2021届全国名校大联盟新高三原创预测试卷(六)文科数学

2021届全国名校大联盟新高三原创预测试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一，选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.己知集合A={0，1，2），B={x∈N A}，则B=（）A. {0}B. {0，2}C. {0，12， 2} D. {0， 2，4}【答案】B【解析】【分析】12，，，根据x N，可得结果.【详解】由题可知：A={0，1，2），B={x∈N A}时，则0x N =∈，符合时，则12x N =∉，不符合时，则2x N =∈，符合 所以{}0,2B = 故选：B【点睛】本题考查集合元素的求法，审清题意，细心计算，属基础题. 2.在复平面内，复数1z =对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转23π，所得向量对应的复数是（ ）A. 122-+ B. 122i -+ C. 122-- D.122i -- 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数，可得点Z 坐标，进一步可得OZ 以及OZ ，然后根据三角函数的定义，可得旋转后所求复数的终点坐标，最后可得结果.【详解】由题可知：()1,0Z ，()1,0OZ =且1OZ = 设旋转后的所求复数的终点(),P x y则21cos32x OZ π==-，2sin 32y OZ π==所以12P ⎛- ⎝⎭，则所求的复数为12-+ 故选：A【点睛】本题考查复数的几何意义，掌握复数在复平面中点的表示以及向量的表示，同时识记三角函数的概念，审清题意，耐心计算，属基础题.3.一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）A. 16B. 12C. 8D. 6【答案】B 【解析】 【分析】根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.【详解】由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2 所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形， 所以该正三棱柱的侧面积为32212⨯⨯= 故选：B【点睛】本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题. 4.《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”.在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2233442,33,4,33881515===则按照以上规律，若m mm n n=m ，n 满足的关系式为（ ） A. n =2m -1 B. n =2(m -1)C. n =(m -1)2D. n =m 2 -1【答案】D 【解析】 【分析】根据不完全归纳法，以及根式中的分子和分母的关系，可得结果. 【详解】由题可知：22222223321==-，23333338831==-244444151541==-则可归纳：==， 所以21n m =- 故选：D【点睛】本题考查不完全归纳法的应用，仔细观察，发现特点，对选择题以及填空题，常可采用特殊值以及不完全归纳法解决问题，化繁为简，属基础题.5.己知{a n }是等差数列，且a 3+a 4=-4，a 7+a 8=-8，则这个数列的前10项和等于（ ） A. -16 B. -30C. -32D. -60【答案】B 【解析】 【分析】计算3478a a a a +++，然后根据等差数列的性质，可得56a a +，最后根据等差数列的前n 项公式，计算10S ，并结合11056a a a a +=+，可得结果. 【详解】由题可知：数列{a n }是等差数列且34784,8a a a a +=-+=-则347812a a a a +++=-，又3754862,2a a a a a a +=+= 所以565622126a a a a +=-⇒+=- 由()11010102a a S +⨯=，且11056aa a a +=+所以()1101010302a a S +⨯==-故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的性质，在等差数列中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，熟练使用性质，以及对基本公式的记忆，属基础题.6.己知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，抛物线上一点的M 的纵坐标y 0，则y 0>2是|MF |>2的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】 【分析】根据点M 的纵坐标的范围，可得其横坐标的范围，然后根据抛物线的定义，可知MF 的范围，然后根据充分、必要条件的概念，可得结果. 【详解】由题可知：()1,0F ，设()00,M x y 由点M 的纵坐标02y >，则其横坐标01x > 由01MF x =+，所以2MF >可知02y >是2MF >的充分条件若2MF >，则00121MF x x =+>⇒>则20042y y >⇒<-或02y >所以02y >不是2MF >的必要条件故02y >是2MF >的充分不必要条件 故选：A【点睛】本题考查抛物线的定义以及充分、必要条件的概念，对抛物线问题经常要联想到焦点和准线，简单计算，属基础题.7.2013年至201 9年我国二氧化硫的年排放量（单位：万吨）如下表，则以下结论中错误的是（ ）A. 二氧化硫排放量逐年下降B. 2018年二氧化硫减排效果最为显著C. 2017年至2018年二氧化硫减排量比2013年至2016年二氧化硫减排量的总和大D. 2019年二氧化硫减排量比2018年二氧化硫减排量有所增加【解析】 【分析】采用逐一验证法，根据数据的简单分析，可得结果. 【详解】A 正确根据数据可知，二氧化硫排放量逐年下降 B 正确从2017年到2018年，下降了756.24万吨， 是所有相邻年份二氧化硫减排量最大的， 所以2018年二氧化硫减排效果最为显著 C 正确2017年至2018年二氧化硫减排量为756.24万吨2013年至2016年二氧化硫减排量的总和为2217.9-1974.4=243.5万吨 所以243.5<756.24，故C 正确 D 错2017年至2018年二氧化硫减排量为756.24万吨2018年至2019年二氧化硫减排量为1102.86-1014.6=88.26万吨 故2019年二氧化硫减排量比2018年二氧化硫减排量有所减少. 故选：D.【点睛】本题考查对数据的分析，审清题意，简单计算，属基础题.8.已知双曲线C ： 2222x y a b-=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过原点O 的直线交C 的右支于点A ，若|OA |=|OF |，则双曲线的离心率为（ ）C. 2【答案】D 【解析】 【分析】假设已知直线的倾斜角为θ3πθ=，可得sin ,cos θθ，然后根据OF OA =，可得点A 坐标，最后代入双曲线方程化简并结合()1ce e a=>，可得结果. 【详解】设已知直线的倾斜角为θ 由题可知：tan 33πθθ=⇒=，所以31sin ,cos 2θθ== 又OA OF c ==，所以cos,sin33A c c ππ⎛⎫⎪⎝⎭，即3,2c c A ⎛⎫⎪⎪⎝⎭所以222222223321144c c c c a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=⇒-= 又222b c a =-，所以()222223144c c a c a -=-，又c e a= 所以()22231441e e e -=- 化简可得：42840e e -+=，所以()222881642331e ±-==±=±所以31e =±，又1e >，所以31e =+ 故选：D【点睛】本题考查双曲线的离心率，关键在于得到点A 坐标，考验计算能力，属中档题.9.函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果. 【详解】当1x >时，()1ln()f x x x=-，由1,y y x x =-=在()1,+∞递增， 所以1t x x=-在()1,+∞递增又ln y t =是增函数，所以()1ln()f x x x=-在()1,+∞递增，故排除B 、C 当1x ≤时()cos xf x eπ=，若()0,1x ∈，则()0,x ππ∈所以cos t x π=在()0,1递减，而ty e =是增函数 所以()cos xf x e π=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误故选：A【点睛】本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题. 10.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若30,40,30,AE cm EF cm FC cm ===60AEF CFE ∠=∠=则该正方形的边长为（ ）A. 40cm 6cm2cm 14【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的方法，将AC 用,,AE EF FC 来进行表示，然后进行平方，可计算AC ，最后可得结果.【详解】由题可知：60AEF CFE ∠=∠=，所以AE //FC 由E C EF FC A A +=+则2222222AE EF FC AE EF A AC E FC EF FC +++=⋅+⋅+⋅cos120600AE EF AE EF ⋅==- cos0900AE FC AE FC ⋅== cos120600EF FC EF FC ⋅==-所以22223040301200180012002800AC =++-+-= 则207AC cm =，所以sin 451014AB AC cm =⋅= 故选：D【点睛】本题考查向量的线性表示以及数量积公式的应用，关键在于E C EF FC A A +=+，考验观察能力以及计算能力，属中档题. 11.己知x >y >0，x ≠1，y ≠1，则（ ）A. x a> y a(a ∈R ，a ≠0） B. yx e e y x> C. x y > y xD.1132x y -->【答案】B【解析】 【分析】采用逐一验证法，对,,a x y 取特殊值，进行比较可得,,A C D 错，通过构造函数()mf m me =，利用函数单调性进行比较，可得结果. 【详解】A 错误，当1a =-时，1111,x y x y--==， 由0x y >>，11x y< 所以A 错误 B 正确令()mf m me = ，则()'m m fm e me =+当0m >时，()'0fm >，所以函数()f m 在()0,∞+单调递增，且0x y >>，所以有()()f x f y >，即x yxye e xe ye y x>⇒>， C 错误当4,3x y ==时，34464,381==，3443<， 所以C 错误D 错误，当11,23x y ==时，21321111263611113,2327416--====由11662716>，所以1166112716<，故213232--<所以D 错误 故选B【点睛】本题考查式子比较大小，选择题可使用对未知数取特殊值，化繁为简，熟练掌握比较式子大小的常用方法，比如：作差法，函数单调性等，属基础题.12.如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A. 在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B. 在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC. 四面体EMAC 的体积为定值D. 四面体FA 1C 1B 的体积不为定值 【答案】C 【解析】 【分析】采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果. 【详解】A 错误由EF ⊂平面AEC ，1BC //1AD 而1AD 与平面AEC 相交，故可知1BC 与平面AEC 相交，所以不存在EF //BC 1 B 错误，如图，作11B M BD ⊥由11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=又1,BD BB ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D又1B M ⊂平面11BB D D ，所以1B M AC ⊥ 由OE //1BD ，所以1B M OE ⊥AC OE O =，,AC OE ⊂平面AEC所以1B M ⊥平面AEC ，又AE ⊂平面AEC 所以1B M AE ⊥，所以存在 C 正确四面体EMAC 的体积为13M AEC AEC V S h -∆=⋅⋅ 其中h 为点M 到平面AEC 的距离，由OE //1BD ，OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC 所以1BD //平面AEC ，则点M 到平面AEC 的距离即点B 到平面AEC 的距离， 所以h 为定值，故四面体EMAC 的体积为定值D 错误由AC //11A C ，11A C ⊂平面11A C B ，AC ⊄平面11A C B 所以AC //平面11A C B ，则点F 到平面11A C B 的距离1h 即为点A 到平面11A C B 的距离， 所以1h 为定值所以四面体FA 1C 1B 的体积1111113F A C B A C B V S h -∆=⋅⋅为定值 故选：C【点睛】本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题.二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a ，b =(1，且a 在b 方向上的投影为12，则a b ⋅等于__________ 【答案】1 【解析】【分析】利用向量的投影概念，计算出向量b 的模长，结合向量的数量积，可得结果. 【详解】a 在b 方向上的投影为12，所以有1cos 2a θ⋅=，且2b =， 所以1cos 212b a b a θ⋅=⋅⋅=⨯= 故答案为：1【点睛】本题考查向量的投影的概念，以及向量数量积公式的应用，属基础题. 14.已知函数31()f x x x=-，则''1(lg 2)(lg )2f f -=__【答案】0 【解析】 【分析】对函数求导后，利用对数的运算结合偶函数的性质可得结果. 【详解】由题可知：函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞ 由'221()3f x x x =+， 可知()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数， 且''''1(lg 2)(lg )(lg 2)(lg 2)2f f f f -=--， 又因为''(lg 2)(lg 2)f f =-， 则有''1(lg 2)(lg )02f f -= 故答案为：0.【点睛】本题考查函数的求导运算，偶函数的性质和对数的运算，属基础题. 15.己知1sin()43x π+=，则5cos()4x π-=_____【答案】13- 【解析】 【分析】利用特殊角配凑出题中已知角，再结合诱导公式可得结果. 【详解】553cos()cos()cos 444424x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即51cos()sin .443x x ππ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭ 故答案为：1.3-【点睛】本题考查诱导公式，角度的配凑法，属基础题.16.如图，一列圆C n ：x 2 +(y -a n )2=r n 2(a n >0，r n >0)逐个外切，且所有的圆均与直线y =22x ±相切，若r 1=1，则a 1=___，r n =______【答案】 (1). 3 (2). 12n - 【解析】 【分析】采用第n 个圆，并假设切点n A ，利用22221,n n nn A C n A C r k -==，可得3n n a r =，代值计算可得1a ，然后根据圆与圆相切，可得()122n n r r n -=≥，利用等比数列通项公式可得结果.【详解】设第n 个圆心为()0,n n C a，半径为n r ， 且与22y x =的切点为(),22n n n A x x 则直线n nA C 的斜率为22n n n nA C nx a k x -=所以22221922n nn n nx a x a x -⋅=-⇒=①又()222222n nn n nn A C x x a r =+-=②由①②可知：3n n a r =③， 所以当11r =时，则13a = 又113n n a r --=④由③-④可知：()113n n n n a a r r ---=- 又11n n n n a a r r ---=+， 所以()122n n r r n -=≥所以数列{}n r 是以1为首项，2为公比的等比数列所以12n n r -=故答案为：3，12n -【点睛】本题考查直线与圆几何关系以及等比数列，本题难点在于找到3n n a r =，考验分析能力以及逻辑推理能力，属难题.三.解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.如图，D 是在△ABC 边AC 上的一点，△BCD 面积是△ABD 面积的2倍，∠CBD =2∠ABD =2θ．（Ⅰ）若θ=6π，求sin sin A C的值；（Ⅱ）若BC =4，AB ，求边AC 的长．【答案】（Ⅰ）sin sin A C =（Ⅱ）AC =【解析】 【分析】（Ⅰ）利用三角形面积公式以及2BCD ABD S S ∆∆=并结合正弦定理sin sin AB BCC A=，可得结果. （Ⅱ）根据2BCD ABD S S ∆∆=，可得θ，然后使用余弦定理2222sin AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠，可得结果.【详解】（Ⅰ）23CBD ABD π∠=∠=，所以11sin 2sin 2326BC BD AB BD ππ⋅=⨯⋅所以sinsin 3BC A AB C =⇒==； （Ⅱ）11sin 22sin 22BC BD AB BD θθ⋅=⨯⋅，所以42sin cos 2cos 2θθθθ⨯=⨯⇒=， 所以4πθ=，334ABC πθ∠==，所以21682440AC ⎛=+-⨯⨯= ⎝⎭，所以边AC =【点睛】本题考查三角形面积公式，正弦定理以及余弦定理的应用，关键在于识记公式，属中档题.18.如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A -BCB 1是棱长为2的正四面体.（Ⅰ）求证：AC ⊥CC 1； （Ⅱ）求三棱锥B -ACC 1的体积． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）223【解析】 【分析】（Ⅰ）取1BB 的中点E ，根据正四面体特点，可知AO ⊥平面11BCC B ，1BCB ∆为正三角形，然后根据11,BB AO BB CE ⊥⊥，可得1BB ⊥平面AEC ，最后可得结果.（Ⅱ）计算1BCC S △以及AO ，使用等体积法11B ACC A BCC V V --=，并结合锥体体积公式，可得结果.【详解】（Ⅰ）如图，取1BB 的中点E ，连接CE 交1BC 于点O ， 则点O 为1BCB △的重心，连接AO ，设1BC 交1B C 于点F ．依题意点A 在底面的投影为1BCB △的重心O ， 即AO ⊥平面11BCC B ，所以1AO BB ⊥．因为1BCB △是正三角形，所以1CE BB ⊥，,,AO CE O AO CE ⋂=⊂平面AEC则1BB ⊥平面AEC ，又AC ⊂平面AEC ，则1BB AC ⊥，由1BB //1CC 所以1CC AC ⊥．（Ⅱ）由1A BCB -是棱长为2的正四面体， 所以2233CO CE ==，2AC =， 2226AO AC CO =-=因为12BC CC ==，1120BCC ∠=︒， 得111113sin 22322BCC S BC CC BCC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△ 所以11126223333B ACC A BCC V V --==⨯⨯=． 【点睛】本题考查线面、线线位置关系，还考查等体积法的使用，熟练掌握线面垂直的判定定理以及性质定理，考验推理论证能力，属中档题.19.某市2013年至2019年新能源汽车y （单位：百台）的数据如下表：（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该市2021年新能源汽车台数；（Ⅱ）该市某公司计划投资600台“双枪同充”（两把充电枪）、“一拖四群充”（四把充电枪）的两种型号的直流充电桩．按要求，充电枪的总把数不少于该市2021年新能源汽车预测台数，若双枪同充、一拖四群充的每把充电枪的日利润分别为25元，10元，问两种型号的充电桩各安装多少台时，才能使日利润最大，求出最大日利润.77211140,364i i i i i x x y ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为717221ˆ,i ii ii x y nxybxnx ==-=-∑∑ˆa y bx=- 【答案】（Ⅰ）ˆy =23x +,2100台；（Ⅱ）双枪同充安装150台，一拖四群充安装450台时，每天的利润最大，最大利润为25500元． 【解析】 【分析】（Ⅰ）计算,x y ，根据7172217ˆ7i ii ii x y xybxx ==-=-∑∑，可得ˆb，进一步可得a ，然后可得方程，最后代值计算，可得结果.（Ⅱ）假设一拖四群充，双枪同充分别安装m 台，600m -台，根据42(600)2100m m +-≥，可得m 的范围，然后计算日利润4050(600)z m m =+-，依据不等式可得结果. 【详解】（Ⅰ）依题意知123456747x ++++++==，58810141517117y ++++++==，77211140,364ii i i i xx y ====∑∑，71722173647411ˆ21407167i ii ii x yxybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆ11243a y bx=-=-⨯=， 则y 关于x 的线性回归方程23y x =+．令9x =得：ˆ29321y=⨯+=， 故预测2021年该市新能源汽车大约有2100台．（Ⅱ）设一拖四群充，双枪同充分别安装m 台，600m -台， 每天的利润为z 元，则42(600)2100m m +-≥，即450m ≥4050(600)z m m =+-300001030000450025500z m =-≤-=所以当450m =时，z 取最大值25500．故当双枪同充安装150台，一拖四群充安装450台时， 每天的利润最大，最大利润为25500元．【点睛】本题考查线性回归方程，本题关键在于识记公式，考验计算能力，属基础题.20.已知函数，f (x )=33x -mx 2-m +ln (1-m )，(m <1)．（Ⅰ）当m =12时，求f (x )的极值； （Ⅱ）证明：函数f (x )有且只有一个零点． 【答案】（Ⅰ）函数极大值为1ln 22--，极小值为 2ln 23--；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用导数，通过'()f x 的符号，判断出函数的单调性，找到极值点，可得结果. （Ⅱ）计算'(())2x f x x m =-，采用分类讨论的方法，0m =，0m <以及01m <<，判断函数的单调性，可得结果.【详解】（Ⅰ）32111()ln 3222x f x x =--+'2()f x x x =-，则()f x 在(,0)-∞递增，在(0,1)递减，在(1,)+∞上递增， 所以函数极大值为1(0)ln 22f =--， 极小值为2(1)ln 23f =--． （Ⅱ）2'()2(2)x mx x x m f x =-=- ①当0m =时，()'20fx x =≥，3()3x f x =只有一个零点0，符合题意； ②当0m <时，()f x 在(,2)m -∞单调递增，在(2,0)m 单调递减，在(0,)+∞单调递增，(0)ln(1)f m m =-+-，令()ln(1)g m m m =-+-，(0)m <，显然()g m 单调递减，有()(0)0g m g >=，即(0)0f >，则()f x 只有一个零点，符合题意；③当01m <<时，()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,2)m 单调递减，在(2,)m +∞单调递增，(0)ln(1)f m m =-+-，(01)m <<，由②构造的函数知，(0)ln(1)0f m m =-+-<，则()f x 只有一个零点，符合题意．综上所述，1m <时，函数()f x 有且只有一个零点．【点睛】本题考查导数的应用，关键在于对含参数的函数单调性的判断，熟练使用分类讨论的思想以及学会构造函数，使问题化繁为简，属难题.21.定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆E 1，E 2，它们的长短半轴长分别为a 1，b 1和a 2，b 2，若满足a 2=a 1k ，b 2=b 1k （k ∈Z ，k ≥2），则称E 2为E 1的k 级相似椭圆，己知椭圆E 1: 22214x y b +=1，E 2为E 1的2级相似椭圆，且焦点共轴，E 1与E 2的离心率之比为2．（Ⅰ）求E 2的方程；（Ⅱ）已知P 为E 2上任意一点，过点P 作E 1的两条切线，切点分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．①证明：E 1在A (x 1，y 1)处的切线方程为11214x x y y b +=1； ②是否存在一定点到直线AB 的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）222:1169x y E +=（Ⅱ）①见解析；②存在一定点()0,0C 到直线AB 的距离为定值1．【解析】【分析】（Ⅰ）根据相似椭圆的概念，可得12a =，24a =，221b b =，然后根据212247e e =，并结合离心率c e a=，简单计算，可得结果. （Ⅱ）①联立方程1122143143x x y y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得关于x 的一元二次方程，然后使用∆，并根据221134120x y +-=，可得结果.②根据①的结论，可得在点B 的切线方程22143x x y y +=，根据10102020143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得直线AB 的方程，假设定点，使用点到线的距离公式，根据式子为定值，可得结果.【详解】（Ⅰ）由题意知12a =，24a =，221b b =， 则222211112144a b b e a --==，22222222221616a b b e a --==， 而()221124221144441647b e e b b -===-+，解得213b =，23b =， 故椭圆221:143x y E +=，椭圆222:1169x y E +=． （Ⅱ）①联立椭圆与直线方程， 11221122143361240143x x y y x x x y x y ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩，点A 在椭圆221:143x y E +=上，有221134120x y +-=， 所以()()2222111136121241234120x y x y ∆=--=+-=，即直线与椭圆相切．所以过点A 的切线方程为11143x x y y +=． ②由①知，过点B 的切线方程为22143x x y y +=， 设()00,P x y ，则22001169x y +=，即2200916144x y +=， 两条切线都经过点P ，则满足方程组10102020143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． 那么点A 和点B 都在直线00143x y x y +=上， 则直线AB 的方程为00143x y x y +=，即003412x x y y += 假设存在一定点(),C C C x y 到直线AB 的距离为定值，即00341212C C x x y y d ⋅+⋅-==为定值， 则0C C x y ==，1d =，故存在一定点()0,0C 到直线AB 的距离为定值1．【点睛】本题考查椭圆的综合应用，考验分析能力以及计算能力，属难题.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第—题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线C 1的普通方程为(x -1)2 +y 2=1，曲线C 2的参数方程为.x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（Ⅰ）求曲线C 1和C 2的极坐标方程：（Ⅱ）设射线θ=6π(ρ>0)分别与曲线C 1和C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值． 【答案】（Ⅰ）2cos 0ρθ-=，22222cos 3sin 60ρθρθ+-=;（Ⅱ）||AB = 【解析】【分析】（Ⅰ）根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，可得曲线C 1的极坐标方程，然后先计算曲线C 2的普通方程，最后根据极坐标与直角坐标的转化公式，可得结果.（Ⅱ）将射线θ=6π分别与曲线C 1和C 2极坐标方程联立，可得A ，B 的极坐标，然后简单计算，可得结果.【详解】（Ⅰ）()22221120x y x y x -+=⇒+-=由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==所以曲线1C 的极坐标方程为2cos 0ρθ-=，曲线2C 的普通方程为232360x y +-=则曲线2C 的极坐标方程为22222cos 3sin 60ρθρθ+-= （Ⅱ）令(0)6πθρ=>，则1,6A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则2222222cos 3sin 6066ππρρ+-=，即22924ρ=，所以2||OB ρ==1||2cos 6OA πρ===，故||||||AB OA OB =-=-． 【点睛】本题考查极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的转化，以及极坐标方程中ρ的几何意义，属基础题.选修4-5：不等式选讲23.已知a >0，b >0，a +b =2. （Ⅰ）求111a b ++的最小值； （Ⅱ）证明：2.a b b a ab+≥ 【答案】（Ⅰ）最小值为43；（Ⅱ）见解析 【解析】【分析】（1）根据题意构造平均值不等式，结合均值不等式可得结果；（2）利用分析法证明，结合常用不等式和均值不等式即可证明.【详解】（Ⅰ）11111[(1)]131a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭则1111421313b a a b a b +⎡⎤+=++≥⎢⎥++⎣⎦ 当且仅当21a b a b +=⎧⎨=+⎩，即32a =，12b =时， 所以111a b ++的最小值为43． （Ⅱ）要证明：2a b b a ab+≥， 只需证：20a b b a ab+-≥， 即证明：2220a b ab+-≥， 由0,0a b >>，也即证明：222a b +≥．因为2a b +≤所以当且仅当a b =1≥， 即222a b +≥，当1a b ==时等号成立． 所以2.a b b a ab+≥ 【点睛】本题考查均值不等式，分析法证明不等式，审清题意，仔细计算，属中档题.。