同一直线上简谐振动的合成 相互垂直的简谐振动的合成 谐振分析 相空间中振动的轨道

例一：一质点同时参与两个在同一条直线上的简谐运动， 其表达式如下。 x1 = 0 . 0 4 co s( 2 t + π / 6 )
x 2 = 0 . 0 3 co s( 2 t − π / 6 )
求：合振动的表达式。
解：
A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ 1 )
§4.5 同一直线上简谐振动的合成 一、同向、同频的合成
设两个在同一直线上的同频率的简谐运动的表达式分别为
= A1 cos(ω t + ϕ1 ) + A2 cos(ω t + ϕ 2 ) = A cos( ω t + ϕ )
其中
x = x1 + x2
x1 = A1 cos( ω t + ϕ 1 ) x 2 = A2 cos( ω t + ϕ 2 )
次极大
（等于外接圆直径）
例：三个同频率ω
同振幅A0 同方向的SHV
相邻相位差为 π/3 求：合振幅A 解：画旋矢图 由图很容易得到 A = 2A0 或将已知条件代入公式
v A
r A0
π/3 π/3
Nα sin 2 A = A0 α sin 2
得出结果（请自解）
二、同向、不同频率的合成
r A (ω , ϕ )
x = 0.06 cos( 2 t + 0.08 )
例：求下列几组简谐振动的合振动 （1）
3 7 x 2 = 0 .05 cos( 3 t + π ) 3
x 1 = 0 .05 cos( 3 t +
π
)
A = A1 + A2 = 0.1
x = x1 + x2 = 0.1 cos( 3t +
（2）
π
由三角函数求初相
A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 ϕ = arctan A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
讨论两种特殊情况
(1) 若两分振动同相 ϕ 2− ϕ 1= ±2kπ
A=
2 A12 + A2 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ 1 )
(k =0,1,2,…)
x1 = A1 cos( ω 1 t + ϕ )
x2 = A2 cos( ω 2 t + ϕ )
r A2
ω 2 t∆ ϕ
o
r A1
x1
x
∆ ϕ = ω 2 t − ω1t
设
1
随时间变
x2
ω 1t
A1 = A2
2
x = x1 + x2 = A cos(ω t + ϕ ) + A cos(ω t + ϕ )
ω 2 + ω1
2
t +ϕ)
振幅 ，变化缓慢
ω=
ω 2 + ω1
2
合振动的角频率 ，快速变化
合振动近似为简谐振动
x = A(t ) co s ω t
ω2 −ω1
2 t 缓慢变化的圆频率 为
合振动近似看成振幅 2 Acos ω 1 + ω 2 的简谐振动
2
合成振动如图示：振幅缓变的谐振动
x1
ν1
t
x2
，
合振动减弱
A=0
x
x
o ϕ2
ω A2
A1
o
T
t
A
1）相位差
ϕ 2 − ϕ1 = 2 k π
A = A1 + A2
( k = 0 ， 1， ) ± L
振动加强
2）相位差 ϕ 2
− ϕ1 = (2k + 1)π (k = 0 ， 1， ) ± L
A = A1 − A2
3）一般情况
振动削弱
A1 + A2 > A > A1 − A2
(1) ϕ 2 − ϕ 1 = 0
A2 y
两振动同相 A2 x y − =0 斜率 A1 A2 A1 x 在任何时刻,质点离开原点的位移是
A1
2 s = x 2 + y 2 = A12 + A2 cos(ω t + ϕ )
( 2) ϕ 2 − ϕ 1 = π
A2 y
两振动反相
x y + =0 A1 A2
( 2 ) ϕ 2 − ϕ1 = ( 2k + 1 )π
合振动轨迹为通过原点在第二、第四象限的直线
( 3 ) ϕ 2 − ϕ1 = 2kπ +
π
2
轨迹为右旋椭圆 A1= A2时为圆 轨迹为左旋椭圆
例：当两个同方向、频率稍有差异的简谐振动合成为一个 振动时，其振动表达式为，
x =A cos(2.1t) cos(50.0t)，
求：各分振动的角频率和合振动的拍的周期
x = [2 A0 cos
ω1 − ω2
2
t ] cos
ω1 + ω2
2
t
ω2 − ω1
ω 2 + ω1
2
2
= 2.1
ω1 = 47.9 rad / s, ω2 = 52.1 rad / s
r A r A3 α r A2
Nα
π
r α AN
M
∠COP =
π
2
−
α
2
r O A P 1
ϕ
α
N −1 ϕ = ∠COP − ∠COM = α 2
N −1 sin( Nα / 2) x = A0 cos(ωt + α) sin(α / 2) 2
1-13N个谐振动 的合成.exe
特例 1）α = 2 kπ k = 0, ± 1, ± 2, L
x = A1 cos( ω t + ϕ )
π
x2 y2 + 2 =1 2 A1 A2
正椭圆
判断旋转方向： ω t + ϕ = 0
x = A1 , y = 0
随时间增加 x 减小，y向负增加，为右旋椭圆 A 1 = A2
x 2 + y 2 = A2
圆
用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图
( 4 ) ϕ 2 − ϕ1 = −
x
A1
A2 斜率 − A1
在任何时刻,质点离开原点的位移是
2 s = x 2 + y 2 = A12 + A2 cos(ωt + ϕ )
(3) ϕ 2 − ϕ 1 =
y A2
π
2
y 相位超前 π / 2 ：
0
A1
x
y = A2 cos(ωt + ϕ + ) 2 = − A2 sin(ωt + ϕ )
x = x1 + x2 = 0.01 cos( 2t +
（4）
π
ϕ=
)
π
6
6 3π x 1 = 0 .05 cos( 10 t + ) 4
1 x 2 = 0 .06 cos( 10 t + π ) 4
A = A12 + A2 2 = 0.052 + 0.062 = 0.0781
A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 π ϕ = arctg( ) = arctg11 = 840 48′ A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 6
A = 0.04 2 + 0.03 2 + 2 × 0.04 × 0.03 cos( −π / 6 − π / 6 ) ≈ 0.06
4×1 − 3×1 A1 sin ϕ 1 + A2 sinϕ 2 ϕ = arctan ≈ 0.08 tgϕ = A1 cosϕ1 + A2 cosϕ 2 4× 3 + 3 3
ν2
t
x
ν =⏐ ν 1 - ν 2 ⏐
t
9
表达式为 x = [2 A0 cos
ω1 − ω2
2
t ] cos
ω1 + ω2
2
t
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的 合成，其合振动的振幅出现周期性强弱变化的现象叫拍. 拍频：单位时间内合振动加强或减弱的次数(拍出现的次数） 振幅 A(t ) = 2 A0 cos
y A2
0
π
2
∆ϕ = 2kπ − π / 2 y 相位落后x π / 2 ：
y = A2 cos(ωt + ϕ − ) 2 = A2 sin(ω t + ϕ )
x = A1 cos( ω t + ϕ )
π
x A1
x2 y2 + 2 =1 2 A1 A2
正椭圆
判断旋转方向： ω t + ϕ = 0
x + y = A
5 π ± 2kπ ( k = 0,1, 2...), x2 + x3 振幅最小 4
反相时振幅最小
(3) 同一直线上n个同频率的简谐振动的合成 C
A1 = A2 = A3 = ... = AN = A0
ϕi +1 − ϕi = α
Nα
M
R
α
r O A P 1
ϕ
r A r A3 α r A2
r α AN
α
x1 = A0 cos ωt x2 = A0 cos(ωt + α ) x3 = A0 cos(ωt + 2α ) xN = A0 cos[ωt + ( N − 1)α ]
A0 = 2 R sin
A = 2 R sin
α
2 Nα
2
sin Nα A = A0 ( ) sin α