两个同方向同频率简谐运动的合成(教学PPT)
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谐振动分析(三)两个同方向同频率简谐运动的合成
o
o
A1
A2
A
T
t
A A1 A2
x (A A )cos(t )
1
2
2 1 2k π
3
物理学
第五版
谐运动分析(三)
（2）相位差 (2k 1) π(k 0，1, )
2
1
x
x
A1
2 o
o
Tt
A
A2
A A1 A2
x (A2 A1)cos(t )
2
1
(2k
1)π
4
物理学
第五版
小结
（1）相位差
2
1
2k
π
A A1 A2
谐运动分析(三)
(k 0，1， ) 加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1， )
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
5
物理学
第五版
谐运动分析(三)
二 两个相互垂直的同频率的简谐
运动的合成 x A1 cos(t 1)
x 阻尼振动位移时间曲线
A
Ae t
Aet cost
O
T A
t
( 0)
21
物理学
第五版
三种阻尼的比较
谐运动分析(三)
(a)欠阻尼
2 0
2
(b)过阻尼
2 0
2
(c)临界阻尼
2 0
2
x
b
oc
t
a
22
物理学
第五版
谐运动分析(三)
例 有一单摆在空气（室温为 20C）中来 回摆动. 摆线长l 1.0 m，摆锤是半径r 5.0103 m 的铅球.求（1）摆动周期；（2）振幅减小 10％所需的时间；（3）能量减小10％所需 的时间；（4）从以上所得结果说明空气的 粘性对单摆周期、振幅和能量的影响.
简谐振动的合成
0 < ∆ϕ < π
质点沿顺时针方向运动
π < ∆ϕ < 2π 质点沿逆时针方向运动
说明：任何一个直线简谐振动， 说明：任何一个直线简谐振动，椭圆运动或匀速 圆周运动都可分解为两个相互垂直的简谐振动. 圆周运动都可分解为两个相互垂直的简谐振动
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第九章 振 动
用旋转矢量描绘振动合成图
(1) ϕ2 − ϕ1 = 0或2π
A2 y= x A1
y
A2
o
A1
x
时刻t 质点离开平衡位置的位移（合振动） 时刻 质点离开平衡位置的位移（合振动）
2 r = x2 + y 2 = A12 + A2 cos(ωt + ϕ )
2 2 A = A1 + A2
——合振动也是谐振动 合振动也是谐振动
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第九章 振 动
Acosϕ = A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2
令
Asinϕ = A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2
A = A12 + A22 + 2A1 A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 tan ϕ = A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
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结束
第九章 振 动
两相 互垂直同 频率不同 相位差简 谐运动的 合成图
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第九章 振 动பைடு நூலகம்
§9.4.4 互相垂直不同频率简谐振动的合成·李萨如图形 互相垂直不同频率简谐振动的合成 李萨如图形
同方向同频率简谐振动的合成初相位
同方向同频率简谐振动的合成初相位同方向同频率的简谐振动听起来挺高深的，其实简单得很，就像咱们日常生活中常见的摇摇摆摆，咯吱咯吱的秋千。
你想象一下，两个小伙伴在秋千上并肩而坐，摇摆得十分起劲。
要是他们的节奏一致，频率相同，配合得就像小鸟在枝头上唱和，那真是美得不要不要的。
可要是他们的节奏不一样，那画面可就有点尴尬了。
就像一对恋人在跳舞，一人慢一人快，结果就是扭得稀巴烂。
什么是合成初相位呢？简单来说，就是这两个秋千的小伙伴最开始的起点。
如果他们同时开始摇，那就是同一个起点，一起飞，冲上云霄。
要是其中一个比另一个早一点，那他就提前起跑了。
这样一来，两个秋千的互动就会变得有趣多了。
我们可以想象一下，一个小伙伴先开始，结果另一个还在原地踏步，等他反应过来，已经被甩得老远，真是让人哭笑不得。
在物理学上，合成初相位能影响最终的合成振动。
想想两个秋千相遇的瞬间，波浪涌动的美妙感。
相位差越小，合成振动越强，感觉就像是合唱团里每个人的声音都在同一调上，和谐动人。
而相位差越大，合成振动就像是乐队里每个人都在演奏不同的旋律，结果可想而知，就是一场音乐会的灾难。
有趣的是，合成初相位也常常会出现在我们的日常生活中。
就像朋友聚会时，大家都来得差不多，气氛瞬间就热烈起来，大家一起聊，笑声不断，简直就是欢乐的海洋。
可要是有一个朋友迟到了，刚好打断了大家的欢乐，那气氛就会微妙地变了，像个捣蛋鬼一样。
你看，这个合成初相位的影响力，简直不容小觑。
想象一下你和好友一起打游戏，两个人的配合相当重要。
如果你们都在同一时间攻击敌人，那真是配合默契，像专业战队一样，敌人根本来不及反应。
而要是你总是慢半拍，那可就难了，往往被敌人痛揍一顿。
这时候就能真切感受到合成初相位的重要性，毕竟团队合作离不开每个人的步伐一致嘛。
合成初相位的概念还可以用在爱情中。
想想看，情侣之间的默契有多重要。
就像两个人的心灵感应，若是心有灵犀，瞬间就能理解对方的想法。
而若是两人总是各自为政，彼此心里没谱，那可是要闹出不少笑话的。
10.2 两个简谐振动的合成
2
2
频率都较大且频率差很小的两个同方向简谐
振动，在合成时会产生合振幅时强、时弱的现 象，这称为拍。
拍频 ：单位时间内振动加强或减弱的次数
振幅 2Acos (2 1)t 的频率
2 由于是绝对值，所以
2
2
1
2
2
1
拍频等于两个分振动的频率之差
10.2.3 互相垂直的同频率简谐振动的合成
质点按分振动的周 期作左旋正椭圆运动
A1=A2：左旋圆运动
（5）当 2 1 取其他值时，合振动的轨迹一
般为斜椭圆。 与上述合成过程相反，一个圆运动或椭圆运
动可以分解成两个互相垂直的同频率简谐振动 这在分析光的偏振时要经常用到
*10.2.4 互相垂直的不同频率简谐振动的合成
合振动的轨迹一般是不稳定的。但当两个分 振动的频率比恰好等于简单的整数比时，合振 动的轨迹是稳定的封闭曲线，称为李萨如图。
李萨如图
判定两种频率是否成整数比，据此可由已知 频率确定未知频率。
x1 A1 cos( t 1)
x2 A2 cos( t 2 )
合振动仍是一个角 频率为ω的简谐振动：
x x1 x2 Acos( t )
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1) tan A1 sin 1 A2 sin 2
A1 cos1 A2 cos2
（3）2
1
2
，y 比 x 超前
2
：
x2 y2 1 A12 A22
质点的运动轨迹是以
坐标轴为主轴的正椭圆 （或圆） 不是简谐振动!
6-2简谐振动的叠加
5
讨论：1. 2 1 2kπ k 0,1,2,
A A1 A2
A
A1
A2
合振幅最大，振动加强
2.
2 1 (2k 1)π k 0,1,2, A2 A A1 A2 A1 A 合振幅减小，振动减弱
3. 一般情况 为任意值
§7-2 简谐振动的叠加
一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成 设有两个同频率的简谐振动 x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
合振动 x x1 x2 A1 cos( t 1 ) A2 cos( t 2 )
A1 sin 1 A2 sin 2 合振动的初相位为： arctan A1 cos 1 A2 cos 2
。
3 0.05sin 0.06sin 5 5 arctan 3 0.05cos 0.06 cos 5 5 6812' 或 24812'
248°12′位于第三象限不合题意， 故知合振动的初相位
（1）
（2）
18
x cost cos sin t sin 改写为 A y cos t cos sint sin B
（3） （4）
以cos 乘以(3)式，cos 乘以(4)式，后相减得
x y cos cos sin t sin( ) A B
x1 a cost x2 a cos(t 0 ) x3 a cos(t 20 ) xN a cos[t ( N 1)0 ]
求它们的合振动的振幅和初相。 解：采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开繁 琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢量 的合成如下图所示：
第2节_简谐振动的合成
2
x = ( A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 ) cosωt − ( A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 ) sinωt = A cos ϕ ⋅ cos ωt − A sin ϕ ⋅ sin ωt = A cos(ωt + ϕ ) ∴ x = A cos(ωt + ϕ )
两个同方向、 两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是一个 简谐振动，且频率不变。 简谐振动，且频率不变。 由
若 A1 = A2 , A = 2A1
= A1 + A2
合振动振幅最大。 合振动振幅最大。
（ ） 2.当 ∆ϕ=ϕ2 −ϕ1 = 2k +1 π ( k = 0,±1,±2,⋯) 时, 当
2 2 A = A1 + A2 + 2A1A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
A2
=| A1 − A2 |
A
A2 A1
2 2
ϕ 2 − ϕ1 = π / 2
2 2
x y + =1 A1 A2
•当 当
16
A1 = A2 ,
x +y =A
2
为圆方程
2.
∆ϕ = π / 2
y
8
1 2
y
7 6 5
4
7 6 5
4
8
1 2 2 1
x
3
3
4
播 放 动 画
17
3
5 6 7
x
8
4.
3π (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2
9
由于余弦函数绝对值的周期为π。 ω 2 − ω1 t ) 的频率的两倍。 所以， 的频率的两倍。 所以，拍频是振动 cos( 2 即拍频为： 即拍频为：
x = ( A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 ) cosωt − ( A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 ) sinωt = A cos ϕ ⋅ cos ωt − A sin ϕ ⋅ sin ωt = A cos(ωt + ϕ ) ∴ x = A cos(ωt + ϕ )
两个同方向、 两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是一个 简谐振动，且频率不变。 简谐振动，且频率不变。 由
若 A1 = A2 , A = 2A1
= A1 + A2
合振动振幅最大。 合振动振幅最大。
（ ） 2.当 ∆ϕ=ϕ2 −ϕ1 = 2k +1 π ( k = 0,±1,±2,⋯) 时, 当
2 2 A = A1 + A2 + 2A1A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
A2
=| A1 − A2 |
A
A2 A1
2 2
ϕ 2 − ϕ1 = π / 2
2 2
x y + =1 A1 A2
•当 当
16
A1 = A2 ,
x +y =A
2
为圆方程
2.
∆ϕ = π / 2
y
8
1 2
y
7 6 5
4
7 6 5
4
8
1 2 2 1
x
3
3
4
播 放 动 画
17
3
5 6 7
x
8
4.
3π (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2
9
由于余弦函数绝对值的周期为π。 ω 2 − ω1 t ) 的频率的两倍。 所以， 的频率的两倍。 所以，拍频是振动 cos( 2 即拍频为： 即拍频为：
医用物理学教学课件 第二节 两个简谐振动的合成
A12 A22 2A1A2[cos01 cos02 sin01 sin02]
A12 A22 2A1A2 cos(02 01)
A A12 A22 2A1A2 cos
[注：cos( ) cos cos sin sin ]
t4 t3
t2
t1 Y超前π /2
右旋振动
t1 t2
t3
t4 Y落后π /2
左旋振动
例七
一质点同时参与相互垂直的两个振动：
X
8c
os(
t
)
cm
36
Y 6cos( t ) cm
33
请你画出合振动运动轨迹图。
解：
36
2
2B ∵Y落后π/2，左旋振动
2
2
A0
cos
2
O
X
2 A0
cos 2
1
2
t
注： 2t 1t
1 2
(1
cos
)
cos
2
从角度可分析：
t
2
1
2
t
1t
AA
2 1 t
2
O
X
将A与ωt表达式代入 x Acost
x
2
A0
cos 1
∴画一个2A*2B的矩形，内切
画椭圆，标出左旋箭头即可
2A
（2） 2 m 的情况： 1 n
若频率不相等，但是整数比，则合振动的轨迹 是有规则的稳定的闭合曲线-------李萨如图形。
第二节 两个简谐振动的合成
A12 A22 2A1A2 cos(02 01)
A A12 A22 2A1A2 cos
[注：cos( ) cos cos sin sin ]
A值的讨论，有三种情况：
(1) 2k
cos 1
A A1 A2
A值最大
(2) (2k 1) cos 1
A A1 A2 (3) 为其它值
波器显示屏上出现合成结果的图形，见右图。求x ?
解：
x y
m n
Y方向切点数 X方向切点数
x 3 x y 2 1000
x 1500 Hz
本节小结
同方向
1
2
简谐振动 A A12 A22 2A1A2 cos
同方向 1 2 拍 2 1
垂直方向
x m y n
李萨如图
x y
两个简谐振动的步调比较
同相：若两个简谐振动的频率相同、初相位相同，则两个简谐 振动的位移同时达到最大和最小。
x
1
2
t3
t1
t2
t4
t
0 ,同相
反相：若两个简谐振动的频率相同、初相位相差π，则一个振
动到达最大位移处时，另一个振动到达反向最大位移处。
1
x
t1
t2
t3
t4
t
2
,反相
超前与落后：若两个简谐振动的频率相同，初相位之差为
Y2 B2
1
X 0 t1 0 Y B
t2
2
X A Y 0
X 0 t3 Y B
t4
3 2
X A Y 0
t4 t3
t2
t1 Y超前π/2
右旋振动
t1 t2
t3
t4 Y落后π/2
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x1 A1 cos1t A1 cos2π1t x2 A2 cos2t A2 cos2π2t
x x1 x2
讨论
A1 A2
, 2 1
1
2
的情况
第九章 振 动
15
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
方法一
x x1 x2 A1 cos2 π1t A2 cos2 π2t
x (2A cos2 π 2 1 t)cos2 π 2 1 t
二 两个相互垂直的同频率的简谐
运动的合成 x A1 cos(t 1)
y A2 cos(t 2 )
质点运动轨迹 （椭圆方程）
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin2 (2
1 )
第九章 振 动
6
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
讨 论
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
设一质点同时参与
两独立的同方向、同频 率的简谐振动：
x1
A1
cos(t
1
)
x A cos(t )
2
2
2
A2
2 1
A1
O x2 x1 x
合位移 x x1 x2 可用旋转矢量法求出
第九章 振 动
1
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
1
π
2
x2 A12
y2 A22
1
x
y
A1
A
cost
cos(t
π
)
2
2
y
A2
o A1 x
第九章 振 动
8
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
用旋转矢量描绘振动合成图
第九章 振 动
9
物理学
第五版
两相 互垂直同 频率不同 相位差简 谐运动的 合成图
9-5 简谐运动的合成
第九章 振 动
10
物理学
第五版
（1）相位差
2
1
2k π
(k
0，1， 2,
)
x
x
o
o
A1
A2
A
T
t
A A A
1
2
x (A1 A2 )cos(t )
合成结果为相互加强
第九章 振 动
3
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
（2）相位差 (2k 1) π(k 0，1, )
2
1
x
x
A1
2 o
o
Tt
A
A2
A A1 A2 x (A2 A1)cos(t )
i
A4 A5
O A6
A0
A3
A2
A1
x
第九章 振 动
12
物理学
第五版 一般情况下
x x x x
1
2
n
x Acos(t )
A Ax2 Ay2 arctg Ay
Ax
9-5 简谐运动的合成
A
A3
3
A2
2
o 1 A1
x
Ax A1 cos1 A2 cos2 ...... An cosn
cos(2
1 )
sin 2
y
(2
1 )
（1）2 1 0或 2π
y A2 x A1
（2）2
1
π
A y 2 x
A 1
A2 A1
ox
y
A2
o A1 x
第九章 振 动
7
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
讨 论
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(21 )si来自 2(21 )
（3）2
1
2
2
振幅部分
合振动频率
振动频率 (1 2 ) 2
振幅
A 2A cos2 π 2 1 t
1
2
Amax 2A1 Amin 0
第九章 振 动
16
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
x (2A cos2 π 2 1 t)cos2 π 2 1 t
1
2
2
2π2 1 T π
2
2
1
T 1
2 1
9-5 简谐运动的合成
x A cost
1
0
x A cos(t )
2
0
x3
A0cos(t
2
)
A
o
A1 A2
A3 A4
A5
x
A Ai NA0
x A cos[t (N 1)]
N
0
(1) 2kπ
讨 (k 0,1,2, )
论 (2) N 2k ' π
(k ' kN, k ' 1,2, )
拍频（振幅变化的频率）
第九章 振 动
17
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
方法二：旋转矢量合成法
(2 1)t (2 1)
2t 2
2 A2
1t 1 o
x2
A
1
A1
x1
2 1
x
x
1 2 0
2 π(2 1)t
第九章 振 动
18
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
振幅 A A 2(1 cos) 1
合成结果为相互减弱
第九章 振 动
4
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
小结
（1）相位差
2
1
2k
π
(k 0，1， )
A A1 A2
加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1， )
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
第九章 振 动
5
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
2A cos( 2 1 t)
1
2
拍频
2
1
振动圆频率
(2 1)t
2
A
A2
o
x
A1
1
x2 x1
x
1t 2t 2 1
cost
x 1
x 2
A
1
2
2
第九章 振 动
19
Ay A1 sin 1 A2 sin 2 ...... An sin n
第九章 振 动
13
物理学
第五版
四
的合成
9-5 简谐运动的合成
两个同方向不同频率简谐运动
第九章 振 动
14
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
频率较大而频率之差很小的两个同方 向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而 加强时而减弱的现象叫拍.
9-5 简谐运动的合成
*三 多个同方向同频率简谐运动的合成
x1
A1
cos(t
1
)
x2 A2 cos(t 2 )
xn
An
cos(t
n
)
x x1 x2 xn
x Acos(t )
A
A3
3
A2
2
o 1 A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为
简谐运动
第九章 振 动
11
例 物理学
第五版
x A cos(t )
A
A2 1
A2 2
2A1 A2
cos(2
1
)
x x1 x2
A
x tan
A1
sin
1
A2
sin2
A1 cos1 A2 cos2
A2
2
1
A1
O x2 x1 x
两个同方向同频率简谐运动合成
后仍为同频率的简谐运动
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成