人教版初中数学《第25章染色问题》竞赛专题复习含答案

第25章 染色问题

25.1.1★★圆周上等间距地分布着27个点，它们被分别染为黑色或白色．今知其中任何2个黑点之间

至少间隔2个点．证明：从中可以找到3个白点，它们形成等边三角形的3个顶点． 解析 我们将27个点依次编号，易知它们一共可以形成9个正三角形

(1，10，19)，(2，11，20)，…，(9，18，27)．

由染色规则知，其中至多有9个黑点．

如果黑点不多于8个，则其中必有一个正三角形的所有顶点全为白色．如果黑点恰有9个，那么由

染色规则知，它们只能是一黑两白相间排列，其中也一定有一个正三角形的所有顶点全为白色．

25．1．2★★某班有50位学生，男女各占一半，他们围成一圈席地而坐开营火晚会．求证：必能找到一位两旁都是女生的学生．

解析 将50个座位相间地涂成黑白两色，假设不论如何围坐都找不到一位两旁都是女生的学生，那么25个涂有黑色记号的座位至多坐12个女生．否则一定存在两相邻的涂有黑色标记的座位，其上面都坐着女生，其间坐着的那一个学生与假设导致矛盾．同理，25个涂有白色标记的座位至多只能坐12个女生，因此全部入座的女生不超过24人，与题设相矛盾．故命题得证．

25.1.3★在线段AB 的两个端点，一个标以红色，一个标以蓝色，在线段中间插入n 个分点，在各个分

点上随意地标上红色或蓝色，这样就把原线段分为1n +个不重叠的小线段，这些小线段的两端颜色不同者叫做标准线段．求证：标准线段的个数是奇数．

设最后一个标准线段为1k k A A +．若0k A A =，则仅有一个标准线段，命题显然成立；若n k A A =，由

A 、

B 不同色，则0A 必与k A 同色，不妨设0A 与k A 均为红色，那么在0A 和k A 之间若有一红

蓝的标准

线段，必有一蓝红的标准线段与之对应；否则k A 不能为红色，所以在0A 和k A 之间，红蓝和

蓝红的标准线段就成对出现，即0A 和k A 之间的标准线段的个数是偶数，加上最后一个标准

线段1k k A A +，所以，A 和B 之间的标准线段的个数是奇数．

25．1．4★★能否用面积为14⨯的一些长方块将1010⨯的棋盘覆盖?

解析 如图中标上1～4这些数，显然每个1×4的长方块各占1、2、3、4一个，于是如果可以覆盖，则1、2、3、个，矛盾!因此不能覆盖．

25.1.5★★12个红球和12个蓝球排成一行，证明：必有相邻的6个球三红三蓝． 解析 将这些球标上数字，红球标1，而蓝球则标上1-，于是问题变为：必定有6个相邻的球其标数之和为0．记从第i 个球起的6个数字和为i S ，于是i 可取1，2， (19)

易知1S 的全部取值为6-、4-、2-、0、2、4、6，且10i i S S +-=或2(可以认为以2或2-、0的步长“连续”变化)．由1713190S S S S +++=，知若四数中有0，则结论成立，否则必有

正有负．不妨设0i S >，0j S <，i ，j ∈{1，7，13，19}，于是必存在一个k ，k 在i 与j 之间，0k S =．

25．1．6★如图，把正方体形的房子分割成27个相等的小房间，每相邻(即有公共面)两个房间都有门相通，在中心的那个小正方体中有一只甲虫，甲虫能从每个小房问走到与它相邻的小房间中的任何一问去．如果要求甲虫只能走到每个小房间一次，那么甲虫能走遍所有的小房间吗?

解析 甲虫不能走遍所有的小房间．我们如右图将正方体分割成27个小正方体(每个小正方体表示一问房间)，涂上黑白相间的两种颜色，使得中心的小正方体染成白色，再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色．显然，在27个小正方体中，14个是黑的，13个是白的．甲虫从中间的白色小正方体出发，每走一步，方格就改变一种颜色．故它走26步，应该经过14个白色的小正方体、13个黑色的小正方体．因此在26步中至少有一个小正方体，甲虫进去过两次．由此可见，如果要求甲虫到每一个小房间只去一次，那么甲虫不能走遍所有的小房间．

25.1.7★★3行9列共27个小方格，将每个小方格涂上红色或蓝色．试证：无论如何涂法，其中至少有两列，它们的涂色方式完全一样．

解析 第一行的9个方格中必有5格同色(抽屉原理)，不妨设这5个方格位于前五个位置，且都为红色．

下面考虑前五列构成的3×5小矩形．第二行的五格中必有3格是同色的，不妨设这三格位于前三个位置．

接着考虑前三列构成的3×3方阵，该方阵前两行的每列完全一样．对第三行，用两种颜色染色时，三列中必有两列同色，不妨设是前两列．此时前两列的涂色方式完全一样．

25.1.8★★如图(a)，是由14个大小相同的正方形组成的图形，证明：不论如何用剪刀沿着图中直线进行剪裁，总剪不出七个由相邻两个小正方形组成的矩形来．

(b)

(a)

解析如图(b)涂色．

若有一种剪法能剪出七个相邻两个小正方形组成的矩形，则每个矩形一定由一个涂色小正方形和一个不涂色小正方形构成．因此，应该有七个涂色小正方形和七个不涂色的小正方形．但图中有八个涂色小正方形，六个不涂色小正方形，因此适合题意的剪法不存在．

25.1.9★★★在8×8的国际象棋棋盘中的每个方格都填上一个整数，现任挑选3×3或4×4的正方形，将其中每个数加1，称为一次操作，问是否能经过有限次操作，一定可以让方格中的所有整数均被10整除?

解析按图中选择小方格涂黑，易见每个3×3或4×4都包含偶数个小黑格，这些小黑格中原来数字之和是奇数的话，那么操作一次后，数字和仍是奇数，因此不能得到最后均被10整除．答案是不一定．

25.1.10★★4×4的方格表中最多选择几个格子涂黑，使得不存在4个黑格的中心是一个矩形的顶点?

解析如图，涂9格，无所求矩形，下证若涂10格，则会出现所求矩形．

这是因为若有一行全部涂黑，则余下的行中必有一行至少涂黑2格，此时便有所求矩形出现．于是每行黑格数不到4个，必有两行各包含3个黑格，此时不难看出有所求矩形出现，因此最多选择9格．

25.4.11★★★在8×8的国际象棋棋盘中剪去哪个小方格，使得剩下的小方格可以被1×3的矩形覆盖?

解析剪去左上角的方格后，棋盘不能用21个3×1的矩形覆盖．

为了证明这一点，我们将棋盘涂上三种颜色，涂法如图，其中数字1、2、3分别表示第一、二、三种颜色．

如果能用21个3×1矩形将剪去左上角的棋盘覆盖，那么每个3×1的矩形盖住第一、二、三种颜色的方格各1个，从而21个3×1的矩形盖住第一、二、三种颜色的方格各21个，