简谐振动22简谐振动的合成
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简谐振动的合成
x
A1
2
o
A A1 A2
o
相互削弱
A
A2
3）一般情况 A1 A2 A A1 A2
21
2.n个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
xn
An
cos(t
n
)
x x1 x2 xn
19
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 1）相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
x
o
A1
A2
A
A A1 A2
相互加强
20
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1, )
dt 2
J ml 2
d 2
g
2 g
l 2
dt 2 l
cos(t ) m
g
l
T 2π l g
转
A
动
l
正 向
FT m
O
P
10
复摆
M l F
转动正向
O
M mgl sin J J d2
dt 2
l
*C
24
频率较大而频率之差很小的两个同方 向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而 加强时而减弱的现象叫拍.
x1 A1 cos1t A1 cos2π1t x2 A2 cos2t A2 cos2π2t
mgl J d2
dt 2
P
令 2 mgl
二、同方向不同频率两个简谐振动的合成剖析
同方向不同频率两个简谐振动的合成同方向不同频率两个简谐振动的合成????????2tacos212?????????2?tcos21???21xxxtax11cos?差频?tax22cos??设两振动振幅相同并以它们的初相位都为零时为计时起点位移xto2tt23t2t分振动1分振动2合振动122???为一复杂振动和频振幅周期性变化toxx1x2?着重研究21??相近情况拍现象beat即?1?2?1or?2?x????????2tacos212?????????2tcos21?21xxx??振幅随时间的变化非常缓慢振幅调制因子amplitudemodulationfactor应用cooledit来合成两频率相近的简谐振动问题
A 2R sin N
2
P
R
N
Q
/2
由OPa可看出
A0
2R sin 2
A合
sin N
A A0
2
请大家自行练习！
O
a A0 B
b C
X
sin
2
当N=2k 时的合振幅为零。请记住这个结论！
二.同方向不同频率两个简谐振动的合成
同方向同频率两个简谐振动的合成 ------仍为简谐振动
两个同方向频率相近的简谐振动的合成 为合振幅随时间作缓慢变化的准简谐振动（拍）
合振幅变化的频率即拍频 拍 | 2 1 |
两个振动方向垂直频率相同的简谐振动的合成可能仍 为直线振动（而且是谐振动）也可能是圆运动，和椭 圆运动。
课后实验：
1. 请你测量一根吉他琴弦的振动频率。
2. 敲击盛水的玻璃酒杯能产生清晰的音调.试用 音叉把这些音调校准到你所需要的频率看看是否 能把他们排列起来构成一个八度音阶。
A 2R sin N
2
P
R
N
Q
/2
由OPa可看出
A0
2R sin 2
A合
sin N
A A0
2
请大家自行练习！
O
a A0 B
b C
X
sin
2
当N=2k 时的合振幅为零。请记住这个结论！
二.同方向不同频率两个简谐振动的合成
同方向同频率两个简谐振动的合成 ------仍为简谐振动
两个同方向频率相近的简谐振动的合成 为合振幅随时间作缓慢变化的准简谐振动（拍）
合振幅变化的频率即拍频 拍 | 2 1 |
两个振动方向垂直频率相同的简谐振动的合成可能仍 为直线振动（而且是谐振动）也可能是圆运动，和椭 圆运动。
课后实验：
1. 请你测量一根吉他琴弦的振动频率。
2. 敲击盛水的玻璃酒杯能产生清晰的音调.试用 音叉把这些音调校准到你所需要的频率看看是否 能把他们排列起来构成一个八度音阶。
简谐运动的合成
x = ( 2 A1 cos 2 π
ν 2 −ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分 振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 −ν 1
2
振 动
Amax = 2A1
t
Amin = 0
15
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
y
ϕ （1） 2 −ϕ1 = 0或 2 π ） A2 y= x A1
A2
A1
o
x
ϕ （2） 2 − ϕ1 = π ） A2 y=− x A1
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
7
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 论 A12 A2 A1 A2
A
ϕ1
ϕ
A 1
O
x2
x1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍 两个同方向同频率简谐运动合成后仍 合成 频率的简谐 简谐运动 为同频率的简谐运动
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
（1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0，1，2,⋯ ） ± ± )
x
ϕ
A2
x
o
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程） 质点运动轨迹 （椭圆方程）
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
ν 2 −ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分 振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 −ν 1
2
振 动
Amax = 2A1
t
Amin = 0
15
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
y
ϕ （1） 2 −ϕ1 = 0或 2 π ） A2 y= x A1
A2
A1
o
x
ϕ （2） 2 − ϕ1 = π ） A2 y=− x A1
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
7
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 论 A12 A2 A1 A2
A
ϕ1
ϕ
A 1
O
x2
x1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍 两个同方向同频率简谐运动合成后仍 合成 频率的简谐 简谐运动 为同频率的简谐运动
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
（1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0，1，2,⋯ ） ± ± )
x
ϕ
A2
x
o
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程） 质点运动轨迹 （椭圆方程）
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
第三节 简谐运动的合成
2 1 2k k 0,1,2,
A1
A A1 A2 合振动加强
A2
若两分振动反相:
2 1 (2k 1) k 0,1,2,
A A1 A2
合振动减弱
若 A1=A2 , 则 A=0
A2
A1
课堂练习：
两个同方向同频率的谐振动，振动方程分别为
x1
6102 cos(5t )m，
2
x2
2102 sin(
t
)
A
ω2t
O
ω2
2
ω1
ω1t
A
(ω 2
A1
ω1)
t
2
2
A
A2 1
A2 2
2A1A2cos(2
1)t
x2 x
x1x1
x2
x
当 (ω2 ω1) t时,2kπ
A 有最大值 A A1 A2
当 (ω2 ω1) t (时2k，1) π
A有最小值 A A1 A2
合振动振幅的频率为: (ω2 ω1) 2π
(2) 0, ,2 (或 )时,退化为直线;
(3) , 3 (或 ) 时,为正椭圆,若A1=A2,则退化
为圆.2 2
2
(4)椭圆轨迹内切于边长为2A1和2A2的矩形; (5)0 时,椭圆顺时针方向转;
0(或 2 ) 椭圆逆时针方向转.
四、相互垂直但频率不同的简谐振动的合成
5t)m
则其合振动的振幅为谐振动,振幅为：
（1）0 ；
（2）4cm；
（3）4 5cm ；
2
（4）8 cm。
二、同方向不同频率谐振动的合成
1. 分振动 : x1 A1 cosω1 t x2 A2 cosω2t
第2节_简谐振动的合成
2
x = ( A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 ) cosωt − ( A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 ) sinωt = A cos ϕ ⋅ cos ωt − A sin ϕ ⋅ sin ωt = A cos(ωt + ϕ ) ∴ x = A cos(ωt + ϕ )
两个同方向、 两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是一个 简谐振动，且频率不变。 简谐振动，且频率不变。 由
若 A1 = A2 , A = 2A1
= A1 + A2
合振动振幅最大。 合振动振幅最大。
（ ） 2.当 ∆ϕ=ϕ2 −ϕ1 = 2k +1 π ( k = 0,±1,±2,⋯) 时, 当
2 2 A = A1 + A2 + 2A1A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
A2
=| A1 − A2 |
A
A2 A1
2 2
ϕ 2 − ϕ1 = π / 2
2 2
x y + =1 A1 A2
•当 当
16
A1 = A2 ,
x +y =A
2
为圆方程
2.
∆ϕ = π / 2
y
8
1 2
y
7 6 5
4
7 6 5
4
8
1 2 2 1
x
3
3
4
播 放 动 画
17
3
5 6 7
x
8
4.
3π (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2
9
由于余弦函数绝对值的周期为π。 ω 2 − ω1 t ) 的频率的两倍。 所以， 的频率的两倍。 所以，拍频是振动 cos( 2 即拍频为： 即拍频为：
x = ( A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 ) cosωt − ( A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 ) sinωt = A cos ϕ ⋅ cos ωt − A sin ϕ ⋅ sin ωt = A cos(ωt + ϕ ) ∴ x = A cos(ωt + ϕ )
两个同方向、 两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是一个 简谐振动，且频率不变。 简谐振动，且频率不变。 由
若 A1 = A2 , A = 2A1
= A1 + A2
合振动振幅最大。 合振动振幅最大。
（ ） 2.当 ∆ϕ=ϕ2 −ϕ1 = 2k +1 π ( k = 0,±1,±2,⋯) 时, 当
2 2 A = A1 + A2 + 2A1A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
A2
=| A1 − A2 |
A
A2 A1
2 2
ϕ 2 − ϕ1 = π / 2
2 2
x y + =1 A1 A2
•当 当
16
A1 = A2 ,
x +y =A
2
为圆方程
2.
∆ϕ = π / 2
y
8
1 2
y
7 6 5
4
7 6 5
4
8
1 2 2 1
x
3
3
4
播 放 动 画
17
3
5 6 7
x
8
4.
3π (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2
9
由于余弦函数绝对值的周期为π。 ω 2 − ω1 t ) 的频率的两倍。 所以， 的频率的两倍。 所以，拍频是振动 cos( 2 即拍频为： 即拍频为：
简谐振动的合成实验
简谐振动的合成实验一、实验目的1.掌握谐振动的表达与合振动的分析2.掌握信号的相位、幅度、频率等参数的物理含义3.掌握用示波器观察波形以及测量电压、周期和频率的方法。
4.掌握使用信号发生器。
5.利用李萨茹图分析待测信号的相位频率等信息二、实验仪器Waveace1012型数字示波器1台、DG4062型数字信号发生器一台、传输线2条等。
三、示波器的使用（三四节的内容在实验报告中仅需概述即可）示波器就是显示波形的机器，它还被誉为“电子工程师的眼睛”。
它的核心功能就是为了把被测信号的实际波形显示在屏幕上，以供工程师查找定位问题或评估系统性能等等。
它的发展同样经历了模拟和数字两个时代，如图1和图2所示。
图1 模拟示波器图2 数字示波器模拟示波器采用的是模拟电路（示波管，其基础是电子枪）电子枪向屏幕发射电子,发射的电子经聚焦形成电子束,并打到屏幕上。
屏幕的内表面涂有荧光物质,这样电子束打中的点就会发出光来。
而数字示波器则是数据采集，A/D转换，软件编程等一系列的技术制造出来的高性能示波器。
数字示波器一般支持多级菜单，能提供给用户多种选择，多种分析功能。
还有一些示波器可以提供存储，实现对波形的保存和处理。
模拟示波器显示的波形是连续的，是信号真实的波形，而且反应速度特快。
而数字示波器显示的波形是经过数字电路采样得来的点组成的，是个不连续的波形，采样率越高的示波器，越与真实波形接近，但显示速度没有模拟机快。
反应速度快是模拟示波器最大的优点之一，是数字机很难取代的，比如，在测试某一信号时，模拟示波器能在瞬间显示波形，几乎没有延时，而数字机还需要将测试的信号进过数字电路处理后，再显示出模拟的波形，在显示时间上落后模拟示波器。
在此，我们仅介绍数字示波器的使用情况。
示波器可以将输入的波形在屏幕上显示出来，waveace1012型示波器具有两个输入通道，可以同时测量并显示2路信号的变化波形。
示波器的屏幕可以设置成横坐标为时间t，纵坐标为输入信号的电压量的大小，称为“Y-T”时基，如图所示。
医用物理学教学课件 第二节 两个简谐振动的合成
A12 A22 2A1A2[cos01 cos02 sin01 sin02]
A12 A22 2A1A2 cos(02 01)
A A12 A22 2A1A2 cos
[注：cos( ) cos cos sin sin ]
t4 t3
t2
t1 Y超前π /2
右旋振动
t1 t2
t3
t4 Y落后π /2
左旋振动
例七
一质点同时参与相互垂直的两个振动：
X
8c
os(
t
)
cm
36
Y 6cos( t ) cm
33
请你画出合振动运动轨迹图。
解：
36
2
2B ∵Y落后π/2，左旋振动
2
2
A0
cos
2
O
X
2 A0
cos 2
1
2
t
注： 2t 1t
1 2
(1
cos
)
cos
2
从角度可分析：
t
2
1
2
t
1t
AA
2 1 t
2
O
X
将A与ωt表达式代入 x Acost
x
2
A0
cos 1
∴画一个2A*2B的矩形，内切
画椭圆，标出左旋箭头即可
2A
（2） 2 m 的情况： 1 n
若频率不相等，但是整数比，则合振动的轨迹 是有规则的稳定的闭合曲线-------李萨如图形。
第二节 两个简谐振动的合成
A12 A22 2A1A2 cos(02 01)
A A12 A22 2A1A2 cos
[注：cos( ) cos cos sin sin ]
A值的讨论，有三种情况：
(1) 2k
cos 1
A A1 A2
A值最大
(2) (2k 1) cos 1
A A1 A2 (3) 为其它值
波器显示屏上出现合成结果的图形，见右图。求x ?
解：
x y
m n
Y方向切点数 X方向切点数
x 3 x y 2 1000
x 1500 Hz
本节小结
同方向
1
2
简谐振动 A A12 A22 2A1A2 cos
同方向 1 2 拍 2 1
垂直方向
x m y n
李萨如图
x y
两个简谐振动的步调比较
同相：若两个简谐振动的频率相同、初相位相同，则两个简谐 振动的位移同时达到最大和最小。
x
1
2
t3
t1
t2
t4
t
0 ,同相
反相：若两个简谐振动的频率相同、初相位相差π，则一个振
动到达最大位移处时，另一个振动到达反向最大位移处。
1
x
t1
t2
t3
t4
t
2
,反相
超前与落后：若两个简谐振动的频率相同，初相位之差为
Y2 B2
1
X 0 t1 0 Y B
t2
2
X A Y 0
X 0 t3 Y B
t4
3 2
X A Y 0
t4 t3
t2
t1 Y超前π/2
右旋振动
t1 t2
t3
t4 Y落后π/2
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采用旋转矢 量法，可直观 地领会简谐振 动表达式中各 个物理量的意 义。
A 的长度
振幅A
ω
M
A
A旋转的角速度
振动圆频率 O
t 0
P
X
x
A 旋转的方向
逆时针方向
A 与参考方向x 的夹角 振动相位
M 点在 x 轴上投影(P点)的运动规律：
x Acos(t 0 )
旋转矢量
x Acos t
返回10
四、简谐振动的能量
k
m
k m
0
x
X
m2 k
势能
Ep
1 kx2 2
1 2
kA2
cos2 ( t
)
动能
Ek
1 mv2 2
1 mkA22A2
2
sin 2
t
E
Ek
Ep
1 kA2 2
1mm 2 A2
2
惯性质量
单摆的能量
LC 电路 的能量
能量随空间变化
能量随时间变化
E
x
E
E
E p Ek
A
Ep
xA
6
a 0.12 2 cos 1.03m / s 2
6
返回10
（3）第一次通过平衡位置的时刻。
x
At
平衡 位置
A0 At
振幅矢量旋转角度 5 32 6
A0 问题转化为：已知旋转2需要T 时
间，问旋转 5 /6 需要多少时间？
2 5 / 6
T2
t
t 5 0.83s 6
还可以求“第二次……”——旋转角度11 /6
ax
X
X
O
1
2
A1
A2
两个同频率的简谐运动：
相位之差为 采用旋转矢量直观表示为：
(t 2 ) (t 1) 2 1. x2 A2 cos(t 2 ) x1 A1 cos(t 1)
x
A1
t
A2
t
x
A1
A2
同相
t
x
x
A1
A1t A2 t
A2
反相
t
例题1
已知简谐振动表达
x0
mg k
物体受的合力：
x
x0
0
x
FR mg k(x0 x) k x
x 2x 0 2 k g
m x0
T 2
f
mg
x0 g
例、单摆
1、细线质量不计
约 定 2、 50 sin
0
3、阻力不计
质点 m 受力如图重力矩：M mgl sin mgl
l
根据质点的动量距定理 dL M
t
1
0
t
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 A2
a 2 Acos t x(t)
t
1
0
t
2
例：物体的质量为 m , 弹簧的劲
度系数为 k 。其静止变形 x0
手拉物体后无初速地释放，确定物
体的运动规律 。
l0
建立如图坐标系，以平衡位置为坐标 原点。物体坐标为 x , 所受的弹性回 复力为 f 和重力 mg
在平衡位置处 mg k x0 0
研究目的 —— 利用、减弱 或 消除
§2.1 简谐振动
一、描述简谐振动的特征量
质量可忽略的弹簧，一 端固定，一端系一有质 量的物体，称此系统为 弹簧振子。
建 立 如 图的 坐 标系 物 体 质 量 m, 坐 标 x 所 受 回 复 力 为 F.
令 k
m
k
Fm
0
F kx
d2x F m
dt 2
x
X
d2x k x0
dt 2 m
d2x dt 2
2
x
0
此方程的通解为： x A cost
xt A cost
• 物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函 数描述，称之为简谐振动。
上式称之为 简谐 振 动表 达式（简谐函数或振动方程）
d2x dt 2
2
x
0
简谐振动的动力学特征方程
F kx 简谐振动的动力学条件
x Acos(t 2 )
3
试画出振动曲线
x
x
A
2
3
t
0
A(0)
例题2
一质点沿x 轴作简谐运动，A = 0.12 m ，T=2s ，当t = 0
时质点在平衡位置的位移 x0 = 0.0 6m 向x 轴正向运动。
求：（1）简谐运动表达式；
（2）t =T/4 时，质点的位置、速度、加速度；
（3）第一次通过平衡位置的时刻。
dt
T
d 2
dt 2
g
l
0
摆角在作简谐振动
m
0 cos t 0
mg
？ 固有
园频率
g 设初始条件 0 振幅和
l
v0 0 初相=
3. 简谐振动的矢量图示法
旋转矢量:一长度等于振幅A 的矢量 在A纸平面内
绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频 率相等，这个矢量称为旋转矢量。
2
a
d2x dt 2
A 2
cost
简谐振动的各 阶导数也都作 简谐振动
am cos(t ) x 2
简谐振动的运动学特征方程
三、 振 动 曲 线 旋转矢量
1. 振 动 曲 线
A1 1
x Acos t x(t)
t
0
0.5
1
1.5
2
-A1 1 0
t
2
1 A
v Asin t x(t)
谐振动的特征量
1、 A 振幅
2、 T 周期
1
T
频率
x Acos t Acos (t T )
T 2 2 m
k
2
圆频率又称 固有圆频率
3、 t 相位 初相位
确定物体振动状态的物理量
二 、简谐运动的速度和加速度
xt Acos t
v dx A sint
dt
A cos t
§2-1 简谐振动 §2-2 简谐振动的合成 §2-3 波的描述 §2-4波的衍射和干涉 §2-5声波及超声波的生物效应
广义：物理量在某一定值附近反复变化即为振动。
周期振动：物理量每隔一固定的时间间隔其数值重复一次
x(t) x(t T )
振动频率
1
T
机械振动：物体在某一位置附近往复运动
复杂振动 = 若干个简谐振动的合成
x
x
A0
A
t+ 相位
1
t
At
x( t )
0
振幅矢量
1
0
t
2
绕O点以角速度 逆时针旋转的矢量At ，
在x 轴上的投影正好描述了一个简谐振动。
v0 O
X
A
X
av,
v0 O
A
速度、加速度的旋转矢量表示法：
v
A
a t 0
沿X 轴的投 影为简谐运动的速度、
M
加速度表达式。
vx
M 点:vm A am 2 A
X
E p Ek t
胡玉才：e-mail
hyc@
五、阻尼振动 受迫振动 共振
1.阻尼振动
振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下 所作的振动，称为无阻尼自由振动。
在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。
阻尼：消耗振动系统能量的原因。
解： （1） xx 0A.1c2ocsost t
x
x
3
3
＝ 2T?
A/2
t
０
（2）t =T/4 时，质点的位置、速度、加速度；
x 0.12cos t
v
0.12
sin
t
3
a
0.12
2
cos
t
3
3
tT 1 42
x 0.12cos 1.04m
2 3
v 0.12 sin 0.189m / s
A 的长度
振幅A
ω
M
A
A旋转的角速度
振动圆频率 O
t 0
P
X
x
A 旋转的方向
逆时针方向
A 与参考方向x 的夹角 振动相位
M 点在 x 轴上投影(P点)的运动规律：
x Acos(t 0 )
旋转矢量
x Acos t
返回10
四、简谐振动的能量
k
m
k m
0
x
X
m2 k
势能
Ep
1 kx2 2
1 2
kA2
cos2 ( t
)
动能
Ek
1 mv2 2
1 mkA22A2
2
sin 2
t
E
Ek
Ep
1 kA2 2
1mm 2 A2
2
惯性质量
单摆的能量
LC 电路 的能量
能量随空间变化
能量随时间变化
E
x
E
E
E p Ek
A
Ep
xA
6
a 0.12 2 cos 1.03m / s 2
6
返回10
（3）第一次通过平衡位置的时刻。
x
At
平衡 位置
A0 At
振幅矢量旋转角度 5 32 6
A0 问题转化为：已知旋转2需要T 时
间，问旋转 5 /6 需要多少时间？
2 5 / 6
T2
t
t 5 0.83s 6
还可以求“第二次……”——旋转角度11 /6
ax
X
X
O
1
2
A1
A2
两个同频率的简谐运动：
相位之差为 采用旋转矢量直观表示为：
(t 2 ) (t 1) 2 1. x2 A2 cos(t 2 ) x1 A1 cos(t 1)
x
A1
t
A2
t
x
A1
A2
同相
t
x
x
A1
A1t A2 t
A2
反相
t
例题1
已知简谐振动表达
x0
mg k
物体受的合力：
x
x0
0
x
FR mg k(x0 x) k x
x 2x 0 2 k g
m x0
T 2
f
mg
x0 g
例、单摆
1、细线质量不计
约 定 2、 50 sin
0
3、阻力不计
质点 m 受力如图重力矩：M mgl sin mgl
l
根据质点的动量距定理 dL M
t
1
0
t
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 A2
a 2 Acos t x(t)
t
1
0
t
2
例：物体的质量为 m , 弹簧的劲
度系数为 k 。其静止变形 x0
手拉物体后无初速地释放，确定物
体的运动规律 。
l0
建立如图坐标系，以平衡位置为坐标 原点。物体坐标为 x , 所受的弹性回 复力为 f 和重力 mg
在平衡位置处 mg k x0 0
研究目的 —— 利用、减弱 或 消除
§2.1 简谐振动
一、描述简谐振动的特征量
质量可忽略的弹簧，一 端固定，一端系一有质 量的物体，称此系统为 弹簧振子。
建 立 如 图的 坐 标系 物 体 质 量 m, 坐 标 x 所 受 回 复 力 为 F.
令 k
m
k
Fm
0
F kx
d2x F m
dt 2
x
X
d2x k x0
dt 2 m
d2x dt 2
2
x
0
此方程的通解为： x A cost
xt A cost
• 物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函 数描述，称之为简谐振动。
上式称之为 简谐 振 动表 达式（简谐函数或振动方程）
d2x dt 2
2
x
0
简谐振动的动力学特征方程
F kx 简谐振动的动力学条件
x Acos(t 2 )
3
试画出振动曲线
x
x
A
2
3
t
0
A(0)
例题2
一质点沿x 轴作简谐运动，A = 0.12 m ，T=2s ，当t = 0
时质点在平衡位置的位移 x0 = 0.0 6m 向x 轴正向运动。
求：（1）简谐运动表达式；
（2）t =T/4 时，质点的位置、速度、加速度；
（3）第一次通过平衡位置的时刻。
dt
T
d 2
dt 2
g
l
0
摆角在作简谐振动
m
0 cos t 0
mg
？ 固有
园频率
g 设初始条件 0 振幅和
l
v0 0 初相=
3. 简谐振动的矢量图示法
旋转矢量:一长度等于振幅A 的矢量 在A纸平面内
绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频 率相等，这个矢量称为旋转矢量。
2
a
d2x dt 2
A 2
cost
简谐振动的各 阶导数也都作 简谐振动
am cos(t ) x 2
简谐振动的运动学特征方程
三、 振 动 曲 线 旋转矢量
1. 振 动 曲 线
A1 1
x Acos t x(t)
t
0
0.5
1
1.5
2
-A1 1 0
t
2
1 A
v Asin t x(t)
谐振动的特征量
1、 A 振幅
2、 T 周期
1
T
频率
x Acos t Acos (t T )
T 2 2 m
k
2
圆频率又称 固有圆频率
3、 t 相位 初相位
确定物体振动状态的物理量
二 、简谐运动的速度和加速度
xt Acos t
v dx A sint
dt
A cos t
§2-1 简谐振动 §2-2 简谐振动的合成 §2-3 波的描述 §2-4波的衍射和干涉 §2-5声波及超声波的生物效应
广义：物理量在某一定值附近反复变化即为振动。
周期振动：物理量每隔一固定的时间间隔其数值重复一次
x(t) x(t T )
振动频率
1
T
机械振动：物体在某一位置附近往复运动
复杂振动 = 若干个简谐振动的合成
x
x
A0
A
t+ 相位
1
t
At
x( t )
0
振幅矢量
1
0
t
2
绕O点以角速度 逆时针旋转的矢量At ，
在x 轴上的投影正好描述了一个简谐振动。
v0 O
X
A
X
av,
v0 O
A
速度、加速度的旋转矢量表示法：
v
A
a t 0
沿X 轴的投 影为简谐运动的速度、
M
加速度表达式。
vx
M 点:vm A am 2 A
X
E p Ek t
胡玉才：e-mail
hyc@
五、阻尼振动 受迫振动 共振
1.阻尼振动
振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下 所作的振动，称为无阻尼自由振动。
在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。
阻尼：消耗振动系统能量的原因。
解： （1） xx 0A.1c2ocsost t
x
x
3
3
＝ 2T?
A/2
t
０
（2）t =T/4 时，质点的位置、速度、加速度；
x 0.12cos t
v
0.12
sin
t
3
a
0.12
2
cos
t
3
3
tT 1 42
x 0.12cos 1.04m
2 3
v 0.12 sin 0.189m / s