二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质导学案
1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
【学习目标】
1．指导学生用配方法确定抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标，开口方向和对称轴．
2．指导学生画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，知道其性质．
【学情分析】
授课班级的学生程度较好，基础扎实，思维灵活，具备一定的探索数学问题的能力，并乐于探究具有一定挑战性的问题.在知识基础方面，学生八年级时学习了一次函数和正比例函数，会用描点法绘制函数图象，会用待定系数法求函数解析式，能够借助函数图象描述出函数的简单性质，能够理解函数的解析式、图象和性质之间的内在联系.
通过《二次函数》一章前几课时的学习，学生已经了解到二次函数的图象是抛物线，掌握了形如y=ax2+c(a≠0)的二次函数的图象和性质，并能从解析式上对函数的最值、对称性、增减性等特征进行说明.
在研究能力方面，学生在七年级时具备较强的解决问题的能力. 而在学习一次函数时，学生经历过自己提出问题、设计方案、解决问题的过程.比如，在学了正比例函数y=kx后，研究一次函数y=kx+b时，学生就提出想要研究“b对函数图象的影响”这样的问题，为解决问题，部分学生针对性地设计出函数组（如y=2x+1，y=2x+2，y=2x-1；或y=x+1，y=2x+1，y=-x+1等），还有一些学生从解析式中猜想出了直线的上下平移关系，最终从不同解法中总结出“b的几何意义”.
因此，学生们不仅能够适应本课教学内容的调整，还能够从中表现出更强的自主性，获得更高的能力提升空间
【学习重点】
通过配方确定抛物线的对称轴，顶点坐标．
【学习难点】
理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．你能说出函数y＝－3(x＋2)2＋4图象的开口方向、对称轴和顶点坐标及其性质吗？
解：开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是(－2，4)．在对称轴右侧y随x的增大而减小，在对称轴左侧y随x的增大而增大．当x＝－2时，有最大值4.
二次函数y=ax2bxc的图像和性质
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二次函数y=ax2+bx+c
(a≠0)的图象和性质
一、教材分析
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质是高中学习函数的重要基础。本课时的学习是学生在以往学习经验的基础上，进一步经历探索二次函数图象特征和性质的过程。教学时应注意引导学生找出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像的联系，然后通过观察图像，结合解析式特点，思考和归纳函数图像的特征及其性质，从简单到复杂、从特殊到一般，去理解二次函数顶点式中a,h,k对函数图象的影响；并能正确判断出函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，让学生对二次函数y=a(x-h)2+k有一个形象和直观的认识。
二、学生情况分析
目前的学生课堂学习不够专注，缺乏数学思维，因而导致他们的数学基础较差、学习信心不足、兴趣不大，有的学生感到学习数学很困难。
三、教学目标分析
知识目标：1能够正确作出二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象；
2理解二次函数关系式中系数a,h,k对函数图象的影响；
3能够正确指出y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标。
能力目标：1、在精心设计的问题引领下，通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力；
2、通过观察图象，发现函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力；3、通过小组合作，进一步培养学生的数学探究能力。
情感价值观目标：让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的自信心，感受数学的美，从而激发学生的学习兴趣。
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教学重难点：能够正确作出y=a(x-h)2+k的图象，并抽象出它的图象特征和性质。
四、教法学法分析
采用“问题引领，小组学习”的教学模式实施教学。让学生在正确作出二次函数图象之后，抽象出二次函数y=a(x-h)2+k中系数与图象之间的关系。先鼓励学生在问题引领下，独立思考，解决问题；然后把出现的问题带到小组学习中去，经过学习小组或全班集中展示交流，师生合作点评，推导出结论并达成共识。以上设计，是在问题引领下，经历小组学习几个环节，可以使学生始终处于一种积极的思维和主动探索的学习状态之中，让绝大多数学生参与到学习活动中去。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(5)
1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 班级_____姓名_______
学习目标：
掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。
重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。
难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－b2a、(－b2a，4ac－b24a)是学习的难点。
学习过程：
一、提出问题
1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?
3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?
4．不画出图象，你能直接说出函数y＝－12x2＋x－52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
5．你能画出函数y＝－12x2＋x－52的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?
二、解决问题
（1）你能否将y＝－12x2＋x－52化为khxay2)(的形式吗？如果化简完成你能否说出它的开口方向，顶点，对称轴吗？
思考：仿照上面的方法你可以将cbxaxy2化成khxay2)(的形式并说出它的开口方向，顶点，对称轴
y＝ax2＋bx＋c＝a(________)＋______
＝a[______________]＋______
＝a[__________]＋_______
＝a(__________)2＋_______
当a＞0时，开口________，当a＜0时，开口______。
对称轴是___________，顶点坐标是(________，_________)
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2 bx c的图像和性质》教学设计
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《二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质》教学设计
教材依据
人民教育出版社义务教育教科书《数学》（九年级上册）22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质．
设计思路
一、指导思想
新课程标准指出，义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生。在教学设计时，我以布鲁纳认知发现学习理论的实质——主动的形成认知结构为指导思想，结合新课标“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展．”的教育理念，设计了二次函数的图像和性质这节课。
二、设计理念
本节课授课班级的学生已经获得的二次函数解析式中待定系数与图象的关系、二次函数图象的性质的基础上学习的，根据学生的认知特点和所学知识的特征，我在教学过程中重点运用我校的三段两重心教学模式：揭示目标，突破目标，检测目标。使学生经历数学知识的形成与应用过程，以达到促进学生有效学习的目的。这就需要我们在教学的过程中，利用教师的智慧，对教材和资源进行重新整合，并根据具体的学生的环境和接受能力，对课堂教学内容进行合理设2
计，将图象与数量结合到一起、将代数与几何结合到一起解决问题，提高学生在动手操作能力、分析问题能力的过程中，养成认真观察、主动思考的习惯，体会数形结合思想在解题中的优势。从而提高课堂教学的效率。
三、教材分析
本节属于《数学课程标准》（2011年）中“数与代数”领域的内容，课标中明确指出要求学生“会用配方法将数字系数的的二次函数的表达式化为y=a(x-h)²+k的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。”设计本节课是学生在已经学习了二次函数的顶点式的基础上，根据我所任教的学生的实际情况，我将《二次函数的性质与图象》设定为一节课（探究图象及其性质）。二次函数的图象与性质也是中考内容的重点考察之一。
四、学情分析
二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的又一次应用。基于在初中教材的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，已经让学生掌握了二次函数的图象及一些性质，只是像单调性、对称性、零点这种性质还没有规范，课本给出的例题对于学生来说非常熟悉。本节课需要认真设计问题来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 3
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质
二次函数的性质
二次函数02acbxaxy的顶点坐标是（-ab2，abac442），对称轴直线x=-ab2，
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-ab2时，y随x的增大而减小；x＞-ab2时，y随x的增大而增大；x=-ab2时，y取得最小值abac442，即顶点是抛物线的
最低点．
②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-ab2时，y随x的增大而增大；x＞-ab2时，y随x的增大而减小；x=-ab2时，y取得最大值abac442，即顶点是抛物线的
最高点．
③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移ab2个单位，再向上或向下平移abac442个单位得到的．
二次函数上点坐标的特征
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-ab2，abac442）.
①抛物线是关于对称轴x=-ab2成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函
数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=221xx
【例1】已知212232mxmxmmymm是关于x的二次函数，求出它的解析式，
并写出其二次项系数、一次项系数及常数项．
【例2】下列各式中，一定是二次函数的有（）
①y=2x2﹣4xz+3；②y=4﹣3x+7x2；③y=（2x﹣3）（3x﹣2）﹣6x2；④y=21x﹣3x+5；⑤y=ax2+bx+c
（a，b，c为常数）；⑥y=（m2+1）x2﹣2x﹣3（m为常数）；⑦y=m2x2+4x﹣3（m为常数）．A．1个B．2个C．3个D．4个【例3】（2017•东莞市一模）在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=bx2+a的图象
人教版九年级数学上册二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(教师版)
初中数学试卷
灿若寒星整理制作
22-6 y=ax2+bx+c的图象和性质 人教九上
一、学习目标 1．描点法画出y=ax²+bx+c的图像；
2．探索抛物线y=ax²+bx+c的性质．
二、知识回顾 1．一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的 形状 相同， 位置 不同.抛物线 y=ax2向 右 平移 h 个单位，向 上 平移 k 个单位得到抛物线y=a(x-h)2+k（h>0,k>0）.
2. 抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点：
（1）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下.
（2）对称轴是直线x=h.
（3）顶点坐标是（h,k）.
3. 填表
三、新知讲解 1．函数y=ax2+bx+c图象和性质
四、典例探究
扫一扫，有惊喜哦！
1．二次函数y=ax²+bx+c化的图象和性质
【例1】（2014秋•江都市期末）画出二次函数y=﹣x2+4x+5的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）对称轴为直线______，顶点坐标为_________，最____值是_______；
（2）与x轴、y轴的交点坐标分别为___________；
（3）当x取______时，y随x的增大而增大；当x取_______时，y随x的增大而减小；
（4）当0≤x＜3时，函数y的值为_______；
（5）当0＜y＜5时，自变量x的取值范围为_____________．
总结：
1. 二次函数y=ax2+bx+c图象的画法：
（1）“化”：化成顶点式；
（2）“定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）“画”：列表、描点、连线.
2. 利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式后，可求出二次函数的顶点坐标和最值，顶点坐标是（﹣，），并在顶点处取到最值. 当a＜0时，最大值是；当a＞0时，最小值是．
3. 在二次函数y=ax2+bx+c中，
（1） 当a>0时，在对称轴x=-2ba的左侧，y随着x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；
二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质(3种题型)九年级知识点(浙教版)(解析版)
二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质
【知识梳理】
一、二次函数与之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称
为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2.一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
要点诠释： 1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式
加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种
方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
二、二次函数的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． 2(0)yaxbxca=++=−+2()(0)yaxhka
2()yaxhk=−+2()yaxhk=−+
2()yaxhk=−+2yaxbxc=++
2222222bbbbyaxbxcaxxcaxxcaaaa=++=++=++−+
22424bacbaxaa−=++
2()yaxhk=−+2bha=−244acbka−=
2yaxbxc=++2bxa=−24,24bacbaa−−
2yaxbxc=++2bxa=−24,24bacbaa−−
2yaxbxc=++
2(0)yaxbxca=++ (2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称
轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点诠释：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可
粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用
九年级数学第二章二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
【学习目标】
1. 会用描点法画二次函数2(0)yaxbxca的图象；会用配方法将二次函数2yaxbxc的解析式写成2()yaxhk的形式；
2.通过图象能熟练地掌握二次函数2yaxbxc的性质；
3.经历探索2yaxbxc与2()yaxhk的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
【要点梳理】
要点一、二次函数2(0)yaxbxca与2()(0)yaxhka之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
从函数解析式2()yaxhk我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称2()yaxhk为顶点式，将顶点式2()yaxhk去括号，合并同类项就可化成一般式2yaxbxc．
2.一般式化成顶点式
2222222bbbbyaxbxcaxxcaxxcaaaa
22424bacbaxaa．
对照2()yaxhk，可知2bha，244acbka．
∴ 抛物线2yaxbxc的对称轴是直线2bxa，顶点坐标是24,24bacbaa．
要点进阶：
1．抛物线2yaxbxc的对称轴是直线2bxa，顶点坐标是24,24bacbaa，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线2yaxbxc的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点二、二次函数2(0)yaxbxca的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
二次函数y= ax2+bx+c的图像和性质
教学设计
课题 人教版九年级上册第二十二章 二次函数y= ax2+bx+c的图像和性质
作者及工作单位 胡兴明 浏阳市中和中学
教材分析
二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本部分内容的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应使学生二次函数图象画法，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。本部分内容的难点是函数图象的特征和变换和性质的理解。
学情分析
学生已学习y= ax2+bx+c的图像画法和性质研究，在二次函数的图像与性质中，学生对于a、b、c与二次函数的图像的关系是他们的难点，在教学中要侧重抛物线的对称性，加强利用配方法将二次函数一般式化顶点式y = a(x–h )2 + k，判断抛物线的对称轴及顶点、借助图像分析函数的增减性的训练，特别是对于a、h、k的变化与图像的张开大小程度、对称轴、顶点坐标和最大（小）值的变化等应帮助他们理解
教学目标
1、探索发现二次函数的系数a,h，k与图像之间的关系，进一步理解二次函数的图像和性质
2、能力目标：使学生经历观察、实验、归纳、总结等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的分析归纳能力。
3、情感目标：通过利用几何画板教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。
教学重点和难点
1、重点：二次函数的图像和性质
2、难点：结合图像理解二次函数图像与a,h，k的关系的过程，通过使用几何画板探究，形成规律，用于解题。
教学过程
一、组织学生复习二次函数的性质。抽同学回答，其余同学在学案上填写
活动目标：二次函数一般式的图像性质是这节课的基础，有效的复习可以为本节课打下基础。
师生共同归纳：
2019年初升高数学衔接辅导之二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(含答案)
沈进老师专用资料
04二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
高中必备知识点1：二次函数图像的伸缩变换
问题 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？
为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝12x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．
先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．
先列表：
x … －3 －2 －1 0
1 2 3 …
x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2x2 … 18 8 2 0 2 8 18
从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．
再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝12x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的沈进老师专用资料
大小．
典型考题
【典型例题】
二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数是
A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【变式训练】
下列说法错误的是( )
A．二次函数y=－2x2中，当x=0时，y有最大值是0
B．二次函数y=4x2中，当x>0时，y随x的增大而增大
C．在三条抛物线y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2中，y=2x2的图象开口最大，y=－x2的图象开口最小
D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点