实际问题与二次函数拱桥问题
专题五： 利用二次函数来处理抛物线型拱桥问题(有答案)
专题五： 利用二次函数来处理抛物线型拱桥问题（有答案）
➢ 知识指引
拱桥是我们生活中常见的一种建筑物，可以把它近似的看作抛物线，，通过建立适当的平面直角坐标系，求出其解析式，然后利用其有关性质可以解决相关的问题，下面我们来学习一下抛物线型拱桥问题：
➢ 知识要点：
解决抛物线型问题的一般步骤：
（1）建立合适的平面直角坐标系；
（2）把问题中的已知数据与坐标进行联系；
(3)用待定系数法求出抛物线对应的解析式；
（4）利用二次函数的图象及性质分析并解决问题.
➢ 知识小结：
（1）在建构二次函数模型，把实际问题转化为二次函数时，能够将实际距离准确的转化为点的坐标，并选择运算简便的方法进行计算
（2）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.
➢ 典型例题：
类型一：与拱桥有关的水位升降问题
【例1】图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系：
（1）求拱桥所在抛物线的解析式；
（2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？
【解析】（1）由题意设抛物线解析式为：y=ax2＋b（a≠0）
∵当拱顶离水面2m时，水面宽4m ∴点C（0，2），点B（2，0）
代入，得{𝑏=2，4a＋b=0，解得{a＝−12，b＝2，
∴拱桥所在抛物线的解析式为y=－12x2＋2
（2）当水位下降1m时，水位纵坐标为－1，由y=－12x2＋2，
令y=－1，则－1=－12x2＋2.解得x=±√6.
∴水面宽度为√6−(−√6)＝2√6
【变式】如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽为10m．
（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？
实际问题与二次函数第三课时教案
26.3实际问题与二次函数教案
教学设计思路
本节安排了一个探究性问题，以和拱桥桥洞的有关问题为背景，运用二次函数分析和解决实际问题。教科书从实际问题出发，引导学生分析问题中的数量关系，建立相应的数学模型即列出函数关系式，进而利用二次函数的性质和图象研究问题的解法。通过这一节的学习可以使学生对解决实际问题的数学模型的认识再提高一步，从而提高运用数学分析问题和解决问题的能力。
一、教学目标：
1．知识与技能
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题。
2．过程与方法
经历探索“抛物线形拱桥水面宽度问题”的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验。
3．情感态度与价值观
体会二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。
二、教学重点难点：
1．重点
通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一种重要模型。
2．难点
利用二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。
三、教学过程：
(一)创设情境 导入新课
小明家门前有一座抛物线形拱桥（如图所示）．当水面在L时，拱顶离水面2 m，水面宽4m。水面下降1 m时，水面宽度增加多少?
(二)探究：
①想一想：二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．从而求出水面下降1 m时，水面宽度增加多少。怎么建立坐标系呢？
②建立模型：建立坐标系后需要求出抛物线解析式，可设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2(a≠0)由题意知抛物线经过点A(2，-2)，可得-2=a·2,a=-1/2。即抛物线的表达式.
③解决问题：当水面下降1 m时，水面的纵坐标为y=-3，代人y=-x2，计算可得此时水面宽度，两者相减既得问题答案。
教师关注： （１）学生能否用函数的观点来认识问题；
（2）学生能否建立函数模型；
九年级数学： 22.3.3拱桥问题教案10
第1页 共5页 22.3实际问题与二次函数(3)教案
学情分析：
通过前几节课的学习，学生已经学习了二次函数定义、图像和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，已接触了最大利润,最大面积等问题，体验了如何从实际问题中抽象出二次函数模型，为本节课的学习奠定了基础。在本节中，需要建立适当的直角坐标来分析和解决问题。
教学目标：
1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确建立坐标系，并运用二次函数的图象、性质解决实际问题．
2.通过建立平面直角坐标系解决实际问题中变量之间的函数关系,获得用数学方法解决实际问题的经验.
3.在解决实际问题过程中使学生体验数学建模思想,培养学生分析问题、解决实际问题的能力, 感受数学模型思想在实际问题中的应用价值.
教学重点：建立坐标系，利用二次函数的图象、性质解决实际问题．
教学难点：建立适当的平面直角坐标系,实际问题转化为数学问题.
教学过程：
一、复习回顾：
1.问题：解决前几节课所讲的实际问题时，你用到了什么知识？所用知识在解决生活中问题时，还应注意什么？
(1)由于抛物线cbxaxy2的顶点是最低（高）点，当abx2时,
二次函数cbxaxy2有最小（大）值abac442 .
(2)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围.
(3)在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值.
2.已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的解析式.
解：设所求二次函数解析式为)0(9)8(2axay
∵ 函数图象经过点（0，1）
∴19)80(2a
解得：81a
∴所求的二次函数解析式是 9)8(812xy
即12812xxy
第2页 共5页 O x y
O x y
O x y
二次函数拱桥问题
1 二次函数的应用-拱桥问题
一、自学：
1、抛物线y=241x的顶点坐标是______,对称轴是______,开口向______；抛物线y=-3x2的顶点坐标是______，对称轴是______，开口向______．
2、图所示的抛物线的解析式可设为 ，若AB∥x轴，且AB=4，OC=1，则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；代入解析式可得出此抛物线的解析式为 。
3、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示。现测得水面宽AB=4m，涵洞顶点O到水面的距离为1m，于是你可推断点A的坐标是 ，点B的坐标为 ；根据图中的直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数解析式可设为
。
二、探索学习：
例题：有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．
(1)如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式：
(2)设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米。求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行．
练习．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽8m，水位上升3m， 就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．
三、当堂练习：
1、河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为y=2251x，当水位线在AB位置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h是（ ）
A、5米 B、6米； C、8米； D、9米 2 2、一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m后,水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m).
3、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4
二次函数的实际应用(拱桥问题)教师.docx
二次函数中抛物线形与拱桥问题
1有一座抛物线形拱桥，•正常水位时，桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m.
(1) 在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式;
(2) 在正常水位的基础上，当水位上升h (m)时，桥下水面的宽度为d (m),求出将d 表示为h的函数表达式；
(3) 设正常水位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于 18m,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.
解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2,
且过点(10, -4)
(3)当 d=18 时，吩10丿4 — , "0.76
0.76 + 2 = 2.76
•••当水深超过2.76m时会影响过往船只在桥下顺利航行。
2、如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m,如果水 位上升2m,就将达到警戒线CD,这时水而的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶？
解：以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的 顶点E在y轴上，且B、D两点的坐标分别为(5, 0)、(4, 2) 设抛物线为y=ax2+k. (2)设水位上升hm时, /?-4
水面与抛物线交于点(2 )
h-4 = -—X —
则 25 4 ・ 6/=
1074^7/
由B、D两点在抛物线上，有 1& + 上=2
25a +上=0 1 y = -----
故 25
2 , 50 0 乙 2 50 a 7 = ~ — X
解这个方程组，得 9 9所以， 9 9
50 50 50 500
顶点的坐标为(0, 9) 则 OE= 9 9 -o.i= 9 (h)
500
所以，若洪水到来，水位以每小时O.lm速度上升，经过9
-I?
3、如图4,有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y= 25 表示..在正常水位时水面AB的 宽为20m,如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m.
二次函数拱桥问题技巧
二次函数拱桥问题技巧
拱桥是一种古老而又美丽的建筑结构，广泛应用于城市的交通建设中。在设计和建造拱桥的过程中，我们必须考虑多个因素，包括拱桥的高度、跨度、荷载以及拱线形状等。在解决这些问题时，二次函数成为了一种能够帮助我们分析和建模的重要工具。
首先，我们需要明确二次函数的定义。二次函数是一个以$x$的平方项为最高项的多项式函数。其一般形式可以表示为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$和$c$是常系数。二次函数图像呈现出一条平滑的曲线，其形状可以是开口向上或开口向下的拱形。
在拱桥问题中，我们常常需要根据已知条件建立二次函数模型，以分析和解决实际问题。例如，假设我们想要设计一座拱桥，使得桥面的高度达到最大值，同时考虑到桥面的跨度应满足一定的要求。这时，我们可以利用二次函数来描述桥面的高度，并通过优化方法来求解。
为了建立二次函数模型，我们需要首先确定函数的自变量和因变量。在拱桥问题中，通常$x$轴表示桥面的宽度或跨度，$y$轴表示桥面的高度。然后，我们需要考虑到已知条件。例如，已知拱桥的两个支点之间的距离为$d$，那么我们可以设$x$的取值范围为$[0, d]$。另外，对于一个平滑的拱形，我们可以假设二次函数在两个支点处的斜率为零。这一条件可以转化为函数的导数为零的条件。通过求解这些已知条件，我们可以确定二次函数的参数$a$、$b$和$c$的值。
在确定二次函数模型之后，我们可以利用这个模型来解决具体问题。例如，我们可以利用二次函数模型来求解桥面的最大高度。首先，求出二次函数的导函数$f'(x)$，然后令其等于零，解得极值点$x_0$。接下来，我们计算$f(x_0)$，这就是桥面的最大高度。
除了求解最大高度，我们还可以利用二次函数模型来计算拱桥的其他性质。例如，可以通过求解二次函数的零点来计算拱桥的支点位置。在这个过程中，我们将二次函数设为零，并解得$x$的值。这些值就是拱桥的支点的位置。
二次函数---(拱桥问题)
1 22.3（4.1）---（拱桥问题）
一．【知识要点】
1.现实生活中的抛物线：喷射的水流、投出的篮球运动轨迹、两端固定自然下垂的绳子、一些拱桥、涵洞等，都给人留下抛物线的印象。如果把它们放到平面直角坐标系中，结合实际数据即可求解得出抛物线的解析式，再通过二次函数的性质来解决测量问题、最值问题等.
二．【经典例题】
1. 右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加__________m。
2.（6分）如右图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度为60米，拱高为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，•是否采取紧急措施？
三．【题库】
【A】
1.如图，是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，建立适当坐标系．则两盏景观灯之间的水平距离_________. 2
【B】
1.如图,某大桥有一段抛物线形的拱梁,抛物线的解析式为y=ax2+bx,小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10 s时和26 s时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需_____________ s.
【C】
1．一位运动员投掷铅球的成绩是14m，当铅球运行的水平距离是6m时达到最大高度4m，若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是 m．
【D】
1.小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m，y2m，y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．
（1）小丽出发时，小明离A地的距离为 m．
二次函数与拱桥的问题的经典问题解析(同步学习)
二次函数与拱桥的问题的经典问题解析（同步学习）
1同步学习54页例1：如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y＝−4412x表示．如图
（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？
（1）把y=4-2=2代入y＝4412x
得：2=-4412x
解得x=±22
∴此时可通过物体的宽度为22-（-22）=42＞2，
∴能通过；
（2）∵一辆货运卡车高4m，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长是8m，宽是2m，
∴货车上面有2m，在矩形上面，当y=2时，
2=4412x
解得x=±22， ∵22＞2，
∴能通过．，
2. 同步学习54页例:2： 有一座抛物线型拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距水面4m．
（1）如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的关系式． （2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为h的函数关系式．
（3）设正常水位时，桥下的水深为2m，为保证过往船只的顺利通过，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？
分析：（1）设出二次函数顶点式解析式，代入一个点的坐标即可解答；
（2）把点（d/2,
-4+h）代入（1）中的函数解析式就可以解决；
（3）把点（9，0）代入（1）中的函数解析式就可以解决．
解答：解：（1）设二次函数解析式为y=ax2，
代入点（10，-4）得-4=100a，
解得a=251
因此二次函数解析式为y=-2251x
（2）把点（hd4,2
代入函数解析式y=2251x
得h=4-21001d （3）当桥下水面的宽度等于18m时，抛物线上第四象限点的横坐标为9，
把x=9代入函数解析式y=2251x中，
∴y=-29251=-2581（米），
二次函数实际应用-重难点讲解
答案第1页，共15页 二次函数实际应用-重难点讲解
考点1：拱桥问题
利用二次函数的图象和性质解决实际问题，首先要分析问题中的自变量和因变量，以及它们之间的关系，建立一个反映题意的二次函数的表达式；其次结合二次函数的图象或性质进行求解，需特别注意自变量的取值范围要使实际问题有意义.
拱形问题最重要的是建立适当的坐标系，把已知线段长度转化为点坐标，根据图形与二次函数联系起来解决问题。
考点2：最大利润问题
二次函数的一般式cbxaxy2(0a)化成顶点式abacabxay44)2(22，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．
即当0a时，函数有最小值，并且当abx2，abacy442最小值；
当0a时，函数有最大值，并且当abx2，abacy442最大值．
如果自变量的取值范围是21xxx，如果顶点在自变量的取值范围21xxx内，则当abx2，abacy442最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y随x的增大而增大，则当2xx时，cbxaxy222最大，当1xx时，cbxaxy121最小；
如果在此范围内y随x的增大而减小，则当1xx时，cbxaxy121最大，当2xx时，cbxaxy222最小．
商品定价一类利润计算公式：
经常出现的数据：商品进价；商品售价；商品销售量；涨价或降价；销售量变化；其他成本。
总利润=总售价-总进价-其他成本=单位商品利润×总销售量－其他成本
单位商品利润=商品定价－商品进价
总售价=商品定价×总销售量；总进价=商品进价×总销售量
考点3：面积最值问题
实际问题中图形面积的最值问题分析思路为：
（1）分析图形的成因（2）识别图形的形状（3）找出图形面积的计算方法
（4）把计算中要用到的所有线段用未知数表示
二次函数现实生活题目
二次函数现实生活题目
以下是一些与二次函数相关的现实生活问题：
1. 抛物线型拱桥问题：当一个抛物线形状的拱桥满载时，如何计算通过它的车辆的最大数量？这涉及到二次函数在特定条件下的最大值或最小值的计算。
2. 篮球运动轨迹分析：篮球运动员投篮时，篮球的运动轨迹可以近似为二次函数。通过分析这个二次函数，可以预测篮球的落点，从而帮助运动员提高投篮的准确率。
3. 房屋贷款和利息：房屋贷款通常涉及到一个二次函数，用于计算每个月需要还款的金额。这是一个典型的利用二次函数解决实际问题的情况。
4. 药物剂量和疗效：在医学中，药物的剂量和疗效之间的关系可以用二次函数来描述。通过调整剂量，可以找到最佳的治疗效果。
5. 火箭发射和重力：火箭发射时，重力是影响火箭高度的关键因素之一。火箭的高度和时间的关系可以用二次函数来描述。
6. 音乐和声学：音乐中的和声学涉及到频率和音量的关系，这也可以用二次函数来描述。例如，一个乐器的音高可以通过调整其振动频率来改变，而频率和振幅之间的关系可以用二次函数来描述。
7. 经济学和供需关系：在经济学中，供需关系可以用二次函数来描述。例如，供应量和价格之间的关系可能是一个二次函数，通过分析这个函数，可以预测市场的价格变动。
希望这些问题能够给你一些启示，也鼓励你发现和提出更多与二次函数相关的现实生活问题。