二次函数应用(拱桥问题)
二次函数的应用--拱桥问题
1．复习利用二次函数解决实际问题的方法
问题1 解决上节课所讲的实际问题时，你用到了什么知识？ 所用知识在解决生活中问题时，还应注意哪些问题？
1．复习利用二次函数解决实际问题的方法
归纳： 1．由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当
3．应用新知， 巩固提高
问题5 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m． （1）如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表 示的函数的解析式； （2）设正常水位时桥下的水深为 2 m，为保证过往 船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18 m．求水深超过多少 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行．
二次函数的应用--拱桥问题
课件说明
• 二次函数是单变量最优化问题的数学模型，如生活中 涉及的求最大利润，最大面积等．这体现了数学的实 用性，是理论与实践结合的集中体现．本节课主要研 究建立坐标系解决实际问题．
课件说明
• 学习目标： 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系， 正确建立坐标系，并运用二次函数的图象、性质解决 实际问题．
2．探究“拱桥”问题
（1）求宽度增加多少需要什么数据？ （2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？ （3）如何求这组数据？需要先求什么？ （4）图中还知道什么？ （5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？
2．探究“拱桥”问题 问题3 如何建立直角坐标系？
l
2．探究“拱桥”问题
问题4 解决本题的关键是什么？
时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值
x b 2a
用二次函数解决抛物线型拱桥问题的教学思考
用二次函数解决抛物线型拱桥问题的教学思考
一、二次函数解决抛物线型拱桥问题
1. 抛物线型拱桥问题具有特殊的形式：抛物线型拱桥系统通常会出现
三维变形，其形态类似抛物线；
2. 二次函数可以用来解决抛物线型拱桥问题，因为它能够描述抛物线
型轮廓和大量的非线性关系；
3. 二次函数可以用来描述抛物线型拱桥的三维变形，可以进行模态变换，也可以完善抛物线型拱桥的结构模型，以便以最佳方式进行设计；
4. 通过使用二次函数，可以快速有效地解决复杂的抛物线型拱桥问题，用以描述拱桥的三维弧形特性，提高拱桥的稳定性；
5. 二次函数还可以与大量的有限元元素节点连接，以便更准确的表达
抛物线型构件的变形过程，便于拱桥本身的研究；
6. 二次函数还可以用来解决拱桥的非连续性，以提高拱桥的稳定性，
并达到最佳的结构性能。
二、二次函数解决抛物线型拱桥问题的步骤
1.首先对拱桥进行可靠的分析，实现拱桥几何图形模型的建立；
2. 建立起相关的参数模型，进行完整的原形映射，并分析拱桥的三维
变形特征；
3. 选择适当的二次函数来拟合抛物线型的拱桥特征，并结合参数模型，使拱桥获得最佳的状态；
4. 将拟合后的二次函数与有限元元素节点进行连接，实现对拱桥变形
过程的分析，以达到拱桥稳定性的最优解；
5. 最后，根据逐次考虑的设计要求，进行系统优化设计，直至抛物线型拱桥有力地满足设计要求，实现最优的结构实现。
三、总结
通过使用二次函数，可以对抛物线型拱桥采取有效的解决方案，在高效的设计过程中，更快更好的满足拱桥的设计要求，以保证拱桥的安全和有效解决拱桥的后续问题。
二次函数与实际问题(拱桥)
二次函数的运用拱桥问题学习过程:一、预备练习：1、如图所示的抛物线的解析式可设为 ，若AB ∥x 轴，且AB=4，OC=1，则点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；代入解析式可得出此抛物线的解析式为 。
2、 某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示。
现测得水面宽AB=4m ，涵洞顶点O 到水面的距离为1m ，于是你可推断点A 的坐标是 ，点B 的坐标为 ；根据图中的直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数解析式可设为 。
二、新课导学：例1、有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽20m ，河面距拱顶4m ，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m ，求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。
例2、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？三、练习：1、河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为y=2251x ，当水位线在AB 位置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h 是（ ）A 、5米B 、6米；C 、8米；D 、9米2、、一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m 后,水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m).3、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？4、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m ，顶部C 离地面高度为4．4m ．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m ，装货宽度为2．4m ．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．5、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m ，宽是2m ，抛物线可以用y=-41x 2+4表示. （1）一辆货运卡车高4m ，宽2m ，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？6．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，OA=1.25m ，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2．25m ．（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m ，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m ）7.一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知球在A处出手时离地面20/9 m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高度4m（B处）,设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中? （选做)②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?8.某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 10又3分之3m，入水处距池边的距离为4m，同时运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3又5分之3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.例1、例2：例3：第3题：第8题、。
二次函数---拱桥问题中能否通过问题
22.3（3.2）---拱桥问题中能否通过问题一．【知识要点】1.常用“定宽比高”法解决拱桥问题中能否通过问题。
二．【经典例题】1.一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度16m，为了安全起见，分别在桥的两侧安装如图1所示的不锈钢护栏（护栏包括支柱和衡量），相邻两支柱间的距离均为4m．（1）如图所示建立直角坐标系，求这条抛物线的函数表达式；（2）求安装护栏所需钢管的总长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道，其中的一条行车道能否并排行驶宽2.4m，高3m的两辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．2.有一座抛物线形拱桥,正常水位时,桥下水面宽20m,拱顶距离水面4m.(1)在如图1所示的坐标系中,求抛物线的解析式;(2)在正常水位基础上,当水位上升h（m）时,桥下水面的宽度为d（m）,试写出用d表示h 的函数解析式;(3)设正常水位时桥下的水深2m,且桥下水面的宽度不得小于18m才能保证过往船只顺利通行,当水深超过多少米时,会影响过往船只在桥下通行?3.某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，篮圈距地面3m，设篮球运行的轨迹为抛物线．（1）建立如图的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）此球能否准确投中？（3）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？4.如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM＝5米，圆柱形桶的直径CD为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如图，建立直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）如果竖直摆放7个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（3）当竖直摆放圆柱形桶至多多少个时，网球可以落入桶内？、5.如图，有一个横截面是抛物线的运河，一次，运河管理员将一根长6m的钢管（AB）一端在运河底部A点，另一端露出水面并靠在运河边缘的B点，发现钢管4m浸没在水中（AC ＝4米），露出水面部分的钢管BC与水面部分的钢管BC与水面成30°的夹角（钢管与抛物线的横截面在同一平面内）（1）以水面所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，求该运河横截面的抛物线解析式；（2）若有一艘货船从当中通过，已知货船底部最宽处为12米，吃水深（即船底与水面的距离）为1米，此时货船是否能安全通过该运河？若能，请说明理由；若不能，则需上游开闸放水提高水位，当水位上升多少米时，货船能顺利通过运河？（船与河床之间的缝隙忽略不计）6．（2021年绵阳期末第22题）如图①是一条抛物线形状的拱桥，水面宽AB为6米，拱顶C离水面的距离为4米．（1）建立恰当的坐标系，并求出抛物线的解析式；（2）一艘货船的截面如图②所示，它是由一个正方形MNEF和一个梯形KLGH组成的轴对称图形，货船的宽度KH为5米，货物高度MN为3米．若船弦离水面的安全距离为0.25米，请问货船能否安全通过桥洞？说明理由．三．【题库】【A】1.地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时速度为0；②小球在空中经过的路程是40m；③小球的高度h＝30m时，t＝1.5s；④小球抛出3秒后，速度越来越快．其中正确的是（）A．①④B．①② C．①②④D．②③【B】【C】1.如图，某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，大棚在地面上的宽为AB（单位：米），AB＝10，以AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴建立的平面直角坐标系，y轴与抛物线交于点C，抛物线解析式为y＝﹣x2+h．（1）求点C坐标；（2）若菜农身高为米，则在她直立的情况下，在大棚内的横向活动范围有几米？【D】1.如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据试验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4＝7）（3）运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取2＝5）。
二次函数与拱桥问题
建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤：(1) 根据题意建立适当的 ________________________ ； (2) 把已知条件转化为 __________________ ； (3) 合理设出函数 ___________________ ； (4) 利用 _________________ 法求出函数解析式；(5) 根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 知识点1 :二次函数在桥梁中的应用1. 有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20米，拱顶距离水面4米.在如图所示 的直角坐标系中，该抛物线的解析式为 ________________________ .2.有一座抛物线形的立交桥拱 ，这个桥拱的最大高度为 16 m ,跨度为40 m ,现把它的图形放在坐标系中(如图).若在离跨度中心 M 点5 m 处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶 ，则这根铁柱的长为 _____ m.3. 如图是一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于 A , B 两点，拱桥最高 点C 到AB 的距离为9 m , AB = 36 m , D , E 为拱桥底部的两点，且DE // AB ，点E 到直线 AB 的距离为7 m ,则DE 的长为 ___________ m .知识点2 :二次函数在隧道中的应用 4. 某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成,尺寸如图如示，以隧道横断面抛物线的顶点16为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，则该抛物线的解析式为 知识点3:二次函数在其他建筑问题中的应用5.如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑， 大门底部地面宽4米，顶部距地面的高度为 4.4 米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为 2.4米，该车要想通过此门， 装货 后的高度应小于( ) A. 2.80 米B . 2.816 米C . 2.82 米D. 2.826 米\比米L -4 棊_'6•如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB 的薄壳屋顶.它的拱宽AB 为4 m拱高CO 为0.8 m •建立如图的直角坐标系，则屋顶的轮廓线所在的抛物线的解析式为知识点4 :二次函数在运动中的应用7.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平 面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y = — x 2 + 4x(单位：米)的一部分，则水喷出 的最大高度是( )A . 4米B . 3米C . 2米D .1米----- 6m ----- ►A .第3秒B .第3.5秒C .第4.2秒D .第6.5秒&军事演习在平坦的草原上进行 ，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度 y(m)与飞行时间 x(s)的关系满足y = — 5X 2 + 10x.经过 ________ 秒炮弹到达它的最高点，最高点的高度是________ 米，经过 ________ 秒炮弹落到地上爆炸了.9•竖直向上发射的小球的高度 h(m)关于运动时间t(s)的函数解析式为h = at + bt ,其图象如图所示.若小球在发射后第 2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是y(m)与滑行时间x(s)之间的函数关系式是 m 才能停下来.12.如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y = — 3x 1 2+ 3x + 1的一部分.5 (1)求演员弹跳离地面的最大高度；⑵已知人梯高BC = 3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是4米，问这次表 演是否成功？请说明理由.13•如图，小河上有一座拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB 和矩形的三 边AE, ED, DB 组成.已知河底 ED 是水平的，ED = 16米，AE = 8米，抛物线的顶点 C 到ED 的距离是11米，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系. (1) 求抛物线的解析式；(2) 已知从某时刻开始的 40小时内，水面与河底 ED 的距离h(单位：米)随时间t(单位：时) 的变化满足函数关系 h =- ±(t — 19)2+ 8(0 w tw 40),且当水面到顶点 C 的距离不大于5米 时，需禁止船只通行，请过计算说明：在这一时段内 ，需多少小时禁止船只通行？1 当h = 2.6时，求y 与x 的关系式；(不要求写出自变量 x 的取值范围)2 当h = 2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由？10.如图，有一座抛物线形拱桥 水面下降1 m 后，水面宽为( ,当水位线在AB 位置时，拱顶离水面2 m ,水面宽为4 m , ) A . 5 mB . 6 mC/, 6 mD . 2 6m11.某一型号飞机着陆后滑行的距离 1.5x 2，该型号飞机着陆后滑行 —y = 60x —14.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y = a(x —6)2 + h.已知球网与O 点的水平距离为9 m,高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.4、有座抛物线形拱桥（如图），正常水位时桥下河面宽20m,河面距拱顶4m为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m,求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。
二次函数的实际应用(拱桥问题)教师
二次函数的实际应用(拱桥问题)教师work Information Technology Company.2020YEAR二次函数中抛物线形与拱桥问题1 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为h 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，且过点（10，－4）∴故 （2）设水位上升h m 时，水面与抛物线交于点（）则∴ （3）当d ＝18时，∴当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。
2、如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m ，如果水位上升2m ，就将达到警戒线CD ，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过多少小时会达到拱顶解： 以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点E 在y 轴上,且B 、D 两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）-==-4101252a a ×，y x =-1252d h 24，-h d -=-412542×d h =-10418104076=-=h h ，.0762276..+=设抛物线为y=ax2+k.由B、D两点在抛物线上，有解这个方程组，得所以，顶点的坐标为（0，）则OE=÷0.1=（h）所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过小时会达到拱顶.3、如图4，有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．(1)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米?解：(1)由对称性，当x=4时，y=．当x=10时，y=．故正常水位时，AB距桥面4米，由，故小船能通过．(2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4小时．货车按原来的速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280．∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x千米/时，当4x+40×1=280时，x=60．∴要使货车安全通过此桥，货车的速度超过60千米/时。
2023年中考数学专题复习：二次函数应用之拱桥问题(提优篇)
2023中考数学专题复习：二次函数应用之拱桥问题（提优篇）1.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )A．4√3米B．5√2米C．2√13米D．7米2.如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按x2+bx+c表示．在抛物线形拱壁上照如图所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=−16需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是( )A．2m B．4m C．4√2m D．4√3m3.【测试2】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为( )A．1m B．2m C．√3m D．2√3m4.【例4】如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加( )A．1m B．2m C．3m D．6m5.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为( )的关系式为y=−125A．−20m B．20m C．10m D．−10m6.某大学的校门（如图所示）是抛物线形水泥建筑物，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，那么校门的高是米．7.如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12米、高6米.车辆双向通行，若规定车辆必须米的空在中心线两侧、距离道路边缘2米的能围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于13隙，则通过隧道的车辆的高度限制应为米.8.闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1），如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水，流（如图2），其上的水珠的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=−x2+4x+94那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在水池外．9.中国石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征．如图所示，某桥拱是抛物线形，正常水位时，水面宽AB为20m，由于持续降雨，水位上升3m，若水面CD宽为10m，则此时水面距桥面距离OE的长为．10.如图，这是一传媒公司寓意为“大鹏展翅”的大门建筑截面图，它是两条关于线段AB的中垂线对称的抛物线，开口朝向左右，顶点是边长为4米的正方形中心，且分别过正方形的两个顶点．若入口水平宽BE为10.5米，则最高点F到地面的高度FE为米．11.一个拱形桥架可以近似看做是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成的．若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB=44米，∠A=45∘，AC1=4米，点D2的坐标为(−13,−1.69)，则桥架的拱高OH=米．12.有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现将它的示意图放在平面直角坐标系中，如图，则抛物线的解析式是．13.如图，某广场设计的一座建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A，B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．(1) 请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；(2) 为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA，PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无须证明）(3) 为了施工方便，现需计算出点O，P之间的距离，那么两根支柱用料最省时，点O，P之间的距离是多少？（请写出求解过程）14.如图①，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=110x2−45x+3的绳子．(1) 求绳子最低点离地面的距离．(2) 因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图②），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长．(3) 将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，数始终为14求m的取值范围．15.在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图（1）所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．(1) 求该抛物线的函数表达式．(2) 当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD=2.6m．①求OD的长．②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E(4,1.3)，东东起跳后所持球离地面高度ℎ1(m)（传球前）与东东起跳后时间t(s)满足函数关系式ℎ1=−2(t−0.5)2+2.7(0≤t≤1)；小戴在点F(1.5,0)处拦截，他比东东晚0.3s垂直起跳，其拦截高度ℎ2(m)与东东起跳后时间t(s)的函数关系如图（2）所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中运动时间忽略不计）．16.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x−6)2+ℎ．已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m．(1) 当ℎ=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2) 当ℎ=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3) 若球一定能越过球网，又不出边界，求ℎ的取值范围．17.在水平的地面BD上有两根与地面垂直且长度相等的电线杆AB，CD，以点B为坐标原点，直线BD为x轴建立平面直角坐标系，得到图1．已知电线杆之间的电线可近似地看成抛物线y=1100x2−45x+30．(1) 求电线杆AB和线段BD的长．(2) 因实际需要，电力公司在距离AB为30米处增设了一根电线杆MN（如图2），左边抛物线F1的最低点离MN为10米，离地面18米，求MN的长．(3) 将电线杆MN的长度变为30米，调整电线杆MN在线段BD上的位置，使右边抛物线F2的二次项系数始终是140，设电线杆MN距离AB为m米，抛物线F2的最低点离地面的距离为k米，当20≤k≤25时，求m的取值范围．18.如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系．求：(1) 以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；(2) 一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？19.如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，以AB的中点O为原点，按如图②所示建立平面直角坐标系．(1) 求该抛物线对应的函数关系式；(2) 通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．20.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平的平面直角坐标系，抛物线可以用y=−16m．距离为3m，到地面OA的距离为172(1) 求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶D到地面OA的距离．(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？(3) 在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少？21.秋风送爽，学校组织同学们去颐和园秋游，昆明湖西堤六桥中的玉带桥非常令人喜爱，如图所示，玉带桥的桥拱是抛物线形，水面宽度AB=10m，桥拱最高点C到水面的距离为6m．(1) 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2) 现有一艘游船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，通过计算说明这艘游船能否安全通过玉带桥．22.如图1，某穿山隧道纵截面为半圆形，圆心O的左右两边各有一条宽为3.75m的机动车道（OC，OD）和宽为1.25m的非机动车道（AC，BD）．（备注：机动车与非机动车通行时都只能在各自车道行驶，不能越线）(1) 若有一辆宽3.3m的卡车载物从该隧道通行，则其最大高度不能超过多少米？（结果精确到0.1m）(2) 为改善通行条件，地方政府另外修建了一条单向隧道，并打算将如图1所示的隧道改建成如图2所示的抛物线形隧道，并要求：①隧道宽度AB及最大高度均保持不变；②只需保留一条单向机动车道(MN)；③两条非机动车道（AM，BN）均拓宽为2m．问：改建后，若有一辆宽3.8m的卡车载物从该隧道通行，则其最大高度不能超过多少米？（结果精确到0.1m）23.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的坐标系中始于原点O的一段抛物线，图中数据为已知条件．在跳某个规定动作时，正常米，入水处距池边的距离为4米，同时，运情况下，这个运动员在空中的最高处距水面1023动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．(1) 求这段抛物线的表达式．(2) 在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中米，问此次跳水是否会失误，为什么？调整好入水姿势时，距池边的距离为33524.校园景观设计：如图1，学校计划在流经校园的小河上建造一座桥孔为抛物线的小桥，桥孔的跨径为8m，拱高为5m．(1) 把该桥拱看作一个二次函数的图象，建立适当的平面直角坐标系，写出这个二次函数的表达式；(2) 施工时，工人师傅先要制作如图2的桥孔模型，请你帮助工人师傅设计计算模型中左侧第二根立柱的高．25.如图是立交路上方一座抛物线型拱桥的示意图，桥的跨度AB=12米，拱高OM=4米．按规定，汽车通过桥下时，车顶与桥拱之间的距离CD不小于0.5米．(1) 以AB为x轴，以OM为y轴建立平面直角坐标系，求拱桥所在抛物线的表达式．(2) 一辆宽4米、高2.5米（车顶与地面AB的距离）的平顶货车能否通过拱桥？为什么？。
二次函数拱桥应用题doc
二次函数拱桥应用题.doc 二次函数拱桥应用题拱桥是一种常见的建筑结构，在城市和乡村中都可以见到。
它不仅能够承载重量，还可以美化环境。
在设计和建造拱桥时，数学是一个重要的工具。
其中二次函数在解决与拱桥相关的问题时起到了重要的作用。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是实数，且a不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线，具有对称轴和顶点。
在拱桥的设计中，二次函数可以用来描述桥梁的曲线形状。
例如，我们可以用二次函数来描述一座拱桥的高度与横轴距离之间的关系。
假设我们要设计一座拱桥，使得拱桥的高度在横轴距离的不同位置上都能达到最大值，那么我们可以使用二次函数来描述这个关系。
首先，我们需要确定二次函数的顶点位置。
顶点是二次函数的最高点或最低点，它位于对称轴上。
对于拱桥来说，我们希望拱桥的高度在横轴距离的不同位置上都能达到最大值，因此我们需要找到二次函数的最高点。
假设拱桥的起点为原点(0,0)，终点为坐标为(x,y)的点。
我们可以通过求解二次函数的顶点来确定拱桥的最高点。
顶点的横坐标可以通过求解二次函数的对称轴方程得到，对称轴方程为x=-b/(2a)。
将这个值代入二次函数的表达式中，我们可以求得顶点的纵坐标。
拱桥的高度与横轴距离之间的关系可以用二次函数来描述。
这个二次函数的顶点就是拱桥的最高点，拱桥的形状由这个二次函数的图像来表示。
在实际的拱桥设计中，我们需要考虑到许多因素，如桥梁的承重能力、材料的强度、施工的成本等。
因此，我们需要在满足这些要求的前提下，选择一个合适的二次函数来描述拱桥的形状。
例如，我们可以选择一个顶点为(0,0)的二次函数y=ax^2来描述拱桥的形状。
在确定a的值时，我们需要考虑到桥梁的承重能力。
如果a的值过大，那么拱桥的曲线将会很陡峭，不利于行人和车辆的通行。
如果a的值过小，那么拱桥的曲线将会很平缓，可能无法承受桥梁的重量。
因此，我们需要在满足这些要求的前提下，选择一个合适的a的值。
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教学过程
一、复习预习
平时的时候我们能够看到小船可以从桥的下面通过，但是当夏天雨季到来，水平面上升，这时小船还能从桥的下面通过吗？对于这样的问题我们可以利用我们所学的二次函数来解决。
这节我们就看二次函数解决拱桥问题。
二、知识讲解
考点/易错点1 ：二次函数解析式的形式
1、一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）
2、顶点式：y=a(x-h)2+k （a ≠0）
顶点坐标（h ，k ）
直线x=h 为对称轴，k 为顶点坐标的纵坐标，也是二次函数的最值
3、双根式：y=a(x-1x )(x-2x )（a ≠0） (1x ,2x 是抛物线与x 轴交点的横坐标)
并不是什么时候都能用双根式，当抛物线与x 轴有交点时才行
4、 顶点在原点：
5、过原点：)0(2≠+=a bx ax y
6、 顶点在y 轴：)0(2≠+=a c ax y
)0(2≠=a ax y
考点/易错点2：建立平面直角坐标系
1、在给定的直角坐标系,中会根据坐标描出点的位置
2、能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置。
三、例题精析
【例题1】
【题干】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．
（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；
（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为h 的函数表达式；
（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．
【答案】 （1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，
且过点（10，－4）
∴ 故
（2）设水位上升h m 时，水面与抛物线交于点（）
则
∴ （3）当d ＝18时，
∴当水深超过时会影响过往船只在桥下顺利航行。
【解析】顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ，h ，k 是常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标．
-==-4101252a a ×，y x =-1252
d h 24，-h d -=-412542
×d h =-10418104076=-=h h ，.0762276..+=
【题干】如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m，如果水位上升2m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时速度上升，经过多少小时会达到拱顶?
【答案】解：以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点E在y轴上,且B 、D两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）
设抛物线为y=ax²+k.
由B、D两点在抛物线上，有
解这个方程组，得所以，
顶点的坐标为（0，）则OE=÷=（h）
所以，若洪水到来，水位以每小时速度上升，经过小时会达到拱顶.
【解析】以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，求出解析式
【题干】如图是抛物线拱桥，已知水位在AB 位置时，水面宽，水位上升3m ，达到警戒线CD ，这时水面宽．若洪水到来时，水位以每小时的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？
【答案】解：根据题意设抛物线解析式为：y ＝ax 2＋h
又知B (2，0)，D (2，3)
∴ 解得：
∴y ＝－41
x 2＋6 ∴E (0，6) 即OE ＝6
EF ＝OE －OF ＝3 t ＝＝25
.03
＝12 (小时)
答：水过警戒线后12小时淹到拱桥顶．
【解析】建立直角坐标系，求出解析式
四、课堂运用
m 64m 3463⎩⎨⎧=+⨯=+⨯3h )32(a 0h )62(a 22⎪⎩⎪⎨⎧=-=6h 41
a 25.0EF
1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y＝－＋＋43 (0≤x≤30)．y值越大，表示接受能力越强．
(1) x在什么范围内，学生的接受能力逐步增加？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
（2）第10分钟时，学生的接受能力是多少？
（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？
【巩固】
1、有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，
如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．
(1)在正常水位时，有一艘宽8m、高的小船，它能通过这座桥吗?
(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米?
【拔高】
1、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测
得，当水面宽AB＝时，涵洞顶点与水面的距离为。
这时，离
开水面处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?
．
五、课程小结
（1）用函数的观点来认识问题，从实际问题中抽象出数学问题；
（2）根据题意建立直角坐标系，建立数学模型，解决实际问题；
（3）找到两个变量之间的关系；掌握数形结合思想；
（4）从拱桥问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值．感受数学在生活实际中使用
六、课后作业
【基础】
1、如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．
求此抛物线的解析式。
【巩固】
1、如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度为60米，拱高为18米，当洪水泛滥到跨度只
有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，是否采取紧急措施?
【拔高】
1、有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶O离水面AB的距离OM为8米，
货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF，如图建立平面直角坐标系．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如果限定矩形的长CD为9米，那么矩形的高DE不能超过多少米，才能使船通过拱桥?
(3)若设EF=a，请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示，并指出a的取值范围．
；。