
看例9
例 (金融保险) 根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内 每个人死亡的概率是 0.005 ，现在有 10,000 人参加 保险，问未来一年中死亡人数不超过 60 人的概率。
解。 分析： 以 X 记这 10,000 人中死亡的人数，则显然有 X ~ B (104，0.005 ) ，需要计算P { X ≤ 60 } 。 P { X ≤ 60 } = ∑k6=00 [C10000k 0.005k 0.99510000 – k ] ≈ 0.9222 。
概率论与数理统计第三章PPT
乘法公式应用举例 （波里亚罐子模型）
b个白球, r个红球
一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中， 并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜 色的球. 这种手续进行四次，试求第一、 二次取到白球且第三、四次取到红球的概 率.
随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进c个与所抽出 的球具有相同颜色的球. b个白球, r个红球
解: 设Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4 Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4 于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第 一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”
用乘法公式容易求出 P(W1W2R3R4) =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
用它们可计算两 个事件同时发生 的概率
(3)
注意P(AB)与P(A | B)的区别！
请看下面的例子
例 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件 是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是 标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个 零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？
设B={零件是乙厂生产}
P A 4 10 0.4
4 3 12 10 9 90 6 4 24 P AB P A P B | A 10 10 90 P AB P A P B | A
P16例4
P ABC P A P B | A P C | AB
二、 乘法法则 P ( AB) 由条件概率的定义： P ( A | B)
P ( B)
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) 将A、B的位置对调，有 (2)和(3)式都称为 乘法公式, 利 若 P(A)>0, 则P(BA)=P(A)P(B|A) 而 P(AB)=P(BA) 故 若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)
概率论与数理统计课件第章节
4
五、二维连续型随机变量
设二维随机变量 (X,Y) 旳分布函数为 F(x,y)，假如存在非负旳
函数
f
(x,y)
使对于任意
x,y
有：
F
(
x,
y)
y
x
f (u,v)dudv
则称(X,Y ) 是连续型旳二维随机变量。
称 f (x,y) 为随机变量 (X, Y ) 旳概率密度，或称为随机变量 X 和
2
0.010 0.005
求在X=1时Y旳条件分布律.
P{X=1}=0.045 P{Y=0⃒X=1}=0.030 ⁄ 0.045
0.004 0.001
P{Y 1|X 1} 0.010 / 0.045 P{Y 2|X 1} 0.005 / 0.045.
用表格形式表达为:
k
0
1
2
P{Y=k|X=1} 6/9 2/9 1/9
分布函数，也称为 X 和 Y 的联合分布函数.y
(x, y)
分布函数 F(x,y) 在 (x,y)处旳函数值就是: 随机
点 (X,Y ) 落在以点 (x,y) 为顶点且位于该点左下
x
方旳无穷矩形域内旳概率。如图所示.
2
下面利用分布函数来计 算 P{x1 X x2 , y1 Y y2 }
P{x1 X x2 , y1 Y y2 } F(x2 , y2 ) F(x1, y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 )
FX (x) P{ X x} P{ X x,Y } F(x, )
同理有： FY ( y) F (, y)
二、离散型 ( X ,Y ) 的边缘分布律
FX (x) F(x, )
pij, 又 FX ( x) P{ X xi }
五、二维连续型随机变量
设二维随机变量 (X,Y) 旳分布函数为 F(x,y)，假如存在非负旳
函数
f
(x,y)
使对于任意
x,y
有：
F
(
x,
y)
y
x
f (u,v)dudv
则称(X,Y ) 是连续型旳二维随机变量。
称 f (x,y) 为随机变量 (X, Y ) 旳概率密度，或称为随机变量 X 和
2
0.010 0.005
求在X=1时Y旳条件分布律.
P{X=1}=0.045 P{Y=0⃒X=1}=0.030 ⁄ 0.045
0.004 0.001
P{Y 1|X 1} 0.010 / 0.045 P{Y 2|X 1} 0.005 / 0.045.
用表格形式表达为:
k
0
1
2
P{Y=k|X=1} 6/9 2/9 1/9
分布函数，也称为 X 和 Y 的联合分布函数.y
(x, y)
分布函数 F(x,y) 在 (x,y)处旳函数值就是: 随机
点 (X,Y ) 落在以点 (x,y) 为顶点且位于该点左下
x
方旳无穷矩形域内旳概率。如图所示.
2
下面利用分布函数来计 算 P{x1 X x2 , y1 Y y2 }
P{x1 X x2 , y1 Y y2 } F(x2 , y2 ) F(x1, y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 )
FX (x) P{ X x} P{ X x,Y } F(x, )
同理有： FY ( y) F (, y)
二、离散型 ( X ,Y ) 的边缘分布律
FX (x) F(x, )
pij, 又 FX ( x) P{ X xi }
概率论与数理统计课件第三章
f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x
1)( y 1 2
2 )
(y
2)2
2 2
其中1、2、1、 2、都是常数，且1 0， 2 0，1 1.
则称（X,Y）服从参数为1、2、1、的二2、维 正态分布，
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
2F(x, y) f (x, y) xy
(5)若(X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为f(x,y),则
F(x,y) P{X x,Y y}
返回
X
18
第
页
例5 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
Ae2(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
（1）确定常数A；
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
返回
X
25
第
页
例1 设二维随机向量（X,Y）的联合分布函数为
(1 e2x )(1 e3y ), x 0, y 0,
F(x, y)
0, 其他.
求边缘分布 FX (x), FY ( y)
当x
0时，FX
(x)
lim (1
y
e2 x
)(1
e3 y
)
1
e2 x
返回
X
14
第
例3 设随机变量Y~N(0，1),令
0, X 1 1,
| Y | 1
0,
|Y
|
概率论与数理统计(浙大版)第三章PPT参考课件
X,Y的边缘分布律为：
记为
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == pgj j 1, 2,L
i 1
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pig i 1, 2,L
j 1
注意：
X Y y1
(1) 0 pij 1
(2) pij 1
ij
2020/2/15
(2)表格法
X Y y1 y2 y3
x1 p11 p12 p13 x2 p21 p22 p23
(X,Y)的概率分布表：描述(X,Y)的取值规律
P((X ,Y ) G)
pij
( xi , yj )G
1 2
4 x(1
2x)dx
1
1
1
0
23 6
2020/2/15
21
§2 边缘分布
二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数
其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数
记为：
称为边缘分布函数。
FX (x)，FY ( y)，
F(x, y),
FX (x) F(x, )
事实上，
FY ( y) F(, y)
i 1,2, , m, ; j 1,2, , n,
中心问题：(X,Y)取这些可能值的概率分别为多少？
2020/2/15
二维（X，Y）的联合分布律:
(1)公式法
p( xi , yj ) P( X xi ,Y yj ) pij
pij的 性 质 ：
(i, j 1,2, )
p2 p2 j
第三章概率论与数理统计教程课件
例2. 设r.v.X服从泊松分布，求其 D(X)
3 - 17
方差的性质定理
(1) D(c)=0;
(2) D(aX)=a2D(X)
(3) D(X+b)=D(X)
(4)D(aX+b)=a2D(X)
(5)两个独立随机变量 X 1 , X 2
D( X 1 X 2 ) D( X 1 ) D( X 2 )
例题
1 设随机变量X~P(2), 则E(X)=( D(X)= ( ), E(X2)=( ) ),
2 若随机变量X~B(n, p), 已知E(X)=2.4， D(X)=1.44, 则n=( ), p=( )
3 若随机变量X~U(a, b), 已知E(X)=2.4， D(X)=3, 则a=( ), b=( )
(如甲进行很多次射击, 其得分的平均分为1.8) 而乙的得分为 E(X2)=00.6+1 0.3+2 0.1=0.5 显然,乙的成绩比甲的差.
3-5
连续随机变量的数学期望
设X是连续型随机变量，其密度函数为f（x），如果
积分 xf ( x)dx 绝对收敛，即
x f ( x)dx
1 f ( x) , x 2 (1 x )
求X的数学期望。
3-7
二维随机变量的数学期望
离散r.v.
E( X ) x i p( x i , y j )
i j
E( X ) xi p X ( xi )
i
E (Y ) y j p( x i , y j )
3 - 21
§3.6 原点矩与中心矩
(1) 若E(Xk), k=1, 2, …存在, 则称它为X k 的k阶原点矩. 记作 k E( X )
概率论与数理统计第四版第三章PPT课件
例2 设二维连续型随机变量( X , Y )具有概率密
度为：
ke(2x3y) x0,y0
f(x,y) 0
其它
1. 求常数 k ;
2. 求 F( x , y ) ;
3. 求 P{ X < Y }
休息 结束
解： 1. 求常数 k ;
y
ke(2x3y) x0,y0
f(x,y)
0
其它
x
Q f(u ,v)du dvF ( , )1
3) P{(X,Y)G} f (u,v)dudv G y
(X,Y)
G
x
休息 结束
4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处连续，则有：
2F( x, y) f( x, y)
xy
以上关于二维随机变量的讨论，可以 容易地推广到 n ( n > 2 )维随机变量的情 况。
休息 结束
第三章 多维随机变量及其分布
休息 结束
§3.1 二维随机变量
到现在为止，我们只讨论了一维随机变量 及其分布。 但有些随机现象用一个随机变量 来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。
休息 结束
在射箭时,命中点的位
置是由一对坐标( X, Y )来
确定的。
飞机的重心在空中的位置是
由三个随机变量( X，Y，Z ）来
休息 结束
F(x2,y2)F(x1,y2)(F (x2,y1)F (x1,y1))
P{(X,Y)D} 0
y
( x1 , y2 ) ( x2 , y2 )
D
( x1 , y1 )
( x2 , y1 )
x
休息 结束
二维离散型随机变量的联合分布列 设二维离散型随机变量( X , Y )所有可
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x i x y j y
p
ij
例 1、
将骰子抛两次，X—第一次出现的点数， Y—第二次出现的点数，求（X , Y）的分布律。 解： Y 1 2 3 4 5 6 X
1 36
1 2 3 4 5 6
1
36
1 p11 P{ X 1, Y 1} P{ X 1}P{Y 1} 36
P{ X x, Y y}
称为二维随机变量 ( X , Y )的分布函数，或联合分布函数。
二维分布函数的几何意义
F ( x, y ) 在( x , y ) 处的函数值:
y
( x , y)
随机点 ( X , Y ) 落在以 ( x, y )为顶点的左下方 矩形开域上的概率。 所以 P { x1 X x2 , y1 Y y2 }
1 P{ X 1}P{Y 1| X 1} 0 0 4
1 2 1 P{ X 1}P{Y 2 | X 1} 4 3 6
同理可得
p13 1/ 4 1/ 3 1/12 , p21 2 / 4 1/ 3 1/ 6
p22 2 / 4 1/ 3 1/ 6 , p23 2 / 4 1/ 3 1/ 6
F ( x, y )
y
x
f (u , v)dudv
则称 ( X , Y ) 为二维连续型随机变量, f ( x, y ) 称为 ( X , Y ) 的 概率密度,或称为随机变量 X 和 Y 的联合概率密度。 f (x,y)的性质: ① f ( x, y ) 0 ②
例2.一袋中有四个球,上面分别标有数字1,2,2,3.从 袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一个球,以 X , Y 分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求 ( X , Y ) 的分布律。 解 X , Y 可能取值均为1,2,3.
p11 P{ X 1, Y 1}
p12 P{ X 1, Y 2}
0
2 x y
f ( x, y)dxdy
G
dxdy
x y 1
1
x
dy
1 y 0
2e 2 x y dx 1 2e 1 e 2
0
例4 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 2 1 x xy, 0 x 1，0 y 2, f ( x, y ) 3 0, others. 试求概率 P X Y 1 ． 解 积分区域如右图所示
1
f (x , y)dxdy
0
0
ke
2 x y
得 k 2 从而得
k dxdy 2
2 x y 2 e , x0 , y0 , f ( x, y ) , 其它. 0 ⑵ 由分布函数的性质
y
( x, y )
F ( x , y)
P{Y X } P{( X , Y ) G}
2e
G1
0
2 x y
dxdy
G: y x
f ( x, y )dxdy
y yx
dy 2e 2 x y dx 1/ 3
y
G'
0
y 1
x
⑷ P{ X Y 1}
2e
G1 1
{ X x} { X x, Y }
则 FX ( x) P{ X x} P{ X x , Y } F ( x,) 同理可得 FY ( y ) F (, y ) 研究问题：已知联合分布，怎样求 X,Y 的边缘分布。
例1: 已知 ( X , Y ) 的分布函数为
例6 已知 ( X , Y ) 的概率密度为 Axy 2 , 0 y x 1, f ( x, y ) others. 0 , ⑴ 求常数A的值；⑵ 求 ( X , Y ) 的分布函数 F ( x, y ) . 解 ⑴ 由性质
1 x 0 0
f ( x, y )dxdy 1 可得
y 2
1
P X Y 1
x y 1
f ( x, y )dxdy
1 2 2
0
x 1 x y 1
1 ( x xy )dxdy 3 G1
2
xy 65 0 dx 1 x ( x 3 )dy 72
例5 已知 ( X , Y ) 的分布函数为 1 x y F ( x , y ) 2 ( arctan )( arctan ) 3 2 4 2 试求：⑴ ( X , Y ) 的概率密度 ⑵ P{0 X 3} . 解 ⑴ 由概率密度的性质知
0, x 0 or y 0 , 1 y 3 (5 x 2 3 y 2 ) , 0 x 1,0 y x , 2 故 F ( x, y ) x5 , 0 x 1, y x , 1 y 3 (5 3 y 2 ) , x 1,0 y 1 , 2 1, x 1, y 1.
x y F ( x , y ) A( B arctan )(C arctan ) 3 4 求常数 A, B, C 的值及概率 P{ X 3, Y 4}.
一、二维离散型随机变量
定义： 若二维随机变量 ( X , Y ) 的所有可能取值 ( xi , y j ) ,
i, j 1, 2,是有限对或可列无限多对时，则称 ( X , Y ) 为
p31 1/ 4 1/ 3 1/12 , p32 1/ 4 2 / 3 1/ 6
p33 1/ 4 0 0 .
所以 ( X , Y ) 的分布律为
X Y
1 2 3
1 0 1/6 1/12
2 1/6 1/6 1/6
3 1/12 1/6 0
、二维连续型随机变量
定义： 设二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数为 F ( x , y ) , 若存在 f ( x, y ) 0 , 使得对任意实数 x , y , 总有
1 3 2 F ( x, y ) dv 15uv du y (5 x 3 y 2 ) ; 0 v 2 ③ 当 0 x 1, y x 时，（如下图3-5(2)）
y x 2
F ( x, y ) du 15uv dv x ;
2 5 0 0
x
u
④ 当 x 1, 0 y 1 时，（如下图3-5(3)） y 1 1 3 2 F ( x, y ) dv 15uv du y (5 3 y 2 ) ; 0 v 2 ⑤ 当 x 1 , y 1 时，（如下图3-5(4)）
f ( x , y) ;
2 F ( x , y) 12 f ( x , y) 2 2 x y ( x 9)( y 2 16)
⑵
P{0 X 3} P{0 X 3，Y }
3 0
3 0
f ( x, y )dydx
12 1 dydx . 2 2 2 ( x 9)( y 16) 4
9 F (3, 4) 解 由分布函数的性质 16 F ( , ) 1 , F ( , ) 0 , F ( ,) 0 1 得 A( B )(C ) 1 A 2 2 2 A( B )(C ) 0 B 2 2 2 A( B )(C ) 0 C 2 2 2
离散型随机变量。
P{ X xi , Y y j } pi j
(i , j 1 , 2 , )
称为二维随机变量 ( X , Y ) 的分布律。 性质： 1)
pi j 0
2)
p
i 1 j 1
ij
1
二维离散型随机变量 ( X , Y ) 的分布函数为
F ( x, y ) P{ X x, Y y }
y yx
A dx xy 2 dy 1 A 15
G 0
1 x
所以
15 xy 2 , 0 y x 1, f ( x, y ) others. 0 ,
x
⑵ 由于 F ( x, y )
y
f (u , v)dudv
① 当 x 0 或 y 0 时， F ( x, y ) 0 ; ② 当 0 x 1, 0 y x 时，（如下图3-5(1)）
f ( x, y )dxdy 1
2 ③ 若 f ( x, y )在点 ( x, y ) 连续，则有 F ( x, y ) f ( x, y ) xy
④ P{( X , Y ) G} f ( x, y )dxdy , G表示xoy平面上的区域,
G
落在此区域上的概率相当于以 G为底,以曲面 z f ( x, y ) 为顶的曲顶柱体体积。 注： P{( X , Y ) ( x, y )} 0 ,即连续型随机变量在某点的 概率为0。
0
x
F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 )
y2 y1
y ( x1 , y2 )
( x1 , y1 )
( x2 , y2 ) ( x2 , y1 ) x x2
0
x1
性质： ① F ( x, y )是变量 x 和 y 的不减函数，即 对任意固定的 y，当 x2 x1时， F ( x 2 , y ) F ( x1 , y ) 对任意固定的 x ，当 y2 y1时， F ( x, y2 ) F ( x, y1 ) ② 0 F ( x, y ) 1