计算方法在材料中的应用
计算机技术在材料科学中的应用
计算机技术在材料科学中的应用随着科技的快速发展，计算机技术在各领域中得到了广泛应用，材料科学也不例外。
计算机技术在材料科学中的应用，主要体现在以下几个方面：材料模拟、结构设计、材料制备、性能评估和数据分析等。
一、材料模拟材料模拟是应用计算机技术模拟材料结构和性质的一种方法。
它是一种快速了解材料的结构和性能的方式，通过计算模拟的结果，可以为材料制备和性能评估提供重要的参考依据。
材料模拟方法可以分为基于量子力学和分子力学的两大类。
其中，基于量子力学的方法计算精度较高，适用于材料内部原子结构细节的模拟，而基于分子力学的方法计算速度较快，适用于材料宏观性能的预测。
二、结构设计在材料设计方面，计算机技术已成为主流手段。
材料的结构设计包括对各种材料进行理论分析，通过计算机对材料进行优化设计，以达到提高材料性能的目的。
计算机通过建立复杂的多参数调节模型，对材料进行虚拟设计和计算分析，优化各项性能指标，使得材料上市前就达到了最优性能指标，这大大缩短了材料从实验室研发到商业化的时间。
三、材料制备材料制备是指利用不同的制备方法来获得具有特定结构和性质的材料。
计算机技术在材料制备中起到了重要的作用，可以通过控制材料的结构和形态，来实现制备出具有特定性质的材料。
例如，通过分子动力学模拟，可以模拟材料的制备过程，从而根据需要来优化材料的制备条件。
四、性能评估在材料性能评估方面，计算技术已成为一种不可替代的方法。
通过计算机对材料的性质进行模拟和预测，不仅可节省研发成本，缩短研发周期，而且还在一定程度上避免了不必要的实验过程的造成的材料浪费，是一种可持续发展的研发方式。
材料性能评估包括材料的力学性能、物理性能、化学性能、电学性能、热性能等各项性能指标的评估。
五、数据分析计算机技术在材料科学中还有一个重要领域，即数据分析。
材料科学是一个需要收集、分析大量数据的领域。
计算机技术的进步，不仅可以帮助研究人员快速处理数据量大的实验结果，而且还可以通过机器学习等技术来挖掘更多的信息，快速发现材料之间的关系，为材料设计和性能预测提供更为精准的数据支持。
第一性原理计算方法在材料科学中的应用
第一性原理计算方法在材料科学中的应用引言：材料科学作为一门跨学科的科学领域，旨在研究材料的性质、结构和性能，以及如何利用这些知识来设计和开发新材料。
而第一性原理计算方法作为一种基于量子力学原理的计算方法，广泛应用于材料科学领域。
本文将介绍第一性原理计算方法在材料科学中的应用，并展示其在材料设计、材料性质预测和材料性能优化等方面的重要性。
一、第一性原理计算方法的基本原理和流程第一性原理计算方法是一种从基本原理出发，仅通过定解问题的边界条件和基本的数学和物理方法，而独立地、直接地得到材料性质的计算方法。
其基本原理是基于薛定谔方程和密度泛函理论，通过求解电子结构和物理性质的基态，来推导和预测材料的性质。
第一性原理计算方法的流程一般包括以下几个步骤：首先，选择适当的计算模型和晶格结构；其次，通过数值方法求解薛定谔方程，得到材料的基态电子密度和能带结构等信息；然后，使用密度泛函理论来计算其他性质，如结构、力学性质、磁性和光学性质等；最后，通过与实验结果对比来验证计算结果的准确性。
二、第一性原理计算方法在材料设计中的应用1. 材料发现和材料库筛选：传统的材料设计通常依赖于试错和实验结果验证的循环迭代，耗费时间和资源。
而第一性原理计算方法能够预测新材料的物理性质，从而加速材料发现过程。
通过计算不同元素和组分的合金化合物，材料科学家可以预测材料的强度、硬度、导电性等重要性能，并筛选出具有潜在应用前景的材料。
2. 材料结构和缺陷研究：材料的结构与其性质密切相关。
通过第一性原理计算方法，可以精确地预测材料的晶体结构、晶格常数、晶粒大小等参数，并探索材料可能存在的结构缺陷和缺陷效应对性能的影响。
这有助于优化材料的结构设计，提高其性能和稳定性。
3. 电子结构和能带计算：材料的电子结构和能带结构对于理解材料的导电性、磁性、光学性质等具有重要意义。
通过第一性原理计算方法，可以准确地计算材料的能带结构、电子态密度分布和费米能级等参数，从而预测材料的导电性、磁性和光学性能。
计算机在材料中的应用
计算机在材料中的应用
计算机在材料中的应用主要包括以下几个方面：
1. 材料模拟与设计：计算机可以进行材料的模拟和设计，通过模拟计算材料的物理、化学和力学性质，预测材料的性能，并优化设计。
例如，使用分子动力学模拟、量子力学计算等方法来研究材料的结构、热力学性质、力学性能等。
2. 材料制造与加工优化：计算机可以用于材料的制造和加工过程的优化。
通过计算机模拟和仿真，可以预测加工过程中材料的受力和应变情况，优化工艺参数，提高材料的制造效率和质量。
3. 材料性能测试与评估：计算机可以用于材料性能的测试和评估。
通过计算机模拟和数值分析，可以精确计算材料的热力学性质、力学性能、磁性等，并进行材料性能的评估和对比。
4. 材料数据管理与数据库建立：计算机可以用于管理材料数据和建立材料数据库。
通过将材料相关的数据存储在计算机中，并建立数据库，可以方便地检索和管理材料数据，加快材料研发过程。
5. 材料设计与发现：计算机可以进行材料的设计与发现。
通过计算机模拟和计算，可以搜索材料空间中的新材料，并预测材料的性质和应用。
这对于材料的研发和创新具有重要意义。
总的来说，计算机在材料中的应用可以提高材料设计和制造的效率，加速材料研发和创新，促进材料领域的发展。
多尺度计算方法在材料科学中的应用
多尺度计算方法在材料科学中的应用随着计算机科学和材料科学的不断发展，科学家们越来越多地依赖于多尺度计算方法来研究材料的性质和行为。
多尺度计算方法可以将材料的宏观性质与其微观结构之间的关系联系起来，并提供对材料行为的深入理解。
本文将探讨多尺度计算方法在材料科学中的应用，包括从原子尺度到宏观尺度的各种方法和技术。
在材料科学中，了解材料的微观结构对于预测其性质和行为至关重要。
然而，由于实验方法在观察原子尺度的材料结构方面存在限制，多尺度计算方法成为解决这一问题的有效途径。
多尺度计算方法基于量子力学原理，可以模拟材料的原子结构和原子间相互作用，从而揭示材料的微观行为。
从原子尺度开始，第一原理计算方法（first-principles calculation）被广泛用于预测材料的性质，如能带结构、振动频率和热力学性质等。
第一原理计算方法基于密度泛函理论（density functional theory），通过求解薛定谔方程来确定材料的电子结构。
这种方法能够提供准确的原子尺度信息，并可用于研究材料的缺陷、界面和反应动力学等微观结构的属性。
然而，第一原理计算方法通常在处理大型系统时受到计算成本的限制。
为了对材料的宏观性质进行预测，研究人员发展了粗粒化模型和经验势（empirical potential）方法。
粗粒化模型将原子聚集成一组粒子，从而减少计算复杂性。
经验势方法基于经验参数，通过近似描述原子间相互作用力场，从而快速模拟材料的宏观性质。
这些方法通常在研究材料的强度、塑性行为和断裂机制等宏观性质方面具有重要应用。
除了上述方法，多尺度计算方法还包括分子动力学模拟和连续介质模拟。
分子动力学模拟根据牛顿运动方程追踪原子或分子的运动，以模拟材料在不同温度和压力下的行为。
这种基于粒子的方法可用于研究材料的热力学性质、能量传输和输运性质等方面。
连续介质模拟则将材料视为连续的介质，基于连续介质力学（continuum mechanics）方程描述其行为。
第一性原理计算方法在材料科学中的应用
第一性原理计算方法在材料科学中的应用1.引言第一性原理计算方法（First Principles Calculation）是近年来发展的新型计算方法，用于准确计算分子和固体物质的能量、结构和物理性质。
它的优势在于不依赖于实验数据，可以直接从基本原理推导出体系的特性。
在材料科学领域，第一性原理计算方法已经成为研究材料的重要工具，可以为合成新材料和设计功能材料提供理论依据，并指导实验研究。
2.第一性原理计算方法的基本原理第一性原理计算方法的基本原理是量子力学中的密度泛函理论，它的基本假设是所有粒子的运动都可以描述为波函数的运动。
根据波函数理论，一个由N个电子和原子核组成的体系的波函数可以用N个单电子波函数表示。
通过求解薛定谔方程，可以确定体系的基态能量和电子的密度，从而得到体系的性质。
3.第一性原理计算方法在材料科学中的应用（1）材料合成第一性原理计算方法可以模拟材料的结构、动力学和化学反应，为材料合成提供理论指导。
例如，使用第一性原理计算方法可以预测材料的稳定性、生长机制和晶体缺陷，从而为材料的设计和制备提供指导。
（2）材料性能第一性原理计算方法可以计算材料的电子结构、热力学性质、光电性质和磁学性质等，从而为材料的性能研究提供理论基础。
例如，通过计算材料的电子结构，可以预测材料的导电性、热导率和热电性能等，为相关应用提供指导。
（3）材料改性第一性原理计算方法可以模拟材料的界面和表面结构，研究材料的改性效果。
例如，可以通过计算材料与其他材料的界面能量来评估材料的附着性和界面稳定性，从而指导材料的改性设计。
（4）功能材料设计借助第一性原理计算方法，可以针对具体的应用需求，设计出具有特定功能的材料。
例如，通过计算材料的光电性质、催化活性和磁学性质等，可以指导材料的功能设计，为实现特定的应用提供理论指导。
4.发展趋势随着材料科学和计算科学的发展，第一性原理计算方法的应用前景越来越广阔。
未来，第一性原理计算方法将会与机器学习和高通量计算等技术结合，为材料科学的研究提供更多的可能性。
第一章计算机在材料科学与工程中的应用
第一章计算机在材料科学与工程中的应用引言：计算机科学和工程已经成为现代社会和各种领域的关键技术。
特别是在材料科学与工程领域，计算机已经成为一个不可或缺的工具。
本文将重点介绍计算机在材料科学与工程中的应用，包括模拟与建模、材料设计与优化、材料性能预测与评估、材料制备过程的模拟与优化等方面。
一、模拟与建模在材料科学与工程中，模拟与建模是一种非常重要且常用的方法。
计算机可以通过建立材料的数学模型，对材料的结构、性能等进行模拟和分析。
例如，通过计算机模拟可以揭示材料的原子结构、晶体结构、晶体缺陷等，可以预测材料的力学性能、电子性质、热传导性能等。
这些模拟与建模的结果可以为实验提供指导，加快材料的发现和开发过程。
二、材料设计与优化材料设计与优化是材料科学与工程中的一个重要任务。
通过计算机的辅助，可以对材料进行设计和优化。
例如，利用计算机辅助设计软件，可以设计新型的组分或配方，用于制备更高性能的材料。
利用计算机的优化算法，可以对现有材料的结构和组分进行优化，以提高材料的性能。
这些设计和优化的结果可以在实验中验证，并指导材料的进一步开发。
三、材料性能预测与评估了解材料的性能是材料科学与工程中的核心任务之一、计算机可以通过材料的模拟和计算，预测材料的性能。
例如，计算机可以计算材料的力学性能、电子性质、光学性质等，从而预测材料在不同环境下的行为。
这些性能预测的结果可以为实验提供参考，指导材料的选择和设计。
四、材料制备过程的模拟与优化材料的制备过程通常决定着材料的结构和性能。
计算机可以通过模拟和优化材料的制备过程，帮助提高材料的质量和性能。
例如，计算机可以模拟材料的原子、分子、晶体的排列和运动过程，从而提供制备过程中的参数和条件。
通过优化这些参数和条件，可以实现材料的精确控制和优化制备，从而获得质量更好的材料。
结论：计算机在材料科学与工程中的应用非常广泛而重要，从模拟与建模、材料设计与优化、材料性能预测与评估，到材料制备过程的模拟与优化，计算机都发挥着不可或缺的作用。
计算材料设计的新方法及其在新材料的研发中的应用
计算材料设计的新方法及其在新材料的研发中的应用近年来，随着科技的不断发展，计算机在材料科学研究中的应用也越来越广泛。
计算材料学已成为研究新材料和优化材料性能的强有力工具。
计算材料设计的新方法及其在新材料的研发中的应用是当前材料学研究的重要领域。
一、计算材料设计与传统材料设计的区别传统的材料设计通常是基于经验和试错法的，需要大量的试验和研究，费时费力。
而计算材料设计可以利用计算机模拟方法进行预测，可以避免大量的中间实验，省时省力。
计算材料设计可以在更短的时间内产生与传统试验相当的结果，并可以直接预测合成条件和材料性质。
二、计算材料设计的新方法1. 基于第一性原理的计算第一性原理是指基于物理学原理进行的计算。
在计算材料学中，第一性原理被广泛应用于电子结构和热力学性质等计算。
基于第一性原理方法的计算不需要任何实验参数，可以直接计算材料所有物理性质，非常适用于新材料的设计和预测。
2. 机器学习的计算机器学习是一种利用数据进行预测和分类的方法，可以从大量的数据中学习信息并利用它来预测未知的数据。
在计算材料学中，机器学习方法可以用来预测材料的性质和合成条件。
利用机器学习算法，可以从大量的实验数据中学习模型，并用它预测新的材料。
3. 材料基因组学材料基因组学是一种利用基因组信息和计算机预测材料性质的方法。
材料基因组学将大量的材料数据存储在数据库中，并利用计算机算法比较和预测新材料。
利用材料基因组学的方法，不仅可以预测新材料的性质，还可以材料组分的优化和材料的纯度提升。
三、计算材料设计在新材料研发中的应用1. 新型储能材料的研发随着能源需求的不断增长，能量储存问题越来越突出。
计算材料设计可以帮助研究人员预测和优化新型储能材料的性质，如高能量密度、高电导率，从而提高电池的效率和寿命。
2. 新型超导材料的研发超导材料的发现和应用被公认为是材料科学50年来的最重要进展之一。
利用计算材料设计方法，可以预测和设计新型超导材料，如磁体可以应用于MRI、飞控惯性导航等应用。
计算方法在材料科学中的应用
计算方法在材料科学中的应用计算方法指的是应用数学和计算机科学的知识，通过计算模拟来解决问题。
在材料科学中，计算方法已经成为了重要的工具，广泛用于材料的设计、催化剂的优化、纳米材料的制备等领域。
本文将探讨计算方法在材料科学中的应用及其发展。
一、计算方法在材料设计中的应用计算方法在材料设计中的应用主要体现在材料的理论预测方面。
利用计算方法，可以在材料还未合成时，提前得到材料的相变、性能、能带结构等信息。
1.1 相变预测相变预测是指利用计算方法中的分子动力学模拟来研究材料相变的特性。
通过计算分子间相互作用力和温度演变，可以预测材料什么时候会发生相变，相变过程中的能量变化和热力学性质等。
这对于材料合成以及生产过程中的热处理和表面改性有重要的指导意义。
1.2 性能预测性能预测是指利用计算方法中的密度泛函理论、量子化学等方法，来预测材料在各种条件下的特性。
例如，材料的电学、热学、力学等性质。
通过性能预测，可以更好地设计和优化材料。
1.3 能带结构计算能带结构计算是指利用计算方法中的密度泛函理论来计算材料的能带结构和电子结构。
通过计算能带结构，可以得到材料的半导体、导体和绝缘体等特性，从而优化材料的电子性质。
二、计算方法在催化剂优化中的应用催化剂优化是指通过调控催化剂结构和材料组分来提高催化剂活性和选择性的方法。
计算方法在催化剂优化中的应用主要体现在结构预测和反应机理研究两个方面。
2.1 结构预测结构预测是指利用计算方法中的密度泛函理论、分子动力学模拟等方法，来预测催化剂的结构和吸附能力。
通过结构预测，可以发现新的催化剂或优化已有催化剂，提高催化剂的活性，从而提高反应速率和收率。
2.2 反应机理研究反应机理研究是指利用计算方法中的分子动力学模拟等方法，来模拟反应发生的机理和路径。
通过反应机理研究，可以了解反应发生的速率常数和活化能，从而优化反应条件和设计更好的催化剂。
三、计算方法在纳米材料制备中的应用纳米材料制备是指通过物理、化学方法来制备纳米级别的新材料。
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习题一1、取3.14,3.15，722，113355作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
解：14.31=x312110211021--⨯=⨯≤-x π所以，1x 有三位有效数字绝对误差：14.3-=πe ，相对误差：ππ14.3-=r e绝对误差限：21021-⨯≤ε，相对误差限：213106110321-+-⨯=⨯⨯=r ε21122105.0105.01084074.000840174.015.315.3---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，2x 有两位有效数字绝对误差：15.3-=πe ，相对误差：ππ15.3-=r e绝对误差限：11021-⨯=ε，相对误差限：11061-⨯=r ε31222105.0105.01012645.00012645.0722722---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，3x 有三位有效数字绝对误差：722-=πe ，相对误差：ππ722-=r e绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差限：21061-⨯=r ε1133551=x7166105.0105.01032.000000032.0113355---⨯=⨯≤⨯==-π所以，4x 有七位有效数字 绝对误差：113355-=πe ，相对误差：ππ113355-=r e绝对误差限：61021-⨯=ε，相对误差限：61061-⨯=r ε3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。
5000,50.31,3015.0,0315.04321====x x x x 解：0315.01=x m=-13141*10211021---⨯=⨯≤-x x所以，n=3，1x 有三位有效数字 绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：2110611021-+-=⨯=n r aε3015.02=x m=04042*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字 绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r aε50.313=x m=24223*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字 绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r aε50004=x m=44404*10211021-⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字 绝对误差限：5.010210=⨯=ε， 相对误差：23110105211021--+-=⨯=⨯=n r a ε4、计算10的近似值，使其相对误差不超过%1.0。
解：设取n 位有效数字，由定理1.1知，11021+-⨯=n r aε由3162.01010⨯=…，所以，31=a 由题意，应使%1.010611<⨯+-n ，即31061010-⨯<⨯n所以，n=4，即10的近似值取4位有效数字 近似值162.3=x6、在机器数系下),,8,10(U L F 中取三个数41023371258.0-⨯=x ，21033678429.0⨯=y ，21033677811.0⨯-=z ，试按z y x ++)(和)(z y x ++两种算法计算z y x ++的值，并将结果与精确结果比较。
解：3222222222241064100000.010********.010********.010********.01033677811.01012583367845237.010********.0)1033678429.01012580000002337.0(1033677811.0)1033678429.01023371258.0()(--⨯=⨯=⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯+⨯=⨯-⨯+⨯=++zy x3333342241064137126.010641371258.01006180000000.010*********.01006180000000.010********.0)1033677811.010********.0(1023371258.0)(-------⨯=⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯-⨯+⨯=++z y x322222241064137126.01012580000064137.010********.010********.01012580000002337.01033677811.01033678429.010********.0--⨯=⨯=⨯-⨯+⨯=⨯-⨯+⨯=++zy x所以，)(z y x ++比z y x ++)(精确，且)(z y x ++与z y x ++相同；因此，在做三个以上的数相加时，需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近。
8、对于有效数105.31-=x ，001.02=x ，100.03=x ，估计下列算式的相对误差限。
3211x x x y ++=，3211x x x y =，323x x y =解：105.31-=x ，m=1; 4131*10211021---⨯=⨯≤-x x所以311021)(-⨯=x ε同理 321021)(-⨯=x ε 331021)(-⨯=x ε311021)(-⨯≤x e 1025.31021)()(3111-⨯≤=-x x e x e r 或3110321)(-⨯⨯=x r ε 321021)(-⨯≤x e 001.01021)()(3221-⨯≤=x x e x e r 或0210121)(⨯⨯=x r ε331021)(-⨯≤x e 100.01021)()(3333-⨯≤=x x e x e r 或3310121)(-⨯⨯=x r ε()()()()321321321321321)(x x x x e x e x e x x x x x x e x x x e r ++++=++++=++所以，332111049975.0)()(-⨯≤++=x x x e y e r r)()()()()()()(3213213212x e x e x e x e x x e x x x e y e r r r r r r r ++=+==所以，50516.0)(2≤y e r )()()()(32323x e x e x x e y e r r r r -==所以，505.0)(3≤y e r综合得：311049975.0)(-⨯=y r ε，50516.0)(2=y r ε，505.0)(3=y r ε9、试改变下列表达式，使其结果比较精确（其中1<<x 表示x 充分接近0，1>>x 表示x 充分大）。
（1）21ln ln x x -，21x x ≈ （2）xx x+---1111，1<<x （3）xx x x 11--+，1>>x（4）x xcos 1-，10<<≠x x 且（5）x xcot 1-，10<<≠x x 且答案：（1）21lnx x ；（3）xx x x -++332，（4）法一：用221cos 1x x ≈-得出结果为：x 21法二：x xx x x x x x xxsin sin cos 1sin sin cos 1cos 1-==⋅-=- )0(cos 1sin sin cos 1→+=-=x xx x x或2tan)2cos()2sin(2)2(sin 2sin cos 12x x x x x x ==-= 12、试给出一种计算积分dx e x e I xn n ⎰-=11近似值的稳定性递推算法解：显然， In>0,n=1,2,…当n=1时，得，edx xeI x 1111==⎰-当n≥2时，由分部积分可得： 1111---==⎰n x n n nI dx ex I ，n=2,3,…另外，还有：11111+=≤=⎰⎰-n dx x dx ex I nx n n由递推关系In=1-nIn-1，可得计算积分序列{n I }的两种算法：①11--=n n nI I n=2,3… ②,...3,211=-=-n nI I nn ，下面比较两种算法的稳定性①若已知1-n I 的一个近似值1~-n I ，则实际算得的n I 的近似值为1~~1--=n n I n I所以，))((1~1~----=-n n n n I I n I I1~1~---=-n n n n I I n I I由此可以看出1-n I 的误差放大n 倍传到了n I ，误差传播速度逐步放大 ②由n I 计算1-n I 1,1,11 -=-=-N N n nI I nn若已知n I 的一个近似值是n I ~，则实际计算的1-n I 的近似值为nI I nn ~1~1-=-所以，)(1~~11n n n n I I nI I --=---n n n n I I nI I ~~111--=---由此可以看出n I 的误差将缩小n 倍传到了n I ，误差传播速度逐步衰减。
综上可看出，计算积分dx e x eI xn n ⎰-=11的一种稳定性算法为.1,2,1,11 --=-=-N N N n nI I nn习题二1、利用二分法求方程074223=---s x x [3，4]内的根，精确到310-，即误差不超过31021-⨯。
解：令742)(23---=x x x x f010)3(<-=f ，0940(>=f ，说明在[3，4]内有根， 利用二分法计算步骤得出632324219.310=x ，6321835938.311=x33101111111021104882181.0--⨯<⨯=-=-x x a b 满足精度要求所以，6321.311*=≈x x ，共用二分法迭代11次。
2、证明0sin 1=--x x 在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于41021-⨯的根。
证明：令x x x f sin 1)(--=01sin )1(;01)0(<-=>=f f ，所以，0)1()0(<⋅f f由零点定理知，)(x f 在[0,1]内有一根根据计算得出：98283.015*=≈x x ，此时共迭代15次。
4、将一元非线性方程0cos 2=-x e x 写成收敛的迭代公式，并求其在5.00=x 附近的根，精确到210-。
解：令x e x x f -=cos 2)(令)(x f =0，得到两种迭代格式⎪⎩⎪⎨⎧='=')cos 2ln(2arccos 21x e xϕϕ ①2212)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='xxe ex ϕ，不满足收敛定理。
②x xx x tan cos 2sin 2)(-=-='ϕ1008727.0)5.0()(202<='='ϕϕx ，满足收敛定理 由方程写出收敛的迭代公式为)cos 2ln(1k k x x ='=+ϕ取初值为 5.00=x ，得出近似根为：69307417.02*=≈x x5、为方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211xx +=，迭代公式2111kk x x +=+；（2）123+=x x ，迭代公式3/121)1(+=+k k x x（3）112-=x x ，迭代公式2/11)1(1-=+k k x x解：（1）利用局部收敛定理判断收敛性，判断初值5.10=x 附近的局部收敛（2）局部收敛（3）不满足局部收敛条件但由于)(.)(21x x ϕϕ'>'，所以)(1x ϕ比)(2x ϕ收敛的慢 取第二种迭代格式 3/121)1(+=+k k x x 取初值5.10=x ，迭代9次得466.19*=≈x x7、用牛顿法求解0133=--x x 在初始值20=x 临近的一个正根，要求3110-+<-k k x x 。