复积分的计算方法及其应用
复积分的各种计算方法及应用
复积分的各种计算方法及应用复积分（double integral）是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算在平面上的二维区域上面的函数的整体性质，比如面积、质心、质量等。
本文将介绍复积分的各种计算方法及其应用。
一、复积分的定义与性质复积分是对二元函数在一个二维区域上的积分，可以表示为：∬f(x,y)dA其中f(x,y)是定义在区域D上的函数，dA表示微元面积。
复积分可以用极限的思想进行定义，即将区域D划分成无数小块，计算每个小块的函数值与面积的乘积，再将所有小块的结果求和，即可得到复积分的近似值。
当划分的小块越来越小，求和的结果就逐渐逼近复积分的真实值。
复积分具有以下性质：1. 线性性质：对于两个函数f(x, y)和g(x, y)，以及常数a、b，有∬(af(x, y) + bg(x, y))dA = a∬f(x, y)dA + b∬g(x, y)dA。
2.区域可加性：如果区域D可以划分成有限个不相交的子区域Di，那么有∬f(x,y)dA=∑∬f(x,y)dA。
3. 改变变量的性质：如果用变量变换将区域D变为区域D'，那么有∬f(x, y)dA = ∬f(g(u, v), h(u, v))，J，dudv，其中J是变换的雅可比矩阵的行列式。
二、计算复积分的方法计算复积分的方法主要有以下几种：1.直角坐标法：通过在直角坐标系中进行积分，将复积分转化为两个一元函数的累次积分。
具体步骤是：先按照x或y的范围将区域D划分成若干个小区域；然后在每个小区域上，将函数f(x,y)中的另一个变量固定，将其视为常数，进行一元积分；最后将所有小区域上的积分结果相加。
2.极坐标法：对于具有极坐标对称性或区域边界为圆、椭圆、直线的情况，可以使用极坐标系进行积分。
具体步骤是：将x和y用r和θ表示，并将函数f(x,y)转化为g(r,θ)，然后在极坐标系下进行积分。
需要注意的是，在进行变量变换时，面积元的变化要用雅可比行列式来表示。
复积分计算公式
复积分计算公式复积分是指采用被称为“分部和”的计算方法，在一定的范围上将函数的形式表达式的复合式的求解过程，称为复积分。
这一公式经常被应用于物理、数学和工程学等多种领域。
二、复积分的具体形式复积分的具体形式可以表示为：∫∫[f(x,y)dxdy=∫xf(x,y)dy-∫yf(x,y)dx]其中，x为积分的上限，y为积分的下限，f(x,y)为函数形式表达式。
三、复积分的运用复积分在物理学和数学中有广泛的应用，主要用于求解双变量函数的积分，尤其是在解决复杂的物理问题时十分有用。
例如，在电力学中，可以使用复积分来解决求解局部电荷的问题；在热力学中，则可以用复积分来计算局部温度的问题；在量子力学中，可以使用复积分计算某个变量的概率分布；在几何学中，也可以使用复积分计算弯曲曲线的数值分析等。
四、复积分的计算1、把函数f(x,y)先按照一条变量的函数的方式进行积分，即：∫f(x,y)dx=g(x,y)2、然后再把第一步求得的结果g(x,y)坐标轴上另一个变量y 进行积分，即：∫g(x,y)dy=h(x,y)3、最后，将原函数f(x,y)按照另一个变量y先求积分，再求另一个变量x的积分，即：∫∫f(x,y)dxdy=h(x,y)五、复积分的扩展复积分的形式可以扩展到多变量的情况下，即：∫∫∫[f(x1, x2, x3...,xn)dx1 dx2 dx3...dxn]=∫x1f(x1, x2, x3,...,xn)dx2dx3...dxn-∫x2f(x1, x2,x3,...,xn)d x1dx3...dxn+∫x3f(x1, x2,x3,...,xn)dx1dx2...dxn...以上即为复积分计算公式的完整内容，本文介绍了复积分的定义、具体形式、运用及计算以及复积分的扩展，希望以上内容对读者有所帮助。
复变函数的积分总结
复变函数的积分总结引言复变函数积分是复分析的重要内容之一。
与实变函数不同的是，复变函数在积分时需要同时考虑实部和虚部，因此在处理复变函数的积分时需要注意一些特殊的性质和方法。
本文将对复变函数的积分进行总结，包括复积分的定义、性质和常见的积分方法。
复积分的定义复积分是对复变函数沿着曲线或者面积进行积分的操作。
复积分可以分为线积分和面积积分两种形式。
线积分对于复变函数f(z)，其在线段L上的线积分定义为：$$ \\int_L f(z)dz = \\int_a^b f(z(t))z'(t)dt $$其中z(t)是L上参数化曲线的方程，$t \\in [a, b]$。
线积分的结果是一个复数。
面积积分对于复变函数f(z)，其在有界连续曲线围成的区域D上的面积积分定义为：$$ \\int_D f(z)dz = \\iint_D f(z) dxdy $$其中z=x+iy，dxdy是区域D上的面积微元。
复积分的性质复积分具有一些重要的性质，它们在计算复积分时非常有用。
线积分的基本性质•线积分与路径无关：如果L1和L2是起点和终点相同的两条路径，且f(z)在路径间连续，则 $\\int_{L_1} f(z)dz = \\int_{L_2} f(z)dz$。
•线积分的线性性质：对于任意的复数c1和c2，以及复变函数f(z)和g(z)，有 $\\int_L (c_1f(z) + c_2g(z))dz = c_1\\int_L f(z)dz + c_2\\int_L g(z)dz$。
•同路径积分相等：如果L是起点为z1终点为z2的路径，且f(z)在L 上连续且有原函数F(z)，则 $\\int_L f(z)dz = F(z_2) - F(z_1)$。
面积积分的基本性质•面积积分与区域无关：如果D1和D2是相同的区域，且f(z)在区域D上连续，则 $\\int_{D_1} f(z)dz = \\int_{D_2} f(z)dz$。
复变函数的积分
复变函数的积分复变函数的积分是复分析中的重要概念，它在数学和物理学等领域中都有着广泛的应用。
复变函数的积分与实变函数的积分有着很大的不同，它涉及到复数域上的积分运算，因此需要特殊的技巧和理论来处理。
本文将从基本概念开始，逐步介绍复变函数的积分，并探讨其在不同领域中的应用。
首先，我们来回顾一下复变函数的基本概念。
复变函数是定义在复数域上的函数，它可以表示为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy，u(x, y)和v(x, y)分别是实部和虚部。
在复变函数中，我们引入了复数域上的积分运算，即复积分。
复积分的定义是在复平面上对复变函数的积分运算，它可以表示为∫f(z)dz，其中积分路径可以是曲线、环路或者区域。
复积分的计算需要用到复变函数的积分定理，其中最重要的是柯西积分定理和柯西-黎曼积分公式。
柯西积分定理指出，如果在一个简单闭合曲线内部的区域上f(z)是解析的，那么f(z)在这个区域上的积分为0。
柯西-黎曼积分公式则给出了解析函数在闭合曲线上的积分与函数在这个曲线内部的性质之间的关系。
这些定理为复积分的计算提供了重要的工具和方法。
在实际应用中，复变函数的积分在物理学、工程学和数学等领域中都有着广泛的应用。
在物理学中，复变函数的积分可以用来描述电磁场、流体力学和量子力学等问题。
在工程学中，复变函数的积分可以用来解决电路分析、信号处理和控制系统等问题。
在数学中，复变函数的积分可以用来研究解析函数的性质、级数和积分变换等问题。
除了在理论研究中的应用，复变函数的积分在实际计算中也有着重要的作用。
通过复变函数的积分，我们可以求解复杂的积分问题，计算曲线和曲面的长度、面积和体积等。
同时，复变函数的积分还可以用来解决微分方程、积分方程和边界值问题等。
因此，复变函数的积分在数学和物理学等领域中都有着重要的应用价值。
总之，复变函数的积分是复分析中的重要概念，它涉及到复数域上的积分运算，需要特殊的技巧和理论来处理。
复数积分计算公式推导方法
复数积分计算公式推导方法复数积分是复变函数理论中的重要内容，它在物理学、工程学、数学等领域都有着广泛的应用。
复数积分的计算方法有很多种，其中最常见的是使用复数积分的公式进行计算。
本文将介绍复数积分的计算公式推导方法，帮助读者更好地理解复数积分的计算过程。
1. 复数积分的定义。
在介绍复数积分的计算公式推导方法之前，我们先来回顾一下复数积分的定义。
设函数f(z)在复平面上的一条曲线L上有定义，即z=z(t)，a≤t≤b，其中z(t)是连续函数。
那么，复数积分的定义如下：∫f(z)dz=∫f(z(t))z'(t)dt。
其中，z'(t)表示z对t的导数。
这个定义和实数积分的定义有些类似，只不过在复数积分中，积分路径是在复平面上的曲线L，而不是实数轴上的区间。
2. 复数积分的计算公式推导方法。
接下来，我们将介绍复数积分的计算公式推导方法。
在实际计算中，我们通常会遇到一些特殊的积分形式，这时可以通过一些公式来简化计算。
下面我们将介绍几种常见的复数积分公式及其推导方法。
2.1 复数积分的线性性质。
首先，我们来看复数积分的线性性质。
设函数f(z)和g(z)在曲线L上有定义，且积分路径相同，那么有以下公式成立：∫(f(z)+g(z))dz=∫f(z)dz+∫g(z)dz。
这个公式的推导方法非常简单，只需将积分式展开，然后利用实数积分的线性性质即可得到。
2.2 复数积分的保守场。
其次，我们来看复数积分的保守场。
如果函数f(z)在曲线L上有定义，并且满足f(z)=F'(z)，其中F(z)是一个复变函数，那么有以下公式成立：∫f(z)dz=F(z)∣ab。
这个公式的推导方法可以通过复变函数的柯西—黎曼方程得到，具体推导过程略显复杂，这里就不展开了。
2.3 柯西—格林公式。
最后，我们来看复数积分的柯西—格林公式。
设函数f(z)在曲线L上有定义，且积分路径为闭合曲线C，那么有以下公式成立：∮f(z)dz=0。
复合函数求积分范文
复合函数求积分范文在微积分中，复合函数是指由多个简单函数组成的一个函数。
求复合函数的积分是解决微积分问题中的重要部分，可以应用于各种问题的求解中。
复合函数的积分可以通过多种方法来求解，其中包括代换法、分部积分法和三角代换法等。
下面将详细介绍这些方法，并通过实例来说明具体的步骤和技巧。
一、代换法代换法也称为换元法，是求解复合函数积分的一种常用方法。
它的基本思想是将被积函数中的自变量进行替换，从而将原来的积分转化为一个更容易求解的积分。
具体步骤如下：1.选择合适的替换变量。
替换变量的选择应该能够简化积分的计算，一般来说，选择与被积函数的形式相似的变量作为替换变量较为常见。
2.计算替换变量的导数。
将被积函数中的自变量替换为替换变量，并求得其导数。
3.将被积函数和替换变量的导数代入积分式中。
将被积函数中的自变量替换为替换变量，并将替换变量的导数代入积分式中。
4.求解新的积分式。
根据替换变量的导数和原来的积分式，求得新的积分式。
5.恢复自变量。
将替换变量恢复为原来的自变量。
例如，考虑求解积分∫(2x + 1)² dx。
我们可以选择 u = 2x + 1作为替换变量，然后计算出 du = 2dx，将其代入原积分式中，得到∫u²(1/2) du。
然后求解新的积分式∫u²(1/2) du = (1/2) * u³/3 + C。
最后将替换变量恢复为原来的自变量，得到最终结果(1/6)(2x + 1)³ + C。
二、分部积分法分部积分法是求解复合函数积分的另一种重要方法。
它是基于求导的乘积法则的逆过程，通过将积分式中的两个函数分别求导和积分，从而将原来的积分转化为一个更简单的积分。
具体步骤如下：1.选择合适的分部函数。
分部函数的选择应该能够使得积分式中至少有一个函数在求导后形式更简单。
2.对积分式中的函数进行求导和积分。
根据乘积法则，将原来的积分式中的两个函数分别求导和积分，并得到形式更简单的积分式。
复变积分的计算方法
复变积分是对复变函数沿着曲线或曲面进行积分的过程。
常见的复变积分包括复数路径积分（线积分）和复数面积积分（面积积分）。
下面将简要介绍一些常用的复变积分计算方法：
1. 复数路径积分（线积分）：
-定义路径：首先需要定义积分路径，即曲线C。
可以使用参数方程、分段线段或复平面上的点集来表示路径。
-参数化路径：将路径C 参数化为z(t) = x(t) + iy(t)，其中x(t) 和y(t) 分别表示实部和虚部关于参数t 的函数。
-积分公式：根据路径C 和被积函数的不同，可以使用不同的积分公式，如柯西—格林定理、柯西积分定理、柯西积分公式等。
选择适当的公式进行计算。
2. 复数面积积分（面积积分）：
-定义积分区域：首先需要定义要积分的区域D，即一个闭合的复平面上的区域。
-参数化区域：将区域D 参数化为z(u, v) = x(u, v) + iy(u, v)，其中x(u, v) 和y(u, v) 分别表示实部和虚部关于参数u 和v 的函数。
-积分公式：根据积分区域D 和被积函数的不同，可以使用不同的积分公式，如格林定理、高斯定理等。
选择适当的公式进行计算。
在实际计算过程中，可以结合使用复数的性质和技巧，如留数定理、变量替换、分部积分等来简化计算。
此外，需要注意路径或区域的光滑性、奇点的情况以及积分路径或区域的方向等因素，以确保正确计
算复变积分。
复变积分的具体计算方法和技巧是复杂的，并且超出了这个简要介绍的范围。
深入学习复变函数论和复变积分的理论和方法，以及进行大量的练习和实际问题的求解，将有助于更好地理解和应用复变积分。
复变函数积分的几种计算方法
复变函数积分的几种计算方法1.直接计算：直接计算是最基本的方法，通过对复变函数$f(z)$在积分路径上进行参数表示，然后将被积函数代入并对参数进行一定的变换和化简，最后进行求和或积分求解。
这种方法适用于被积函数的表达式简单，并且路径也比较简单的情况。
例如，对于一个简单的复变函数$f(z)=z^2$，可以沿着一个简单闭合的路径求积分。
2.共形映射：共形映射是一个重要而强大的工具，它可以将一个复平面上的路径映射到另一个复平面上的路径，并保持路径上的角度不变。
通过选择适当的共形映射，可以将复变函数$f(z)$在原路径上的复变积分变换为相对简单的形式。
例如，对于一条围绕原点的圆形路径，可以通过一个合适的共形映射将其映射为一条直线路径，这样原本的复变函数积分就可以转化为实变函数积分。
3.柯西-黎曼方程：柯西-黎曼方程是复变函数的基本性质之一，它表明对于任意一个复变函数$f(z)$，其满足柯西-黎曼方程的实部和虚部的偏导数存在且连续。
利用柯西-黎曼方程可以将复变函数$f(z)$表示为一个实部$f(x,y)$和虚部$g(x,y)$的形式，然后对实部和虚部分别进行求积分，最后进行合并得到原始的复变函数积分结果。
4.留数定理：留数定理是复变函数积分的重要工具，它给出了对于一个复变函数在围道内的积分结果与围道内的奇点有关。
根据留数定理，复变函数的积分结果可以表示为该函数在奇点处的留数与围道内奇点的总个数之和。
通过计算围道内的奇点的留数，可以得到复变函数的积分结果。
5.应用级数展开：对于一些复变函数，可以通过级数展开的方法进行计算。
例如，对于一个解析函数，可以将其展开为泰勒级数，并根据泰勒级数的性质进行积分。
通过截取级数展开的有限项，可以得到复变函数积分的近似解。
除了上述方法，还有一些特殊的积分计算方法，例如分部积分法、换元法等，这些方法在复变函数积分中同样适用。
关键在于选取合适的方法和工具，根据具体的被积函数和路径选择最合适的计算方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
摘要在复变函数的理论中,复积分是研究解析函数的重要工具.解析函数中的许多重要性质都要利用复变函数积分来证明.柯西积分定理在复积分的计算理论中处于关键地位,柯西积分公式、柯西积分定理及其推论、柯西高阶导数公式和留数定理对复积分的计算起到很大的作用.本文首先阐述复积分的相关概念，在此基础上介绍复积分的几种基本求法，如：用参数方程法、牛顿—莱布尼兹公式、柯西积分定理、柯西积分公式、复周线柯西积分定理、解析函数的高阶导数公式、留数定理.针对每一种计算方法给出相应的例子.对复积分的计算方法作出较系统的归纳总结，从中概括出求复变函数积分的解题方法和技巧.关键词：复积分；解析函数；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理ABSTRACTIn complex function theory, complex integration is an important tool of analytic function.Analytic function of many important properties are using the complex function integral to prove.Cauchy integral theorem in the calculation of complex integration theory in a key position,Cauchy integral formulas, Cauchy integral theorem and its corollary, Cauchy higher derivatives formula and residue theorem of integral to the complex calculation has played a significant role. This paper first describes the complex integration of related concepts introduced on this basis, the complex integration of several basic method for finding such as : parametric equations , Newton - Leibniz formula , Cauchy's integral theorem, Cauchy integral formula , complex contour Cauchy integral theorem, the formula of the higher order derivatives of analytic functions , residue theorem to give the corresponding examples for each type of calculation.The calculation method of complex integral to make a summary of the system, from which generalizes the complex functions for solving integral method and the skill.Key words:Complex integral; Analytic function; Cauchy integral theorem; Cauchy integral formula; the residue theorem目录摘要................................................................................... . (I)ABSTRACT............................................................................. .............................................I I 1前言................................................................................... (1)2 预备知识................................................................................... .. (2)3复变函数积分的计算方法................................................................................... . (6)法................................................................................... (6)3.2用牛顿—莱布尼兹公式计算复积分 (8)3.3 用柯西积分定理计算复积分 (10)3.4 用柯西积分公式计算复积分 (12)3.5 用复周线柯西积分定理计算复积分 (14)3.6用解析函数的高阶导数公式计算复积分 (16)3.7用留数定理计算复积分................................................................................... . (20)结论................................................................................... (24)参考文献................................................................................... .....................................2 5致谢................................................................................... .. (26)1前 言2006年3月淮南师范学院的崔东玲研究的《复积分的计算方法》，他通过变量代换、柯西积分公式、柯西积分定理、留数定理从中揭示诸多方法的内在联系.在研究复积分的计算方法这一方面取得了许多进展，证明了复变函数积分的计算方法.复变函数积分的计算方法灵活多样，而目前对复变函数积分的计算方法作出较系统的归纳却很少见.本文将利用复变函数积分基本原理，利用几种复积分的基本求法，针对每一种计算方法给出例子，并通过柯西积分定理、柯西积分公式、柯西高阶导数公式等来计算复积分，从中揭示诸多方法的内在联系，对复积分的计算方法作出较系统的归纳总结，从中概括出求复变函数积分的解题方法和技巧.2预备知识定义2.1[]1 设l 为复平面上以0z 为起点，而以z 为终点的光滑曲线（()y y x =有连续导数），在l 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z -=把l 分为n 段，在每一小段1k k z z -上任取一点k ξ作和数()()()111nnn k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=∆∑∑,1k k k z z z -∆=-当n →∞，且每一小段的长度趋于零时，若lim n n S →∞存在，则称()f z 沿l 可积，lim n n S →∞称为()f z 沿l 的路径积分.l 为积分路径，记为()lf z dz ⎰(若l 为围线（闭的曲线），则记为()lf z dz ⎰).()()1lim lim nnk k ln n k f z dz Sf z ξ→∞→∞===∆∑⎰ (()f z 在l 上取值，即z 在l 上变化).定理 2.1 若函数()()(),,f z u x y iv x y =+沿曲线C 连续，则()f z 沿C 可积，且().CCCf z dz udx vdy i vdx udy =-++⎰⎰⎰(1.1)复变函数积分的基本性质 设函数()(),f z g z 沿曲线C 连续，则有下列性质： (1) ()(),CCaf z dz a f z dz a =⎰⎰是复常数：(2) ()()()()=C C C f z g z dz f z dz g z dz ++⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰; (3) ()()()12,+CC C f z dz f z dz f z dz =⎰⎰⎰其中C 由曲线1C 和2C 衔接而成;图2.1(4) ()();CCf z dz f z dz -=-⎰⎰(5) ()()().CCCf z dz f z dz f z ds ≤=⎰⎰⎰这里dz 表示弧长的微分，即定义2.2 如果函数()w f z =在区域D 内可微,则称()f z 为区域D 内的解析函数,或称()f z 在区域D 内解析.定理2.2 函数()f z 在区域G 内解析的充要条件是： (1) ()f z 在G 内连续；()2 对任一周线C ,只要C 及其内部全部含于G ，就有()0C f z dz =⎰.定义2.3 若函数()f z 在0z 不解析,但在0z 的任一邻域内总有()f z 的解析点,则称0z 为函数()f z 的奇点.定义2.4 如果函数()f z 在点a 的某一去心邻域{}:0K a z a R -<-<(即除去圆心a 的某圆)内解析，点a 是()f z 的奇点，则称a 为()f z 的一个孤立奇点.定义2.5 设a 为函数()f z 的孤立奇点.(1) 如果()f z 在点a 的主要部分为零，则称a 为()f z 的可去奇点. (2) 如果()f z 在点a 的主要部分为有限多项，设为()()()111m mmm c c c z az a z a -----++⋅⋅⋅+---(0m c -≠) 则称a 为()f z 的m 阶极点.一阶极点也称为单极点.(3) 如果()f z 在点a 的主要部分有无限多项，则称a 为()f z 的本质奇点. 定理2.3 如果a 为函数()f z 的孤立奇点，则下列三条是等价的.它们中的任何一条都是可去奇点的特征.(1) ()f z 在点a 的主要部分为零； (2) lim ()()z af z b →=≠∞；(3) ()f z 在点a 的某去心邻域内有界.定理2.4 如果函数()f z 以点a 为孤立奇点，则下列三条是等价的.它们中的任何一条都是m 阶极点的特征.(1) ()f z 在点a 的主要部分为()()()111m mmm c c c z az a z a -----++⋅⋅⋅+---（0m c -≠）； (2) ()f z 在点a 的某去心邻域内能表成()()()mz f z z a λ=-，其中()z λ在点a 邻域内解析，且()0z λ≠；(3) 1()()g z f z =以点a 为m 阶零点(可去奇点要当作解析点看，只要令()0g a =).注 第(3)条表明：()f z 以点a 为m 阶极点⇔()1f z 以点a 为m 阶零点. 定理2.5 函数()f z 的孤立奇点a 为极点的充要条件是lim ()z af z →=∞. 定理2.6 函数()f z 的孤立奇点a 为本质奇点的充要条件是:lim ()（有理数）z a b f z →⎧≠⎨∞⎩，即lim ()z a f z →不存在. 定理2.7 若z a =为函数 ()f z 之一本质奇点，且在点a 的充分小去心邻域内不为零，则z a =亦必为()1f z 的本质奇点. 定理2.8 如果函数()f z 在单连通域B 内处处解析，那么积分dz z f C⎰)(与连结起点与终点的路线C 无关.定理2.9 如果函数()f z 在单连通域B 内处处解析,那么函数 ζζd f F zz ⎰=0)(z ）（必为B 内一个解析函数，并且()()F z f z '=.定义2.6 如果函数)(z f z ='）（ϕ，那么称)(z ϕ为)(z f 在区域内的原函数. 注 原函数之间的关系：)(z f 的任何两个原函数相差一个常数.定义2.7 称)(z f 的原函数的一般表达式C z F +)(（C 为任意常数）为)(z f 的不定积分，记作()()f z dz F z C =+⎰.定义2.8 考虑1n +条周线01,,,n C C C ⋅⋅⋅,其中12,,,n C C C ⋅⋅⋅中的每一条都在其余各条的内部，而它们又全都在0C 的内部.在0C 内部的同时又在12,,,n C C C ⋅⋅⋅外部的点集构成一个有界的1n +连通区域D ,以012,,,,n C C C C ⋅⋅⋅为它的边界.在这种情况下，我们称区域D 的边界是一条复周线012n C C C C C ---=+++⋅⋅⋅+,它包括取正方向的0C ,以及取负方向的12,,,n C C C ⋅⋅⋅.换句话说,假如观察者沿复周线C 的正方向绕行时，区域D 的点总在它的左手边.定义2.9 如果函数()f z 在点a 是解析的,周线C 全在点a 的某邻域内，并包围点a ，则根据柯西积分定理得()0.Cf z dz =⎰注 如果a 为()f z 的一个孤立奇点,且周线C 全在a 的某个去心邻域内，并包 围点a ，则积分()Cf z dz ⎰的值，一般来说，不再为零.设函数()f z 以有限点a 为孤立奇点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <-<内解析，则称积分()12f z d z iπΓ⎰ (:,0)z a R ρρΓ-=<<为()f z 在点a 的留数（residue ），记为Res ()f z .3复变函数积分的计算方法3.1用参数方程法设有光滑曲线C ：()()()z z t x t i t ==+（t αβ≤≤）， 这就表示()z t '在],αβ⎡⎣上连续且有不为零的导数，()()().z t x t iy t '''=+又设()f z 沿C 连续.令 由 (式1.1) 得 即()()(),C f z dz f z t z t dt βα'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰ (1.2) 或()()(){}()(){}Re Im =+Cf z dz f z t z t dt i f z t z t dt ββαα''⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ (1.3) 公式(1.2)、(1.3)是从积分路径的参数方程着手，称为参数方程法. (1.2)、(1.3)称为复积分的变量代换公式.注 (1) 一个重要的常用积分： (这里C 是以a 为圆心，ρ为半径的圆周)(2) 如果C 是由12,,,n C C C 等光滑曲线依次相互连接所组成的按段光滑曲线,则(3)在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的, 曲线C 是按段光滑的. 例3.1[2]计算d Cz z ⎰，其中C 为：圆周3z =.解 积分路径的参数方程为3(02)πi z e θθ=≤≤,3i dz ie d θθ=2033πi Cz dz ie d θθ=⋅⎰⎰(因为3z =)0=.例3.2 计算积分()2Cx y ix dz -+⎰,积分路径C 是连接由0到1i +的直线段. 解 C 的参数方程是()()()1,,,01,1z i t x t y t t dz i dt =+==≤≤=+ 由参数方程法得：13i-=-. 注 通过上面的例子，我们知道在计算沿光滑曲线的复变函数积分的时候，可利用曲线的参数方程把复积分化为定积分，这是计算复积分的基本方法.凡是在定积分和线积分中使用的技巧,在这里都可以照常使用.在解题的时候要注意曲线用参数方程来表示时,正方向是参数增大的方向.参数的取值应与起点和终点相对应；在分段光滑曲线时，要注意各段曲线的起点与终点所对应的参数值的准确性.3.2 用牛顿—莱布尼兹公式计算复积分牛顿-莱布尼兹公式[3] 如果函数)(z f 在单连通域内处处解析,()G z 为)(z f 的一个原函数，那么)()()(01z 10z G z G dz z f z -=⎰，这里01,z z 为B 内的两点.例3.3 求20cos iz z dz π⎰的值.解 222001cos cos 2iiz z dz z dz ππ=⎰⎰21sin 2π=-.注 此题先使用了微积分学中的“凑微分”法,然后运用牛顿-莱布尼兹公式进行求解.例3.4 求0cos iz zdz ⎰的值.解 ()0cos sin i iz zdz zd z =⎰⎰11e -=-.注 此题先使用了微积分中的“分部积分法”，然后运用牛顿-莱布尼兹公式进行求解.例 3.5 求()2281Czz dz ++⎰的值，其中C 是连接0到2a π的摆线：()()sin ,1cos .x a y a θθθ=-=-解 因为函数2281z z ++在复平面内处处解析，所以积分与路线无关，由牛顿—莱布尼兹公式得：3322161623a a a πππ=++. 注 利用这种方法将复变函数积分转化成定积分来计算，方法虽然很好，但是要求非常苛刻，函数必须在单连通域内解析，而很多函数都不具备这一性质，所以在应用时需注意.3.3用柯西积分定理计算复积分柯西积分定理[4] 如果函数()f z 在单连通区域B 内处处解析,那么函数()f z 沿B 内的任何一条周线C 的积分为零. 即:()0Cf z dz =⎰.注 (1) 定理中的C 可以不是简单曲线.(2) 如果曲线C 是区域B 的边界，函数在()f z 在B 内C 上解析,即在闭区域B BC =+上解析，那么()0Cf z dz =⎰。