高中数学《函数的应用》课件
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2018-2019学年人教A版高中数学必修1课件：3.1.1函数的应用
a>0， ff（（kk12））><00，， f（k3）>0.
(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的充要条件是
Δ＝0， f(k1)f(k2)<0，或k1<－2ba<k2.
例3 方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范 围.
【解析】 方法一：设f(x)＝x2－2ax＋4，由于方程x2－2ax
由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图 像如图所示.
(2)不等式xf(x)<0同解于
x>0， f（x）<0
或xf（<0x，）>0，
结合函数图
像得不等式的解集为(0，2)∪(－2，0).
探究 根据函数的零点定义与性质，可以用来帮助画函数
的图像，结合函数图像不仅可以直观的研究函数的性质，而且
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3，1. y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 画出这个函数的简图(如右图)，从图像 上可以看出，当－3<x<1时，y>0.
当x<－3或x>1时，y<0. ∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3，1. y>0时，x的取值范围是(－3，1)； y<0时，x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞). 探究2 由于一元二次不等式在前面没有讲过，因此对本题 的解法要正确作出函数的简图，从而解决问题.
课时学案
题型一 求函数的零点 例1 求函数f(x)＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)的零点，并指出使 y<0成立的x的取值范围.
【解析】 y＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)＝(x＋2)(x－1)(x＋2)(x －4)＝(x＋2)2(x－1)(x－4)，
(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的充要条件是
Δ＝0， f(k1)f(k2)<0，或k1<－2ba<k2.
例3 方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范 围.
【解析】 方法一：设f(x)＝x2－2ax＋4，由于方程x2－2ax
由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图 像如图所示.
(2)不等式xf(x)<0同解于
x>0， f（x）<0
或xf（<0x，）>0，
结合函数图
像得不等式的解集为(0，2)∪(－2，0).
探究 根据函数的零点定义与性质，可以用来帮助画函数
的图像，结合函数图像不仅可以直观的研究函数的性质，而且
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3，1. y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 画出这个函数的简图(如右图)，从图像 上可以看出，当－3<x<1时，y>0.
当x<－3或x>1时，y<0. ∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3，1. y>0时，x的取值范围是(－3，1)； y<0时，x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞). 探究2 由于一元二次不等式在前面没有讲过，因此对本题 的解法要正确作出函数的简图，从而解决问题.
课时学案
题型一 求函数的零点 例1 求函数f(x)＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)的零点，并指出使 y<0成立的x的取值范围.
【解析】 y＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)＝(x＋2)(x－1)(x＋2)(x －4)＝(x＋2)2(x－1)(x－4)，
高中数学人教B版 必修第二册 函数的应用(二) 课件1
,
a 4
5
2
4
2
经过了k-5=10-5=5秒,即m=5.
答案: 1ln 51
5
2
【内化·悟】 本题中用来求参数隐含的条件是什么? 提示:假设过5秒后甲桶和乙桶的水量 相等.
【类题·通】 怎样求应用性问题解析式中的参数? 应用性问题变量间的关系式中往往含有参数, 需要先确定参数值,解题中要认真审题,条件中 会给出特殊情况下的一对参数的对应值,用来 确定参数的值,这是解题的前提.
360
(1)此次行车最经济的车速是________. (2)如果不考虑其他费用,这次行车的总费用最 小值为________. 【思维·引】表示出行车的时间、总费用后利 用基本不等式求最小值及取最小值时的车速.
【解析】(1)总费用为y=36× 120 120 (4 x2 )6
＝7 200 2x 240.
类型三 幂函数、对数型函数模型的应用 角度1 幂函数模型的应用 【典例】已知A,B两地的距离是120 km,按交通法规规 定,A,B两地之间的公路车速应限制在50～100 km/h, 假设汽油的价格是6元/L,以x km/h速度行驶时,汽车 的耗油率为 (4 x2 ) L/h,支付司机每小时的工资36元.
殖地产卵,科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表
示为函数v=
1 2
log3
x 100
lg
x0
,单位是km/min,其中x表
示候鸟每分钟耗氧量的单位数,x0代表测量过程中某类
候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据:lg 2=0.30,
31.2=3.74,31.4=4.66).
(1)当x0=2,候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时,候鸟的飞行速度是多少 km/min? (2)当x0=5,候鸟停下休息时,它每分 钟的耗氧量为多少单位?
新教材人教A版第四章4.5函数的应用(二)课件(22张)
上没有零点.
这也不一定.下面这个函数 ，但函数在
上有零点！
那可不一定.下面这个函数 在(-1，3)上照样有零点！
函数
的图像在区间
上是连续的，但
则
在
上没有零点.
高中数学 必修第一册 RJ·A
零点存在定理
【理解函数零点存在定理需要注意的问题】
【1】① 函数
在区间
上的图像是一条连续不断的曲线.
②
，这两个条件缺一不可，否则结论未必成立.
和
时的取值
异号，即
，于是函数在区间(2,4)内有零点；
同样的，
，函数在区间(-2，0)内有零点.
一般地，如果函数
在区间
上的图像是一条连续不断的曲线，
且有
，那么函数在区间
内至少有一个零点.即存在
,
使得
，这个t也就是方程
的解.这就是零点存在定理.
高中数学 必修第一册 RJ·A
零点存在定理
若
的图像在
上是不连续的，则 在
高中数学 必修第一册 RJ·A
课堂小结 1.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x) －g(x)的图象与x轴交点的横坐标. 2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可 逆；(3)至少存在一个零点. 3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程； (3)用图象. 4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解， 同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.
②二分法采用逐步逼近的思想，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是
逐步逼近函数的零点.要根据函数的性质尽可能的找到含有零点的更小
北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§1《方程解的存在性及方程的近似解》PPT课件
数的零点，方程的根，图象与x轴交点 数零点与方程解的关系.
的横坐标之间的转化在研究函数中的 2.了解零点存在定理、会判断函数零点
应用，提高学生数学抽象，直观想象 的个数.
的素养.
新知探究
路上有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小 明的行程一定曾渡过河？
将这个实际问题抽象成数学模型. 问题 1.若将河看成x轴，A，B是人的起点和终点，则A，B应该满足什么条件就 能说明小明的行程一定曾渡过河？
(2)∵f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2， ∴f(1)＝12＋3(m＋1)＋n＝0， 即3m＋n＋4＝0，① f(2)＝4＋3×2×(m＋1)＋n＝0， 即6m＋n＋10＝0，② 由①②可解得m＝－2，n＝2.
代入函数y＝logn(mx＋1). 故函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1). 令y＝log2(－2x＋1)＝0，即－2x＋1＝1，可得x＝0. ∴函数y＝logn(mx＋1)的零点是0.
2.函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点应该满足什么条件？ 3.结合下图，进一步分析一下你对上述结论的认识.
提示 1.图中A处的函数值与B处的函数值符号相反. 2.在f(x)的图象不间断的情况下，应满足f(a)·f(b)<0. 3.因为f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，f(c)·f(d)<0，所以在[a，b]，[b，c][c，d]上存在零 点.f(d)·f(e)>0，但f(x)在[d，e]上存在零点.
拓展深化 [微判断] 判断下列说法的正误. 1.函数的零点是一个点的坐标.( ×) 2.函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × ) 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( √ )
的横坐标之间的转化在研究函数中的 2.了解零点存在定理、会判断函数零点
应用，提高学生数学抽象，直观想象 的个数.
的素养.
新知探究
路上有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小 明的行程一定曾渡过河？
将这个实际问题抽象成数学模型. 问题 1.若将河看成x轴，A，B是人的起点和终点，则A，B应该满足什么条件就 能说明小明的行程一定曾渡过河？
(2)∵f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2， ∴f(1)＝12＋3(m＋1)＋n＝0， 即3m＋n＋4＝0，① f(2)＝4＋3×2×(m＋1)＋n＝0， 即6m＋n＋10＝0，② 由①②可解得m＝－2，n＝2.
代入函数y＝logn(mx＋1). 故函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1). 令y＝log2(－2x＋1)＝0，即－2x＋1＝1，可得x＝0. ∴函数y＝logn(mx＋1)的零点是0.
2.函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点应该满足什么条件？ 3.结合下图，进一步分析一下你对上述结论的认识.
提示 1.图中A处的函数值与B处的函数值符号相反. 2.在f(x)的图象不间断的情况下，应满足f(a)·f(b)<0. 3.因为f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，f(c)·f(d)<0，所以在[a，b]，[b，c][c，d]上存在零 点.f(d)·f(e)>0，但f(x)在[d，e]上存在零点.
拓展深化 [微判断] 判断下列说法的正误. 1.函数的零点是一个点的坐标.( ×) 2.函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × ) 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( √ )
5.7三角函数的应用课件——高中数学人教A版必修第一册
h
Asin
t
B
，
A
0
，
0,
π 2
；
因为筒转动的角速度为 π rad/s ，故 π ；又 A B 1.5 2.5 4 ；
12
12
A
B
1.5
2.5
1
，解得
A
2.5
，
B
1.5
，则
h
2.5
sin
π 12
t
1.5
；又当t
0
时， h 3 ，则 2.5sin 1.5 3 ，sin 3 ，则 cos 1 sin2 4 ；故当t 3 时，
借助计算工具，用二分法可以求得点 P 的坐标约为(7.016,3.995) ，
因此为了安全，货船最好在 6.6 时之前停止卸货并驶离港口.
1.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）.假定在水流量稳定的情况下，筒
车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心 O 到水面的距离 h 为 1.5m，筒车的半径 r 为
2
2
因为
1 2
2π
14
6
，所以
π 8
.
将 A 10 ， b 20 ， π ， x 6 ， y 10 代入函数解析式，可得 3π .
8
4
综上，所求解析式为
y
10
sin
π 8
x
3π 4
20
，
x
[6,14]
.
例4 海水受日月的引力，在一定的时候产生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫 潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在 落潮时返回海洋，下是某港口某天的时刻与水深关系的预报.
人教B版高中数学必修第一册第3章3-3函数的应用(一)课件
[解] 易知矩形厂房中与旧墙相邻的一面的边长为12x6 m．设建 墙总费用为y元．
(1)利用旧墙的一段x m(x＜14)为矩形厂房的一面，则修旧墙的 费用为x·a4 元，将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x)·a2 元，其余建新墙的费用为2x＋2×x126－14a元．
故总费用为y＝4x·a＋142－x·a＋2x＋25x2－14 ·a＝a74x＋25x2－7＝7a4x＋3x6－1 (0＜x＜14)．
[跟进训练] 1．如图所示，这是某通信公司规定的打某国际长途电话所需要 付的电话费 y(元)与通话时间 t(分钟)之间的函数关系图像，根据图像 填空：
(1)通话2分钟，需要付电话费________元； (2)通话5分钟，需要付电话费________元； (3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系 式为________． (1)3.6 (2)6 (3)y＝1.2t(t≥3) [(1)由图像可知，当t≤3时，电 话费都是3.6元． (2)由图像可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元． (3)易知当t≥3时，图像过点(3,3.6)，(5,6)，求得y＝1.2t(t≥3)．]
() () () ()
2.某物体一天中的温度T与时间t满足函数关系：T(t)＝t3
－3t＋60，时间单位是小时，温度单位是℃，t＝0表示中午12：
00，其前t值为负，其后t值为正，则上午8时的温度是( )
A．8 ℃
B．12 ℃
C．58 ℃
D．18 ℃
A [求上午8时的温度，即求t＝－4时的值，所以T(－4)＝(－
[解] 当0<x≤5时，产品全部售出，当x>5时，产品只能售出 500件．
所以f(x)＝55×x－512－x212－×502.5－＋00..52＋5x0.205<xx≤x5>5，， 即f(x)＝－12x2＋4.75x－0.50<x≤5，
高中数学第三章函数的应用3.2.2.1一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例课件新人教A版必修1
系式. (2)若总运费不超过9000元,问共有几种调运方案?
(3)求出总运费最低的调运方案及最低的费用.
【解析】由甲、乙两地调运至A,B两地的机器台数及费
用列表如下:
调出地 调至地 台数 每台运 费 运费合 计 甲地 乙地
A地 10-x 400
B地 12-(10-x) 800
A地 x 300
B地 6-x 500 500·(6-x)
所以甲厂应该选取6千克/小时的生产速度,最大利润为
457500元.
【补偿训练】某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产
某种机器12台和6台,现销售给A地10台,B地8台.已知从 甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元,
从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元.
(1)设从乙地调运x台至A地,求总运费y关于x的函数关
①当x=20×60=1200,即x>500时,
应付y=30+0.15×(1200-500)=135(元). ②90元已超过30元,所以上网时间超过500分钟,由
30+0.15(x-500)=90可得,上网时间为900分钟.
③令60=30+0.15(x-500),解得x=700.
故当一个月经常上网(一个月使用量超过700分钟)时选 择电脑上网,而当短时间上网(一个月使用量不超过700
x的取值范围. (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂
应该选取何种生产速度?并求最大利润.
【解析】(1)根据题意200 (5x 1 3 ) ≥3000⇒5x-14- 3
x x
≥0, 又1≤x≤10,可解得3≤x≤10.
3 900 (2)设利润为y元,则y= ·100 (5x 1 ) =9× x x 1 1 2 61 4 10 [3( ) ] ,故x=6时,ymax=457500. x 6 12
(3)求出总运费最低的调运方案及最低的费用.
【解析】由甲、乙两地调运至A,B两地的机器台数及费
用列表如下:
调出地 调至地 台数 每台运 费 运费合 计 甲地 乙地
A地 10-x 400
B地 12-(10-x) 800
A地 x 300
B地 6-x 500 500·(6-x)
所以甲厂应该选取6千克/小时的生产速度,最大利润为
457500元.
【补偿训练】某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产
某种机器12台和6台,现销售给A地10台,B地8台.已知从 甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元,
从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元.
(1)设从乙地调运x台至A地,求总运费y关于x的函数关
①当x=20×60=1200,即x>500时,
应付y=30+0.15×(1200-500)=135(元). ②90元已超过30元,所以上网时间超过500分钟,由
30+0.15(x-500)=90可得,上网时间为900分钟.
③令60=30+0.15(x-500),解得x=700.
故当一个月经常上网(一个月使用量超过700分钟)时选 择电脑上网,而当短时间上网(一个月使用量不超过700
x的取值范围. (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂
应该选取何种生产速度?并求最大利润.
【解析】(1)根据题意200 (5x 1 3 ) ≥3000⇒5x-14- 3
x x
≥0, 又1≤x≤10,可解得3≤x≤10.
3 900 (2)设利润为y元,则y= ·100 (5x 1 ) =9× x x 1 1 2 61 4 10 [3( ) ] ,故x=6时,ymax=457500. x 6 12
人教B版高中数学必修第一册精品课件 第3章 函数 3.3 函数的应用(一)
y=200(x+1)2.
答案:(1)A (2)D
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)利润=销售单价×销售量.( × )
(2)实际应用问题中自变量的取值范围由所得的函数解析式唯一确定. ( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
一次函数模型
【例1】某供电公司采用分段计费的方法来计算电费.月用电量x(单
故第10 min时,学生的接受能力为59.
(3)当x=13时,y取最大值.
所以,在第13 min时,学生的接受力最强.
探究三
分段函数模型
【例3】 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一
般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的
函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,会造成堵塞,此时车流速度为0;
y=30x+40(6-x)+50(8-x)+80(x+4)=20x+960,故y=20x+960(x∈N,且0≤x≤6).
(2)由y≤1 000,即20x+960≤1 000,得x≤2.
因为0≤x≤6,x∈N,所以0≤x≤2,x∈N.
所以x=0,1,2,即有3种调运方案.
(3)因为y=20x+960是R上的增函数,且0≤x≤6,x∈N,所以当x=0时,y有最小值,
故 f(x)=
即 f(x)=
1 2
5- 2
1
5 × 5- 2
1 2
-2
-(0.5 + 0.25),0 < ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ≤ 5,
× 52 -(0.5 + 0.25), > 5,
答案:(1)A (2)D
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)利润=销售单价×销售量.( × )
(2)实际应用问题中自变量的取值范围由所得的函数解析式唯一确定. ( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
一次函数模型
【例1】某供电公司采用分段计费的方法来计算电费.月用电量x(单
故第10 min时,学生的接受能力为59.
(3)当x=13时,y取最大值.
所以,在第13 min时,学生的接受力最强.
探究三
分段函数模型
【例3】 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一
般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的
函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,会造成堵塞,此时车流速度为0;
y=30x+40(6-x)+50(8-x)+80(x+4)=20x+960,故y=20x+960(x∈N,且0≤x≤6).
(2)由y≤1 000,即20x+960≤1 000,得x≤2.
因为0≤x≤6,x∈N,所以0≤x≤2,x∈N.
所以x=0,1,2,即有3种调运方案.
(3)因为y=20x+960是R上的增函数,且0≤x≤6,x∈N,所以当x=0时,y有最小值,
故 f(x)=
即 f(x)=
1 2
5- 2
1
5 × 5- 2
1 2
-2
-(0.5 + 0.25),0 < ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ≤ 5,
× 52 -(0.5 + 0.25), > 5,
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高中数学《函数的应用》课件
一、引言
函数是数学中非常重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本节课程将重点讲解函数在实际问题中的应用，包括函数的模型建立和解决实际问题的方法等内容。
二、函数的模型建立
1. 实际问题的转化
实际问题中常常涉及到数量之间的关系，我们需要通过观察和分析将问题转化为函数的形式，建立数学模型。
2. 常见函数模型
- 线性函数模型：y = kx + b
- 二次函数模型：y = ax^2 + bx + c
- 指数函数模型：y = a * b^x
- 对数函数模型：y = a + b * log(x)
- 正弦函数模型：y = A * sin(Bx)
3. 实例分析
以小明投掷物体的实例为例，通过观察小明投掷物体的高度与时间之间的关系，建立函数模型并进行求解。
三、实际问题的解决方法
1. 方程求解
函数应用问题中常常需要通过求解方程来得到结果，我们可以借助数学工具和方法来求解各种类型的方程。
2. 不等式求解
有些问题中我们需要求解不等式来满足一定的条件，这时候我们可以利用函数的图像和性质来解决不等式。
3. 极值问题
实际问题中，我们常常需要求解函数的最大值或最小值，通过对函数进行分析和求导来解决这类问题。
四、函数图像与应用
1. 函数图像的绘制
通过确定函数的定义域、值域、特殊点和关键点等，我们可以准确地绘制函数的图像，进一步观察和分析函数的性质。
2. 应用举例
通过一些具体的实例，我们可以更好地理解函数图像在实际问题中的应用，如汽车行驶问题、物体运动问题等。
五、函数的应用拓展
1. 经济学中的应用
函数在经济学中有着广泛的应用，如成本函数、收益函数、供求关系等，通过函数分析和建模，可以对经济问题进行深入研究。
2. 物理学中的应用
函数在物理学中也具有重要的地位，如质点的运动、电路中的电流电压关系等，这些都可以通过函数来描述和解决。
3. 生物学中的应用
在生物学研究中，也常常使用函数来描述生物体的生长发育、种群数量变化等问题，通过函数模型可以得到一些有价值的结论。
六、总结
函数的应用是高中数学中的重要内容，通过本课程的学习，我们了解了函数模型的建立方法、实际问题的解决方法以及函数图像与应用等知识点。
在今后的数学学习和实际问题解决中，希望同学们能够充分运用这些知识，发挥函数的应用价值。