高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)
向量专题复习
向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。
一、平面向量加、减、实数与向量积
（一）基本知识点提示
1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。
2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。
3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4、向量形式的三角形不等式：｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜(试问：取等号的条件是什么?)；
向量形式的平行四边形定理：2（｜a｜2+｜b｜2）=｜a－b｜2+｜a+b｜2
5、实数与向量的乘法（即数乘的意义）
实数λ与向量a的积是一个向量，记λa，它的长度与方向规定如下：
(1)｜λa｜=｜λ｜²｜a｜;
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0,方向是任意的.
6、共线向量定理的应用：若a≠0，则b∥a存在唯一实数对λ使得b=λax1y2-x2y1=0(其中a=（x1，y1），b=（x2，y2）)
（二）典型例题
例1、O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
).,0[||||(ACACABABOAOP则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：|AC|AC|AB|AB是在∠BAC的平分线上，∴选B
例2、对于任意非零向量a与b，求证：｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜
证明：(1)两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a，b的方向都不同，并且｜a｜-｜b｜＜｜a±b｜＜｜a｜+｜b｜
(3)两个非零向量a与b共线时，①a与b同向，则a+b的方向与a、b相同且｜a+b｜=｜a｜＋｜b｜.②a与b异向时，则a+b的方向与模较大的向量方向相同，设|a|＞|b|，则|a+b|=|a|-|b|.同理可证另一种情况也成立。
（三）巩固练习
1、已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内的一点，若OA+OB+OC=0，则O是△ABC的（ ）
（A）重心 （B）垂心（C）内心（D）外心
2、下列5个命题中正确的是
①对于实数p,q和向量a,若pa=qa则p=q②对于向量a与b，若|a|a=|b|b则a=b③对于两个单位向量a与b，若|a+b|=2则a=b④对于两个单位向量a与b，若ka=b，则a=b⑤在△ABC中，若点P满足；AP=|AC|AC|AB|AB则直线AP必经过△ABC的内心
3、已知a与b方向相同，且|a|=3，|b|=7，则|2a－b|=
4、设非零向量a与b满足|a|=|b|=|a+b|，则a与a+b的夹角是
5、求函数f(x)=1xx13x6x3x2424的最大值
答案：（1）A（2）②③⑤（3）1（4）3 （5）10
二、向量的坐标运算及应用
（一）基本知识回顾
1、向量的坐标概念和坐标表示法
2、向量的坐标运算（加、减、实数和向量的乘法、数量积）
3、线段的定比分点概念及定比分点坐标公式
4、图形的平移概念及平移变换公式
例3 已知点A(x,5)，B(-2,y)，直线AB上的点C(1,1)，使|AC|=2|BC|, 求向量AB按向量a=(1,1)平移的向量坐标.
解法1：（坐标运算法）∵|AC|=2|BC|，且A、B、C共线，∴AC=±2BC，(1,1)－(X,5)=±2[(1,1)－(-2,y)], x=7, y=-1; x=-5,y=3;
解法2：用线段的定比分点公式法，∵AC=2CB∴点C分AB所成的比为2；∵AC=－2CB∴点C分AB所成的比为－2；再用定比分点坐标公式可求出点A、点B的坐标。
平移后向量的坐标为(-9,-6) , (3,-2)
例4 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA=a，OB=b，OC=c， 且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a与b表示c i j
解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中i, j是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-3），也就是a=i
－3j, b=j， c=-3i所以-3a=33b+c|即c=3a－33b
巩固练习
1、 已知函数f(x)的图象沿直线y=-x向下平移22个单位得到函数y=lgx的图象，则f(x)=
2、(10)平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足OCOAOB，其中,R，且1,则点C的轨迹方程为（ D ）
（A）32110xy（B）22(1)(2)5xy（C）20xy（D）250xy
3、已知a=（6，2）与b=（-4，21），直线l过点A(3,-1)且与向量a+2b垂直，则直线l的一般方程是
4、已知a=(5,4)与b=(3,2)，则与2a－3b平行的单位向量为
5、已知a=(-5,3)与b=(-1,2)，且λa+b与2a+b互相垂直，则实数λ的值等于
答案：1、f (x)=lg(x+2)+2; 2, D 3, 2x-3y-9=0 4, ±(55, 552) 5, －83
例5、（03年全国高考18．（本小题满分12分））
如图，在直三棱柱111CBAABC中，底面是等腰直角三角形，90ACB，侧棱21AA，D、E分别是1CC与BA1的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G
(I)求BA1与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
(II)求点1A到平面AED的距离
（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.
设F为AB中点，连结EF、FC，
.32arcsin.323136sin.3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABDBAEBEGEBGEBBAABCDFCEGEDFDEFFDFDFGEFEFDDFGADBGDECDEFABCDCBACCED
（Ⅱ）解：,,,FABEFEFEDABED又
.36236232222,.,.,.,.,111111111111111的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AEDAABBAAAKAABAAEDAKAAEDKAKAEKAAEABAAEDABAAEDAEDEDABAED
巩固练习
1、a=（1，1，0）与b=（1，1，1），若b=b1 +b2且a∥b1，a⊥b2，求b1，b2；
2、（新课程01年高考20）以正棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中OX∥BC，OY∥AB，E为VC的中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h（1）求cos,BEDE；（2）记面BCV为，面DCV为，若∠BED是二面角VC的平面角，求cos∠BED的值。（理改为“求∠BED的值。”）
3、如图：已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=4，BB1=3，D为AB的中点，F为A1C1的中点，E在BB1上，且BE=31BB1 （1）求DF与CF所成角的大小；（2）若在BB1上取一点P，问直线CP与平面ABC所成角为多少时，CP⊥DF
答案：1、b1 =（1，1，0），b2=（0，0，1） A B C O
D F
x y z
A B C
1 1 1 2、结果 ：（1）求cos,BEDE=2222610ahah；（2）记面BCV为，面DCV为，若∠BED是二面角VC的平面角，求cos∠BED的值为13。（理改为“求∠BED的值。”）
3、 arccos2212215 , arctan32
例6、（03年新课程高考21．（本小题满分14分））
已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.
21．本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分.
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.
∵i=（1，0），c=（0，a）， ∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）.
因此，直线OP和AP的方程分别为 axy 和 axay2.
消去参数λ，得点),(yxP的坐标满足方程222)(xaayy.
整理得 .1)2()2(81222aayx„„① 因为,0a所以得：
（i）当22a时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ii）当220a时，方程①表示椭圆，焦点)2,2121(2aaE和)2,2121(2aaF为合乎题意的两个定点；
（iii）当22a时，方程①也表示椭圆，焦点))21(21,0(2aaE和))21(21,0(2aaF为合乎题意的两个定点.
巩固练习
1、椭圆14y9x22的焦点为F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是
2、已知抛物线)0p(,px2y2，上有两点A、B，且OA⊥OB，OM⊥AB，求M点的轨迹方程。 3、（02年新课程高考（21）（12分））已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使MP·MN，PM·PN,NM·NP成公差小于零的等差数列（1）点P的轨迹是什么曲线？（2）若点P坐标为（,ooxy），记为PM与PN的夹角，求tan；
4、已知△OFQ的面积为S，且OF·FQ=1 ①若21＜S＜23，求OF与FQ的夹角的取值范围；②设|OF|=c，S=43c ，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当|OQ|取得最小值时，求此椭圆的方程。
答案：1、（－553，553），2、(x－p) 2+y2=p2 (x≠0), 3、①点P的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆②tan=|y0| 4; ①4＜＜3 5; 16y10x22
2009年高考第二轮热点专题复习：平面向量
1 2009年高考第二轮热点专题复习：平面向量
考纲指要：
重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。
考点扫描：
1．向量的概念：①向量；②零向量；③单位向量；④平行向量（共线向量）；⑤相等向量。
2．向量的运算：（1）向量加法；（2）向量的减法；（3）实数与向量的积。
3．基本定理：（1）两个向量共线定理；（2）平面向量的基本定理。
4．平面向量的坐标表示。
5．向量的数量积：（1）两个非零向量的夹角；（2）数量积的概念；（3）数量积的几何意义；（4）向量数量积的性质；（5）两个向量的数量积的坐标运算；（6）垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作a⊥b。
6．向量的应用：（1）向量在几何中的应用；（2）向量在物理中的应用。
考题先知：
例1． 已知二次函数f（x）＝x2－2x＋6，设向量a＝（sinx，2），b＝（2sinx，21），
c＝（cos2x，1），d＝（1，2）．当x∈[0，π]时，不等式f（a·b）>f（c·d）的解集为___________．
解：a·b＝2sin2x＋1≥1， c·d＝cos2x＋1≥1 ，f（x）图象关于x＝1对称，
∴f（x）在（1，＋∞）内单调递增．
由f（a·b）>f（c·d）a·b>c·d，即2sin2x＋1>2cos2x＋1，
又∵x∈[0，π] ，∴x∈（434,）．故不等式的解集为（434,）．
例2．求函数424211yxxxx的值域.
分析：由于向量沟通了代数与几何的内在联系，因此本题利用向量的有关知识求函数的值域。
解:因为2222221313()()()()2222yxx，
所以构造向量213(,)22px,213(,)22qx,则ypq,而(1,0)pq,
所以1ypqpq,得11y,
高三数学一轮复习向量专题小题练习-数量积的运算(基底法)
2022届高三数学一轮复习向量专题数量积的运算（基底法）
1.（深圳市宝安区2021届高三9月调研）在ABC中，60BAC，3AB，4AC，点M满足2BMMC，则ABAM等于（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
2.（2021届河南开封一模）在边长为1的等边三角形ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点，则AMAN（ ）
A．34 B．34 C．1 D．1324
3.（福州市2021届高三10月调研）在边长为2的等边ABC中，3BNNC，则ANBC=（ ）
A．0 B．12 C．1 D．2
4.（福建师大附中2021届高三期中）已知ABC是边长为2的等边三角形，且AEEB，2ADDC，则BDCE（ ）
A．3 B．2 C．1 D．3
5.（福建罗源一中2021届高三月考）已知ABC中，2AB，4B，6C，点P是边BC的中点，则APBC等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（江苏省盐城市2022届高三第二次大联考）已知平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝4，∠BAD＝π3，M，N分别为BC，CD的中点，则→AM·→AN＝ ．
7.（武汉市2020届高三6月调研）如图,在∆ABC中，∠BAC=3,2ADDB，P为CD上一点,且满足12APmACAB(m∈R),若AC=3 ,AB =4 ,则APCD的值为（ ）
A. -3 B. 1312 C. 1312 D. 112
8．（2021届黑龙江省哈尔滨三中高三模拟）在△ABC中，AB＝2，AC＝1，点D是BC边的中点，则AD→ ·BC→
的值为( )
A．32 B．3 C．－32 D．－3
高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)
向量专题复习
向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。
一、平面向量加、减、实数与向量积
（一）基本知识点提示
1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。
2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。
3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4、向量形式的三角形不等式：｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜(试问：取等号的条件是什么?)；
向量形式的平行四边形定理：2（｜a｜2+｜b｜2）=｜a－b｜2+｜a+b｜2
5、实数与向量的乘法（即数乘的意义）
实数λ与向量a的积是一个向量，记λa，它的长度与方向规定如下：
(1)｜λa｜=｜λ｜²｜a｜;
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0,方向是任意的.
6、共线向量定理的应用：若a≠0，则b∥a存在唯一实数对λ使得b=λax1y2-x2y1=0(其中a=（x1，y1），b=（x2，y2）)
（二）典型例题
例1、O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
).,0[||||(ACACABABOAOP则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：|AC|AC|AB|AB是在∠BAC的平分线上，∴选B
例2、对于任意非零向量a与b，求证：｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜
证明：(1)两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a，b的方向都不同，并且｜a｜-｜b｜＜｜a±b｜＜｜a｜+｜b｜
(3)两个非零向量a与b共线时，①a与b同向，则a+b的方向与a、b相同且｜a+b｜=｜a｜＋｜b｜.②a与b异向时，则a+b的方向与模较大的向量方向相同，设|a|＞|b|，则|a+b|=|a|-|b|.同理可证另一种情况也成立。
高三数学一轮复习教案平面向量与复数汇总
莫愁前路无知己，天下谁人不识君。
第四章 平面向量与复数
【知识图解】
Ⅰ.平面向量知识结构表
Ⅱ.复数的知识结构表
【方法点拨】
由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。
复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。
1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用.
2. 平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.
3. 向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决.
4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.
第1课 向量的概念及基本运算
【考点导读】
1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.
2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义. 向量 向量的概念
向量的运算
向量的运用 向量的加、减法
实数与向量的积
向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件数系的扩充与
复数的引入 复数的概念
复数的运算
数系的扩充 莫愁前路无知己，天下谁人不识君。
O A P Q B
a b
第4题 3. 了解平面向量基本定理及其意义.
【基础练习】
1.出下列命题：①若ab，则ab；②若A、B、C、D是不共线的四点，则DCAB是四边形为平行四边形的充要条件；③若,abbc，则ac；④ab的充要条件是ab且//ab；⑤若//ab，//bc，则//ac。其中，正确命题材的序号是②③
高三数学-专题复习-立体几何(3)空间直角坐标系与空间向量典型例题
i
立体几何（3）空间直角坐标系与空间向量
一、建立空间直角坐标系的几种方法
构建原则：
遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。
作法：
充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系.
类型举例如下：
（一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
ABCD — AiBiCiDi 中，AA、= 2，底面 ABCD
AB // CD , AB = 4 , AD = 2 , DC = 1，求异面
余弦值.
解析：如图1，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DDi所在直线为x、y、z轴建立空 间直角坐标系，贝U Ci （0，i，2 ）、B （2，4，0），
UJUD UJU ••• BCi （ 2，3,2），CD （0，i,O）.
LULU UUU
设BCi与CD所成的角为，
UUUL UUUT 一
则 BCipD 3 i7
则 cos UUUU||UUur ---- •
BG CD i7
（二）利用线面垂直关系构建直角坐标系
ABC — AiBiCi 中，AB 丄侧面 BBiCiC , E 为 一点，EA 丄 EBi .已知 AB 2 , BB i = 2 , -.求二面例1已知直四棱柱 是直角梯形，/ A为直角, 直线BCi与DC所成角的
例2 如图2，在三棱柱
棱CCi上异于C、Ci的
BC = i，/ BCC i = 冬2 ii
角A — EB i — Ai的平面角的正切值.
33
解析：如图2，以B为原点，分别以BBi、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平 面AB
i的直线为x轴建立空间直角坐标系.
由于 BC = i , BB i = 2 , AB = 2，/ BCC i =
3
uur uur
由 EA 丄 EBi，得 EAgEBi
a,0
2 (舍去).
uu
EA的夹角.
UUJU iuiugBuuu[ -i，即 tan |EA BiAI V3
(2) 求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值.•••在三棱柱ABC — AiBiCi中, 有 B (0,0,0) (0,0, .2)、Bi (0, 2,
平面向量之二轮专题复习含答案
高三数学第二轮专题复习---平面向量
一、本章知识结构
二、高考要求
1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。
3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
三、热点分析
对本章内容的考查主要分以下三类：
1、以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.
2、以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.
3、向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.
在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。 四、复习建议
由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。
2010高三数学高考第一轮复习向量复习教案：空间向量及其运算
用心 爱心 专心 第十三章 空间向量与立体几何
一、知识网络：
二．考纲要求：
（1）空间向量及其运算
① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；
② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；
③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；
④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用
① 理解直线的方向向量与平面的法向量；
② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；
③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；
④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
三、命题走向
本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。
预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上空间向量与立体几何 空间向量及其运算
立体几何中的向量方法 空间向量的加减运算
空间向量的数乘运算
空间向量的数量积运算
空间向量的坐标运算 共线向量定理
共面向量定理
空间向量基本定理
平行与垂直的条件
向量夹角与距离
直线的方向向量与平面的法向量
用空间向量证平行与垂直问题
求空间角
求空间距离 用心 爱心 专心 淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。
第一课时 空间向量及其运算
一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
2023届高三新高考数学试题一轮复习专题7.3平面向量数量积及应用教案讲义(Word)
01/14 7.3 平面向量数量积及应用
课标要求 考情分析 核心素养
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 新高考3年考题 题 号 考 点
数学建模
数学运算
直观想象
逻辑推理 2022(Ⅱ)卷 4 利用向量数量积的坐标运算求夹角
2021(Ⅰ)卷 10 向量数量积的坐标运算，向量的模
2021(Ⅱ)卷 15 向量数量积的运算
2020(Ⅰ)卷 7 向量数量积的运算和投影
1.向量的夹角
定义 范围 共线与垂直 图示
已知两个非零向量𝑎⃗和𝑏⃗⃗,作𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗⃗,则∠𝐴𝑂𝐵=𝜃(0≤𝜃≤𝜋)叫做向量𝑎⃗与𝑏⃗⃗的夹角． [0,𝜋] 𝑎⃗//𝑏⃗⃗?𝜃=0或𝜋;
𝑎⃗⊥𝑏⃗⃗?𝜃=𝜋2
向量夹角：共起点
2.平面向量的数量积
定义 已知两个非零向量𝑎⃗与𝑏⃗⃗,它们的夹角为𝜃，我们把数量|𝑎⃗||𝑏⃗⃗|𝑐𝑜𝑠𝜃叫做𝑎⃗与𝑏⃗⃗的数量积,记作𝑎⃗?𝑏⃗⃗.
即𝑎⃗?𝑏⃗⃗=|𝑎⃗||𝑏⃗⃗|𝑐𝑜𝑠𝜃.
特殊情况 0⃗⃗𝑎⃗=0; 𝑎⃗⊥𝑏⃗⃗?𝑎⃗?𝑏⃗⃗=0
运算律 𝑎⃗?𝑏⃗⃗=𝑏⃗⃗?𝑎⃗（交换律）;λ𝑎⃗?𝑏⃗⃗=λ(𝑎⃗?𝑏⃗⃗)=𝑎⃗?(λ𝑏⃗⃗)（结合律）;(𝑎⃗+𝑏⃗⃗)?𝑐⃗=𝑎⃗?𝑐⃗+𝑏⃗⃗?𝑐⃗（分配律）
运算性质 (𝑎⃗+𝑏⃗⃗)2=𝑎⃗2+2𝑎⃗?𝑏⃗⃗+𝑏⃗⃗2; (𝑎⃗+𝑏⃗⃗)(𝑎⃗−𝑏⃗⃗)=𝑎⃗2−𝑏⃗⃗2
(𝑎⃗+𝑏⃗⃗+𝑐⃗)2=𝑎⃗2+𝑏⃗⃗2+𝑐⃗2+2𝑎⃗?𝑏⃗⃗+2𝑏⃗⃗?𝑐⃗+2𝑐⃗?𝑎⃗
以问题促专题,提高高三数学二轮复习效率——以《向量表示有关问题的解法》专题复习为例
教 教 教学导航 ２０１３年１１月
以问题促专题，提高高三数学二轮复习效率
——以《向量表示有关问题的解法》专题复习为例
⑩江苏省常州市北郊高级中学刘敏
一模过后，大多数学校的高三数学教学都进入了
二轮复习．目前各校普遍性的做法是以专题复习为主，
结合做各地的模拟试卷，但是我们在实践中发现直接
用现成的专题复习的参考书，专题划分比较粗糙，不切
实针对学生的问题，不太适合学生的学情．如何针对学
生的实际情况进行专题复习，提高二轮复习的效率呢？
我们在二轮复习中尝试了以问题促专题，自己编制学
案，进行二轮复习．下面笔者以向量的表示方法专题复
习为例，谈谈具体做法．
通过备课组的集体讨论，我们精心设计了学案《向量
表示有关问题的解法》，把错误率比较高的问题编制在学
案上，事先发给学生，让学生分析错因，进行初步的订正．
课上学生展示，教师点评，然后当场让学生进行补偿性训
练．课后以方法为主线，让学生寻找类似的题型，然后教
师进行二次筛选，再编制成学案，让学生进行巩固，最后
由学生进行展示和交流．这样就达到了让学生理解与领
悟知识，形成内化能力并灵活运用知识的目的．
专题学案：向量表示有关问题的
问题ｌ：如图１，在ＡＡＢＣ中，
＝ ， ＝ １Ｂ ３ ＡＣ ，删与ｃ 交于 ４ 。 。
点Ｐ，且 ， ＝ｂ，：￣Ａ－－１５＝ｘａ＋ｙｂ
（ ，Ｙ∈Ｒ），贝Ⅱ ＋ｙ＝一
补偿练习：过ＡＡＢＣ的重心Ｇ 图１
的直线分别交边 ，ＡＣＴ－Ｐ，Ｑ，设 Ａ ，ａ－－Ｏ： ，则
１ １ ＝ Ａ 问题２：已知０为ＡＡＢＣ的外心，ＡＢ：２，ＡＣ＝１，
６ Ｃ＝１２０￣，若 ｉ＿ ＝Ａ 吾＋Ａ２ ，贝０Ａ１＋Ａ ＝一
补偿练习：已知０为ＡＡＢＣ的外心，ＡＢ＝２，ＡＣ：３， ＋
２ｙ＝１，￣ａ－－－ｄ （ ），≠０），则ｃｏｓ ＢＡｃ＝ ．
１．温故知新。增强学生纠错信心
对于错题，学生在纠错的过程中往往带着一种畏惧、
麓 鬻 中’７毒ｉ：’？高中版 迷惑、纠结、等待的心理，缺乏探究的信心，原因在于学生
三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)
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三角形“四心”向量形式的充要条件应用
在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下:
一． 知识点总结
1)O是ABC的重心0OCOBOA;
若O是ABC的重心，则ABCAOBAOCBOCS31SSS故0OCOBOA;
1()3PGPAPBPCG为ABC的重心.
2)O是ABC的垂心OAOCOCOBOBOA;
若O是ABC(非直角三角形)的垂心,则CtanBtanAtanSSSAOBAOCBOC：：：：
故0OCCtanOBBtanOAAtan
３)Ｏ是ABC的外心|OC||OB||OA|（或222OCOBOA)
若O是ABC的外心
则C2sin:B2sin:A2sinAOBsinAOCsinBOCsinSSSAOBAOCBOC：：：：
故0OCC2sinOBB2sinOAA2sin
４)O是内心ABC的充要条件是
0)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA
引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记CA,BC,AB的单位向量为321e,e,e,则刚才O是ABC内心的充要条件可以写成：0)ee(OC)ee(OB)ee(OA322131
O是ABC内心的充要条件也可以是0OCcOBbOAa
若O是ABC的内心，则cbaSSSAOBAOCBOC：：：：
故 0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa或;
||||||0ABPCBCPACAPBPABC的内心;
向量()(0)||||ACABABAC所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线);