5简谐运动的合成

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《大学物理》课程标准

《大学物理》课程标准

《普通物理》课程标准1. 课程基本信息课程代码:课程归口:电子信息工程技术专业适用专业:电子信息工程技术学时数:64学分:4先修课程:高等数学2. 课程性质与地位大学物理是高等院校非物理类理工科各专业学生一门重要的通识性必修基础课。

物理学是研究物质的基本结构、基本运动形式、相互作用的自然科学。

它的基本理论渗透在自然科学的各个领域,应用于生产技术的许多部门,是其他自然科学和工程技术的基础。

课程所教授的基本概念、基本理论和基本方法是构成学生科学素养的重要组成部分,是一个科学工作者和工程技术人员所必备的。

该课程在培养学生的探索精神和创新意识等方面,具有其他课程不能替代的重要作用。

3.课程的内容与要求第一部分力学.第1章质点运动学1.1质点运动的描述1.2加速度为恒矢量时的质点运动1.3圆周运动1.4相对运动基本要求:1.深入地理解质点、位移、速度和加速度等重要概念,深入理解质点的运动。

2.分析加速度为恒矢量时的质点运动方程。

3.明确圆周运动中角位移、角速度、切向加速度、法向加速度的关系。

重点与难点:1.加速度为恒矢量时质点运动方程的描写。

2.质点圆周运动的分析。

第2章动力学基本定律2.1牛顿定律2.2物理量的单位和量纲2.3几种常见的力2.4惯性参考系力学相对性原理2.5质点和质点系的动量定理2.6动量守恒定律2.7动能定理2.8保守力与非保守力势能2.9功能原理机械能守恒定律2.10完全弹性碰撞完全非弹性碰撞2.11能量守恒定律基本要求:1.清晰的理解牛顿第一定律、牛顿第二定律和牛顿第三定律。

2.熟练掌握几种常见力。

3.掌握物理量的单位和量纲。

4.理解惯性参考系和力学相对性原理,能列举出牛顿定律应用的例子。

5.掌握质点和质点系的动量定理。

6.熟练掌握动量守恒定律和动能定理。

7.掌握功能原理和机械能守恒定律。

8.清晰分辩出完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞重点与难点:1.牛顿三定律的应用。

2.参考系的选择。

大学物理 机械振动 框架图和解题方法

大学物理 机械振动 框架图和解题方法

第5章 机械振动一、基本要求1.掌握描述简谐运动各物理量的物理意义及相互关系,能根据给定的初始条件建立简谐运动方程;2.掌握旋转矢量法,并能用以求解初相、相位、相位差、时间差;理解简谐运动合成规律; 3.理解振幅、周期、频率、相位等描述机械波的重要物理量。

二、基本内容(一)本章重点和难点:重点:理解简谐运动特征并能根据给定的初始条件写出简谐运动方程。

难点:掌握旋转矢量法在解题中的应用。

(二)知识网络结构图:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+===⎪⎩⎪⎨⎧=+''+=-=李萨如图形垂直方向频率整数比椭圆运动垂直方向同频率拍同方向不同频率仍为简谐运动同方向同频率简谐运动的合成总能量弹性势能动能简谐运动的能量复摆单摆弹簧振子典型例子初相相位角频率频率周期振幅基本物理量谐运动微分方程谐运动方程回复力公式简谐运动的定义振动::::212121,,:,,,,,:0:)cos(::2222kA E E E kx E m v E x x t A x kx F p k p k ωϕω(三)容易混淆的概念: 1.初相和相位简谐振动运动方程 简谐振动能量 简谐振动合成速度方程 加速度方程 动能 势能 合振幅合相位初相ϕ反映简谐运动物体在初始时刻的运动状态;相位ϕω+t 反映简谐运动物体在任意时刻的运动状态。

2.角频率和频率角频率(圆频率)ω反映角位置随时间的变化,对于谐振子而言,由劲度系数和质量决定,又称固有频率;频率ν是单位时间内完成全振动的次数,是周期的倒数。

(四)主要内容:1.简谐运动的基本概念:(1) 运动方程:)cos(ϕω+=t A x ,A x m =(2) 速度方程:)sin(ϕωω+-=t A v ,A v m ω= (3) 加速度方程:)cos(2ϕωω+-=t A a ,A a m 2ω= (4) 周期:ωπ2=T(5) 频率:πων21==T (6) 时间差与相位差的关系:ωϕ∆=∆t2.旋转矢量法:在平面上画一矢量A ,初始位置与x 轴正方向的夹角等于初相位ϕ,其尾端固定在坐标原点上,其长度等于振动的振幅A ,并以圆频率ω为角速度绕原点作逆时针匀速转动,则矢量A在x 轴上的投影为:)cos(ϕω+=t A x 。

大学物理简谐振动

大学物理简谐振动
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
A2
A
A2 sin 2
2 -1
2
O
1 A1 x2
A1 sin 1
x2 x
x1x1
x2
x
A1 cos1 A2 cos2
合振动振幅:A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
1. 两个分振动的相位相同(同相)
5 (或 3 )
4
4
第六章
机械波
mechanical wave
6.1 机械波的产生、传播和描述 波动: 振动在空间中的传播过程.
机械波: 机械振动在弹性介质中的传播过程. 波动
电磁波: 交变电磁场在空间中的传播过程. 6.1.1 机械波的产生
当弹性介质中的一部分发生振动时,由于介质各个 部分之间的弹性力作用,振动就由近及远地传播出去. (1) 机械波实质上是介质中大量质点参与的集体振动;
20 0.47
(2) 30为何值时, x1+x3 的振幅为最大; 30为何值时, x2+x3的振幅为最小.
x1 0.05cos10t 3 4
x2 0.06cos10t 4
x3 0.07 cos10t 30
30
10
0 时,x1+x3 振幅最大:30
10
3
4
30 20 时,x2+x3 振幅最小:30 20
t 时刻点 P 的振动状态
P点在
t
时刻的位移
y P ,t
yO ,t x
u
A c os [ (t
x) u
0 ]
波函数 (波方程)
y( x, t )
A cos[ (t

简谐运动应用

简谐运动应用
一、简谐运动的能量
1.能量表达式
(1)推导
以弹性振子为例。假设在t时刻质点的位移为x,速度为v,则
则系统动能为:
系统势能为:
因而系统的总能量为
考虑到 ,则
(2)结论
弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比。
(3)解释
由于系统不受外力作用,并且内力为保守力,故在简谐运动的过程中,动能与势能相互转化,总能量保持不变。
因而弹簧振子在一个周期内的平均动能为
因而弹簧振子在一个周期内的平均势能为
结论:简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等,它们都等于总能量的一半。
三、应用
1.应用1——记忆振幅公式
由能量守恒关系可得:kA2/2=mv02/2+kx02/2
解之即得:
2.应用2——推导简谐运动相关方程
在忽略阻力的条件下,作简谐运动的系统只有动能和势能(弹性势能和重力势能),且二者之和保持不变,因而有
合振动
由于相位差 随时间变化,故合振动的振幅也随时间而变化,不是简谐运动。这里只讨论 , 的情形,即两个频率相差很小,此时
由于 随时间变化比 要缓慢得多,因此可以近似地将合振动看成是振幅按 缓慢变化得角频率为 的“准周期运动”。这种两个频率都较大但两者频差很小的同方向简谐运动合成时,所产生的合振幅时而加强时而减弱的现象称为拍频(beat)。
振子恰好从准周期运动变为非周期运动。与弱阻尼和过阻尼比较,在临界阻尼情况下振子回到平衡位置而静止下来所需时间最短。
此时,β可以理解为衰减常量(attenuation constant),它的倒数称为弛豫时间(relaxation time),τ=1/β,β越大,弛豫时间越短,则振动衰减越快。
4.应用
2.运动方程

简谐运动的合成和分解

简谐运动的合成和分解

2 A2 A12 A2 2 A1 A2 cos 2 1 2 2
A A 2 A1 A2 cos 2 1
2 1 2 2
A2
A1
A

A A A 2 A1 A2 cos y A1 sin 1 A2 sin 2 tan x A1 cos 1 A2 cos 2
π π 2 1 1 2 2 π π A2 cos 2 0 2 2
2
t
A2
2
2 1 π A A2 A1
A
x
2 π π (2) 由矢量图: 2 T 2π π x A2 A1 cos( t ) T 2
2
F0 k , 2 , f 0 m m m
驱动力
d x dx 2 2 0 x f 0 cos t 2 dt dt
方程的解:
2
x A0 e
t
2 2 cos 0 t 0 A cost
在阻尼较小时,其通解为对应齐次方程的通解加上一个特解,
2 1 t ) 随时间缓慢变化 振幅 2 A cos( 2
2 1 t ) 快速变化 谐振因子 cos( 2
第一项缓慢变化,第二项快速变化:“拍(beat)” 调制
拍现象的应用: 用音叉振动校准乐器 测定无线电频率 测定超声波 调制高频振荡的振幅和频率
3. 相互垂直的简谐运动的合成 x方向的谐振动 x A1 cos( t 1 )
A1
例12: 两个同方向、同频率的简谐运动,其合振动的 振幅为20cm,与第一个振动的相位差为 1 π 6 .若第 一个振动的振幅为 10 3 cm .则(1)第二个振动的振幅为多 少?(2) 两简谐运动的相位差为多少? 解: A2 A2 A12 2 AA1 cos π 6

9-5简谐运动的合成

9-5简谐运动的合成

ν 2 ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
ν 2 ν1
2
T =π
1 T= ν 2 ν1
拍频(振幅变化的频率) 拍频(振幅变化的频率)
ν =ν 2 ν1
第九章
振 动
21
9-5
简谐运动的合成
方法二: 方法二:旋转矢量合成法
(ω2 ω1 )t + (2 1 )
ω
ω1
ω 2t + 2
x = ( 2 A1 cos 2 π
ν 2 ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分 振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 ν 1
2
振 动
Amax = 2A1
t
Amin = 0
20
第九章
9-5
简谐运动的合成
x = ( 2 A1 cos 2 π
(1) = 2 k π ) 讨 ( k = 0 , ± 1, ± 2 , ) 论 (2) N = 2 k ' π )
( k ' ≠ kN , k ' = ± 1, ± 2 , )
第九章
A 4
A 5
A 3
O
A 2
A=0
A A 6 1
x
25
振 动
物理学
第五版
本章目录
选择进入下一节: 选择进入下一节:
y
A2
A1
o
x
14
9-5
简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 + 2 cos( 2 1 ) = sin 2 ( 2 1 ) 论 A12 A2 A1 A2

8-5简谐运动的合成

8-5简谐运动的合成

(1)相位差 2k π (k 0,1,)
A A1 A2
相互加强
(2)相位差 (2k 1) π (k 0,1,)
A A1 A2
(3)一般情况
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
第八章 机械振5 动
8-5 简谐运动的合成
思考
例 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线. 若这 两个简谐振动可叠加,则合成的余弦振动的初相为
arctan11rad
第八章 机械振8 动

O A1
O
A2
A
T t
A A1 A2
2 1 2kπ
x ( A1 A2 ) cos(t )
第八章 机械振3 动
8-5 简谐运动的合成
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
(2)相位差 2 1 (2k 1)π (k 0,1, )
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
第八章 机械振2 动
8-5 简谐运动的合成
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) (1)相位差 2 1 2kπ (k 0,1, 2,)
xx
8-5 简谐运动的合成
两个同方向同频率简 当 t 0时
谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
x x1 x2
A2
2 1
O x20

A1
x10
A x Acos(t )
两个同方向、同频率 简谐运动的合振动仍是简 谐运动,其频率与分振动
(A)3π / 2

5-5 相互垂直的简谐运动的合成

5-5 相互垂直的简谐运动的合成

5-5 相互垂直的简谐运动的合成
用旋转矢量描绘振动合成图
返回
第 5 章 机械振动
4
南通大学
Nantong University
5-5 相互垂直的简谐运动的合成
两相 互垂直同 频率不同 相位差简 谐运动的 合成图
返回
第 5 章 机械振动
5
南通大学
Nantong University
5-5 相互垂直的简谐运动的合成
A2
o
A1
x
(2) 2 1 π A2 y x A1
第 5 章 机械振动
y
A2
返回
o
A1
x
2
南通大学
Nantong University
5-5 相互垂直的简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 2 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) 论 A1 A2 A1 A2
(3) 2 1 π 2
m
y
A2
A1
x2 y2 2 1 2 A1 A2
o
x
x A1 cost π y A2 cos(t ) 2 (4) 2 1 3 π 2 或 π 2
返回
运动轨迹仍为椭圆,方向相反
3
第 5 章 机械振动
南通大学
Nantong University
2
2
第 5 章 机械振动
1
南通大学
Nantong University
5-5 相互垂直的简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 2 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) 论 A1 A2 A1 A2 y
(1) 2 1 0或 2 π A2 y x A1
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讨 论
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin 2
y
(2
1 )
(1)2 1 0或 2π
y A2 x A1
(2)2
1
π
A y 2 x
A 1
A2 A1
ox
y
A2
o A1 x
第8章 简谐运动与简谐波
9
物理学
第五版
8-5 简谐运动的合成
讨 论
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
A
A2
A A1 A2
x (A2 A1)cos(t )
2
1
(2k
1)π
第8章 简谐运动与简谐波
4
物理学
第五版
8-5 简谐运动的合成
小结
(1)相位差
2
1
2k
π
(k 0,1, )
A A1 A2
加强
(2)相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0,1, )
A A A
1
2
减弱
(3)一般情况
1
2
2
2π2 1 T π
2
2
1
T 1
2 1
拍频(振幅变化的频率)
第8章 简谐运动与简谐波
18
物理学
第五版
8-5 简谐运动的合成
方法二:旋转矢量合成法
(2 1)t (2 1)
2t 2
2 A2
1t 1 o
x2
A
1
A1
x1
2 1
x
x
1 2 0
2 π(2 1)t
第8章 简谐运动与简谐波
8-5 简谐运动的合成
第8章 简谐运动与简谐波
12
物理学
第五版
8-5 简谐运动的合成
*三 多个同方向同频率简谐运动的合成
x1
A1
cos(t
1
)
x2 A2 cos(t 2 )
xn
An
cos(t
n
)
x x1 x2 xn
x Acos(t )
A
A3
3
A2
2
o 1 A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为
x A cos(t )
A
A2 1
A2 2
2A1 A2
cos(2
1
)
x x1 x2
A
x tan
A1
sin
1
A2
sin2
A1 cos1 A2 cos2
A2
2
1
A1
O x2 x1 x
两个同方向同频率简谐运动合成
后仍为同频率的简谐运动
第8章 简谐运动与简谐波
2
物理学
第五版
8-5 简谐运动的合成
(1)相位差
2
1
2k π
(k
0,1, 2,
)
x
x
o
o
A1
A2
A
T
t
A A1 A2
x (A A )cos(t )
1
2
2 1 2k π
第8章 简谐运动与简谐波
3
物理学
第五版
8-5 简谐运动的合成
(2)相位差 (2k 1) π(k 0,1, )
2
1
x
x
A1
2 o
o
Tt
6
物理学
第五版
8-5 简谐运动的合成

x1
5 10 2
cos(4t
1 3
π)
x2
3 10 2
sin(4t
1 6
π)
3102 cos(4t 1 π 1 π) 62
3102 cos(4t 2 π)
3
x
x1
x2
2 102
cos(4t
1 3
π)
第8章 简谐运动与简谐波
2π π
3
3
o 3 5x
7
物理学
x1 A1 cos1t A1 cos2π1t x2 A2 cos2t A2 cos2π2t
x x1 x2
讨论
A1 A2
, 2 1
1
2
的情况
第8章 简谐运动与简谐波
16
物理学
第五版
8-5 简谐运动的合成
方法一
x x1 x2 A1 cos2 π1t A2 cos2 π2t
(k ' kN, k ' 1,2, )
i
A4 A5
O A6
A0
A3
A2
A1
x
第8章 简谐运动与简谐波
14
物理学
第五版

的合成
8-5 简谐运动的合成
两个同方向不同频率简谐运动
第8章 简谐运动与简谐波
15
物理学
第五版
8-5 简谐运动的合成
频率较大而频率之差很小的两个同方 向简谐运动的合成,其合振动的振幅时而 加强时而减弱的现象叫拍.
A1 A2 A A1 A2
第8章 简谐运动与简谐波
5
物理学
第五版
8-5 简谐运动的合成
14 一质点同时参与两个同方向的简谐 运动,其运动方程分别为:
x 5 102 cos(4t 1 π)
1
3
x2
3 10 2
sin(4t
1 π) 6
画出两运动的旋转矢量图,并求合运
动的运动方程.
第8章 简谐运动与简谐波
简谐运动
第8章 简谐运动与简谐波
13
物理学
第五版
8-5 简谐运动的合成
x A cost
1
0
x A cos(t )
2
0
x3
A0cos(t
2
)
A
o
A1 A2
A3
A4
A5
x
A Ai NA0
x A cos[t (N 1)]
N
0
(1) 2kπ
讨 (k 0,1,2, )
论 (2) N 2k ' π
19
物理学
第五版
8-5 简谐运动的合成
振幅 A A 2(1 cos) 1
2A cos( 2 1 t)
1
2
拍频
2
1
振动圆频率
(2 1)t
2
A
A2
o
x
A1
1
x2 x1
x
1t 2t 2 1
cost
x 1
x 2
A
1
2
2
第8章 简谐运动与简谐波
20
物理学
第五版
8-5 简谐运动的合成
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
设一质点同时参与
两独立的同方向、同频 率的简谐振动:
x1
A1
cos(t
1
)
x A cos(t )
2
2
2
A2
2 1
A1
O x2 x1 x
两振动的位相差 2 1 =常数
第8章 简谐运动与简谐波
1
物理学
第五版
8-5 简谐运动的合成
第五版
8-5 简谐运动的合成
二 两个相互垂直的同频率的简谐
运动的合成 x A1 cos(t 1)
y A2 cos(t 2 )
质点运动轨迹 (椭圆方程)
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin2 (2
1 )
第8章 简谐运动与简谐波
8
物理学
第五版
8-5 简谐运动的合成
x (2A cos2 π 2 1 t)cos2 π 2 1 t12 Nhomakorabea2
振幅部分
合振动频率
振动频率 (1 2 ) 2
振幅
A 2A cos2 π 2 1 t
1
2
Amax 2A1 Amin 0
第8章 简谐运动与简谐波
17
物理学
第五版
8-5 简谐运动的合成
x (2A cos2 π 2 1 t)cos2 π 2 1 t
cos(2
1 )
sin 2
(2
1 )
(3)2
1
π
2
x2 A12
y2 A22
1
x
y
A1
A
cost
cos(t
π
)
2
2
y
A2
o A1 x
第8章 简谐运动与简谐波
10
物理学
第五版
8-5 简谐运动的合成
用旋转矢量描绘振动合成图
第8章 简谐运动与简谐波
11
物理学
第五版
两相 互垂直同 频率不同 相位差简 谐运动的 合成图
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