二次函数与拱桥问题
《实际问题与二次函数》(拱桥问题)
2023-11-06•引言•拱桥问题建模•数值模拟与优化•实验设计与实施•结论与展望目录01引言背景介绍在过去的几十年中，随着科技的发展和工程材料的进步，拱桥设计得到了更多的创新和改进。
然而，拱桥问题仍然是一个具有挑战性的研究领域，需要进一步探索和研究。
拱桥作为一种传统的桥梁形式，具有悠久的历史和广泛的应用。
研究目的和意义研究拱桥问题的目的是为了更好地了解其力学性能和设计优化。
拱桥作为重要的交通枢纽，其安全性和可靠性对于保障人们的生命财产安全具有重要意义。
通过研究拱桥问题，有助于提高桥梁设计水平，促进交通基础设施的发展。
02拱桥问题建模拱桥结构与受力分析拱桥结构拱桥是一种常见的桥梁结构，其特点是在承受载荷时可以将压力转化为张拉力，因此具有较好的抗压性能。
拱桥的主体结构由拱圈和桥墩组成，拱圈是主要的承载结构，桥墩则起到支撑和固定拱圈的作用。
受力分析在承受载荷时，拱桥的拱圈主要承受压应力，而张拉应力则主要由钢筋承受。
桥面上的车辆等载荷通过桥面传递到拱圈上，进而传递到拱桥的支撑结构上。
根据载荷的大小和分布情况，拱桥的支撑结构需要满足一定的强度和稳定性要求。
二次函数在数学中，二次函数是一种常见的函数形式，一般形式为f(x)=ax^2+bx+c。
二次函数的图像是一个抛物线，其形状受到二次项系数a的影响。
拱桥形状拱桥的形状是一个抛物线形，其跨度和拱高受到二次函数的影响。
通过调整二次函数的系数，可以改变拱桥的形状和跨度。
在实际设计中，通常需要根据桥梁的使用要求和地理条件来确定拱桥的形状和跨度。
二次函数与拱桥形状的关联物理意义在拱桥问题中，二次函数的参数具有明确的物理意义。
例如，二次项系数a代表拱桥的跨度，一次项系数b代表拱桥的高度，常数项c代表拱桥的宽度。
这些参数不仅影响拱桥的形状，还与桥梁的性能和使用要求密切相关。
约束条件在设计和建造拱桥时，需要满足一些约束条件。
例如，桥梁需要满足承载能力、稳定性、耐久性和施工可行性等方面的要求。
人教版九年级上册数学二次函数与拱桥问题
一、教学目标 1．让学生能够用二次函数知识解决拱桥问题． 2．让学生能够根据实际问题构建二次函数模型．
二、教学重难点 重点
建坐标系解决拱桥问题．
难点 建立适当的坐标系解决抛物线形实际问题．
三、教学设计 活动1 新课导入 现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥(如图 )吧？能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题 呢？
1．欢欢在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意的一跳
，函数h＝3.5t－4.9t2(t的单位：s，h的单位：m)可以描
述她跳跃时重心高度随时间的变化关系，则她起跳后
5
到重心到达最高时所用的时间是__1_4_s.
2．某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正
在投篮，已知球出手时离地面高
20 9
m，与篮圈中心的
-2= a×2²，
这条抛物线表示的二次函数为
当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3。请你根据 上面的函数解析式求出这是的书面宽度。
水面下降1m，水面宽度增加_________m。
提出问题： (1)对于抛物线形拱桥，要是能知道此抛物线的解析式 就好了．你能确定这条抛物线的表达式吗？ (2)水面下降1 m的含义是什么？怎样把距离转化成坐标 ？如何求宽度增加多少？你能先在图中建立一个恰当 的平面直角坐标系，使抛物线形拱桥转化为坐标系中 的抛物线吗？ (3)你还有其他的解决方法吗？
解：建立如图所示的平面直角坐标系．可设它的函数 解析式为y＝ax2＋k.把B(1，2.5)，C(－0.5，1)代入， 可求得a＝2，k＝0.5， ∴抛物线的解析式为y＝2x2＋0.5. ∵a＝2＞0， ∴y有最小值， ∴当x＝0时，y最小＝0.5. 答：绳子的最低点距地面的距离为0.5 m.
22.3 第3课时 二次函数与拱桥类问题
图22－3－4
解析总结反 思
解：由对称性可知：丙的身高与丁的身高相同，为1.625 m. 上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的
解答过程．
[答案]不正确．错误地认为丙、丁是“对称的”．实际上，抛
物线是轴对称图形，其对称轴是甲手、乙手所连线段的垂
直平分线，如图所示，但丙、丁并不关于对称轴对称．
图22－3－3
解目 析标
解：不能．理由如下：
突 破
因为抛物线的顶点为C(0，8)，所以可设抛物线的解析式为
y＝ax2＋8.
将(12，0)代入 y＝ax2＋8，求得 a＝－118， 所以抛物线的解析式为 y＝－118x2＋8.
解目 析标
当 y＝4 时，求得 x＝±6 2，
突
破 所以水面高 4 m 处的拱宽为 12 2 m，小于船的最大宽度，
解析总结反
反思 你知道吗？平时我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似
思 地看作抛物线．如图22－3－4所示，甩绳的甲、乙两名学生
拿绳的手之间的距离为4 m，距地面均为1 m，学生丁、丙分
别站在与甲拿绳的手水平距离为2.5 m，
1 m处，绳子在甩到最高处时刚好通过
他们的头顶，已知学生丁的身高是 1.625 m，求学生丙的身高．
谢 谢 观 看！
所以此船在正常水位时不能开到桥下．
解目 归纳总结
析标 突
利用二次函数解决拱桥类问题“五步法”：
破 (1)恰当地建立平面直角坐标系；
(2)将已知条件转化为点的坐标；
(3)合理地设出所求函数的解析式；
(4)代入已知条件或点的坐标求出解析式；
(5)利用解析式求解问题．
解析总结反
小结
知识点 利用二次函数解决拱桥类问题
22_3 第3课时 二次函数与拱桥类问题【人教九上数学学霸听课笔记】
(5)利用解析式求解问题.
探 究
例 某幢建筑物,从 10 m 高的窗口 A 用水管向外喷水,喷出的
与 应
水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直,如图 22－3－4
用 所示),如果抛物线的最高点 M 离墙 1 m,离
地面430 m,求水流落地点 B 离墙的距离 OB.
图22－3－4
探 究
解：建立如图所示的平面直角坐标系.根据题意,设抛物线的解析
所以水面高 4 m 处的拱宽为 12 2 m,小于此船的最大宽度,
所以此船在正常水位时不能开到桥下.
随 1.如图22－3－6,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度CM是
堂
小 16 m,跨度AB是40 m,在线段AB上离中点M处5 m的地方,桥
检
测 的高度DN是多少米?
图22－3－6
随 解:如图22-3-7所示,以直线AB为x轴,向右为正方向﹐点M为
第 二
二次函数
十 二
22.3 实际问题与二次函数
章
-
第3课时 二次函数与拱桥类问题
探究与应用 随堂小检测
探
目标 能正确建立坐标系,并运用二次函数的图象、性质
究
解决拱桥类实际问题
与 应
问题 图22－3－3中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,
用 水面宽4 m.水面下降1 m,水面宽度增加多少?
与 标系.
应
用 解：方法二：如图所示：
由题意,设抛物线的解析式为y＝ax2.
把(2,－2)代入,得
－2＝a×22, 解得 a＝－12, ∴y＝－12x2.
探 当水面下降1 m时,水面的纵坐标为－3.
究
与 应
令 y＝－3,则－12x2＝－3,
实际问题与二次函数(拱桥问题)课件人教版数学九年级上册
例2如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面 在1时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面 宽4m．如图建立平面直角坐标系，求抛物线的关系 式．
例3.如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB=18m． 一同学站在门内，在离门脚点1m远的D处，垂直地面立起 一根长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处．根据 这些条件，请你求出该大门的高h．
【分析】：把x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)代
入（1）中的函数关系式计算，结果与5比较即可判断.
（2）当x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)时， y=4.5＜5 ∴不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆；
例4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6 米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建 立直角坐标系（如图1所示）．
讲授新课
一 利用二次函数解决实物抛物线形问题
合作探究
你能想出办法来吗？ 建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物 线，所以应当是个二 次函数
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的 图象是这条抛物线呢？
•【分析】解决抛物线的问题，需要合理地建立 平面直角坐标系，用二次函数的性质解答，建 立直角坐标系的方法有多种，大体是以抛物线 对称轴为y轴（包括顶点在原点），抛物线经 过原点等等
例4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高 度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直 线为x轴建立直角坐标系(如图1所示)．
第二十二章 二次函数
二次函数拱桥应用题doc
二次函数拱桥应用题.doc 二次函数拱桥应用题拱桥是一种常见的建筑结构，在城市和乡村中都可以见到。
它不仅能够承载重量，还可以美化环境。
在设计和建造拱桥时，数学是一个重要的工具。
其中二次函数在解决与拱桥相关的问题时起到了重要的作用。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是实数，且a不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线，具有对称轴和顶点。
在拱桥的设计中，二次函数可以用来描述桥梁的曲线形状。
例如，我们可以用二次函数来描述一座拱桥的高度与横轴距离之间的关系。
假设我们要设计一座拱桥，使得拱桥的高度在横轴距离的不同位置上都能达到最大值，那么我们可以使用二次函数来描述这个关系。
首先，我们需要确定二次函数的顶点位置。
顶点是二次函数的最高点或最低点，它位于对称轴上。
对于拱桥来说，我们希望拱桥的高度在横轴距离的不同位置上都能达到最大值，因此我们需要找到二次函数的最高点。
假设拱桥的起点为原点(0,0)，终点为坐标为(x,y)的点。
我们可以通过求解二次函数的顶点来确定拱桥的最高点。
顶点的横坐标可以通过求解二次函数的对称轴方程得到，对称轴方程为x=-b/(2a)。
将这个值代入二次函数的表达式中，我们可以求得顶点的纵坐标。
拱桥的高度与横轴距离之间的关系可以用二次函数来描述。
这个二次函数的顶点就是拱桥的最高点，拱桥的形状由这个二次函数的图像来表示。
在实际的拱桥设计中，我们需要考虑到许多因素，如桥梁的承重能力、材料的强度、施工的成本等。
因此，我们需要在满足这些要求的前提下，选择一个合适的二次函数来描述拱桥的形状。
例如，我们可以选择一个顶点为(0,0)的二次函数y=ax^2来描述拱桥的形状。
在确定a的值时，我们需要考虑到桥梁的承重能力。
如果a的值过大，那么拱桥的曲线将会很陡峭，不利于行人和车辆的通行。
如果a的值过小，那么拱桥的曲线将会很平缓，可能无法承受桥梁的重量。
因此，我们需要在满足这些要求的前提下，选择一个合适的a的值。
二次函数拱桥问题技巧
二次函数拱桥问题技巧拱桥是一种古老而又美丽的建筑结构，广泛应用于城市的交通建设中。
在设计和建造拱桥的过程中，我们必须考虑多个因素，包括拱桥的高度、跨度、荷载以及拱线形状等。
在解决这些问题时，二次函数成为了一种能够帮助我们分析和建模的重要工具。
首先，我们需要明确二次函数的定义。
二次函数是一个以$x$的平方项为最高项的多项式函数。
其一般形式可以表示为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$和$c$是常系数。
二次函数图像呈现出一条平滑的曲线，其形状可以是开口向上或开口向下的拱形。
在拱桥问题中，我们常常需要根据已知条件建立二次函数模型，以分析和解决实际问题。
例如，假设我们想要设计一座拱桥，使得桥面的高度达到最大值，同时考虑到桥面的跨度应满足一定的要求。
这时，我们可以利用二次函数来描述桥面的高度，并通过优化方法来求解。
为了建立二次函数模型，我们需要首先确定函数的自变量和因变量。
在拱桥问题中，通常$x$轴表示桥面的宽度或跨度，$y$轴表示桥面的高度。
然后，我们需要考虑到已知条件。
例如，已知拱桥的两个支点之间的距离为$d$，那么我们可以设$x$的取值范围为$[0, d]$。
另外，对于一个平滑的拱形，我们可以假设二次函数在两个支点处的斜率为零。
这一条件可以转化为函数的导数为零的条件。
通过求解这些已知条件，我们可以确定二次函数的参数$a$、$b$和$c$的值。
在确定二次函数模型之后，我们可以利用这个模型来解决具体问题。
例如，我们可以利用二次函数模型来求解桥面的最大高度。
首先，求出二次函数的导函数$f'(x)$，然后令其等于零，解得极值点$x_0$。
接下来，我们计算$f(x_0)$，这就是桥面的最大高度。
除了求解最大高度，我们还可以利用二次函数模型来计算拱桥的其他性质。
例如，可以通过求解二次函数的零点来计算拱桥的支点位置。
在这个过程中，我们将二次函数设为零，并解得$x$的值。
这些值就是拱桥的支点的位置。
22.3二次函数和实际问题3(桥拱问题)
l
2 B 4
探究2：
0
(-2,-2)
●
y
解：设这条抛物线表示的二次函数为
y ax
x
(2,-2)
●
2
由抛物线经过点（2，-2），可得
a
所以，这条抛物线的二次函数为： 1 2 y x 2 当水面下降1m时，水面的纵坐标为 当
1 2
y 3 y 3 时，x 6
所以，水面下降1m，水面的宽 度为 2 6m.
用抛物线的知识解决生活中的一些 实际问题的一般步骤：
建立直角坐标系
二次函数 问题求解
注意变量的取值范围
找出实际问题的答案
巩固练习 1.一个涵洞的截面成抛物线形(如图),现测得, 当水面宽 AB ＝ 1.6 m 时 , 涵洞顶点与水面的距离 为2.4 m.这时,离开水 面1.5 m处,涵洞宽 ED是多少？是否会 超过1 m？ E D
C B
甲
A 1m
丙
2.5m
丁
D
乙
o
1m
4m
3.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成 一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个 规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水 2 10 面 3 米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面 高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入 水姿势，否则就会出现失误． A （1）求这条抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动 员在空中的运动路线是（1） 中的抛物线，且运动员在空中 调整好入水姿势时，距池边的 水平距离为3 3 米，问此次跳水 B 5 会不会失误？
巩固练习 有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下 河面宽20m，河面距拱顶4m，为了保证过 往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小 于18m，求水面在正常水位基础上上涨多 少米时，就会影响过往船只航行。
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建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤：
(1) 根据题意建立适当的 ________________________ ； (2) 把已知条件转化为 __________________ ； (3) 合理设出函数 ___________________ ； (4) 利用 _________________ 法求出函数解析式；
(5) 根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 知识点1 :二次函数在桥梁中的应用
1. 有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20米，拱顶距离水面4米.在如图所示 的直角坐标系中，该抛物线的解析式为 ________________________ .
2.
有一座抛物线形的立交桥拱 ，这个桥拱的最大高度为 16 m ,跨度
为40 m ,现把它的图形
放在坐标系中(如图).若在离跨度中心 M 点5 m 处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶 ，则这根铁柱
的长为 _____ m.
3. 如图是一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于 A , B 两点，拱桥最高 点C 到AB 的距离为9 m , AB = 36 m , D , E 为拱桥底部的两点，且DE // AB ，点E 到直线 AB 的距离为7 m ,则DE 的长为 ___________ m .
知识点2 :二次函数在隧道中的应用 4. 某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成
,尺寸如图如示，以隧道横断面抛物线的顶点
1
6
为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，则该抛物线的解析式为 知识点3:二次函数在其他建筑问题中的应用
5.
如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑， 大门底部地面宽4米，顶部距地
面的高度为 4.4 米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为 2.4米，该车要想通过此门， 装货 后的高度应小于( ) A. 2.80 米
B . 2.816 米
C . 2.82 米
D
. 2.826 米
\比米
L -4 棊_'
6•如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形
(曲线AOB 的薄壳屋顶.它的拱宽AB 为4 m
拱高CO 为0.8 m •建立如图的直角坐标系，则屋顶的轮廓线所在的抛物线的解析式为
知识点4 :二次函数在运动中的应用
7.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平 面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y = — x 2 + 4x(单位：米)的一部分，则水喷出 的最大高度是( )
A . 4米
B . 3米
C . 2米
D .
1米
----- 6m ----- ►
A .第3秒
B .第3.5秒
C .第4.2秒
D .第6.5秒
&军事演习在平坦的草原上进行 ，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度 y(m)与飞行时间 x(s)的关系满足
y = — 5X 2 + 10x.经过 ________ 秒炮弹到达它的最高点
，最高点的高度是
________ 米，经过 ________ 秒炮弹落到地上爆炸了.
9•竖直向上发射的小球的高度 h(m)关于运动时间t(s)的函数解析式为
h = at + bt ,其图象如
图所示.若小球在发射后第 2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是
y(m)与滑行时间x(s)之间的函数关系式是 m 才能停下来.
12
.如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端
A 处弹跳到人梯顶端椅子
B 处，其身
体(看成一点)的路线是抛物线y = — 3x 1 2+ 3x + 1的一部分.
5 (1)求演员弹跳离地面的最大高度；
⑵已知人梯高BC = 3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是4米，问这次表 演是否成功？请说明理由.
13•如图，小河上有一座拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB 和矩形的三 边AE, ED, DB 组成.已知河底 ED 是水平的，ED = 16米，AE = 8米，抛物线的顶点 C 到ED 的距离是11米，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系. (1) 求抛物线的解析式；
(2) 已知从某时刻开始的 40小时内，水面与河底 ED 的距离h(单位：米)随时间t(单位：时) 的变化满足函数关系 h =- ±(t — 19)2+ 8(0 w tw 40),且当水面到顶点 C 的距离不大于5米 时，需禁止船只通行，请过计算说明：在这一时段内 ，需多少小时禁止船只通行？
1 当h = 2.6时，求y 与x 的关系式；(不要求写出自变量 x 的取值范围)
2 当h = 2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由？
10.如图，有一座抛物线形拱桥 水面下降1 m 后，水面宽为( ,当水位线在AB 位置时，拱顶离水面2 m ,水面宽为4 m , ) A . 5 m
B . 6 m
C/, 6 m
D . 2 6m
11.某一型号飞机着陆后滑行的距离 1.5x 2，该型号飞机着陆后滑行 —
y = 60x —
14.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y = a(x —6)2 + h.已知球网与O 点的水平距离为9 m,高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.
4
、有座抛物线形拱桥（如图），正常水位时桥下河面宽20m,河面距拱顶4m为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m,求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就
会影响过往船只航行。
1、赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为
y - 1 x2
!
课后习题
当水位线在AB位置时，水面宽AB
A、5米 B 6米；
=30米，这时水面离桥顶的高度
C、8米； D 9米
h是（
）
2、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图
面的距离为2.4 m这时，离开水面 1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过
3.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m顶部C离地面咼度为
4. 4m现有一辆满载货物的汽车欲通过大
门, 判断这辆汽车能否顺利通过大门.
货物顶部距地面2.8m,装货宽度为2.4m.请
,现测得，当水面宽AB= 1.6 m时，涵洞顶点与水
1
m
q 曰。