二次函数应用[拱桥问题]

教学过程
一、复习预习
平时的时候我们能够看到小船可以从桥的下面通过，但是当夏天雨季到来，水平面上升，这时小船还能从桥的下面通过吗？对于这样的问题我们可以利用我们所学的二次函数来解
决。

这节我们就看二次函数解决拱桥问题。

二、知识讲解
考点/易错点1 ：二次函数解析式的形式
1、一般式：y=ax 2
+bx+c （a ≠0）
2、顶点式：y=a(x-h)2
+k （a ≠0） 顶点坐标（h ，k ）
直线x=h 为对称轴，k 为顶点坐标的纵坐标，也是二次函数的最值
3、双根式：y=a(x-1x )(x-2x )（a ≠0） (1x ,2x 是抛物线与x 轴交点的横坐标) 并不是什么时候都能用双根式，当抛物线与x 轴有交点时才行
4、 顶点在原点：
5、过原点：)0(2≠+=a bx ax y
6、 顶点在y 轴：)0(2≠+=a c ax y
)0(2≠=a ax y
考点/易错点2：建立平面直角坐标系
1、在给定的直角坐标系,中会根据坐标描出点的位置
2、能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置。

三、例题精析
【例题1】
【题干】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；
（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为h 的函数表达式；
（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．
【答案】 （1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2
， 且过点（10，－4）
∴
故
（2）设水位上升h m 时，水面与抛物线交于点（）
则
∴ （3）当d ＝18时，
∴当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。

【解析】顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ，h ，k 是常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标．
【例题2】
【题干】如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m ，如果
水位上升2m ，就将达到警戒线CD ，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶?
【答案】解： 以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的
-==-
4101252a a ×，y x =-1
252
d
h 24，-h d -=-412542
×
d h =-10418104076=-=
h h ，.0762276..+=
顶点E 在y 轴上,且B 、D 两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）
设抛物线为y=ax ²+k.
由B 、D 两点在抛物线上，有
解这个方程组，得 所以，
顶点的坐标为（0，） 则OE=÷0.1=（h ）
所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m 速度上升，经过小时会达到拱顶.
【解析】 以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，求出解析式
【例题3】
【题干】如图是抛物线拱桥，已知水位在AB 位置时，水面宽，水位上升3m ，达到警戒线CD ，这时水面宽．若洪水到来时，水位以每小时0.25m 的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？
【答案】解：根据题意设抛物线解析式为：y ＝ax 2
＋h 又知 B (2，0)，D (2，3)
∴ 解得： m 64m 3463⎩⎨⎧=
+⨯=+⨯3h )32(a 0h )62(a 22⎪⎩⎪⎨⎧=-=6
h 41
a
∴y ＝－
4
1x 2
＋6 ∴E (0，6) 即OE ＝6 EF ＝OE －OF ＝3 t ＝＝25
.03
＝12 (小时)
答：水过警戒线后12小时淹到拱桥顶． 【解析】建立直角坐标系，求出解析式
四、课堂运用
【基础】
1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (单位：分)之间满足
函数关系：y ＝－0.1x 2
＋2.6x ＋43 (0≤x ≤30)．y 值越大，表示接受能力越强．
(1) x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增加？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
（2）第10分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分钟时，学生的接受能力最强？
25.0EF
【巩固】
1、有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．
(1)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗?
(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米?
【拔高】
1、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。

这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m? ．
五、课程小结
（1）用函数的观点来认识问题，从实际问题中抽象出数学问题；
（2）根据题意建立直角坐标系，建立数学模型，解决实际问题；
（3）找到两个变量之间的关系；掌握数形结合思想；
（4）从拱桥问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值．感受数学在生活实际中使用
六、课后作业
【基础】
1、如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．求此抛物线的解析式。

【巩固】
1、如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度为60米，拱高为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，是否采取紧急措施?
【拔高】
1、有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶O离水面AB的距离OM为8米，货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF，如图建立平面直角坐标系．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如果限定矩形的长CD为9米，那么矩形的高DE不能超过多少米，才能使船通过拱桥?
(3)若设EF=a，请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示，并指出a的取值范围．
；。