2018年1月广东省茂名市高2018届高2015级高三级第一次综合测试文科数学试题与参考答案茂名一模

高2018届高2015级茂名市高三级第一次综合测试文科数学试题 2018.1本试卷分选择题和非选择题两部分,共6页,23小题,满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后,请将答题卡上交.第一部分 选择题(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.1.若集合A ={x |−1＜x ＜3},B ={−1,0,1,2},则A ∩B =( )A.{−1,0,1,2}B.{x |−1＜x ＜3}C.{0,1,2}D.{−1,0,1} 2.已知复数z 满足z i=2+i,i 是虚数单位,则|z |=( )C.23.在1,2,3,6,则数字2( )A.14 C.12 4.已知变量,x y 满足约束条件2,4,1,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩ 则3z x y =+的最小值为( )A.11B.12C.8D.35.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2+a 8=10,则S 9= ( ) A.20 B.35 C.45D.906.已知抛物线28y x =的准线与x 轴交于点D ,与双曲线221x y m-=交于A ,B 两点,点F 为抛物线的焦点,若△ADF 为等腰直角三角形,则双曲线的离心率是( )B. 7.已知函数f (x )=sin(ωx +ϕ) (ω＞0,0＜ϕ＜2π),f (x 1)=1,f (x 2)=0,若|x 1–x 2|min =12,且f (12) =12,则f (x )的单调递增区间为( )A.51[+2,+2],k k k Z -∈B.51[+2,+2],.k k k Z -∈C.51[+2,+2],66k k k Z ππ-∈D.71[+2,+2],66k k k Z ∈8.函数||e ()x f x =的部分图象大致为( )9.《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著,其中有这样一段表述:“远看 巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一”,其意大致为:有一栋七层宝塔,每层悬挂的红灯数为上一层的两倍,共有381盏灯,则该塔中间一层有( )盏灯. A.24 B.48C.12D.60 10.执行如图所示的程序框图,那么输出S 的值是( ) A.2 018 B.−1C.12D.211.右图为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有下列四个命题:①AF ⊥GC ；②BD 与GC 成异面直线且夹角为60︒； ③BD ∥MN ；④BG 与平面ABCD 所成的角为45︒.其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.412.定义在R 上函数(2)y f x =+的图象关于直线x =−2对称,且函数(1)f x +是偶函数.若当x ∈[0,1]时,()sin 2f x x π=,则函数||()()xg x f x e -=-在区间[−2018,2018]上零点的个数为( )A.2017B.2018C.4034D.4036第二部分 非选择题(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.已知(2,1),2(1,1),a a b =-=则•a b = . 14.曲线ln(1)y x =+在点(1,ln2)处的切线方程为 .15.从原点O 向圆C : 2212270x y y +-+=作两条切线,则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为 . 16.如图,三棱锥的所有顶点都在一个球面上,在△ABC 中,AB , ∠ACB =60︒,∠BCD =90︒,AB ⊥CD ,CD =,则该球的体积 为 .-1 1 - 1 O -第10题图 A BD ENC G F M第11题图DCBA第16题图三、解答题:本大题共7小题,共70分.其中17至21题为必做题,22、23题为选做题.解答过程应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2cos 2c B b a ⋅-=. (Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)设角A 的平分线交BC 于D ,且AD若b求△ABC 的面积.18.(本小题满分12分)在四棱锥P −ABCD 中,AD ∥BC ,平面P AC ⊥平面ABCD ,AB =AD =DC =1,∠ABC =∠DCB =60︒,E 是PC 上一点. (Ⅰ)证明:平面EAB ⊥平面PAC ；(Ⅱ)若△P AC 是正三角形,且E 是PC 中点,求三棱锥A −EBC 的体积.19.(本小题满分 12 分)6组观测数据如下表:经计算得:11266i i x x ===∑,11336i i y y ===∑,1()()557i i i x x y y =--=∑,21()84i i x x =-=∑,621()3930ii y y =-=∑,线性回归模型的残差平方和621ˆ()236.64=-=∑i i i y y,e 8.0605≈3167,其中x i ,y i 分别为观测数据中的温度和产卵数,i =1,2,3,4,5,6.(Ⅰ)若用线性回归模型,求y 关于x 的回归方程ˆy=ˆb x +ˆa (精确到0.1)； (Ⅱ)若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程为ˆy=0.06e 0.2303x ,且相关指数R 2=0.9522. ( i )试与(Ⅰ)中的回归模型相比,用R 2说明哪种模型的拟合效果更好.( ii )用拟合效果好的模型预测温度为35︒C 时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数).附:一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),...,(x n ,y n ),其回归直线ˆy =ˆb x +ˆa 的斜率和截距的最小二乘估计为 121()()ˆ,()nii i nii xx y y bxx ==--=-∑∑ˆa=y −ˆbx ；相关指数R 2=2121ˆ()1()nii i n ii yyyy ==---∑∑.B APED C 第18题图20.(本小题满分 12 分)已知椭圆C 1以直线0mx y +=所过的定点为一个焦点,且短轴长为4.(Ⅰ)求椭圆C 1的标准方程；(Ⅱ)已知椭圆C 2的中心在原点,焦点在y 轴上,且长轴和短轴的长分别是椭圆C 1的长轴和短轴的长的λ倍(λ＞1),过点C (−1,0)的直线l 与椭圆C 2交于A ,B 两个不同的点,若2AC CB =,求△OAB 的面积取得最大值时直线l 的方程.21.(本小题满分 12 分)已知函数()ln 2a g x x x x=++(a ∈R ).(Ⅰ)讨论()g x 的单调性；(Ⅱ)若11()[()2]1a f x g x x x x x =--++.证明:当0x ＞,且1x ≠时,ln ()1x f x x >-.请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时,请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 经过点P (−2,0),其倾斜角为α,在以原点O 为极点,x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位),曲线C 的极坐标方程为4cos 0ρθ-=. (Ⅰ)若直线l 与曲线C 有公共点,求倾斜角α的取值范围；(Ⅱ)设M (x,y )为曲线C 上任意一点,求x +的取值范围.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()|3||5|f x x x =--+. (Ⅰ)求不等式()2f x ≥的解集；(Ⅱ)设函数()f x 的最大值为M ,若不等式22x x m M ++≤有解,求m 的取值范围.绝密★启用前 试卷类型:A2018年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷(文科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)2.【解析】2i12i iz +==-,|z ,故选D. 3.【解析】在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数,基本事件总数(1,2,3),(1,2,6),(1,3,6),(2,3,6) 共4个,则数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1,2,3) 1个. 因此,数字2是这三个不同数字的平均数的概率是14p =.故选A.4.【解析】由约束条件2,4,1,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩作出可行域如图,联立{2,4,y x y =+=,解得A (2,2),化目标函数z =3x +y 为y = −3x +z , 由图可知,当直线y = −3x +z 过A 时,直线在y 轴上的截距最小,z 有最小值为z =3×2+2=8.故选C.5.【解析】由等差数列的性质得,a 1+a 9=a 2+a 8=10,S 9=199()9104522a a +⨯==.故选C. 6.【解析】抛物线的准线方程为2x =-,准线与x 轴的交点为(2,0)D -,ADF ∆为等腰直角三角形,得||||4AD DF ==,故点A 的坐标为(2,4)-,由点A 在双曲线221x y m -=上,可得22(2)41m--=,解得417m =,即24a =,所以221117c m =+=,故双曲线的离心率c e a =故选D.7.【解析】:设f (x )的周期为T ,由f (x 1)=1,f (x 2)=0,|x 1 –x 2|min =12,得212422T T πωπ=⇒=⇒==,由f (12) =12,得sin(12π +ϕ)=12,即cos ϕ=12,又0＜ϕ＜2π,∴ϕ =3π,f (x )=sin(πx 3π+).由+22k ππ-3x ππ≤++22k ππ≤,得51+2+2,66k x k k Z -≤≤∈.∴ f (x )的单调递增区间为51[+2,+2],.k k k Z -∈故选B.8.【解析】由f (x )为奇函数,排除B,(1)3e f =＜1,排除A.当x ＞0时,e ()3x f x x =,2(1)e ()3xx f x x -'=,∴在区间(1,+∞)上f (x )单调递增,排除D,故选C.9.【解析】由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列,设首项为a ,则7(21)38121a -=-,解之得a =3,则该塔中间一层灯盏数有3⨯23=24.故选A.10.【解析】依题意,执行如图所示的程序框图可知初始S ＝2,当k =0时,S 0＝−1,k =1时,S 1＝12,同理S 2＝2,S 3＝−1,S 4＝12,…,可见S n 的值周期为3.∴当k ＝2017时,S 2017＝S 1＝12,1 O -此时k ＝2018,退出循环.输出S ＝12.故选C.11.【解析】:将正方体纸盒展开图还原成正方体,①如图知AF 与GC异面垂直,故①正确；②显然BD 与GC 成异面直线,连接EB ,ED . 则BM ∥GC ,在等边△BDM 中,BD 与BM 所成的60︒角就是异面 直线BD 与GC 所成的角,故②正确；③显然BD 与MN 异面垂直, 故③错误；④显然GD ⊥平面ABCD ,所以在Rt △BDG 中,∠GBD 是 BG 与平面ABCD 所成的角,Rt △BDG 不是等腰直角三角形. 所以BG 与平面ABCD 所成的角不是为45 ︒,故④错误.故选B.12.【解析】函数||()()x g x f x e -=-在区间[−2018,2018]上零点的个数,就是函数()sin 2f x x π= 的图象与||x y e -=的图象交点个数.由(2)y f x =+的图象关于直线x = −2对称,得()f x 是偶函数,即()()f x f x -=.又∵函数(1)f x +是偶函数,∴(1)(1)f x f x +=-+,故(2)()()f x f x f x +=-=,因此,()f x 是周期为2的偶函数.∵当x ∈[0,1]时,()sin 2f x x π=,作出()y f x =与||1()x y=图象如下图,可知每个周期内有两个交点,所以函数||()()x g x f x e -=-在区间[−2018,2018]上零点的个数为2018⨯2=4036.故选D.第二部分 非选择题(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.1 14.212ln 20x y --+= 15.1216.提示:13.【解析】∵(2,1),2(1,1),a a b =-=∴2(1,1)(2,1)(1,1)(1,0)b a =-=-=, ∴1(,0)2b =,∴•101a b =+=.14.【解析】由所求切线斜率1111||12x x k y x =='===+,得曲线在点(1,ln2)处的切线方程为1ln 2(1)2y x -=-,即212ln 20x y --+=.15.【解析】把圆的方程化为标准方程为22(6)9x y +-=,得到圆心C的坐标为(0,6),圆的半径3r =,由圆切线的性质可知,∠CBO =∠CAO 且AC =BC =3,OC =6,则有∠ACB =∠ACO +∠BCO =60︒+60︒=120︒ 所以该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为12(写成1:2也对).16.【解析】以△ABC 所在平面为球的截面,则由正弦定理得截面圆的半径为11=,依题意得CD ⊥平面ABC ,故球心到截面的距离为12CD 则球的半径为=所以球的体积为343π=.三、解答题:本大题共7小题,共70分.其中17至21题为必做题,22、23题为选做题.解答过ABD M (E )NCGF程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解: (Ⅰ)法一:由已知及余弦定理得22222a c b c a b +-⨯=+,整理得222a b c ab +-=-.…2分2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-, ………………3分又在△ABC 中,0＜C ＜π, ………………4分 ∴23C π=,即角C 的大小为23π. .………………5分法二:由已知及正弦定理得2sin cos sin 2sin C B B A ⋅-=, 又在△ABC 中,sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C ,.......……2分 ∴2sin C cos B – sin B =2sin B cos C +2cos B sin C ,即2sin B cos C = – sin B ,又sin B ≠0, ………………3分 ∴1cos 2C =-,又0＜C ＜π, ………………4分∴23C π=,即角C 的大小为23π. .………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)23C π=,依题意得如图,在△ADC 中,AC =bAD由正弦定理得sin sin AC C CDA AD ⋅∠===, .………………7分∵在△ADC 中,0＜CDA ∠＜π,C 为钝角, ........………....………8分 ∴4CDA π∠=,故23412CAD ππππ∠=--=. .………………9分∵在△ABC 中,AD 是角A 的平分线,∴6CAB π∠=, .……….……10分∴△ABC 是等腰三角形,BC AC == .………………11分 故△ABC的面积211sin S BC AC π=⋅=. .…………….…12分18.解:(Ⅰ)证明:依题意得四边形ABCD 是底角为60︒的等腰梯形,………1分 ∴∠BAD =∠ADC =120︒. .…………........……2分 ∵ AD =DC ,∴∠DAC =∠DCA =30︒, .……………….........3分∴∠BAC =∠BAD −∠DAC =120︒−30︒=90︒,即AB ⊥AC .…...........…4分 ∵平面PAC ⊥平面ABCD ,平面PAC ∩平面ABCD =AC ,∴AB ⊥平面PAC , ..........................………………...5分 又平面AB ⊂平面EAB ,∴平面EAB ⊥平面PAC ； ..........................……………...6分(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)及已知得,在Rt △ABC 中,∠ABC =60︒,AB =1, ∴AC = AB∙tan60︒BC =2AB =2,且AB ⊥平面PAC ,.........……………7分 ∴AB 是三棱锥B −EAC 的高,正△PAC...……………8分∵E 是PC 的中点,∴S △EAC ＝12S △PAC＝211sin6044AC AP ⋅︒=⨯=. ………10分∴三棱锥A −EBC的体积为11188A EBC B EAC EAC V V S AB --∆==⋅==...……………12分(Ⅱ)解法二:过P 作PO ⊥AC 于点O ,∵平面PAC ⊥平面ABCD ,平面PAC ∩平面ABCD =AC , ∴PO ⊥平面ABC ,过E 作EF ⊥AC 于点F ,同理得EF ⊥平面ABC ,∴EF 是三棱锥E −ABC 的高,且PO ∥EF , ………7分又E 是PC 中点,∴ EF 是△POC 的中位线,故1EF PO =.由(Ⅰ)及已知得,在Rt △ABC 中,∠ABC =60︒,AB =1,∴BC =2AB =2,AC = AB∙tan60︒=即正△PAC ………….........…8分OF BAPE DCBA PE DBA D C∴PO =32,故EF =34. .............................................................................….........9分在Rt △ABC 中,S △ABC＝11122AB AC ⋅=⨯ ….........………….........…10分∴三棱锥A −EBC的体积为311334A EBC E ABC ABC V V S EF --∆==⋅=....................12分19.解:(Ⅰ)依题意,n =6,61621()()557ˆ 6.6,84()iii i i x x y y bx x ==--==≈-∑∑ ....……….……2分ˆa≈33−6.6⨯26=−138.6, ....…...................…………3分 ∴y 关于x 的线性回归方程为ˆy=6.6x −138.6. ....……………4分 (Ⅱ) ( i )利用所给数据,621ˆ()236.64=-=∑i i i y y,621()3930i i y y =-=∑得,线性回归方程ˆy =6.6x −138.6 的相关指数R 2=621621ˆ()236.641110.06020.9398.3930()ii i ii yy yy ==--=--=-∑∑≈ .................….......6分∵0.9398＜0.9522, .............................................….......…………7分因此,回归方程ˆy=0.06e 0.2303x 比线性回归方程ˆy =6.6x −138.6拟合效果更好.....……..……8分 ( ii )由( i )得温度x =35︒C 时,ˆy=0.06e 0.2303⨯35=0.06⨯e 8.0605. ....……..……..…9分 又∵e 8.0605≈3167, ......................................……….....……10分∴ˆy≈0.06⨯3167≈190(个). .....................................………...……11分 所以当温度x =35︒C 时,该种药用昆虫的产卵数估计为190个. ....……….......……12分 20.解:(Ⅰ)所给直线方程变形为y mx =- …......……………1分可知直线所过定点为. ...............………2分∴椭圆焦点在y 轴,且c依题意可知b =2,∴a 2=c 2+b 2=9. ……………3分椭圆C 1的方程标准为22194y x +=. ………………4分 (Ⅱ)依题意,设椭圆C 2的方程为22221y x +=,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),………………6分∵λ＞1,∴点C (-1,0)在椭圆内部,直线l 与椭圆必有两个不同的交点. 当直线l 垂直于x 轴时,AC CB =(不是零向量),不合条件；故设直线l 为y =k (x +1) (A ,B ,O 三点不共线,故k ≠0), ……………..…7分由{222(1)4936y k x y x λ=++=，，得222918(4)9360y y k kλ+-+-=. 由韦达定理得12218ky y +=. ………………8分∵2AC CB =,而点C (−1,0),∴(-1-x 1,-y 1)=2(x 2+1,y 2),∴y 1= -2y 2, ………………..…9分即y 1+y 2= -y 2 故221894ky k-=+. ………………10分∴△OAB 的面积为OAB AOC BOC S S S ∆∆∆=+12121111||1||||222y y y y =⨯⨯+⨯⨯=-23||2y ==218||3294||k k ⨯+2794||k =+94≤=. .......................……11分上式取等号的条件是29||=4k ,即k =±32时,△OAB 的面积取得最大值94.所以直线的方程为3(1)2y x =+或3(1)2y x =-+. ………………12分21.(Ⅰ)解:由已知得()g x 的定义域为(0,+∞),22221()2a x x a g x x x x +-'=+-=............……1分 方程220x x a +-=的判别式18a ∆=+. …………....…......…2分①当18a ≤-时,△≤0,()0g x '≥,此时,()g x 在(0,+∞)上为增函数；…………..............…3分②当18a -＞时,设方程220x x a +-=的两根为12x x =, 若10a -<≤,则120x x <≤,此时,()0g x '＞,()g x 在(0,+∞)上为增函数； ……......…4分若a ＞0,则x 1＜0＜x 2,此时,g (x )在(0,x 2]上为减函数,在(x 2,+∞)上为增函数,…..……5分 综上所述:当0a ≤时,()g x 的增区间为(0,+∞),无减区间；当0a ＞时,()g x 的减区间为2(0,]x ,增区间为2(,)x +∞. ………....…...……6分 (Ⅱ)证明:由题意知ln 1(),1x f x x x=++ ………………..........................................7分∴()22ln 11()2ln 11x x f x x x x x--=---, …………….............................................…8分考虑函数21()2ln (0)x h x x x x-=->,则222222(1)(1)2()x x x h x x x x ---'=-=-………………...............................................9分 所以x ≠1时,()0h x '＜,而(1)0h = ………………................................................10分故(0,1)x ∈时,21()0,01h x x -＞＞,可得ln ()1x f x x -＞, (1)x ∈+∞，时,21()0,01h x x -＜＜,可得ln ()1x f x x -＞,…………….................…...11分 从而当0x ＞,且1x ≠时,ln ()1x f x x >-. ……………..................…12分请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时,请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.解:(Ⅰ)法一: 由曲线C 的极坐标方程得24cos 0ρρθ-=,又cos ,sin ,x y ρθρθ==∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=,即22(2)4x y -+= ………....…1分 ∴曲线C 是圆心为C (2,0),半径为2的圆.∵直线l 过点P (−2,0),当l 的斜率不存在时,l 的方程为x = -2与曲线C 没有公共点,…2分 ∴直线l 的斜率存在,设直线l :(2)y k x =+,即20kx y k -+=. 直线l 与圆有公共点,则圆心C 到直线l 的距离2d =≤ ...........………3分解得k ≤≤…...............………4分∵[0,)απ∈,∴α的取值范围是5[0,][,)66πππ ....................…………5分法二:由曲线C 的极坐标方程得24cos 0ρρθ-=,又cos ,sin ,x y ρθρθ==∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=, …....................................................………1分 ∵直线l 经过点P (−2,0),其倾斜角为α, ∴直线l 的参数方程为{2cos sin x t y t αα=-+=，，(t 为参数), ……......................................……2分将{2cos sin x t y t αα=-+=，，代入2240x y x +-=整理得:28cos 120t t α-+=..............….………3分∵直线l 与曲线C 有公共点,∴264cos 480α∆=-≥即cos α≥或cos α≤…....4分∵[0,)απ∈,∴α的取值范围是5[0,][,)66πππ. ....…….......................5分(Ⅱ)法一:由(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=, 故其参数方程为{22cos 2sin x y θθ=+=，，(θ为参数) . ……….............…7分∵M(x,y )为曲线C 上任意一点,∴22cos 24sin()6x πθθθ=++=++ …........8分∵1sin()16πθ-≤+≤,∴224sin()66πθ-≤++≤,因此,x +的取值范围是[2,6]-.………….........................10分 法二:设x m =. …………..........................6分 由(Ⅰ)知曲线C 即圆C :22(2)4x y -+=,依题意,圆C 与直线0x m +-=有交点,…7分 ∴圆心C 到直线0x m -=的距离2d =≤, .................................……9分解得26m -≤≤,即x 的取值范围是[2,6]-.……................................................……10分23.解:(Ⅰ)当3x ≥时,()8f x =-,此时()2f x ≥无解； ….......................……………1分当53x -＜＜时,()22f x x =--,由()2f x ≥解得52x --＜≤；………….................……3分 当5x -≤时,()8f x =,此时()2f x ≥恒成立. …………......................................……4分综上,不等式()2f x ≥的解集是{|2}x x ≤-. …………….....................................…5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知8,3,()22,53,8,5,x f x x x x -≥⎧⎪=---<<⎨≤-⎪⎩ ……………….......................................6分易知函数()f x 的最大值M =8, ………………............................................7分 若228x x m ++≤有解,得228m x x ≤--+有解.………………............................................8分 即2max (1)9]9m x ≤-++=[. …………….............................................…9分 因此,m 的取值范围是9m ≤. ……………...........................................…10分。