二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
_二次函数y=ax2 bx c的图象和性质
二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质
➢ 二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线，与抛物线y=ax²的形状相同，位置不同。利用配方法能够将y=ax²+bx+c转化为顶点式，即：
abacabxaacababxabxaacxabxacbxaxy442222222222
➢ 二次函数y=ax²+bx+c的性质
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 abx2 abx2
顶点坐标 (ab2, abac442) (ab2, abac442)
增减性 当abx2时，y随x的增大而减小；
当abx2时，y随x的增大而增大； 当abx2时，y随x的增大而增大；
当abx2时，y随x的增大而减小；
最值 当abx2时，y有最小值，abacy442 当abx2时，y有最大值，abacy442
例1：已知二次函数4212xxy
1) 确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴
2) 当x取何值时，y随着x的增加而增大？当x取何值时，y随着x的增加而减小？ 知识点二：抛物线y=ax²+bx+c与系数的关系
抛物线在坐标系内的位置与系数a，b，c的符号有着密切的联系，知道图象的位置能够确定a，b，c的符号；反过来，由a，b，c的符号能够确定抛物线的大致位置。它们之间的关系如下：
系数 图象的特征 系数的符号
a 开口向上 a>0
开口向下 a<0
b 对称轴为y轴 b=0
对称轴在y轴左侧 a，b同号
对称轴在y轴右侧 a，b异号
c 经过原点 c=0
与y轴正半轴相交 c>0
与y轴负半轴相交 c<0
例2：抛物线cbx2axy经过点(-1, 0)，对称轴l如以下列图所示。则以下结论：①abc>0；②a-b+c=0；③2a+c<0；④a+b<0。其中所有准确的结论是（ ）
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质精品教案
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
1．掌握用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．
2．掌握用图象或通过配方确定抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及配方的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质．
重点
通过图象和配方描述二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质．
难点
理解二次函数一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的配方过程，发现并总结y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋k的内在关系．
一、导入新课
1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，可以由函数y＝ax2的图象先向________平移________个单位，再向________平移________个单位得到．
2．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向________，对称轴是________，顶点坐标是________．
3．二次函数y＝12x2－6x＋21，你能很容易地说出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？
二、教学活动
活动1：通过配方，确定抛物线y＝12x2－6x＋21的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．
(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)；
(2)提出问题：它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
(3)引导学生合作、讨论观察图象：在对称轴的左右两侧，抛物线从左往右的变化趋势．
活动2：1.不画出图象，你能直接说出函数y＝－x2＋2x－3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
2．你能画出函数y＝－x2＋2x－3的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗？
(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；
(2)抽一位或两位同学板演，学生自纠，老师点评；
(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？
活动3：对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？
北大绿卡九年级数学上册 22.1.4 二次函数y=ax2 bx c的图象和性质教案 (新版)新人教版
二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质
教学目标：
1．掌握用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．
2．掌握用图象平移或通过配方确定抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及配方的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质．
教学重点
用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标
教学难点
理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴、顶点坐标分别是x＝－b2a、(－b2a，4ac－b24a)
教学过程
一、导入新课
（一）根据上节课所学的知识回答问题：
1．说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是(2，1)．
2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?
函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的．
3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?
当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1．
（二）抛出问题：你能很容易地说出二次函数y＝12x2－6x＋21它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？
二、探究新知
1．研究二次函数y＝21x2－6x＋21的图象和性质．
（1）根据二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质，讨论二次函数y＝21x2－6x＋21的图象和性质？
如何将y＝21x2－6x＋21转化为y＝a(x－h)2＋k的形式呢？
教师引导学生观察两个等式右边的多项式的特点，然后根据配方法进行变形．
y＝21x2－6x＋21
二次函数中像的开口方向和性质
二次函数中像的开口方向和性质
二次函数是代数学中常见的一种函数形式，其方程可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。二次函数的图像通常是一个抛物线。在二次函数中，开口方向和性质会对图像的形状和行为产生重要影响。
开口方向描述了二次函数图像的凹凸性质，即抛物线的形状。根据二次函数的系数a的正负情况，可以分为以下两种开口方向：
1. 开口向上：当a大于0时，表示二次函数图像向上开口。这意味着抛物线的顶点最低点，图像呈现凹形状。在这种情况下，二次函数的值范围为负无穷到正无穷，函数的最小值发生在顶点处。
2. 开口向下：当a小于0时，表示二次函数图像向下开口。这意味着抛物线的顶点最高点，图像呈现凸形状。在这种情况下，二次函数的值范围为正无穷到负无穷，函数的最大值发生在顶点处。
除了开口方向，二次函数的性质也与系数a的正负相关。注意以下几点：
1. 当a大于0时，函数开口向上，图像在顶点处达到最小值。如果a的绝对值越大，抛物线的开口越宽，顶点处的最小值越小。
2. 当a小于0时，函数开口向下，图像在顶点处达到最大值。如果a的绝对值越大，抛物线的开口越宽，顶点处的最大值越大。
3. 当a等于0时，原方程成为一次函数，图像退化为一条直线。 通过确定二次函数的开口方向和性质，我们可以预测函数的图像形状和行为。这对于解决实际问题、分析数据趋势等具有重要意义。
在实际应用中，二次函数常用于描述自然界中的曲线、物体的运动轨迹、金融市场的变化趋势等等。了解二次函数开口方向和性质，可以帮助我们更好地理解和应用数学概念。
总之，二次函数中的开口方向和性质是理解和分析函数行为的关键要素。通过对二次函数参数的解读，我们可以判断函数图像的形状、顶点位置以及函数值的范围。这些知识对于解决实际问题和在数学领域中的应用都有重要意义。在学习和使用二次函数时，我们必须理解和掌握这些概念，以便正确地应用和解决相关问题。
二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质-2023年新九年级数学(人教版)(解析版)
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
【知识梳理】
一、二次函数与之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称
为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2.一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
要点诠释：
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式
加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种
方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
二、二次函数的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． 2(0)yaxbxca=++=−+2()(0)yaxhka
2()yaxhk=−+2()yaxhk=−+
2()yaxhk=−+2yaxbxc=++
22
222
22bbbb
yaxbxcaxxcaxxc
aaaa
=++=++=++−+
224
24bacb
ax
aa−
=++
2()yaxhk=−+
2b
h
a=−24
4acb
k
a−
=
2yaxbxc=++
2b
x
a=−24
,
24bacb
aa−
−
2yaxbxc=++
2b
x
a=−24
,
24bacb
aa−
−
2yaxbxc=++
2(0)yaxbxca=++
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称
轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点诠释：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可
粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用
人教版初三数学教案 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第二十二章 二次函数
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
学习目标：1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x－h)2+k.
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
重点：能够熟练地求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
难点：会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x－h)2+k.
自主学习
一、知识链接
1.说说函数y=a(x－h)2+k图象的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减变化情况.
2.将下列式子因式分解：
（1）a2+2ab+b2=____________; (2)a2-2ab+b2=____________.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x－h)2+k
问题 怎样将216212yxx化成y=a(x－h)2+k的形式？
填一填
（1）x2-12x+36=_____________; （2）x2-12x=_____________ .
想一想
（1）请将216212yxx化成y=a(x－h)2+k的形式，并说一说配方的方法及步骤；
（2）如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x－h)2+k？
练一练
将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并指出其顶点坐标．
（1）y=x2-2x+1； （2）y=2x2-4x+6．
探究点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
问题1 你能说出21632yx的对称轴和顶点坐标吗？
问题2 二次函数21632yx可以看作是由212yx怎样平移得到的？
问题3 如何画二次函数216212yxx的图象？
九年级数学上册 22.1.4 二次函数y=ax2 bx c的图象和性质(1)教案 (新版)新人教版
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(1)
一、教学目标
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
二、课时安排
1课时
三、教学重点
熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
四、教学难点
会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.
五、教学过程
（一）导入新课
说出二次函数24(2)1yx 图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.它是由y=-4x2怎样平移得到的？
（二）讲授新课
问题1 怎样将216212yxx化成y=a(x-h)2+k的形式？
216212yxx
21(1242)2xx
2221(126642)2xx
2221[(126)642]2xx
21[(6)6]2x
21(6)3.2x
问题2 你能说出21(6)32yx的对称轴及顶点坐标吗？
答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）
问题3 二次函数21(6)32yx可以看作是由212yx 怎样平移得到的？
答：平移方法1：
2 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；
平移方法2：
先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
问题4 如何用描点法画二次函数216212yxx的图象？
解: 先利用图形的对称性列表
然后描点画图，得到图象如右图：
问题5 结合二次函数 216212yxx 的图象，说出其性质
当x<6时，y随x的增大而减小； 当x>6时，y随x的增大而增大.
活动2：探究归纳
y=ax²+bx+c22222bbbaxxcaaa
= 2224bbaxcaa
二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
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◆本节课内容
一、二次函数y=ax2+bx+c
1、二次函数y=ax2+bx+c可以用配方法转化为y=a（x－h）2+k的形式：
2、二次函数y=ax2+bx+c的图像的作法：
二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条对称轴平行于y轴的抛物线。它的图像常见作法有两种：五点法和平移法。
方法一：五点法
先用配方法将y=ax2+bx+c（a≠0）化为y=a（x－h）2+k（a≠0）的形式，确定抛物线的顶点、开口方向、再以顶点为中心，在对称轴的两侧对称地各取两对值进行列表，最后描点画图。
方法二：平移法 2 / 19 利用平移法作二次函数y=ax2+bx+c的图像的一般步骤如下：
（1）利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a（x－h）2+k的形式，确定其顶点为（h，k）；
（2）作出二次函数y=ax2的图像；
（3）将函数y=ax2的图像平移，使其顶点（0,0）平移到（h，k），平移后的图像即是二次函数
y=ax2+bx+c的图像。
3、二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质如下表：
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二、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像特征与系数a，b，c的符号关系
注意：（1）b的符号由a的符号和对称轴的位置来决定
（2）a+b+c（或a－b+c）可以看成是x=1（或x=－1）时的函数值。
三、二次函数解析式的求法
求二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式。
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◆课堂练习
题型一利用公式法直接求抛物线的顶点、对称轴及最值
1、求二次函数y=（x+5）（x－1）的对称轴、顶点及最值。
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题型二、由抛物线的顶点、对称轴及最值求字母或代数式的取值范围
2、二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（－1,0）。设t=a+b+1，则t的取值范围是（ ）
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
二次函数，又称之为平方函数，它是最基本的解析函数之一。它的标准形式是y=ax2＋bx＋c，其中a,b, c是实数，a≠0。
二次函数的图像是根据函数表达式的特性来推断的，只要我们把函数上的点代入进函数的表达式，并确定函数的拐点，就可以找出图形的形状。一般来说，当a>0时，二次函数的图像是一条“U”形(有可能是拱状或者凹状)，当a<0时，二次函数的图像是一条蛇形抛物线(有可能是凸状或者凹状)，沿X轴的对称轴是当x=－b/2a时，它的最高点或者最低点是（－b/2a,f (－b/2a))。
二次函数不仅表示物理现象，也可以表示天文现象，甚至于在经济学中也有运用。从数学上来讲，它具有众多的特性和性质，如：
A、二次函数有且只有两个极值，可能是极大值或极小值；
B、当a > 0时，函数有一个唯一的最小值点，沿X轴的对称轴也就是当x=－b/2a时的单位；
C、当a < 0时，函数有一个唯一的最大值点，同样沿X轴的对称轴也就是当x=－b/2a时的单位；
D、当x→±∞时，函数值→±∞，即它是一个可以到达正负无穷远处的无限延伸曲线。
以上就是二次函数的图像与性质，只要我们掌握了它的一般形式与特性，就可以很容易的根据题设的条件把它画出来，用它来描述和解决各种实际问题，它是一种有效的数学工具。
知识卡片-二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质
能量储备
二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质
了解二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质，一般方法是现将一般式y=ax2+bx+c通过配方化为顶点式y=a（x--h）2+k，然后找出顶点坐标、对称轴，画出图象并观察图象得到它的增减性和最值．
函数
2y(0)axbxca（a,b,c是常数a≠0）
a＞0 a＜0
图象
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 24,24bacbaa
对称轴 2bxa直线
增减性 22bxayxbxayx对称轴左侧，即，随增大而减小；对称轴右侧，即，随增大而增大 22bxayxbxayx对称轴左侧，即，随增大而增大；对称轴右侧，即，随增大而减小
最值 224=4bxaacbya最小值当时， 224=4bxaacbya最大值当时， 通关宝典
★ 基础方法点
方法点1：利用抛物线的对称性解题
如果抛物线上两点(x1，m)，(x2，m)的纵坐标相等，那么这两点关于抛物线的对称轴直线x＝x1＋x22对称；反过来，如果两点(x1，y1)，(x2，y2)是抛物线上的对称点，那么这两点的纵坐标相等，即y1＝y2.
例：如图所示，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为( )
A．(2，3) B．(3，2) C．(3，3) D．(4，3)
解析：∵ 点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，∴ 点A与点B关于对称轴x＝2对称．又∵ A(0，3)，∴ AB＝4，yB＝yA＝3，∴ 点B的坐标为(4，3)，故选D.
答案：D
方法点2：比较两个二次函数值大小的方法
(1)把自变量直接代入解析式求值．