上海市黄浦区2015届高三上学期期终调研测试(一模)数学(理)试卷
上海市五校2015届高三第一学期联合教学质量调研数学(理)试卷及答案
2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷（理科）考生注意：1、本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分。
2、答题前，考生务必在试卷和答题纸的指定位置以及答题卡上准确填写学校、姓名、 考号等信息。
3、考试结束只交答题卡和答题纸。
一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）1．已知(3,4)P -为角α终边上的一点，则cos()πα+= ． 2．已知向量(1,2),(,2)a b x =-=，若a b ⊥，则b ＝________．3．已知集合}),2lg({2R x x x y x M ∈-==，{}N x x a = <，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是 ．4．已知幂函数()f x过点，则()f x 的反函数为1()fx -= ．5．若无穷等比数列n a {}满足：4)(lim 21=+++∞→n n a a a ，则首项1a 的取值范围为 ．6．若直线l a x y :10++=平分圆x y x y 222650+-++=的面积，则直线l 的倾斜角为 ．（用反三角函数值表示）7．已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式()()1f x f x -<的解集为 ． 8．如图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,2πωϕπ>≤≤)的部分图象,其中5=AB ，那么()1f -=___________.9. 已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m ≤-恒成立，则实数m 的取值范围是 .10. 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点),2(0y M ，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则=OM ．11. 在正ABC ∆中，D 是BC 上的点，若1,3==BD AB ，则=⋅ ． 12．已知奇函数()f x 是定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差为2的等差数列，满足891011()()()()0f x f x f x f x +++=，则2014x 的值为 ．13．过点*1(2,0)()n N n-∈且方向向量为(2,1)的直线交双曲线224x y -=于,n n A B 两点，记原点为O ，n n OA B ∆的面积为n S ，则lim n n S →∞= ____ ____． 14. 设1271a a a ≤≤≤≤，其中1357,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，246,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是____ ____．二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.） 15．已知命题:12x α-≤，命题3:01x x β-≤+，则命题α是命题β成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件16．已知直线)(sin :1R x y l ∈=αα和直线c x y l +=2:2，则下述关于直线21,l l 关系的判断正确的是（ ）A. 通过平移可以重合B. 不可能垂直C. 可能与x 轴围成等腰直角三角形D. 通过绕1l 上某点旋转可以重合17．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ）A ．510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ．410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C ．310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ D ．10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦18. 设,a b R ∈ ，定义运算“∧ ”和“∨ ”如下：,,a a b a b b a b ≤⎧∧=⎨>⎩，,,b a ba b a a b ≤⎧∨=⎨>⎩．若正数,,,a b c d 满足4,4ab c d ≥+≤ ，则（ ） A ．2,2a b c d ∧≥∧≤ B ．2,2a b c d ∨≥∧≤C ．2,2a b c d ∧≥∨≥D ．2,2a b c d ∨≥∨≥三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .）19.（本题满分12分）第1小题满分7分，第2小题满分5分．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()()()cos ,sin m A B A B →=--，()cos ,sin n B B →=-，且35m n →→⋅=-．（1）求sin A 的值；（2）若5a b ==，求角B 的大小及向量BA 在BC 方向上的投影．20.（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆E 长轴的一个端点是抛物线212y x =的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A 、B 是椭圆E 的左右端点，O 为原点，P 是椭圆E 上异于A 、B 的任意一点，直线AP 、BP 分别交y 轴于M 、N ，问ON OM ⋅是否为定值，说明理由．21.（本题满分14分）第1小题满分8分，第2小题满分6分． 等差数列{}n α的前n 项和236n S n π=，数列{}n β满足()7236n n πβ-=．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：①221111sin cos sin cos m αβαβ+-=； ②222222sin cos sin cos m αβαβ+-=； ③223333sin cos sin cos m αβαβ+-=；④224444sin cos sin cos m αβαβ+-=； ⑤225555sin cos sin cos m αβαβ+-=；⑥226666sin cos sin cos m αβαβ+-=． （1）求数列{}n α的通项公式，并从上述六个等式中选择一个，求实数m 的值；（2）根据（1）计算结果，将同学甲的发现推广为关于任意角θ的三角恒等式，并证明你的结论．22.（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 若函数()f x 在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”． （1）已知函数()sin()(,0)2f x x x R πϕϕ=+∈<<，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设()2x f x m =+是定义在[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（3）若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．23.（本题满分18分）第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n 可得到“n 边形数列”，记它的第r 项为(,)P n r ．1，3，6，10 1，4，9，16 1，5，12，22 1，6，15，28 （1）求使得(3,)36P r >的最小r 的取值； （2）试推导(,)P n r 关于n 、r 的解析式；（3）是否存在这样的“n 边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷答案 （理科）一、填空题1、352、、[)2,+∞ 4、2(0)x x ≥ 5、)8,4()4,0(⋃ 6、arctan 2π-7、1(,)2+∞ 8、2 9、1(,][1,)4-∞-⋃+∞ 10、32 11、21512、400913、8314二、选择题15、B 16、D 17、C 18、B 三、简答题19、（1）由3cos()cos sin()sin cos 5m n A B B A B B A ⋅=---==- …3分 又0A π<<，则4sin 0sin 5A A >⇒=…6分 （2）由sin sin sin sin a b b B A A B a =⇒==…7分 又4a b A B B π>⇒>⇒=…8分由余弦定理，得222352515c c c =+-⨯⨯⇒=或7-（舍） …10分 则BA −−→在BC −−→方向上的投影为cos cos 2BA B c B =⋅= …12分20、（1）根据条件可知椭圆的焦点在x 轴，且3a =， …2分 又12a c c -=⇒=，所以2225b a c =-=故椭圆E 的标准方程为22195x y +=． …6分 （2）设),(00y x P ，则22005945x y +=，且(3,0),(3,0)A B -又直线00:(3)3y PA y x x =++，直线00:(3)3y PB y x x =-- …10分 令0x = ，得：000033(0,),(0,)33y y OM ON x x -==+- 故 ⋅220022009545599y x x x --===--为定值. …14分21、（1）当1n =时，136πα=…1分当2n ≥时，()221136361836n n n S S n n n ππππα-=-=--=-…3分∵当1n =时，1α适合此式 ∴数列{}n α的通项公式为1836n n ππα=-…5分选择②，计算如下：212πβ=…6分222222sin cos sin cos m αβαβ=+-＝22sin cos sincos12121212ππππ+-＝11sin 26π-＝34…8分 （2）由（1）知，(21)(72)36366n n n n πππαβ--+=+=， 因此推广的三角恒等式为223sincos sin cos 664ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ …10分 证明: 22sincos sin cos 66ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=22sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin 6666ππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2222311sin cos sin sin cos sin 442θθθθθθθθ++- =2233cos sin 44θθ+＝34…14分22、（1）()f x 为“局部奇函数”等价于关于x 的方程()()0f x f x -+=有解．即sin()sin()2cos sin 0x x x ϕϕϕ-+++==有解 …2分 因0sin 02πϕϕ<<⇒>，得cos 0()2x x k k Z ππ=⇒=+∈()f x ∴为“局部奇函数”． …4分 （2）存在实数x 满足()()0f x f x -+=，即2220xx m -++=在[1,1]-有解令12,[1,1][,2]2xt x t =∈-⇒∈，则12m t t -=+在1[,2]2t ∈上有解 …7分因为1()g t t t =+在1[,1]2上递减，在[1,2]上递增，5()2,2g t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦522,2m ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，故5,14m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦…10分（3）存在实数x 满足()()0f x f x -+=，即2442(22)260x x x x m m --+-++-=在x R ∈有解 令22,[2,)x x t x R t -=+∈⇒∈+∞，且2442xx t -+=-从而22g()2280t t mt m =-+-=（*）在[2,)t ∈+∞上有解 …12分1.︒ 若(2)0g ≤，即11m -≤*）在[2,)t ∈+∞上有解2.︒ 若(2)0g >，即1m <或1m >+*）有解，则2244(28)021(2)0m m m m g ⎧∆=-->⎪>⇒+≤⎨⎪>⎩综上，所求m的取值范围为[1 ． …16分23、（1）(1)(3,)122r r P r r +=+++=…3分 由题意得(1)362r r +>, 所以，最小的9r =. …5分（2）设n 边形数列所对应的图形中第r 层的点数为r a ，则12(,)r P n r a a a =++⋅⋅⋅+ 从图中可以得出：后一层的点在2n -条边上增加了一点,两条边上的点数不变 则12r r a a n +-=-，11a =得{}r a 是首项为1公差为2n -的等差数列 则(,)[2(1)(2)]2r P n r r n =+--.（或(2)(1)2n r r r --+等） … 12分 （3）2(,1)(,)(2)21P n r P n r n r r ++=-++ …14分 显然3n =满足题意， …15分而结论要对于任意的正整数r 都成立，则2(2)21n r r -++的判别式必须为零 所以44(2)0n --=，得3n =故满足题意的数列为“三角形数列”. …18分。
上海市五校联考2015届高三数学上学期质检试卷理(含解析)
上海市五校联考2015届高三上学期质检数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）1．（4分）已知P（﹣3，4）为角α终边上的一点，则cos（π+α）=．2．（4分）已知向量，若，则=．3．（4分）已知集合M={x|y=lg（2x﹣x2），x∈R}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是．4．（4分）已知幂函数f（x）过点，则f（x）的反函数为f﹣1（x）=．5．（4分）若无穷等比数列{a n}满足：，则首项a1的取值范围为．6．（4分）若直线l：ax+y+1=0平分圆x2+y2﹣2x+6y+5=0的面积，则直线l的倾斜角为．（用反三角函数值表示）7．（4分）已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上满足：当x1，x2∈（﹣∞，0]且x1≠x2时，总有，则不等式f（x﹣1）＜f（x）的解集为．8．（4分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=．9．（4分）已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤m2﹣m 恒成立，则实数m的取值范围为．10．（4分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M 到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．11．（4分）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．12．（4分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，且满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0．则x2014=．13．（4分）过点且方向向量为（2，1）的直线交双曲线x2﹣y2=4于A n，B n两点，记原点为O，△OA n B n的面积为S n，则=．14．（4分）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）15．（5分）已知命题α：|x﹣1|≤2，命题β：≤0，则命题α是命题β成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）已知直线l1：y=xsinα和直线l2：y=2x+c，则直线l1与l2（）A．通过平移可以重合B．不可能垂直C．可能与x轴围成等腰直角三角形D．通过绕l1上某点旋转可以重合17．（5分）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=（表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y= B．y= C．y= D．y=18．（5分）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sinA的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．20．（14分）已知椭圆E长轴的一个端点是抛物线y2=12x的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若A、B是椭圆E的左右端点，O为原点，P是椭圆E上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，问是否为定值，说明理由．21．（14分）等差数列{αn}的前n项和S n=n2，数列{βn}满足βn=．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：①sin2α1+cos2β1﹣sinα1cosβ1=m；②sin2α2+cos2β2﹣sinα2cosβ2=m；③sin2α3+cos2β3﹣sinα3cosβ3=m；④sin2α4+cos2β4﹣sinα4cosβ4=m；⑤sin2α5+cos2β5﹣sinα5cosβ5=m；⑥sin2α6+cos2β6﹣sinα6cosβ6=m．（Ⅰ）求数列{αn}的通项公式；（Ⅱ）试从上述六个等式中选择一个，求实数m的值；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，将同学甲的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．22．（16分）若函数f（x）在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知函数，试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．23．（18分）由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r）．（1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值；（2）试推导P（n，r）关于n、r的解析式；（3）是否存在这样的“n边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．上海市五校联考2015届高三上学期质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）1．（4分）已知P（﹣3，4）为角α终边上的一点，则cos（π+α）=．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义，诱导公式求得要求式子的值．解答：解：∵P（﹣3，4）为角α终边上的一点，∴x=﹣3，y=4，r=|OP|=5，∴cos（π+α）=﹣cosα=﹣=﹣=，故答案为：．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．2．（4分）已知向量，若，则=．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：利用斜率的垂直求出x，得到向量，然后求模即可．解答：解：向量，若，∴，∴x=4，==．故答案为：．点评：本题考查斜率的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．3．（4分）已知集合M={x|y=lg（2x﹣x2），x∈R}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是分析：设幂函数f（x）=xα，（α为常数）．由于幂函数f（x）过点，代入解得，可得f（x）=，由y=解得x=y2，把x与y互换即可得出反函数．解答：解：设幂函数f（x）=xα，（α为常数）．∵幂函数f（x）过点，∴，解得．∴f（x）=，由y=解得x=y2，把x与y互换可得y=x2．∴f（x）的反函数为f﹣1（x）=x2（x≥0）．故答案为：x2（x≥0）．点评：本题考查了反函数的求法、幂函数的定义，属于基础题．5．（4分）若无穷等比数列{a n}满足：，则首项a1的取值范围为（0，4）∪（4，8）．考点：数列的极限．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：依题意知|q|＜1且q≠0，由=4⇒q=1﹣∈（﹣1，1），从而可求得a1的取值范围．解答：解：依题意知|q|＜1且q≠0，∴S n=，∴=，∴，∴q=1﹣∈（﹣1，1），q≠0，即﹣1＜﹣1＜1且﹣1≠0，解得0＜a1＜4或4＜a1＜8．故答案为：（0，4）∪（4，8）点评：本题考查数列的求和与数列的极限，求得q=1﹣是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．6．（4分）若直线l：ax+y+1=0平分圆x2+y2﹣2x+6y+5=0的面积，则直线l的倾斜角为π﹣arctan2．（用反三角函数值表示）考点：直线与圆的位置关系；直线的倾斜角．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意可得，直线l：ax+y+1=0过圆心（1，﹣3），求出a，即可求出直线l的倾斜角．解答：解：由题意可得，直线l：ax+y+1=0过圆心（1，﹣3）．故有a﹣3+1=0，解得a=2，∴k=﹣2，∴直线l的倾斜角为π﹣arctan2．故答案为：π﹣arctan2．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，体现了转化的数学思想，得到直线l：ax+y+1=0过圆心（1，﹣3）是解题的关键，属于中档题．7．（4分）已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上满足：当x1，x2∈（﹣∞，0]且x1≠x2时，总有，则不等式f（x﹣1）＜f（x）的解集为{x|x＞}．考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，所以f（x）在上单调递减，所以f（x）在上单调递减，所以f（x）在8．（4分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=2．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由函数图象经过点（0，1），代入解析式得sinφ=，解出φ=．根据A、B两点之间的距离为5，由勾股定理解出横坐标的差为3，得函数的周期T=6，由此算出ω=，得出函数的解析式，从而求出f（﹣1）的值．解答：解：∵函数图象经过点（0，1），∴f（0）=2sinφ=1，可得sinφ=，又∵≤φ≤π，∴φ=．∵其中A、B两点的纵坐标分别为2、﹣2，∴设A、B的横坐标之差为d，则|AB|==5，解之得d=3，由此可得函数的周期T=6，得=6，解之得ω=．∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+），可得f（﹣1）=2sin（﹣+）=2sin=2．故答案为：2点评：本题给出正弦型三角函数的图象，确定其解析式并求f（﹣1）的值．着重考查了勾股定理、由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识，属于中档题．9．（4分）已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤m2﹣m 恒成立，则实数m的取值范围为或m≥1．考点：函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：求出分段函数的最大值，把不等式f（x）≤m2﹣m恒成立转化为m2﹣m大于等于f（x）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m的取值范围．解答：解：对于函数f（x）=，当x≤1时，f（x）=；当x＞1时，f（x）=＜0．∴要使不等式f（x）≤m2﹣m恒成立，则恒成立，即或m≥1．故答案为：或m≥1．点评：本题考查了恒成立问题，训练了分段函数的最值的求法，考查了数学转化思想方法，是中档题．10．（4分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M 到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．考点：抛物线的简单性质；两点间的距离公式．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），利用抛物线的定义可得|MF|=2+=3，解得p=2，从而得到抛物线的方程．由此算出点M的坐标为（2，），再利用两点间的距离公式即可算出|OM|的值．解答：解：∵抛物线经过点M（2，y），∴抛物线的开口向右．设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），∵点M（2，y）到抛物线焦点F的距离为3，∴根据抛物线的定义，得|MF|=2+=3，解得p=2，由此可得抛物线的方程为y2=4x．将点M坐标代入抛物线方程，得y2=4×2=8，解得y=，M坐标为（2，）．∴|OM|==2．故答案为：点评：本题已知抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为3，求该点到抛物线顶点的距离．着重考查了抛物线的定义与标准方程、两点间的距离公式等知识，属于中档题．11．（4分）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；数形结合；转化思想．分析：根据AB=3，BD=1，确定点D在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．解答：解：∵AB=3，BD=1，∴D是BC上的三等分点，∴，∴===9﹣=，故答案为．点评：此题是个中档题．考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和转化的思想．12．（4分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，且满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0．则x2014=4009．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据条件关系求出数列的首项以及通项公式即可得到结论．解答：解：设x8=a，则x9=a+2，x10=a+4，x11=a+6，∴f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，且f（a）＜f（a+2）＜f（a+4）＜f（a+6），∴f（a）＜0且f（a+6）＞0．∵奇函数关于原点的对称性可知，f（a）+f（a+6）=0，f（a+2）+f（a+4）=0．∴f（a+3）=0=f（0），即a+3=0．∴x8=﹣3．设数列{x n}通项x n=x1+2（n﹣1）．∴x8=x1+14=﹣3．∴x1=﹣17．∴通项x n=2n﹣19．∴x2014=2×2014﹣19=4009．故答案为：4009．点评：本题考查数列的性质和应用，利用函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．13．（4分）过点且方向向量为（2，1）的直线交双曲线x2﹣y2=4于A n，B n两点，记原点为O，△OA n B n的面积为S n，则=．考点：数列的极限．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：依题意，可知过点（2﹣，0）的直线的斜率为，n→+∞时，点（2﹣，0）→（2，0），原问题转化为直线x﹣2y﹣2=0与双曲线x2﹣y2=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积，利用直线与圆锥曲线的位置关系，利用弦长公式、三角形的面积公式即可求得答案．解答：解：∵过点且方向向量为（2，1），即其斜率k=，（2﹣）=2，∴当n→+∞时，点（2﹣，0）→（2，0），∴n→+∞时，△OA n B n的面积就是直线y﹣0=（x﹣2），即x﹣2y﹣2=0与双曲线x2﹣y2=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积，设为S，由消去x得：3y2+8y=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2，=﹣，y1•y2，=0，x1+x2，=2y1+2y2，+4=﹣，∴|AB|==•=•=．又O点到直线x﹣2y﹣2=0的距离d==，∴S==|AB|•d=××=．为S n，故答案为：．点评：本题考查数列的极限，理解题意，求得（2﹣）=2，原问题转化为直线x﹣2y﹣2=0与双曲线x2﹣y2=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积是关键，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查弦长公式，考查转化思想与综合运算能力．14．（4分）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围．解答：解：方法1：∵1=a1≤a2≤…≤a7； a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a6=a2+2≥3，∴a6的最小值为3，∴a7的最小值也为3，此时a1=1且a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，必有q＞0，∴a7=a1q3≥3，∴q3≥3，q≥，方法2：由题意知1=a1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，得，所以，即q3﹣2≥1，所以q3≥3，解得q≥，故q的最小值是：．故答案为：．点评：解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前n项和公式列出方程组，解方程组求解．即基本量法．二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）15．（5分）已知命题α：|x﹣1|≤2，命题β：≤0，则命题α是命题β成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求解得出不等式命题α：﹣1≤x≤3，命题β：﹣1＜x≤3，再根据充分必要条件的定义可判断．解答：解：∵|x﹣1|≤2，∴﹣1≤x≤3，∵≤0，∴﹣1＜x≤3，∴命题α：﹣1≤x≤3，命题β：﹣1＜x≤3，∴根据充分必要条件的定义可判断：命题α是命题β成立的必要不充分条件．故选：B点评：本题考查了不等式的求解，注意分式不等式的求解，利用充分必要条件的定义可判断，属于容易题．16．（5分）已知直线l1：y=xsinα和直线l2：y=2x+c，则直线l1与l2（）A．通过平移可以重合B．不可能垂直C．可能与x轴围成等腰直角三角形D．通过绕l1上某点旋转可以重合考点：两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：分别找出两直线的斜率，根据正弦函数的值域得到直线l1斜率的范围，发现两直线的斜率不可能相等，所以两直线不可能平行，必然相交，故直线l1绕交点旋转可以与l2重合．解答：解：直线l1：y=xsinα的斜率为sinα，而sinα∈，即直线l1的斜率k1∈，直线l2：y=2x+c的斜率k2=2，∵k1≠k2，∴直线l1与l2不可能平行，即两直线必然相交，则直线l1与l2可以通过绕l1上某点旋转可以重合．故选D点评：此题考查了两直线的交点坐标，正弦函数的值域，以及直线斜率的求法，根据直线方程得出两直线的斜率不相等是解本题的关键．17．（5分）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=（表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y= B．y= C．y= D．y=考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：压轴题．分析：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．进而得到解析式．代入特殊值56、57验证即可得到答案．解答：解：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．因此利用取整函数可表示为y=也可以用特殊取值法若x=56，y=5，排除C、D，若x=57，y=6，排除A；故选：B．点评：本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法．18．（5分）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．解答：解：∵a∧b=，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，b=4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；故选C．点评：本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sinA的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．专题：平面向量及应用．分析：（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cosA=，由同角三角函数的基本关系可得sinA；（2）由正弦定理可得sinB=，结合大边对大角可得B值，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．解答：解：（1）由题意可得=cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sinB=cos=cosA=，∴sinA==；（2）由正弦定理可得，∴sinB===，∵a＞b，∴A＞B，∴B=，由余弦定理可得=，解得c=1，或c=﹣7（舍去），故向量在方向上的投影为cosB=ccosB=1×=．点评：本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．20．（14分）已知椭圆E长轴的一个端点是抛物线y2=12x的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若A、B是椭圆E的左右端点，O为原点，P是椭圆E上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，问是否为定值，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：向量与圆锥曲线．分析：（1）求出抛物线的焦点坐标，得到椭圆的长半轴长，再由a﹣c=1求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设出P点坐标，代入椭圆方程，求出直线PA和PB的方程，取x=0求得M，N的坐标，得到向量的坐标，代入数量积公式可得为定值．解答：解：（1）由抛物线y2=12x，得焦点为（3，0），已知可知椭圆的焦点在x轴，且a=3，又a﹣c=1，则c=2，∴b2=a2﹣c2=5，故椭圆的方程为：；（2）设P（x0，y0），则，且A（﹣3，0），B（3，0），又直线PA：，直线PB：，令x=0，得：，故为定值．点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了平面向量的数量积运算，是中档题．21．（14分）等差数列{αn}的前n项和S n=n2，数列{βn}满足βn=．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：①sin2α1+cos2β1﹣sinα1cosβ1=m；②sin2α2+cos2β2﹣sinα2cosβ2=m；③sin2α3+cos2β3﹣sinα3cosβ3=m；④sin2α4+cos2β4﹣sinα4cosβ4=m；⑤sin2α5+cos2β5﹣sinα5cosβ5=m；⑥sin2α6+cos2β6﹣sinα6cosβ6=m．（Ⅰ）求数列{αn}的通项公式；（Ⅱ）试从上述六个等式中选择一个，求实数m的值；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，将同学甲的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．考点：三角函数的化简求值；归纳推理．专题：三角函数的求值；推理和证明．分析：（Ⅰ）利用等差数列{αn}的前n项和S n=n2，分n=1与n≥2讨论，即可求得数列{αn}的通项公式；（Ⅱ）选择②，计算即可；（Ⅲ）利用两角差的余弦将所求关系式中的cos2（）及cos（）展开，利用平方关系计算即可证得结论成立．解答：（Ⅰ）解：当n=1时，α1=…（1分）当n≥2时，αn=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=n﹣…（3分）∵当n=1时，a1适合此式∴数列{αn}的通项公式为a n=n﹣…（5分）（Ⅱ）解：选择②，计算如下：β2=…（6分）m=sin2α2+cos2β2﹣sinα2cosβ2=sin2+cos2﹣sin cos=1﹣sin=…（8分）（Ⅲ）证明：sin2θ+cos2（）﹣sinθcos（）…（9分）=sin2θ+（cos cosθ+sin sinθ）2﹣sinθ（cos cosθ+sin sinθ）…（10分）=sin2θ+cos2θ+sin2θ+sinθcosθ﹣sinθcosθ﹣sin2θ…（11分）=cos2θ+sin2θ=…（12分）点评：本题考查归纳推理，着重考查三角函数的化简求值，考查运算与推理证明能力，属于难题．22．（16分）若函数f（x）在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知函数，试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；新定义；函数的性质及应用．分析：（1）运用两角和与差的正弦公式，化简f（﹣x）+f（x），再由由局部奇函数的定义，即可判断；（2）根据局部奇函数的定义，可得方程2x+2﹣x+2m=0在上有解，运用换元法，令t=2x∈，则﹣2m=t+，求出右边的最值即可；（3）根据“局部奇函数”的定义可知，（2x+2﹣x）2﹣2m⋅（2x+2﹣x）+2m2﹣8=0有解即可．设t=2x+2﹣x，则t=2x+2﹣x≥2，即有方程等价为t2﹣2m⋅t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，设g（t）=t2﹣2m⋅t+2m2﹣8，由对称轴和区间的关系，列出不等式，解出即可．解答：解：（1）由于f（x）=sin（x+φ）（0＜φ＜），f（﹣x）=sin（﹣x+φ）=﹣sin （x﹣φ），则f（﹣x）+f（x）=sin（x+φ）﹣sin（x﹣φ）=2cosxsinφ，由于0＜φ＜，则0＜sinφ＜1，当x=时，f（﹣x）+f（x）=0成立，由局部奇函数的定义，可知该函数f（x）为“局部奇函数”；（2）根据局部奇函数的定义，f（x）=2x+m时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为2x+2﹣x+2m=0，因为f（x）的定义域为，所以方程2x+2﹣x+2m=0在上有解，令t=2x∈，则﹣2m=t+，设g（t）=t+，则g'（t）=1﹣=，当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数，所以t∈时，g（t）∈．所以﹣2m∈，即m∈．（3）根据“局部奇函数”的定义可知，函数f（﹣x）=﹣f（x）有解即可，即f（﹣x）=4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m2x+1+m2﹣3），∴4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0，即（2x+2﹣x）2﹣2m⋅（2x+2﹣x）+2m2﹣8=0有解即可．设t=2x+2﹣x，则t=2x+2﹣x≥2，∴方程等价为t2﹣2m⋅t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，设g（t）=t2﹣2m⋅t+2m2﹣8，对称轴x=﹣=m，①若m≥2，则△=4m2﹣4（2m2﹣8）≥0，即m2≤8，∴﹣2，此时2，②若m＜2，要使t2﹣2m⋅t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，则，即，解得1﹣≤m＜2，综上得，1﹣≤m..点评：本题考查新定义的理解和运用，考查方程有解的条件及二次函数的图象和性质的运用，以及指数函数的图象和性质的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．23．（18分）由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r）．（1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值；（2）试推导P（n，r）关于n、r的解析式；（3）是否存在这样的“n边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．考点：归纳推理．专题：综合题；推理和证明．分析：（1）由已知可得P（3，r）=，解不等式可得最小r的取值；（2）设n边形数列所对应的图形中第r层的点数为a1，则P（n，r）=a1+a2+…+a r，进而由等差数列的前n项和公式，可得答案．（3）P（n，r+1）+P（n，r）=（n﹣2）r2+2r+1，n=3时，满足题意；而结论要对于任意的正整数r都成立，则（n﹣2）r2+2r+1的判别式必须为0，即可得出结论．解答：解：（1）由题意得：P（3，r）=1+2+…+r=令＞36即r2+r﹣72＞0，解得r＞8∴最小的r=9．（2）设n边形数列所对应的图形中第r层的点数为a1，则P（n，r）=a1+a2+…+a r，从图中可以得出：后一层的点在n﹣2条边上增加了一点，两条边上的点数不变，所以a r+1﹣a r=n﹣2，a1=1所以{a r}是首项为1公差为n﹣2的等差数列，所以P（n，r）=r+；（3）P（n，r+1）+P（n，r）=（n﹣2）r2+2r+1，n=3时，满足题意；而结论要对于任意的正整数r都成立，则（n﹣2）r2+2r+1的判别式必须为0，∴4﹣4（n﹣2）=0，∴n=3，故满足题意的数列为“三角形数列”．点评：本题考查等差数列的基本知识，递推数列的通项公式的求解等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力．。
黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试数学测试卷理科资料
______________________________________________________________跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家1黄浦区2015学年第一学期高三年级期末调研测试数学试卷2016年1月一、填空题（本大题满分56分，共14题）1.不等式11<-x 的解集用区间表示为 .2.函数x x y 22sin -cos =的最小正周期是 .3.直线312=yx 的一个方向向量可以是 . 4.若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为5.若无穷数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 .6.若函数x a y sin +=在区间[]ππ2，上有且只有一个零点，则a = . 7.若函数()221x a x x f -+-=为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为 .8.若对任意不等于1的正数a ，函数()2+=x a x f 的反函数的图像过点P ，则点P 的坐标是 .9.（理）在()nb a +的二项式展开式中，若二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为 （结果用数字作答）.10.在ABC △中，若()()2sin 2cos =-++-+A C B B C A ,且2=AB ,则=BC . 11.为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中，随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天恰好为连续两天的概率是 (结果用最简分数表示）. 12.已知*∈N k ，若曲线222k y x =+与曲线xy k =无交点，则k = .13.已知点 ()()00,>m m M 和抛物线x y C 42=： ，过C 的焦点F 的直线与C 交于两点B A 、两点，若2== 则m = .14.若非零向量,,满足32=++，且⋅=⋅=⋅则与夹角为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题15.已知复数z ，“0=+z z ”是“z 为纯虚数”的（ ） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件______________________________________________________________ 跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家2 C 、充要条件 D 、既非充分也非必要条件 16.已知R x ∈，下列不等式中正确的是（ ） A 、y x 3121> B 、111122++>+-x x x x C 、211122+>+x x D 、11212+>x x 17.已知P 为直线b kx y +=上一动点，若点P 与原点均在直线02=+-y x 的同侧，则b k 、满足的条件分别为（ ）A 、2,1<=b k 、B 2,1>=b k 、C 2,1<≠b k ，D 、2,1>≠b k 18.已知4321,,a a a a ，是各项均为正数的等差数列，其公差d 大于零，若直线4321,,l l l l ，的长分别为4321,,a a a a ，，则（ ）A .对任意的d ，均存在以321,,l l l 为三边的三角形B 对任意的d ，均不存在以321,,l l l 为三边的三角形C 对任意的d ，均存在以432,,l l l 为三边的三角形D .对任意的d ，均不存在以432,,l l l 为三边的三角形三、解答题（本大题满分74分）19. （本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两条直角边AC 和BC 的长分别为4和3，侧棱AA '的长为10.（1）若侧棱AA '垂直于底面，求该三棱柱的表面积.（2）若侧棱AA '与底面所成的角为60︒，求该三棱柱的体积.______________________________________________________________跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家320. （本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分.如图，已知点A 是单位圆上一点，且位于第一象限，以x 轴的正半轴为始边，OA 为终边的角设为α，将OA 绕坐标原点逆时针旋转2π至OB . （1）用α表示,A B 两点的坐标.（2）M 为x 轴上异于O 的点，若MA MB ⊥，求点M 的横坐标的取值范围.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某地要在矩形区域OABC 内建造三角形池塘OEF ，,E F 分别在,AB BC 边上，5OA =米，4OC =米，4EOF π∠=，设,CF x AE y ==.（1）试用解析式将y 表示成x 的函数；（2）求三角形池塘OEF 面积S 的最小值及此时x 的值.AEF______________________________________________________________ 跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家422. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.（理）已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>，过原点的两条直线1l 和2l 分别与Γ交于,A B 和,C D ，得到平行四边形ACBD .（1）当ACBD 为正方形，求该正方形的面积S .（2）若直线2l 和1l 关于y 轴对称，Γ上任意一点P 到1l 和2l 的距离分别为1d 和2d ，当2212d d +为定值时，求此时直线1l 和2l 的斜率及该定值.（3）当ACBD 为菱形，且圆221x y +=内切于菱形ACBD 时，求,a b 满足的关系式.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. （理）已知12,,,n a a a 是由()n n N *∈个整数1,2,,n 按任意次序排列而成的数列，数列{}n b 满足()11,2,,k k b n a k n =+-=，12,,,n c c c 是1,2,,n 从大到小的顺序排列而成的数列，记122n n S c c nc =+++.（1）证明：当n 为正偶数时，不存在满足()1,2,,k k a b k n ==的数列{}n a .（2）写出()1,2,,k c k n =，并用含n 的式子表示n S .（3）利用()()()22212120n b b n b -+-++-≥.证明：()()12121216n b b nb n n n +++≤++及122n n a a na S +++≥.（参考：()()2221121216n n n n +++=++.）______________________________________________________________跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家5黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷（理科） 2016年1月考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式|1|1x -<的解集用区间表示为 ．(0,2) 2．函数22cos sin y x x =-的最小正周期是 ． π3．直线321x y=的一个方向向量可以是 ．(2,1) 4．若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为．5．若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 ．126．若函数sin y a x =+在区间[,2]ππ上有且只有一个零点，则a = ．17．若函数()f x 为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为 ．(1,)+∞8．若对任意不等于1的正数a ，函数2()x f x a +=的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是 ．(1,2)-9．在()n a b +的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值______________________________________________________________ 跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家6 为（结果用数字作答）．7010．在△ABC 中，若cos(2)sin()2A C B B C A +-++-=，且2AB =，则BC =．11．为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天恰好为连续2天的概率是 （结果用最简分数表示）．2512．已知k ∈Z ，若曲线222x y k +=与曲线xy k =无交点，则k = ．1±13．已知点(,0)M m （0m >）和抛物线C ：24y x =，过C 的焦点F 的直线与C 交于A 、B 两点，若2AF FB =，且||||MF MA =，则m = ．11214．若非零向量a ，b ，c 满足230a b c ++=，且ab bc c a ⋅=⋅=⋅，则b 与c 的夹角为 ．43π二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知复数z ，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的 [答] ( B )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 16．已知x ∈R ，下列不等式中正确的是 [答] ( C )．A ．1123x x> B ．221111x x x x >-+++ C ．221112x x >++ D ．2112||1x x >+ 17．已知P 为直线y kx b =+上一动点，若点P 与原点均在直线20x y -+=的同侧，则k 、b 满足的条件分别为 [答] ( A )．A ．1k =，2b <B ．1k =，2b >C ．1k ≠，2b <D ．1k ≠，2b >18．已知1a ，2a ，3a ，4a 是各项均为正数的等差数列，其公差d 大于零．若线段1l ，2l ，3l ，4l 的长分别为1a ，2a ，3a ，4a ，则 [答] ( C )．A ．对任意的d ，均存在以1l ，2l ，3l 为三边的三角形B ．对任意的d ，均不存在以1l ，2l ，3l 为三边的三角形C ．对任意的d ，均存在以2l ，3l ，4l 为三边的三角形D ．对任意的d ，均不存在以2l ，3l ，4l 为三边的三角形三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．______________________________________________________________跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家7已知三棱柱ABC A B C '''-的底面为直角三角形，两条直角边AC 和BC 的长分别为4和3，侧棱AA '的长为10．（1）若侧棱AA '垂直于底面，求该三棱柱的表面积．（2）若侧棱AA '与底面所成的角为60︒，求该三棱柱的体积．[解]（1）因为侧棱AA '⊥底面ABC ，所以三棱柱的高h 等于侧棱AA '的长， 而底面三角形ABC 的面积162S AC BC =⋅=，（2分） 周长43512c =++=，（4分）于是三棱柱的表面积2132ABC S ch S ∆=+=全．（6分）（2）如图，过A '作平面ABC 的垂线，垂足为H ，A H '为三棱柱的高．（8分）因为侧棱AA '与底面所成的角为60︒，所以60A AH '∠=︒，可计算得s i n 653A H A A ''=⋅︒=．（9分） 又底面三角形ABC 的面积6S =，故三棱柱的体积6V S A H '=⋅=⨯12分）20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． 如图，已知点A 是单位圆上一点，且位于第一象限，以x 轴的正半轴为始边、OA 为终边的角设为α，将OA 绕坐标原点逆时针旋转2π至OB ． （1）用α表示A 、B 两点的坐标；（2）M 为x 轴上异于O 的点，若M A M B ⊥，求点M 横坐标的取值范围．[解]（1）由题设，A 点坐标为(cos ,sin )αα，（2分）其中222k k αππ<<π+（k ∈Z ）．（3分） 因为2AOB π∠=，所以B 点坐标为cos ,sin 22αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即(sin ,cos )αα-．（5分）（2）设(,0)M m （0m ≠），于是(cos ,sin )MA m αα=-，(sin ,cos )MB m αα=--， 因为M A M B ⊥，所以0MA MB ⋅=，即(cos )(sin )sin cos 0m m αααα---+=，（8分）整理得2(cos sin )0m m αα--=，由0m ≠，得cos sin 4m αααπ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，（10分）此时222k k αππ<<π+，且24k απ≠π+，于是22444k k αππ3ππ+<+<π+，且242k αππ+≠π+（k ∈Z ）得cos 4απ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，且cos 04απ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭． 因此，点M 横坐标的取值范围为(1,0)(0,1)-．（12分）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，某地要在矩形区域OABC 内建造三角形池塘OEF ，E 、OAB CFEABC A 'B 'C 'H______________________________________________________________ 跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家8 F 分别在AB 、BC 边上．5OA =米，4OC =米，4EOF π∠=，设CF x =，AE y =． （1）试用解析式将y 表示成x 的函数；（2）求三角形池塘OEF 面积S 的最小值及此时x 的值．[解]（1）直角三角形AOE 中，tan 5y AOE ∠=，直角三角形COF 中，tan 4x COF ∠=． 正方形OABC 中，由4EOF π∠=，得4AOE COF π∠+∠=，于是tan()1AOE COF ∠+∠=，代入并整理得5(4)4x y x-=+．（4分）因为05x ≤≤，04y ≤≤，所以5(4)044x x -+≤≤，从而449x ≤≤．（6分）因此，5(4)4x y x -=+ （449x ≤≤）．（2）()OABC OAE OCF EBF S S S S S ∆∆∆=-++1154[54(4)(5)](20)22y x y x xy =⨯-++--=-，（8分）将5(4)4x y x-=+代入上式，得25(16)532(4)82(4)24x S x x x +⎡⎤==++-⎢⎥++⎣⎦，（10分） 当449x ≤≤时，3244x x +++≥，当且仅当1)x =时，上式等号成立．（12分） 因此，三角形池塘OEF 面积的最小值为20(21)平方米，此时4(21)x =米．（14分）22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆Γ：22221x y a b+=（0a b >>），过原点的两条直线1l 和2l 分别与Γ交于点A 、B 和C 、D ，得到平行四边形ACBD ．（1）当ACBD 为正方形时，求该正方形的面积S ．（2）若直线1l 和2l 关于y 轴对称，Γ上任意一点P 到1l 和2l 的距离分别为1d 和2d ，当2212d d +为定值时，求此时直线1l 和2l 的斜率及该定值． （3）当ACBD 为菱形，且圆221x y +=内切于菱形ACBD 时，求a ，b 满足的关系式． [解]（1）因为ACBD 为正方形，所以直线1l 和2l 的方程为y x =和y x =-．（1分）点A 、B 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组2222,1y x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩的实数解，将y x =代入椭圆方程，解得22221222a b x x a b ==+．______________________________________________________________ 跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家9根据对称性，可得正方形ACBD 的面积22212244a S ba b x =+=．（4分）（2）由题设，不妨设直线1l 的方程为y kx =（0k ≠），于是直线2l 的方程为y kx =-．设00(,)P x y ，于是有2200221x y a b +=，又1d，2d =，（6分）222222200000012222()()22111kx y kx y k x y d d k k k -+++=+=+++，将2220021x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭代入上式， 得22222222022212222212211x b k x b k x b a a d d k k ⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++，（8分） 对于任意0[,]x a a ∈-，上式为定值，必有2220b k a -=，即b k a=±，（9分）因此，直线1l 和2l 的斜率分别为b a 和b a-，此时222212222a b d d a b +=+．（10分） （3）设AC 与圆221x y +=相切的切点坐标为00(,)x y ，于是切线AC 的方程为001x x y y +=．点A 、C 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组22220011x y x x y y ab ⎧+=+=⎪⎨⎪⎩的实数解．① 当00x =或00y =时，ACBD 均为正方形，椭圆均过点(1,1)，于是有22111a b +=．（11分）② 当00x ≠且00y ≠时，将001(1)y x x y =-代入22221x y a b +=，整理得2222222220000()2(1)0b y a x x x a x a b y +-+-=，于是222012222200(1)a b y x x b y a x -=+，（13分） 同理可得222012222200(1)b a x y y b y a x -=+．（15分） 因为ACBD 为菱形，所以AO CO ⊥，得0AO CO ⋅=，即12120x x y y +=，（16分）于是22222200222222220000(1)(1)0a b y b a x b y a x b y a x --+=++，整理得22222200()a b a b x y +=+，由22001x y +=， 得2222a b a b +=，即22111a b +=．（18分）综上，a ，b 满足的关系式为22111a b +=．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知1a ，2a ，…，n a 是由n （*n ∈N ）个整数1，2，…，n 按任意次序排列而成的数列，数列{}n b 满足1k k b n a =+-（1,2,,k n =），1c ，2c ，…，n c 是1，2，…，n 按从大到小的顺序排列而成的数列，记122n n S c c nc =+++．______________________________________________________________ 跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家10 （1）证明：当n 为正偶数时，不存在满足k k a b =（1,2,,k n =）的数列{}n a ．（2）写出k c （1,2,,k n =），并用含n 的式子表示n S ．（3）利用22212(1)(2)()0n b b n b -+-++-≥， 证明：1212(1)(21)6n b b nb n n n +++++≤及122n n a a na S +++≥．（参考：222112(1)(21)6n n n n +++=++．）[证明]（1）若k k a b =（1,2,,k n =），则有1k k a n a =+-，于是12k n a +=．（2分） 当n 为正偶数时，1n +为大于1的正奇数，故12n +不为正整数， 因为1a ，2a ，…，n a 均为正整数，所以不存在满足k k a b =（1,2,,k n =）的数列{}n a 4分 [解]（2）(1)k c n k =--（1,2,,k n =）．（6分） 因为(1)k c n k =+-，于是122n n S c c nc =+++[(1)1]2[(1)2][(1)]n n n n n =+-++-+++-222(12)(1)(12)n n n =++++-+++2111(1)(1)(21)(1)(2)266n n n n n n n n =+-++=++．（10分）[证明]（3）先证121(1)(21)62n n n b b n b n +++++≤．222222222121212(1)(2)()(12)2(2)()n n n b b n b n b b nb b b b -+-++-=+++-+++++++ ①，这里，1k k b n a =+-（1,2,,k n =），因为1a ，2a ，…，n a 为从1到n 按任意次序排列而成，所以1b ，2b ，…，n b 为从1到n 个整数的集合，从而22222212=12n b b b n ++++++，（12分） 于是由①，得22222212120(1)(2)()2(12)2(2)n n b b n b n b b nb -+-++-=+++-+++≤，因此，22212212n b b nb n ++++++≤，即121(1)(21)62n n n b b n b n +++++≤．（14分）再证122n n a a na S +++≥．由1k k b n a =+-，得12122(1)2(1)(1)n n b b nb n a n a n n a +++=+-++-+++-21212(1)[1(1)2(1)(1)](2)(2)2n n n n n n n n a a na a a na +=++++++-+++=-+++16分因为121(1)(21)62n n n b b n b n +++++≤，即2121(1)(2(11))6)(22n n n a a n n n a n +-+++++≤， 所以2121(1)(21)(1)(1)(2)2266n n n n n n n a a n n a n ++++++-+=+≥， 即122n n a a na S +++≥．（18分）______________________________________________________________跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家 11。
上海市浦东新区2015届高三上学期期末考试(一模)数学试题
......〔 2〕mgh1mv 1 2〔1 分〕B 0 dv 1 2I 13R2B 0dv 1UI 12R〔1 分〕39U 2h〔1 分〕8gB 02d2〔 3〕2U 2RB 0 dv 22B 0dv 2〔1 分〕3R 3对甲棒，由动能定理，有mgLsin 37mgL cos37 Q 总1mv 2 2 1mv 12， 〔1 分〕22式中 Q 总为克制安培力所做的功，转化成了甲、乙棒上产生的热量；Q 总1mgL 27mU 22 8B 02 d 2Q2Q 总 1mgL9mU 2〔1 分〕3 3 4B 02d 2〔 4〕B x 沿斜面向下；〔1 分〕〔两棒由静止释放的高度越高， 甲棒进入磁场时的安培力越大， 加速度越小， 而乙棒只有摩擦力越大加速度才越小，故乙棒所受安培力应垂直斜面向下〕从不同高度下落两棒总是同时到达桌面，说明两棒运动的加速度时刻一样。
对甲棒，根据牛顿第二定律，有mgsinmg cosB 02d 2 v ma〔1 分〕2R对乙棒，根据牛顿第二定律，有2mg sin(2mg cos B x1 B 0 dvd)2ma 〔1 分〕B x B 0 d 2v B 02d 2v2 2R8R2RB x4B 0 32B 0〔1 分〕操作Ⅱ 中计算机屏幕上可能出现的U － t 关系图像有三种可能，如图〔c 〕所示。
〔 2 分〕UOt 0 tt 0为金属棒刚进入磁场的时刻。
图〔 c 〕所有： 中华资源库ziyuanku。
上海市黄浦区2015届高三上学期期终调研测试(一模)物理试题 Word版含解析
黄浦区2014学年度第一学期高三年级期终考试物理试卷2015年1月7日（本卷测试时间为120分钟，满分150分）考生注意：1．答卷前，务必将姓名、准考证号等填写清楚；2．第I卷（1-20题)由机器阅卷，答案必须全部涂写在答题卷上。
考生应将代表正确答案的小方格用2B铅笔涂黑。
注意试题题号和答题卡编号一一对应，不能错位。
答案需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择。
答案不能涂写在试卷上，涂写在试卷上一律不给分；3．第II卷（21-33题）考生应用蓝色或黑色的钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上。
第30、31、32、33题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案，而未写出主要演算过程的不能得分，有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位。
第I卷（共56分）一、单项选择题（共16分，每小题2分。
每小题只有一个正确选项。
）1．关于处理物理问题的思想与方法，下列说法中正确的是（）（A）伽利略在研究自由落体运动时采用了微元法（B）在探究平均速度实验中使用了等效替代的思想（C）法拉第在研究电磁感应现象时利用了理想实验法（D）在探究加速度与力、质量的关系实验中使用了理想化模型的思想方法【答案】B【命题立意】本题旨在考查物理学史。
【解析】A、伽利略在研究自由落体运动时采用了理想实验和逻辑推理的方法．故A错误；B、平均速度能粗略表示物体运动的快慢，在探究平均速度实验中使用了使用了等效替代的思想．故B正确；C、法拉第在研究电磁感应现象时利用了控制变量法．故C错误；D、在探究加速度与力、质量的关系实验中使用了控制变量的思想方法．故D错误。
故选：B。
【举一反三】在学习物理知识的同时，我们还学习科学研究的方法，常用的方法有：控制变量法、等效替代法、理想实验法、类比法等等。
2．若一匹马拉一辆车，但没有拉动，下列说法中正确的是（）（A）马拉车的力小于地面对车的摩擦力（B）马拉车的力与车拉马的力是一对平衡力（C）马拉车的力与地面对车的摩擦力是一对平衡力（D）马拉车的力与地面对车的摩擦力是一对作用力与反作用力【答案】C【命题立意】本题旨在考查作用力和反作用力。
【解析版】上海市黄浦区高三上学期期末(一模)考试数学(理)试题Word版含解析
考试试卷黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）2014.1.9考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（每题4分，满分56分，将答案填在答题纸上）1.函数()()21log 2+-=x x x f 的定义域是 ．2.己知全集U R =，集合{}R x x x A ∈>+=,21|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤-=R x xx x B ,02|， 则()=B A C U.3.已知幂函数()x f 存在反函数，且反函数()x f 1-过点（2，4），则()x f 的解析式是 . 【答案】()0)f x x =?【解析】试题分析：首先要弄清幂函数的形式，其次要弄懂反函数的性质，反函数图象过点(2,4)，说明原函数图象过点(4,2)，设()af x x =，则42a =，则12a =，故()0)f x x =≥. 考点：幂函数，反函数的性质.4.方程22937=-⋅xx的解是 .5.己知数列{}na 是公差为2的等差数列，若6a是7a 和8a 的等比中项，则n a =________.6.已知向量()θθsin ,cos =，()2,1-=,若a ∥b ，则代数式θθθθcos sin cos sin 2+-的值是 ． 【答案】5 【解析】试题分析：利用向量平行的充要条件，由a ∥b 得cos sin 12θθ=-，即sin 2cos θθ=-，代入求值式即得． 考点：向量平行．7.三阶行列式45sin 2cos 610sin ---x x x ()R x ∈中元素4的代数余子式的值记为()x f ，则函数()x f 的最小值为8.各项都为正数的无穷等比数列{}na ，满足,,42t a m a==且⎩⎨⎧==ty mx 是增广矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2221103的线性方程组⎩⎨⎧=+=+2222111211c y a x a c y a x a 的解，则无穷等比数列{}n a 各项和的数值是 _________.9.1531⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式的常数项的值是__________．【答案】5005 【解析】试题分析：其二项展开式的通项公式为30515611515((1)rr rr r r r T C C x --+==-，令30506r -=，即6r =，所以常数项为第7项66715(1)5005T C =-=．考点：二项展开式的通项公式．10.把4个颜色各不相同的乒乓球随机的放入编号为1、2、3、4的四个盒子里 ．则恰好有一个盒子空的概率是 （结果用最简分数表示）11.将某个圆锥沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图是一个圆和扇形，己知该扇形的半径为24cm ，圆心角为34π，则圆锥的体积是________3cm .12.从某项有400人参加的群众性运动的达标测试中，随机地抽取50人的成绩统计成如下表，则400人的成绩的标准差的点估计值是 ．【答案】1.09 【解析】试题分析：在统计学中，一般用样本来估计总体，即本题中我们用样本的标准差来估计总体的标准差，对容量为n 的样本，其方差为22221111()n n i i i i s x x x x n n ===-=-∑∑，本题中样本容量为50，计算出2 1.16s =，因此标准差为 1.09s =≈，此即为总体400人的成绩的标准差．考点：方差与标准差，总体与样本．13.设向量()b a ,=α，()n m ,=β，其中R n m b a ∈,,,恒成立，可以证明（柯西）不等式()()()22222n m b a bn am ++≤+（当且仅当α∥β，即bman =时等号成立），己知+∈R y x ,k x y +恒成立，利用可西不等式可求得实数k 的取值范围是14.．己知数列{}n a 满足()()*+∈=-+N n n a a n nn ,11，则数列{}na 的前2016项的和2016S 的值是___________． 【答案】1017072 【解析】试题分析：这个数列既不是等差数列也不是等比数列，因此我们要研究数列的各项之间有什么关系，与它们的和有什么联系？把已知条件具体化，有211a a -=，322a a +=，433a a -=，544a a +=，…，201520142014a a +=，201620152015a a -=，我们的目的是求201612342016S a a a a a =+++++，因此我们从上面2015个等式中寻找各项的和，可能首先想到把出现“＋”的式子相加（即n 为偶数的式子相加），将会得到234520142015242014a a a a a a ++++++=+++，好像离目标很近了，但少12016a a +，而1a 与2016a 分布在首尾两个式子中，那么能否把首尾两个式子相减呢？相减后得到1201622105()()a a a a +-+=二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【答案】C 【解析】试题分析：这是考查不等式的性质，由于0ab >，因此不等式11a b<两边同乘以ab 可得b a <，即a b >，16.已知空间两条直线n m ,，两个平面βα,，给出下面四个命题： ①；n m n m αα⊥⇒⊥,,‖ ②αβα≠⊂m ,‖，β≠⊂n n m ⇒；③；n m n m αα‖,‖,‖⇒ ④。
上海市黄浦区2015届高三英语一模试卷及答案(官方版)
Family-friendly facilities 33___________(develop) for a new golfing demographic(人群) in the following years, 34__________ more women are playing the game and men and women eir leisure time together.
There is no official ranking system to indicate which institutions are better than others, 28__________several unofficial rankings are listed by magazines and associations. However, educators urge caution in using a ranking table and emphasize that 29___________(good) choice for one student may be very different for another.
Children’s engagement with the game will increase. In China, golf is recognized as a game 35___________teaches children important life principles. Free golf training is offered to kinder-gartners and some parents are now prepared to spend up to 300,000 yuan a year on lessons for their children.
高考数学一模考试试题2015年黄浦高三一模(文)
黄浦区2014学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷(文)（2015年1月8日）一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果， 每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U=R ，集合{}1|||1|2A x x B x x ⎧⎫=<=>-⎨⎬⎩⎭，，则U (C )B A =I ．2．函数()f x =的定义域是 ．3．已知直线12:30,:(1(110l x y l x y +-=++=，则直线1l 与2l 的夹角的大小是 ．4．若三阶行列式1302124121n m mn -+---中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是15-，则|i |n m +（其中i 是虚数单位，R m n ∈、）的值是 ．5．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：22172x y -=的右焦点重合，则抛物线C 的方程是 ．6．若函数213()2x ax a f x ++-=是定义域为R 的偶函数，则函数()f x 的单调递减区间是 ．7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点4(,)5A A x ，则sin 2α＝ ．（用数值表示）8．已知二项式*(12)(2,N )nx n n +≥∈的展开式中第3项的系数是A ，数列{}n a *(N )n ∈是公差为2的等差数列，且前n 项和为n S ，则lim n nAS →∞＝ ．9．已知某圆锥体的底面半径3r=，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是 ．10．若从总体中随机抽取的样本为1,3,1,1,1,3,2,2,0,0--，则该总体的标准差的点估计值是 ． 11．已知 R,,m n m n αβαβ∈<<、、、，若αβ、是函数()2()()7f x x m x n =---的零点， 则m n αβ、、、四个数按从小到大的顺序是 (用符号<“”连接起来)． 12．一副扑克牌（有四色，同一色有13张不同牌）共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌 有且仅有2张花色相同的概率为 （用数值作答）．13．已知R x ∈，定义：()A x 表示不小于x的最小整数．如2,(0.4)0,A A =-=( 1.1)1A -=- . 若(21)3A x +=，则实数x 的取值范围是 ．14．已知点P Q 、是ABC ∆所在平面上的两个定点，且满足0,PA PC +=u u u r u u u r r2QA QB QC BC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ,若||=||PQ BC λu u u r u u u r，则正实数λ= .二、选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内的无数条直线 都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 [答] ( )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件16．已知向量(3,4)a =-r，则下列能使12(R)a e e λμλμ=+∈r u r u u r 、成立的一组向量12,e e u r u u r是 [答] ( )．A ．12(0,0)(1,2)e e ==-u r u u r ，B ．12(1,3)(2,6)e e =-=-u r u u r，C ．12(1,2)(3,1)e e =-=-u r u u r ，D ．121(,1)(1,2)2e e =-=-u r uu r ，17．一个算法的程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是 [答] ( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．718．已知i z a b =+(R i )a b ∈、，是虚数单位，12,C z z ∈，定义：()||z ||||||D z a b ==+，1212(,z )||z ||D z z =-．给出下列命题：则其中真命题是 [答] ( ) ． （1）对任意C z ∈，都有(z)0D >；（2）若z 是复数z 的共轭复数，则()(z)D z D =恒成立；（3）若12(z )(z )D D =12(z z C)∈、，则12z z =； （4）对任意12C z ∈、z ，结论1221(z ,z )=(z ,z )D D 恒成立．A ．(1)(2)(3)(4)B ．(2)(3)(4)C ．(2)(4)D ．(2)(3)三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5写出必要的步骤．19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6 在长方体1111ABCD A B C D -中，14,3AB AA BC ===，E F 、分别是 所在棱AB BC 、的中点，点P 是棱11A B 上的动点，联结1,EF AC （1）求异面直线1EF AC 、所成角的大小(用反三角函数值表示)； （2）求以E B F P 、、、为顶点的三棱锥的体积．20．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知函数()cos cos 2,R f x x x x x =-∈．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，内角A B C 、、所对边的长分别是a b c 、、，若()2,C ,24f A c π===，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值．21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数101(),R 101xx g x x -=∈+，函数()y f x =是函数()y g x =的反函数．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出定义域D ；（2）设函数1()()h x f x x=-，试判断函数()y h x =在区间(1,0)-上的单调性，并说明你的理由．22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分． 定义：若各项为正实数的数列{}n a满足*1N )n an +=∈，则称数列{}n a 为“算术平方根递推数列”.已知数列{}n x 满足*0N ,n x n >∈，且19,2x=点1(,)n n x x +在二次函数2()22f x x x =+的图像上. （1）试判断数列{}21n x +*(N )n ∈是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由； （2）记lg(21)n n y x =+*(N )n ∈，求证：数列{}n y 是等比数列，并求出通项公式n y ；（3）从数列{}n y 中依据某种顺序自左至右取出其中的项123,,,n n n y y y L，把这些项重新组成一个新数列{}n z ：123123,z ,z ,n n n z y y y ===L ．若数列{}n z 是首项为111()2m z-=，公比为*1(,N )2kq m k =∈的无穷等比 数列，且数列{}n z 各项的和为13，求正整数k m 、的值．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 在平面直角坐标系中，已知动点(,)M x y ，点(0,1),(0,1),(1,0),A B D -点N 与点M 关于直线y x =对称，且212AN BN x ⋅=u u u r u u u r．直线l 是过点D 的任意一条直线．（1）求动点M 所在曲线C 的轨迹方程；（2）设直线l 与曲线C 交于G H 、两点，且||2GH =，求直线l 的方程； （3）设直线l 与曲线C 交于G H 、两点，求以||GH 的长为直径且经过坐标原点O 的圆的方程．黄浦区2014学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷(文)参考答案和评分标准(2015年1月8日)说明：1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分． 2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 一、填空题1．1(1,]2--； 2．(1,)+?； 3．3p ； 4．2； 5．212y x =； 6．(,0]-?；7．2425-； 8．2； 9．36p ； 1011．m n a b <<<； 12．234425；13．112x <≤； 14．12． 二、选择题： 15．B 16．C 17．A 18．C 三、解答题19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分．解：（1）联结AC ，在长方体1111ABCD A B C D -中，有AC EF P . 又1CAC ∠是直角三角形1ACC 一个锐角，∴1CAC ∠就是异面直线1AC EF 与所成的角. 由14,3AB AA BC ===，可算得5AC ==.∴114tan 5CC CAC AC ∠==，即异面直线1AC EF 与所成角的大小为4arctan 5.（2）由题意可知，点P 到底面ABCD 的距离与棱1AA 的长相等．∴113P EBF EBF V S AA -∆=⋅．∵113322222EBF S EB BF ∆=⋅=⋅⋅=，∴1113=4=2332P EBF EBF V S AA -∆=⋅⋅⋅．20．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分． 解：（1）∵()cos cos 2R f x x x x x =-∈，，∴()2sin(2)6f x x π=-.由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.∴函数()f x 的单调递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈. （2）∵在ABC ∆中，()2,,24f A C c π===，∴2sin(2)2,6A π-=解得,3A k k Z ππ=+∈. 又0A π<<，∴3A π=.依据正弦定理，有,sinsin34a c a ππ==解得∴512B AC ππ=--=.∴11sin 222ABC S ac B ∆==⋅=.21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．解：（1）1012()1,R 101101x x x g x x -==-∈++Q ，()1g x ∴<.又1011x +>，2211110101x ∴->-=-++.1()1g x ∴-<<. 由101101x x y -=+，可解得1110,lg 11xy y x y y ++==--. 1()lg1x f x x+∴=-，(1,1)D =-. （2）答：函数()y h x =在区间(1,0)-上单调递减.理由：由(1)可知，11111()()lg lg11x xh x f x x x x x x+-=-=-=+-+. 可求得函数()h x 的定义域为1(1,0)(0,1)D =-U .对任意1x D ∈，有1111()()lg lg 011x x h x h x x x x x-++-=+++=+--，所以，函数()y h x =是奇函数. 当(0,1)x ∈时，1x 在(0,1)上单调递减，12=111x x x --+++在(0,1)上单调递减， 于是，1lg 1xx-+在(0,1)上单调递减. 因此，函数()y h x =在(0,1)上单调递减.依据奇函数的性质，可知， 函数()y h x =在(1,0)-上单调递减.22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分． 解：（1）答：数列{}21n x +是算术平方根递推数列.理由：1(,)n n x x +Q 点在函数2()22f x x x =+的图像上，21122,n n n x x x ++∴=+ 21121441n n n x x x +++=++即，2121(21)n n x x ++=+. 又*0,N n x n >∈，∴*121n x n N ++∈．∴数列{}21n x +是算术平方根递推数列.证明（2）*1lg(21),21N n n n y x x n +=++=∈Q，112n n yy +∴=. 又1119lg(21)1()2y x x =+==Q ,∴数列{}n y 是首项为11y =,公比12q =的等比数列.1*11(),N 2n n y y n -∴=⋅∈.（3）由题意可知，无穷等比数列{}z n 的首项1112m z -=,公比*1(N )2k k m k m ∈、且、为常数，11121312m k -∴=-．化简，得113122k m -+=． 若13m -≥，则1131313++1222828k m k -+≤≤<.这是矛盾！12m ∴-≤.又101m -=或时，113122k m -+>,∴ 12,3m m -==即. 131,24,224kkk ∴=-==解得. 3,2.m k =⎧∴⎨=⎩ 23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解：（1）依据题意，可得点(,)N y x .(,1),(,1)AN y x BN y x ∴=-=+u u u r u u u r． 又212AN BN x ⋅=u u u r u u u r ，222112y x x ∴+-=. ∴所求动点M 的轨迹方程为22:12x C y +=. （2）若直线l y P轴，则可求得|GH ，这与已知矛盾，因此满足题意的直线l 不平行于y 轴．设直线l 的斜率为k ，则:(1)l y k x =-．由221,2(1).x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得2222(12)4220k x k x k +-+-=．设点1122(,)(,)H x y G x y 、，有212221224,212221k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩且0∆>恒成立（因点D 在椭圆内部）．又||2GH =，2=2=，解得2k =±．所以，所求直线:1)2l y x =±-． （3）Q 当直线l y P轴时，||GH =，点O 到圆心的距离为1.即点O 在圆外，不满足题意.∴满足题意的直线l 的斜率存在，设为k ，则:(1)l y k x =-.设点1122(,)(,)H x y G x y 、，由(2)知，212221224,2122.21k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩进一步可求得12221222,21.21k y y k k y y k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩依据题意，有OG OH ⊥u u u r u u u r ， 12120x x y y ∴+=，即22222202121k k k k --+=++，解得k = ∴所求圆的半径1||25r GH ===，圆心为12124(,)(,2255x x y y ++=±.∴所求圆的方程为：22418()(5525x y -+±=.。
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上海市黄浦区2015届高三上学期期终调研测试（一模）数学(理)试卷(2015年1月8日)一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U=R ，集合{}1|||1|2A x x B x x ⎧⎫=<=>-⎨⎬⎩⎭，，则U (C )B A = ．2．函数()f x =的定义域是 ．3．已知直线12:30,:(1(110l x y l x y +-=++=，则直线1l 与2l 的夹角的 大小是 ．4．若三阶行列式1302124121n m mn -+---中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是15-，则|i|n m +(其中i 是虚数单位，R m n ∈、)的值是 ．5．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：22172x y -=的右焦点重合，则抛物线C 的方程是 ． 6．若函数213()2x ax af x ++-=是定义域为R 的偶函数，则函数()f x 的单调递减区间是 ．7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点4(,)5A A x ，则sin 2α＝ ．(用数值表示) 8．已知二项式*(12)(2,N )nx n n +≥∈的展开式中第3项的系数是A ，数列{}n a *(N )n ∈是公差为2的等差数列，且前n 项和为n S ，则limn nAS →∞＝ ． 9．已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是 ．10．若从总体中随机抽取的样本为1,3,1,1,1,3,2,2,0,0--，则该总体的标准差的点估计值是 ．11．已知 R,,m n m n αβαβ∈<<、、、，若αβ、是函数()2()()7f x x m x n =---的零点，则m n αβ、、、四个数按从小到大的顺序是 (用符号<“”连接起)．12．一副扑克牌(有四色，同一色有13张不同牌)共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为 (用数值作答)．13．已知R x ∈，定义：()A x 表示不小于x的最小整数．如2,(0.4)0,A A =-=( 1.1)1A -=- . (理科)若(2())5A x A x ⋅=，则正实数x 的取值范围是 ． (文科) 若(21)3A x +=，则实数x 的取值范围是 ． 14．已知点O 是ABC ∆的重心，内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，且 2320a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=,则角C 的大小是 . 二、选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直的[答] ( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 16．已知向量(3,4)a =-，则下列能使12(R)a e e λμλμ=+∈、成立的一组向量12,e e 是 [答] ( )．A．12(0,0)(1,2)e e ==-，B ．12(1,3)(2,6)e e =-=-，C ．12(1,2)(3,1)e e =-=-，D ．121(,1)(1,2)2e e =-=-，17．一个算法的程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是[答] ( )． A ．4 B ． 5 C ． 6 D ． 718．已知i z a b =+(R i )a b ∈、，是虚数单位，12,C z z ∈，定义：()||z ||||||D z a b ==+，P1212(,z )||z ||D z z =-．给出下列命题：(1)对任意C z ∈，都有(z)0D >；(2)若z 是复数z 的共轭复数，则()(z)D z D =恒成立； (3)若12(z )(z )D D =12(z z C)∈、，则12z z =；(4)对任意123C z z ∈、z 、，结论131223(z ,z )(z ,z )(z ,z )D D D ≤+恒成立，则其中真命题是[答]( )．三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题 卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6 在长方体1111ABCD A B C D -中，14,3AB AA BC ===，E F 、分别是所在棱AB BC 、的中点，点P 是棱11A B 上的动点，联结1,EF AC ．如图所示．(1)求异面直线1EF AC 、所成角的大小(用反三角函数值表示)； (2)求以E F A P 、、、为顶点的三棱锥的体积．20．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知函数()cos cos2,R f x x x x x =-∈．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，内角A B C 、、所对边的长分别是a b c 、、，若()2,C ,24f A c π===，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值．21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数101(),R 101xx g x x -=∈+，函数()y f x =是函数()y g x =的反函数． (1)求函数()y f x =的解析式，并写出定义域D ； (2)设1()()h x f x x=-，若函数()y h x =在区间(0,1)内的图像是不间断的光滑曲线，求证：函数()y h x =在区间(1,0)-内必有唯一的零点(假设为t )，且112t -<<-．22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分．定义：若各项为正实数的数列{}n a 满足*1N )n a n +=∈，则称数列{}n a 为“算术平方根递推数列”.已知数列{}n x 满足*0N ,n x n >∈，且19,2x =点1(,)n n x x +在二次函数2()22f x x x =+的图像上.(1)试判断数列{}21n x +*(N )n ∈是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由； (2)记lg(21)n n y x =+*(N )n ∈，求证：数列{}n y 是等比数列，并求出通项公式n y ；(3)从数列{}n y 中依据某种顺序自左至右取出其中的项123,,,n n n y y y ，把这些项重新组成一个新数列{}n z ：123123,z ,z ,n n n z y y y ===.若数列{}n z 是首项为111()2m z -=、公比为*1(,N )2k q m k =∈的无穷等比数列，且数列{}n z 各项的和为1663，求正整数k m 、的值． 23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．在平面直角坐标系中，已知动点(,)M x y ，点(0,1),(0,1),(1,0),A B D -点N 与点M 关于直线y x =对称，且212AN BN x ⋅=.直线l 是过点D 的任意一条直线．(1)求动点M 所在曲线C 的轨迹方程；(2)设直线l 与曲线C 交于G H 、两点，且||2GH =，求直线l 的方程； (3)若直线l 与曲线C 交于G H 、两点，与线段AB 交于点P (点P 不同于点O A B 、、)，直线GB 与直线HA 交于点Q ，求证：OP OQ ⋅是定值．数学试卷(理)参考答案和评分标准(2015年1月8日)说明：1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 一、填空题1．1(1,]2--； 8．2；2．(1,)+ ； 9．36p ；3．3p ； 10；4．2； 11．m n a b <<<； 5．212y x =； 12．234425； 6．(,0]- ； 13． 514x <≤； 7．2425-； 14．3p ； 二、选择题： 15．B 16．C 17．A 18．C 三、解答题19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分． 解(1)联结AC ，在长方体1111ABCD A BC D -中，有ACEF .又1CAC ∠是直角三角形1ACC 的一个锐角，∴1CAC ∠就是异面直线1AC EF 与所成的角.由14,3AB AA BC ===，可算得5AC ==.∴114tan 5CC CAC AC ∠==，即异面直线1AC EF 与所成角的大小为4arctan 5.(2)由题意可知，点P 到底面ABCD 的距离与棱1AA 的长相等．∴113P AEF AEF V S AA -∆=⋅． ∵113322222AEF S AE BF ∆=⋅=⋅⋅=，∴1113=4=2332P AEF AEF V S AA -∆=⋅⋅⋅．20．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分． 解(1)∵()cos cos2R f x x x x x =-∈，， ∴()2sin(2)6f x x π=-.由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.∴函数()f x 的单调递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈.(2)∵在ABC ∆中，()2,,24f A C c π===，∴2sin(2)2,6A π-=解得,3A k k Z ππ=+∈.又0A π<<，∴3A π=.依据正弦定理，有,sinsin34a c a ππ==解得.∴512B AC ππ=--=.∴11sin 222ABC S ac B ∆==⋅=. 21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．解(1)1012()1,R 101101x x x g x x -==-∈++，()1g x ∴<.又1011x +>，2211110101x∴->-=-++. 1()1g x ∴-<<.由101101x x y -=+，可解得1110,lg 11xy y x y y ++==--.1()l g1xf x x+∴=-，(1,1)D =-. 证明 (2)由(1)可知，11111()()lg lg 11x xh x f x x x x x x+-=-=-=+-+.可求得函数()h x 的定义域为1(1,0)(0,1)D =-.对任意1x D ∈，有1111()()lg lg 011x xh x h x x x x x-++-=+++=+--， 所以，函数()y h x =是奇函数. 当(0,1)x ∈时，1x 在(0,1)上单调递减，12=111x x x--+++在(0,1)上单调递减，于是，1lg1xx-+在(0,1)上单调递减. 因此，函数()y h x =在(0,1)上单调递减. 依据奇函数的性质，可知，函数()y h x =在(1,0)-上单调递减，且在(1,0)-上的图像也是不间断的光滑曲线.又199100100()2lg 30,()lg1992021009999h h -=-+<-=-+>->, 所以，函数()y h x =在区间(1,0)-上有且仅有唯一零点t ，且112t -<<-.22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分．解(1)答：数列{}21n x +是算术平方根递推数列.理由：1(,)n n x x +点在函数2()22f x x x =+的图像上，21122,n n n x x x ++∴=+ 21121441n n n x x x +++=++即，2121(21)n n x x ++=+.又*0,N n x n >∈，∴*121n x n N ++=∈．∴数列{}21n x +是算术平方根递推数列.证明(2)*1lg(21),21N n n n y x x n +=++=∈，112n n yy +∴=. 又1119lg(21)1()2y x x =+==,∴数列{}n y 是首项为11y =,公比12q =的等比数列.1*11(),N 2n n y y n -∴=⋅∈.(3)由题意可知，无穷等比数列{}z n 的首项1112m z -=,公比*1(N )2k k m k m ∈、且、为常数， 1116216312m k -∴=- ． 化简，得116631622k m -+=．若13m -≥，则1166316631663++16222828k m k -+≤≤<.这是矛盾！ 12m ∴-≤.又101m -=或时，116631622k m -+>,∴ 12,3m m -==即. 166316,264,624kk k ∴=-==解得.3,6.m k =⎧∴⎨=⎩23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解(1)依据题意，可得点(,)N y x .(,1),(,1)AN y x BN y x ∴=-=+．又212AN BN x ⋅=， 222112y x x ∴+-=.∴所求动点M 的轨迹方程为22:12x C y +=.(2) 若直线l y轴，则可求得|GH ，这与已知矛盾，因此满足题意的直线l 不平行于y 轴．设直线l 的斜率为k ，则:(1)l y k x =-．由221,2(1).x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得2222(12)4220k x k x k +-+-=．设点1122(,)(,)H x y G x y 、，有212221224,212221k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩且0∆>恒成立(因点D 在椭圆内部)．又||GH =2=2=，解得2k =±．所以，所求直线:1)2l y x =±-． 证明(3)直线l 与线段AB 交于点P ，且与点O A B 、、不重合，∴直线l 的斜率k 满足：11,0k k -<<≠．由(2)可得点(0,)P k -，可算得21212222,2121k k y y y y k k -+==-++．又直线121211:1,:1y y HA y x GB y x x x -+-=+=．设点(,y )Q Q Q x ，则由11221111.y y x x y y x x -⎧-=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，得12211111Q Q y y x y y x --=⋅++(此等式右边为正数). ∴101Q Q y y ->+，且222121212222112121(1)1()()1(1)1Q Q y y x y y y y y y x y y y y ---++=⋅=+++++=21+1k k ⎛⎫⎪-⎝⎭． ∴1111Q Q y k y k-+=+-，解得1Q y k =-. 1(0,)(,)1Q OP OQ k x k∴⋅=-⋅-=为定值.。