16-4 简谐振动的合成
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2、简谐振动的合成
A A1 A2
x
x1 A1 cos t x2 A2 cos(ωt π ) x x ( A2 A1 ) cos(ωt π)
o 2
A 2
A1
o
T
t
A
1) 相位相同 φ2 φ1 或 Δφ φ2 φ1 0
A A1 A2
相互加强
x A cos( t 1 ) A cos( t 2 ) 2) 相位相反 Δφ φ2 φ1 π
此结论对讨论各种波的干射、衍射极为有用。
二、 两个同方向不同频率简谐振动的合成 x1 A1 cos 1t A1 cos 2 π 1t
x2 A2 cos 2t A2 cos 2 π 2t
讨论 A1 A2 ,
x x1 x2
2 1 1 2 的情况
x y 2 1 2 A1 A2
π y A2 cos( t ) 2 0 质点沿顺时针方向运动
2 2
y
A1
A2
o
x
A2 y
x A1 cos t
o
A1
x
2 质点沿逆时针方向运动
用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图
两 相 互 简 垂 振 直 动 同 的 频 合 率、 成 不 图 同 相 位
1 1 可见 π ( 2 1 )T拍 ∴ T拍 2 1 拍
拍 2 1
拍频（振幅变化的频率）
注意:书上的拍频写成，此处的拍频写成拍
2 1 1 2
( 1 2 ) / 2 1 2 , 1 2
(C)
3k / m /( 2π )
简谐振动的合成
简谐振动的合成
琴弦能发出悠长悦耳的声波,实际上是琴弦上若干种频率振动的合成.若有两列波同时在空间传播,则在相遇区域内,各体元的振动是这两列波在该处引起的振动的合成.
(一)同方向同频率简谐振动的合成
设质点参与同方向同频率的两个简谐振动
X1=A1cos(wt+a1),
X2=A2cos(wt+a2),
式子中x1,x1,A1,A2以及a1，a2分别表示两个振动的位移、振幅和初相位，w0表示它们共同的频率，因两分振动在同方向上进行，故质点合位移等于分位移的代数和：X=x1+x2
=A1cos (w0t+a1)+A2cos (w0t+a2)
将余弦函数展开再重新并项，得
X=（A1 cosa1+A2 cosa2）cosw0t-（A1sina1+A2sina2）sin w0t
式中A1 、A2、a1、a2都是决定的常数，将它们记作Acosa和Asina
于是
X=Acosacosw0t-Asinasinw0t
=Acos（w0t+a）
可见，同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为简谐振动，其频率与分振动频相同。
简谐振动的合成
ω2 − ω1 = 2 A cos t cos(ω1t + ϕ ) 2 随t变化缓慢 变化缓慢 随t变化较快 变化较快 合振动不是谐振动。 合振动不是谐振动。
x1
t
x2
t
t
v ω2 A2
x
ω v
ω1 v A 1
理解： 理解：旋转 矢量合成法
A
x
o
x2
x1
x
两 相 互 垂 直 同 频 率 不 同 相 位 差
其合振动的振幅出现时而加强时而减弱的现象-- 拍 其合振动的振幅出现时而加强时而减弱的现象 “拍”。 设 ω1 ≈ ω 2 A1 = A2 = A，
x1 = A cos(ω1t + ϕ )
x 2 = A cos(ω 2t + ϕ )
合成后 x = x1 + x 2 = A cos(ω1t + ϕ ) + A cos(ω 2t + ϕ ) ω2 − ω1 ω2 + ω1 = 2 A cos t cos t +ϕ 2 2
o
ω v A
v A 3 ϕ3
v A 2
v ϕ1 A 1
ϕ ϕ2
x
例：两同方向、同频率谐振动合成， 两同方向、同频率谐振动合成，
x1 = 4 cos 3t
不变， 解：合成后ω不变，
x 2 = 2 cos(3t + π / 3)
求：合成谐振动方程
x = A cos(3t + ϕ )
A=
A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = 2 7 A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2 tgϕ = A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2
大学物理教程3.2 简谐振动的合成
Ay tg = A x
A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
3. 两种特殊情况
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos(2 - 1 )
(1)若两分振动同相
2- 1=0（2k，k=0,1,2,…）
x =A cos( t+ )
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
x =A cos( t+ )
由图知：
Ax = A1cos1 + A2cos2 Ay = A1sin1 + A2sin2 由： A2 = Ax2 + Ay2
y Ay
A A2
o
1
A1 A
x
2
x
2 2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 - 1 )
x1 4 cos 3t cm x2 2 cos(3t π) cm
求合成振动的振幅、初相位和振动表达式。
解 这两个谐振动的频率相同 3rad s ，振动方向相 同。所以它们的合成振动仍然是在x方向的、具有相同频 率的简谐振动。
-1
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
由于这两个振动反相，因此在旋转矢量图上，振幅矢 量 A1 和 A2 的方向始终相反，而合矢量 A 沿 A1 方向。
A 的模，即合成振动振幅为
A (4 - 2) 2
合振动的初相
1 0
x 2cos 3t cm
合振动的表达式为
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
二 同方向不同频率的简谐振动的合成 拍
第二节 两个简谐振动的合成
A12 A22 2A1A2 cos(02 01)
A A12 A22 2A1A2 cos
[注：cos( ) cos cos sin sin ]
A值的讨论，有三种情况：
(1) 2k
cos 1
A A1 A2
A值最大
(2) (2k 1) cos 1
A A1 A2 (3) 为其它值
波器显示屏上出现合成结果的图形，见右图。求x ?
解：
x y
m n
Y方向切点数 X方向切点数
x 3 x y 2 1000
x 1500 Hz
本节小结
同方向
1
2
简谐振动 A A12 A22 2A1A2 cos
同方向 1 2 拍 2 1
垂直方向
x m y n
李萨如图
x y
两个简谐振动的步调比较
同相：若两个简谐振动的频率相同、初相位相同，则两个简谐 振动的位移同时达到最大和最小。
x
1
2
t3
t1
t2
t4
t
0 ,同相
反相：若两个简谐振动的频率相同、初相位相差π，则一个振
动到达最大位移处时，另一个振动到达反向最大位移处。
1
x
t1
t2
t3
t4
t
2
,反相
超前与落后：若两个简谐振动的频率相同，初相位之差为
Y2 B2
1
X 0 t1 0 Y B
t2
2
X A Y 0
X 0 t3 Y B
t4
3 2
X A Y 0
t4 t3
t2
t1 Y超前π/2
右旋振动
t1 t2
t3
t4 Y落后π/2
大学物理,机械振动16-4 简谐振动的合成
o A1 A2 A3 A4 A5 x
A Ai NA0
A
(k 0,1,2,) 2） N 2k 'π
A5
A4 A
i
3
(k ' kN , k ' 1,2,)
N个矢量依次相接构
成一个闭合的多边形。
O A6
2 1
1t 1
A
1 A1
o
x2
x1
x
x
A12 A22 2 A1 A2 cos
1 2 0
2π ( 2 1 )t
20
( 2 1 )t ( 2 1 )
16.4 简谐振动的合成
A A12 A22 2 A1 A2 பைடு நூலகம்os
11
16.4 简谐振动的合成
* 多个同方向同频率简谐运动的合成
第16章 机械振动
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) xn An cos(t n )
A A 3
x x1 x2 xn
x A cos(t )
x A cos(t )
两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐 运动，且其方向和频率与原来相同。
2
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
x x1 x2
解 析 法
A1 cos t 1 ＋A2 cos t 2 A1 cos 1 A2 cos 2 cos t A1 sin 1 A2 sin 2 sin t
随 t 变化缓慢 随 t 变化较快 由于振幅是周期性变化的，所以合振 动不再是简谐振动。 讨论
大学物理-14 简谐振动的合成
1 2
2
Δ 1 2
则
2 A0
cos 1
2
2
t
较
cos 1 2 t
2
随时间变化缓慢得多，
将合成式写成谐振动形式 x A(t)cos t
合振动的振幅
A(t )
2 A0
cos 1
2
2
t
合振动可看做是振幅缓慢、周期变化的谐振动
x
[2
A0
cos
1
2
2
t ]cos
1
2
2
t
1
1
2π
2
2
/22））cos(
t
N 2
1
)
(1) 如果各分振动的初相相同，即 0，则有
sin N
A
A lim a
0
2
sin
Na
o
A1
A2
A3 A4
A5
x
0
2 合振幅最大 同相 A Na
(2) N 2kπ
A4
A3
(k' 1,2,, 但k' kN ) A5
A2
A0
O
A6
A1
x
二、振动方向相同、频率略有差别、振幅相等
（同频率或不同频率）
消去参数 t ，得合运动的轨迹方程： 椭圆方程
x2 A12
y2 A22
2
x A1
y A2
cos(
2
1 ) sin2 (2
1)
一般而言，合振动轨迹为椭圆。椭圆的性质
（方位、长短轴、左右旋）在 A1、A2确定之
后，主要取决于相位差 Δ 2 1
x2 A12
y2 A22
简谐振动的合成
8
合成振动表达式：
x(t ) A cos(1t ) A cos( 2 t )
( 2 1 t ） ( 2 1 )t 2 A cos cos[ ] 2 2
当 1与 2 都很大，且相差甚微时，可将 | 2 A cos( 2 1 )t / 2 |视为振幅变化部分， 合成振动是以 ( 2 1 ) / 2 为角频率的谐振动。
17
2 1 0
2 1
4
2 1
2
3 2 1 4
5 4
3 2
7 4
18
2、如果两个互相垂直的振动频率成整数比，
合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有 周期。这种运动轨迹的图形 称为李萨如图形。 用李萨如图形 在无线电技术 中可以测量频 率：
4
上面得到：
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
讨论一：
A1 sin 1 A2 sin 2 arctg A1 cos1 A2 cos 2
k 0,1,2,
合振幅最大。
2 1 2k
A A1 A2
当 A1 A2 称为干涉相长。
2
2 2 0 x 0 令k m 0 x 2 T 0 x(t ) A cos( 0 t 0 )
g 0 g mgl sin 0 2 l l I 为m绕O点转动的转动惯量 O mgh sin I mgh 2 C 0 mgh 0 I I 简谐振动的能量 * 任一简谐振动总能量 mg
x2 y2 2 xy 2 2 cos sin 2 A1 A2 A1 A2
上式是个椭圆方程，具体形状由 ( 20 10 )相位差决定。 质点的运动方向与 有关。当 0 时， 质点沿顺时针方向运动；当 2 时， 质点沿逆时针方向运动。 当 A1 A2 时，正椭圆退化为圆。
合成振动表达式：
x(t ) A cos(1t ) A cos( 2 t )
( 2 1 t ） ( 2 1 )t 2 A cos cos[ ] 2 2
当 1与 2 都很大，且相差甚微时，可将 | 2 A cos( 2 1 )t / 2 |视为振幅变化部分， 合成振动是以 ( 2 1 ) / 2 为角频率的谐振动。
17
2 1 0
2 1
4
2 1
2
3 2 1 4
5 4
3 2
7 4
18
2、如果两个互相垂直的振动频率成整数比，
合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有 周期。这种运动轨迹的图形 称为李萨如图形。 用李萨如图形 在无线电技术 中可以测量频 率：
4
上面得到：
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
讨论一：
A1 sin 1 A2 sin 2 arctg A1 cos1 A2 cos 2
k 0,1,2,
合振幅最大。
2 1 2k
A A1 A2
当 A1 A2 称为干涉相长。
2
2 2 0 x 0 令k m 0 x 2 T 0 x(t ) A cos( 0 t 0 )
g 0 g mgl sin 0 2 l l I 为m绕O点转动的转动惯量 O mgh sin I mgh 2 C 0 mgh 0 I I 简谐振动的能量 * 任一简谐振动总能量 mg
x2 y2 2 xy 2 2 cos sin 2 A1 A2 A1 A2
上式是个椭圆方程，具体形状由 ( 20 10 )相位差决定。 质点的运动方向与 有关。当 0 时， 质点沿顺时针方向运动；当 2 时， 质点沿逆时针方向运动。 当 A1 A2 时，正椭圆退化为圆。
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o A1 A2 A3 A4 A5 x
A Ai NA0
A
(k 0,1,2,) 2） N 2k 'π
A5
A4 A
i
3
(k ' kN , k ' 1,2,)
N个矢量依次相接构
成一个闭合的多边形。
O A6
合振动的轨迹为通过 原点且在第一、第三 象限内的直线。
y
x
合振动仍为谐振动。 质点离开平衡位置的位移：
S x y A A2 cos( t )
2 2 2 1 2
23
16.4 简谐振动的合成
利用旋转矢量合成
第16章 机械振动
y
2
3
0 y
2 1
8 3
1
8 7 6
A2 y x A1
相互加强
2）相位差
2
1， ) 1 (2k 1)π (k 0 ，
A A1 A2
相互削弱
3）一般情况， 当相位差为其它值时，
A1 A2 A A1 A2
7
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
5 x1 4 cos(2t ) m , x2 3 cos(2t )m, 6 6 解：1）用解析法，合成后不变， x A cos(2t )
拍在声学和无线电技术中的应用： 用音叉的振动来校准乐器； 利用拍的规律测量超声波的频率； 在无线电技术中，可用来测定无线电波频率以及调制。
19
16.4 简谐振动的合成
方法二：旋转矢量合成法
第16章 机械振动
( 2 1 )t ( 2 1 )
2t 2
A 2 2
A
1 T 2 1
18
16.4 简谐振动的合成
A 2 A1 cos 2 π
第16章 机械振动
2 1
2
t
2 1
2 1 2π Tπ 2
1 T 2 1
拍频（振幅绝对值变化的频率）
所以，拍频是振动 cos(2
2 1
2
t ) 频率的两倍。
（拍在声学和无线电技术中的应用） 振动圆频率
1 2
2
21
16.4 简谐振动的合成
*三 相互垂直的简谐振动的合成
第16章 机械振动
*1、两个同频率相互垂直的简谐振动的合成
x A1 cos(t 1 ) y A2 cos(t 2 )
质点运动轨迹方程：
x y 2 xy 2 2 cos( 2 1 ) sin ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
5
x /cm
1
0.05
1振动在 t = 0时： 1 x10 0 , v10 0 2 2振动在t = 0时：
0
5
0 .1
t /s
2
x20 5cm , v 20 0
2
M2
x1 5 cos(20 t 2) cm x2 5 cos(20 t ) cm
第16章 机械振动
(2 1 )t
振幅 A A 1 cos ) 1 2(
2
A2
t)
( 2 1 )t
2 A1 cos(
拍频
2 1
2
o
2 1
x1 x2 cost A
1t 2t
x2 x1
1 A1
A
x
x
2 1
O
M1
10
x
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
x1 5 cos(20 t 2) cm x2 5 cos(20 t ) cm
由旋转矢量法：
M2
2
5 4
A 0 M1 0 M 2
5 2 cm
5 4
2
A
O
M1
x
5 x 5 2 cos(20 t ) cm 4
在一般情况下，这是一个椭圆方程。
22
2
2
16.4 简谐振动的合成
2 2
第16章 机械振动
讨论
x y 2 xy 2 2 cos( 2 1 ) sin ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
1） 2 1 0 或 2π
x y 2 ( ) 0 A1 A2
A2 y x A1
令： 则：
A sin A1 sin 1 A2 sin 2 A cos A1 cos 1 A2 cos 2
x A cos cos t A sin sin t A cos t
3
16.4 简谐振动的合成
旋转矢量法：
第16章 机械振动
A
2 A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 1 m
例：求合振动方程。已知两同方向、同频率谐振动：
A1 sin1 A2 sin 2 3 tg A1 cos1 A2 cos 2 3
因为当t = 0时
6
合振动方程： x 1 cos(2t / 6) m
A0
A1
A2
x
13
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
*二 两个同方向不同频率简谐运动的合成
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合 成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍。 14
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
15
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
x A cos(t )
两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐 运动，且其方向和频率与原来相同。
2
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
x x1 x2
解 析 法
A1 cos t 1 ＋A2 cos t 2 A1 cos 1 A2 cos 2 cos t A1 sin 1 A2 sin 2 sin t
为了简单起见，讨论两个振幅相同，初相位也 相同，在同方向上以不同频率振动的合成。其振 动表达式分别为：
x1 A1 cos1t A1 cos2π 1t x2 A2 cos2t A2 cos 2π 2t
利用三角函数关系式：
x x1 x2
2
cos cos 2 cos
合成振动表达式：
2
cos
x (2 A1 cos 2π
2 1
2
t ) cos 2πFra bibliotek 2 12
t
16
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
x x1 x2 A1 cos2π 1t A2 cos2π 2t 2 1 2 1 x (2 A1 cos 2π t ) cos 2π t 2 2
合振动的轨迹为通过原点且 在第二、第四象限内的直线
合振动仍为谐振动。
x
质点离开平衡位置的位移：
S x y A A2 cos( t )
o
1 A1
2
3 A2
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动 假设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。 12
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
xN A0 cos[t ( N 1) ]
讨 论
1） 2kπ
x1 A0 cost x2 A0 cos(t ) x3 A0 cos(t 2 )
x
x
o 2
A 2
A1
A A1 A2 2
o
T
合振动振幅最小。
t
6
A
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
A
1）相位差
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
2 1 2k π
A A1 A2
(k 0 ， 1， )
从图中三角形的边角关系，
可得：
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A1 sin1 A2 sin 2 tan A1 cos1 A2 cos 2
合振动的振幅A不仅与 两个分振动的振幅有关， 还取决于两分振动的初相 位差。
4
16.4 简谐振动的合成 讨论
6
A(1cm ) 6
A2 ( 3cm )
5 2 6
合振动方程： x 1 cos(2t / 6) m
9
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
例：已知两谐振动的曲线，它们是同频率的谐振动。 求：合振动方程。 解：由图知 A1 A2 5 cm
T1 T2 0.1 s 2 T 20
随 t 变化缓慢 随 t 变化较快 由于振幅是周期性变化的，所以合振 动不再是简谐振动。 讨论
A1 A2 ， 2 1 1 2 的情况
合振动是振幅按 | 2A0cos 2π(ν2-ν1) t /2 | 缓慢变化
的，角频率为 (ν2+ν1 ) /2 的“准周期运动”。
17
16.4 简谐振动的合成
2 1 2 2
第16章 机械振动
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 1）相位差 2 1 2k π (k 0 ， 1， 2,)
x
x
合振动振幅最大。
o A