优化方案数学必修4第二章§2.1随堂即时巩固
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4课件：第二章2.1.3
探究点一 向量的概念 给出下列命题： ①若A→B＝D→C，则 A、B、C、D 四点是平行四边形的四个顶点；
②在▱ABCD 中，一定有A→B＝D→C；
③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ④若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 其中所有正确命题的序号为________．
第八页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
2．下列物理量中，不能称为向量的是( )
A．距离
B．加速度
C．力
D．位移
解析：选 A．根据向量的特点，既有大小又有方向，可知 A 项
正确．
第九页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
3.如图，在⊙O 中，向量O→B、O→C、A→O是( ) A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 答案：C
若 a，b 是相等向量，记作 a＝b．
第七页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量不能比较大小．( ) (2)向量的模是一个正实数．( ) (3)向量就是有向线段．( ) (4)向量A→B与向量B→A是相等向量．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
第十三页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
[解析] A→B＝D→C，A、B、C、D 四点可能在同一条直线上，故
①不正确；在▱ABCD 中，|A→B|＝|D→C|，A→B与D→C平行且方向相
同，故A→B＝D→C，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且 a 与 b 方向 相同；b＝c，则|b|＝|c|，且 b 与 c 方向相同，则 a 与 c 长度相 等且方向相同，故 a＝c，故③正确；对于④，当 b＝0 时，a 与 c 不一定平行，故④不正确． [答案] ②③
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4课件：第二章2.2.3
＋6e2，若 a，b 共线，则 λ 等于( )
A．－9
B．－4
C．4
D．9
解析：选 B．由 a，b 共线知 a＝mb，m∈R，
于是 2e1－3e2＝m(λe1＋6e2)， 即(2－mλ)e1＝(6m＋3)e2. 由于 e1，e2 不共线， 所以62m－＋m3λ＝＝00，，
所以 λ＝－4.故选 B．
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(2)原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a ＝13－1－1a＋－1＋23＋2b ＝－53a＋53b＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j) ＝－5＋130i＋－130－53j ＝－53i－5j.
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向量线性运算的基本方法 (1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例 如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变 形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类 项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未 知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意 观察，恰当运用运算律，简化运算．
＝b＋16a－16b＝16a＋56b．
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因为C→N＝13C→D＝16O→D， 所以O→N＝O→C＋C→N＝12O→D＋16O→D ＝23O→D＝23(O→A＋O→B)＝23(a＋b)． 所以M→N＝O→N－O→M
＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b．
第十二页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
1.若 2x－13a－12(b＋c－3x)＋b＝0，其中 a，b， c 为已知向量，求未知向量 x. 解：因为 2x－23a－12b－12c＋32x＋b＝0， 所以72x－23a＋12b－12c＝0， 所以72x＝23a－12b＋12c， 所以 x＝241a－17b＋17c.
2021高中同步创新课堂数学优化方案北师大版必修4习题：第二章§6应用案巩固提升 Word版含答案
[A 基础达标]1．设向量a ＝(2，0)，b ＝(1，1)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝12C ．(a －b )⊥bD ．a ∥b解析：选C.由于a ＝(2，0)，b ＝(1，1)， 所以|a |＝2，|b |＝2，故|a |≠|b |，A 错误； a·b ＝(2，0)·(1，1)＝2×1＋0×1＝2，故B 错误；由于a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝(1，－1)·(1，1)＝0，所以(a －b )⊥b ，故C 正确． 由于2×1－0×1≠0，所以a 与b 不共线，故D 错误．2．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92B ．0C ．3D.152解析：选C.由于a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，所以2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6)．由于(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝(2k －3，－6)·(2，1)＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3.故选C.3．已知A (－2，1)，B (6，－3)，C (0，5)，则△ABC 的外形是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选A.由题设知AB →＝(8，－4)，AC →＝(2，4)，BC →＝(－6，8)，所以AB →·AC →＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB →⊥AC →.所以∠BAC ＝90°. 故△ABC 是直角三角形．4．如图是函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2的部分图像，则OB →·BA →等于( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选B.令tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2＝1，结合图像可得x ＝3，即B (3，1)，令tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2＝0，结合图像可得x＝2，即A (2，0)，从而OB →＝(3，1)，BA →＝(－1，－1)，OB →·BA →＝－4，故选B.5．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 解析：选D.设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(1＋x ，2＋y )，a ＋b ＝(3，－1)，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧2（2＋y ）＋3（x ＋1）＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－79，y ＝－73，即c ＝⎝⎛⎭⎫－79，－73. 6．已知点A (－1，1)、B (1，2)、C (－2，－1)，D (3，4)，则向量CD →在AB →方向上的投影为________． 解析：由于AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，所以AB →·CD →＝(2，1)·(5，5)＝15，|AB →|＝22＋12＝ 5.设AB →与CD →的夹角为θ，所以向量CD →在AB →方向上的投影为|CD →|cos θ＝AB →·CD →|AB →|＝155＝3 5.答案：3 57．若M (2，0)，N (0，2)，且点P 满足MP →＝12MN →，O 为坐标原点，则OM →·OP →＝________．解析：设P (x ，y )，由MP →＝12MN →，得(x －2，y )＝12(－2，2)＝(－1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－1，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以OM →·OP →＝(2，0)·(1，1)＝2. 答案：28．若a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－ 2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为________．解析：由于a ∥b ，所以x ＝4，所以b ＝(4，－2)， 所以a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )， 由于(a ＋b )⊥(b －c )，所以(a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3(－2－y )＝0，所以y ＝－4， 故向量MN →＝(－8，8)，|MN →|＝8 2.答案：8 29．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，4)． (1)求a ＋b 与a －b 的夹角； (2)若a ⊥(a ＋λb )，求实数λ的值． 解：(1)由于a ＝(1，2)，b ＝(－3，4)， 所以a ＋b ＝(－2，6)，a －b ＝(4，－2)， 设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，所以cos θ＝（－2，6）·（4，－2）40×20＝－2040×20＝－22.又由于θ∈[0，π]，所以θ＝3π4. (2)当a ⊥(a ＋λb )时，a ·(a ＋λb )＝0， 所以(1，2)·(1－3λ，2＋4λ)＝0， 则1－3λ＋4＋8λ＝0，所以λ＝－1.10．已知点A (1，0)，B (0，1)，C (2sin θ，cos θ)． (1)若|AC →|＝|BC →|，求tan θ的值；(2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin θ＋cos θ的值．解：(1)由于A (1，0)，B (0，1)，C (2sin θ，cos θ)，所以AC →＝(2sin θ－1，cos θ)，BC →＝(2sin θ，cos θ－1)，由于|AC →|＝|BC →|，所以（2sin θ－1）2＋cos 2θ＝（2sin θ）2＋（cos θ－1）2，化简得2sin θ＝cosθ.由于cos θ≠0(若cos θ＝0，则sin θ＝±1，上式不成立)，所以tan θ＝12.(2)由于OA →＝(1，0)，OB →＝(0，1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)， 所以OA →＋2OB →＝(1，2)， 由于(OA →＋2OB →)·OC →＝1， 所以2sin θ＋2cos θ＝1， 所以sin θ＋cos θ＝12.[B 力量提升]1．在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5D ．10解析：选C.由于AC →·BD →＝(1，2)·(－4，2)＝－4＋4＝0，所以AC →⊥BD →，所以S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5.2．已知平面对量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________．解析：由于向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，所以c ＝ma ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.由于c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即a ·c |a |＝b ·c|b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 答案：23．已知a ＝(2x －y ＋1，x ＋y －2)，b ＝(2，－2)， (1)当x ，y 为何值时，a 与b 共线？(2)是否存在实数x ，y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |？若存在，求出xy 的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)由于a 与b 共线，所以存在实数λ，使得a ＝λb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝2λ，x ＋y －2＝－2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ∈R ，所以当x ＝13，y 为任意实数时，a 与b 共线．(2)由a ⊥b ⇒a ·b ＝0⇒(2x －y ＋1)×2＋(x ＋y －2)×(－2)＝0⇒x －2y ＋3＝0.① 由|a |＝|b |⇒(2x －y ＋1)2＋(x ＋y －2)2＝8.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1或⎩⎨⎧x ＝53y ＝73，所以xy ＝－1或xy ＝359. 所以存在实数x ，y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |，此时xy ＝－1或xy ＝359.4．(选做题)已知OA →＝(4，0)，OB →＝(2，23)，OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，并在AB →＝BC →时，求λ的值； (3)求|OC →|的最小值．解：(1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ， 则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12，所以OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2.(2)AB →＝OB →－OA →＝(－2，23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →， 由于AB →与BC →有公共点B ， 所以A ，B ，C 三点共线．当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ (1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2 ＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12.所以当λ＝12时，|OC →|取到最小值2 3.。
2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第二章§2.2向量的减法 Word版含答案
2．2 向量的减法1．问题导航(1)两个向量共线时，如何作出其差向量？(2)点O ，A ，B 为平面中的任意三点，则AB →＝OB →－OA →对吗？ (3)在向量运算中a ＋b ＝c ＋d ，是否有a －c ＝d －b 成立？ 2．例题导读P 79例4.通过本例学习，学会作已知向量的和或差．P 80例5.通过本例学习，学会利用向量加减法的几何意义求向量的和或差的模． 试一试：教材P 81习题2－2 A 组T 4你会吗？向量的减法向量的减法相反向量定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫作a 的相反向量，记作－a ，零向量的相反向量仍是零向量定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量几何意义：已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则AB →＝b －a ，即b －a 可以表示为从向量a 的终点指向向量b 的终点的向量性质：①－(－a )＝a ， ②a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0，③假如a 与b 互为相反向量， 则a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝01．推断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意两个向量的差向量不行能与这两个向量共线．( )(2)向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量．( ) (3)相反向量是共线向量．( )解析：(1)错误．当两个向量共线时，其差向量就与这两个向量中的任一向量共线，所以该说法错误． (2)正确．由于两个向量的差仍旧是一个向量，所以向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量．(3)正确．依据相反向量的定义知，该说法正确． 答案：(1)× (2)√ (3)√2．下列等式中，正确的个数是( )①a ＋b ＝b ＋a ；②a －b ＝b －a ；③0－a ＝－a ；④－(－a )＝a ；⑤a ＋(－a )＝0. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C.由向量的加法及几何意义，可得：①a ＋b ＝b ＋a ，正确；由向量的减法及其几何意义，得a －b ＝－(b －a )，即②错误；0－a ＝－a ，③正确；依据相反向量的定义及性质得－(－a )＝a ，④正确；而a ＋(－a )＝0≠0，⑤错误． 3.OC →－OA →＋CD →＝________．解析：OC →－OA →＋CD →＝(OC →－OA →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.答案：AD →4．若a 与b 反向，且|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝________.解析：由于a 与b 反向，所以|a －b |＝|a |＋|b |＝2. 答案： 21．相反向量满足的两个条件 (1)两个向量的方向相反． (2)两个向量的长度相等． 2．相反向量的意义(1)在相反向量的基础上，可以通过向量加法定义向量减法． (2)为向量的“移项”供应依据．利用(－a )＋a ＝0在向量等式的两端加上某个向量的相反向量，实现向量的“移项”．3．对向量减法的三点说明 (1)减法的几何意义a －b 的几何意义是：当向量a ，b 的起点相同时，从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． (2)与向量加法的关系a －b ＝a ＋(－b )，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量． (3)向量减法运算法则把减向量与被减向量的起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．已知向量作差向量如图，已知向量a 、b 、c 不共线，求作向量a ＋b －c .(链接教材P 79例4)[解] 法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB →＝b －c .过点A作AD 綊BC ，连接OD ，则AD →＝b －c ，所以OD →＝OA →＋AD →＝a ＋b －c .法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB →＝a ＋b －c .法三：如图③，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC →，则OC →＝a ＋b －c .方法归纳求两向量的差向量关键是把两向量平移到首首相接的位置，然后利用向量减法的三角形法则来运算．平移作两向量的差的步骤此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减”．1．(1)如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c .(2)如图所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求作向量b ＋c －a .解：(1)作向量OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，再作向量BC →＝c ，则向量CA →＝a －b －c .(2)以OB →，OC →为邻边作▱OBDC ，连接OD ，AD ，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a .向量的减法运算化简下列各式： (1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →；(3)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)． (链接教材P 81习题2－2A 组T 5)[解] (1)法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →.法二：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →.(2)法一：原式＝DB →－DC →＝CB →.法二：原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →.(3)法一：原式＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝AD →＋DA →＝0.法二：(AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)－CD →＋BD → ＝CB →－CD →＋BD →＝DB →＋BD →＝0. 方法归纳 (1)(2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相接且相加；②起点相同且相减．做题时，留意观看是否有这两种形式的向量消灭．同时留意向量加法、减法法则的逆向运用．2．(1)在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列等式中不正确的是( ) A ．a ＋b ＝c B ．a －b ＝d C ．b －a ＝d D ．c －a ＝b (2)化简下列各式： ①OP →－OQ →＋PM →－QM →； ②(AB →＋CD →)＋(BC →＋DE →)－(EF →－EA →)．解：(1)选B.依据向量加法的平行四边形法则知， AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，即a ＋b ＝c ，b －a ＝d .c －a ＝AC →－AB →＝BC →＝AD →＝b ，故选B.(2)①OP →－OQ →＋PM →－QM →＝QP →＋PM →－QM →＝QM →－QM →＝0. ②(AB →＋CD →)＋(BC →＋DE →)－(EF →－EA →)＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DE →)－(EF →－EA →)＝AC →＋CE →－AF →＝AE →－AF →＝FE →.用已知向量表示其他向量设O 是△ABC 内一点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，若以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OC ，OD 为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H .试用a ，b ，c 表示DC →，OH →，BH →.[解] 由题意可知四边形OADB 为平行四边形，所以OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b .所以DC →＝OC →－OD →＝c －(a ＋b )． 又四边形ODHC 为平行四边形，所以OH →＝OC →＋OD →＝c ＋a ＋b .所以BH →＝OH →－OB →＝a ＋b ＋c －b ＝a ＋c .若题中的条件不变，如何用向量a ，b ，c 表示出向量AH →？解：由例题解析可得OH →＝OC →＋OD →＝c ＋a ＋b ，则AH →＝OH →－OA →＝c ＋a ＋b －a ＝b ＋c . 方法归纳用已知向量表示其他向量的三个关注点(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)留意综合应用向量加法、减法的几何意义以及加法的结合律、交换律来分析解决问题．(3)留意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．例如四边形ABCD 中，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.3.(1)如图，O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________．且AB →＝a ，AC →＝(2)如图所示，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量BD →，BC →，BE →，CD →及CE →.解：(1)由于BA →＝CD →，BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →，所以OD →－OC →＝OA →－OB →，OD→＝OA →－OB →＋OC →，所以OD →＝a －b ＋c .故填a －b ＋c .(2)由于四边形ACDE 是平行四边形，所以CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ， BE →＝AE →－AB →＝c －a ，CE →＝AE →－AC →＝c －b ，所以BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .易错警示向量加减法的几何意义应用中的误区已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0 B .BD →－CF →＋DF →＝0 C .AD →＋CE →－CF →＝0 D .BD →－BE →－FC →＝0[解析] 由于D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，所以AD →＝DB →，CF →＝ED →，FC →＝DE →，FE →＝DB →，所以AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋ED →＝0，故A 成立． BD →－CF →＋DF →＝BD →＋DF →－CF →＝BF →＋FC →＝BC →≠0，故B 不成立， AD →＋CE →－CF →＝AD →＋FE →＝AD →＋DB →＝AB →≠0，故C 不成立． BD →－BE →－FC →＝ED →－DE →＝ED →＋ED →≠0，故D 不成立． [答案] A[错因与防范] (1)解答本题的过程中，若忽视利用几何图形的性质和相等向量的定义，则不能推出相等向量，从而导致推导变形无法进行；或因应用向量减法的几何意义时字母挨次出错而导致错误．(2)解答以几何图形为背景的向量加减运算问题，首先应重视向量学问与平面几何学问的结合，利用平面几何中线线平行、线段相等可以推出向量共线，向量相等等结论，为向量式的变形供应依据．其次，要记准向量减法的几何意义，依据向量减法的几何意义作两个向量的差的基本步骤：作平移，共起点，两尾连，指被减．4．(1)如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，则b ＋c －a 等于( )A.OA → B ．OB →C.OD →D ．OA →＋b(2)如图，在△ABC 中，若D 是边BC 的中点，E 是边AB 上一点，则BE →－DC →＋ED →＝________．解析：(1)法一：由于四边形ABCD 是平行四边形，所以DA →＝CB →，所以b ＋c ＝DA →＋OC →＝CB →＋OC →＝OB →，所以b ＋c －a ＝OB →－AB →＝OB →＋BA →＝OA →.法二：由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，所以c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OC →＋CD →＝OD →.由于DA →＝b ，所以AD →＝－DA →＝－b ，所以OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b .所以c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →.(2)BE →－DC →＋ED →＝BE →＋CD →＋ED →＝BE →＋ED →＋CD →＝BD →＋CD →，由于BD →＋CD →＝0，所以BE →－DC →＋ED →＝0. 答案：(1)A (2)01．若BA →＝a ，BC →＝b ，则CA →等于( ) A ．0 B ．a ＋b C ．b －a D ．a －b解析：选D.CA →＝BA →－BC →＝a －b .故选D.2．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c解析：选A.DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c .3．已知a 、b 为非零向量，则下列命题中真命题的序号是________． ①若|a |＋|b |＝|a ＋b |，则a 与b 方向相同； ②若|a |＋|b |＝|a －b |，则a 与b 方向相反； ③若|a |＋|b |＝|a －b |，则a 与b 有相等的模； ④若||a |－|b ||＝|a －b |，则a 与b 方向相同． 解析：当a 、b 方向相同时有 |a |＋|b |＝|a ＋b |，||a |－|b ||＝|a －b |，当a 、b 方向相反时有||a |－|b ||＝|a ＋b |，|a |＋|b |＝|a －b |， 因此①②④为真命题． 答案：①②④, [同学用书单独成册])[A.基础达标]1．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D ．EF →＝－OF →－OE →解析：选B.依据向量的减法的定义可得EF →＝OF →－OE →. 2．下列式子不正确的是( ) A ．a ＋0＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →≠0D .AC →＝DC →＋AB →＋BD →解析：选C .依据向量加法的三角形法则，A 正确；向量加法满足交换律，B 正确；由于AB →与BA →是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C 不正确；依据向量加法的多边形法则，D 正确．3．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD →－AC →等于( ) A .CB → B ．BC → C .CD → D ．DC →解析：选C .在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC →＝CD →. 4.如图，在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则EF →＋EF →＝( ) A .AB → B .AB →＋DC → C .DC → D ．AD →＋BC →解析：选B .由于EF →＝EA →＋AB →＋BF →，EF →＝ED →＋DC →＋CF →，又EA →与ED →互为相反向量，BF →与CF →互为相反向量，所以EA →＋ED →＝0，BF →＋CF →＝0.所以EF →＋EF →＝ED →＋DC →＋CF →＋EA →＋AB →＋BF →＝(ED →＋EA →)＋DC →＋AB →＋(BF →＋CF →)＝AB →＋DC →.5．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3，8] B ．(3，8) C ．[3，13] D ．(3，13) 解析：选C .当AB →与AC →不共线时，有BC →＝AC →－AB →(如图所示)， 由三角形三边的不等关系可知8－5<|BC →|<8＋5，即3<|BC →|<13， 当AB →与AC →共线反向时，|BC →|＝13； 当AB →与AC →共线同向时，|BC →|＝3，所以3≤|BC →|≤13.6．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________．解析：BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝(BA →－BC →)－(OA →－OD →)＋DA → ＝CA →－DA →＋DA →＝CA →.答案：CA →7．化简：(1)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝________．(2)(PQ →－MO →)＋(QO →－QM →)＝________．解析：(1)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝AD →＋MB →＋BC →＋CM →＝AD →＋(MB →＋BC →)＋CM →＝AD →＋MC →＋CM →＝AD →.(2)(PQ →－MO →)＋(QO →－QM →)＝PQ →＋QO →－(QM →＋MO →)＝PO →－QO →＝PO →＋OQ →＝PQ →.答案：(1)AD → (2)PQ →8．四边形ABCD 是边长为1的正方形，则|AB →－AD →|＝________．解析：|AB →－AD →|＝|DB →|＝12＋12＝ 2. 答案： 2 9.如图，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示以下向量： (1)AC →；(2)AD →；(3)DF →＋FE →＋ED →.解：(1)AC →＝OC →－OA →＝c －a . (2)AD →＝AO →＋OD →＝－OA →＋OD →＝－a ＋d .(3)DF →＋FE →＋ED →＝DO →＋OF →＋FO →＋OE →＋EO →＋OD →＝0.10．如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量，并分别求出其长度．(1)a ＋b ＋c ；(2)a －b ＋c .解：(1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，又AC →＝c ，所以延长AC 到E ，使|CE →|＝|AC →|.则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2. 所以|a ＋b ＋c |＝2 2.(2)作BF →＝AC →，连接CF . 则DB →＋BF →＝DF →， 而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →＝a －b ，所以a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2.所以|a －b ＋c |＝2. [B.力量提升]1．给出下列各式： ①AB →＋CA →＋BC →； ②AB →－CD →＋BD →－AC →； ③AD →－OD →＋OA →； ④NQ →－MP →＋QP →＋MN →.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1解析：选A .①AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0； ②AB →－CD →＋BD →－AC →＝AB →＋BD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0； ③AD →－OD →＋OA →＝AD →＋DO →＋OA →＝AO →＋OA →＝0；④NQ →－MP →＋QP →＋MN →＝NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0.2．平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的外形是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．矩形 D ．菱形解析：选B .由于OA →＋OC →＝OB →＋OD →，所以OA →－OB →＝OD →－OC →， 即BA →＝CD →，又A ，B ，C ，D 四点不共线，所以|BA →|＝|CD →|，且BA ∥CD ， 故四边形ABCD 为平行四边形．3．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|＝________解析：由于菱形ABCD 的边长为2，所以|AB →－CB →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AC →＋CD →|＝|AD →|＝2. 答案：24．如图，在正六边形ABCDEF 中，与OA →－OC →＋CD →相等的向量有________．①CF →；②AD →；③BE →；④DE →－FE →＋CD →；⑤CE →＋BC →；⑥CA →－CD →；⑦AB →＋AE →. 解析：由于四边形ACDF 是平行四边形，所以OA →－OC →＋CD →＝CA →＋CD →＝CF →， DE →－FE →＋CD →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →， CE →＋BC →＝BC →＋CE →＝BE →， CA →－CD →＝DA →，由于四边形ABDE 是平行四边形，所以AB →＋AE →＝AD →，综上知与OA →－OC →＋CD →相等的向量是①④. 答案：①④5．在五边形ABCDE 中，设AB →＝m ，BC →＝n ，CD →＝p ，DE →＝q ，EA →＝r ，求作向量m －p ＋n －q －r .解：由于m －p ＋n －q －r＝(m ＋n )－(p ＋q ＋r ) ＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DE →＋EA →) ＝AC →－CA →＝AC →＋AC →.延长AC 到M ，使|CM →|＝|AC →|，则CM →＝AC →，所以AC →＋AC →＝AC →＋CM →＝AM →.所以向量AM →为所求作的向量，如图所示．6．(选做题)如图，已知点O 是△ABC 的外心，H 为垂心，BD 为外接圆的直径．求证：(1)AH →＝DC →；(2)OH →＝OA →＋OB →＋OC →.证明：(1)由题意，可得AH ⊥BC ，DC ⊥BC ， 所以AH ∥DC .又DA ⊥AB ，CH ⊥AB ，所以DA ∥CH ， 所以四边形AHCD 为平行四边形．所以AH →＝DC →.(2)在△OAH 中，OH →＝OA →＋AH →，而AH →＝DC →，所以OH →＝OA →＋DC →.又在△ODC 中，DC →＝DO →＋OC →，而DO →＝OB →，所以DC →＝OB →＋OC →.所以OH →＝OA →＋OB →＋OC →.。
2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第二章章末优化总结 Word版含答案
章末优化总结, )平面对量的概念与性质理解向量、共线向量、相等向量、单位向量、向量的模、夹角等概念．突显向量“形”的特征是充分运用向量并结合数学对象的几何意义解题的重要前提．关于平面对量a ，b ，c 有下列三个命题： ①若b ⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a·b ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a|＝|b|＝|a －b|，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________．(写出全部真命题的序号)[解析] ①由于b ⊥c ，所以b ·c ＝0，所以(a ＋c )·b ＝a ·b ＋c ·b ＝a ·b ；②a ∥b ，且a ≠0⇒b ＝λa ⇒1－2＝k6⇒k ＝－3；③|a|＝|b|＝|a －b|⇒a ，b ，a －b 构成等边三角形，a 与a ＋b 的夹角应为30°. 所以真命题为①②. [答案] ①②平面对量的线性运算1．向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量的线性运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题．2．理解向量的有关概念[如平行向量(共线向量)、相等与相反向量、平面对量基本定理、单位向量等]及其相应运算的几何意义，并能机敏应用基向量、平行四边形法则、三角形法则等，是求解有关向量线性运算问题的基础．如图，在△ABC 中，AQ →＝QC →，AR →＝13AB →，BQ 与CR 相交于点I ，AI 的延长线与边BC 交于点P .(1)用AB →和AC →分别表示BQ →和CR →；(2)假如AI →＝AB →＋λBQ →＝AC →＋μCR →，求实数λ和μ的值； (3)确定点P 在边BC 上的位置．[解] (1)由AQ →＝12AC →，可得BQ →＝BA →＋AQ →＝－AB →＋12AC →，又AR →＝13AB →，所以CR →＝CA →＋AR →＝－AC →＋13AB →.(2)将BQ →＝－AB →＋12AC →，CR →＝－AC →＋13AB →，代入AI →＝AB →＋λBQ →＝AC →＋μCR →，则有AB →＋λ⎝⎛⎭⎫－AB →＋12AC →＝AC →＋μ⎝⎛⎭⎫－AC →＋13AB →， 即(1－λ)AB →＋12λAC →＝13μAB →＋(1－μ)AC →.所以⎩⎨⎧1－λ＝13μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎨⎧λ＝45μ＝35.(3)设BP →＝mBC →，AP →＝nAI →.由(2)，知AI →＝15AB →＋25AC →，所以BP →＝AP →－AB →＝nAI →－AB →＝n ⎝⎛⎭⎫15AB →＋25AC →－AB →＝2n 5AC →＋⎝⎛⎭⎫n 5－1AB →＝mBC →＝mAC →－mAB →，所以⎩⎨⎧－m ＝n 5－1，m ＝2n 5，解得⎩⎨⎧m ＝23，n ＝53.所以BP →＝23BC →，即BP PC＝2.即点P 是BC 上靠近点C 的三等分点．平面对量的数量积求平面对量的数量积的方法有两个：一个是依据数量积的定义，另一个是依据坐标．定义法是a·b ＝|a||b|·cos θ，其中θ为向量a ，b 的夹角；坐标法是a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.利用数量积可以求长度，也可推断直线与直线的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算转化为代数问题解决．(1)设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m ⊥b ，则|x ＋2y |＝________． (2)已知两个单位向量a ，b 的夹角θ为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b·c ＝0，则t ＝________．[解析] (1)由于单位向量m ＝(x ，y )，则x 2＋y 2＝1.① 若m ⊥b ，则m·b ＝0，即2x －y ＝0.②由①②解得x 2＝15，所以|x |＝55，|x ＋2y |＝5|x |＝ 5.(2)法一：由于b·c ＝0， 所以b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0， 即t a·b ＋(1－t )b 2＝0. 又由于|a |＝|b |＝1，θ＝60°，所以12t ＋1－t ＝0，所以t ＝2.法二：由t ＋(1－t )＝1知向量a ，b ，c 的终点A 、B 、C 共线，在平面直角坐标系中设a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，则c ＝⎝⎛⎭⎫32，－32.把a 、b 、c 的坐标代入c ＝t a ＋(1－t )b ，得t ＝2.[答案] (1)5 (2)2平面对量的应用平面对量的应用主要体现在两个方面，一是在平面几何中的应用，向量的加法运算和平行，数乘向量和相像，距离、夹角和数量积之间有着亲密联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．二是在物理中的应用，主要是解决力、位移、速度等问题．如图所示，G 为△AOB 的中线OM 的中点，过点G 作直线分别交OA ，OB 于点P ，Q ，设OPOA＝m ，OQ OB ＝n ，试推断1m ＋1n是否为定值．[解] 设OA →＝a ，OB →＝b ， 则OG →＝12OM →＝14(OA →＋OB →)＝14a ＋14b . 所以PG →＝OG →－OP →＝14a ＋14b －m a＝⎝⎛⎭⎫14－m a ＋14b . PQ →＝OQ →－OP →＝nOB →－mOA →＝n b －m a .由于PG →与PQ →共线，所以PG →＝λPQ →(λ∈R )， 即⎝⎛⎭⎫14－m a ＋14b ＝λ(n b －m a )． 所以⎩⎨⎧14－m ＝－λm ，14＝λn .消去λ得14－m ＝－m 4n ⇒14m －1＝－14n .所以1m ＋1n＝4为定值．质量m ＝2.0 kg 的木块在平行于斜面对上的拉力F ＝10 N 的作用下，沿斜面角θ＝30°的光滑斜面对上滑行|s |＝2.0 m 的距离，如图所示(g 取9.8m/s 2)．(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；(2)在这一过程中，物体所受各力对物体做的功的代数和是多少；(3)求物体所受合外力对物体所做的功，并指出它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系．[解] (1)木块受三个力的作用，重力G ，拉力F 和支持力F N ，如题图所示，拉力F 与位移s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为W F ＝F ·s ＝|F||s |cos 0°＝20(J)．支持力对木块所做的功为W F N ＝F N ·s ＝0. 重力G 对物体所做的功为W G ＝G ·s ＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J)． (2)物体所受各力对物体做功的代数和为 W ＝W F ＋W F N ＋W G ＝0.4(J)．(3)物体所受合外力的大小为|F 合|＝|F |－|G |sin 30°＝0.2(N)． 所以，物体所受合外力对物体所做的功为W ＝F 合·s ＝0.4(J)．所以，物体所受合外力对物体所做的功，与物体所受各力对物体做功的代数和相等．1．O 为平面上的一个定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三点，若(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 是( )A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形解析：选B.由题意知(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝CB →·(AB →＋AC →)＝0，如图所示，其中AB →＋AC →＝2AD →(点D 为线段BC 的中点)，所以AD ⊥BC ，即AD 是BC 的中垂线，所以AB ＝AC ，即△ABC 为等腰三角形．故选B.2．已知e 为单位向量，|a |＝4，a 与e 的夹角为23π，则a 在e 方向上的投影为________．解析：依据定义知a 在e 方向上的投影为|a |cos 2π3＝－2.答案：－23．已知向量a ＝(6，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________． 解析：设B (x ，y )为l 上任意一点，则AB →＝(x －3，y ＋1)，又a ＋2b ＝(6，2)＋2⎝⎛⎭⎫－4，12＝(－2，3)，由题意得AB →·(a ＋2b )＝0，所以(x －3，y ＋1)·(－2，3)＝－2(x －3)＋3(y ＋1)＝0，即2x －3y －9＝0.答案：2x －3y －9＝04．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|2a －b |＝ 5. (1)求|2a －3b |的值；(2)求3a －b 与a －2b 的夹角．解：(1)由于|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2 ＝4－4a ·b ＋1＝5， 所以a ·b ＝0.由于|2a －3b |2＝4a 2＋9b 2＝4＋9＝13， 所以|2a －3b |＝13.(2)设3a －b 与a －2b 的夹角为θ，则cos θ＝（3a －b ）·（a －2b ）|3a －b |·|a －2b |＝3a 2＋2b 210·5＝552＝22，又由于θ∈[0，π]，所以θ＝π4为所求．5．如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 分别是AD 、DC 的中点，BC 上一点F 使BF ＝13BC .(1)以a 、b 为基底表示向量AM →与HF →；(2)若|a|＝3，|b|＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM →·HF →.解：(1)由已知得AM →＝AD →＋DM →＝12a ＋b .HF →＝HD →＋DC →＋CF →＝12b ＋a ＋(－23b )＝a －16b .(2)由已知得a·b ＝|a||b|cos 120°＝3×4×(－12)＝－6，从而AM →·HF →＝(12a ＋b )·(a －16b )＝12|a |2＋1112a·b －16|b |2＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113., [同学用书单独成册])(时间：100分钟，分数：120分)一、选择题(本大题共有10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( ) A ．共线向量的方向相同 B ．零向量是0C ．长度相等的向量叫做相等向量D ．共线向量是在一条直线上的向量解析：选B.对A ，共线向量的方向相同或相反，错误；对B ，零向量是0，正确；对C ，方向相同且长度相等的向量叫做相等向量，错误；对D ，共线向量所在直线可能平行，也可能重合，错误．故选B.2．已知A 、B 、D 三点共线，存在点C ，满足CD →＝43CA →＋λCB →，则λ＝( )A.23 B ．13C ．－13D ．－23解析：选C.由于A ，B ，D 三点共线，所以存在实数t ，使AD →＝tAB →，则CD →－CA →＝t (CB →－CA →)，即CD →＝CA→＋t (CB →－CA →)＝(1－t )CA →＋tCB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－t ＝43，t ＝λ，即λ＝－13.3．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14 B ．12 C ．1 D ．2解析：选B.a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝12.4．已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，则点O ，N 依次是△ABC 的( )A ．重心，外心B ．重心，内心C ．外心，重心D ．外心，内心解析：选C.由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|知，O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，得AN →＝NB →＋NC →，取BC边的中点D ，则AN →＝NB →＋NC →＝2ND →，知A 、N 、D 三点共线，且AN ＝2ND ，故点N 是△ABC 的重心．5．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角等于( )A ．θ－π2B ．π2＋θC.3π2－θ D ．θ解析：选C.设a 与b 的夹角为α，a ·b ＝cos θ·0＋sin θ·(－1)＝－sin θ，|a |＝1，|b |＝1，所以cos α＝a ·b|a ||b |＝－sin θ＝cos(3π2－θ)，由于θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α∈[0，π]， y ＝cos x 在[0，π]上是递减的，所以α＝3π2－θ，故选C.6．已知等边三角形ABC 的边长为1，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b －b ·c －c·a 等于( )A ．－32B ．32C ．－12D ．12解析：选D.由平面对量的数量积的定义知，a·b －b·c －c·a ＝|a||b|cos(π－C )－|b||c|cos(π－A )－|c||a|cos(π－B )＝cos(π－C )－cos(π－A )－cos(π－B )＝－cos C ＋cos A ＋cos B ＝cos 60°＝12.故选D.7．已知平面对量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( ) A.π2 B ．π3 C.π6 D ．π解析：选B.由于|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3， 所以4＋4a·b ＋3＝7，a·b ＝0，所以a ⊥b .如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA ，由于tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝3，所以∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3.8．在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.53 B ．54 C.109 D ．158解析：选A.依题意，不妨设BE →＝12EC →，BF →＝2FC →，则有AE →－AB →＝12(AC →－AE →)，即AE →＝23AB →＋13AC →；AF →－AB →＝2(AC →－AF →)，即AF →＝13AB →＋23AC →.所以AE →·AF →＝(23AB →＋13AC →)·(13AB →＋23AC →)＝19(2AB →＋AC →)·(AB →＋2AC →) ＝19(2AB →2＋2AC →2＋5AB →·AC →) ＝19(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝53，故选A. 9．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝|a |＝1，则向量a 与c 的夹角为( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°解析：选D.由于a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b )，所以|c |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝2＋2cos 60°＝3，所以|c |＝ 3.又c·a ＝－(a ＋b )·a ＝－a 2－a·b ＝－1－cos 60°＝－32，设向量c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a·c|a ||c |＝－323×1＝－32，由于0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.10．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝7，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOA →＋yOB →，其中0≤x ≤1，0≤y ≤1，则动点P 的轨迹所掩盖的面积为( )A.103 6 B ．53 6 C.103 D ．203解析：选A.如图，由于OP →＝xOA →＋yOB →，其中0≤x ≤1，0≤y ≤1，所以动点P 的轨迹所掩盖的区域是以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAMB ，则动点P 的轨迹所掩盖的面积S ＝AB ×r ，r 为△ABC 的内切圆的半径．在△ABC 中，由向量的减法法则得BC →＝AC →－AB →，所以BC →2＝(AC →－AB →)2，即|BC →|2＝|AC →|2＋|AB →|2－2|AC →||AB →|cos A ，由已知得72＝62＋|AB →|2－12·|AB →|×15，所以5|AB →|2－12|AB →|－65＝0，所以|AB →|＝5.所以S △ABC ＝12×6×5×sin A ＝66，又O 为△ABC 的内心，故O 到△ABC 各边的距离均为r ，此时△ABC 的面积可以分割为三个小三角形的面积的和，所以S △ABC ＝12(6＋5＋7)×r ，即12(6＋5＋7)×r ＝66， 所以r ＝263，故所求的面积S ＝AB ×r ＝5×236＝1036.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为________． 解析：m a ＋4b ＝(2m －4，3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)，由于m a ＋4b 与a －2b 共线， 所以－1(2m －4)＝4(3m ＋8)，解得m ＝－2. 答案：－212．如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________(用向量a 和b 表示)．解析：由于AO →＝μAC →＝μ(AD →＋DC →)＝μ⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝μa ＋μ2b . 由于μ＋μ2＝1，解得μ＝23.所以AO →＝23a ＋13b .答案：23a ＋13b13．已知两点A (－1，0)，B (－1，3)，O 为坐标原点，点C 在第一象限，且∠AOC ＝120°.设 OC →＝－3OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ＝________．解析：由题意，得OC →＝－3(－1，0)＋λ(－1，3)＝(3－λ，3λ)，由于∠AOC ＝120°，所以OA →·OC →|OA →||OC →|＝－12，即λ－3（3－λ）2＋3λ2＝－12，解得λ＝32.答案：3214．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．解析：由于AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝(AB →＋13AD →)·(AD →＋1λAB →)＝1λAB →2＋1＋3λ3λAD →·AB →＋13AD →2＝4λ＋1＋3λ3λ×2×2×cos 120°＋43＝10－2λ3λ＝1.解得λ＝2.答案：215．若将向量a ＝(1，2)绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b ，则b 的坐标是________．解析：如图，设b ＝(x ，y )， 则|b |＝|a |＝5，a·b ＝|a||b |·cos π4＝5×5×22＝522，又x 2＋y 2＝5，a·b ＝x ＋2y ，得x ＋2y ＝522，解得x ＝－22，y ＝322(舍去x ＝322，y ＝22)．故b ＝⎝⎛⎭⎫－22，322.答案：⎝⎛⎭⎫－22，322三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)由a ＝(1，2)，得|a |＝12＋22＝5，又|c |＝25，所以|c |＝2|a |. 又由于c ∥a ，所以c ＝±2a ，所以c ＝(2，4)或c ＝(－2，－4)．(2)由于a ＋2b 与2a －b 垂直，所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0， 即2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0，将|a |＝5，|b |＝52代入，得a·b ＝－52. 所以cos θ＝a·b|a|·|b |＝－1，又由θ∈[0，π]，得θ＝π，即a 与b 的夹角为π.17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，4)，B (－2，3)，C (2，－1)．(1)求AB →，AC →及|AB →＋AC →|；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)⊥OC →，求t 的值．解： (1)由于A (1，4)，B (－2，3)，C (2，－1)．所以AB →＝(－3，－1)，AC →＝(1，－5)，AB →＋AC →＝(－2，－6)， |AB →＋AC →|＝（－2）2＋（－6）2＝210.(2)由于(AB →－tOC →)⊥OC →，所以(AB →－tOC →)·OC →＝0， 即AB →·OC →－tOC →2＝0，由于AB →·OC →＝－3×2＋(－1)×(－1)＝－5， OC →2＝22＋(－1)2＝5，所以－5－5t ＝0，所以t ＝－1.18．(本小题满分10分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1. 求证：△P 1P 2P 3是正三角形．证明：由于OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，所以OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→，所以(OP 1→＋OP 2→)2＝(－OP 3→)2，所以|OP 1→|2＋|OP 2→|2＋2OP 1→·OP 2→＝|OP 3→|2，所以OP 1→·OP 2→＝－12，又cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→|OP 1→|·|OP 2→|＝－12，所以∠P 1OP 2＝120°.所以|P 1P 2→|＝|OP 2→－OP 1→|＝（OP 2→－OP 1→）2＝OP 1→2＋OP 2→2－2OP 1→·OP 2→＝ 3.同理可得|P 2P 3→|＝|P 3P 1→|＝ 3. 故△P 1P 2P 3是等边三角形．19．(本小题满分12分)已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P .求证： (1)BE ⊥CF ； (2)AP ＝AB .证明：如图建立直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设AB ＝2，则A (0，0)，B (2，0)，C (2，2)，E (1，2)，F (0，1)． (1)BE →＝OE →－OB →＝(1，2)－(2，0)＝(－1，2)， CF →＝OF →－OC →＝(0，1)－(2，2)＝(－2，－1)，由于BE →·CF →＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，所以BE →⊥CF →，即BE ⊥CF .(2)设P (x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)，由于FP →∥CF →，所以－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2.同理，由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，代入x ＝2y －2.解得x ＝65，所以y ＝85，即P ⎝⎛⎭⎫65，85. 所以AP →2＝⎝⎛⎭⎫652＋⎝⎛⎭⎫852＝4＝AB →2，所以|AP →|＝|AB →|，即AP ＝AB .若OA →＝a ，OB →20．(本小题满分13分)(1)如图，设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，＝b ，试用a ，b 表示OP →，OQ →，并推断OP →＋OQ →与OA →＋OB →的关系．(2)受(1)的启示，假如点A 1，A 2，A 3，…，A n －1是AB 的n (n ≥3)等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．解：(1)OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋13OB →＝23a ＋13b .同理OQ →＝13a ＋23b .OP →＋OQ →＝a ＋b ＝OA →＋OB →.(2)结论：OA 1→＋OA n －1→＝OA 2→＋OA n －2→＝…＝OA →＋OB →.证明如下：由(1)可推出OA 1→＝OA →＋AA 1→＝OA →＋1n AB →＝OA →＋1n (OB →－OA →)＝n －1n OA →＋1n OB →，所以OA 1→＝n －1n a ＋1n b ，同理OA n －1→＝1n a ＋n －1nb ，所以OA 1→＋OA n －1→＝a ＋b ＝OA →＋OB →. 又OA 2＝n －2n a ＋2nb ，OA n －2→＝2n a ＋n －2n b ，所以OA 2→＋OA n －2→＝a ＋b ＝OA →＋OB →，…，因此有OA 1→＋OA n －1→＝OA 2→＋OA n －2→＝…＝OA →＋OB →.。
高中同步创新课堂数学优化方案北师大必修4课件：第二章§2.2.1
第二章平面向量§2从位移的合成到向量的加法2・1向量的加法教材助逮.1.问题导航预习案▼自主学习研读・思考•尝试(1)任意两个向量都可以应用向量加法的三角形法则吗?(2)向量加法的三角形法则与平行四边形法则的使用条件有何不同？2.例题导读教材P77例1,例2, P78例3.通过此三例的学习，熟悉向量加法运算，学会利用向量加法解决实际生活问题. 窗=曬教材P81习题2-2 B组Tl, T2, T3你会吗?新知提炼: 1.向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫作向量的加法结论向量衣叫作〃与〃的和，记作a+b9法则角形法则图形即“+〃=曲+就= 人'C定义求两个向量和的运算，叫作向量的加法前提行四边形法则作法结论图形已知不共线的两个向量b,在平面内任取一点O以同一点O为起点的两个已知向量方为邻对角线况就是。
与方的和规定零向量与任一向量a的和都有a+O=O+a=a・2•向量加法的运算律自我尝试1.判断正误.(正确的打y“X”交换律a+b=结合律(a+b)+c= a + (b+c)⑴任意两个向量的和仍然是一个向量.⑵血+勿Wkd + I勿等号成立的条件是a//b.(X )(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.(X )解析：⑴正确.根据向量和的定义知该说法正确.(2)错误.条件应为a〃方，且“，b的方向相同.(3)错误.当两个向量共线时，两向量的和向量与这两个向量中的任意一个都共线.2.在AABC中，必有初+动+就等于(B )A. 0B. 0 3・化简下列各向量:C.任一向量D.与三角形形状有关(1)恥+就= 衣•⑵用+皿+葩=兩.解析：根据向量加法的三角形法则及运算律得：(1)曲+就=壮(2)啓+曲+2&=啓+葩+皿=肋+曲=戚4.在正方形ABCD中，励1 = 1,则曲+劝1=/2(4)图示：如图所示2.对向量加法的平行四边形法则的四点说明(1)适用范围：任意两个非零向量，且不共线・(2)注意事项：①两个非零向量一定要有相同的起点；②平行四边形中的一条对角线所对应的向量为和向量•(3)方法与步骤：第一步：先把两个已知向量°与方的起点平移到同一点；第二步：以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则两邻边所夹的对角线所表示的向量即为“与〃的和.(4)图示：如图所示探究案▼讲练互动* __ ________ ______探究点一已知向量作和向量例1如图，已知向量a, b, c不共线，求作向量”+〃+c・［解］法一：如图⑴，在平面内作O\=a, A^=b9 再作梵=c,则dt=a+b+c.解惑•探究•突破（链接教材P81习题2—2 A组T3）则O^=a+b；(1) (2)法二：如图(2),在平面内作芮=a, O^=b f以OA与OB为邻边作平行四边形OADB,则Ob=a-^-b；再作Ot=c f以OD 与OC为邻边作平行四边形ODEC,则处=。
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4课件：第二章2.3.4
所以点 C0，54.同理点 D2，32. (3 分) 设点 M 的坐标为(x，y)，
由向量共线定理求 出 C、D 两点坐标， 是解答本题的关键
则A→M＝(x，y－5)，而A→D＝2，－72.
第十七页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
因为 A，M，D 三点共线，所以A→M与A→D共线．
2．向量共线的坐标表示的应用 两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面． (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、 共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意 区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行的不同． (2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨 迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等 的条件等都可作为列方程的依据．
第十页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
探究点二 三点共线问题 (1)已知O→A＝(3，4)，O→B＝(7，12)，O→C＝(9，16)，求 证点 A，B，C 共线． (2)设向量O→A＝(k，12)，O→B＝(4，5)，O→C＝(10，k)，求当 k 为何值时，A，B，C 三点共线． [解] (1)证明：由题意知A→B＝O→B－O→A＝(4，8)， A→C＝O→C－O→A＝(6，12)，所以A→C＝32A→B， 即A→B与A→C共线． 又因为A→B与A→C有公共点 A，所以点 A，B，C 共线．
第八页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
由向 三十五分。
1.已知向量 a＝(1，2)，b＝(x，1)，c＝a＋b，d＝ a－b，若 c∥d，则实数 x＝________． 解析：因为向量 a＝(1，2)，b＝(x，1)， 所以 c＝a＋b＝(1＋x，3)， d＝a－b＝(1－x，1)． 因为 c∥d，所以 1＋x－3(1－x)＝0. 解得 x＝12. 答案：12
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4课件：第二章2.4.1
(4)cos θ＝|aa|·|bb|. (5)|a·b|____≤_______|a||b|. 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝____b_·_a_____(交换律)． (2)(λa)·b＝___λ_(a_·_b_)____＝___a_·_(λ_b_)____(结合律)． (3)(a＋b)·c＝___a_·c_＋__b_·c___(分配律)．
第二十三页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
(2)①因为(a－b)·(a＋b)＝12，
即 a2－b2＝12，
所以|b|2＝|a|2－12＝1－12＝12，
故|b|＝
2 2.
②因为 cos θ＝|aa|·|bb|＝ 22，
又 0°≤θ≤180°，故 θ＝45°.
第二十四页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
第五页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积仍然是向量．( ) (2)若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0.( ) (3)若 a，b 共线⇔a·b＝|a||b|.( ) (4)若 a·b＝b·c，则一定有 a＝c.( ) 答案：(1)× ：二十点 三十五分。
(2)几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度__|_a_| __与 b 在 a 的方向 上的投影_____|b_|c_o_s_θ___的乘积． 3．向量的数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量，θ 为 a 与 b 的夹角． (1)a⊥b⇔ ___a_·_b_＝__0___． (2)当 a 与 b 同向时，a·b＝_____|_a_||b_|___， 当 a 与 b 反向时，a·b＝__－__|a_|_|b_|____． (3)a·a＝_____|_a_|2____或|a|＝ a·a＝ a2.
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1．下列命题中正确的是( )
A ．单位向量都共线
B ．任意向量与0平行
C ．平行向量不一定是共线向量
D ．向量就是有向线段
答案：B
2．下列说法错误的是( )
A ．零向量是没有方向的
B ．零向量的长度为0
C ．零向量与数字0的大小都是0
D ．零向量的方向是任意的
解析：选A.从零向量的定义可知，零向量的长度为0，但方向不确定，尽管方向不确定，但并不等于没有方向，因此选项A 是错误的，选项B ，C ，D 均正确．故正确答案为A.
3．把平面上所有单位向量都归结到共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )
A ．一条线段
B ．一个圆面
C ．一个圆
D ．圆上一群孤立的点
解析：选 C.本题主要考查单位向量的定义．平面上的单位向量有无数个，当把这些向量起点集中到一起时，长度都为1，故终点组成圆．故正确答案为C.
4．下列叙述正确的是__________．(只填序号)
①单位向量相等；②零向量不存在方向；③四边形ABCD 是平行四边
形当且仅当AB
→＝DC →；④一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑤共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．
解析：本题考查共线向量、单位向量、零向量的概念．①不正确，单位向量的模均相等且为1，但方向并不确定；②不正确，零向量存在
方向，但方向不确定；⑤不正确，如A ，B ，C 三点共线，则AC
→与BC →共线，虽起点不同，但其终点却相同．故正确答案为③④. 答案：③④。