《圆周运动》专题复习

《圆周运动》专题复习曹传涛河南郏县一高 467100一．知识综述圆周运动是机械运动中一种典型的曲线运动。

高考对该知识点的考查主要有三个方面，一是基本概念，如线速度、角速度、向心加速度、向心力、转速；二是水平面内的匀速圆周运动，以考查圆周运动的基本规律及其应用为主；三是竖直平面内非匀速圆周运动，以考查受力分析、临界条件、极值、向心力公式和机械能守恒及功能关系为主。

圆周运动中涉及的基本概念是历所高考选择题的重要素材；而竖直平面内圆周运动问题，作为匀速圆周运动的方法解决变速圆周运动问题的应用，更是今后考查的热点。

因此，在复习本知识点时，既要注重对基础知识的熟练掌握，又要对典型问题进行归纳总结。

另外，由于这部分知识扩展空间很大，因此还要兼顾机械能守恒、功能关系、电场力、洛仑兹力等相关知识的复习。

二．基础知识归纳1．线速度（1）定义：做圆周运动的物体，通过的弧长l ∆跟通过这段弧长所用时间t ∆的比值，叫圆周运动的线速度。

（2）定义式：tl v ∆∆=。

（3）方向：与圆弧的切线方向相同。

2．角速度（1）做圆周运动的物体，连接物体和圆心的半径转过的角度θ∆跟所用时间t ∆的比值，叫做圆周运动的角速度。

（2）定义式：t∆∆=θω。

（3）国际单位：弧度/秒(rad/s)。

3．周期、频率和转速（1）周期T ：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间，叫做周期。

国示单位是秒(s) ；（2）频率f ：做匀速圆周运动的物体，一秒内运动的周数，叫做频率。

国际单位是赫兹(Hz 或1-s) ，Tf 1=；（3）转速n ：做匀速圆周运动的物体在单位时间内转过的转数。

国际单位是转/秒（r/s ）。

4．向心加速度（1）表达式：rvr a n 22==ω。

（2）方向：时刻改变且总是指向圆心。

温馨提示：①当v 一定时，n a 与r 成反比； ②当ω一定时，n a 与r 成正比。

5．向心力（1）表达式：rvmr m ma F n n 22===ω（2）方向：时刻改变且总是指向圆心。

温馨提示：①向心力的方向时刻在改变，是变力；②向心力是根据力的作有效果命名的，并不是物体所受的新力； ③向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小；④当物体做匀速圆周运动时，合力等于向心力；当物体做变速圆周运动时，合力不等于向心力。

6．匀速圆周运动（1）定义：线速度大小不变的圆周运动即为匀速圆周运动。

（2）匀速圆周运动的线速度、角速度、周期、转速间的关系 ①线速度与周期的关系：T r v π2=。

②角速度与周期的关系：Tπω2=。

③线速度与角速度的关系：ωr v =。

④角速度与转速的关系：n πω2=。

（3）向心加速度：2222⎪⎭⎫⎝⎛===T r r vr a n πω。

（4）向心力：2222⎪⎭⎫ ⎝⎛====T mr r vm r m ma F n n πω温馨提示：①匀速圆周运动的线速度大小不变，方向时刻改变，所以匀速圆周运动并不是真正意义上的匀速运动，本质上仍属变速运动。

②物体做匀速圆周运动时，合力等于向心力。

【例题1】如图所示的皮带传动装置，主动轴O 1上有两上半径分别为R 和r 的轮，O 2上的轮半径为r '，已知R ＝2r ，R ＝23r ′，设皮带不打滑，则ωA ∶ω∶ωC ＝ ，v A ∶v B ∶v C ＝ ，=C n B n A n a a a :: ，=C n B n A n F F F :: 。

解析：A 、B 两点都绕相同的转动轴转动，属于共轴的关系，因此具有相同的角速度，B 、C 两点用皮带相连，因此具有相同的线速度。

根据ωr v =可以求出3:2:2::=C B A ωωω，2:2:1::=C B A v v v ；又由r a n 2ω= ，r m F n 2ω=得8:12:3::=C n B n A n a a a ，8:12:3::=C n B n A n F F F 。

点评：解答此类问题时应熟记：绕同一轴转动的物体上各点的角速度相同，不打滑的皮带传动或齿轮传动的两轮边缘上各点的线速度相等。

三．重难点突破1．向心力的来源问题向心力是根据力的作用效果来命名的力，可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是各力的合力，或某个力的分力，明确向心力的来源是解决圆周运动的关键。

【例题2】如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。

当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（ ） A ．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了 B ．物体所受弹力增大，摩擦力减小了 C ．物体所受弹力和摩擦力都减小了D ．物体所受弹力增大，摩擦力不变 解析：物体随圆筒一起转动时，受到三个力的作用：重力G 、筒壁对它的弹力F N 、和筒壁对它的摩擦力F 1（如图所示）。

其中G 和F 1是一对平衡力，筒壁对它的弹力F N 提供它做匀速圆周运动的向心力。

当圆筒匀速转动时，不管其角速度多大，只要物体随圆筒一起转动而未滑动，则物体所受的摩擦力F 1大小等于其重力。

而根据向心力公式2ωmr F N =可知，当角速度ω较大时，N F 也较大。

故本题应选D 。

点评：对物体进行正确的受力分析，确定向心力的来源是解决圆周运动问题的关键。

2．水平面内的匀速圆周运动问题当物体做匀速圆周运动时，合力等于向心力。

因此，分析求解匀速圆周运动问题时，首先应对物体受力分析，明确合力与其它力的关系；其次要明确轨迹半径；最后由2222⎪⎭⎫⎝⎛====T mr r vm r m ma F nn πω将已知量和未知量联系起来求解问题。

【例题3】如图所示，质量相等的小球A 、B 分别固定在轻杆的中点及端点，当杆在光滑的水平面上绕O 点匀速转动时，如图所示，求杆的OA 段及AB 段对小球的拉力之比。

解析：A 、B 所需的向心力是由其合力提供的。

小球所受的重力和水平面的支持力在竖直平面内，是一对平衡力，不能提供向心力。

故小球所需的向心力由杆的OA 段和AB 段的拉力提供。

分别对A 、B 受力分析，如图所示。

由于A 、B 放在水平面上，故N F G =， A 、B 固定在同一根轻杆上，所以A 、B 的角速度相同，设角速度为ω ，则由向心力公式可得对A ：F OA －F AB ＝mr ω2F F AB GF ′G NAB对B ：F ′AB ＝m 2r ω2AB F 和ABF '互为作用力和反作用力，故有AB AB F F '=联立三式，解得F OA ∶F AB ＝3∶2。

点评：在解答圆周运动问题时，一定要注意物体沿半径指向圆心的合力提供向心力。

3．竖直平面内的圆周运动问题物体在竖直平面内做圆周运动时，主要分析最高点和低点两个位置，其中过最高点时的速度grv =，常称为临界速度。

它往往是解决问题的突破口，其物理意义在不同过程中是不同的。

竖直平面内的圆周运动，按运动轨道的类型，可分为无支撑（如球与绳连结、沿内轨道的“过山车”）和有支撑（如球与杆连接、车过拱形桥、小球沿圆形管运动）两种．前者因无支撑，在最高点物体受到的重力和弹力的方向都向下，后者因有支撑，在最高点时弹力的方向可能向上，亦可能向下。

当过最高点的速度为gr v =时，此时，两种情况对应的弹力均为零。

【例题4】如图所示，光滑圆管轨道AB 部分水平，BC 部分是处于竖直平面内半径为R 的半圆，圆管截面半径R r <<。

有一质量为m 的小球，半径比r 略小的光滑小球以水平初速度0v 射入圆管。

（1）若要小球能从C 端出来，其初速度0v 应为多大？ （2）在小球从C 端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况？初速度0v 各应满足什么条件？解析：（1）该问题属于有支撑类问题，小球恰好能达到最高点的条件是0=C v ，由机械能守恒可知，此时小球的初速度0v 需满足mgR mv 2212=，则gR v 40=，因此要使小球能从C 端出来需，小球的射速度需满足gR v 40>。

（2）小球从C 端出来瞬间，对管壁压力有三种典型情况：①刚好对管壁无压力，此时重力恰好提供向心力，即Rv mmg C 2=，由机械能守恒得2221221C mv R mg mv +=，联立解得gR v 50=；②对下管壁有压力，此时应有02>>Rv mmg C ，相应的入射速度0v 应满足gR v gR 540<<；③对上管壁有压力，此时应有Rv m mg C 2<，相应的入射速度0v 应满足gR v 50>。

点评：掌握有支撑类和无支撑类圆周运动问题分析方法的不同，要特别关注gr v =的临界状态。

4．临界问题水平面内的圆周运动和竖直平面内的圆周运动中均会存在临界问题，对于这一类问题的求解一般都是先假设某量达到最大或最小的临界情况，从而凸现临界状态，建立方程求出。

【例题5】如图所示，两细线系一质量m=0.1kg 的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A 、B 两处，上面绳长l=2m ，两绳拉直时与轴的夹角分别为30°和45°，问小球的角速度在什么范围内两绳始终有拉力?解析：设两细线都拉直时，A 、B 绳的拉力分别为A F 、B F ，小球的质量为m ，A 线与竖直方向的夹角为︒=30θ，B 线与竖直方向的夹角为︒=45α，对小球受力分析，由牛顿第二定律得：当B 线中恰无拉力时，θωθsin sin 21l m F A = ①mgF A =θcos ② 由①②解得33101=ωrad/s当A 线中恰无拉力时，θωαsin sin 22l m F B = ③ mg F B =αcos ④ （3分） 由③④解得3102=ωrad/s所以，要使两细线始终有张力，角速度的范围是3310rad/s 310<<ω rad/s 。

点评：临界问题处理的关键，是临界状态的准确找出。

因此，应在认真审题的基础上，对物体做好受力分析，找出临界状态对应的情况。