简谐运动的合成
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谐振动分析(三)两个同方向同频率简谐运动的合成
o
o
A1
A2
A
T
t
A A1 A2
x (A A )cos(t )
1
2
2 1 2k π
3
物理学
第五版
谐运动分析(三)
（2）相位差 (2k 1) π(k 0，1, )
2
1
x
x
A1
2 o
o
Tt
A
A2
A A1 A2
x (A2 A1)cos(t )
2
1
(2k
1)π
4
物理学
第五版
小结
（1）相位差
2
1
2k
π
A A1 A2
谐运动分析(三)
(k 0，1， ) 加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1， )
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
5
物理学
第五版
谐运动分析(三)
二 两个相互垂直的同频率的简谐
运动的合成 x A1 cos(t 1)
x 阻尼振动位移时间曲线
A
Ae t
Aet cost
O
T A
t
( 0)
21
物理学
第五版
三种阻尼的比较
谐运动分析(三)
(a)欠阻尼
2 0
2
(b)过阻尼
2 0
2
(c)临界阻尼
2 0
2
x
b
oc
t
a
22
物理学
第五版
谐运动分析(三)
例 有一单摆在空气（室温为 20C）中来 回摆动. 摆线长l 1.0 m，摆锤是半径r 5.0103 m 的铅球.求（1）摆动周期；（2）振幅减小 10％所需的时间；（3）能量减小10％所需 的时间；（4）从以上所得结果说明空气的 粘性对单摆周期、振幅和能量的影响.
简谐运动的合成
所以，拍频是振动 cos(
2
1 2 (
拍频（振幅变化的频率）
2 1
2 t)
的频率的两倍。
2 1
2
) 2 1
8.2
四
简谐运动的合成
第八章 机械振动
两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 x A1 cos( t 1 )
y A 2 cos( t 2 )
( k 0 ， 1 ， 2, )
1）相位差 2 1 2 k π
x
o A
A2
x
o
T
1
t
x ( A1 A 2 ) cos( t )
A
A A1 A 2
2 1 2k π
8.2
简谐运动的合成
A
2 1 2 2
x n A n cos( t n )
A
1 A1
x x1 x 2 x n
x A cos( t )
2
A2
A3 3
o
x
多个同方
简谐运动的合成
第八章 机械振动
x 1 A 0 cos t x 2 A 0 cos( t )
2
T π
T
1
2 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
8.2
简谐运动的合成
第八章 机械振动
由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是 简谐振动。
当 与 都很大，且相差甚微时，可将 1 2 2 视为振幅部分，合成振动是以 为角频率的 ( 2 1 ) / 2 近似谐振动。 2 1 1 2
2
1 2 (
拍频（振幅变化的频率）
2 1
2 t)
的频率的两倍。
2 1
2
) 2 1
8.2
四
简谐运动的合成
第八章 机械振动
两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 x A1 cos( t 1 )
y A 2 cos( t 2 )
( k 0 ， 1 ， 2, )
1）相位差 2 1 2 k π
x
o A
A2
x
o
T
1
t
x ( A1 A 2 ) cos( t )
A
A A1 A 2
2 1 2k π
8.2
简谐运动的合成
A
2 1 2 2
x n A n cos( t n )
A
1 A1
x x1 x 2 x n
x A cos( t )
2
A2
A3 3
o
x
多个同方
简谐运动的合成
第八章 机械振动
x 1 A 0 cos t x 2 A 0 cos( t )
2
T π
T
1
2 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
8.2
简谐运动的合成
第八章 机械振动
由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是 简谐振动。
当 与 都很大，且相差甚微时，可将 1 2 2 视为振幅部分，合成振动是以 为角频率的 ( 2 1 ) / 2 近似谐振动。 2 1 1 2
简谐运动的合成
x = ( 2 A1 cos 2 π
ν 2 −ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分 振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 −ν 1
2
振 动
Amax = 2A1
t
Amin = 0
15
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
y
ϕ （1） 2 −ϕ1 = 0或 2 π ） A2 y= x A1
A2
A1
o
x
ϕ （2） 2 − ϕ1 = π ） A2 y=− x A1
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
7
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 论 A12 A2 A1 A2
A
ϕ1
ϕ
A 1
O
x2
x1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍 两个同方向同频率简谐运动合成后仍 合成 频率的简谐 简谐运动 为同频率的简谐运动
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
（1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0，1，2,⋯ ） ± ± )
x
ϕ
A2
x
o
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程） 质点运动轨迹 （椭圆方程）
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
ν 2 −ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分 振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 −ν 1
2
振 动
Amax = 2A1
t
Amin = 0
15
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
y
ϕ （1） 2 −ϕ1 = 0或 2 π ） A2 y= x A1
A2
A1
o
x
ϕ （2） 2 − ϕ1 = π ） A2 y=− x A1
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
7
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 论 A12 A2 A1 A2
A
ϕ1
ϕ
A 1
O
x2
x1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍 两个同方向同频率简谐运动合成后仍 合成 频率的简谐 简谐运动 为同频率的简谐运动
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
（1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0，1，2,⋯ ） ± ± )
x
ϕ
A2
x
o
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程） 质点运动轨迹 （椭圆方程）
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
Ch6-2 简谐运动的合成
A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 tan ϕ = A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
两个同方向同 两个同方向同频 率简谐运动合成 率简谐运动合成 后仍为简谐 简谐运动 后仍为简谐运动
大学物理电子教案
A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) ± ± 1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0 ， 1， 2,L)
大学物理电子教案
x1 = A1 cos ω1t = A1 cos 2π ν 1t x2 = A2 cos ω 2t = A2 cos 2π ν 2t
讨论
x = x1 + x2
A1 = A2 , ν 2 − ν 1 << ν 1 + ν 2 的情况
方法一
x = x1 + x 2 = A1 cos 2π ν 1t + A2 cos 2π ν 2 t
π y = A2 cos(ωt + ) 2
A2 y
x = A1 cos ωt
o
A1
x
大学物理电子教案
用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图
大学物理电子教案
两 相 互 垂 直 同 频 率 不 同 相 位 差
简 谐 运 动 的 合 成 图
大学物理电子教案
五
两相互垂直不同频率的简谐运动的合成 李 萨 如 图
讨论
2 1 2 2
x
o ϕ A
x
o
T
A = A1 + A2 x = ( A1 + A2 ) cos( ω t + ϕ ) ϕ = ϕ 2 = ϕ1 + 2 k π
第三节 简谐运动的合成
2 1 2k k 0,1,2,
A1
A A1 A2 合振动加强
A2
若两分振动反相:
2 1 (2k 1) k 0,1,2,
A A1 A2
合振动减弱
若 A1=A2 , 则 A=0
A2
A1
课堂练习：
两个同方向同频率的谐振动，振动方程分别为
x1
6102 cos(5t )m，
2
x2
2102 sin(
t
)
A
ω2t
O
ω2
2
ω1
ω1t
A
(ω 2
A1
ω1)
t
2
2
A
A2 1
A2 2
2A1A2cos(2
1)t
x2 x
x1x1
x2
x
当 (ω2 ω1) t时,2kπ
A 有最大值 A A1 A2
当 (ω2 ω1) t (时2k，1) π
A有最小值 A A1 A2
合振动振幅的频率为: (ω2 ω1) 2π
(2) 0, ,2 (或 )时,退化为直线;
(3) , 3 (或 ) 时,为正椭圆,若A1=A2,则退化
为圆.2 2
2
(4)椭圆轨迹内切于边长为2A1和2A2的矩形; (5)0 时,椭圆顺时针方向转;
0(或 2 ) 椭圆逆时针方向转.
四、相互垂直但频率不同的简谐振动的合成
5t)m
则其合振动的振幅为谐振动,振幅为：
（1）0 ；
（2）4cm；
（3）4 5cm ；
2
（4）8 cm。
二、同方向不同频率谐振动的合成
1. 分振动 : x1 A1 cosω1 t x2 A2 cosω2t
8-5简谐运动的合成
(1)相位差 2k π (k 0，1，)
A A1 A2
相互加强
(2)相位差 (2k 1) π (k 0，1，)
A A1 A2
(3)一般情况
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
第八章 机械振5 动
8-5 简谐运动的合成
思考
例 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线. 若这 两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为
arctan11rad
第八章 机械振8 动
O A1
O
A2
A
T t
A A1 A2
2 1 2kπ
x ( A1 A2 ) cos(t )
第八章 机械振3 动
8-5 简谐运动的合成
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
(2)相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1, )
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
第八章 机械振2 动
8-5 简谐运动的合成
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) (1)相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
xx
8-5 简谐运动的合成
两个同方向同频率简 当 t 0时
谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
x x1 x2
A2
2 1
O x20
A1
x10
A x Acos(t )
两个同方向、同频率 简谐运动的合振动仍是简 谐运动，其频率与分振动
（A）3π / 2
相互垂直简谐运动合成
A1A 2
2
1
2 2 1
2 1 4
斜椭圆方程
x2 A2
1
y2 m A22
xy 2
AA 12
1 2
2 1 4
2
1
74
4
顺时针 逆时针
相互垂直的简谐运动的合成
2
1
3
4
x2 y2 A12 A22
2 xy 1 斜椭圆方程 A1A 2 2
2 1 3 4
顺时针
2
1
5434
逆时针
一般情况21====任意值任意值任意值任
意值,,都为椭圆方程都为椭圆方程都为椭 圆方程都为椭圆 方程..
相互垂直的简谐运动的合成
二、两个不同频率相互垂直简谐运动的合成 李萨如图形（Lissajou figure）
一般情况下, 合振动的轨迹是不稳定的. 当两个分振动 的频率成简单整数比时, 将形成稳定闭合曲线.
相互垂直的简谐运动的合成
不同频率相互垂直的简谐运动的合成
x A1 cost1 1 y A2 cost2 2
任意时刻 t::由坐标由坐标(x，y)确定质点的
位 置.确定质点的位置确定质点的位置确
定质点Ax22的 1
Ay位222 置 )y，A2，1xA，yx(由2 c坐os标由2 坐1标消si去n 2
t得2 (1
推导从略)
——轨迹方程（椭圆方程）
相互垂直的简谐运动的合成
大学物理
振动学基础
第8讲 相互垂直的简谐运动的合成
相互垂直的简谐运动的合成
相互垂直的简谐运动的合成
激光李萨如图形演示 两个相互垂直简谐运动的合运动仍是简谐运动吗?
相互垂直的简谐运动的合成
5-4一维简谐运动的合成
A(t) = 2Acos
ω2 −ω1
2 ω2 −ω1 t +π = 2Acos 2
(t +T)
比较
11
5-4 一维简谐运动的合成
第五章 机械振动
A(t) = 2Acos
ω2 −ω1
2 比较 ω2 −ω t +π 1 = 2Acos 2 ω2 −ω1 ω2 −ω1 1 T =π 或 =π 2 2 ν
快速在振动。 质点则按ω1快速在振动。
10
5-4 一维简谐运动的合成
第五章 机械振动
ω2 −ω1 tcos(ω t +ϕ) x = 2Acos 1 2 ω −ω 振幅 A(t) = 2Acos t 2
2 1
2.合振幅变化频率 拍频”。 合振幅变化频率—“拍频” 合振幅变化频率 拍频 由于余弦函数绝对值的周期为π。
1
5-4 一维简谐运动的合成
第五章 机械振动
一 两个同方向同频率简谐运动的合成 质点同时参与两个振动。 质点同时参与两个振动。两 个振动频率相同， 个振动频率相同，振动方向在同一 直线上。 直线上。 质点的振动是这两个振动的合成。 质点的振动是这两个振动的合成。 设两个分振动方程分别为： 设两个分振动方程分别为：
第五章 机械振动
ω2 −ω1 tcos(ω t +ϕ) x = 2Acos 1 2 ω −ω 振幅 A(t) = 2Acos t 2
2 1
1.振幅是周期变化的， 振幅是周期变化的， 振幅是周期变化的
ω1 ≈ ω2,
ω1 −ω2
2
很小， 很小，振幅 A（t）随时间 t 缓慢地变 （） 现象， 化—“拍”现象，最大值为 2A。 “ 。
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x x1 x2
讨论
A1 A2
, 2 1
1
2
的情况
第九章 振 动
16
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
方法一
x x1 x2 A1 cos2 π1t A2 cos2 π2t
x (2A cos2 π 2 1 t)cos2 π 2 1 t
1
2
2
振幅部分
合振动频率
振动频率 (1 2 ) 2
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin 2
(2
1 )
（3）2
1
π
2
x2 A12
y2 A22
1
x
y
A1
A
cost
cos(t
π
)
2
2
y
A2
o A1 x
第九章 振 动
12
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
用旋转矢量描绘振动合成图
第九章 振 动
13
物理学
第五版
两相 互垂直同 频率不同 相位差简 谐运动的 合成图
振幅
A 2A cos2 π 2 1 t
1
2
Amax 2A1 Amin 0
第九章 振 动
17
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
x (2A cos2 π 2 1 t)cos2 π 2 1 t
1
2
2
2π2 1 T π
2
2
1
T 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
第九章 振 动
18
物理学
第五版
O A6
A0
A3
A2
A1
x
第九章 振 动
7
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
第九章 振 动
8
物理学
第五版
例 n个同方向同频率谐振 动，其振幅都为A，但初 相位依次差一恒定量 ， 求合振动。
9-5 简谐运动的合成
x1 A0 cost
x2 A0 cos(t )
x3
A0cos(t
2
)
x A cos[t (N 1)]
A
A2 1
A2 2
2A1 A2
cos(2
1
)
x x1 x2
A
x tan
A1
sin
1
A2
sin2
A1 cos1 A2 cos2
A2
2
1
A1
O x2 x1 x
两个同方向同频率简谐运动合成
后仍为同频率的简谐运动
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
（1）相位差
2
1
2k π
+ f=3f0
+ f=5f0
+
=
f=9f0
第九章 振 动
22
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
f=3f0
+ f=5f0
=
+ f=9f0
第九章 振 动
23
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
f0=440Hz
+ f=5f0
=
+ f=9f0
第九章 振 动
24
9-5 简谐运动的合成
讨 论
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin 2
y
(2
1 )
（1）2 1 0或 2π
y A2 x A1
（2）2
1
π
A y 2 x
A 1
A2 A1
ox
y
A2
o A1 x
第九章 振 动
11
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
讨 论
x2 A12
y2 A22
x A cost
1
0
x A cos(t )
2
0
x3
A0cos(t
2
)
A
o
A1 A2
A3
A4
A5
x
A Ai NA0
x A cos[t (N 1)]
N
0
(1) 2kπ
讨 (k 0,1,2, )
论 (2) N 2k ' π
(k ' kN, k ' 1,2, )
i
A4 A5
9-5 简谐运动的合成
第九章 振 动
14
物理学
第五版
四
的合成
9-5 简谐运动的合成
两个同方向不同频率简谐运动
第九章 振 动
15
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
频率较大而频率之差很小的两个同方 向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而 加强时而减弱的现象叫拍.
x1 A1 cos1t A1 cos2π1t x2 A2 cos2t A2 cos2π2t
(k
0，1， 2,
)
x
x
o
o
A1
A2
A
T
t
A A1 A2
x (A A )cos(t )
1
2
2 1 2k π
第九章 振 动
3
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
（2）相位差 (2k 1) π(k 0，1, )
2
1
x
x
A1
2 o
o
Tt
A
A2
A A1 A2
x (A2 A1)cos(t )
9-5 简谐运动的合成
方法二：旋转矢量合成法
(2 1)t (2 1)
2t 2
2 A2
1t 1 o
x2
A
1
A1
x1
2 1
x
x
1 2 0
2 π(2 1)t
第九章 振 动
19
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
振幅 A A 2(1 cos) 1
2A cos( 2 1 t)
1
2
拍频
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
设一质点同时参与
两独立的同方向、同频 率的简谐振动：
x1
A1
cos(t
1
)
x A cos(t )
2
2
2
A2
2 1
A1
O x2 x1 x
两振动的位相差 2 1 =常数
第九章 振 动
1
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
x A cos(t )
2
1
(2k
1)π
第九章 振 动Leabharlann 4物理学第五版
9-5 简谐运动的合成
小结
（1）相位差
2
1
2k
π
(k 0，1， )
A A1 A2
加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1， )
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
第九章 振 动
5
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
二 多个同方向同频率简谐运动的合成
x1
A1
cos(t
1
)
x2 A2 cos(t 2 )
xn
An
cos(t
n
)
x x1 x2 xn
x Acos(t )
A
A3
3
A2
2
o 1 A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为
简谐运动
第九章 振 动
6
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
2
1
振动圆频率
(2 1)t
2
A
A2
o
x
A1
1
x2 x1
x
1t 2t 2 1
cost
x 1
x 2
A
1
2
2
第九章 振 动
20
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
五 一般振动的分解和合成-----傅里叶分析
矩形 脉冲 的傅 里叶 分量
第九章 振 动
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第五版
9-5 简谐运动的合成
f0=440Hz
N
0
第九章 振 动
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物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
三 两个相互垂直的同频率的简谐运动的
合成
x A1 cos(t 1)
y A2 cos(t 2 )
质点运动轨迹 （椭圆方程）
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin2 (2
1 )
第九章 振 动
10
物理学
第五版