二次函数的应用拱桥问题解析
二次函数的应用--拱桥问题
1．复习利用二次函数解决实际问题的方法
问题1 解决上节课所讲的实际问题时，你用到了什么知识？ 所用知识在解决生活中问题时，还应注意哪些问题？
1．复习利用二次函数解决实际问题的方法
归纳： 1．由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当
3．应用新知， 巩固提高
问题5 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m． （1）如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表 示的函数的解析式； （2）设正常水位时桥下的水深为 2 m，为保证过往 船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18 m．求水深超过多少 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行．
二次函数的应用--拱桥问题
课件说明
• 二次函数是单变量最优化问题的数学模型，如生活中 涉及的求最大利润，最大面积等．这体现了数学的实 用性，是理论与实践结合的集中体现．本节课主要研 究建立坐标系解决实际问题．
课件说明
• 学习目标： 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系， 正确建立坐标系，并运用二次函数的图象、性质解决 实际问题．
2．探究“拱桥”问题
（1）求宽度增加多少需要什么数据？ （2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？ （3）如何求这组数据？需要先求什么？ （4）图中还知道什么？ （5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？
2．探究“拱桥”问题 问题3 如何建立直角坐标系？
l
2．探究“拱桥”问题
问题4 解决本题的关键是什么？
时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值
x b 2a
实际问题与二次函数拱桥问题
3 .根据题意找出点的坐标，求出抛物线 解析式。分析图象(并注意变量的取值范 围), 解决实际问题。 4 .返回实际背景检验。
谈谈你的学习体会
实际问题
抽象 转化
数学问题 运用 问题的解决 数学知识
解题步骤： 1、分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形。 2、根据已知条件建立适当的平面直角坐标系。 3、选用适当的解析式求解。 4、根据二次函数的解析式解决具体的实际问题。
大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载 满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货 宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你 通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由.
解：如图，以AB所在的直线为x轴，以
AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角
坐标系∵.AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0) ∵OC=4.4 ∴C(0,4.4
设y抛物a线x所2 表4)示.4的二次函数为
∵抛物线过A(-2,0)
4a 4.4 0 a 1.1
∴抛物线所表示的二次函数为 y 1.1x2 4.4
当x 1.2时，y 1.1 1.22 4.4 2.816 2.7
∴汽车能顺利经过大门.
小结反思
解二次函数应用题的一般步骤： 1 . 审题,弄清已知和未知。 2 . 将实际问题转化为数学问题。建立适
所以，水面下降1m，水面的宽
度为 2 6m.
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
y
(0,0)
●
0
● (2,2)
(4, 0)
●
解：如图建立如下直角坐标系， 设这条抛物线解析式为
y a(x 2)2 2
教学课件：第3课时-拱桥问题中的二次函数
代数法是通过代数运算来求解拱桥问 题的一种方法。
代数法适用于解决简单的二次函数问 题，但对于复杂的拱桥问题，可能需 要更高级的数学工具。
这种方法需要建立二次函数方程，然 后通过求解方程来得到拱桥的顶点坐 标和拱高。
解析方法二：图象法
图象法是通过绘制二次函数的图 象来直观地解决拱桥问题的方法。
通过观察图象，我们可以直接找 到函数的顶点，从而确定拱桥的
04 实际案例分析
案例一：某拱桥的承载能力分析
总结词
通过实际案例分析拱桥的承载能力，了解二次函数在解决实际问题中的应用。
详细描述
某拱桥在承受不同载荷时，其变形程度和承载能力是关键问题。通过建立二次 函数模型，可以预测拱桥在不同载荷下的变形程度，从而评估其承载能力。
案例二：不同载荷下的拱桥变形分析
二次函数在拱桥问题中的应用
二次函数在拱桥问题中扮演着重要的角色，它可以描述拱桥的形状、受力情况等。
通过分析二次函数的开口方向、顶点位置等性质，可以得出拱桥的稳定性、承载能 力等方面的结论。
在实际工程中，设计师需要根据二次函数的性质来设计拱桥，以确保其安全性和稳 定性。
03 拱桥问题的解析方法
解析方法一：代数法
总结词
研究不同载荷对拱桥变形的影响，进一步理解二次函数与实际问题的关联。
详细描述
在实际应用中，拱桥会受到各种载荷的作用，如车辆、人群等。通过建立二次函 数模型，可以分析不同载荷对拱桥变形的影响，为拱桥的安全评估提供依据。
案例三：拱桥的施工过程模拟
总结词
利用二次函数模拟拱桥的施工过程，有助于优化施工方案和 提高工程质量。
形状和位置。
图象法适用于解决中等难度的二 次函数问题，但对于复杂的拱桥 问题，可能还需要结合其他方法。
最新二次函数之拱桥问题
《有关“拱桥”问题》
情境创设
以上图片中你可以把拱桥看成什么数学图形呢？
探究一：
河上有一座抛物线拱桥，已知桥下的 水面离桥孔顶部3m时，水面宽为6m. (1)在图中直角坐标系内，
求抛物线的函数关系式；
（2）当水位上升1m时， 水面宽为多少？
（精确到0.1m) 6 2.45
A B
C
h
oLeabharlann x3：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如 果水位上升3米时，水面CD的宽为10m． （1）建立如图直角坐标系， 求点B、D的坐标。
（2）求此抛物线的解析式；
y C A D
O
B x
解：由图知：AB=7.2米，OP=3.6米，，∴A（-3.6，0），
B（3.6，0），P（0，3.6）。
又∵P（0，3.6）在图像上，
当x=OC=0.8时，
∴卡车能通过这个隧道。
三、应用举例
例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度 OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。 （1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时， 高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。 船的高度指船在水面上的高度）。
(2)、分析：船能否通过，只要看船在拱 桥正中间时，船及水位的高度是否超过 解： ∵ 拱桥顶点的纵坐标。
∴
P
Q
∴顶点（-6，3.6）, PQ是对称轴。
当水位为2.5米时， y = 水位+船高 =2.5+1.4 =3.9 ＞ 3.6 ∴ 船不能通过拱桥。
5. 刘炜在距离篮下4米处跳 起投篮,篮球运行的路线是抛 物线,当球运行的水平距离为 2.5米时,达到最高度3.5米,然 后准确落入蓝筐.已知蓝筐中 心到地面距离为3.05米.如果 刘炜的身高为1.9米,在这次 跳投中,球在头顶上方0.15米 处出手,问求出手时,他跳离 地面的高度是多少?
二次函数与拱桥问题
建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤：(1) 根据题意建立适当的 ________________________ ； (2) 把已知条件转化为 __________________ ； (3) 合理设出函数 ___________________ ； (4) 利用 _________________ 法求出函数解析式；(5) 根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 知识点1 :二次函数在桥梁中的应用1. 有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20米，拱顶距离水面4米.在如图所示 的直角坐标系中，该抛物线的解析式为 ________________________ .2.有一座抛物线形的立交桥拱 ，这个桥拱的最大高度为 16 m ,跨度为40 m ,现把它的图形放在坐标系中(如图).若在离跨度中心 M 点5 m 处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶 ，则这根铁柱的长为 _____ m.3. 如图是一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于 A , B 两点，拱桥最高 点C 到AB 的距离为9 m , AB = 36 m , D , E 为拱桥底部的两点，且DE // AB ，点E 到直线 AB 的距离为7 m ,则DE 的长为 ___________ m .知识点2 :二次函数在隧道中的应用 4. 某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成,尺寸如图如示，以隧道横断面抛物线的顶点16为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，则该抛物线的解析式为 知识点3:二次函数在其他建筑问题中的应用5.如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑， 大门底部地面宽4米，顶部距地面的高度为 4.4 米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为 2.4米，该车要想通过此门， 装货 后的高度应小于( ) A. 2.80 米B . 2.816 米C . 2.82 米D. 2.826 米\比米L -4 棊_'6•如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB 的薄壳屋顶.它的拱宽AB 为4 m拱高CO 为0.8 m •建立如图的直角坐标系，则屋顶的轮廓线所在的抛物线的解析式为知识点4 :二次函数在运动中的应用7.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平 面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y = — x 2 + 4x(单位：米)的一部分，则水喷出 的最大高度是( )A . 4米B . 3米C . 2米D .1米----- 6m ----- ►A .第3秒B .第3.5秒C .第4.2秒D .第6.5秒&军事演习在平坦的草原上进行 ，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度 y(m)与飞行时间 x(s)的关系满足y = — 5X 2 + 10x.经过 ________ 秒炮弹到达它的最高点，最高点的高度是________ 米，经过 ________ 秒炮弹落到地上爆炸了.9•竖直向上发射的小球的高度 h(m)关于运动时间t(s)的函数解析式为h = at + bt ,其图象如图所示.若小球在发射后第 2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是y(m)与滑行时间x(s)之间的函数关系式是 m 才能停下来.12.如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y = — 3x 1 2+ 3x + 1的一部分.5 (1)求演员弹跳离地面的最大高度；⑵已知人梯高BC = 3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是4米，问这次表 演是否成功？请说明理由.13•如图，小河上有一座拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB 和矩形的三 边AE, ED, DB 组成.已知河底 ED 是水平的，ED = 16米，AE = 8米，抛物线的顶点 C 到ED 的距离是11米，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系. (1) 求抛物线的解析式；(2) 已知从某时刻开始的 40小时内，水面与河底 ED 的距离h(单位：米)随时间t(单位：时) 的变化满足函数关系 h =- ±(t — 19)2+ 8(0 w tw 40),且当水面到顶点 C 的距离不大于5米 时，需禁止船只通行，请过计算说明：在这一时段内 ，需多少小时禁止船只通行？1 当h = 2.6时，求y 与x 的关系式；(不要求写出自变量 x 的取值范围)2 当h = 2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由？10.如图，有一座抛物线形拱桥 水面下降1 m 后，水面宽为( ,当水位线在AB 位置时，拱顶离水面2 m ,水面宽为4 m , ) A . 5 mB . 6 mC/, 6 mD . 2 6m11.某一型号飞机着陆后滑行的距离 1.5x 2，该型号飞机着陆后滑行 —y = 60x —14.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y = a(x —6)2 + h.已知球网与O 点的水平距离为9 m,高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.4、有座抛物线形拱桥（如图），正常水位时桥下河面宽20m,河面距拱顶4m为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m,求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。
二次函数的实际应用(拱桥问题)教师
二次函数中抛物线形与拱桥问题1 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为h 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，且过点（10，－4） ∴ 故（2）设水位上升h m 时，水面与抛物线交于点（）则∴（3）当d ＝18时，∴当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。
2、如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m ，如果水 位上升2m ，就将达到警戒线CD ，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶解： 以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点E 在y 轴上,且B 、D 两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）设抛物线为y=ax2+k.由B 、D 两点在抛物线上，有-==-4101252a a ×，y x =-1252d h 24，-h d -=-412542×d h =-10418104076=-=h h ，.0762276..+=解这个方程组，得所以，顶点的坐标为（0，）则OE=÷=（h）所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过小时会达到拱顶.3、如图4，有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．(1)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米解：(1)由对称性，当x=4时，y=．当x=10时，y=．故正常水位时，AB距桥面4米，由，故小船能通过．(2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷=4小时．货车按原来的速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280．∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x千米/时，当4x+40×1=280时，x=60．∴要使货车安全通过此桥，货车的速度超过60千米/时。
二次函数的实际应用(拱桥问题)教师
二次函数的实际应用(拱桥问题)教师work Information Technology Company.2020YEAR二次函数中抛物线形与拱桥问题1 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为h 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，且过点（10，－4）∴故 （2）设水位上升h m 时，水面与抛物线交于点（）则∴ （3）当d ＝18时，∴当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。
2、如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m ，如果水位上升2m ，就将达到警戒线CD ，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过多少小时会达到拱顶解： 以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点E 在y 轴上,且B 、D 两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）-==-4101252a a ×，y x =-1252d h 24，-h d -=-412542×d h =-10418104076=-=h h ，.0762276..+=设抛物线为y=ax2+k.由B、D两点在抛物线上，有解这个方程组，得所以，顶点的坐标为（0，）则OE=÷0.1=（h）所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过小时会达到拱顶.3、如图4，有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．(1)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米?解：(1)由对称性，当x=4时，y=．当x=10时，y=．故正常水位时，AB距桥面4米，由，故小船能通过．(2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4小时．货车按原来的速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280．∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x千米/时，当4x+40×1=280时，x=60．∴要使货车安全通过此桥，货车的速度超过60千米/时。
22.3.2实际问题与二次函数——拱桥问题和运动抛物线问题
一、拱桥问题
探究3
l
图中是抛物线形拱桥， 当水面在l时，拱顶离 时，拱顶离 水面2m，水面宽4m， 水面下降1m，水面宽 度增加多少？
分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建 立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二 次函数解析式，为解题简便，以抛物线的顶点为原 点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．
一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高 20 米，与
篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最
大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米. 问此球能否投中？
9
20 9
4米
3米
4米 8米
y
20 9
（ 4， 4）
1 2 y x 4 4 9
y
4米
20 9
3米
4米 7米 x
O
用抛物线的知识解决拱桥问题和运动 抛物线问题的一般步骤： 建立适当的直角坐标系
设二次函数解析式 由条件求解析式 找出实际问题的答案
20 练习：一场篮球赛中，甲跳起投篮，已知球出手时离地面高 9
米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米 时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心 距离地面3米。 (1)问此球能否投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已 知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？
抛物线形拱桥，当水面 y 1 在l 时，拱顶离水面2m， 水面宽度4m，水面下降 当 y 1 时， x 6 2 1m，水面宽度增加多少？ 所以，水面下降1m，水面的
6 m. ∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
问题1 一座抛物线拱桥,桥下的水面
离桥孔顶部3m时,水面宽6m.
问题探究
(1)试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线桥探 拱对应的二次函数关系式; (2)当水位上升1m时,水面宽多少m?
y
O x
D
C(?,-2) y 1 x2
3
A
B(3,-3)
问题1 一座抛物线拱桥,桥下的水面 问题研究
离桥孔顶部3m时,水面宽6m.
点的铅垂线为纵轴建立直角坐标系.
2、求抛物线对应的二次函数关系
式.
y
Байду номын сангаас
设函数关系式为:
o
x y=ax2
(18.51,-7.23)
建立二次函数模型解决简单实际问题的 步骤：
1、恰当地建立直角坐标系；
2、将已知条件转化为点的坐标；
3、合理地设出所求函数的关系式；
4、代入已知条件或点的坐标，求出 关系式； 5、利用关系式求解问题；
(3)一艘装满防汛器材的船在这条河流中航行,露出 水面部分的高为0.5m,宽为4m.当水位上升1m时, 这艘船能从桥下通过吗?
y
O x
F
E(?,-1.5)
D
C
y 1 x2
A
B
3
小结与回顾
二次函数的应用 (拱桥、桥洞问题)
常见的桥孔形状有半圆型、椭圆型、马蹄形, 还有抛物线型.
太湖公园 拱桥 江苏周庄 拱桥 法国加尔 拱桥
卢浦大桥
湘潭湘江四大桥
链 接 你对 赵州桥有哪些认识?
闻名中外的赵州桥是我国隋朝工匠李春和 众多石匠发明并建造的一座扁平抛物线石拱桥.
赵州桥是我国造桥史上的杰作，世界桥梁 史上的首创，是世界著名的古代石拱桥，到现在 已经一千三百多年了,比欧洲早了近1300年.赵州 桥在桥梁建筑史上占有重要的地位，对我国后代 桥梁建筑有着深远的影响.
学习目标
1.会建立直角坐标系解决实际问题;
2.会解决桥洞水面宽度问题.
学
1、完成新知探究的填空 2、做完后小组交流做题的方法
情境创设: 赵州桥桥拱跨径37.02m, 拱高
7.23m. 你能建立恰当的直角坐标系并写出与该
抛物线桥拱对应的二次函数关系式吗?试试看.
1、先建立直角坐标系;
以桥拱的最高点为原点,过原点的水平线为横轴,过原