振动之同方向的简谐振动的合成

取12个分振动，相差依 次为30度，分振动就构 成一个完整的正多边形， 合振幅为零。
{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成
(3)求两个同一直线、频率相近的简谐振动的合振动。 [解析](3)设一个质点同时参与两个同一直线不同频率的简谐振 动，角频率分别为ω1和ω2，为了突出频率不同所产生的效果， 设分振动的振幅和初相位都相同，因此两个分振动方程为 x1 = Acos(ω1t + φ)，x2 = Acos(ω2t + φ) 可见：两个同方向不 同频率的简谐振动合 利用和差化积公式可得合振动为 成之后不是简谐振动， 2 1 2 1 x x1 x 2 2 A co s( t ) co s( t ) 也没有明显的周期性。 2 2 当两个分振动的频率比较大而差异比较小时：|ω2 - ω1| << ω2 + ω1，方程就表示了振幅按2Acos[(ω2 - ω1)t/2]变化 的角频率为(ω2 + ω1)/2的“近似”的简谐振动。 这种振动的振幅变化是周期性的， 相对于简谐振动来说是缓慢的。
矢量首尾相接形成多边形的 一部分，最后首尾相接的矢 量就是合振动，合振幅为A = 5.4ΔA ，初相为60度。
取10 个分 振动， 相差 依次 为30 度。
当各振 动逐级 叠加时， 合振幅 先增加 再变小。
合振幅为A = 1.9 ΔA，初相为135度。
如果分振动的相差为零，那 么，正多边形变成一条线。
两个振动的最大值重合的周期随着发生变化，调制线的周期增大。
拍频为fp = Δω/2π = 1/30Hz，拍频的周期为T p = 1/fp = 30s。
{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成
(1)求任意两个同一直线同频率的简谐振动的合振动；(2)有N个 同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都是ΔA，相差都是 Δφ，第一个振动的初相为零。求N个简谐振动的振幅和初相。 (3)求两个相一直线、频率相近的简谐振动的合振动。 M ω [解析](1)如图所示，设有两个独立的同频率的简谐振动， ω 位移为x1 = A1cos(ωt + φ1)，x2 = A2cos(ωt + φ2) A2 A ω 由于两个振动在同一直线上，因此合振动为 φ2 φφ1 A1 P x = x1 + x2 = A1cos(ωt + φ1) + A2cos(ωt + φ2) x Ox x = (A cosφ + A cosφ )cosωt
1 1 2 2 2 1
- (A1sinφ1 + A2sinφ2)sinωt
x
令Acosφ = A1cosφ1 + A2cosφ2，Asinφ = A1sinφ1 + A2sinφ2, 其中 则x = Acosφcosωt – Asinφsinωt =Acos(ωt + φ),
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) , arctan
这是多个 等幅同频 振动的合 振幅公式。
{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成
(2)有n个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都 是ΔA，相差都是Δφ，第一个振动的初相为零。求N个 C 简谐振动的振幅和初相。
nΔφ
ΔA5
M Δφ
振幅
A A

sin ( n / 2 ) sin ( / 2 )
由于各个振动的振幅相同且相差 恒为Δφ，图中各个矢量的起点和 终点都在以C为圆心的圆周上。
2 r sin
A
设圆的半径为r，每个矢量对 A 应的圆心角都是Δφ ，因此 全部矢量对应的圆 A 2 r sin n 2 心角是nΔφ，因此
2
sin ( n / 2 ) sin ( / 2 )
2 2
A1 sin 1 A 2 sin 2
A1 co s 1 A 2 c o s 2
.
{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成
[讨论] x = cos(ωt + φ), A
A1 A 2 2 A1 A 2 co s( 2 1 )
2 2
①当两个分振动同相时 Δφ = φ2 - φ1 = 2kπ,(k = 0，±1，±2，...)
每经过 20s， 两个振 动的最 大值重 合。经 过10s， 两个振 动的极 大值和 极小值 重合。
一条曲线的角频率较大，是两个分振动的角频率的 平均值；另一条曲线的角频率较小，称为调制线。
调制线决定了振幅的范围。
因为质点振幅的改变是周期性的，就形成 时强时弱的现象，这种现象称为“拍”。
如果将两 个振动的 角频率之 差改小一 些，例如 Δω = π/ 15，两个 振动的最 大值重合 的周期随 着发生变 化。
)
这是多个等幅同频振动的振动公式。 当Δφ→0时，有A→nΔA， φ→0，这就是等幅同频同 相振动合成的情况。 如果nΔA = 2π，就是 所有矢量旋转构成一 个正多边形，则A = 0。
如果有7个分振动，相差依次为20度，各个分振动的振幅相同，位相差恒定。 将各个 分振动 叠加之 后，振 幅越来 越大， 初位相 也越来 越大。
(2)有n个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都 是ΔA，相差都是Δφ，第一个振动的初相为零。求n个 C 简谐振动的振幅和初相。nFra bibliotekφΔA5
M Δφ
[解析](2)采用旋转矢量法可使问题得到 简化，从而避开烦琐的三角函数运算。
r Δφ A
ΔA 4Δφ ΔA 3 Δφ
n个简谐振动可表示为 φ ΔA2Δφ x1 = ΔAcosωt，x2 = ΔAcos(ωt + Δφ)， ΔA 1 x3 = ΔAcos(ωt + 2Δφ)，…，xn = ΔAcos[ωt + (n - 1)Δφ] 根据矢量合成法则，这 些简谐振动对应的旋转 矢量的合成如图所示。
x
如果A1 = A2，则合振动的 结果使质点处于静止状态。
一般情况下，合振幅介于A1 + A2和|A1 - A2|之间。
如果第一个振 动的振幅和初 相分别为 0.03m和0，
第二个振动 的振幅和初 相分别为 0.04m和0，
两个振动同相， 合振动加强，振 幅达到0.07m 。
如果两个振动 的振幅不变， 角度分别是0 和90，x2超前 x1的相位π/2，
(π ) 1 2 (π n ) n 1 2
r Δφ A φ ΔA2Δφ ΔA 1
co s( t n 1 2
ΔA 4Δφ ΔA 3 Δφ
初相为
1 2
这是多个等幅同频振动的初相公式。 合振动为x = Acos(ωt + φ)
A sin ( n / 2 ) sin ( / 2 )
合振幅为 0.05m，初 相的度数 达到53。
如果将两 个角度数 改为0和 180，则两 个振动反 相，合振 动减弱， 振幅只有 0.01m。
如果将两个角度数改为0和90，x2滞后x1的相位π/2。
除了同相和反相 的情况外，合振 动的极大值的横 坐标处在两个分 振动的极大值的 横坐标之间。
{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成
fp 1 Tp
| Tp π
|
2
2π

1
2π
| | f 2 f 1 | .
由于余弦函数的绝对值的周期 为π，设时间周期为Tp，则有
|
2 1
2
因此拍频如上
不妨设两 个振动的 初相都为 零，第一 个角频率 为π/2，第 二个角频 率比第一 个角频率 大Δω = π/10。
拍频为fp = Δω/2π = 1/20Hz，拍频的周期为T p = 1/fp = 20s。
ω A2 φ2
ω A ω φ A φ1 1
M
因为cos(φ2 - φ1) = 1，所以
A A1 A2 2 A1 A 2 A1 A 2
2 2
P
可见：合振幅等于原来两个简谐 Ox x 2 1 振动的振幅之和，振动加强。 x ②当两个分振动反相时 Δφ = φ2 - φ1 = (2k + 1)π ,(k = 0，±1，±2，...) 2 2 A A1 A 2 2 A1 A 2 | A1 A 2 | 因为cos(φ2 - φ1) = -1，所以 合振幅等于原来两个简谐振动的 振幅之差的绝对值，振动减弱。