曲线积分与格林公式总结

一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x,y）处的线密度为μ（x，y）。

求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅，∆s n(∆s i也表示弧长）;任取（ξi,ηi)∈∆s i，得第i小段质量的近似值μ（ξi，ηi)∆s i;整个物质曲线的质量近似为；令λ=max｛∆s1，∆s2,⋅⋅⋅，∆s n}→0,则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧,函数f(x，y）在L上有界。

在L上任意插入一点列M1，M2,⋅⋅⋅,M n-1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为∆s i,又(ξi，ηi）为第i个小段上任意取定的一点,作乘积f(ξi，ηi）∆s i，（i=1, 2,⋅⋅⋅，n）,并作和，如果当各小弧段的长度的最大值λ→0,这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x，y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作，即.其中f(x，y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。

设函数f(x,y）定义在可求长度的曲线L上,并且有界。

将L任意分成n个弧段：∆s1，∆s2,⋅⋅⋅,∆s n，并用∆s i表示第i段的弧长;在每一弧段∆s i上任取一点（ξi,ηi）,作和;令λ=max{∆s1，∆s2，⋅⋅⋅，∆s n}，如果当λ→0时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f（x，y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作，即.其中f（x,y)叫做被积函数，L叫做积分弧段。

曲线积分的存在性:当f（x,y)在光滑曲线弧L上连续时，对弧长的曲线积分是存在的。

以后我们总假定f(x,y）在L上是连续的。

根据对弧长的曲线积分的定义，曲线形构件的质量就是曲线积分的值，其中μ（x，y）为线密度.对弧长的曲线积分的推广：。

如果L(或Γ)是分段光滑的,则规定函数在L(或Γ)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和.例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2,则规定.闭曲线积分：如果L是闭曲线，那么函数f（x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作。

对弧长的曲线积分的性质:性质1 设c1、c2为常数,则;性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2,则;性质3设在L上f（x,y）≤g（x,y）,则.特别地,有二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义,如果曲线形构件L的线密度为f（x，y),则曲线形构件L的质量为.另一方面，若曲线L的参数方程为x=ϕ(t)，y=ψ（t）(α≤t≤β),则质量元素为，曲线的质量为。

即.定理设f（x,y）在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为x=ϕ(t),y=ψ（t) （α≤t≤β),其中ϕ(t）、ψ（t)在［α,β］上具有一阶连续导数，且ϕ'2(t）+ψ'2（t）≠0，则曲线积分存在，且（α<β).证明（略)应注意的问题：定积分的下限α一定要小于上限β。

讨论：（1)若曲线L的方程为y=ψ(x)(a≤x≤b）,则=？提示:L的参数方程为x=x，y=ψ（x）（a≤x≤b）,。

（2）若曲线L的方程为x=ϕ（y)(c≤y≤d)，则=?提示:L的参数方程为x=ϕ（y),y=y(c≤y≤d）,。

(3)若曲Γ的方程为x=ϕ（t)，y=ψ（t）,z=ω（t）（α≤t≤β)，则=？提示：。

例1 计算,其中L是抛物线y=x2上点O（0，0）与点B（1, 1)之间的一段弧。

解曲线的方程为y=x2 (0≤x≤1），因此。

例2 计算半径为R、中心角为2α的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为μ=1).解取坐标系如图所示，则。

曲线L的参数方程为x=R cosθ,y=R sinθ ( α≤θ〈α).于是=R3(α sinα cosα).例3 计算曲线积分，其中Γ为螺旋线x=a cos t、y=a sin t、z=kt上相应于t从0到达2π的一段弧。

解在曲线Γ上有x2+y2+z2=(a cos t)2+(a sin t）2+(k t)2=a2+k 2t 2,并且,于是。

小结：用曲线积分解决问题的步骤：（1）建立曲线积分;（2)写出曲线的参数方程( 或直角坐标方程）,确定参数的变化范围;（3)将曲线积分化为定积分；(4）计算定积分.§10。

2 对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功：设一个质点在xOy面内在变力F（x，y)=P(x,y)i+Q（x，y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,试求变力F(x，y)所作的功.用曲线L上的点A=A0，A1,A2，⋅⋅⋅,A n-1，A n=B把L分成n个小弧段，设A k=(x k,y k），有向线段的长度为∆s k,它与x轴的夹角为τk，则(k=0, 1，2，⋅⋅⋅,n 1)。

显然,变力F（x,y）沿有向小弧段所作的功可以近似为；于是，变力F(x，y）所作的功，从而.这里τ=τ(x，y），｛cosτ，sinτ}是曲线L在点（x,y）处的与曲线方向一致的单位切向量。

把L分成n个小弧段:L1,L2,⋅⋅⋅，L n；变力在L i上所作的功近似为：F(ξi，ηi）⋅∆s i=P(ξi，ηi)∆x i+Q（ξi，ηi）∆y i；变力在L上所作的功近似为:；变力在L上所作的功的精确值：其中λ是各小弧段长度的最大值。

提示：用∆s i={∆x i，∆y i｝表示从L i的起点到其终点的的向量.用∆s i表示∆s i的模.对坐标的曲线积分的定义：定义设函数f（x，y)在有向光滑曲线L上有界.把L分成n个有向小弧段L1，L2,⋅⋅⋅,L n;小弧段L i的起点为(x i-1，y i-1),终点为（x i，y i），∆x i=x i-x i 1，∆y i=y i-y i-1; (ξi，η)为L i上任意一点,λ为各小弧段长度的最大值.如果极限总存在，则称此极限为函数f（x,y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,记作,即，如果极限总存在，则称此极限为函数f(x，y）在有向曲线L上对坐标x的曲线积分，记作,即.设L为xOy面上一条光滑有向曲线,{cosτ，sinτ}是与曲线方向一致的单位切向量,函数P（x，y）、Q（x，y)在L上有定义.如果下列二式右端的积分存在，我们就定义，，前者称为函数P（x，y）在有向曲线L上对坐标x的曲线积分，后者称为函数Q(x，y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分,对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分.定义的推广：设Γ为空间内一条光滑有向曲线,｛cosα，cosβ, cosγ}是曲线在点(x，y，z）处的与曲线方向一致的单位切向量，函数P（x，y,z）、Q（x，y，z）、R(x，y，z)在Γ上有定义。

我们定义（假如各式右端的积分存在),，。

，,.对坐标的曲线积分的简写形式：;.对坐标的曲线积分的性质:（1）如果把L分成L1和L2，则。

(2) 设L是有向曲线弧， L是与L方向相反的有向曲线弧，则两类曲线积分之间的关系：设{cosτi，sinτi}为与∆s i同向的单位向量，我们注意到｛∆x i，∆y i}=∆s i,所以∆x i=cosτi⋅∆s i，∆y i=sinτi⋅∆s i，，.即,或.其中A={P，Q｝,t={cosτ, sinτ}为有向曲线弧L上点(x，y)处单位切向量，d r=t ds={dx，dy｝。

类似地有，或。

其中A={P，Q,R},T=｛cosα，cosβ，cosγ}为有向曲线弧Γ上点(x，y,z)处单们切向量，d r=T ds=｛dx，dy,dz｝，A t为向量A在向量t上的投影.二、对坐标的曲线积分的计算:定理:设P（x,y）、Q（x,y)是定义在光滑有向曲线L:x=ϕ（t），y=ψ(t）,上的连续函数,当参数t单调地由α变到β时，点M（x,y）从L的起点A沿L运动到终点B，则,.讨论:=？提示:。

定理：若P（x,y）是定义在光滑有向曲线L:x=ϕ（t)，y=ψ（t)（α≤t≤β）上的连续函数，L的方向与t的增加方向一致，则。

简要证明:不妨设α≤β。

对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为｛ϕ'（t)，ψ'（t）},所以，从而。

应注意的问题：下限a对应于L的起点，上限β对应于L的终点，α不一定小于β。

例1。

计算，其中L为抛物线y2=x上从点A(1，-1）到点B（1，1)的一段弧.解法一：以x为参数.L分为AO和OB两部分:AO的方程为,x从1变到0；OB 的方程为,x从0变到1。

因此。

第二种方法:以y为积分变量.L的方程为x=y2,y从-1变到1。

因此.例2.计算。

(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2;（2)从点A(a，0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段。

解（1）L的参数方程为x=a cosθ，y=a sinθ，θ从0变到π。

因此。

（2）L的方程为y=0，x从a变到 a。

因此.例3计算. (1）抛物线y=x2上从O(0, 0）到B（1, 1)的一段弧；（2）抛物线x=y2上从O(0, 0）到B（1, 1）的一段弧; (3)从O(0, 0)到A(1，0），再到R (1, 1)的有向折线OAB。

解(1）L:y=x2,x从0变到1。

所以。

(2)L：x=y2,y从0变到1.所以.（3）OA：y=0,x从0变到1;AB:x=1,y从0变到1。

=0+1=1.例4。

计算,其中Γ是从点A（3, 2, 1）到点B（0，0, 0)的直线段。

解:直线AB的参数方程为x=3t,y=2t,x=t,t从1变到0。

所以所以。

例5。

设一个质点在M(x,y)处受到力F的作用,F的大小与M到原点O的距离成正比, F的方向恒指向原点.此质点由点A（a，0）沿椭圆按逆时针方向移动到点B(0,b），求力F所作的功W。

例5.一个质点在力F的作用下从点A（a，0）沿椭圆按逆时针方向移动到点B(0，b）,F的大小与质点到原点的距离成正比,方向恒指向原点.求力F所作的功W。

解:椭圆的参数方程为x=a cos t，y=b sin t,t从0变到。

，，其中k〉0是比例常数。

于是.。

三、两类曲线积分之间的联系由定义，得，其中F=｛P,Q｝,T=｛cosτ，sinτ｝为有向曲线弧L上点(x，y)处单位切向量,d r=T ds=｛dx, dy}。

类似地有.其中F={P，Q,R}，T=｛cosα，cosβ, cosγ}为有向曲线弧Γ上点（x,y，z）处单们切向量,d r=T ds=｛dx，dy,dz }。

一、格林公式单连通与复连通区域:设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D，则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域。

对平面区域D的边界曲线L,我们规定L的正向如下:当观察者沿L的这个方向行走时,D内在他近处的那一部分总在他的左边.区域D的边界曲线的方向:定理1设闭区域D由分段光滑的曲线围成,函数P（x,y）及Q（x,y）在D上具有一阶连续偏导数，则有，其中L是D的取正向的边界曲线。