空间向量及立体几何单元复习测试卷试题.doc

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第一章空间向量与立体几何单元检测达标卷)-2022高二数学上(人教A版2019选择性必修第一册)

第一章空间向量与立体几何（知识达标卷）一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量(3,2,5),(1,,1)a b x =-=- ,且2a b ⋅=,则x 的值为A.3B.4C.5D.62.设直线l 的方向向量是a ,平面α的法向量是n ,则”a n ⊥"是“l α "的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.如图,在四面体OABC 中,点M 在棱OA 上,且满足2OM MA =,点,N G 分别是线段,BC MN 的中点,则用向量,,OA OB OC 表示向量OG应为A.111344OG OA OB OC=++ B.111344OG OA OB OC=-+ C.111344OG OA OB OC =-- D.111344OG OA OB OC=+- 4.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,设11,2AD AA AB ===,则1BD AD ⋅等于A.1B.2C.3D.635.已知(2,1,3),(1,4,2),(7,5,)a b c λ=-=--=,若,,a b c 三个向量不能构成空间的一个基底,则实数λ的值为A.0B.357C.96.二面角的棱上有,A B 两点,直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB ,已知4,6AB AC ==,8,217BD CD ==,则该二面角的大小为A.150︒B.45︒C.60︒D.120︒7.在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ,BC CD ⊥，且AB BC CD ==,M 为AD 的中点,则异面直线BM 与CD 所成角的余弦值为A.23B.34C.33D.248.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,14AA =,2AB BC ==,动点,P Q 分别在线段1,C D AC 上,则线段PQ 长度的最小值是A.223B.233C.42D.253二、多项选择题:本题共4小题,共小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知空间中三点(0,1,0),(2,2,0),(1,3,1)A B C -,则下列结论正确的有A.AB 与AC 是共线向量B.与AB 共线的单位向量是(1,1,0)C.AB 与BC 夹角的余弦值是5511-D.平面ABC 的一个法向量是(1,2,5)-10.设动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的体对角线1BD 上,记11D P D B λ=,当APC ∠为钝角时,实数λ的可能取值是A.12 B.23 C.13D.111.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角,则下列结论中正确的是A.AC BD ⊥B.异面直线AB 与CD 所成角的大小为3π C.ADC ∆为等边三角形 D.直线AB 与平面BCD 所成角的大小为3π12.如图,已知在长方体1111ABCD A B C D -中,3,4AB AD ==,15AA =,点E 为1CC 上的一个动点,平面1BED 与棱1AA 交于点F ,则下列说法正确的是A.四棱锥11B BED F -的体积为20B.存在唯一的点E ,使截面四边形1BED F 的周长取得宝小值274C.当点E 为1CC 的中点时,在直线AD 上存在点G ,使得73CG =D.存在唯一一点E ,使得1B D ⊥平面1BED ,且3CE =三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知点(1,1,0),(1,2,0),(2,1,0),(3,4,0)A B C D ---,则AB 在CD上的投影向量的长度为.14.在平面直角坐标系中,点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--,则在空间直角坐标系中,(1,2,3)B -关于x 轴的对称点B '的坐标为,若点(1,1,2)C -关于平面0x y 的对称点为点C ',则B C ''=（本题第一空2分,第二空3分)15.如图,在长方体中,12AD AA ==,3AB =,若E 为AB 中点,则点1B 到平面1D EC 的距离为.16.在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是正方形,且1,PD AB G ==为ABC ∆的重心,则PG 与底面ABCD 所成角的正弦值为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,M ,N 分别是111,A B B C 上的点,且1112,2BM A M C N B N ==.设,AB a AC b == ,1AA c =.(1)试用,,a b c表示向量MN ;(2)若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=︒∠=∠=︒===,求MN 的长.18.已知向量(1,5,1),(2,3,5)a b =-=-.(1)若()(3)ka b a b +-,求k 的值;(2)以坐标原点O 为起点作,OA a OB b ==,求点O 到直线AB 的距离d .19.如图,在四棱锥M ABCD -中,底面ABCD 是平行四边形,且1,1,AB BC MD MD ===⊥平面,ABCD H 是MB 的中点,在下面两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.①二面角A MD C --的大小是23π;②2BAD π∠=.若,求直线CH 与平面MCD 所成角的正弦值.注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.20.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,点,E F 分别在棱11,DD BB 上,且112,2DE ED BF FB ==.(1)证明:点1C 在平面AEF 内;(2)若12,1,3AB AD AA ===,求二面角1A EF A --的正弦值.21.如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,直线PC ⊥平面,,ABC E F 分别是,PA PC 的中点.(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明;(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足DQ = 12CP,记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为二面角E l C --的大小为β,求证:sin sin sin θαβ=.22.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,四边形11AA C C 是边长为4的正方形,平面ABC ⊥平面11,3AA C C AB =,5BC =.(1)求证:1AA ⊥平面ABC ;(2)求二面角111A BC B --的余弦值;(3)证明:在线段1BC 上存在点D ,使得1AD A B ⊥,并求1BDBC的值参考答案1.C【解析】∵(3,2,5),(1,,1),3252a b x a b x =-=-∴⋅=-+-=,解得5x =,故选C.2.B 【解析】由//l α,得a n ⊥ ,则:“a n ⊥ ”是“//l α”的必要条件;由a n ⊥,得//l α或l α⊂,则“a n ⊥ ”不是"//l α"的充分条件.故“a n ⊥”是“//l α”的必要不充分条件.故选B.3.A 【解析】连接ON ,因为,N G 分别为,BC MN 的中点,所以12OG OM =+ 11211()22322ON OA OB OC =⨯+⨯+ ,化简得到111344OG OA OB OC =++,故选A .4.A【解析】方法一由长方体的性质可知AD AB ⊥,1AD BB ⊥,AD BC ,又1AD BC ==,11BD BA BC BB =++,所以11()BD AD BA BC BB AD ⋅=++⋅ 21001BA AD BC AD BB AD BC =⋅+⋅+⋅=++=.故选A .方法二以D 为坐标原点,1,,DA DC DD分别为,,x y z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则1(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,0,1)D A B D ,则1(1,2,1),(1,0,0)BD AD =--=-,则11BD AD ⋅=.故选A .5.D【解析】∵(2,1,3),(1,4,2),a b a =-=--∴与b不平行,∵,,a b c三个向量不能构成空间的一个基底,∴,,a b c三个向量共面,即存在实数X,Y,使c Xa Yb =+ ,即274532X Y X Y X Y λ-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩解得657λ=,故选D.6.C 【解析】由題意知0,0,CA AB BD AB CD CA AB BD ⋅=⋅==++ ,2222222||||||||222648268cos ,(2,CD CA AB BD CA AB BD AB CA BD CA BD =+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯⨯〈〉=解得1cos ,2CA BD 〈〉=- ,则,120CA BD 〈〉=︒ ,所以面角的大小为60︒,故选C.7.C【解析】将四面体A BCD -放在正方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则(0,0,0),(2,0,0),)(2,2,0),(1,1,1B C DM 3(1,1,1),(0,2,0),cos ,3||||BM CDBM CD BM CD BM CD ⋅==〈〉==⋅,所以异面直线BM 与CDC.8.C【解析】以D 为坐标原点,1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则1(2,0,0),(0,2,0),(0,2,4)A C C ,则可设(0,,2),[0,2]P t t t ∈,(2,,0)Q m m -,[1,2]m ∈,∴P Q ==，当且仅当1059t m ==时，PQ 取得最小值43，故选C.9.CD【解析】对于A,(2,1,0),(1,2,1)AB AC ==- ,不存在实数λ,使得AB AC λ=,所以AB 与AC不是共线向量,所以A 错误;对于B ,因为AB = (2,1,0),所以与AB 共线的单位向量为,055⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭或(0),所以B 错误;对于C ,向量(2,1,0),(3,1,1)AB BC ==- ,所以55cos ,11||||AB BC AB BC AB BC ⋅〈〉==-⋅,所以C 正确;对于D ,设平面ABC 的法向量是(,,)n x y z =,因为(2,1,0),(1,2,1)AB AC ==- ,所以00n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩,令1x =,则(1,2,5)n =-,所以D 正确,故选CD .10.AB【解析】以D 为原点,1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为1,则(1,0,0),(1,1,0)A B ,1(0,1,0),(0,0,1)C D ,111(1,0,1),(0,1,1),D A D C D B =-=-=(1,1,1)-,所以11(,,)D P D B λλλλ==-.因为11PA PD D A =+= 11(,,)(1,0,1)(1,,1),PC PD D C λλλλλλ--+-=---=+=(,,)(0,1,1)(,1,1),APC λλλλλλ--+-=---∠为钝角,所以0PA PC ⋅<,即2()(1)()(1)(1)(1)(31)0λλλλλλλ--+--+-=--<,解得113λ<<.故选AB.11.ABC【解析】如图,取BD 中点为0,连接AO,CO,易知BD⊥平面AOC,故BD AC ⊥,故A 正确;以O 为坐标原点,,,OA OB OC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形ABCD 边长为a ,则2222,0,0,0,,0,,(0,02222A B a C D a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭,故,,0,0,,2222AB a CD a a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以22112cos ,2||||a AB CD AB CD a AB CD -⋅〈〉===-⋅,故异面直线AB 与CD所成角的大小为3π,故B 正确;在直角三角形AOC 中,由AO CO ==2,2a AO CO ⊥,得AC a ==,故ADC ∆为等边三角形,故C 正确;易知ABO ∠即为直线AB 与平面BCD 所成的角,易得ABO ∠=4π,故D 错误.故选ABC .12.ABC 【解析】长方体1111ABCD A B C D -中,13,4,5AB AD AA ===,对于A ，111111B BED F E BB D F BB D V V V ---=+,易知1//CC 平面11BB D ,所以E 到平面11BB D 的距离等于1C 到平面11BB D 的距离,为125,同理F 到平面11BB D 的距离等于1A 到平面11BB D 的距离,为125,所以11B BED F V -=111111111111121112555520325325E BB DF BB D C BB D A BB D V V V V ----+=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=,故A 正确;对于B ,易知平面11//DD C C 平面11BB A A ,平面1BED F ⋂平面111DD C C D E =,平面1BED F ⋂平面11BB A A BF =,所以1//D E BF ,同理1//D F BE ,即四边形1BED F 为平行四边形,将长方体侧面11D DCC 和11B BCC 沿棱1CC 展开到同一平面内,则1D E EB +的最小值为展开面中1D B 的长度,此时E 点为1D B 与1CC 的交点,1D B =,所以四边形1BED F 的周长的最小值为B 正确;对于C ,当E 为1CC 的中点时,易知F 为1AA 的中点,在平面11DD A A 中,延长1D F ,交DA 的延长线于G ,连接CG,易知11D A F GAF ∆≅∆,得11AG A D AD ==,所以A为GD 的中点,所以在Rt GDC ∆中,CG =,故C 正确;对于D ,以D 点为坐标原点,分别以射线1,,DA DC DD 为x ,y z D xyz -,设点(0,3,),(4,3,0)E B λ,1(0,0,5)D ,1(4,3,5)B ,则1(4,0,),(4,3,5)BE D B λ=-=- ,1(4,3,5)DB =,所以114433550D B DB ⋅=⨯+⨯-⨯=,即11D B B D ⊥,要使1B D ⊥平面1BED ,则需1B D BE ⊥,即10DB BE ⋅=,所以1650λ-+=,得165λ=,即165CE =,故D 错误.故选ABC .13.322【解析】由已知(2,1,0),(5,5,0),2515015,||AB CD AB CD CD ==⋅=⨯+⨯+== ,所以AB 在CD 上的投影向量的长蝃为||AB CD CD ⋅=322=.14.(1,2,3)---【解析】由题意得1,2,3B （）关于x 轴的对称点B 的坐标为(1,2,3)---；点(1,1,2)C -关于平面xOy 的对称点为(1,1,2)C '--,所以B C ''=D 为坐标原点,1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接1CB ，由题意得0,3,0C （）,1132,,0,(0,0,2),(2,3,2)2E D B ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,02CE ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ ，1)(0,3,2CD =- ,1(2,0,2)CB = .设平面1D EC 的法向角为(,,)n x y z = ,则100CE n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即3202320x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩,令6z =,得(3,4,6),n =∴点1B 到平面1D EC的距离1||||61n CB d n ⋅==.16.31717【解析】如图,分别以,,DA DC DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,由已知,得(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0)D P A ,,(1,1,0),(0,1,0)B C ,则重心)22(,,033G ,因而(0,0,1)DP = ,22,,133GP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,设PG 与底面ABCD 所成的角为θ,则sin θ=||317|cos ,|17||||DP GP DP GP DP GP ⋅〈〉==⋅.17.【解析】(1)由题意可知1111111111133MN MA A B B N BA A B B C =++=++11111()()33333c a a b a a b c =-++-=++.(2)因为2222()2221110115a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+++++=所以||a b c ++=,所以1||||33MN a b c =++=.18.【解析】(1)(2,53,5)ka b k k k +=-+-+,3(132,533,135)(7,4,16)a b -=+⨯-⨯--⨯=--∵()//(3)ka b a b +- ∴25357416k k k -+-+==--,解得13k =-.(2)由条件知(1,5,1),(2,3,5)A B --,∴(1,5,1),(3,2,6)AO AB =--=--ˆ||1919,||7,7||AO AB AO AB AB AB ⋅⋅===∴点O 到直线AB 的距离d ==19.【解析】选①.因为MD ⊥平面ABCD ,所以,AD MD CD MD ⊥⊥,所以ADC ∠就是二面角A MD C --的平面角,所以23ADC π∠=.过D 作x 轴⊥DC ，以D 为坐标原点，,DC DM 所在直线分别为y 轴z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则11 (0,1,0),,42C H⎫⎪⎪⎝⎭,所以331(,442 CH=-取平面MCD的一个法向量(1,0,0)n=设直线CH与平面MCD所成的角为,θ则||sin|cos,|||||CH nCH nCH nθ⋅=〈〉===⋅所以直线CH与平面MCD所成角的正弦值是34.选②因为MD⊥平面,2ABCD BADπ∠=,底面ABCD是平行四边形,所以DA,DC,DM两两垂直以D为坐标原点1DA,DC,DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则111(0,1,0),,,222C H ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以111,,222CH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭取平面MCD 的一个法向量(1,0,0)n = .设直线CH 与平面MCD 所成的角为θ,则1||2sin |cos ,||||n |CA n CH n CH θ⋅=〈〉===⋅ 所以直线CH 与平面MCD.20.【解析】设1,,AB a AD b AA c ===,如图,以1C 为坐标原点,11C D 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系1C xyz -.(1)连接1C F ,则121(0,0,0),(,,),,0,,0,,,33C A a b c E a c F b c EA ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1110,,,0,,33b c C F b c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,得1EA C F =,因此1//EA C F ,即1,,,A E F C 四点共面,所以点1C 在平面AEF 内.(2)由已知得1(2,1,3),(2,0,2),(0,1,1),(2,1,0),(0,1,1)A E F A AE =-- ，1(2,0,2),(0,1,2),(2,0,1)AF AE A F =--=-=- 设1(,,)n x y z = 为平面AEF 的法向量,则1100n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即0220y z x z --=⎧⎨--=⎩,可取1(1,1,1)n =-- .设2n 为平面1A EF 的法向量,则212100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,同理可取21,2,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭因为121212cos ,7n n n n n n ⋅==-⋅ ,所以二面角1A EF A --的正弦值为7.21.【解析】(1)直线//l 平面PAC .证明如下:因为,E F 分别是,PA PC 的中点,所以//EF AC ,又EF ⊂平面,ABC AC ⊂平面ABC 所以//EF 平面ABCEF ⊂平面BEF ,平面BEF ⋂平面ABC l =,所以//EF l ,(2)如图,过B 作AC 的平行线,交圆O 于点D,由(1)可知交线l 即为直线1BD ，由题意1,2DQ CP =⋅过D 作DQ//CP,且12DQ CP =,连接,CD PQ ,易知CD 过点O以C 点为原点,分别以向量,,,CA CB CP方向为,,x y z 轴的正方向,建立空间直角坐标系.设,,2CA a CB b CP c ===,则有1(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,),,0,2C A a B b P c Q a b c E a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(0,0,)F c ,所以1,0,0,(,,),(0,,)2FE a QP a b c BF b c ⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭所以11()|||2cos 1||||2a a FE QP FE QP a α⋅-⋅===⋅sin α=因为平面ABC 的一个法向量为0,0,1m = （），所以sin |cos ,|||||m QP m QP m QP θ⋅=〈〉==⋅ 设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z = ,则00n FE n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,可得1020ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩,令y c =,则(0,,)n c b = ,所以|cos |||||m n m n β⋅==⋅,所以sin β==故sin sin sin αβθ=,即sin sin sin θαβ=.22.【解析】(1)因为四边形11AA C C 为正方形,所以1AA AC ⊥.因为平面ABC ⊥平面11AA C C ,且1AA 垂直于这两个平面的交线AC ,所以1AA ⊥平面ABC .(2)由(1)知11,AA AC AA AB ⊥⊥.由题意知3,5,4AB BC AC ===,则222AB AC BC +=,所以AB AC ⊥.如图,以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系A -xyz ,则111(0,3,0),(0,0,4),(0,3,4),(4,0)4B A B C ，.所11111(0,3,4),(4,0,0),(0,0,4),(4,3,4)A B A C BB BC =-===-.令3z =,则0,4x y ==,设平面11A BC 的法向量为(,)n x y z = ,则11100n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即34040y z x -=⎧⎨=⎩.所以平面11A BC 的一个法向量为(0,4,3)n =.设平面11B BC 的法向量为(,,)m a b c = ,则1100m BB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即404340c a b c =⎧⎨-+=⎩令3a =,得4,0b c ==,故平面11B BC 的一个法向量为(3,4,0)m =.所以16cos ,||||25n m n m n m ⋅〈〉==.由题意知二面角111A BC B --为锐角,所以二面角111A BC B --的弦㢱值为1625.（3）假设111,D x y z （，）是线段1BC 上一点,且1([0,1])BD BC λλ=∈ ,所以()111,3,(4,3,4)x y z λ-=-.解得1114,33,4x y z λλλ==-=,所以(4,33,4)AD λλλ=- .由1AD A B ⊥,得10,AD A B ⋅= 即9250λ-=,解得925λ=因为9[0,1]25∈,所以在线段1BC 上存在点D ,使得1AD A B ⊥,此时1925BD BC =.。

高中数学选择性必修一第一章《空间向量与立体几何》单元测试卷

高中数学选择性必修一第一章《空间向量与立体几何》单元测试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量()2,4,5＝a ，)3(x y ＝，，b 分别是直线1l 、2l 的方向向量，若12l l ∥，则（） A ．6x ＝，1y ＝B ．6x ＝，152y ＝C ．3x ＝，15y ＝D ．3x ＝，152y ＝2．若()1,2,1A -，()4,2,3B ，()6,9,4C -，则ABC △的形状是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形3．如图，空间四边形C OAB 中，OA =a ，OB =b ，C O =c ，点M 在OA 上，23OM =OA ，点N 为C B 中点，则MN 等于（）A ．121232-+a b cB ．211322-++a b cC ．111222+-a b cD ．221332+-a b c4．在空间直角坐标系Oxyz 中，点()2,2,1A 关于xOy 平面对称的点的坐标为（）A ．()1,2,2B ．()2,2,1--C ．()2,2,1-D ．()2,2,1---5．已知空间上的两点()121A -，，，()203B -，，，以AB 为体对角线构造一个正方体，则该正方体的体积为（） A ．3B ．23C ．9D ．336．把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，则异面直线AD ，BC 所成的角为（） A ．120︒B ．30︒C ．90︒D ．60︒7．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N 分别是BD 和AD 的中点，则1B M 与1D N 所成角的余弦值为（）A 30B 30C 30D 15 8．设()321=--，，a 是直线l 的方向向量，()121=-，，n 是平面的法向量，则（） A ．l a ⊥B ．l a ∥C ．l a ⊂或l a ⊥D ．l a ∥或l a ⊂9．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值为（） A ．24B ．23C ．33D ．3210．在正四棱锥S ABCD -中，O 为顶点S 在底面的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO OD =，则直线BC 与平面PAC 所成的角是（） A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒11．如图，四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，3AB AD PB ===，点E 在棱PA 上，且2PE EA =，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为（）A ．23B ．66C ．33D ．6312．如图，已知正方体ABCD EFGR -的上底面中心为H ，点O 为AH 上的动点，P 为FG 的三等分点（靠近点F ），Q 为EF 的中点，分别记二面角P OQ R --，Q OR P --，R OP Q --的平面角为α，β，γ，则（）A ．γαβ<<B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．βαγ<<二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．设平面α的法向量为()122-，，，平面β的法向量为()24λ，，，若αβ∥，则λ的值为______．14．已知()1,2,1A -，()2,2,2B ，点P 在z 轴上，且PA PB =，则点P 的坐标为____________．15．如图，直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，则顶点1B 的坐标是__________．16．正四棱锥S ABCD -的八条棱长都相等，SB 的中点是E ，则异面直线AE ，SD 所成角的余弦为__________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）如图，PD 垂直正方形ABCD 所在平面，2AB ＝，E 是PB 的中点，,3cos DP AE =．（1）建立适当的空间坐标系，求出E 的坐标；（2）在平面PAD 内求一点F ，使EF ⊥平面PCB ．18．（12分）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且1OA =，2OB OC ==，E 是OC 的中点．（1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；（2）求直线BE 和平面ABC 的所成角的正弦值．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为23的菱形， 60BAD ∠=︒，PD ⊥平面ABCD ，23PD =，E 是棱PD 上的一个点，23DE =，F 为PC 的中点．（1）证明：BF ∥平面ACE ；（2）求直线AF 与平面ACE 所成角的正弦值．20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA AB ⊥，PA BC ⊥，//AP CQ ，22AB BC ==，332CQ AP ==．（1）求直线PD 与平面BPQ 所成角的正弦值；（2）求二面角A PQ B --的余弦值．21．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，且22AD BC CD ==，PA PB PD ==．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）设45PAD ∠=︒，求二面角B PD C --的余弦值．22．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥面ABCD ，M 是棱PD 的中点，且2AB AC PA ===，22BC =．（1）求证：CD ⊥面PAC ；（2）求二面角M AB C --的大小；（3）若N 是AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 成角的正弦值为105，求ANNB的值．高中数学选择性必修一第一章《空间向量与立体几何》单元测试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】，解得：6x =，152y =．故选B ． 2．【答案】C【解析】因为()3,4,2AB =、()5,7,3AC =-、()2,11,1BC =-，所以0AB AC ⋅<可知角A 为钝角，故ABC △的形状是钝角三角形．选C ． 3．【答案】B【解析】由题意1132MN MA AB BN OA OB OA BC =++=+-+211211322322OA OB OC OB OA OB OC =-++-=-++；又OA =a ，OB =b ，C O =c ，∴211322MN =-++a b c ．故选B ．4．【答案】C【解析】关于xOy 平面对称的点横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为它的相反数，从而有点()2,2,1A 关于xOy 平面对称的点的坐标为()2,2,1-，选C ． 5．【答案】D【解析】∵()121A -，，，()203B -，，，∴3AB ==，设正方体的棱长为a 3=，解得a =∴正方体的体积为3=D ．6．【答案】D 【解析】如图建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()002A ，，，()200B ，，，()020C ，，，()200D -，，，故()202AD =--，，，()220BC =-，，，则2AD BC ⋅=，2AD =，2BC =，所以1cos 2AD BC =，，故选D ． 7．【答案】A【解析】建立如图所示的空间坐标系，设边长为a ．则()000D ，，，()1002D a ，，，()1222B a a a ，，，()0M a a ，，，()00N a ，，，故()102ND a a =-，，，()12B M a a a =---，，，所以15ND a =，16B M a =，2113ND B M a ⋅=-，则211330cos 56a ND B M a a-==，，应选答案A ．8．【答案】D【解析】因为()()()3122110⋅=⨯+-⨯+-⨯-=a n ，所以⊥a n ，即l a ∥或l a ⊂．故选D ．9．【答案】C【解析】分别以DA，DC，1DD为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系设正方体的棱长为1，可得()0,0,0D，()1,1,0B，()10,1,1C，()11,0,1A，∴()11,0,1BC=-，()11,0,1A D=--，()1,1,0BD=--，设(),,x y z=n是平面1A BD的一个法向量．∴1A DBD⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=nn，即x zx y+=+=⎧⎨⎩取1x=，得1y z==-，∴平面1A BD的一个法向量为()1,1,1=--n，设直线1BC与平面1A BD所成角为θ，∴11126sin cos,323BCBCBCθ⋅-=〈〉===⨯nnn，∴23cos1sin3θθ=-=，即直线1BC与平面1A BD所成角的余弦值是33．故选C．10．【答案】D【解析】如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O xyz-．设OD SO OA OB OC a=====，则00A a（，，），00B a（，，），00C a-（，，），022a aP⎛⎫-⎪⎝⎭，，，()2,0,0CA a=，,,22a aPA a⎛⎫=--⎪⎝⎭，设平面PAC的法向量为(),,x y z=n，则2022axa aax y z=⎧--+=⎪⎨⎪⎩可求得()0,1,1=n，则1cos ,2BC=n， ,60BC=︒n，∴直线BC与平面PAC所成的角为906030︒-︒=︒．故选D．11．【答案】B【解析】以B为坐标原点，分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B，()0,3,0A，()0,0,3P，()3,3,0D，()0,2,1E，∴()0,2,1BE=，()3,3,0BD=，设平面BED的一个法向量为(),,x y z=n，则20330BE y zBD x y⋅=+=⋅=+⎧⎪⎨⎪⎩=nn，取1z=，得11,,122⎛⎫=-⎪⎝⎭n，平面ABE的法向量为()1,0,0=m，∴162,6612cos==⨯n m．∴平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为66．故选B．12．【答案】D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系．考虑点与点A重合时的情况．设正方体的棱长为1，则1103P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1Q 002⎛⎫⎪⎝⎭，，，()R 010，，，()O 001，，．设平面的一个法向量为()1x y z =，，n ，由()()1110102211002323x OQ x y z z x y PQ x y z ⎛⎫⋅=⋅-=-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⋅=⋅--⎩=--= ⎪⎝⎭，，，，，，，，n n ，得322x y x z ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，令2x =，得()12,3,1=-n ．同理可得平面OPR 和平面OQR 的法向量分别为()2233=，，n ，()3637=，，n ．结合图形可得：13cos cos 747α==⨯，n n ，23cos cos 1147β==⨯，n n ，12cos cos 711γ==⨯，n n cos cos cos γαβ<<，又0γ<，,αβ<π，∴γαβ>>．故选D ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】4-【解析】设平面α的法向量()122=-，，m ，平面β的法向量()24λ=，，n ，因为αβ∥，所以∥m n ，所以存在实数k ，使得k =m n ，所以有12224kk k λ=-==⎧⎪⎨⎪⎩，解得4λ=-，故答案为4-．14．【答案】()003，，【解析】设0(0)P z ，，，由PA PB =，得()()22141442z z ++-=++-，解得3z =，故点P 的坐标为()003，，． 15．【答案】()3,1,2【解析】2sin 33x =π=，2cos 13y =π=，2z = ，即顶点1B 的坐标是()3,1,2．16．【答案】33【解析】以正方形ABCD 的中心O 为原点，平行于AB 的直线为x 轴，平行于AD 的直线为y 轴，SO 为z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，设四棱锥S ABCD -棱长为2，则()1,1,0A --，()1,1,0B -，()0,0,2S ，()1,1,0D -，112,,222E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以312,,222AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()1,1,2SD =--，∴311322cos ,3911112442AE SD -+-==-++⋅++．故异面直线AE ，SD 所成角的余弦值为33．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）111（，，）；（2）点F 的坐标是100（，，），即点F 是AD 的中点．【解析】（1）分别以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系，如图，则200A （，，），220B （，，），020C （，，），设2PD m =，002P m （，，），则11E m （，，），∴11AE m =-（，，），002DP m （，，=） ∴22,23cos 3112m DP AE m m==++⋅，解得1m =．∴点E 坐标是111（，，）；（2）∵F ∈平面PAD ，∴可设0F x z （，，），111EF x z ---=（，，），又EF ⊥平面PCB ，∴EF CB ⊥⇒()()1102?20x z --⋅-=，，-1，，，解得1x =；又∵EF PC ⊥∴()()1110220x ---⋅-=，，z ，，0z ⇒=， ∴点F 的坐标是100（，，），即点F 是AD 的中点． 18．【答案】（1）25；（2）30．【解析】（1）以O 为原点，OB 、OC 、OA 分别为X 、Y 、Z 轴建立空间直角坐标系．则有001A （，，）、200B （，，）、020C （，，）、010E （，，） ∴210EB -=（，，），021AC -=（，，），∴cos 5525EB AC ==-⋅,，所以异面直线BE 与AC 所成角的余弦为25．（2）设平面ABC 的法向量为()1x y z =，，n ，则1AB ⊥n 知120AB x z ⋅=-=n ，1AC ⊥n 知120AC y z ⋅=-=n 取()11,1,2=n ，则1sin3030EB=,n，故BE和平面ABC的所成角的正弦值为3030．19．【答案】（1）见解析；（2）26．【解析】（1）证明：连接BD，设BD AC O=，取PE的中点G，连接BG，OE，FG，在BDC△中，因为O，E分别为BD，DG的中点，所以OE BG∥，又BG⊄平面AEC，所以BG∥平面AEC，同理，在PEC△中，FG CE∥，FG∥平面AEC，因为BF⊂平面AEC，所以BF∥平面AEC．（2）以O为坐标原点，分别以OB，OC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，在等边三角形ABD中，因为23AB=3OA=，3OB=因此()0,3,0A-，()0,3,0C，233,0,E⎛⎝⎭，(3,0,23P，3332F⎛⎝，且233,3,EC⎛=⎭，()0,3,0OC=，3932AF⎛=-⎝，设平面ACE的一个法向量为(),,x y z=n，则23033030EC x yOCy⎧⎪⎨⎪⎩⎧⋅=+-=⎪⇒⎨⋅=⎪=⎩nn，取2x=，得()2,0,3=n，直线AF 与平面ACE 所成的角为θ，则33326sin 2638149344AF AFθ-+⋅===⋅+++n n ．20．【答案】（1）55；（2）755．【解析】∵PA AB ⊥，PA BC ⊥，∴PA ⊥底面ABCD ，又底面ABCD 为矩形， ∴分别以AB ，AD ，AP 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,1,0D ，()0,0,2P ，()2,1,3Q ． ∴()0,0,2AP =，()2,0,2BP =-，()2,1,1PQ =，()0,1,2PD =-．（1）设平面BPQ 的一个法向量()1111,,x y z =n ，则11111110220 200BP x z x y z PQ ⎧⎪⎨⎪⋅=-+=⎧⇒⎨++⋅=⎩⎩=n n ，令11z =，得()11,3,1=-n ，∴PD 与平面BPQ 所成角的正弦值11555sin 11511PD PDθ⋅===⨯n n ．（2）设平面APQ 的一个法向量()2222,,n x y z =，则222222020200AP z x y z PQ ⎧⎪⎨⋅==⎧⇒⎨++=⋅=⎩⎪⎩n n 令21x =，得 ()21,2,0=-n ，∴1212127755cos ,55115⋅===⨯n n n n n n ，∴二面角A PQ B --的余弦值为75555． 21．【答案】（1）见解析；（2）63．【解析】（1）证明：如图，取AD ，AB 的中点O ，G ，连接OB ，OP ，OG ，PG ，则四边形OBCD 为正方形，∴OA OB =，∴OG AB ⊥．又PA PB =，∴PG AB ⊥，又OGPG G =∴AB ⊥平面POG ，又PO ⊂平面POG ，∴AB PO ⊥． ∵PA PD =，∴PO AD ⊥．又ABAD A =，∴PO ⊥平面ABCD ．又PO ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）解：由（1）知OB ，OD ，OP ，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，∵45PAD ∠=︒，PO AD ⊥，∴PO OA OB OD ===．令1OA OB OD ===，则()0,0,1P ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ， ∴()1,0,1PB =-，()0,1,1PD =-，()1,0,0CD =-．设平面PBD 的一个法向量为()1111,,x y z =n ，由11PBPD⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩nn，得111111PB x zPD y z⋅=-=⋅⎧⎪⎨⎩==⎪-nn，取11x=，得()11,1,1=n．又设平面PCD的法向量为()2222,,x y z=n，由22CDPD⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩nn得22222CD xPD y z⋅=-=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩-=nn，取21y=，得()20,1,1=n，∴1212120116cos,332⋅++===⋅⋅n nn nn n，由图形得二面角B PD C--为锐角，∴二面角B PD C--的余弦值为63．22．【答案】（1）见解析；（2）4π；（3）1ANNB=．【解析】证明：（1）连结AC．因为在ABC△中，2AB AC==，22BC=，所以222BC AB AC=+，所以AB AC⊥．因为AB CD∥，所以AC CD⊥．又因为PA⊥地面ABCD，所以PA CD⊥．因为AC PA A=，所以CD⊥平面PAC．（2）如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0A，()0,0,2P，()2,0,0B，()0.2.0C，()2,2,0D-．因为M是棱PD的中点，所以()1,1,1M-．所以()1,1,1AM=-，()2,0,0AB=．设(),,x y z=n为平面MAB的法向量，所以0AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即020x y z x -++=⎧⎨=⎩，令1y =，则011x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以平面MAB 的法向量()0,1,1-n =．因为PA ⊥平面ABCD ，所以()0,0,2AP =是平面ABC 的一个法向量．所以2cos 22AP AP AP⋅===-⨯n n,n ．因为二面角M AB C --为锐二面角，所以二面角M AB C --的大小为4π．（3）因为N 是棱AB 上一点，所以设(),0,0N x ，(),2,0NC x =-．设直线CN 与平面MAB 所成角为α，因为平面MAB 的法向量()0,1,1=-n ，所以210sin cos 224ACAC x ααπ⋅⎛⎫=-== ⎪⎝⎭⨯+n n ．解得1x =，即1AN =，1NB =，所以1ANNB=．。

空间向量与立体几何单元测试题(学生版)

空间向量与立体几何单元测试题一、选择题1、若a ,b ,c是空间任意三个向量, R λ∈,下列关系式中,不成立的是（）A ．a b b a +=+B ．()a b a b λλλ+=+C ．()()a b c a b c ++=++ D ．b a λ=2、已知,a b均为单位向量,它们的夹角为60︒,那么3a b + 等于（）A ．43、1,2,,a b c a b ===+ 且c a ⊥,则向量a b 与的夹角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒4、已知()()3,2,5,1,,1,a b x =-=- 且2a b ⋅=,则x 的值是（）A ．3B ．4C ．5D ．65、若直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n,则能使//l α的是（） A ．()()1,0,0,2,0,0a n ==- B ．()()1,3,5,1,0,1a n ==C ．()()0,2,1,1,0,1a n ==--D ．()()1,1,3,0,3,1a n =-=6、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E 是A 1B 1中点,则E 到平面ABC 1D 1的距离是（）A ．2 B ．2 C ．12D ．3 7、设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（）Ａ．4-Ｂ．9Ｃ．9-Ｄ．6498、已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上中线长( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9、下列各组向量中不平行的是（）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g10、直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 11、已知a ＝(－5,6,1)，b ＝(6,5,0)，则a 与b ( )A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向12、已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x 等于( )A ．4B ．－4 C.12D ．－613、若A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于( )A ．19B ．－87C.87 D.191414、在以下命题中，不正确的个数为( )①|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P 、A 、B 、C 四点共面； ④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底；⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4 D ．515、若a 、b 均为非零向量，则b a ⋅是a 与b 共线的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题 16、已知直线l 的方向向量为v ＝(1，－1，－2)，平面α的法向量u ＝(－2，－1,1)，则l 与α的夹角为________．17、已知向量)1,5,3(=a ，)3,2,2(=b ，)3,1,4(--=c，则向量c b a 432+-的坐标为 .18、若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ，则(23)(2)a b a b -+=____ _____________.19、已知),2,3()0,2,(2,x x b x a -==，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是____ ___.20、已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-= ，若a ⊥ b ，则=x ______；若//a b则=x ______.三、解答题21、已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点)22、设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k ，试问是否存在实数λμν，，，使4123a a a a λμν=++成立？如果存在，求出λμν，，；如果不存在，请写出证明．图823、如图8，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．求证：(1)AC ⊥BC 1；(2)AC 1∥平面CDB 1.24、在正棱锥P －ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△PAB 的重心，E ，F 分别是BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.求证：(1)平面GEF ⊥平面PBC ；(2)EG ⊥PG ，EG ⊥BC.25、如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系．（1）写出A 、B 1、E 、D 1的坐标；（2）求直线AB 1与D 1E 所成的角的余弦值。

空间向量与立体几何单元测试题

空间向量与立体几何单元测试题一、选择题1、若a,b,c是空间任意三个向量, Rλ∈,下列关系式中,不成立的是（）A.a b b a+=+ B.()a b a bλλλ+=+C．()()a b c a b c++=++D．b aλ=2、给出下列命题①已知a b⊥, 则()()a b c c b a b c⋅++⋅-=⋅;②A、B、M、N为空间四点,若,,BA BM BN不构成空间的一个基底, 则A、B、M、N共面;③已知a b⊥,则,a b与任何向量不构成空间的一个基底;④已知{},,a b c是空间的一个基底,则基向量,a b可以与向量m a c=+构成空间另一个基底.正确命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43、已知,a b均为单位向量,它们的夹角为60︒,那么3a b+等于（）ABCD．44、1,2,,a b c a b===+且c a⊥,则向量a b与的夹角为（）A．30︒B．60︒C．120︒D．150︒5、已知()()3,2,5,1,,1,a b x=-=-且2a b⋅=,则x的值是（）A．3 B．4 C．5 D．66、若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则能使//lα的是( )A()()1,0,0,2,0,0a n==-B．()()1,3,5,1,0,1a n==C()()0,2,1,1,0,1a n==--D．()()1,1,3,0,3,1a n=-=7.空间四边形OABC中，OB OC=，3AOB AOCπ∠=∠=，则cos<,OA BC>的值是（）A．21B．22C．－21D．08、正方体ABCD-1111DCBA的棱长为1,E是11BA中点,则E到平面11DABC的距离是（）A．B．C．12D．9．若向量a与b的夹角为60°，4=b，(2)(3)72a b a b+-=-，则a=（）Ａ．2Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．1210．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．1030B．21C．1530D．10151文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.2文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑. 11．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝21PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点， OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面ABC 所成角的正弦值（）A ．42B ． 33C ．414D ．301012．正三棱柱111C B A ABC-的底面边长为3，侧棱3231=AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小（）A ．3π B ．6π C ．65πD ．32π二、填空题13、已知(121)A -，，关于面xOy 的对称点为B ，而B 关于x 轴的对称点为C ，则BC = 14、△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=60︒,则AD 与平面BCD 所成角为 .15、若直线l 的方向向量为(4,2,m),平面α的法向量为(2,1,-1),且l ⊥α,则m = . 16、已知ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，2PD AD PD AD ⊥==，，二面角P AD C --为60°，则P 到AB 的距离为三、解答题17、已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为a 的正方形,PA ⊥底面ABCD,E 为PC 上的点且CE ：CP=1：4,求在线段AB 上是否存在点F 使EF//平面PAD? 18、如图，已知点P 在正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°. （1）求DP 与CC 1所成角的大小；（2）求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小.19、三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=，1A A ⊥平面ABC ，13A A =，2AB =，2AC =，111AC =，12BD DC =．（Ⅰ）证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ；（Ⅱ）求二面角1A CC B --的平面角的余弦值．20．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截面而得到的，其中14,2,3,1AB BC CC BE ====.（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面1AEC F 的距离.参考答案选择题DCCCC DDBCA CA 填空题13. (042)--，， 14. 30︒ 15. -2 16.7解答题17、解：建立如图所示的空间直角坐标系，设PA=b ，则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,b), 则(),,CP a a b =--,∵E 为PC 上的点且CE ：CP=1：3,∴()11,,,,44444a a b CE CP a a b ⎛⎫=⋅=⋅--=-- ⎪⎝⎭A 1C 1B 1A B CDP x yzH3文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.∴由33,,444a a b CE AE AC AE CE AC ⎛⎫=-⇒=+= ⎪⎝⎭, 设点F 的坐标为(x,0,0,) (0≤x ≤a),则33,,444a a b EF x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭, 又平面PAD 的一个法向量为(),0,0AB a =,依题意,33044a a EF AB x a x ⎛⎫⊥⇒-⋅=⇒=⎪⎝⎭, ∴在线段AB 上存在点F,满足条件,点F 在线段AB 的34处.18 解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''．在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ．设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知60DH DA <>=，，由cos DA DH DA DH DA DH =<>，可得2m =m =，所以2122DH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，．（Ⅰ）因为0011cos 2DH CC ++⨯'<>==，，所以45DH CC '<>=，．即DP 与CC '所成的角为45．（Ⅱ）平面AA DD ''的一个法向量是(010)DC =，，．因为01101cos 2DH DC ++⨯<>==，，所以60DH DC <>=，．可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30． 19. 解：解法一：（Ⅰ）1A A⊥平面ABC BC⊂，平面ABC ，∴1A A BC ⊥．在Rt ABC △中，2AB AC BC ==∴=，:1:2BD DC =，3BD ∴=，又3BD ABAB BC==，DBA ABC ∴△∽△，90ADB BAC ∴∠=∠=，即AD BC ⊥．又1A A AD A =，BC ∴⊥平面1A AD ，BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．（Ⅱ）如图，作1AE C C ⊥交1C C 于E 点，连接BE ，A 1 AC 1B 1BD CFE（第19题，解法一）4文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.由已知得AB ⊥平面11ACC A ．AE ∴是BE 在面11ACC A 内的射影．由三垂线定理知1BE CC ⊥，AEB ∴∠为二面角1A CC B --的平面角．过1C 作1C F AC ⊥交AC 于F 点，则1CF AC AF =-=，11C F A A =，160C CF ∴∠=．在Rt AEC △中，sin 6022AE AC ==⨯= 在Rt BAE △中，tan 3AB AEB AE ===．arctan AEB ∴∠= 即二面角1A CC B --为arctan解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则11(000)0)(020)(00A B C A C ，，，，，，，，，，:1:2BD DC =，13BD BC ∴=．D ∴点坐标为2033⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，．∴22033AD ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，，，1(220)(00BC AA =-=，，，．10BC AA =，0BC AD =，1BC AA ∴⊥，BC AD ⊥，又1A A AD A =，BC ∴⊥平面1A AD ，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．（Ⅱ）BA ⊥平面11ACC A ，取(20)AB ==，，m 为平面11ACC A 的法向量，设平面11BCC B 的法向量为()l m n =，，n ，则100BC CC ==，n n ． 200m m ⎧+=⎪∴⎨-+=⎪⎩，，l n ∴==，，如图，可取1m =，则3=⎭，，n，22010cos 5(2)1⨯+<>==+，m n ，1A CC B --为15arccos5．（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,4,0)B1(2,0,0),(0,4,0),(2,4,1),(0,4,3)C E C 设(0,0,)F z . ∵1AEC F 为平行四边形，（II ）设1n 为平面1AEC F 的法向量， 111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为α，则（第19题，解法二）5文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑..333341161133||||cos 1111=++⨯=⋅=n CC α∴C 到平面1AEC F 的距离为.11334333343cos ||1=⨯==αCC d。

空间向量与立体几何单元测试有答案

第三章空间向量与立体几何单元测试(时间：90分钟满分：120分）第Ⅰ卷（选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．以下四组向量中，互相平行的组数为()①a＝(2，2,1），b＝(3，－2，－2)；②a＝(8,4，－6)，b＝（4，2,－3)；③a＝(0，－1，1),b＝（0，3，－3)；④a＝（－3,2,0），b＝（4,－3,3）A．1组B．2组C．3组D．4组解析：∵②中a＝2b，∴a∥b;③中a＝－错误!b，∴a∥b；而①④中的向量不平行．答案：B2．在以下命题中,不正确的个数为(）①｜a｜－|b|＝｜a＋b｜是a，b共线的充要条件;②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C,若错误!＝2错误!－2错误!－错误!，则P,A,B，C四点共面；④若{a，b，c｝为空间的一组基底,则{a＋b，b＋c,c＋a｝构成空间的另一组基底；⑤｜（a·b)·c｜＝｜a｜·|b|·|c|.A．2个B．3个C．4个D．5个解析：①|a｜－|b｜＝｜a＋b|⇒a与b共线，但a与b共线时|a｜－|b|＝｜a＋b|不一定成立，故不正确；②b需为非零向量，故不正确;③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．答案：C3．如图，已知四边形ABCD为矩形,P A⊥平面ABCD,连接AC,BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是()A.错误!与错误!B。

错误!与错误!C。

错误!与错误!D。

错误!与错误!解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设矩形ABCD的长、宽分别为a，b，P A长为c，则A（0,0，0)，B（b，0，0)，D(0，a,0)，C(b，a,0），P（0,0，c）．则错误!＝(b，a，－c),错误!＝(－b,a，0），错误!＝（0，－a，0），错误!＝（b，0，－c），错误!＝(0，a，－c)，错误!＝（b，0,0），错误!＝（0,0，－c），错误!＝（－b，0，0）．∴错误!·错误!＝－b2＋a2不一定为0.错误!·错误!＝0,错误!·错误!＝0，错误!·错误!＝0。

空间向量与立体几何复习及单元检测卷

为。
三．解答题 16．如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是 DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系．（1）写出 A、B1、E、D1 的坐标；（2）求 AB1 与 D1E 所成的角的余弦值．
2
17．在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，如图Ｅ、
z
一．选择题题号 1 答案 D 二．填空题 9、－15 2 D 3 B 4 A 5 A 6 D 7 C 8 C
10、90°11．
1 1 2 11 、．12． 60°13． 90°14、 15、 6 5 2 11
三．解答题（本大题 6 小题，共 74 分） 16．解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)， D1(0, 2, 2) → → (2)∵ AB1 ＝(0, -2, 2)， ED1 ＝(0, 1, 2) → → → → ∴ | AB1 |＝2 2 ， | ED1 |＝ 5 ， AB1 · ED1 ＝ 0－2＋4＝2, → → AB1 · ED1 → → ∴ cos AB1 ， ED1 ＝＝ → → | AB1 |·| ED1 | 2 10 10 ＝ 10 ．∴ AB1 与 ED1 所成的角的余弦值为 10 ． 2 2× 5 17．解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为 1，则 D（0，0，0），A（1，0，0）， D1 （0， 0，1）， 1 1 E（1，1，），F（0，，0）， 2 2 1 则 D1 F ＝（0，，－1），D A ＝（1， 0， 0）， 2 1 AE ＝（0，1，），则 D1 F DA ＝0， x 2 D1 F AE ＝0， D1 F DA ， D1 F AE . D1 F 平面 ADE.

空间向量单元测试题(原卷版)

2021-2022年度高二第一学期单元测试空间向量与立体几何一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，M ，N 分别为1A B 和AC 上的点，123aA M AN ==，则MN 与平面11BB C C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定2. 已知正四面体ABCD 的棱长为1，点E 、F 分别是AD 、DC 中点，则(EF AB = )A ．14B ．14-C ．34D ．34-3. 三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，当直线PN 与平面ABC 所成的角取最大值时，λ的值为( )A ．12B 2C 3D 254. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，3BC =，16AA =，则异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为( )A ．60︒B ．45︒C ．30︒D ．15︒5. 如图，60︒的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4AB =，6AC =，8BD =，则CD 的长为( )A 17B ．7C ．217D ．96. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A D ，11D C 的中点，则过B ，E ，F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为( )A ．52B ．62C 2213D 24137. 在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =11BC AA ==，点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P 、Q 可以重合），则MP PQ +的最小值为( ) A 2B 3C ．34D ．18. 把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论：①AC BD ⊥；②ADC ∆是正三角形；③AB 与CD 成60︒角；④AB 与平面BCD 成60︒角．则其中正确结论的个数是( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M ，N 两点，设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是 ② ．（在横线上填上正确的序号，多选少选都不得分）14.如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成△1A DE ．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻折过程中，下列命题正确的是．（写出所有正确的命题的编号） ①线段BM 的长是定值； ②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使1DE AC ⊥； ④存在某个位置，使//MB 平面1A DE ．15.正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱11A B ，BC 上的动点，且1A E BF =，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是．16.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，E ，F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点A ，E ，F 的平面把正方体1111ABCD A B C D -截成两部分，则截面的周长为．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 如图，直线AQ ⊥平面α，直线AQ ⊥平行四边形ABCD ，四棱锥P ABCD -的顶点P 在平面α上，7AB =3AD ，AD DB ⊥，AC BD O =，//OP AQ ，2AQ =，M ，N分别是AQ 与CD 的中点．（1）求证：//MN 平面QBC ；（2）求二面角M CB Q --的余弦值．18. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ⊥，2AE AD ==．（Ⅰ）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；（Ⅱ）求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是223．19. 如图，已知长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，M 为DC 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（1）求证：AD BM ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦值为55．20. 如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ∠=∠=︒．F 为PA 中点，2PD =，112AB AD CD ===．四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N ．（Ⅰ）求证：//AC 平面DEF ；（Ⅱ）求二面角A BC P --的大小；（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？若存在，求出Q 点所在的位置；若不存在，请说明理由．21. 已知长方形ABCD 中，1AB =，2AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示．（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD ，AD 与BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 值；若不垂直，请说明理由．（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值．22. 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且1==，PO OB（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P ABC-体积的最大值；（Ⅲ）若2BC=，点E在线段PB上，求CE OE+的最小值．。

《第一章空间向量与立体几何》单元检测试卷与答案解析(共三套)

《第一章空间向量与立体几何》单元检测试卷（一）第I 卷（选择题）一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）1．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( )A ．1-B ．1CD ．732．已知PA =（2，1，﹣3），PB =（﹣1，2，3），PC =（7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（） A ．9B ．﹣9C ．﹣3D ．33．下列说法正确的是（）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等4．若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A ．l α⊂B ．//l αC ．l α⊥D ．l 与α相交5．在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（）A ．23B ．3C ．3D ．137．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）AB ．2C D 8．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）9．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（）A ．11B E A B ⊥ B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 10．正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π 11．设a ，b ，c 是空间一个基底，则( ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z)，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底12．（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．若(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =，则()a b c +=___________．14．已知平面α的一个法向量10,,2n ⎛=- ⎝，A α∈，P α∉，且122PA ⎛=- ⎝，则直线PA 与平面α所成的角为______．15．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =________．16．如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，若顶点,B C 到平面α，则顶点D 到平面α的距离是_____.四、解答题（17题10分，其余题目12分每题，共70分）17．如图，2BC =，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为(2，12，0)，点D 在平面yOz 上，且90BDC ∠=︒，30DCB ∠=︒．（1）求向量CD 的坐标．（2）求AD 与BC 的夹角的余弦值．18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ︒∠=∠=．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度；（2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．19．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点．（1）求证：NM ∥平面11A ADD ；（2）求证：NM ⊥平面11A B M ．20．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AC BD ⊥，1BC =，14A D A A ==.（1）证明：面1ACD ⊥面1BB D ；（2）求二面角11B AC D --的余弦值.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB DC ，E 为线段PD 的中点，已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒．（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．22．如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=︒，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值；（3）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF ，求线段AP 的长．答案解析第I 卷（选择题）一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）1．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( )A ．1-B ．1CD ．73【答案】A 【解析】如图所示由正四面体的性质可得：PA BC ⊥ 可得：0PA BC ⋅=E 是棱AB 中点12PEPA PB 111122cos12012222PE BC PA PB BCPA BC PB BC 故选：A【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.2．已知PA =（2，1，﹣3），PB =（﹣1，2，3），PC =（7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（） A ．9 B ．﹣9C ．﹣3D ．3【答案】B【解析】由P ，A ，B ，C 四点共面，可得,,PA PB PC 共面，(2,2,33)(7,6,)xPA yPB x y x y C y P x λ∴=+=-+-+=，272633x y x y x y λ-=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩，解得419x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. 故选:B.3．下列说法正确的是（）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等【答案】C【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错.B 项，空间基底有无数个, 所以B 错.D 项中因为基底不唯一，所以D 错.故选C .4．若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A ．l α⊂ B ．//l αC ．l α⊥D ．l 与α相交【答案】C【解析】∵直线l 的方向向量为()1,2,3a =-，平面α的法向量为()3,6,9n =--，∴13a n =-，∴a n ， ∴l α⊥．故选C ．5．在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-【答案】A【解析】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则()()()()1100,012,121,002M N O D ，，，，，，，，， ∴()()11,1,2,1,2,1MN OD =-=--．则1111cos ,66MN OD MN OD MN OD ⋅===． ∴异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为16,故选A ．6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AAAB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（） A ．23B C．3D ．13【答案】A【解析】设1AB =11BD BCDC ∴===，1BDC ∆面积为3211C BDC C BCD V V --=131********d d ∴⨯⨯=⨯⨯∴=2sin 3d CD θ∴== 7．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）AB．2CD【答案】D【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1）， 1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1），设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d＝||2||5EM n n ⋅==，N 为EM 中点，所以N到该面的故选：D ．8．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A ．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=，即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+，根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q . 故选：C.二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）9．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD【解析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-，因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y = 所以(1,2,1)n =，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误；在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高，所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD.10．正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π 【答案】BC【解析】由题可知，1B G 在底面上的射影为BG ，而BC 不垂直BG ，则1B G 不垂直于BC ，则选项A 不正确；连接1AD 和1BC ，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，可知11////EF BC AD ，所以AEF ∆⊂平面1AD EF ，则平面AEF平面111AA D D AD =，所以选项B 正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，则各点坐标如下：()()()()()()12,0,0,0,2,0,0,2,1,2,0,2,2,2,1,1,2,0A C E A H F ()()()()110,2,1,1,2,0,1,0,1,0,0,2A H AF EF AA =-=-=-=，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则00n AF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得2,2x z ==，得平面AEF 的法向量为()2,1,2n =，所以10A H n ⋅=，所以1//A H 平面AEF ，则C 选项正确；由图可知，1AA ⊥平面AFC ，所以1AA 是平面AFC 的法向量，则1112cos ,3AA n AA n AA n⋅<>===⋅. 得知二面角E AF C --的大小不是4π，所以D 不正确. 故选：BC.11．设a ，b ，c 是空间一个基底，则( ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z)，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底【答案】BCD【解析】对于A 选项，b 与,a c 都垂直，,a c 夹角不一定是π2，所以A 选项错误. 对于B选项，根据基底的概念可知a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面.对于C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确.对于D 选项，由于a ，b ，c 是空间一个基底，所以a ，b ，c 不共面.假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，设()()()1a b x b c x c a +=++-+，化简得()1x a x b c ⋅=-+，即()1c x a x b =⋅+-，所以a ，b ，c 共面，这与已知矛盾，所以a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，可以作为基底.所以D 选项正确. 故选：BCD12．（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC 【答案】BC【解析】如图所示：A 项：取BD 的中点O ，连结OP 、OC ，因为四边形ABCD 是菱形，O 是线段BD 的中点，所以,,OP BD OC BD OPOC O ⊥⊥=,BD ⊥平面POC ，BD ⊂平面BCD ，所以POC ⊥平面BCD ，所以POC 平面BCDOC ，所以PC 在平面BCD 的射影为OC ，PCO ∠即PC 与平面BCD 所成角，PO OC ，三角形POC 是等腰三角形，当60POC ∠=时，PC 与平面BCD 所成角为60，故A 错误； B 项：当PD PC =时，取CD 的中点N ，可得CD PN ⊥，CD BN ⊥，故CD ⊥平面PBN ，PB CD ⊥，故B 正确； C 项：因为四边形ABCD 是菱形，O 是线段BD 的中点，所以PO BD ⊥，CO BD ⊥，因为BD 是平面PBD 与平面CBD 的交线，所以POC ∠即平面PBD 与平面CBD 所成角，因为二面角P BD C --的大小为90，所以90POC ∠=，因为PO OC ==PC =C 正确；D 项：因为BN =B 到平面PDC则BN ⊥平面PCD ，2PB =，BN =1PN =，1DN =，则PD =D 错误，故选：BC.第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．若(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =，则()a b c +=________．【答案】3.【解析】因为(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =所以()5,4,5b c += 所以()()2534153a b c +=⨯+-⨯+⨯=故答案为：314．已知平面α的一个法向量10,,2n ⎛=- ⎝，A α∈，P α∉，且122PA ⎛=- ⎝，则直线PA 与平面α所成的角为______．【答案】π3【解析】设直线PA 与平面α所成的角为θ，则s 0in cos n PA n PAθθ===⋅=⋅， ∴直线PA 与平面α所成的角为π3．故答案为：π3．15．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =________．【答案】60︒【解析】由条件，知0CA AB ⋅=，0AB BD ⋅=，CD CA AB BD =++.2222222CD CA AB BD CAAB AB BD CA BD=+++⋅+⋅+⋅(2222648268cos ,CA BD =+++⨯⨯=.∴1cos ,2CA BD =-，又∵0,180CA BD ︒≤≤︒，∴,120CABD =︒，∴二面角的大小为60︒. 故答案为：60︒.16．如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，若顶点,B C 到平面α，则顶点D 到平面α的距离是______.【解析】如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0),(3,3,0),(3,3,3)O C B A D ，所以(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)BA CA AD ===，设平面α的一个法向量为(,,)n x y z =，则点B 到平面α距离为12||||BA n d n x ⋅===点C 到平面α距离为12||||CA n d n x ⋅===由①②可得||||,|||y x zx==，所以D 到平面α的距离为2|||||AD n n x x ⋅===故答案为四、解答题（17题10分，其余题目12分每题，共70分） 17．如图，2BC =，原点O 是BC的中点，点A 的坐标为(2，12，0)，点D 在平面yOz 上，且90BDC ∠=︒，30DCB ∠=︒．（1）求向量CD 的坐标．（2）求AD 与BC 的夹角的余弦值．【答案】（1）3(0,2-；（2）.【解析】（1）过D 作DE BC ⊥于E ，则sin302DE CD =⋅︒=，11cos60122OE OB BD =-︒=-=，所以D 的坐标为1(0,2D -，又因为(0,1,0)C ，所以3(0,2CD =-．（2）依题设有A 点坐标为1,0)2A ，所以(2AD =--，(0,2,0)BC =，则AD 与BC 的夹角的余弦值为·cos ,·AD BC AD BC AD BC==-．18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ︒∠=∠=．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度；（2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．【答案】（1）1BC a c b =+-；12BC =（2【解析】（1）1111111111BC BB BC BB AC A B AA AC AB a c b =+=+-=+-=+-，因为11||||cos 11cos602a b a b BAA ︒⋅=⋅∠=⨯⨯=，同理可得12a cbc ⋅=⋅=，所以22221()2221111BC a c b a c b a c a b c b =+-=+++⋅-⋅-⋅=+++-=．（2）因为1AB a b =+，所以2221()2111AB a b a b a b =+=++⋅=++=因为2211()1111111222)2(AB BC a b a c b a a ca b b a c b b ⋅=+⋅+-=+⋅+-⋅+⋅+⋅=+-+=--，所以111111cos ,62AB BC AB BC AB BC ⋅<>===所以异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为619．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点．（1）求证：NM ∥平面11A ADD ；（2）求证：NM ⊥平面11A B M ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点，(0M ∴，1，1)，(1N ，1，0)，(1=MN ，0，1)-，平面11A ADD 的法向量可设为(0n =，1，0)，∴0=MN n ，MN ⊂/平面11A ADD ，MN ∴平面11A ADD ．（2）1(1A ，0，2)，1(1B ，2，2)，11(0A B =，2，0)，1(1A M =-，1，1)-， 11·0MN AB ∴=，1·0MN AM =， 11MN A B ∴⊥，1MN A M ⊥， 1111A B A M A ⋂=，NM ∴⊥平面11A B M ．20．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AC BD ⊥，1BC =，14A D A A ==.（1）证明：面1ACD ⊥面1BB D ；（2）求二面角11B AC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）63. 【解析】（1）证明：1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴1AC BB ⊥. 又∵AC BD ⊥，且1BB BD B ⋂=，1,BD BB ⊂平面1BB D ， ∴AC ⊥平面1BB D . 又∵AC ⊂平面1ACD ， ∴面1ACD ⊥面1BB D .（2）易知AB 、AD 、1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系，设AB t =，则相关各点的坐标为()0,0,0A ，(),0,0B t ，()1,0,4B t ，(),1,0C t ， ()1,1,4C t ，()0,4,0D ，()10,4,4D .从而(),1,0AC t =，(),4,0BD t =-. ∵AC BD ⊥，∴2400AC BD t ⋅=-++= 解之得2t =或2t =-（舍去）.()10,4,4AD =，()2,1,0AC =设()1,,n x y z =是平面1ACD 的一个法向量，则11100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20440x y y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则()11,2,2n =-.同理可求面1ACB 的法向量为()22,4,1n =-.∴12122cos 63||||3n n n n θ⋅-===⋅.又∵二面角11B AC D --是锐二面角， ∴二面角11B AC D --21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB DC ，E 为线段PD 的中点，已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒．（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）证明：连接BD 交AC 于点H ，连接HE//AB DC ,AB CD =,四边形ABCD 是平行四边形，H ∴是AC 中点，又E 为线段PD 的中点，//B HE P ,又HE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE∴ 直线//PB 平面ACE（2）AB ⊥平面PAD ,作Ax AP ⊥,建立如图所示空间直角坐标系A xyz -由已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒ 得(0,0,2)B ,(0,2,0)P,1,0)D -,1,2)C -(0,2,2)PB =-- , (3,3,0)PD =- (0,0,2)CD =-设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =·0·0n CD n PD ⎧=⎨=⎩ , 200Z y -=⎧⎪-=，不妨取(1,3,0)n =2cos ,422PB n PBn PB n-∴<>===⨯所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为422．如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=︒，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE与平面BEF 所成二面角的正弦值；（3）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF ，求线段AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2；（3）3【解析】（1）证明：四边形EDCF 为矩形，DE CD ∴⊥，又平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF⋂平面ABCD CD =，ED ∴⊥平面ABCD ．取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(1A ，0，0)，(1B ，2，0)，(1C -，2，0)，(0E ，0，2)，(1F -，2，2)，设平面ABE 的法向量(,,)m x y z =，(1,2,2)BE =--，(0,2,0)AB =，由·220·20m BE x y z m AB y ⎧=--+=⎨==⎩，取1z =，得(2,0,1)m =，又(1,2,2)DF =-，∴2020DF m =-++=，则DF m ⊥，又DF ⊂/平面ABE ，//DF ∴平面ABE ；（2）解：设平面BEF 的法向量111(,,)n x y z =，(1,2,2)BE =--，(1,2,0)EF =-，由11111·220·20n BE x y z n EF x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩，取11y =，可得(2,1,2)n =，42cos ,||||35m n m n m n +∴<>===，5sin ,5m n ∴<>=，即平面ABE 与平面BEF ；（3）解：点P 在线段EF 上，设EP EF λ=，[0λ∈，1]，∴(1AP AE EF λ=+=-，0，2)(1λ+-，2，0)(1λ=--，2λ，2)，又平面BEF 的法向量(2,1,2)n =，设直线AP 与平面BEF 所成角为θ，∴|||2(1sin |cos ,|||||3(AP n AP n AP n θλ-=<>===-，24518110λλ∴+-=，即(31)(1511)0λλ-+=，[0λ∈，1]，∴13λ=．∴4(3AP =-，23，2)，则||(AP =-，AP ∴．《第一章空间向量与立体几何》单元检测试卷（二）一、选择题1．在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（）323向量()()(,1,1,b 1,,1,c 2,4,2a x y ===-且,//c a c b ⊥，则b a +=（）3．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）4．空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（）5．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（）．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=1MN = 6.（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45︒B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥二、填空题7．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，则直线1D E 与1A D 所成角的大小是__________，若1D E EC ⊥，则AE =__________．8．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点C 到9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段11A B ，AB 的中点，O 为四棱锥11E C D DC -的外接球的球心，点M ，N 分别是直线1DD ，EF 上的动点，记直线OC 与MN 所成的角为θ，则当θ最小时，tan θ=__________.10．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定题序号都填上）三、解答题, ,为的中点，为的中点，以A 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：（1）证明：直线；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（3）求点B 到平面OCD 的距离.为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；答案解析一、选择题1．在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（）A ．1223EF AC AB AD →→→→=+-B ．112223EF AC AB AD →→→→=--+OA ABCD ⊥底面2OA =M OA N BC MN OCD平面‖C ．112223EF AC AB AD →→→→=-+D ．112223EF AC AB AD →→→→=-+-【答案】B【解析】在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，所以EF EB BA AF →→→→=++1223AB AC AB AD →→→→⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭112223AC AB AD →→→=--+，即112223EF AC AB AD →→→→=--+.故选：B.2.设,x y R ∈，向量()()(),1,1,b 1,,1,c 2,4,2,a x y ===-且,//c a c b ⊥，则b a +=（）A ．BC ．3D ．4【答案】D 【解析】(),241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，,,a b ⊥()214+20,a b x ∴⋅=+⋅-=1x ∴=,()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，(223a b ∴+=+=,故选C. 3．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）A B ．2C ．3λ D 【答案】D【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1）， 1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1），设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则1·20·20n ED x z n EF y ⎧=-+=⎨==⎩，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d＝255EM nn==，N 为EM 中点，所以N 到该面的距，选D ．4．空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（） A ．2γβα≤≤B ．2γβα≤≤ C ．2γαβ≤≤D ．2γαβ≤≤【答案】A【解析】因为空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，所以可将其放在矩形中进行研究，如图，绘出一个矩形，并以A 点为原点构建空间直角坐标系：因为::1:3:1AC AB BD =，所以可设AC x =，3AB x =，BD x =，则()0,0,0A ，0,3,0B x ，0,0,C x ，,3,0D x x ，,3,CD x x x ，0,3,0AB x ，0,3,CBx x ，故CD 与AB 所成的角α的余弦值229311cos α11113CD AB x CD ABx x，因为根据矩形的性质易知平面ABD ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，所以二面角C ABD --的平面角为γ90，γ452，γ2cos22，所以BCD ∠即CD 与面ABC 所成的角β，故110cos β11CD CB CD CB，因为311211112，所以2γβα≤≤，故选：A.5．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为ABC ∆的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC【解析】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+，22AD AB AC AD ∴-=- ，2BD DC ∴=，3BD BD DC ∴=+即3BD BC =，故A 正确；对于B ，若Q 为ABC ∆的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ ∴+++=，3PQ PA PB PC ∴=++即111333PQ PA PB PC =++，故B 正确；对于C ，若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则PA BC PC AB ⋅=⋅，0PA BC PC AB ∴⋅+⋅=，()0PA BC PC AC CB ∴⋅+⋅+= 0PA BC PC AC PC CB ∴⋅+⋅+⋅=，0PA BC PC AC PC BC ∴⋅+⋅-⋅=()0PA PC BC PC AC ∴-⋅+⋅=，0CA BC PC AC ∴⋅+⋅=0AC CB PC AC ∴⋅+⋅=，()0AC CB PC ∴⋅+=0AC PB ∴⋅=故C 正确；对于D ，()()111222MN PN PM PB PC PA PB PC PA =-=+-=+-12MN PA PB PC ∴=--，222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PB PC --=++-⋅-⋅+⋅===2MN ∴=，故D 错误.故选：ABC6.（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45︒B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90︒时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC 【答案】BC 【解析】如图所示：对A ，取BD 的中点O ，连结OP ，OC ，则当60POC ∠=时，PC 与平面BCD 所成的最大角为60︒，故A 错误；对B ，当PD PC =时，取CD 的中点N ，可得,,CD PN CD BN ⊥⊥所以CD ⊥平面PBN ，所以PB CD ⊥，故B 正确；对C ，当二面角P BD C --的大小为90时，所以90∠=POC ，所以PO OC ==所以PC =故C 正确；对D ，因为BN =所以如果B 到平面PDC ，则BN ⊥平面PCD ，则2,1,1PB BN PN DN ====，所以PD =D 错误；故选：BC.二、填空题7．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，则直线1D E 与1A D 所成角的大小是__________，若1D E EC ⊥，则AE =__________．【答案】90； 1【解析】长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，又11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动则D （0，0，0），D 1（0，0，1），A （1，0，0），A 1（1，0，1），C （0，2，0），设E （1，m ，0），0≤m≤2，则1D E =（1，m ，﹣1），1A D =（﹣1，0，﹣1）， ∴1D E •1A D =﹣1+0+1=0，∴直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是90°． ∵1D E =（1，m ，﹣1），EC =（﹣1，2﹣m ，0），D 1E ⊥EC ，∴1D EEC =﹣1+m （2﹣m ）+0=0，解得m=1，∴AE=1．故答案为900，1．8．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点C 到平面11AB D，则直线1B D 与平面11AB D 所成角的余弦值为______.【解析】如图，连接11A C 交11B D 于O 点，过点C 作CH AO ⊥于H ，则CH ⊥平面11AB D ，则CH =，设1AA a =，则AO CO ==AC =得1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯a =以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -.则(A ，()12,0,0B ，()10,2,0D，(D ，(10,2,AD =-，(12,0,AB =-，(1B D =-，设平面11AB D 的法向量为(),,n x y z =，则1100n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令x，得()2,2,1n =.11110cos ,10B D n B D n B D n⋅==1B D 与平面1111D C B A所成的角的余弦值为.9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段11A B ，AB 的中点，O 为四棱锥11E C D DC -的外接球的球心，点M ，N 分别是直线1DD ，EF 上的动点，记直线OC 与MN 所成的角为θ，则当θ最小时，tan θ=__________. 【答案】42【解析】如图，设,P Q 分别为棱CD 和11C D 的中点，则四棱锥11E C D DC -的外接球即为三棱柱11DFC D EC -的外接球，因为三棱柱11DFC D EC -为直三棱柱，所以其外接球球心O 为上、下底面三角形外心G 和H 连线的中点，由题意，MN 是平面1DD EF 内的一条动直线，所以θ最小是直线OC 与平面1DD EF 所成角，即问题转化为求直线OC 与平面1DD EF 所成角的正切值，不妨设正方体的棱长为2，2EQ =，1ED =,因为11EC D △为等腰三角形，所以11EC D △外接圆的直径为11152sin 2ED GE EC D ===∠,则54GE =，从而53244GQ PH =-==，如图，以D 为原点，以1,,DA DC DD 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()0,2,0C ，()2,1,0F ，3,1,14O ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,2DD ∴=，()2,1,0DF =，设平面1DD EF 的一个法向量为(),,n x y z =，则12020n DD z n DF x y ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩，令1x =，则()1,2,0n =-，因为3,1,14OC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以sin cos ,n OC θ===10．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定值；④CE PE +的最小值为其中正确命题的序号是__________.（将你认为正确的命题序号都填上）【答案】①③④【解析】如图所示：以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,1P ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,,0E y ，则()1,0,1BP =-，()1,2,0CE y =--，cos ,2BP CE BP CE BP CE⋅==≤⋅2y =时等号成立，此时,4BP CE π=，故直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45，①正确；()()1,,01,2,121BE PC y y ⋅=-⋅-=-，当12y =时，BE PC ⊥，②错误；将四棱锥放入对应的长方体中，则球心为体对角线交点，1111112323226BCE E BCO OBCE AP V V S --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，③正确；如图所示：将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D ，则''CE PE C E PE PC +=+≥=='PEC 共线时等号成立，④正确.故答案为：①③④.三、解答题11.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，,, ,为的中点，为的中点，以A 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：（1）证明：直线；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；O ABCD -ABCD 4ABC π∠=OA ABCD ⊥底面2OA =M OA N BC MN OCD平面‖（3）求点B 到平面OCD 的距离.【解析】作于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为轴建立坐标系, (1)设平面OCD 的法向量为,则即取解得(2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为(3)设点B 到平面OCD 的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,AP CD ⊥,,x yz (0,0,0),(1,0,0),(0,((0,0,2),(0,0,1),(122244A B P D O M N -2222(1,,1),(0,,2),(2)44222MN OP OD =--=-=--(,,)n x y z =0,0n OP n OD ==2022022y z x y z -=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩z =(0,4,2)n =22(1,,1)(0,4,2)044MN n =--=∵MN OCD ∴平面‖AB MD θ(1,0,0),(1)2AB MD ==--∵1cos ,23AB MDAB MD πθθ===⋅∴∴AB MD 3πd d OB (0,4,2)n =由 , 得.所以点B 到平面OCD 的距离为12.在三棱锥A —BCD 中，已知,BD=2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO=2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF=14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sinθ的值．【解析】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -∴(1,0,2),(1,1,1)cos ,15AB DE AB DE ∴=-=∴<>==- 从而直线AB 与DE 所成角的余弦值为15（2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =(1,0,2)OB =-23OB n d n⋅==2311200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩令112,1(2,1,1)y x z n =∴=-=∴=- 设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩令111272,5(2,7,5)yx z n =-∴==∴=-12cos ,n n ∴<>==，因此sin 13θ==.《第一章空间向量与立体几何》单元检测试卷（三）一、单选题1．空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．无法确定2．如图，在平行六面体中，为与的交点若，，，则下列向量中与相等的向量是（）111ABCD A B C D -M AC BD 11A B a =11A D b =1A A c =1B MA ．B ．C ．D ． 3．已知向量，.若向量与向量平行，则实数的值是（） A ．2B ．C ．10D ．4．如图，已知正方体ABCD ﹣A'B'C'D'中，E 是CC'的中点，，，，x y z ，则（）A ．x ＝1，y ＝2，z ＝3B ．x ，y ＝1，z ＝1C ．x ＝1，y ＝2，z ＝2D ．x ，y ＝1，z5．正方体不在同一侧面上的两顶点，，则正方体外接球体积是（） A ．B ．C ．D ．6．已知，若点D 是AC 中点，则( ) A ．2B ．C ．-3D ．67．平行六面体中，，则实数x ，y ，z 的值分别为( ) A ． B ．C ．D ．8．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（）1122a b c -++1122a b c ++1122a b c -+1122a b c --+()0,1,1a =()1,2,1b =-a b +()2,,4c m =--m2-10-1'2a AA =12b AB =13c AD =AE =a +b +c 12=12=32=(1,2,1)A--(1,0,1)B323π4π(1,2,3),OA =(2,2,1),OB =-(1,1,2)OC =BC OD ⋅=32-1111ABCD A B C D -12,AM MC =1AM xAB yAD zAA =++1,32,3232,31,3232,32,3132,31,223111ABC A B C -1160BAA CAA ︒∠=∠=1AB 1BCABCD ．9．如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为A ．B ．C ．D ．10．在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为（）A ．BCD ．二、多选题11．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（）A ．B ．C ．是平面ABCD 的一个法向量D ．12．在正方体中，，分别是和的中点，则下列结论正确的是( )6111ABC A B C -1AA ⊥ABC 13AA =2AB AC BC ===1AA 11AB C 3045︒60︒90︒(1,6),(3,8)A B --x 60︒,A B ()2,4,1AB =--()4,2,0AD =()1,2,1AP =--AP AB ⊥⊥AP AD AP //AP BD 1111ABCD A B C D -E F 11A D 11C DA ．平面B ．平面C ．D ．点与点到平面的距离相等 13．在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（）A ．=B ．C ．三棱锥的体积为D ．与平面BB′C′C 所成的角为三、填空题14．已知向量2，，x ，，且，则x 的值为______． 15．若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________.16．如图所示，在正方体中，M 为棱的中点，则异面线与AM 所成角的余弦值为________.17．如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，分别为的中点，则直线与平面所成角的正切值为________；异面直线与所成角的余弦值是________．11//A C CEF 1B D ⊥CEF 112DA DD C DC E =+-D 1B CEF ABC A B C '''-BC 'B C 'O AO 111222AB AC AA '++AO B C '⊥A BB O '-24AO π6(3,a =-5)(1,b =1)-8a b ⋅=(2,1,2)a =-(4,2,)b m =-a b m 1111ABCD A B C D -1CC 1BD ABCD ADPQ ,,M E F ,,PQ AB BC ME ABCD EMAF四、解答题18．如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线AE 和平面OBC 的所成角.19．如图，在长方体中，，，点、分别为、的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．20．如下图所示，在四棱锥中，底面四边形，四边形是直角梯形，且，，点是棱的中点，是上的点，且.O ABC -OA OB OC ，，1OA =2OB OC ==EOC BEAC S OABC -SO ⊥OABC OABC 90COA OAB ∠=∠=︒1,4OA OS AB OC ====M SB N OC :1:3ON NC =(1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求与平面所成的角的正弦值．21．如图，在正方体中，分别是的中点。

专题8.9 《空间向量与立体几何》单元测试卷-2021年新高考数学一轮复习学与练(原卷版)

专题8.9 《空间向量与立体几何》单元测试卷一、单选题1．（2021·湖南湘潭·月考（理））已知正四棱锥P ABCD -2AB =，则正四棱锥P ABCD -的侧面积为（）A ．B ．4C ．D ．2．（2020·北京高三二模）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为（）A ．2B ．C ．D ．43．（2020·四川武侯·成都七中月考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．32B ．1C ．13D ．124．（2019·陕西西安·高新一中高二期末（理））如图，在四面体O ABC -中，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且12OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则(,,)x y z 为（）A ．111(, , )222B ．222(,, )333 C ．111(, , )333 D ．222(, , )999 5．（2020·云南高三月考（理））如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，点E 为线段AB 的中点，点F 在线段AD 上移动，异面直线1BC 与EF 所成角最小时，其余弦值为（）A ．0B ．12CD ．11166．（2020·河北正定中学高三月考）已知平面α，β，γ和直线l ，下列命题中错误的是（） A ．若αβ⊥，//βγ，则αγ⊥B ．若αβ⊥，则存在l α⊂，使得//l βC ．若a γ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥7．（2020·山东济宁·高二月考）在正方体1111ABCD A BC D -中，棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为（）A B C D 8．（2020·山东济宁·高二月考）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上（包括边界．．．．）移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为（）A．B．C．D．359．（2020·福建省泉州第一中学月考）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为8，点H在棱AA1上，且HA1＝2，在侧面BCC1B1内作边长为2的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1HP的最小值是（）距离等于线段PF的长，则当点P在侧面BCC1B1运动时，2A．87B．88C．89D．9010．（2020·广西柳州·二模（理））如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB=DE=2BC=2AF（如图1），将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．在折起的过程中，下列说法中正确的个数（）①AC∥平面BEF；②B、C、E、F四点可能共面；③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；④平面BCE与平面BEF可能垂直A．0B．1C．2D．3二、多选题11．（2020·山东曲阜一中）在正方体1111ABCD A BC D -中，若E 为11AC 的中点，则与直线CE 不垂直的有（）A ．ACB ．BDC ．1AD D ．1A A12．（2020·山东曲阜一中）如图，已知E 是棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -的棱BC 的中点，F 是棱1BB 的中点，设点D 到面1AED 的距离为d ，直线DE 与面1AED 所成的角为θ，面1AED 与面AED 的夹角为α，则（）A ．DF ⊥面1AEDB ．43d =C ．45sin 15θ=D ．2cos 3α= 13．（2020·历下·山东师范大学附中高二月考）下列命题中不正确的是（）A ．a b a b -=+是,a b 共线的充要条件B ．若,C ABD 共线，则//AB CDC ．,,A B C 三点不共线，对空间任意一点O ，若311488OP OA OB OC =++，则,,,P A B C 四点共面 D ．若,,,P A B C 为空间四点，且有PA PB PC λμ=+(,PB PC 不共线)，则1λμ+=是,,A B C 三点共线的充分不必要条件14．（2020·南京市第十四中学高二月考）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AA ===，90ACB ∠=︒，D ，E ，F 分别为AC ，1AA ，AB 的中点．则下列结论正确的是（）A ．1AC 与EF 相交B ．11//BC 平面DEFC ．EF 与1AC 所成的角为90︒D ．点1B 到平面DEF 的距离为2三、填空题 15．（2020·山东曲阜一中）已知向量1e ，2e ，3e 是三个不共面的非零向量，且1232a e e e =-+，12342b e e e =-+-，123115c e e e λ=++，若向量a ，b ，c 共面，则λ=________.16．（2020·扬州大学附属中学东部分校高三月考）在长方体1111ABCD A BC D -中，11,AB BC AA ===则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为__________.17．（2020·江苏省梅村高级中学高三开学考试）二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =，则该二面角的大小为________．18．（2020·全国高二课时练习）已知()3211a λ=-，，，()102b μμ=+，，．若a b ⊥，则μ＝_____；若//a b ，则λ+μ＝_____．19．（2020·福建省泉州第一中学月考）在长方体ABCD -A ’B ’C ’D ’中，AB ＝AA ’＝2AD ＝2，以D 为原点，DA ，DC ，'DD 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则'AC =_______，若点P 为线段AB 的中点，则P 到平面A ’BC ’距离为___________20．（2020·福建省泰宁第一中学月考）如图，在正四棱1111ABCD A BC D -中，底面边长为2，1CC =4，直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为______.直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为 ______.21．（2020·山东潍坊·高三月考）正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，E ，F 分别为BC ，1CC 的中点．则平面AEF 截正方体所得的截面面积为______；以点E 11ACC A 的交线长为______．四、解答题22．（2020·历下·山东师范大学附中高二月考）如图，已知1111ABCD A BC D -是四棱柱，底面ABCD 是正方形，132AA AB ==，，且1160C CB C CD ︒∠=∠=，设1,,CD C a b B CC c ===.（1）试用,,a b c 表示1AC ；（2）已知O 为对角线1AC 的中点，求CO 的长.23．（2020·历下·山东师范大学附中高二月考）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2ABC π∠=，D 是棱AC 的中点，且11AB BC BB ===.（1）求证： 1//AB 平面1BC D ；（2）求直线1AB 到平面1BC D 的距离.24．（2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三月考）如图所示，在多面体ABCDFE 中，四边形ABEF 为正方形，平面ABEF ⊥平面,CDFE CD ∥,90,22EF CDF DFE EF CD ∠=∠=︒==.（1）若1DF =，证明：平面ACF ⊥平面BCE ；（2）若二面角A BC E --的余弦值为，求DF 的长. 25．（2020·宁夏高三其他（理））如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD满足AD ∥BC ，且12AB AD AA BD DC =====，(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值.26．（2020·河南高三其他（理））如图，在三棱锥P ABC -中，底面是正三角形，24AB PA ==，PA ⊥底面ABC ，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点.（1）求证：平面BEF ⊥平面P AC ；（2）在线段PB （不含端点）上是否存在点G ，使得平面EFG 与平面PBC 若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由.27．（2020·历下·山东师范大学附中高二月考）如图（1）所示，在Rt ABC 中，90︒∠=C ，3,6BC AC ==，,D E 分别是,AC AB 上的点，且//,2DE BC DE =，将ADE 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1AC CD ⊥，如图（2）所示.（1）求证：1AC ⊥平面BCDE ；（2）若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）线段BC （不包括端点）上是否存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由.。

专题8.9 《空间向量与立体几何》单元测试卷(测)(解析版)

专题8.9 《空间向量与立体几何》单元测试卷一、单选题1．（2019·广东湛江·期末（文））已知两条直线m 、n ，两个平面α、β，给出下面四个命题： ①//αβ，m α⊂，n β⊂⇒//m n ； ②//m n ，//m α⇒//n α； ③//m n ，m α⊥⇒n α⊥； ④//αβ，//m n ，m α⊥⇒n β⊥. 其中正确命题的序号是：（） A ．①③ B ．①④C ．③④D ．②③【答案】C 【解析】对于①，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则n 与m 不一定平行，也可能异面，故①错误；对于②，//m n ，////m n αα⇒或n ⊂α，故②错；对于③，两条平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直此平面，故③正确；对于④，//m n ，m n αα⊥⇒⊥，又n αββ⇒⊥，故④正确．故选：C ．2．（2020·河北月考）下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（）A ．直线AB 与直线CD 平行 B ．直线AB 与直线CD 相交C ．直线AB 与直线CD 异面垂直 D ．直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°【答案】D 【解析】正方体的展开图的立体图形如图所示：由图知：直线AB 与直线CD 为异面直线，故A ，B 错误；连接CE ，DE ，因为//AB CE ，所以DCE ∠或其补角为异面直线AB 与CD 所成角. 又因为DCE 为等边三角形，所以60DCE ∠=.所以直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°，故C 错误，D 正确. 故选：D3．（2020·北京开学考试）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．8B ．83C ．4D ．43【答案】B 【解析】由三视图，在棱长为2的正方体中还原该几何体如下，该几何体是底面为正方形，高为2的正四棱锥，所以其体积为118222333V Sh ==⨯⨯⨯=. 故选：B.4．（2020·重庆市广益中学校期末）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，16AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（）A ．17⎡⎣B ．[]4,5C ．[]3,5D ．17,5⎤⎦【答案】D 【解析】取11A D 中点E ，在1DD 上取点F ，使12D F DF =，连结EF 、1C E 、1C F ，则平面//CMN 平面1C EF ，是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），1//C P 平面CMN ， P ∴∈线段EF ，∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值PO ，当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值PE 或PF ，在长方体1111ABCD A BC D -中，16AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，22111()345max C P C E C F ∴===+=，42EF =，22211()25(22)17min C P PO C E EO ==-=-=．∴线段1C P 长度的取值范围是[17，5]．故选：D ．5．（2019·小店·山西大附中期中（文））如图，在四面体ABCD 中，点P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，BC ，CD ，AD 的中点，截面PQMN 是正方形，则下列结论错误的为( )A ．AC⊥BDB ．AC∥截面PQMNC ．AC ＝CDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45° 【答案】C 【解析】对于选项A,由PQ∥AC，QM∥BD，PQ∥QM,MN⊥MQ,可得AC⊥BD，故A 正确；对于选项B,由PQ∥AC 可得AC∥截面PQMN ，故B 正确；对于选项C,由题得AC=2MN,BD=2MQ,因为MN=MQ,所以AC=BD,不能证明AC=CD,故C 不正确；对于选项D,异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与PN 所成的角为45°，故D 正确．故选C.6．（2020·湖北荆州中学月考）已如三棱锥D-ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若1AB AC BC DB DC =====，当三棱锥D-ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为（）.A ．53πB ．2πC ．5πD ．203π【答案】A 【解析】如图所示，当三棱锥D ABC -的体积取到最大值时，则平面ABC 与平面DBC 垂直，取BC 的中点G ，连接,AG DG ，则,AG BC DG BC ⊥⊥，分别取ABC ∆与ΔDBC 的外心,E F ，分别过,E F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心，由1AB AC BC DB DC =====，可得正方形OEGF 的边长为36，则66OG = 所以四面体A BCD -的外接球的半径22226156212OG G R B ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 所以球O 的表面积为2554123S ππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故选A.7．（2020·北京市平谷区第五中学月考）已知四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，2BC BD ==AB 与平面ACD 所成角的正切值为12，则点B 到平面ACD 的距离为（）A ．32B ．233C ．55D ．255【答案】D 【解析】以B 为原点，BC ，BD ，BA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设BAt ，0t >，()0,0,0B ，)2,0,0C，()2,0D ，0,0,A t .0,0,AB t ，2,0,CA t ，2,2,0CD.设平面ACD 的法向量(),,n x y z =，则20220n CA x tz n CD x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得1y =，2z t =故21,1,n t ⎛= ⎝⎭. 因为直线AB 与平面ACD 所成角的正切值为12，所以直线AB 与平面ACD 5即2255211AB nAB nt t ⋅==⋅⋅++，解得2t =.所以平面ACD 的法向量21,1,2n ⎛= ⎝⎭，故B 到平面ACD 的距离为22551112AB n d n⋅===++.故选：D8．（2020·河北石家庄·高三月考）已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（） A ．25︰1 B ．1︰25 C ．1︰5 D ．5︰1【答案】D 【解析】设点O 是三棱柱外接球和内切球的球心，点M 是底面等边三角形的中心，点N 是底边AB 的中点，连结OM ，MN ，AM ，OA ，设底面三角形的边长为a ，则33MN a =，233MA a =，因为三棱锥内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径，所以33OM MN a ==，即三棱柱内切球的半径33r a =， 233AM a =，所以22153OA OM AM a =+=，即三棱柱外接球的半径153R a =，所以内切球的表面积为22443r a ππ=，外接球的表面积222043S R a ππ==，所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为22204:5:133a a ππ=故选：D9．（2020·山西运城·月考（理））如图，正三角形ABC 为圆锥的轴截面，D 为AB 的中点，E 为弧BC 的中点，则直线DE 与AC 所成角的余弦值为（）A ．13B ．12C ．22D ．34【答案】C 【解析】如图所示，取BC 中点O ，BO 中点F ，连接,,,OD OE FE DF ，则//OD AC , 所以ODE ∠就是直线DE 与AC 所成角，设4AB =，则2OD =，1OF =，2OE =，可得223DF OD OF =-=，225EF OE OF =+=，则2222DE DF EF =+=，因为E 为弧BC 的中点，可得OE BC ⊥,进而可得OE ⊥平面ABC ，因为OD ⊂平面ABC ，所以OE OD ⊥, 在直角ODE ∆中，可得2cos 2OD ODE DE ∠==，即直线DE 与AC 所成角的余弦值为22，故选：C.10．（2020·河北衡水·月考（理））在菱形ABCD 中，4,60AB A ︒=∠=，将ABD △沿对角线BD 折起使得二面角A BD C --的大小为60°，则折叠后所得四面体ABCD 的外接球的半径为（） A ．2133B ．133C ．433D ．393【答案】A 【解析】如图，取BD 的中点记为O ，连接OC ，OA ，根据题意需要找到外接球的球心，取OC 上离O 点近的三等分点记为E ，同理取OA 上离O 点近的三等分点记为F ，自这两点分别作平面BDC 、平面ABD 的垂线，交于点P ，则P 就是外接球的球心，连接OP ，CP ，由菱形的性质得AOC ∠就是二面角A BD C --的平面角，所以AOC △是边长为3423=23OE =在POE △中，30POE ︒∠=，所以23PE =.又43CE = 所以213PC R ==故选：A. 二、多选题11．（2020·全国月考）已知α，β，γ是空间不同的三个平面，则正确的命题是（） A ．//αβ，////βγαγ⇒ B ．αβ⊥，βγαγ⊥⇒⊥ C ．αβ⊥，//βγαγ⊥⇒ D ．//αβ，βγαγ⊥⇒⊥【答案】AD 【解析】因为//αβ，//βγ，所以//αγ，故选项A 正确；因为//αβ，βγ⊥，所以αγ⊥，故选项D 正确；在正方体1111ABCD A BC D -中，以平面ABCD 为平面α，以平面11AA B B 为平面β，以平面1111D C B A 为平面γ，则αβ⊥，βγ⊥，但是//αγ，故选项B 错误；在正方体1111ABCD A BC D -中，以平面ABCD 为平面α，以平面11AA B B 为平面β，以平面11AA D D 为平面γ，则αβ⊥，βγ⊥，但是αγ⊥，故选项C 错误；故选：AD12．（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ︒∠=，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（）A ．在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PMB B ．异面直线AD 与PB 所成的角为90°C ．二面角P BC A --的大小为45°D ．BD ⊥平面PAC 【答案】ABC 【解析】如图，对于A ，取AD 的中点M ，连接,PM BM ，∵侧面PAD 为正三角形，PM AD ∴⊥，又底面ABCD 是菱形，60DAB ︒∠=，ABD ∴是等边三角形， AD BM ∴⊥，又PM BM M ⋂=，PM ，BM ⊂平面PMB ， AD ∴⊥平面PBM ，故A 正确.对于B ，AD ⊥平面PBM ，AD PB ∴⊥，即异面直线AD 与PB 所成的角为90°，故B 正确. 对于C ，∵平面PBC平面ABCD BC =，//BC AD ，BC ∴⊥平面PBM ，BC PB ∴⊥BC BM ⊥，PBM ∴∠是二面角P BC A --的平面角，设1AB =，则32BM =，32PM =，在Rt PBM △中，tan 1PMPBM BM∠==，即45PBM ︒∠=，故二面角P BC A --的大小为45°，故C 正确.对于D ，因为BD 与PA 不垂直，所以BD 与平面PAC 不垂直，故D 错误. 故选：ABC13．（2020·江苏省江浦高级中学月考）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，P 为线段1BC 上的动点，下列说法正确的是（）A ．对任意点P ，//DP 平面11AB D B ．三棱锥11P A DD -的体积为16C ．线段DP 长度的最小值为62D ．存在点P ，使得DP 与平面11ADD A 所成角的大小为π3【答案】ABC 【解析】对于A ：分别连接1C D 、BD 、11B D 、1AB 、1AD ，易得平面1//C DB 平面11AB D ，DP ⊂平面1C DB ，故对任意点P ，//DP 平面11AB D ，故正确；对于B ：分别连接PA 、1PD ，无论点P 在哪个位置，三棱锥11P A DD -的高均为1，底面11A DD 的面积为12，所以三棱锥11P A DD -的体积为1111326⨯⨯=，故正确；对于C ：线段DP 在1C BD 中，当点P 为1BC 的中点时，DP 最小，此时1DPBC ，在Rt BPD △中，DP ==故DP 的最小值为2对于D ：点P 在平面11ADD A 上的投影在线段1AD 上，设点P 的投影为点Q ，则PDQ ∠为DP 与平面11ADD A 所成的角，sin PQPDQ PD∠=，1PQ =，而2PD ≤≤DP 与平面11ADD A 所成角的正弦值的取值范围是⎣⎦，而sin3π=>，所以不存在点P ，使得DP 与平面11ADD A 所成角的大小为π3，故错误. 故选：ABC.14．（2020·辽宁月考）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，D 为AB 的中点，若2AB =，16AA =，则（）A ．1CD A D ⊥B ．异面直线1A D 与1AC 所成角的余弦值为3514C ．异面直线1AD 与1AC 70D ．//CD 平面11AB C 【答案】AC 【解析】A:因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，所以1AA CD ⊥，因为ABC 是等边三角形，AD BD =，所以CD AB ⊥，因为1ABAA A =，所以CD ⊥平面1AA D ，则1CD A D ⊥， A 正确；以D 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(16A -，()1,0,0A -，(13,6C ,()11,0,6B ，所以()11,0,6A D =-，()11,3,6AC =，所以1111111670cos ,14710A D AC A D AC A D AC ⋅-===-⨯，所以异面直线1A D 与1AC 所成角的余弦值为7014，B不正确，C 正确；又因为()12,0,6AB =，()11,3,6AC =，设平面11AB C 法向量为(),,n x y z =，则11260360n AB x z n AC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，即6222x z y z ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，取2z =，则()6,2,2n =--，因为()0,3,0CD =-，且60CD n ⋅=≠，所以若//CD 平面11AB C 不成立，D 不正确；故选:AC.三、填空题15．（2020·北京市平谷区第五中学月考）在四面体O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =_________.（用a ，b ，c 表示）【答案】111244a b c ++ 【解析】∵在四面体O ABC -中，,,OA a OB b OC c ===，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点 ∴()()1111111222222244OA OD OE OA OD a OB OC a b c =+=+=+⨯+=++ 故答案为111244a b c ++ 16．（2020·湖北荆州中学月考）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π．若“牟合方盖”的体积为163，则正方体的外接球的表面积为__________．【答案】12π 【解析】因为“牟合方盖”的体积为163，又正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π，所以正方体的内切球的体积V 球164433ππ=⨯=，所以内切球的半径1r =，所以正方体的棱长为2，所以正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线即223R =所以3R 2244(3)12S R πππ===．故答案为：12π.17．（2020·云南其他（理））在等腰三角形ABC 中，2AB AC ==，顶角为120°，以底边BC 所在直线为轴旋转围成的封闭几何体内装有一球，则球的最大体积为_________． 3π 【解析】据题意可得几何体的轴截面为边长为2，，邻边的一夹角为60°的菱形，即菱形中的圆与该菱形内切时，球的体积最大，可得内切圆的半径o o 3sin 30sin 30r AB =⋅⋅，故34333V ππ==⎝⎭． 3π.四、双空题18．（2020·江苏兴化一中高一期中）已知圆锥的侧面积为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为_________；这个圆锥的体积为__________. 【答案】1 3π【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线为R因为圆锥的侧面积为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，所以222R ππ=，解得2R =，即圆锥母线长为2，又因为2Rr ππ=，所以1r =，所以圆锥的体积22222211312133V r R r πππ=⨯-⨯- . 故答案为：1，3π319．（2020·瑞安市上海新纪元高级中学高二期末）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是_____，最长棱长为_____．【答案】3 14【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，且梯形上下边长为1和2，高为2，如图：2AD =，2AB =，1BC =，PA x =，//AD BC ，PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥， ∴底面的面积1(12)232S =⨯+⨯=，∴几何体的体积1333V x ==，可得3x =，最长棱长为：22212314PC ++ 故答案为：314．20．（2020·包头市第九中学高一期末）设三棱锥S ABC -的底面和侧面都是全等的正三角形，P 是棱SA 的中点.记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则α，β，γ中最大的是_________，最小的是________. 【答案】αβ【解析】作//PD CA 交SC 于D ，由于AB BC CA ==，SA SB SC ==，所以S ABC -为正三棱锥，由对称性知BD PB =，取PD 中点E ，连接BE ，作EH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接BH ，作PF ⊥平面ABC ，交平面ABC 于F ，连接BF ，作PG AC ⊥，交AC 于G ，连接GF ，所以BE PD ⊥，由于//PD AC ，所以BPD α=∠，由于PF ⊥平面ABC ，所以PBF β=∠，由于PG AC ⊥，PF ⊥平面ABC ，所以PGF γ=∠，222sin BE EH BH EH EH BP BP BP BPα+==>=，因为//PD CA ，E 在PD 上，EH ⊥平面ABC 于H ，PF ⊥平面ABC 于F ，所以EH PF =.所以sin PF EHBP BPβ==.所以sin sin αβ>，由于,αβ都是锐角，所以αβ>，由于P 在SA 上，由对称性PB CP =，而CP PG >，则sin sin PF PF PFPG CP BPγβ=>==，由于γ也是锐角，所以γβ>，由PB BG <,222sin BE EH BH EH EH PF BP BP BP α+==>==sin PF PGγ>=，所以αγ综上所述，三个角中的最小角是β，最大角是α. 故答案为：①α；②β.21．（2020·黑龙江南岗·哈师大附中高三其他（理））我国南北朝时期的数学家祖暅（杰出数学家祖冲之的儿子），提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．已知曲线C ：2yx ，直线l 为曲线C 在点()1,1处的切线．如图所示，阴影部分为曲线C 、直线l 以及x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y 轴旋转一周所得的几何体为Ω．过()()0,01y y ≤≤作Ω的水平截面，所得截面面积S =______（用y 表示），试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出Ω体积为______．【答案】()214y π-(01)y ≤≤12π【解析】由2yx ，得2y x '=，所以直线l 的斜率212k =⨯=，所以直线l 的方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，所以2212y S y π⎡⎤+⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()214y π=-(01)y ≤≤.将一个底面半径为12，高为1的圆锥的底面与几何体为Ω的底面放在同一水平面上，则过()()0,01y y ≤≤的水平截面截圆锥所得截面的半径为12y -(01)y ≤≤，截面面积为()214y π-(01)y ≤≤,根据祖暅原理可知，该圆锥与几何体Ω的体积相等，所以几何体Ω的体积为21113212ππ⎛⎫⨯⨯⨯=⎪⎝⎭. 故答案为：()214y π-(01)y ≤≤；12π.五、解答题22．（2020·北京开学考试）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是11AC 的中点，且12AC BC AA ===.（Ⅰ）求证：11//A B 平面ABD ；（Ⅱ）求直线1AB 与平面ABD 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；3【解析】（Ⅰ）如图，由三棱柱111ABC A B C -，得11//A B AB ，又因为11A B ⊄平面ABD ，AB平面ABD ，所以11//A B 平面ABD ；（Ⅱ）因为1CC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，所以CA ，CB ，1CC 两两垂直，故分别以CA ，CB ，1CC 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，则()0,2,0B ，()2,0,0A ，()10,2,2B ，()1,0,2D ，所以()12,2,2AB =-，()12,2,0AB =-，()1,0,2AD =-，设平面ABD 的法向量(),,n x y z =，由0AB n ⋅=，0AD n ⋅=，得220,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令2x =，得()2,2,1n =.设直线1AB 与平面ABD 所成角为θ，则1113sin cos ,9AB n AB n AB nθ⋅=<>==⋅所以直线1AB 与平面ABD 所成角的正弦值为39.23．（2020·云南师大附中月考（理））如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，2243AB CD AD ===，将ADC 沿着AC 翻折，使得点D 到点P ，且26PB =.（1）求证：平面APC ⊥平面ABC ；（2）求二面角A PB C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）7【解析】（1）证明：由等腰梯形2243AB CD AD ===60ABC ∠=︒，又2AB BC =，所以AC BC ⊥，又23PC BC ==，26PB = 则222CB CP PB +=，所以BC CP ⊥，又AC CP C ⋂=，所以BC ⊥平面APC ，所以平面APC ⊥平面ABC . （2）如图，取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，AC ，则AECD 为菱形，且60DAE ∠=︒，则AC DE ⊥，记垂足为O ，由（1）知，平面APC ⊥平面ABC ，又PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABC ，同理，EO ⊥平面APC ，所以OA ，OE ，OP 两两垂直，如图，建立分别以OA ，OE ，OP 为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系，则6AC =，3DO =所以()3,0,0A ，()3,23,0B -，()3,0,0C -，(3P ，所以(3,23,3BP =-，()6,23,0BA =-，()0,23,0BC =-，设平面ABP 的法向量为()1111,,n x y z =，所以1100BA n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111623032330x x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令13y =1113x z =⎧⎪⎨=⎪⎩所以平面ABP 的一个法向量为()11,3,3n =；设平面CBP 的法向量为()2222,,n x y z =，所以220,0,BC n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222223032330y x y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令23z =，得2210x y =-⎧⎨=⎩所以平面CBP 的一个法向量为()21,0,3n -=；令二面角A PB C --为θ，由题意知θ为钝角，所以121227cos 727n n n n θ⋅=-=-=-⨯，所以二面角A PB C --的余弦值为77-. 24．（2020·江西其他（文））如图1，平面四边形ABPC 中，ABC 和PBC 均为边长为23的等边三角形，现沿BC 将PBC 折起，使32PA =，如图2.（1）求证：平面PBC ⊥平面ABC ；（2）求点C 到平面PAB 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）55. 【解析】（1）取BC 的中点O ，连接OP ，OA ，因为ABC 和PBC 均为边长为23 所以AO BC ⊥，OP BC ⊥且3==OA OP ，因为32AP =，所以222OP OA AP +=，所以OP OA ⊥，又因为⋂=OA BC O ，OA ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以OP ⊥平面ABC ，又因为OP ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC . （2）由（1）知，OP ⊥平面ABC ，三棱锥P ABC -的体积13P ABC ABCV S PO -=⋅⋅ 设点C 到平面PAB 的距离为h ，则13C PAB PABV S h -=⋅⋅由题意PAB △中，23AB PB ==，32AP =,PAB △中PA 边上的高为()2232302322⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭， 13031532222PAB S ∴=⨯⨯=△,13=2323=3322ABCS ⨯⨯⨯, C P A ABC P B V V --=1133ABCPABS PO S h ∴⋅⋅=⋅⋅由（1）知，3PO =， 3ABCPABS Sh ∴⋅=⋅，3655ABC PAB S h S ⋅∴==. 所以，点C 到PAB 的距离为655.25．（2020·江西南昌二中月考（文））如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，AB AD ⊥，G 为AB 的中点.2CD DA AF FE ====，4AB =.（1）求证：//DF 平面BCE ；（2）求证：平面BCF ⊥平面GCE ；（3）求多面体AFEBCD 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）833【解析】（1）证明：因为//CD EF ，且CD EF =，所以四边形CDEF 为平行四边形，所以//DF CE .因为DF ⊄平面BCE ，EC ⊂平面BCE 所以//DF 面BCE .（2）证明：连接FG .因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD平面ABEF AB =，AD AB ⊥所以AD ⊥平面ABEF ，所以BF AD ⊥. 因为G 为AB 的中点，所以//AG CD ，且AG CD =，//EF BG ，且EF BG =，所以四边形AGCD 和四边形BEFG 均为平行四边形. 所以//AD CG ，所以BF CG ⊥.因为EF EB =，所以四边形BEFG 为菱形，所以BF EG ⊥. 所以BF ⊥平面GCE . 所以平面BCF ⊥平面GCE . （3）设BFGE O =.由（1）得//DF CE ，所以//DF 平面GCE ，由（2）得//AD CG ，所以//AD 面GCE ，所以平面//ADF 平面GCE ，所以几何体ADF GCE -是三棱柱. 由（2）得BF ⊥平面GCE . 所以多面体AFEBCD 的体积ADF GCE B GCE V V V --=+13GCEGCE SFO S BO =⋅+⋅43GCE S FO =⋅△833=. 26．（2020·湖南月考）如图，已知AC BC ⊥，DB ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，过点D 且垂直于DB 的平面α与平面BCD 的交线为l ，1AC BD ==，3BC =，2AE =.（1）证明：l ⊥平面AEC ；（2）设点P 是l 上任意一点，求平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）60︒. 【解析】（1）证明：因为BD α⊥，BD ⊥平面ABC ，所以α//平面ABC ，又α平面BCD l =，平面ABC平面BCD BC =，所以BC //l .因为EA ⊥平面ABC ，所以BC AE ⊥. 又BC AC ⊥，AEEA A =，所以BC ⊥平面AEC ，从而l ⊥平面AEC .（2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()0,1,0A ，()0,0,0C ，()3,0,1D，()0,1,2E ，设(),0,1P a ，平面PAE ､平面ACD 的法向量分别为()111,,m x y z =，()222,,n x y z =，则(),1,1AP a =-，()0,0,2AE =，()0,1,0AC =-，()3,0,1CD =.因为m ⊥平面PAE ，所以1111020ax y z z -+=⎧⎨=⎩，令11x =，得1y a =，10z =，即()1,,0m a =.同理222030y x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，得20y =，23z =-，即()1,0,3n =-.因为211cos ,221m n a =≤+，当且仅当0a =时取等号，所以平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值为60︒.27．（2020·江西上高二中月考（理））四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，AD DC ⊥，1BC CD ==，2AD =，PA PD =，E 为PC 的中点，F 为AD 的中点，平面PAD ⊥底面ABCD .（Ⅰ）证明：平面BEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若PC 与底面ABCD 所成的角为3π，求二面角E BF A --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）7【解析】（Ⅰ）//BC DF∴四边形BCDF 是平行四边形//BF CD ∴.又CD AD ⊥，BF AD ∴⊥.又面PAD ⊥面ABCD ，面PAD面ABCD AD =，BF ⊂面ABCD BF ∴⊥面PAD且BF ⊂面BEF∴平面BEF ⊥平面PAD .（Ⅱ）连结PF ，PA PD =，F 为AD 中点，PF AD ∴⊥又PF ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PF ∴⊥底面ABCD ，又BF AD ⊥，以FA ，FB ，FP 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设()0,0,P t ，()1,1,0C -，取平面ABCD 的法向量()10,0,1n =，()1,1,PC t =--，()0,1,0B ， 11sin3n PC n PCπ⋅∴=⋅，2322t =+，6t ∴=()0,0,6P ∴，116,,222E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设平面EBF 的法向量()2,,n x y z =，2211602220n FE x y z n FB y ⎧⋅=-++=⎪∴⎨⎪⋅==⎩，令1z =， 6x ∴=，()26,0,1n =.设二面角E BF A --的平面角为θ12127cos 7n n n n θ⋅∴==⋅ 又θ为钝角，7cos 7θ∴=-，即二面角E BF A --的余弦值为77-.。

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空间向量与立体几何单元测试题rr6、若直线 l 的方向向量为 a,平面的法向量为 n , 则能使 l //的是 ()一、选择题r1,0,0 r2,0,0r1,3,5 r1,0,1r r ra, na, nR,下列关系式中 ,不成立的是（AB ．1、若 a , b , c 是空间任意三个向量 ,）rr1,0, 1r 1, 1,3 r0,3,1r r r ra0,2,1 , na, nr r r rCD ．a babA. a b baB.uuur uuurr r r7.空间四边形 OABC 中， OB OC ， AOBAOCr r rr r，则 cos < OA, BC >的值a bc ab c3C ．D ．ba是（）2、给出下列命题r r r ur rrr r12 1D ． 0r rA ．B ．C ．－a b c c b ab c;222①已知 a b, 则uuur uuuur uuur8、正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为 1,E 是 A 1 B 1 中点 ,则 E 到平面 ABC 1 D 1 的距离是②A 、B 、M 、N 为空间四点 ,若BA, BM , BN不构成空间的一个基底 , 则 A 、B 、 M 、 N 共面 ;r rr r（）③已知 ab ,则 a,b与任何向量不构成空间的一个基底;3213r r rr rur r rA ． 2B ．2C ． 2D ． 3a,b, c构成空间另一个基底 .④已知是空间的一个基底 ,则基向量 a, b可以与向量ma c正确命题个数是（）9．若向量 a 与b 的夹角为， b 4 ， (a 2b)( a 3b) 72 ，则a（）60°A ． 1B ．2C ．3D ．4r r Ａ． 2Ｂ． 4Ｃ． 6Ｄ． 12r ra 3b10．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱， ∠BCA=90°，点 D 1、F 1 分别是 A 1B 1、A 1C 1 的中点，若 BC=CA=CC 1， 3、已知a, b均为单位向量 ,它们的夹角为60 ,那么）等于（则 BD 1 与 AF 1 所成角的余弦值是（）A ．4、 7 B ． 10C ．13D ．430 1 30 15 r r r r rA ．B ．C ．D ．rr r1021510a 1,b 2,c ab, r1 且 ca ,则向量a 与b的夹角为（）11．在三棱锥 P －ABC 中， AB ⊥BC ，AB ＝ BC ＝ PA ，点 O 、D 分别是 AC 、 PC 的中点，2A ． 30B ． 60C ．120D ． 150OP ⊥底面 ABC ，则直线 OD 与平面 ABC 所成角的正弦值（）r rr r23 14 10 5、已知 a3,2,5 ,b 1, x, 1 ,A ．且ab 2, 则 x 的值是（）4B ．C ．D ．3430A ． 3B ．4C ． 5D ． 612．正三棱柱 ABCA 1B 1C 1 的底面边长为3，侧棱 AA 133 ， D 是 CB 延长线上一点，2且BDBC，则二面角B 1 AD B 的大小（）A ．B ．C ．5 2 6D ．336二、填空题 uuur13、已知A(1，2， 1) 关于面 xOy 的对称点为B ，而 B 关于 x 轴的对称点为C ，则 BC14、△ ABC 和△ DBC 所在的平面互相垂直 ,且 AB=BC=BD,∠CBA=∠ DBC=60, 则 AD 与平面 BCD 所成角为.15、若直线 l 的方向向量为 (4,2,m),平面的法向量为 (2,1,-1),且 l ⊥ ,则 m = .16、已知 ABCD 为正方形，P 为平面 ABCD 外一点， PDAD ， PDAD 2 ，二面角P AD C为60°P到 AB的距离为，则三、解答题17、已知四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 a 的正方形 ,PA ⊥底面 ABCD,E 为 PC 上的点且 CE ：CP=1：4,求在线段 AB 上是否存在点 F 使 EF//平面 PAD?18、如图，已知点 P 在正方体 ABCD －A 1 B 1 C 1 D1 的对角线 BD 1 上，∠ PDA=60°.z（1）求 DP 与 CC 1 所成角的大小；（2）求 DP 与平面 AA 1D 1D 所成角的大小 .D C HAPBDCABx19 、三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为 A 1B 1C 1 ， BAC90o ， A A 平面 ABC ，A 1 A3 ， AB2 ， AC 2 ， AC1 1 ，11BD 1DC．A 1C 12BA 1 AD平面BCC 1B 1；1（Ⅰ）证明：平面（Ⅱ）求二面角ACC 1 B 的平面角的余弦值．ACB D20．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面 AEC 1F 所截面而得到的，其中AB 4, BC 2, CC 1 3, BE 1.（Ⅰ）求 BF 的长；（Ⅱ）求点 C 到平面 AEC 1F 的距离 .y参考答案选择题DCCCC DDBCA CA填空题13. (0， 4， 2)14. 3015. -216.7解答题17、解：建立如图所示的空间直角坐标系，设PA=b，则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,b),uuur则 CPa, a, b ,∵E 为 PC上的点且CE： CP=1： 3,uuur 1 uuur 1a, a,ba a bCE4CP4,4,∴ 4 4uuur uuur uuur uuur uuur uuur 3a 3a bCE AE AC AE CE AC , ,∴由 4 4 4 ,设点 F 的坐标为 (x,0,0,) (0≤ x≤ a),uuurx 3a , 3a , bEF则 4 4 4 ,uuur又平面 PAD的一个法向量为AB a,0,0 ,uuur uuur3a 3aEF AB x a 0 x4 4 ,依题意 ,3∴在线段 AB 上存在点 F,满足条件 ,点 F 在线段 AB 的4处 .18 解：如图，以 D 为原点， DA 为单位长建立空间直角坐标系 D xyz ．uuur uuuur(0，0，1) ．连结BD，B D．则 DA (10，，0) ， CCz在平面 BB D D 中，延长 DP 交 B D 于 H ．uuuur0) ，由已知uuuur uuur60o，DH C 设 DH ( m， m，1)(m DH，DAA uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur P B由 DA DH DA DH cos DA DHg ， D C y2 ，A B可得2m 2m2 1 ．解得mx2所以uuuur 2 ，2 ，．（Ⅰ）因为DH2 212 2 1 1由三垂线定理知 BE CC 1 ， AEB 为二面角 A CC 1 B 的平面角．uuuur uuuur2 ，cos 22，DH CC1 22过C 1 作 C 1 FAC 交 AC 于 F 点，则 CF AC AF 1， CF 1 AA 13 ，uuuur uuuur45o ．即 DP 与 CC 所成的角为 45o． C 1CF 60 o所以 DH ，CC ．uuur（Ⅱ）平面 AA D D 的一个法向量是 DC(0，1，0) ．uuuur uuur22 1 1 0 1uuuur uuur 60o．因为 cos， 22，所以 DH ，DCDH DC1 2 2可得 DP 与平面 AA D D 所成的角为 30o．19. 解：解法一：（Ⅰ） Q A 1 A平面 ABC ，BC平面 ABC ，A 1 A BC ．在 Rt △ ABC 中， AB2， AC 2， BC6 ，Q BD : DC1: 2， BD6 BD3 AB3 ，又3，AB BC△ DBA ∽△ ABC ， ADBBAC 90o ，即 ADBC ．又 A 1 A I ADA ， BC 平面 A 1AD ，A 1C 1B1Q BC 平面 BCC 1B 1 ，平面 A 1 AD 平面 BCC 1B 1 ．E在 Rt △ AEC 中， AEAC sin 60o 233 ．2在 Rt △ BAE 中， tan AEBAB2 6 ． AEBarctan6，AE 3336 ．z 即二面角 A CC 1 B 为 arctanA 1C 131B解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)， B( 2，0，0)， C(0，2，0)， A 1 (0，0，3)，C 1 (01，，3) ，ACuuur1 uuur2 2BD．D 点坐标为 2Q BD : DC 1: 2 ，BDBC，，． x3（第 19 题，解法二33uuur 2 2 2， uuuruuur，，．AD，，BC (，，，3)32 2 0) AA 1(0 03uuur uuur uuur uuurQ BC gAA 1 0 ， BCgAD0 ， BC AA 1 ， BC AD ，又 A 1 A I ADA ，ABC 平面 A 1 AD ，又 BC 平面 BCC 1 B 1 ，平面 A 1 AD平面 BCC 1 B 1 ．（Ⅱ）如图，作 AE C 1C 交 C 1C 于 E 点，连接 BE ，FCuuurB D（Ⅱ） Q BAm ，，为平面平面 ACC 1 A 1 ，取 AB ( ACC 1A 1 的法向量，由已知得 AB（第 19 题，解法一）2 0 0)平面 ACC 1 A 1 ．uuuruuuur设平面 BCC 1B 1 的法向量为 n(l ， m ，n) ，则．BCgn10，CC gnAE 是 BE 在面 ACC 1 A 1 内的射影．2l 2m 0，2m， n 3m ，如图，可取m 1，则m 3nl0， 3n2，1，3，32 2 0 1 0 315 ，cos m，n 325( 2) 2 02 02 g ( 2) 2 12 33即二面角 A CC1 B 为 arccos 15 ．520. 解：（ I）建立如图所示的空间直角坐标系，则 D (0,0,0) ， B(2,4,0)A(2,0,0), C (0, 4,0), E(2, 4,1), C1(0, 4,3) 设 F (0,0, z) .∵ AEC1F 为平行四边形，由 AEC 1F为平行四边形 ,由 AF EC1得 ,( 2,0, z) ( 2,0,2),z 2. F ( 0,0,2).EF ( 2, 4,2).于是 | BF | 2 6 ,即 BF的长为 2 6.（ II）设n1为平面AEC1F的法向量，显然 n1不垂直于平面 ADF ,故可设 n1(x, y,1)n1 AE 0, 0 x 4 y 1 0x 1,4 y 1 0,由得即1 .n1 AF 0, 2 x 0 y 2 0 2 x 2 0,y4又CC1 (0,0,3), 设CC1与 n1 的夹角为，则cos CC1 n1|3 433. ∴ C 到平面AEC1F的距离| CC1 | | n1 3 1 1 1 3316为 d | CC1 | cos 3 4 33 4 33 .33 11。