简谐振动的合成
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简谐振动的合成
x
A1
2
o
A A1 A2
o
相互削弱
A
A2
3）一般情况 A1 A2 A A1 A2
21
2.n个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
xn
An
cos(t
n
)
x x1 x2 xn
19
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 1）相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
x
o
A1
A2
A
A A1 A2
相互加强
20
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1, )
dt 2
J ml 2
d 2
g
2 g
l 2
dt 2 l
cos(t ) m
g
l
T 2π l g
转
A
动
l
正 向
FT m
O
P
10
复摆
M l F
转动正向
O
M mgl sin J J d2
dt 2
l
*C
24
频率较大而频率之差很小的两个同方 向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而 加强时而减弱的现象叫拍.
x1 A1 cos1t A1 cos2π1t x2 A2 cos2t A2 cos2π2t
mgl J d2
dt 2
P
令 2 mgl
简谐运动的合成
所以，拍频是振动 cos(
2
1 2 (
拍频（振幅变化的频率）
2 1
2 t)
的频率的两倍。
2 1
2
) 2 1
8.2
四
简谐运动的合成
第八章 机械振动
两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 x A1 cos( t 1 )
y A 2 cos( t 2 )
( k 0 ， 1 ， 2, )
1）相位差 2 1 2 k π
x
o A
A2
x
o
T
1
t
x ( A1 A 2 ) cos( t )
A
A A1 A 2
2 1 2k π
8.2
简谐运动的合成
A
2 1 2 2
x n A n cos( t n )
A
1 A1
x x1 x 2 x n
x A cos( t )
2
A2
A3 3
o
x
多个同方
简谐运动的合成
第八章 机械振动
x 1 A 0 cos t x 2 A 0 cos( t )
2
T π
T
1
2 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
8.2
简谐运动的合成
第八章 机械振动
由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是 简谐振动。
当 与 都很大，且相差甚微时，可将 1 2 2 视为振幅部分，合成振动是以 为角频率的 ( 2 1 ) / 2 近似谐振动。 2 1 1 2
2
1 2 (
拍频（振幅变化的频率）
2 1
2 t)
的频率的两倍。
2 1
2
) 2 1
8.2
四
简谐运动的合成
第八章 机械振动
两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 x A1 cos( t 1 )
y A 2 cos( t 2 )
( k 0 ， 1 ， 2, )
1）相位差 2 1 2 k π
x
o A
A2
x
o
T
1
t
x ( A1 A 2 ) cos( t )
A
A A1 A 2
2 1 2k π
8.2
简谐运动的合成
A
2 1 2 2
x n A n cos( t n )
A
1 A1
x x1 x 2 x n
x A cos( t )
2
A2
A3 3
o
x
多个同方
简谐运动的合成
第八章 机械振动
x 1 A 0 cos t x 2 A 0 cos( t )
2
T π
T
1
2 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
8.2
简谐运动的合成
第八章 机械振动
由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是 简谐振动。
当 与 都很大，且相差甚微时，可将 1 2 2 视为振幅部分，合成振动是以 为角频率的 ( 2 1 ) / 2 近似谐振动。 2 1 1 2
简谐振动的合成
0 < ∆ϕ < π
质点沿顺时针方向运动
π < ∆ϕ < 2π 质点沿逆时针方向运动
说明：任何一个直线简谐振动， 说明：任何一个直线简谐振动，椭圆运动或匀速 圆周运动都可分解为两个相互垂直的简谐振动. 圆周运动都可分解为两个相互垂直的简谐振动
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第九章 振 动
用旋转矢量描绘振动合成图
(1) ϕ2 − ϕ1 = 0或2π
A2 y= x A1
y
A2
o
A1
x
时刻t 质点离开平衡位置的位移（合振动） 时刻 质点离开平衡位置的位移（合振动）
2 r = x2 + y 2 = A12 + A2 cos(ωt + ϕ )
2 2 A = A1 + A2
——合振动也是谐振动 合振动也是谐振动
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第九章 振 动
Acosϕ = A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2
令
Asinϕ = A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2
A = A12 + A22 + 2A1 A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 tan ϕ = A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
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结束
第九章 振 动
两相 互垂直同 频率不同 相位差简 谐运动的 合成图
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结束
第九章 振 动பைடு நூலகம்
§9.4.4 互相垂直不同频率简谐振动的合成·李萨如图形 互相垂直不同频率简谐振动的合成 李萨如图形
第2节_简谐振动的合成
2
x = ( A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 ) cosωt − ( A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 ) sinωt = A cos ϕ ⋅ cos ωt − A sin ϕ ⋅ sin ωt = A cos(ωt + ϕ ) ∴ x = A cos(ωt + ϕ )
两个同方向、 两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是一个 简谐振动，且频率不变。 简谐振动，且频率不变。 由
若 A1 = A2 , A = 2A1
= A1 + A2
合振动振幅最大。 合振动振幅最大。
（ ） 2.当 ∆ϕ=ϕ2 −ϕ1 = 2k +1 π ( k = 0,±1,±2,⋯) 时, 当
2 2 A = A1 + A2 + 2A1A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
A2
=| A1 − A2 |
A
A2 A1
2 2
ϕ 2 − ϕ1 = π / 2
2 2
x y + =1 A1 A2
•当 当
16
A1 = A2 ,
x +y =A
2
为圆方程
2.
∆ϕ = π / 2
y
8
1 2
y
7 6 5
4
7 6 5
4
8
1 2 2 1
x
3
3
4
播 放 动 画
17
3
5 6 7
x
8
4.
3π (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2
9
由于余弦函数绝对值的周期为π。 ω 2 − ω1 t ) 的频率的两倍。 所以， 的频率的两倍。 所以，拍频是振动 cos( 2 即拍频为： 即拍频为：
x = ( A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 ) cosωt − ( A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 ) sinωt = A cos ϕ ⋅ cos ωt − A sin ϕ ⋅ sin ωt = A cos(ωt + ϕ ) ∴ x = A cos(ωt + ϕ )
两个同方向、 两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是一个 简谐振动，且频率不变。 简谐振动，且频率不变。 由
若 A1 = A2 , A = 2A1
= A1 + A2
合振动振幅最大。 合振动振幅最大。
（ ） 2.当 ∆ϕ=ϕ2 −ϕ1 = 2k +1 π ( k = 0,±1,±2,⋯) 时, 当
2 2 A = A1 + A2 + 2A1A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
A2
=| A1 − A2 |
A
A2 A1
2 2
ϕ 2 − ϕ1 = π / 2
2 2
x y + =1 A1 A2
•当 当
16
A1 = A2 ,
x +y =A
2
为圆方程
2.
∆ϕ = π / 2
y
8
1 2
y
7 6 5
4
7 6 5
4
8
1 2 2 1
x
3
3
4
播 放 动 画
17
3
5 6 7
x
8
4.
3π (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2
9
由于余弦函数绝对值的周期为π。 ω 2 − ω1 t ) 的频率的两倍。 所以， 的频率的两倍。 所以，拍频是振动 cos( 2 即拍频为： 即拍频为：
§11-4相互垂直的简谐振动的合成
x
20 10 π 2
20 10 π 2
合振动运动轨迹为园
二、两个频率不同的相互垂直的简谐振动的合成
两个频率不同的相互垂直的简谐振动合成之后运动轨迹 随时间变化，不是稳定曲线。
1.频率相差很小，合运动轨迹缓慢变化。
2.频率相差较大，数值有简单的整数比值关系时，运动轨迹
为闭合曲线，称为李萨如图形。
y A2 x A1
合振动运动轨迹为直线
2、 20 10 π
y A2 x A1
合振动运动轨迹为直线
y
A2
A1 x
y
x A2
o A1
3、20 10 π 2
x2 A12
y2 A22
1
合振动运动轨迹为正椭圆
4、 两个简谐振动振幅相同时 y
A2 y
o A1 x
y
x
10 )
两个频率相同的相互垂直的简谐振动的合成为椭圆
椭圆的形状由两个振动的初相位差 20 决1定0
用旋转矢量描绘振动合成动画
两个频率相同的相互垂直的简谐振动的合成为椭圆
当初相位差不同时两个沿垂直方向的同频简谐振动的合成
或
讨论几种特殊情形 1、20 10 0 或 2 π
如图所示，图中所描绘的是
yA
x :y=3:2， 2 0= 0， 10 = /4 时的
李萨如图形。
图形与y轴切点数 图形与x轴切点数
-A2
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x 3 nx y 2
1
x
o
A2
- A1
不同频率比不同初相位差的李萨如图
在电子技术中常用李萨如图测定未知频率
完
第二篇
简谐运动的合成与分解
五、谐振分析和频谱 （自学）
在自然界和工程技术中，我们所遇到的振 动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处 理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列 不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复 杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动， 这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅 立叶积分的理论，因此这种方法称为傅立叶 分析。
如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频 地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然是周期运动， 其频 率等于倍频。按规律： x ( t ) A(cost cos 3t 3 1 1 cos5t cos 7t ) 5 7
如果增加合成的项数，就 可以得到方波形的振动：
既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周 期运动，那么，与之相反，任意周期性振动都可以分 解为一系列简谐振动，各个分振动的频率都是原振动 频率的整数倍，其中与原振动频率一致的分振动称为 基频振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基 频的倍数而相应的称为二次、三次、……谐频振动。 这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之 和的方法，称为谐振分析。
t0
t0 T
x( t ) cos ntdt
x ( t ) si ntdt
t0
2 2 an bn
n
an arctan bn
为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情 况（振幅、相位），常用图线把它表示出来。若用横坐 标表示各谐频振动 的频率，纵坐标表示相应的振幅， 就得到谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱。不同 的周期运动，具有不同的频谱，周期运动的各谐振成分 的频率都是基频的整数倍， 所以它的频谱是分立谱。
2
A
若1= 2 ,则 不变； 若1 2 ,则 变；
大学物理-12第十二讲简谐振动的合成、阻尼、受迫振动（001）
解得 ω = ωr = ω02 − 2β 2
则
A=
2mβ
F0
ω02 − β 2
= Amax
A
β2 β3
β1
ω
β1 > βω2 0> β3
23
2.速度共振—使速度振幅达最大值的状态
v = dx = − Aω sin(ωt − δ )
dt
速度振幅 vm = Aω
而 Aω =
F0ω
m (ω02 − ω2 ) + 4β 2ω2
●合振幅A的大小由两个分振动的初相差决定。
当 Δϕ = ϕ2 − ϕ1 = ±2kπ
(k = 0，1，2") 同相
Y ωK
A2
ωK
A ωK
A = A1 + A2 = Amax
θ2
Δθ θ1
A1
合振动加强
x2 θ x1 x x
4
当 Δϕ = ϕ2 −ϕ1 = ±(2k +1)π 反相
(k = 0，1，2")
ϕ =0
t
19
2. β =ω0（临界阻尼） x = e −βt (C1 + C 2t)
●在临界阻尼时，质点到达平衡位置时速度即减为 零，振动不可能发生。
◆原理常用于阻尼天平等，以减少摆动时间.
3. β >ω0（过阻尼）
x = e − βt (C 1e ω1t + C 2 e −ω1t )
●过阻尼时，质点的速度 x
F强 = F0 cosωt
v = dx = Aω cos ωt v与强迫力同位相。
dt
●在整个周期内外力的方向和物体运动方向一致， 不断对物体作正功，使振动最强。 ◆外力的周期性变化与物体的固有振动“合拍”。
同方向、不同频率的简谐振动的合成
合振幅 Acos cost Asin sin t
的仍 简然 谐是 振同 动频 。率
Acos(t )
3
式中：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
可见：
2 1 2k
k 0,1,2,
A A1 A2
2Acos (2 1）t cos[ (2 1)t ]
2
2
当1与2 都很大，且相差甚微时，可将
| 2Acos(2 1)t / 2 | 视为振幅变化部分，
合成振动是以 (2 1) / 2 为角频率的谐振动。
其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动.
这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。 10
arctg A1 sin 1 A2 sin 2
讨论一：
A1 cos1 A2 cos2
2 1 2k k 0,1,2,
A A1 A2 合振幅最大。
当 A1 A2 称为干涉相长。
A A2
A 2A1
A1
6
讨论二：
2 1 (2k 1)
k 0,1,2,
A2
A | A1 A2 |
A
1动、的2相位1 差0在视缓为慢同地频变率化的，合所成以，质不点过运两动个的振轨
道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。
当 0 2 1 时是顺时针转；
sin(
20
10 )
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程，具体形状由
(20 10) 相位差决定。
质点的运动方向与 有关。当 0 时，
的仍 简然 谐是 振同 动频 。率
Acos(t )
3
式中：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
可见：
2 1 2k
k 0,1,2,
A A1 A2
2Acos (2 1）t cos[ (2 1)t ]
2
2
当1与2 都很大，且相差甚微时，可将
| 2Acos(2 1)t / 2 | 视为振幅变化部分，
合成振动是以 (2 1) / 2 为角频率的谐振动。
其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动.
这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。 10
arctg A1 sin 1 A2 sin 2
讨论一：
A1 cos1 A2 cos2
2 1 2k k 0,1,2,
A A1 A2 合振幅最大。
当 A1 A2 称为干涉相长。
A A2
A 2A1
A1
6
讨论二：
2 1 (2k 1)
k 0,1,2,
A2
A | A1 A2 |
A
1动、的2相位1 差0在视缓为慢同地频变率化的，合所成以，质不点过运两动个的振轨
道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。
当 0 2 1 时是顺时针转；
sin(
20
10 )
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程，具体形状由
(20 10) 相位差决定。
质点的运动方向与 有关。当 0 时，
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机械振动 和机械波
1
§1 简谐振动
简谐振动的动力学方程 单摆、复摆
振动的能量
§3 简谐振动的合成
同方向、同频率的简谐振动的合成
同方向、不同频率的简谐振动的合成
垂直方向、同频率简谐振动的合成
2
§4 机械波的形成和一般描述
§5 平面简谐波
行波方程：右行波和左行波
波的能量和能流密度
§6 波的干涉现象
波的干涉条件
x(t) x1(t) x2 (t) Acos(t )
式中： A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin 2 A1 cos 1 A2 cos 2
仍然是同频率的简谐振动。
φ按照矢量法 取值
11
同方向、不同频率的简谐振动的合成
x1(t ) Acos(1t )
驻波
半波损失
简正模式
§7 多普勒效应
3
简谐振动的动力学方程
弹性力
mx kx
令k
m
2 0
x
2 0
x
0
其解：x(t) Acos(0t 0 )
2
周期：
T
o
振动频率：
1 T
0 2
角频率（或圆频率）:
o
2
T
k m
4
由初始条件求解振动方程
求x A cos 0t 中A， 0，的 值
求0
1.找平衡位置; 2.偏离后求合力(力矩); 3.由力学规律列方程; 4.写为标准形式.
5
振幅和初相位
已知 t 0
x0 A cos 0
V0 0 A sin 0
式中x0是初始的位移，V0是初速度。
由此可得出：
A
x02
V02
2 0
tg0
V0
x0 0
6
振幅和初相位
已知 t 0
x0 A cos 0
V0 0 A sin 0
φ值的取舍：
1.
x0 0, ;v0 0
(0, )
k 0,1,2,3,... 相长干涉
程 差
r2
r1
(2k 1)
2
,
k 0,1,2,3,... 相消干涉 16
驻波的表达式
设有两列相干波，分别沿X轴 正、负方向传播，选初相位 均为零的表达式为：
y1 t 0
x
y1
Acos(t 2
x)
y2
Acos(t 2
x)
x0 y2 t 0
x
其合成波称为驻波其表达式：
f mg
0
g l
T 2 2 l
0
g
8
复摆
m gh sin I
I 为m绕O点转动的转动惯量。
当 sin 时 mgh 0
I 复摆的角谐振动方程：
OC h
O
C
mg
d 2
dt 2
mgh
I
2 0
mgh I
T 2 I
mgh
9
简谐振动动能：E k
1 2
mV 2
1 2
k A2
Y
极小
X
极大
极大
极小
能流密度 能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。
能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的平
均能量。
I
1
A
2
2
u
2
平面波：
A1 A2
球面波：
y A cos (t r )
14
r
u
相干条件：
两波源具有相同的频率
S2
r2
具有恒定的相位差
p
振动方向相同
S1
（或称为具有相同的偏振面)
最大或同时达到反向最小。速度方向相反。
* 两个波节之间的点其振动相位相同。 同时达到
最大或同时达到最小。速度方向相同。 18
半波损失：
当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射 时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。 反之，当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面 上反射时，无半波损失，界面处出现波腹。
x0
2
2
y y1 y2 Acos(t x) Acos(t x)
2Acos 2 x cos t
17
y 2Acos 2 x cost
波腹的位置为：
xk , 2
k 0,1,2,3,...
波节的位置为： x (2k 1) , k 0,1,2,3,...
4
驻波的相位
* 在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向
简正模式
在绳长为 L 的绳上形成驻波的波长必须满足下列条件
L n n ,
2
n
n
u 2L
,
n 1,2,3,...
n 1,2,3,...
n
2L n
,
T
u
n 1,2,3,...
19
多普勒效应
当波源和观察者相向运动时，观察者接收到的 频率为：
r1
设有两个频率相同的波源 S1和 S2 其振动表达式为： y10 (S1, t) A1 cos(t 10 )
y20(S2, t) A2 cos(t 20 )
在 P 点的合成振动为：
y y1 y2 Acos(t ) 15
y y1 y2 Acos(t )
其中：
( 20
10 )
2
2.
x0 0, ;v0 0
( , )
2
3.
x0 0,
;v0 0
( , 3 )
2
4. x0 0, ; v0 0 (3 , 2 ) 2
7
单摆
ml
2
d 2
dt 2
mgl sin
当 sin 时 g 0
l
在角位移很小的时候，单摆的 振动是简谐振动。角频率 、振 动的周期分别为：
2
(r2
r1 )
A 2 A12 A22 2 A1 A2 cos
干涉相长的条件： 2k , k 0,1,2,3,...
干涉相消的条件：
( 20
10 )
2
(r2
r1 )
(2k
1)
,
k 0,1,2,3,...
称
当两相干波源为同相波源时，相干条件写为：
为 波
r2 r1 k,
x2 (t ) Acos(2t )
合成振动表达式：
x(t) Acos(1t ) Acos(2t )
2Acos (2 1）t cos[(2 1)t ]
2
2
拍频是振动 cos ( 2 即拍频为：
2
1
t
)的频率的两倍。
2
1
2
(2
1 )
2
2
1
12
行波方程
已知O点振动表达式： y A cos ( t 0 )
右行波波动方程：
y( x, t)
A cos[ (t
x u
)
0
]
y( x, t) A cos[k( x ut) 0 ]
y u
px
Ox
左行波波动方程：
y( x, t )
A cos[ (t
x) u
0]
y u
p
x
y( x, t ) A cos[k( x ut ) 0 ] O x
13
波的能量
能量
sin
2 (0t
0 )
简谐振动势能：
Ep
1 2
kx2
1 2
k A2
cos2 (0t
0 );
Ek
Ep
A o
A
机械能守恒:
E 1 mv2 1 kx2＝ 1 kA2
2
2
2
E 1 kA2 2
10
同方向、同频率的简谐振动的合成
x1(t ) A1 cos(t 1) x2 (t ) A2 cos(t 2 )
1
§1 简谐振动
简谐振动的动力学方程 单摆、复摆
振动的能量
§3 简谐振动的合成
同方向、同频率的简谐振动的合成
同方向、不同频率的简谐振动的合成
垂直方向、同频率简谐振动的合成
2
§4 机械波的形成和一般描述
§5 平面简谐波
行波方程：右行波和左行波
波的能量和能流密度
§6 波的干涉现象
波的干涉条件
x(t) x1(t) x2 (t) Acos(t )
式中： A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin 2 A1 cos 1 A2 cos 2
仍然是同频率的简谐振动。
φ按照矢量法 取值
11
同方向、不同频率的简谐振动的合成
x1(t ) Acos(1t )
驻波
半波损失
简正模式
§7 多普勒效应
3
简谐振动的动力学方程
弹性力
mx kx
令k
m
2 0
x
2 0
x
0
其解：x(t) Acos(0t 0 )
2
周期：
T
o
振动频率：
1 T
0 2
角频率（或圆频率）:
o
2
T
k m
4
由初始条件求解振动方程
求x A cos 0t 中A， 0，的 值
求0
1.找平衡位置; 2.偏离后求合力(力矩); 3.由力学规律列方程; 4.写为标准形式.
5
振幅和初相位
已知 t 0
x0 A cos 0
V0 0 A sin 0
式中x0是初始的位移，V0是初速度。
由此可得出：
A
x02
V02
2 0
tg0
V0
x0 0
6
振幅和初相位
已知 t 0
x0 A cos 0
V0 0 A sin 0
φ值的取舍：
1.
x0 0, ;v0 0
(0, )
k 0,1,2,3,... 相长干涉
程 差
r2
r1
(2k 1)
2
,
k 0,1,2,3,... 相消干涉 16
驻波的表达式
设有两列相干波，分别沿X轴 正、负方向传播，选初相位 均为零的表达式为：
y1 t 0
x
y1
Acos(t 2
x)
y2
Acos(t 2
x)
x0 y2 t 0
x
其合成波称为驻波其表达式：
f mg
0
g l
T 2 2 l
0
g
8
复摆
m gh sin I
I 为m绕O点转动的转动惯量。
当 sin 时 mgh 0
I 复摆的角谐振动方程：
OC h
O
C
mg
d 2
dt 2
mgh
I
2 0
mgh I
T 2 I
mgh
9
简谐振动动能：E k
1 2
mV 2
1 2
k A2
Y
极小
X
极大
极大
极小
能流密度 能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。
能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的平
均能量。
I
1
A
2
2
u
2
平面波：
A1 A2
球面波：
y A cos (t r )
14
r
u
相干条件：
两波源具有相同的频率
S2
r2
具有恒定的相位差
p
振动方向相同
S1
（或称为具有相同的偏振面)
最大或同时达到反向最小。速度方向相反。
* 两个波节之间的点其振动相位相同。 同时达到
最大或同时达到最小。速度方向相同。 18
半波损失：
当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射 时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。 反之，当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面 上反射时，无半波损失，界面处出现波腹。
x0
2
2
y y1 y2 Acos(t x) Acos(t x)
2Acos 2 x cos t
17
y 2Acos 2 x cost
波腹的位置为：
xk , 2
k 0,1,2,3,...
波节的位置为： x (2k 1) , k 0,1,2,3,...
4
驻波的相位
* 在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向
简正模式
在绳长为 L 的绳上形成驻波的波长必须满足下列条件
L n n ,
2
n
n
u 2L
,
n 1,2,3,...
n 1,2,3,...
n
2L n
,
T
u
n 1,2,3,...
19
多普勒效应
当波源和观察者相向运动时，观察者接收到的 频率为：
r1
设有两个频率相同的波源 S1和 S2 其振动表达式为： y10 (S1, t) A1 cos(t 10 )
y20(S2, t) A2 cos(t 20 )
在 P 点的合成振动为：
y y1 y2 Acos(t ) 15
y y1 y2 Acos(t )
其中：
( 20
10 )
2
2.
x0 0, ;v0 0
( , )
2
3.
x0 0,
;v0 0
( , 3 )
2
4. x0 0, ; v0 0 (3 , 2 ) 2
7
单摆
ml
2
d 2
dt 2
mgl sin
当 sin 时 g 0
l
在角位移很小的时候，单摆的 振动是简谐振动。角频率 、振 动的周期分别为：
2
(r2
r1 )
A 2 A12 A22 2 A1 A2 cos
干涉相长的条件： 2k , k 0,1,2,3,...
干涉相消的条件：
( 20
10 )
2
(r2
r1 )
(2k
1)
,
k 0,1,2,3,...
称
当两相干波源为同相波源时，相干条件写为：
为 波
r2 r1 k,
x2 (t ) Acos(2t )
合成振动表达式：
x(t) Acos(1t ) Acos(2t )
2Acos (2 1）t cos[(2 1)t ]
2
2
拍频是振动 cos ( 2 即拍频为：
2
1
t
)的频率的两倍。
2
1
2
(2
1 )
2
2
1
12
行波方程
已知O点振动表达式： y A cos ( t 0 )
右行波波动方程：
y( x, t)
A cos[ (t
x u
)
0
]
y( x, t) A cos[k( x ut) 0 ]
y u
px
Ox
左行波波动方程：
y( x, t )
A cos[ (t
x) u
0]
y u
p
x
y( x, t ) A cos[k( x ut ) 0 ] O x
13
波的能量
能量
sin
2 (0t
0 )
简谐振动势能：
Ep
1 2
kx2
1 2
k A2
cos2 (0t
0 );
Ek
Ep
A o
A
机械能守恒:
E 1 mv2 1 kx2＝ 1 kA2
2
2
2
E 1 kA2 2
10
同方向、同频率的简谐振动的合成
x1(t ) A1 cos(t 1) x2 (t ) A2 cos(t 2 )