简谐运动的合成与分解
合集下载
高二物理竞赛课件：简谐运动的合成
*四、两个同方向不同频率简谐运动的合成 拍
x1 t
x2 t
x t
拍 合振动振幅 随时间周期性加强与减弱的现象
两个频率较大且相差极小的同方向谐振动合成形成拍
例1 两个同方向简谐振动，周期相同，振幅为 A1=0.05m, A2=0.07m，组成一个振幅为A=0.1044m的简 谐振动，求两个分振动的相位差。
要决定于 = 2- 1
= 0
y A2 x A1
=
y A2 x A1
为 的整数倍，合振动轨迹为直线
= /2
= 3/2
x2 A12
y2 A22
1
为 2的奇数倍，合振动轨迹为正椭圆
= P·/4 .Q = 3/4 = -/4 = -3/4
为其他值，合振动轨迹为斜椭圆
方向： 2 1 0就是顺时针，反之逆时针。
解： A2 ?
A2 A12 A2 2 A1 A cos( 1)
0.1m
A2
2
因为 A2 A12 A22
O
所以
2
1
2
A
2 1
1
1
A1
x
x x1 x2
A
A2
2
O
x 1
A1
x2 x1
பைடு நூலகம்
x
利用解析法也可以计算振幅和初相。
x x1 x2 A1 cost 1 A2 cost 2
A1 cost cos1 sint sin1 A2 cost cos2 sint sin2
A1 cos1 A2 cos2 cost A1 sin1 A2 sin2 sint
x=A1cos( t+ 1) y=A2cos( t+ 2)
第4章-振动合成
两个频率比为1:2的简谐运动的合成
x1 A1 cos( t 1 )
x x1 x2 A1 ( t 1 ) A2 cos(2 t 2 )
x
x1
2T
x2
T
x
t
谐振分析*
x = 4A (sinω t
x
T
A
π
t
+
1 3sin3ω t
+
1 5 sin5ω
t)
x
合成后
x
A2 x y= A1
合振动振幅为 合振动为谐振动
A = A1 + A
2
2 2
r
A A cos t
2 1 2 2
2. 2 1 或 2k 1 2 2 x A1 cos( t 1 )
y
y A2 cos( t 2 ) A2 sin( t 1 )
2
F0 k , 2 , f 0 m m m
d x dx 2 2 0 x f 0 cos t dt dt 2
方程的解：
2
2 x A0 e t cos 0 2 t 0 A cost
稳定后的振动表达式：
x A cost
A
C
N
A AN
R
2
A1
A2
A3
N A 2 R sin 2 a 2 R sin 2 N a sin 2 A
sin
( N 1)
2
N 1 2
x A cos(t )
例1 . 两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) 1、求合振动的振幅。 x x (t ) 2、求合振动的振动方程。 A1 1 解： A
振动的合成与分解
x 2 A cos(
2 1
2
) t cos(
2 1
2
t )
合振动不是简谐振动
当21时, 2 1 2 1 则：x A( t ) cos t 2 1 ) t 随t 缓变 式中 A( t ) 2 A cos( 2 2 1 随t 快变 cos t cos( )t
受迫振动振幅的大小，不决定于系统的初始条件， 而与振动系统的性质(固有角频率、质量)、阻尼的 大小和强迫力的特征有关。
(3)初相:
2 tg 2 0 2
三、位移共振 在一定条件下, 振幅出现极大值, 振动剧烈的现象。
2 2 2 (1)共振频率 : r 0
2.同方向的两个不同频率，但周期相差不多的 的两个谐和振动的叠加
一般言之：不同频率的谐振动的叠加呈现出较复杂 性的情况
x
x x1 x2
x1
x2
t
叠加后已非谐振动，下面只研究频率相差不大 的两个谐振动的叠加
声音时大时小---“拍现象” 若有： x1 A 1 cos(1t 1 )
如 A1=A2 , 则 A=0
例：两个沿Ｘ方向的谐振动的振动方程为： 3 2 2
3 x1 5 10 cos(12t ) x2 6 10 sin( 12t ) 4 4
求：１）１、２两振动的合成振动的振幅和初相；
２）若另有Ｘ方向的谐振动的方程为：
问：
为何值时， x1 x2 为最大； 为何值时，
合振动的轨迹为通过原点且 在第二、第四象限内的直线
A2 斜率 A1
y
x
质点离开平衡位置的位移
S x y
2 2
2 1
2
) t cos(
2 1
2
t )
合振动不是简谐振动
当21时, 2 1 2 1 则：x A( t ) cos t 2 1 ) t 随t 缓变 式中 A( t ) 2 A cos( 2 2 1 随t 快变 cos t cos( )t
受迫振动振幅的大小，不决定于系统的初始条件， 而与振动系统的性质(固有角频率、质量)、阻尼的 大小和强迫力的特征有关。
(3)初相:
2 tg 2 0 2
三、位移共振 在一定条件下, 振幅出现极大值, 振动剧烈的现象。
2 2 2 (1)共振频率 : r 0
2.同方向的两个不同频率，但周期相差不多的 的两个谐和振动的叠加
一般言之：不同频率的谐振动的叠加呈现出较复杂 性的情况
x
x x1 x2
x1
x2
t
叠加后已非谐振动，下面只研究频率相差不大 的两个谐振动的叠加
声音时大时小---“拍现象” 若有： x1 A 1 cos(1t 1 )
如 A1=A2 , 则 A=0
例：两个沿Ｘ方向的谐振动的振动方程为： 3 2 2
3 x1 5 10 cos(12t ) x2 6 10 sin( 12t ) 4 4
求：１）１、２两振动的合成振动的振幅和初相；
２）若另有Ｘ方向的谐振动的方程为：
问：
为何值时， x1 x2 为最大； 为何值时，
合振动的轨迹为通过原点且 在第二、第四象限内的直线
A2 斜率 A1
y
x
质点离开平衡位置的位移
S x y
2 2
§3.3 简谐振动的合成
2 1 2 2
x
x
o ϕ2
ω A2
A1
A = A1 − A2 ϕ = ϕ2
o
T
t
A
相位差
ϕ 2 − ϕ1 = 2 k π
A = A1 + A2
ϕ 2 − ϕ1 = (2k + 1)π
A = A1 − A2
当A1=A2 时，A=0
(k = 0 ， 1， ) ± L
相互加强
相位差
(k = 0 ， 1， ) ± L
A1
在任一时刻离开坐标原点位移为： 在任一时刻离开坐标原点位移为： (2) ϕ 2 − ϕ1 = π 两个分运动反相位， 两个分运动反相位， 得
A2 y= x A1
y A2
o
A1
x
(3) φ2−φ1=π/2，得
x y + 2=1 2 A1 A2
2
2
这是坐标轴为主轴的椭圆，质 这是坐标轴为主轴的椭圆， 点的轨迹是顺时针旋转。 点的轨迹是顺时针旋转。 (4) φ2−φ1=3π/2，仍然得
三、相互垂直的简谐振动的合成 1. 频率相同
若质点同时参与两个同频率的相互垂直的分运 动，其位移表达式分别为
x = A1 cos(ωt + ϕ1 ) y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
消去时间参数， 消去时间参数，得
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
x = A1 cos(ω1t + ϕ1 ) y = A2 cos(ω 2t + ϕ 2 )
李 萨 如 图
ϕ1 = 0
π π 3π π ϕ 2 = 0, , , , 8 4 8 2
x
x
o ϕ2
ω A2
A1
A = A1 − A2 ϕ = ϕ2
o
T
t
A
相位差
ϕ 2 − ϕ1 = 2 k π
A = A1 + A2
ϕ 2 − ϕ1 = (2k + 1)π
A = A1 − A2
当A1=A2 时，A=0
(k = 0 ， 1， ) ± L
相互加强
相位差
(k = 0 ， 1， ) ± L
A1
在任一时刻离开坐标原点位移为： 在任一时刻离开坐标原点位移为： (2) ϕ 2 − ϕ1 = π 两个分运动反相位， 两个分运动反相位， 得
A2 y= x A1
y A2
o
A1
x
(3) φ2−φ1=π/2，得
x y + 2=1 2 A1 A2
2
2
这是坐标轴为主轴的椭圆，质 这是坐标轴为主轴的椭圆， 点的轨迹是顺时针旋转。 点的轨迹是顺时针旋转。 (4) φ2−φ1=3π/2，仍然得
三、相互垂直的简谐振动的合成 1. 频率相同
若质点同时参与两个同频率的相互垂直的分运 动，其位移表达式分别为
x = A1 cos(ωt + ϕ1 ) y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
消去时间参数， 消去时间参数，得
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
x = A1 cos(ω1t + ϕ1 ) y = A2 cos(ω 2t + ϕ 2 )
李 萨 如 图
ϕ1 = 0
π π 3π π ϕ 2 = 0, , , , 8 4 8 2
简谐运动的合成和分解45页PPT
ห้องสมุดไป่ตู้
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
简谐运动的合成和分解
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
简谐运动的合成和分解
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
简谐运动的合成和分解
y
x
x 2 y 2 2 xy 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2
结论：两相互垂直同频率简谐振动的合成，其振动轨 迹为一椭圆 (又称“椭圆运动” )。椭圆轨迹的形状取 决于振幅和相位差。
x 2 y 2 2 xy 2 2 cos( 2 1 ) sin ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
临界阻尼振动：质点不作往复运动的极限状态.
火炮的阻尼
4-3-2 受迫振动和共振
1. 受迫振动
受迫振动： 系统在周期性的外力持续作用 下所发生的振动。
策动力： 周期性的外力 设：
F F0 cos t
fr f kx
o
x
F
x
由牛顿第二定律
令
2 0
d x dx m 2 kx F0 cos t dt dt
2 1 t ) 随时间缓慢变化 振幅 2 A cos( 2
2 1 t ) 快速变化 谐振因子 cos( 2
第一项缓慢变化，第二项快速变化：“拍(beat)” 调制
拍现象的应用： 用音叉振动校准乐器 测定无线电频率 测定超声波 调制高频振荡的振幅和频率
3. 相互垂直的简谐运动的合成 x方向的谐振动 x A1 cos( t 1 )
讨论：
（1）当 2 1 kπ 时
x 2 y 2 2 xy 2 0 2 A1 A2 A1 A2
x y A A 0 2 1
2
A2 A2 A2 y x : 0，斜率 ； π，斜率 A1 A1 A1 结论： 合振动为线振动，轨迹为 2 2 2 2
x2 A cos(2t )
3简谐运动的合成详解
t
A
A2
A A1 A2
两分振动相互减弱
第九章 振 动
如 A1=A2 , 则 A=0
7
物理学
第五版
小结 （1）相位差 2 1 2k π
(k 0 ， 1 ， )
加强
A A1 A2
A A1 A2
1 ， ) （2）相位差 2 1 (2k 1) π (k 0 ，
A
xN A0 cos[ t ( N 1) ]
(1) 2kπ 讨 (k 0,1,2,) 论 (2) N 2k ' π
(k ' kN, k
i
A5
A0
A 2 O A6 A x 1
A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
x2
1
x1
A1
x
两振动的位相差 2 1 =常数
第九章 振 动
4
物理学
第五版
合振动 :
2 2
x A cos( t )
x x1 x2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A A1 sin 1 A2 sin 2 A2 tan 2 A1 cos1 A2 cos 2 A
1、钢琴等乐器的调音； 2、利用“拍”的方法测 量未知的频率。
【拍】Beat（英）钢琴调音时所 利用的一种声音现象。十二平 均律中的纯五度、纯四度、大 小三度以及大、小六度等音程 同时发响时，在听觉上会感到 音量有周期性的强弱，这一强 一弱称为一次拍。
振 动
18
第九章
物理学
第五版
** 振动方向相互垂直的不同频率谐振动的合成
大学物理教程3.2 简谐振动的合成
Ay tg = A x
A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
3. 两种特殊情况
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos(2 - 1 )
(1)若两分振动同相
2- 1=0（2k，k=0,1,2,…）
x =A cos( t+ )
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
x =A cos( t+ )
由图知：
Ax = A1cos1 + A2cos2 Ay = A1sin1 + A2sin2 由： A2 = Ax2 + Ay2
y Ay
A A2
o
1
A1 A
x
2
x
2 2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 - 1 )
x1 4 cos 3t cm x2 2 cos(3t π) cm
求合成振动的振幅、初相位和振动表达式。
解 这两个谐振动的频率相同 3rad s ，振动方向相 同。所以它们的合成振动仍然是在x方向的、具有相同频 率的简谐振动。
-1
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
由于这两个振动反相，因此在旋转矢量图上，振幅矢 量 A1 和 A2 的方向始终相反，而合矢量 A 沿 A1 方向。
A 的模，即合成振动振幅为
A (4 - 2) 2
合振动的初相
1 0
x 2cos 3t cm
合振动的表达式为
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
二 同方向不同频率的简谐振动的合成 拍
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
| 振幅2变化缓慢1 |
2
一个强弱变化所需的时间
t
一个拍
合振幅变化的频率即拍频
拍
|
2 1 2
|| 2
1
|
拍现象是一种很重要的物理现象。
▪手风琴的中音簧： 键盘式手风琴（Accordion)的两排中音簧的频率 大概相差6到8个赫兹，其作用就是产生“拍”频。 而俄罗斯的“巴扬”---纽扣式手风琴则是单簧片 的，因此没有拍频造成的颤音效果。
即 1- 2 << 1 or 2
x 2Acos 2 1 t cos 1 2 t
2 2
振幅随时间的变化非常缓慢
x
x1
振幅调制因子Amplitude modulation factor
x2
o
t
x x1 x2
x 2Acos 2 1 t cos 1 2 t
2 2
x x x1 x2 x1 x2 o
相互垂直的两个简谐振动。
四、两个互相垂直不同频率简谐振动的合成
如果两个相互垂直的振动的频率不相同，它们 的合运动比较复杂，而且轨迹是不稳定的。下面只 讨论简单的情形。
两振动的频率只有很小的差异
则可以近似地看做同频率的合成，不过相差在缓 慢地变化，因此合成运动轨迹将要不断地按上图 所示的次序，在图示的矩形范围内自直线变成椭 圆再变成直线等等。
同方向同频率两个简谐振动的合成仍为简谐振动。
讨论两个特例
x
(1)两个振动同相
20 10 2k , k 0,1,2,...
合成振动
由 A A12 A22 2A1 A2 cos(20 10 ) o
T 2
T
3T 2
2T
t
A A12 A22 2A1 A2 A1 A2
(2)两个振动反相
x
合成振动
T
3T
2
2
o
T
2
t
T
上述结果说明两个振动的相位差对合振动起着 重要作用。
例: 两个沿同一直线且具有相同振幅和周期的谐振动
合成后，产生一个具有相同振幅的谐振动，求原来两
个振动的相位差。
解：
A A1 A2
A2
A
A1 A2 A
O
2
1
2
3
A1
例: N个同方向，同频率的谐振动，若它们相位依次
为， 2，…,试求它们的合振幅;并证明当N=2k
时的合振幅为零。
解：合振幅A
A 2R sin N
2
由OPa可看出
sin N
A0
2R sin 2
P /2
R
N
A合
Q
A A0
2
sin
请大家自行练习！
2
分析：
O
a A0 B
b C
X
当N=2k 时的合振幅为零。 请记住这个结论！
当=2k 时的合振幅为最大。 做笔记！
差频
x2 A cos 2t 和频
x
x1 x2
2 A cos 2 1
2
t
cos 1 2 t 2
位 移
x
合振动 分振动1
振幅周期性变化
分振动2
2 21
o
T
T
3T
2
2
2
T
t
为一复杂振动
着重研究1
,
相近情况
2
——拍现象（Beat)
即 1- 2 << 1 or 2
着重研究1
,
相近情况
2
——拍现象（Beat)
A1 A2 轨迹为圆
x
提问：若y方 向振动落后x y 方向，则结 果如何？
右旋！
画合运动的轨迹：可在x、y方向分别选一旋转矢量如图。把小 点按顺序用曲线联起来，即可得所求合运运动的轨迹。
两个互相垂直不同振幅同频率简谐振动的合成20 10 04 Nhomakorabea3
2
4
2 A2
2 A1
5
3
7
2
9
4
2
4
4
与合成相反：一个圆运动或椭圆运动可分解为
如果两振动的频率相差较 大，但有简单的整数比
则合成运动又具有稳定的 封闭的运动轨迹。这种图 称为李萨如图。
如果已知一个振动的周期，就 可以根据李萨如图形求出另一 个振动的周期，这是一种比较 方便也是比较常用的测定频率 的方法。
五、谐振分析和频谱 （自学）
在自然界和工程技术中，我们所遇到的振 动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处理 这类问题，往往把复杂振动看成由一系列不同 频率的间谐振动组合而成，也就是把复杂振动 分解为一系列不同频率的间谐振动，这样分解 在数学上的依据是傅立叶级数和傅立叶积分的 理论，因此这种方法称为傅立叶分析。
A
x2 A2 cos(t 20 ) x x1 x2
x Acos(t 0 )
A2
A1
A2
A A12 A22 2 A1 A2 cos(20 10 )
tg0
A1 sin10 A2 sin20 A1 cos10 A2 cos20
2010
x20
0
x10
AM
A1
x0
t o .P x
x
20 10 (2k 1) , k o,1,2,... x1
x2
由A A12 A22 2A1 A2 cos(20 10 )
合成振动
T
3T
o
2
2 T
A A12 A22 2A1 A2 A1 A2
2T t
如果 A1 A2 则 A=0
一般情况 为其他任意值，则：
A1 A2 A ( A1 A2 )
本讲主要内容： 一、同方向同频率两个简谐振动的合成
二、同方向不同频率两个简谐振动的合成
三、两个互相垂直同频率简谐振动的合成
四、两个互相垂直不同频率简谐振动的合成
五、谐振分析和频谱 研究方法： 采用振动描述的三种方法来分析简谐 振动的合成。
一、同方向同频率两个简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 10 )
▪利用拍频测速 从运动物体反射回来的波的频率由于多普勒效
应要发生微小的变化，通过测量反射波与入射波 所形成的拍频，可以算出物体的运动速度。这种 方法广泛应用于对卫星、各种交通工具的雷达测 速装置中。
三、两个互相垂直同频率简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 10 )
y2 A2 cos(t 20 )
消去 t 得到轨道方程 （椭圆方程）
x2 A12
y2 A2 2
2
xy A1 A2
cos(20
10 ) sin2 (20
10 )
20 10 0
20 10
x A1 y A2
2 A2
仍为谐振动， 但是振动方向 改变了！
y
x A1
y
A2
2 A1
x 质点的轨迹曲线
20
10
2
x2 y2 A12 A22 1
二.同方向不同频率两个简谐振动的合成
同方向同频率两个简谐振动的合成 ------仍为简谐振动
r 2
A2
r A
r 1
A1
若1= 2 ,则 不变； 若1 2 ,则 变； x
同方向不同频率两个简谐振动的合成 ------为一复杂运动
设两振动振幅相同，并以它们的初相位都为零时为
计时起点 x1 A cos 1t