大学物理 简谐运动的合成
大学物理波动部分公式
• 弹簧振子作简谐运动的总能量（守恒）、动能、势能：
1
1
1
1
1
1
1
1
= 2 2 + 2 2 = 2 2 2 = 2 2 ； = 2 2 = 2 2 2 2 ( + )； = 2 2 = 2 2 2 ( + )
• 两个同方向同频率简谐振动的合成
•
=
= 2； =
• ⑤简谐振动的速度： =
2
• ⑥简谐运动的加速度： =
= 2
；=
2
=⥂
1
2
；=
1
= − ( + )
2
2
=
= −2 ( + )
• 单摆作简谐运动：
•
2
运动方程： 2 = −
• 机械振动
• 弹簧振子作简谐运动：
• ①加速度: = = − = −2
•
2
②微分方程: 2
= −2
• ③运动方程: = ( + )
• 或 = ( + ′ ) 其中 ′ = + 2
• ④弹簧振子的角频率、频率、周期、劲度系数之间的关系：
10
0
• 电磁波波速： =
• 声强级： =
电磁震荡与电磁波
2
2
1
+ = 0无阻尼自由震荡（有电容C和电感L组成的电路）
= 0 ( + )
=
1
大学物理 机械振动 框架图和解题方法
第5章 机械振动一、基本要求1．掌握描述简谐运动各物理量的物理意义及相互关系，能根据给定的初始条件建立简谐运动方程；2．掌握旋转矢量法，并能用以求解初相、相位、相位差、时间差；理解简谐运动合成规律； 3．理解振幅、周期、频率、相位等描述机械波的重要物理量。
二、基本内容（一）本章重点和难点：重点：理解简谐运动特征并能根据给定的初始条件写出简谐运动方程。
难点：掌握旋转矢量法在解题中的应用。
（二）知识网络结构图：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+===⎪⎩⎪⎨⎧=+''+=-=李萨如图形垂直方向频率整数比椭圆运动垂直方向同频率拍同方向不同频率仍为简谐运动同方向同频率简谐运动的合成总能量弹性势能动能简谐运动的能量复摆单摆弹簧振子典型例子初相相位角频率频率周期振幅基本物理量谐运动微分方程谐运动方程回复力公式简谐运动的定义振动::::212121,,:,,,,,:0:)cos(::2222kA E E E kx E m v E x x t A x kx F p k p k ωϕω(三）容易混淆的概念： 1.初相和相位简谐振动运动方程 简谐振动能量 简谐振动合成速度方程 加速度方程 动能 势能 合振幅合相位初相ϕ反映简谐运动物体在初始时刻的运动状态；相位ϕω+t 反映简谐运动物体在任意时刻的运动状态。
2.角频率和频率角频率（圆频率）ω反映角位置随时间的变化，对于谐振子而言，由劲度系数和质量决定，又称固有频率；频率ν是单位时间内完成全振动的次数，是周期的倒数。
（四）主要内容：1．简谐运动的基本概念：（1） 运动方程：)cos(ϕω+=t A x ，A x m =（2） 速度方程：)sin(ϕωω+-=t A v ，A v m ω= （3） 加速度方程：)cos(2ϕωω+-=t A a ，A a m 2ω= （4） 周期：ωπ2=T（5） 频率：πων21==T （6） 时间差与相位差的关系：ωϕ∆=∆t2.旋转矢量法：在平面上画一矢量A ，初始位置与x 轴正方向的夹角等于初相位ϕ,其尾端固定在坐标原点上，其长度等于振动的振幅A ，并以圆频率ω为角速度绕原点作逆时针匀速转动，则矢量A在x 轴上的投影为：)cos(ϕω+=t A x 。
大学物理简谐振动
A2
A
A2 sin 2
2 -1
2
O
1 A1 x2
A1 sin 1
x2 x
x1x1
x2
x
A1 cos1 A2 cos2
合振动振幅：A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
1. 两个分振动的相位相同（同相）
5 (或 3 )
4
4
第六章
机械波
mechanical wave
6.1 机械波的产生、传播和描述 波动: 振动在空间中的传播过程.
机械波: 机械振动在弹性介质中的传播过程. 波动
电磁波: 交变电磁场在空间中的传播过程. 6.1.1 机械波的产生
当弹性介质中的一部分发生振动时，由于介质各个 部分之间的弹性力作用，振动就由近及远地传播出去. (1) 机械波实质上是介质中大量质点参与的集体振动;
20 0.47
(2) 30为何值时, x1+x3 的振幅为最大; 30为何值时, x2+x3的振幅为最小.
x1 0.05cos10t 3 4
x2 0.06cos10t 4
x3 0.07 cos10t 30
30
10
0 时，x1+x3 振幅最大：30
10
3
4
30 20 时，x2+x3 振幅最小：30 20
t 时刻点 P 的振动状态
P点在
t
时刻的位移
y P ,t
yO ,t x
u
A c os [ (t
x) u
0 ]
波函数 (波方程)
y( x, t )
A cos[ (t
大学物理分章节题库-有答案
大学物理力学部分：1．一个质点在做圆周运动时，则有（B ）。
A ．切向加速度一定改变，法向加速度也改变B ．切向加速度可能不变，法向加速度一定改变C ．切向加速度可能不变，法向加速度不变D ．切向加速度一定改变，法向加速度不变2. 对功的概念有以下几种说法：（1）保守力作正功时，系统内相应的势能增加；（2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零；（3）作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零。
下列说法正确的是（C ）。
A ．（1）（2）是正确的B ．（2）（3）是正确的C ．只有（2）是正确的D ．只有（3）是正确的3. 下列情况不可能出现的是（D ）。
A. 物体具有加速度而速度为零B. 物体速率恒定，但速度仍发生改变C. 物体速率恒定，但加速度却在变化D. 物体速度恒定，但速率却在变化4. 如图所示，在边长为a 的四边形顶点上，分别固定着质量为m 的四个质点，以 OZ 为转轴（转轴到四边形近边的距离为a ，且与四边形平面平行），该系统的转动惯量为：（D ）。
A. 4ma 2B. 6ma 2C. 8ma 2D. 10ma 25. 质量为m 的质点在oxy 平面内运动，运动方程为cos()sin()r a t i b t j ωω=+，其中ω、、b a 为常数，则（C ）。
A. 质点所受合力方向保持不变B. 质点所受到的合力始终背离原点C. 质点所受到的合力始终指向原点D. 无法确定质点所受合力的方向6. 对质点系中的内力以下说法正确的是（D ）。
A. 任何性质的内力均会引起质点系机械能的改变B. 内力不引起质点系总动能的改变C. 内力成对出现、大小相等，故内力对质点系不作功D. 内力不引起质点系总动量的改变7. 飞轮作匀变速转动时，其边缘上的一点（D ）。
A. 不具有向心加速度B. 不具有切向加速度C. 其加速度是个恒矢量D. 加速度随时间不断变化8. 一人手握哑铃坐在无摩擦的转台上，以一定的角速度转动。
大学物理第九章振动学基础
处2向AX轴负方向运动,而 2
试用旋转矢量法求这两个谐振动的初相差。 以及两个质点第一次通过平衡位置的时刻。
解：设两质点的谐振动方程分别为
x1
A cos (2
T
t
10)
20 A
x2
A cos (2
T
t
20)
10
4
20
0
3
4
A
2
1 10
O
X
质点1第一次经过平衡位置的时刻
t (2 / T )t 4
第九章 振动学基础
第九章 振动学基础
9-0 教学基本要求 9-1 简谐振动的规律 9-2 简谐振动的描述 9-3 简谐振动的合成
教学基本要求
一、理解简谐振动的基本特征, 了解研究谐振子模型的意义. *二、能建立一维简谐振动的微分方程, 能根据给定的初始条 件写出一维简谐振动的运动方程, 并理解其物理意义.
O后，仅因回复力(弹性力) 和惯性而自由往返运动.
F kx ma
F弹
x ox
a
d2x dt 2
F
m
k x m
d2x dt 2
k m
x
0
令 2 k
m
有
d2x dt 2
2
x
0
弹簧振子的振动微分方程(动力学方程)
解微分方程得
(1) 位移时间关系(振动方程)
x A cos(t )
(2)速度时间关系
2. 简谐振动的能量有什么特点?
3. 简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐 振动的周期？
4. 研究谐振子模型的意义何在？
一、简谐振动的定义
1.弹簧振子 一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端
大学物理第五章5-4 一维简谐运动的合成 拍现象
O
1 A1
2
3 A2
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
第五章 机械振动
xN A0 cos[t ( N 1) ]
讨 论
(1) 2kπ
x1 A0 cost x2 A0 cos(t ) x3 A0 cos(t 2 )
x1 A1 cost x ( A2 A1 ) cos( t π) x2 A2 cos( t π )
x
x
O
2
A1
O
A A1 A2 2
T
t
A2
第五章 机械振动
A
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
A
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象 方法二 旋转矢量合成法
物理学教程 （第二版）
(2 1 )t (2 1 )
1 A1
2t 2
A2 2
A
2 1
1t 1
2 1
x
O
2 2
x2
x1
x
1 2 0
2 π ( 2 1 )t
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象 * 二 多个同方向同频率简谐运动的合成
物理学教程 （第二版）
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
xn An cos(t n )
A A 3
x x1 x2 xn
简明大学物理重点知识总结
五 机械振动知识点： 1、 简谐运动微分方程：0222=+x dtx d ω ,弹簧振子F=-kx,m k=ω, 单摆lg =ω 振动方程：()φω+=t A x cos振幅A,相位（φω+t ）,初相位φ,角频率ω。
πγπω22==T。
周期T, 频率γ。
ω由振动系统本身参数所确定；A 、φ可由初始条件确定：A=22020ωv x +,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00arctan x v ωφ； 2由旋转矢量法确定初相：初始条件：t=0 1） 由得 2）由得 3）由0=x 00<v 0cos =ϕ2/3 , 2/ππϕ=,0sin 0<-=ϕωA v 0sin >ϕAx =000=v ϕcos A A =1cos =ϕAx -=000=v ϕcos A A =-1cos -=ϕ0=ϕ2/πϕ=πϕ=得 4）由得3简谐振动的相位：ωt+φ:1）t+φ→（x,v ）存在一一对应关系;2）相位在0→2π内变化，质点无相同的运动状态； 相位差2n π（n 为整数）质点运动状态全同； 3）初相位φ（t=0）描述质点初始时刻的运动状态； （φ取[-π→π]或[0→2π]）4）对于两个同频率简谐运动相位差：△φ=φ2-φ1. 简谐振动的速度：V=-A ωsin(ωt+φ)加速度：a=)cos(2ϕωω+-t A简谐振动的能量：E=E K +E P = 221kA ,作简谐运动的系统机械能守恒4）两个简谐振动的合成（向同频的合成后仍为谐振动）：1）两个同向同频率的简谐振动的合成：X 1=A 1cos （1φω+t ） ,X 2=A 2cos （2φω+t ） 合振动X=X 1+X 2=Acos （φω+t ）其中 A=()12212221cos 2φφ-++A A A A ,tan 22112211cos cos sin sin φφφφφA A A A ++=。
相位差：12φφφ-=∆=2k π时, A=A 1 + A 2, 极大12φφφ-=∆=(2k+1)π时,A=A 1 + A2极小若0=x 00>v ϕcos 0A =0cos =ϕ2/3 , 2/ππϕ=,0sin 0>-=ϕωA v 0sin <ϕ)(sin 21212222k ϕωω+==t A m m E v )(cos 2121222p ϕω+==t kA kx E 2/3πϕ=121,ϕϕ=>A A2） 两个相互垂直同频率的简谐振动的合成：x=A 1cos （1φω+t ） ,y=A 2cos （2φω+t ）其轨迹方程为： 如果) 其合振动的轨迹为顺时针的椭圆πϕϕπ2)212<-<其合振动的轨迹为逆时针的椭圆相互垂直的谐振动的合成：若频率相同，则合成运动轨迹为椭园；若两分振动的频率成简单整数比，合成运动的轨迹为李萨如图形。
振动学基础-大学物理
2
A cos (t
)
7
8
特征量：
x 位移
A 振幅
广义：振动的物理量 最大位移 由初始条件决定 表征了系统的能量
9
x Acos t
圆频率 角频率
频率
2π
T 周期 T 1
系统的周期性 固有的性质 称固有频率…
t 相位 位相
初相位
初位相
取决于时间零点的选择
10
小结
S. H. V. 的判据
= /4 = /2 = 3/4
P··Q
= = 5/4 = 3/2 = 7/4
（-3/4） （-/2） （-/4）
35
§3 平面简谐波 一 机械波产生的条件 1 机械波的基本概念
一、波的产生 二、横波和纵波 三、波长 波的周期和频率 波速
36
一、机械波的产生 1、机械波——机械振动在弹性介质（固体、液 体和气体）内的传播
45
因 t' x u
yP (t)
A cos
t
x u
0
波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出， 此即所求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的波动方程。
如果波沿x轴负方向传播,则相应的波动方程为:
yP (t)
A c os
t
x u
0
利用关系式 2 T 和 2 ，并uT概括波的两种可能的
y
hSg mg
船在任一位置时，以水面为坐标原点,竖直 向下的坐标轴为y 轴，船的位移用y 表示。
12
船的位移为y 时船所受合力为：
f (h y)Sg mg ySg
船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为:
Sg
m
因 m Sh,
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tan A1 sin 1 A2 sin 2
两个同方向同频 率简谐运动合成
A1 cos1 A2 cos2 后仍为简谐运动
第五章 机械振动
5 – 4论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 1）相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
2. 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线. 若这两个 简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为
（1） 3π / 2
x
（2） π
A/2
O
（3） π / 2
t
-A （4）0
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
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* 二 两个同方向不同频率简谐运动的合成 拍现象
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的 合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
x1 A1 cos1t A1 cos 2π 1t
x2 A2 cos2t A2 cos 2π 2t
相位差
2 1
1）相位差 2k π (k 0，1，)
A A1 A2
相互加强
2）相位差 (2k 1) π (k 0，1，)
A A1 A2
3）一般情况
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
x1 A1 cost
x2 A2 cos(t π )
x (A2 A1) cos(t π)
x
x
A A1 A2
A1
2
o
o
2
Tt
A
A2
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
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3. 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动
x1 (4 102 m) cos(2s1t π 6) x2 (3102 m) cos(2s1t 5 π 6)
合振动的振幅为： ___A____1___1__0__2__m___；
π
初相位为：_____________6_________。
第五章 机械振动
xx
o
A1
o
A2
A
T
t
A A1 A2
2 1 2kπ
x ( A1 A2 ) cos(t )
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
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A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1, )
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
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1. 有两个振动:x1 = A1cost, x2 = A2sint,且A2< A1. 则合成振动的振幅为
(A) A1 + A2 (B) A1－A2 (C) A12 A22 (D) A12 A22
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x
(2 A1
cos2π
2
1
2
t)
cos2π
2
1
2
t
振幅部分
合振动频率
振动频率 (1 2 ) 2
振幅
A
2 A1
cos 2π
2
1
2
t
Amax 2 A1 Amin 0
2π 2 1 T π
2
T 1
2 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
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一 两个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1)
x2 A2 cos(t 2 )
A2
A
x x1 x2
x Acos(t )
x 0
x2 2 1
x1A1
x
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
x x1 x2
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讨论 A1 A2 , 2 1 1 2 的情况
x x1 x2 A1 cos 2π 1t A2 cos 2π 2t
x
(2
A1
cos2π
2
1
2
t)
cos2π
2
1
2
t
振幅部分
合振动频率
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
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4. 已知两个同方向的简谐振动：
x1 0.04cos(10t π 3),
x2 0.03 cos(10t )
则（1） x1 x2 为最大时， 为___2_k_π____π__/_3__
（2） x1 x2 为最小时， 为__2_k_π____4_π__/_3_