第5章机电数字控制系统设计1

环特征根的轨迹总是在s左半平面)。二阶线性采样系统与线性
连续系统的稳定性差异是由于采样开关的特性（采样定理）造 成的。对于线性采样系统而言，一般情况下当系统采样频率增
高时，系统的稳定性会得到改善，因为随着采样频率增高，采
样系统的工作情况更接近于连续系统的工作情况。应该指出， 在许多情况下加入采样器对系统稳定性不利，但也不能绝对化。
在一些特殊情况，例如再包含迟后环节的系统，加入采样器往
往能改善系统的稳定性。
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另外，在利用劳斯判据判断闭环采样系统稳定性时的双线性
1 w w 1 变换，可以是 z ，也可以是 z ，z平面的单位圆 1 w w 1
内仍对应于w平面虚轴的左半平面。采用双线性变换后，凡 是适合于线性连续系统分析稳定性的方法，均可以推广应用 于线性采样系统，包括频域分析法、根轨迹法。
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5.1 机电采样数字控制系统概述 5.2 机电采样数字控制系统的性能 5.3 机电采样数字控制系统控制器设计 5.4 数字控制系统设计
4.5 控制系统设计例
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5.1 机电采样数字控制系统概述
计算机控制系统
计算机控制系统工作原理：1）将连续时间信号……离散化，即经过采 样、量化，编码成数字量后，输入计算机进行运算和处理，这一过程通 常由采样／保持电路和A／D转换器实现。2）计算机根据某个控制算法 ，对输入的数字序列……加以一系列的运算，得到控制量……，它也是 一个数字序列。……经过D／A转换和保持器后又变成连续信号或模拟信 号…… ，作为被控对象的输入，控制被控对象实现控制目标。
由此可见，离散系统的稳态误差与连续系统的类似，与 输入信号r(t)及系统开环脉冲传递函数G(z)的结构参数有关。 由于z平面上z=1的极点与[s]平面上的s=0的极点相对应， 因此离散控制系统可以按其开环脉冲传递函数G(z)中含有0，1， 2，……个z=1的极点，而分为0型，I型，Ⅱ型……系统。
下面讨论在典型输入信号作用下，系统的稳态误差终值的计算。
C (k ) A0 Ai ( pi ) k
i 1
离散系统的时间响应
上式第一项为系统输出采样信号的稳态分量；第二项为输出 采样信号的瞬态响应分量，是由系统的固有特性所决定的，其 取决于系统闭环脉冲传递函数极点、零点在z平面上的分布位置。
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1) 实数极点 位于单位圆内正实轴上极点对应的瞬态分量是一个单调的衰 减过程，而位于圆内负实轴上极点对应的瞬态分量是正负交 替变化的衰减过程。
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5.2.2机电采样数字控制系统的稳态性
稳态误差是系统稳态性能的重要指标。图所示的单位反馈采样 控制系统中，系统在输人信号作用下误差的z变换为
R( z ) E( z) 1 G( z )
e * (t ) 的z变换；R(z)为输入采样信 式中，E(z)为采样误差信号 号 r * (t ) 的z变换。
在速度输入信号的作用下，采样系统的稳态误差终值与速 度误差系数成反比。 3.单位加速度输入时，即
1 2 r (t ) t 2
z 1
T 2 z ( z 1) R( z ) 2( z 1) 3
T2 T2 es 2 lim( z 1) G ( z ) K a
K a lim( z 1) 2 G ( z ) ，定义为系统的加速度误差系数。 其中 z 1
图 z平面和w平面的映射关系 综上所述，可在w平面中利用劳斯判据判断采样系统的稳定 性。
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例 设采样系统的方框图如图所示。其中，
K G (s) s ( s 1)
采样周期T=1s，试确定闭环采样系统稳定的K值范围。
解: 系统的开环传递函数为
Kz (1 e T ) K G( z) Z [ ] T s( s 1) ( z 1)( z e )
在加速度输入信号的作用下，采样系统的稳态误差终值与 加速度误差系数成反比。书表列出了以上三种输入信号作用下 之稳态误差终值。
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由以上分析可知，在采样数字控制系统的开环增益可定义为
K lim( z 1) G ( z )
v z 1
式中，v为系统的型别：v＝0、1、2、3、……分别为0型、Ⅰ 型、Ⅱ型、Ⅲ型、……等系统 由此可见，在采样数字控制系统中，当典型输入信号和系 统类型不同时所得的关于稳态误差终值的结论和连续系统中的 结论是相似的。 但应注意，在采样控制系统中，有差系统的稳态误差还与 采样周期的大小有关，缩短采样周期将会减小稳态误差。上述 结果只是采样时刻的稳态误差，在采样时刻之间还将附加由高 频频谱信号产生的纹波所引起的误差。有时，这部分误差会较 大，在分析和设计系统时应当注意。
(x 2 y 2 ) 1 u ( x 1) 2 y 2
2y v ( x 1) 2 y 2
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z平面上的单位圆x2+y2=1，对应于w平面中虚轴u=0； z平面上的单位圆内x2+y2<1，对应于w平面中虚轴的左半部，即 u<0；z平面上的单位圆外x2+y2>1，对应于w平面中虚轴的右半 部，即u>0。 z平面和w平面的映射关系如图所示。
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可见，s平面的虚轴在z平面上的映射曲线是以坐标原点为圆 心的单位圆，如图所示。设 s j 则
z eTs e T e jT | e T | T
其幅值为
| z | eT
当s位于s平面虚轴的左半部时，
当s位于s平面虚轴的右半部时， 当s平面虚轴上时，
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1.单位阶跃输入时，即
r (t ) 1
z R( z ) z 1
1 1 es lim z 1 1 G ( z ) 1 K p
其中， K p lim G ( z ) 定义为系统的位置误差系数。 z 1 在阶跃输入信号作用下，采样系统的稳态误差终值与位置误 差系数基本成反比。
k k
j（k i i）
Ai pi e j（ki i）
k
2 Ai pi cos ki i） （
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闭环极点尽可能配置在Z平面上单位圆内正实轴的附近， 且距坐标原点的距离越小越好。
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根据复变函数的双线性变换方法，设z和w均为复变量，表示 为
z x jy w u jv
其关系为
w 1 z w 1
即
z 1 x jy 1 ( x 2 y 2 ) 1 2y w j 2 2 z 1 x jy 1 ( x 1) y ( x 1) 2 y 2
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5.2 机电采样数字控制系统的性能 5.2.1 机电采样数字控制系统的稳定性
线性连续系统稳定的充要条件是系统特征方程的所有根都 位于s平面虚轴的左半部，即系统特征方程的所有根都具有负 实部。与连续系统相类似，对线性采样系统进行稳定性分析， 首先要通过z变换处理得到系统特征方程的所有根在z平面的 分布特点，然后用z平面来分析系统的稳定性。 1．s平面和z平面的映射关系 由z变换概念知：z eTs ，T为采样周期。设复变量s在s平面上 沿虚轴移动，即s=jω，则对应的复变量 z e jT 1T ，它是z 平面上幅值为1的单位旋转向量，相角ωT随角频率ω而改变。 当角频率ω由-π/T变化到+π/T时， e jT 的相角由-π变化到+π， z 在z平面上画出了一个以原点为圆心的单位圆。
R*(s) R(s) ＋ E(s) E*(s)
C*(s)
G(s) C(s)
－
采样控制系统
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若闭环系统稳定，利用终值定理，不难求出在输入信号作用 下采样系统的给定稳态误差终值
R( z ) es lim e(k ) lim( z 1) E ( z ) lim( z 1) k z 1 z 1 1 G( z )
2.单位速度输入时，即
Tz R( z ) ( z 1) 2 1 1 T es T lim T z 1 ( z 1)(1 G ( z )) lim( z 1)G ( z ) K v
z 1
r (t ) t
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其中
K v lim ( z 1)G ( z ) ，定义为系统的速度误差系数。 z 1
w2
w 2.74－0.63K 1.26 0.63K
0.63K
0
w0
为了保证采样系统稳定，则必须有2.74-0.63K>0和0.63K>0， 故0<K<4.35。
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由此可见，在二阶系统中加入了采样开关之后，当系统增 益增大到一定幅度后，采样系统会变为不稳定。从线性连续系 统的稳定性理论可知：二阶线性连续系统总是稳定的(因为闭
n b0 z m b1 z m1 bm Ai z z z C ( z) A0 z 1 a0 ( z p1 )( z p2 ) ( z pn ) z 1 i 1 z pi
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对上式进行z反变换得离散系统的单位阶跃的时间响应（如图 n 所示）
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2) 共轭极点
设一对共轭极点为
k k
pi pi e j i
k jk i
pi pi e ji
ci (k ) Ai pi Ai pi Ai pi e