简谐运动的合成
合集下载
谐振动分析(三)两个同方向同频率简谐运动的合成
o
o
A1
A2
A
T
t
A A1 A2
x (A A )cos(t )
1
2
2 1 2k π
3
物理学
第五版
谐运动分析(三)
（2）相位差 (2k 1) π(k 0，1, )
2
1
x
x
A1
2 o
o
Tt
A
A2
A A1 A2
x (A2 A1)cos(t )
2
1
(2k
1)π
4
物理学
第五版
小结
（1）相位差
2
1
2k
π
A A1 A2
谐运动分析(三)
(k 0，1， ) 加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1， )
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
5
物理学
第五版
谐运动分析(三)
二 两个相互垂直的同频率的简谐
运动的合成 x A1 cos(t 1)
x 阻尼振动位移时间曲线
A
Ae t
Aet cost
O
T A
t
( 0)
21
物理学
第五版
三种阻尼的比较
谐运动分析(三)
(a)欠阻尼
2 0
2
(b)过阻尼
2 0
2
(c)临界阻尼
2 0
2
x
b
oc
t
a
22
物理学
第五版
谐运动分析(三)
例 有一单摆在空气（室温为 20C）中来 回摆动. 摆线长l 1.0 m，摆锤是半径r 5.0103 m 的铅球.求（1）摆动周期；（2）振幅减小 10％所需的时间；（3）能量减小10％所需 的时间；（4）从以上所得结果说明空气的 粘性对单摆周期、振幅和能量的影响.
简谐运动的合成
所以，拍频是振动 cos(
2
1 2 (
拍频（振幅变化的频率）
2 1
2 t)
的频率的两倍。
2 1
2
) 2 1
8.2
四
简谐运动的合成
第八章 机械振动
两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 x A1 cos( t 1 )
y A 2 cos( t 2 )
( k 0 ， 1 ， 2, )
1）相位差 2 1 2 k π
x
o A
A2
x
o
T
1
t
x ( A1 A 2 ) cos( t )
A
A A1 A 2
2 1 2k π
8.2
简谐运动的合成
A
2 1 2 2
x n A n cos( t n )
A
1 A1
x x1 x 2 x n
x A cos( t )
2
A2
A3 3
o
x
多个同方
简谐运动的合成
第八章 机械振动
x 1 A 0 cos t x 2 A 0 cos( t )
2
T π
T
1
2 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
8.2
简谐运动的合成
第八章 机械振动
由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是 简谐振动。
当 与 都很大，且相差甚微时，可将 1 2 2 视为振幅部分，合成振动是以 为角频率的 ( 2 1 ) / 2 近似谐振动。 2 1 1 2
2
1 2 (
拍频（振幅变化的频率）
2 1
2 t)
的频率的两倍。
2 1
2
) 2 1
8.2
四
简谐运动的合成
第八章 机械振动
两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 x A1 cos( t 1 )
y A 2 cos( t 2 )
( k 0 ， 1 ， 2, )
1）相位差 2 1 2 k π
x
o A
A2
x
o
T
1
t
x ( A1 A 2 ) cos( t )
A
A A1 A 2
2 1 2k π
8.2
简谐运动的合成
A
2 1 2 2
x n A n cos( t n )
A
1 A1
x x1 x 2 x n
x A cos( t )
2
A2
A3 3
o
x
多个同方
简谐运动的合成
第八章 机械振动
x 1 A 0 cos t x 2 A 0 cos( t )
2
T π
T
1
2 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
8.2
简谐运动的合成
第八章 机械振动
由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是 简谐振动。
当 与 都很大，且相差甚微时，可将 1 2 2 视为振幅部分，合成振动是以 为角频率的 ( 2 1 ) / 2 近似谐振动。 2 1 1 2
简谐运动的合成
x = ( 2 A1 cos 2 π
ν 2 −ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分 振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 −ν 1
2
振 动
Amax = 2A1
t
Amin = 0
15
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
y
ϕ （1） 2 −ϕ1 = 0或 2 π ） A2 y= x A1
A2
A1
o
x
ϕ （2） 2 − ϕ1 = π ） A2 y=− x A1
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
7
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 论 A12 A2 A1 A2
A
ϕ1
ϕ
A 1
O
x2
x1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍 两个同方向同频率简谐运动合成后仍 合成 频率的简谐 简谐运动 为同频率的简谐运动
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
（1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0，1，2,⋯ ） ± ± )
x
ϕ
A2
x
o
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程） 质点运动轨迹 （椭圆方程）
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
ν 2 −ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分 振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 −ν 1
2
振 动
Amax = 2A1
t
Amin = 0
15
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
y
ϕ （1） 2 −ϕ1 = 0或 2 π ） A2 y= x A1
A2
A1
o
x
ϕ （2） 2 − ϕ1 = π ） A2 y=− x A1
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
7
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 论 A12 A2 A1 A2
A
ϕ1
ϕ
A 1
O
x2
x1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍 两个同方向同频率简谐运动合成后仍 合成 频率的简谐 简谐运动 为同频率的简谐运动
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
（1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0，1，2,⋯ ） ± ± )
x
ϕ
A2
x
o
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程） 质点运动轨迹 （椭圆方程）
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
13-4简谐运动的合成
1. 相互垂直的同频率简谐运动的合成
x A1 cos( t 1 )
y
y A2 cos( t 2 )
x cos t cos 1 sin t sin 1 A1
y cos t cos 2 sin t sin 2 A2
x
x 2 y 2 2 xy 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2
第一项缓慢变化，第二项快速变化：“拍(beat)” 调制
x x1 x2 2 A cos(
2 1
2
t ) cos(
2 1
2
t )
载频
1
O
A1
调制频率 2
A2
A2比 A1每多转一周
合振动出现一次最强
2π 2T 1T 2π 拍的周期 T 2 1 2 1 2 1 拍的频率(简称拍频)
x x1 x2
x2
2 1
A1
x A cos( t )
x1
x
x
x A cos( t )
2 2 1 2 2
A1 , A2 , A 一起以 转动，
保持相对静止。
A2
A A A 2 A1 A2 cos 2 1
A A A 2 A1 A2 cos 2 1
2 1 2 2
A
A1
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
2
x2
1
的具体象限要根据 1 , 2 确定。
x1
x
x
结论：一个质点参与两个在同一直线上频率相同的 简谐运动,其合成运动仍为简谐运动.
Ch6-2 简谐运动的合成
A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 tan ϕ = A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
两个同方向同 两个同方向同频 率简谐运动合成 率简谐运动合成 后仍为简谐 简谐运动 后仍为简谐运动
大学物理电子教案
A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) ± ± 1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0 ， 1， 2,L)
大学物理电子教案
x1 = A1 cos ω1t = A1 cos 2π ν 1t x2 = A2 cos ω 2t = A2 cos 2π ν 2t
讨论
x = x1 + x2
A1 = A2 , ν 2 − ν 1 << ν 1 + ν 2 的情况
方法一
x = x1 + x 2 = A1 cos 2π ν 1t + A2 cos 2π ν 2 t
π y = A2 cos(ωt + ) 2
A2 y
x = A1 cos ωt
o
A1
x
大学物理电子教案
用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图
大学物理电子教案
两 相 互 垂 直 同 频 率 不 同 相 位 差
简 谐 运 动 的 合 成 图
大学物理电子教案
五
两相互垂直不同频率的简谐运动的合成 李 萨 如 图
讨论
2 1 2 2
x
o ϕ A
x
o
T
A = A1 + A2 x = ( A1 + A2 ) cos( ω t + ϕ ) ϕ = ϕ 2 = ϕ1 + 2 k π
第三节 简谐运动的合成
2 1 2k k 0,1,2,
A1
A A1 A2 合振动加强
A2
若两分振动反相:
2 1 (2k 1) k 0,1,2,
A A1 A2
合振动减弱
若 A1=A2 , 则 A=0
A2
A1
课堂练习：
两个同方向同频率的谐振动，振动方程分别为
x1
6102 cos(5t )m，
2
x2
2102 sin(
t
)
A
ω2t
O
ω2
2
ω1
ω1t
A
(ω 2
A1
ω1)
t
2
2
A
A2 1
A2 2
2A1A2cos(2
1)t
x2 x
x1x1
x2
x
当 (ω2 ω1) t时,2kπ
A 有最大值 A A1 A2
当 (ω2 ω1) t (时2k，1) π
A有最小值 A A1 A2
合振动振幅的频率为: (ω2 ω1) 2π
(2) 0, ,2 (或 )时,退化为直线;
(3) , 3 (或 ) 时,为正椭圆,若A1=A2,则退化
为圆.2 2
2
(4)椭圆轨迹内切于边长为2A1和2A2的矩形; (5)0 时,椭圆顺时针方向转;
0(或 2 ) 椭圆逆时针方向转.
四、相互垂直但频率不同的简谐振动的合成
5t)m
则其合振动的振幅为谐振动,振幅为：
（1）0 ；
（2）4cm；
（3）4 5cm ；
2
（4）8 cm。
二、同方向不同频率谐振动的合成
1. 分振动 : x1 A1 cosω1 t x2 A2 cosω2t
8-5简谐运动的合成
(1)相位差 2k π (k 0，1，)
A A1 A2
相互加强
(2)相位差 (2k 1) π (k 0，1，)
A A1 A2
(3)一般情况
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
第八章 机械振5 动
8-5 简谐运动的合成
思考
例 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线. 若这 两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为
arctan11rad
第八章 机械振8 动
O A1
O
A2
A
T t
A A1 A2
2 1 2kπ
x ( A1 A2 ) cos(t )
第八章 机械振3 动
8-5 简谐运动的合成
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
(2)相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1, )
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
第八章 机械振2 动
8-5 简谐运动的合成
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) (1)相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
xx
8-5 简谐运动的合成
两个同方向同频率简 当 t 0时
谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
x x1 x2
A2
2 1
O x20
A1
x10
A x Acos(t )
两个同方向、同频率 简谐运动的合振动仍是简 谐运动，其频率与分振动
（A）3π / 2
简谐运动的合成与分解
五、谐振分析和频谱 （自学）
在自然界和工程技术中，我们所遇到的振 动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处 理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列 不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复 杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动， 这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅 立叶积分的理论，因此这种方法称为傅立叶 分析。
如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频 地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然是周期运动， 其频 率等于倍频。按规律： x ( t ) A(cost cos 3t 3 1 1 cos5t cos 7t ) 5 7
如果增加合成的项数，就 可以得到方波形的振动：
既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周 期运动，那么，与之相反，任意周期性振动都可以分 解为一系列简谐振动，各个分振动的频率都是原振动 频率的整数倍，其中与原振动频率一致的分振动称为 基频振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基 频的倍数而相应的称为二次、三次、……谐频振动。 这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之 和的方法，称为谐振分析。
t0
t0 T
x( t ) cos ntdt
x ( t ) si ntdt
t0
2 2 an bn
n
an arctan bn
为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情 况（振幅、相位），常用图线把它表示出来。若用横坐 标表示各谐频振动 的频率，纵坐标表示相应的振幅， 就得到谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱。不同 的周期运动，具有不同的频谱，周期运动的各谐振成分 的频率都是基频的整数倍， 所以它的频谱是分立谱。
2
A
若1= 2 ,则 不变； 若1 2 ,则 变；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
振动和波 振动和波
t
振动和波
上一页 下一页 结束
Oscillation
第四章
振 动相位差 Fra bibliotek 2 1 振动和波
讨论： 振动和波 (1） 2 1 2k k 0、 1、 2、 ..... Amax振动和波 A1 A2 两分振动步调一致，合成后振动最强。
上一页 下一页 结束
振动和波
Oscillation
x x x A cos( t ) 振动和波 A A A 2 A A cos( ) 振动和波
1 2
2 2 1 2 1 2 2 1
第四章
振 动
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2 振动和波
2
4 2 1 2400 12 4 12 3 A1与A2夹角为 1200 且 A1 A2
振动和波 19 16
振动和波
A A1 A2 0.05m
3 4 12 振动和波
振动和波
又A1与A夹 角 为 3 23 或
Oscillation
第四章
振 动
振动和波 振动和波 振动和波 振动和波 振动和波
振动和波
上一页 下一页 结束
第四章 Oscillation §9-5 同方向的简谐振动的合成 振动和波
振 动
5.1 同方向同频率的两个简谐振动的合成
设一质点同时参与两个沿 x1 A1 cos( t 1 ) 同一直线的同频率的谐振动 振动和波 x2 A2 cos( t 2 ) 取该直线为x轴，平衡位置为原点 A A2 振动和波 从代数上（利用 A2 sin 2 A1 三角公式展开再 A1 si n 1 合并）和旋转矢 振动和波 o A1 cos 1 A2 cos 2 x 量法均可得合振 A cos 动 振动和波
A2
A
A1
2
A2 sin 2
振动和波
2
o
振动和波
上一页 下一页 结束
A1 cos 1 A cos
振动和波 A cos x
A1 si n 1
Oscillation
第四章
振 动
结论：同方向、同频率两简谐振动的合成， 振动和波 合运动仍是同频率的简谐振动。
振动和波 x x
o
x1
x振动和波 2
上一页 下一页 结束
振动和波
x
Oscillation
第四章
振 动
3. 应用： 1）制乐器，如双簧管 振动和波 2）校准乐器，如钢琴 3）测量超声频率 振动和波
4）用于汽车速度监视器 5）各种电子学测量仪器中
振动和波
振动和波 振动和波
振动和波
上一页 下一页 结束
第四章 Oscillation § 9-6 相互垂直的简谐振动的合成 振动和波 6.1 同频率
振动和波
2 质点沿逆时针方向运动 振动和波
说明：任何一个直线简谐振动，椭圆运动 或匀速圆周运动都可分解为两个相 振动和波 互垂直的简谐振动。
振动和波
上一页 下一页 结束
Oscillation
y Ay 振动和波
2” 1”
第四章
振 动
y
2 O
y 振动和波 t
Oy
1
x
振动和波
1 2 1 2
Oscillation 2. 拍 振动和波
第四章
振 动
1
2
1
2
合振幅 2 A cos(
振动和波
2 1
振动和波 2
t)
上一页
下一页
结束
Oscillation
第四章
2 1 2
振 动
振动和波 2 A cos t 2 A cos( 2 振动和波 2
2 A cos(
1’ 2’ 振动和波
t
振动和波 O
振动和波
x
x
Ax
x
上一页
下一页
结束
Oscillation 0 2 1 2 1 振动和波 2 1 4
第四章
2
振 动 3 2 1 4
振动和波
振动和波
5 4
振动和波
3 2
7 4
振动和波
拍
2 1
设合振幅变化周期为T拍
t ) 2
1
2 T
2
2
1
)(t
振动和波 拍频 1 / T
2 1
)
2
拍
拍
x1
x2
t 振动和波 ν = 16
1
2
1 2
1
Hz
振动和波
0.25s
0.50s 0.75s
t ν2=18Hz t Δ=2Hz
反映了两分振动的步调关系
x
x 振动和波 x1 x2
o
振动和波 t
x1
x2
振动和波
上一页
下一页
结束
Oscillation
2 1
第四章
振 动
(2) （2k 1 ） 振动和波 k 0、 1、 2、 .... A 振动和波 A A 两振动步调反向，合成后振动最弱。
1、（ 1） 2n
2 2 2 2
x y 2 xy 0 振动和波 A A AA
x y x y
振动和波
n 0.1.2.3...
上一页
下一页
结束
Oscillation
x y 2 ( ) 0 振动和波 Ax Ay
即y
Ay Ax
x
第四章 y
Ay
振 动
0
x
轨迹为过原点的直线 振动和波 时刻t质点离开平衡位置的位移（合振动） 2 2 振动和波 r x2 y2 Ax Ay cos( t )
合矢量A所代表的合振动不再是简谐振动。
特例: A1 A2 A 1 2
振动和波
x x1 x2 振动和波 A cos( 1t ) A cos( 2t )
2 A cos(
振动和波
2
2 1
2 1 t ) cos( )t 2
振 动
x Ax cos( t x ) 振动和波 y Ay cos( t y )
2
x y 2 xy 2 cos sin 消去 t 2 2 Ax Ay Ax Ay 合成轨迹一般为一椭圆,两振幅相等时为圆； 具体地来说：形状由相位差决定。
振动和波
2
振动和波
上一页 下一页 结束
拍现象：振幅出现时强时弱的现象。 与 较大， 但： 1 2 设 振动和波 2 1 2 1 x 2 A cos( t ) cos( )t 2振动和波 2 随t周期性缓慢变化，看作振幅 随t变化快 可视准 简谐振动 振动和波 振动的 圆频率 2
振动和波
习题课 振动和波 作业：
上一页 下一页 结束
2
o Ax
即合振动也是同频率的 谐振动。 A A A
2
（2） （2n 1）
y Ay x
n 0,1,2,
y
Ay
o
振动和波
x
y
振动和波
Ax 亦为简谐振动
振动和波
Ax
x
上一页
下一页
结束
Oscillation
第四章
振 动
振动和波 振动和波
x2 y2 2、 2 1 正椭圆或圆 2 2 Ax Ay 3、为其它值，合振动的轨迹表现为方位 与形状各不相同的椭圆，质点运动方向 亦各异。 0 质点沿顺时针方向运动
x 0.05 cos(t
12
12
12
)m
上一页 下一页 结束
第四章 振 Oscillation 5.2 同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍 振动和波
动
1. 合成
振动和波 x A cos( t ) 设:
1 1 1 1
x2 A2 cos( 2t 2 ) 振动和波 1 2 A1与A2无恒定相位差
振动和波
上一页 下一页 结束
第四章 振 动 Oscillation 6.2 不同频率的两个谐振动的合成 李萨如图形 振动和波 x A cosm t 振动和波 y A cosn t 0
当频率为整数比时： 其合轨迹为李萨如图。
振动和波 当频率为无理数比时：
其合成运动将永远不重复已走过的路径， 振动和波 它的轨迹将逐渐密布在振幅所限定的整个矩 形面内。这种非周期性运动称为准周期运动。
min 2 1
x
若 A A,
1 2
x2
x 振动和波
t
A0
静止状态
x x1 x2
o
x1
x
o
振动和波 t
x1
x2
振动和波 两个振动的相位差对合振动起着重要作用
上一页 下一页 结束
(3) 一般情况下， A2 A1 A A1 A2
振动和波
Oscillation
1
第四章
振 动
例1（5214）一质点同时参与了两个同方向的谐振动： 振动和波 19 m x 0.05 cost m, x 0.05 cost 12 4 振动和波 求合振动方程。 解: 设：x A cos(t )