实际问题与二次函数(拱桥问题)
实际问题与二次函数----拱桥问题学案（11） 姓名
：
1. 在一场足球赛中，一球员从球门正前方10 m处将球踢向球门，当球飞行的水平距离是6 m
时，球达到了最高点，此时球高3 m ，如图，已知球门高2.44m，问能否射中球门？
3、（变式）图中是抛物线拱桥，当水面在L时，拱顶离水面2 m，水面宽6m，水面上升1 m，
水面宽度缩小多少？
4、如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8 m、宽为2m，
以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线
2、图中是抛物线拱桥，当水面在L时，拱顶离水面2 m，水面宽4m，水面下降1 m，水面
宽度增加多少？
O
X Y 6
3
10
的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m
（1）求抛物线的解析式
（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m、宽2.4 m，这辆货运卡车能否
通过隧道？通过计算说明你的结论。
5、某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装
一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高0.8m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径
落下，如图（1）所示．根据设计图纸已知：如图（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高
度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是 ．
（1）喷出的水流距水面的最大高度是多少？
（2）如果不计其他因素，那么水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？
O
B C
A
D
Y
E
X
专题五： 利用二次函数来处理抛物线型拱桥问题(有答案)
专题五：利用二次函数来处理抛物线型拱桥问题（有答案）➢知识指引拱桥是我们生活中常见的一种建筑物，可以把它近似的看作抛物线，，通过建立适当的平面直角坐标系，求出其解析式，然后利用其有关性质可以解决相关的问题，下面我们来学习一下抛物线型拱桥问题：➢知识要点：解决抛物线型问题的一般步骤：（1）建立合适的平面直角坐标系；（2）把问题中的已知数据与坐标进行联系；(3)用待定系数法求出抛物线对应的解析式；（4）利用二次函数的图象及性质分析并解决问题.➢知识小结：（1）在建构二次函数模型，把实际问题转化为二次函数时，能够将实际距离准确的转化为点的坐标，并选择运算简便的方法进行计算（2）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.➢典型例题：类型一：与拱桥有关的水位升降问题【例1】图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系：（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？【解析】（1）由题意设抛物线解析式为：y=ax2＋b（a≠0）∵当拱顶离水面2m时，水面宽4m∴点C（0，2），点B（2，0）代入，得{b=2，4a＋b=0，解得{a＝−12，b＝2，∴拱桥所在抛物线的解析式为y=－12x2＋2（2）当水位下降1m时，水位纵坐标为－1，由y=－12x2＋2，令y=－1，则－1=－12x2＋2.解得x=±√6.∴水面宽度为√6−(−√6)＝2√6【变式】如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽为10m．（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？【解析】（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：设抛物线解析式为y=ax2，点D的坐标为D（5，m），则B（10，m－3），由抛物线经过点D和点B，可得{25a＝m，100a＝m−3，解得{a＝−125，m＝−1，∴抛物线的解析式为y=－125x2；（2）由（1）可得CD距拱顶的距离为1m，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，到达拱顶的时间为10.2=5（小时）．∴从警戒线开始，再持续5小时就能到达拱桥的拱顶．类型二：与拱桥有关的方案设计选择问题【例2】某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m 加设不锈钢管（如图）做成立柱．为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据．（1）求该抛物线的解析式（2）计算所需不锈钢管的总长度．【解析】（1）建立如图所示平面直角坐标系，由题意得B（0，0.5）、C（1，0）设抛物线的解析式为：y=ax2＋c，代入得{c=0.5，a+c=0，解得{a=－0.5，c=0.5，故解析式为y=－0.5x2＋0.5；（2）如图：∵当x=0.2时，y=0.48，当x=0.6时，y=0.32，∴B1C1＋B2C2＋B3C3＋B4C4=2×（0.48＋0.32）=1.6米∴所需不锈钢管的总长度为：1.6×50=80米．【变式】如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，在长度为8m的两支柱OC和AB之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离为5m.（1）建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数解析式；（2）求支柱EF的长度.（3）拱桥下面拟铺设行车道，要保证高3m 的汽车能够通过（车顶与拱桥的距离不小于0.3m ），行车道最宽可以铺设多少米？【解析】（1）根据题意，设拱桥抛物线的函数解析式为：y=a x 2+bx ， ∵相邻两支柱间的距离均为5m ，∴OA=4×5m=20m， ∴（20，0），（10，6）两点都在抛物线上，∴400200,10010 6.a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得3,506.5a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴236505y x x =-+． （2）设点F 的坐标为（15，y ），∴236915155052y =-⨯+⨯=．∴EF=8m －92m=72m=3.5m ． （3）当y=3＋0.3=3.3（m ）时，有2363.3505x x -+=， 化简，得220550x x -+=，解得x 1=10+3√5, x 2=10-3√5， ∴x 1− x 2=6√5≈13.4．答：行车道最宽可以铺设13.4米．➢ 跟踪训练：1．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为y=－－14x 2，当涵洞水面宽AB 为16m 时，涵洞顶点O 至水面的距离为（ ）A ．－6mB ．12mC ．16mD ．24m【解析】依题意，设A 点坐标为（－8，y ）， 代入抛物线方程得：y=－14×64=－16，即水面到桥拱顶点O 的距离为16米．故选：C ．2.如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC 构成，长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=－16x 2＋bx ＋c 表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ．那么两排灯的水平距离最小是（ ）A ．2mB ．4mC ．4√2 mD ．4√3m【解析】根据题意，得OA=12，OC=4．所以抛物线的顶点横坐标为6，即－b 2a =b13=6．∴b=2．∵C （0，4），∴c=4．∴抛物线解析式为y=－16x 2＋2x ＋4=－16（x －6）2＋10． 当y=8时，8=－16（x －6）2＋10．解得x 1=6＋2√3，x 2=6－2√3． 则x 1－x 2=4√3．所以两排灯的水平距离最小是4√3． 故选：D ．3.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ．水面上升1.5m ，水面宽度为 m ．【解析】建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax 2，由已知可得，点（2，－2）在此抛物线上，则－2=a×22，解得a=－12，∴y=－12x 2，当y=－0.5时，－12x 2=－0.5，解得x=±1，此时水面的宽度为2m ， 故填：2．4.某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB 为4m ，顶部C 距离地面的高度为4.4m ，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m ，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？【解析】以C 为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，根据题意知，A（－2，－4.4），B（2，－4.4），设这个函数解析式为y=kx2．将A的坐标代入，得y=－1.1x2，∵货车装货的宽度为2.4m，∴E、F两点的横坐标就应该是－1.2和1.2，∴当x=1.2时y=－1.584，∴GH=CH－CG=4.4－1.584=2.816（m），因此这辆汽车装货后的最大高度为2.816m，∵2.8＜2.816，所以该货车能够通过此大门．5.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20m，拱顶距水面4m．（1）在如图的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；（2）为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上，最多涨多少米，不会影响过往船只？【解析】（1）设所求抛物线的解析式为：y=a（x－h）2＋k，∵由AB=20，AB到拱桥顶C的距离为4m，则C（10，4），A（0，0），B（20，0）把A，B，C的坐标分别代入得a=－0.04，h=10，k=4抛物线的解析式为y=－0.04（x－10）2＋4；（2）由题意得可设E （1，y ），把E 点坐标代入抛物线的解析式为y=－0.04（x －10）2＋4， 解得：y=－0.76， ∴DF=0.76m ．6.某河上有抛物线形拱桥，当水面离拱顶5m 时，水面宽8m ．一木船宽4m ，高2m ，载货后，木船露出水面的部分为34m ．以拱顶O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，A 、B 为抛物线与水面的交点． （1）B 点的坐标为 ； （2）求抛物线解析式；（3）当水面离拱顶1.8米时，木船能否通过拱桥？【解析】（1）当水面距拱顶5m 时，水面宽8m ，则点B （4，－5），故答案为（4，－5）；（2）设抛物线的解析式为y=ax 2，将点B 的坐标代入上式得－5=a×42，解得a=－516，∴该抛物线的解析式为y=－516x 2；（3）将x=2代入上式，得y=－516x 2=－54，∵54＋34=2，而1.8＜2， 当水面离拱顶1.8米时，木船不能通过拱桥．7.如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB 与桥长CD 均为24m ，在距离D 点6米的E 处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱顶部O 离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m 的支柱CG ，OH ，DI ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m ． ①求出其中一条钢缆抛物线的函数解析式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．【解析】（1）根据题意可知点F 的坐标为（6，－1.5），可设拱桥侧面所在二次函数解析式为：y 1═a 1x 2．将F （6，－1.5）代入y 1═a 1x 2有：－1.5═36a 1，求得a 1═−124， ∴y 1═−124x 2，当x═12时，y 1═−124×122═－6，∴桥拱顶部离水面高度为6m ．（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其解析式为y 2═a 2（x －6）2＋1，将H （0，4）代入其解析式有：4═a 2（0－6）2＋1，求得a 2═112，∴右边钢缆所在抛物线解析式为：y 2═112（x －6）2＋1，左边钢缆所在抛物线解析式为：y 3═112（x ＋6）2＋1②设彩带的长度为Lm ，则L═y 2－y 1═112（x －6）2＋1－（−124x 2）═18x 2−x ＋4═18(x −4)2＋2，∴当x═4时，L 最小值═2， 答：彩带长度的最小值是2m ．。
二次函数与实际问题(拱桥)
二次函数的运用拱桥问题学习过程:一、预备练习：1、如图所示的抛物线的解析式可设为 ，若AB ∥x 轴，且AB=4，OC=1，则点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；代入解析式可得出此抛物线的解析式为 。
2、 某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示。
现测得水面宽AB=4m ，涵洞顶点O 到水面的距离为1m ，于是你可推断点A 的坐标是 ，点B 的坐标为 ；根据图中的直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数解析式可设为 。
二、新课导学：例1、有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽20m ，河面距拱顶4m ，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m ，求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。
例2、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？三、练习：1、河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为y=2251x ，当水位线在AB 位置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h 是（ ）A 、5米B 、6米；C 、8米；D 、9米2、、一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m 后,水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m).3、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？4、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m ，顶部C 离地面高度为4．4m ．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m ，装货宽度为2．4m ．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．5、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m ，宽是2m ，抛物线可以用y=-41x 2+4表示. （1）一辆货运卡车高4m ，宽2m ，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？6．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，OA=1.25m ，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2．25m ．（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m ，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m ）7.一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知球在A处出手时离地面20/9 m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高度4m（B处）,设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中? （选做)②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?8.某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 10又3分之3m，入水处距池边的距离为4m，同时运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3又5分之3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.例1、例2：例3：第3题：第8题、。
实际问题与二次函数第三课时教案
26.3实际问题与二次函数教案教学设计思路本节安排了一个探究性问题，以和拱桥桥洞的有关问题为背景，运用二次函数分析和解决实际问题。
教科书从实际问题出发，引导学生分析问题中的数量关系，建立相应的数学模型即列出函数关系式，进而利用二次函数的性质和图象研究问题的解法。
通过这一节的学习可以使学生对解决实际问题的数学模型的认识再提高一步，从而提高运用数学分析问题和解决问题的能力。
一、教学目标：1．知识与技能能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题。
2．过程与方法经历探索“抛物线形拱桥水面宽度问题”的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验。
3．情感态度与价值观体会二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。
二、教学重点难点：1．重点通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一种重要模型。
2．难点利用二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。
三、教学过程：(一)创设情境导入新课小明家门前有一座抛物线形拱桥（如图所示）．当水面在L时，拱顶离水面2 m，水面宽4m。
水面下降1 m时，水面宽度增加多少?(二)探究：①想一想：二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．从而求出水面下降1 m时，水面宽度增加多少。
怎么建立坐标系呢？②建立模型：建立坐标系后需要求出抛物线解析式，可设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2(a≠0)由题意知抛物线经过点A(2，-2)，可得-2=a·2,a=-1/2。
即抛物线的表达式.③解决问题：当水面下降1 m时，水面的纵坐标为y=-3，代人y=-x2，计算可得此时水面宽度，两者相减既得问题答案。
教师关注：（１）学生能否用函数的观点来认识问题；（2）学生能否建立函数模型；（3）学生能否找到两个变量之间的关系；（4）学生能否从拱桥问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值．解法探讨：以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.归纳总结：(1)用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系。
22.3 第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线
2.25a+k=3.05， k=3.5，
解得
a=－0.2， k=3.5.
所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
y
当 x=－2.5时，y=2.25 .
故该运动员出手时的高度为2.25m.
O
x
长冲中学数学组-“四学一测”活力课堂
当堂练习
长冲中学活力课堂
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式
∴y=-0.04x2.
长冲中学数学组-“四学一测”活力课堂
长冲中学活力课堂
5.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳 后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．一名运动 员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离 为15m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度 为45m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60m， 求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）． 解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
-2 -1
12
这条抛物线表示的二次函数
-2
B
为y= 1 x2.
-4
2
当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3.
令
1 2
x2
3,
解得
x1
6, x2
6.
即，水面下降1m时，水面宽度增加 2 6 4 m.
长冲中学数学组-“四学一测”活力课堂
y （2，2） 我们来比较一下
长冲中学活力课堂
y
（0，0）
y
-450 O
长冲中学数学组-“四学一测”活力课堂
450 x
长冲中学活力课堂
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建
立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函
景县十中九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第3课时拱桥问题和运动中的抛物线教
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？二、合作探究探究点一：建立二次函数模型 【类型一】运动轨迹问题某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A (0，209)，B (4，4)，C (7，3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－19(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C 在抛物线上，所以此球一定能投中．(2)将x ＝1代入解析式，得y ，所以盖帽能获得成功．【类型二】拱桥、涵洞问题如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22，a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD －DC －CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M (12，0)和抛物线顶点P (6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB 二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M (12，0)，最大高度为6米，点P 的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P 的横坐标为6，即P (6，6)．(2)设此函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6.因为函数y ＝a (x －6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a (0－6)2＋6，即a ＝－112.所以此函数关系式为y ＝－112(x －6)2＋6＝－112x 2＋x ＋3.(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－112m2＋m＋3)，D(m，－112m2＋m＋3)．即“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－112m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－112m2＋m＋3)＝－16m2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.[圆]说课稿一、教材分析1．教材的地位和作用圆是在学习了直线图形的有关性质的根底上来研究的一种特殊的曲线图形.它是常见的几何图形之一，在初中数学中占有重要地位,中考中分值占有一定比例，与其它知识的综合性较强.本节课的内容是对已学过的旋转及轴对称等知识的稳固,也为本章即将要探究的圆的性质、圆与其它图形的位置关系、数量关系等知识打下坚实的根底。
二次函数的实际应用(拱桥问题)教师
二次函数的实际应用(拱桥问题)教师work Information Technology Company.2020YEAR二次函数中抛物线形与拱桥问题1 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为h 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，且过点（10，－4）∴故 （2）设水位上升h m 时，水面与抛物线交于点（）则∴ （3）当d ＝18时，∴当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。
2、如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m ，如果水位上升2m ，就将达到警戒线CD ，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过多少小时会达到拱顶解： 以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点E 在y 轴上,且B 、D 两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）-==-4101252a a ×，y x =-1252d h 24，-h d -=-412542×d h =-10418104076=-=h h ，.0762276..+=设抛物线为y=ax2+k.由B、D两点在抛物线上，有解这个方程组，得所以，顶点的坐标为（0，）则OE=÷0.1=（h）所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过小时会达到拱顶.3、如图4，有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．(1)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米?解：(1)由对称性，当x=4时，y=．当x=10时，y=．故正常水位时，AB距桥面4米，由，故小船能通过．(2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4小时．货车按原来的速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280．∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x千米/时，当4x+40×1=280时，x=60．∴要使货车安全通过此桥，货车的速度超过60千米/时。
二次函数的实际应用(拱桥问题)教师.docx
二次函数中抛物线形与拱桥问题1有一座抛物线形拱桥，•正常水位时，桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m.(1) 在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式;(2) 在正常水位的基础上，当水位上升h (m)时，桥下水面的宽度为d (m),求出将d 表示为h 的函数表达式；(3) 设正常水位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于 18m,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2,且过点(10, -4)(3)当 d=18 时，吩10丿4 — , "0.760.76 + 2 = 2.76•••当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。
2、如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m,如果水 位上升2m,就将达到警戒线CD,这时水而的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶？解：以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的 顶点E 在y 轴上，且B 、D 两点的坐标分别为(5, 0)、(4, 2) 设抛物线为y=ax2+k.(2)设水位上升hm 时, /?-4水面与抛物线交于点(2 )h-4 = -—X —则25 4 ・ 6/=1074^7/由B 、D 两点在抛物线上，有 1& + 上=225a +上=01y = -----故 252 ,500 乙250a7 =~ — X解这个方程组，得99所以，99505050500顶点的坐标为(0,9)则OE= 99-o.i= 9 (h)500所以，若洪水到来，水位以每小时O.lm速度上升，经过9-I?3、如图4,有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y= 25表示..在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m.(1)在正常水位时，有一艘宽8m＞高2.5m的小船，它能通过这座桥吗？(2)现有-辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0. 25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点0时，禁止车辆通行).试问•:如果货车按原來的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，请说明理由.若不能，耍使货车安全通过此桥，速度应超•过每小时多少千米？x42--LxlO2 « -4解：⑴由对称性，当x=4时，y= 25 25当x=10时，y= 25 .故正常水位时,⑵水位由CD处涨到点O的时间为1-0.25=4小时.货车按原来的速度行驶的路程为401 +40x4=20(X280.・•・货车按原來的速度行驶/V能安全通过此桥.设货车速度提高到x千米/时，当4x4-40x1=280时，x=60.・•・要使货车安全通过此桥，货车的速度超过60千米/时。
人教版九年级上册 数学 课件 22.3实际问题与二次函数(共20张PPT)
合作探究 达成目标
当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即:抛物线过点(2,0)
∴这条抛物线所表示的二次函数为: 当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了
合作探究 达成目标
解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x 轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面 直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
思考：飞机从着陆的一瞬间开始计时，到滑行到最远 距离停下来所用的时间即为所求，也就是使S取得什 么值时的t的值？
解： s=60t-1.5t2
=-1.5(t-20)2+600
∴当t=20时，s最大，此时飞机才能停下来。
合作探究 达成目标
探究点二 用二次函数解决生活中的实际问题
实际问题
抽象 转化
运用 数学问题 数学知识 问题的解决
∵抛物线过点(0,0)
∴这条抛物线所表示的二次函数为:
合作探究 达成目标
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
∴这时水面的宽度为: ∴当水面下降1m时,水面宽度增加了
合作探究 达成目标
“二次函数应用”的思路 回顾上一节“最大利润”和本节“桥梁建筑”解决问题的 过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴 交流. 1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.做数学求解; 5.检验结果的合理性
总结梳理 内化目标
达标检测 反思目标
D B
y=-2x2
达标检测 反思目标
102
感谢关注！
创设情境 明确目标
(人教版)九年级数学上册习题课件：22.3 实际问题与二
顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y＝－
3 5
x2＋3x＋1的
一部分．
(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距
离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
解：(1)配方得y＝－
35(x－
5 2
)2＋
149，当x＝
5 2
时，y有最大值
22．3 实际问题与二次函数
第3课时 拱桥问题与运动中的抛物线
建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤： (1)根据题意建立适当的___平__面__直__角__坐__标__系________； (2)把已知条件转化为___点__的__坐__标________； (3)合理设出函数___解__析__式___________； (4)利用____待__定__系__数_______法求出函数解析式； (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算．
面2 m，水面宽为4 m，水面下降1 m后，水面宽为( D )
A．5 m
B．6 m
C. 6 m
D．2 6 m
11．某一型号飞机着陆后滑行的距离y(m)与滑行时间x(s)之间的函数
关系式是y＝60x－1.5x2，该型号飞机着陆后滑行__6_0_0___m才能停下
来．
第9题图
第10题图
12．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯
＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( A )
A．4米
B．3米
C．2米
D．1米
8．军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行
的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足y＝－
人教版九年级上册数学实际问题与二次函数——拱桥问题专题训练(含答案)
人教版九年级上册数学22.3实际问题与二次函数——拱桥问题同步训练一、单选题1．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB 位置时，水面宽度为20m ，此时水面到桥拱的距离是16m ，则抛物线的函数关系式为（ ）A ．2254y x =B ．2254y x =C ．2425y x =-D ．2425y x = 2．如图，某拱形门建筑的形状时抛物线，拱形门地面上两点的跨度为192米，高度也为192米，若取拱形门地面上两点的连线作x 轴，可用函数2y ax bx c =++表示，则a 的值为（ ）A ．1192B ．148C ．1192D ．148- 3．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB 宽为20米，拱桥的最高点O 到水面AB 的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD ，那么CD 宽为（ ）A ．B ．10米C ．米D ．12米 4．如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是（ ）A ．12米B ．13米C ．14米D ．15米5．如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，当水面宽增加()4m 时，则水面应下降的高度是（ ）A ．2mB ．1mCD ．)2m 6．如图为一座抛物线型的拱桥，AB 、CD 分别表示两个不同位置的水面宽度，O 为拱桥顶部，水面AB 宽为10米，AB 距桥顶O 的高度为12.5米，水面上升2.5米到达警戒水位CD 位置时，水面宽为（ ）米．A ．5B ．C ．D ．87．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度20AB =米，顶点M 距水面6米（即6MO =米），小孔顶点N 距水面4.5米（即 4.5NC =米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，则此时大孔的水面宽度EF 长为（ ）A ．B ．C ．12米D ．10米 8．如图，隧道的截面是抛物线，可以用y= 21416x -+表示，该隧道内设双行道，限高为3m ，那么每条行道宽是（ ）A ．不大于4mB ．恰好4mC ．不小于4mD ．大于4m ，小于8m二、填空题9．如图，某拱桥桥洞的形状是抛物线，若取水平方向为x 轴，拱桥的拱点O 为原点建立直角坐标系，它可以近似地用函数218y x =-表示（单位：m ）．已知目前桥下水面宽4m ，若水位下降1.5m ，则水面宽为______m ．10．如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB 间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF 的长为0.28米，则拱高OC 为_____米11．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，当水面宽度为面下降了____．12．一个涵洞成抛物线形，它的截面如图，当水面宽AB ＝1.6米时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m ．涵洞所在抛物线的解析式是_____________．13．某抛物线型拱桥的示意图如图，桥长AB＝48 米，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12 米，在该抛物线上的点E、F处要安装两盏警示灯（点E、F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9米，则这两盏灯的水平距离EF是___米．14．如图，一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等．小强骑自行车从桥的一端0沿直线匀速穿过桥面到达另一端A，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA共需_____________秒．15．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，拱桥最高点C到AB的距离为8m，24mAB ，D，E为拱桥底部的两点，且//DE AB，若DE的长为36m，则点E到直线AB的距离为______．16．如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣13x2，桥下的水面宽AB为6m，当水位上涨2m时，水面宽CD为_____m（结果保留根号）．三、解答题17．某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝﹣110x2+c且过顶点C（0，5）.（长度单位：m）(1)直接写出c＝；(2)求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？(3)该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由.18．如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为4m，宽BC为3m，以DC所在的直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为4米．(1)求出抛物线的解析式．(2)在距离地面134米高处，隧道的宽度是多少？(3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．19．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OC为8m，宽OA为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系：(1)求抛物线的解析式；(2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？(3)如果隧道内设双行道，两辆同样的上述货车相对而行，是否可以同时在隧道内顺利通过，为什么？20．如图所示．三孔桥横截面的三个孔是都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB为10m，顶点M距水面6m（即6mMO=），小孔顶点N 距水面4m（即4mNC=），建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求出大孔抛物线的解析式；(2)现有一艘船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，则这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？(3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出此时大孔的水面宽度EF．答案第1页，共1页 参考答案：1．C2．D3．B4．D5．B6．C7．D8．A9．810．0.6411．4m12．2154y x =-13．2414．4615．10m16．17．(1)5；(3)能安全通过18．(1)2114y x =-+(2)(3)能通过19．(1)抛物线为：y ＝﹣21(4)4x -+6； (2)货车可以通过(3)货车可以通过 20．(1)26625y x =-+ (2)这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔。