函数级数和
级数求和与函数展开习题课
一、数项级数的审敛法√ 二、求幂级数收敛域的方法
4、5、7节
三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数
展开法
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三、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限
• 利用幂级数性质，借用已知幂级数的和函数求解 （在收敛区间内）
anxn
n0
难
逐项求导或求积分
an xn
n0
求和
S(x)
对和式积分或求导
S * ( x)
• 数项级数 直接求和: 求部分和等 求和 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
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常用函数的幂级数（或常用幂级数的展开式）
ex 1 x 1 x2 1 xn ,
2!
n!
x (, )
ln(1 x)
x
1x2 2
1 x3 1 x4 34
(1)n n 1
xn1
x (1, 1]
sin x x x3 x5 x7 (1)n x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
x (, )
cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
2! 4! 6!
(2n)!
x (, )
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(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1)(m n 1) xn x (1, 1) n!
当 m = –1 时
1 1 x x2 x3 (1)n xn , 1 x
x (1, 1)
函数项级数收敛和一致收敛的判别
函数项级数收敛和一致收敛的判别函数项级数收敛和一致收敛的判别函数项级数是指将一列函数相加得到的级数，例如：$%sum%limits_{n=1}^%infty f_n(x)$。
如果该级数在某个区间内收敛，则称该级数在该区间内收敛，否则称该级数在该区间内发散。
函数项级数的收敛性可以分为点态收敛和一致收敛两种。
点态收敛是指对于每一个$x$，级数$%sum%limits_{n=1}^%inftyf_n(x)$都收敛，而一致收敛则是指存在一个收敛的函数$S(x)$，使得对于任意$%epsilon>0$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，对于所有$x$都有$|%sum%limits_{k=1}^n f_k(x)-S(x)|<%epsilon$。
下面将介绍函数项级数的一致收敛的判别方法：一、Weierstrass判别法Weierstrass判别法是判定函数项级数一致收敛的最常用方法之一。
其基本思想是将原函数项级数中的每一项$f_n(x)$都用一个上界函数$M_n(x)$来代替，并且要求这个上界函数满足以下两个条件：1. 对于任意$n$和$x$，都有$|f_n(x)|%leq M_n(x)$。
2. 上界函数$M_n(x)$的函数项级数$%sum%limits_{n=1}^%infty M_n(x)$在该区间内收敛。
如果满足上述条件，则原函数项级数在该区间内一致收敛。
二、Abel判别法Abel判别法是另一种判定函数项级数一致收敛的方法。
其基本思想是将原函数项级数表示为两个部分的乘积：$%sum%limits_{n=1}^%infty a_n(x)b_n(x)$，其中$a_n(x)=%sum%limits_{k=1}^n f_k(x)$，$b_n(x)$是一个单调有界函数。
如果满足以下两个条件，则原函数项级数在该区间内一致收敛：1. 函数$a_n(x)$在该区间内一致有界。
2. 函数$b_n(x)$在该区间内一致收敛到某个函数$B(x)$。
高等数学中的级数及解题方法
高等数学中的级数及解题方法在数学学科中，级数是一个综合性较强的概念，是指由无穷多项组成的无穷级数。
其可以说是数学研究中最重要的一类问题之一，其中又分为数列级数和函数级数两种。
在解题时，我们通常采用求和的方法，将求和问题转化为极限问题，再通过已知的数列或函数列求其极限值，从而求出级数的和。
下面，本文将就高等数学中的级数及解题方法进行详细的介绍。
一、数列级数的概念数列级数是指由数列的无穷项组成的和。
当数列的项在无限增加时，其和也就趋向于无限大或无限小。
例如，以下为一个数列级数的示例：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$其中，$\frac{1}{n}$ 为数列的通项公式，$\sum$ 符号表示求和，$n$ 为变量，表示从 $1$ 到无穷大的所有自然数。
针对此类数列级数的求和问题，我们通常采用以下两种方法：1.求极限法当数列级数的通项公式为一个有界数列时，可以采用直接求和的方法，例如：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$在此类情况下，我们可以通过变换数列项得到一个几何级数形式：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$其中，$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$ 为几何级数的求和公式。
2.比较法当数列级数的通项公式无法直接求出其和的时候，我们可以采用比较法进行求解。
具体来讲，我们需要构造一个同类比较数列或级数，从而比较其大小关系，进而得到数列级数的极限值。
例如：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$其中，$p\geq 1$，$n$ 为变量，表示从 $1$ 到无穷大的所有自然数。
针对此类数列级数的求和问题，我们可以采用以下的比较系列：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \leq\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$其中，两个级数在极限时均为无穷大。
函数项级数的收敛和一致收敛的区别
函数项级数的收敛和一致收敛的区别哎呀，今天咱们聊聊函数项级数的收敛和一致收敛这俩家伙。
听起来是不是有点晦涩？别担心，我会尽量把这话说得简单明了，让你轻松理解。
想象一下，你正在参加一个聚会，有两个小伙伴，一个是收敛，另一个是一致收敛。
他们俩虽然都挺靠谱，但性格上可是有不少区别哦。
收敛这位小伙伴，乍一看还真让人觉得亲切。
他就是那种比较随和的家伙，时不时就能让你心里觉得舒服。
他的主要特点就是，随着某个参数不断变化，他的表现会慢慢趋向一个特定的值。
比方说，你想让他表演个节目，他就会努力地调整自己的表演，直到最终达到你想要的效果，嘿，听起来不错吧？但问题来了，收敛有时候也挺慢吞吞的，尤其在某些情况下，可能需要耐心等待好久才能看到效果，真是有点让人抓狂。
而一致收敛就不同了，这小子可是行动迅速！他是那种一上场就能让你眼前一亮的角色。
他的特点就是不管参数怎么变，他始终能保持一致，给你一个稳定的表现。
就好像你在看一个魔术表演，无论观众坐在哪个位置，魔术师的表演总是一样精彩。
这种一致性让人觉得特别安心，就像一个老朋友，让你可以随时依赖。
要是收敛是个温柔的慢人，那么一致收敛就是个干脆利落的快手。
有意思的是，虽然这俩家伙都能让你看到最终的结果，但过程却大相径庭。
收敛就像在走一条蜿蜒的小路，时不时还有点坑坑洼洼的，需要你小心翼翼地迈步。
而一致收敛则像是在一条平坦的大道上，走起来畅通无阻，真是爽快！不过，得注意的是，收敛有时候会让你看到一些奇怪的现象，可能你明明在等着他趋向一个值，他却在某个点上停下来，让你有点摸不着头脑。
再说了，收敛和一致收敛之间的区别在于他们的“友情”。
收敛可能会和你保持一种“各自为政”的关系，在某个点上，你的结果和他们的行为可以有点距离。
而一致收敛则是“齐心协力”的完美配合，真是一拍即合。
想象一下，大家在一起玩游戏，一致收敛总是能让所有人同步快乐，而收敛就可能有些人跟不上节奏，变得有点尴尬。
还要提一句，这两位小伙伴在数学界可是非常重要的，大家都想和他们建立良好的关系。
函数项级数的应用
函数项级数的应用函数项级数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的求解中有着广泛的应用。
本文将介绍函数项级数的定义及其应用领域，并通过具体例子展示其解决问题的能力。
一、函数项级数的定义函数项级数是指由一系列函数项按特定规律排列而成的级数。
形式上，函数项级数可以表示为：S(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + ...其中，f1(x)，f2(x)，f3(x)等为函数项，x为自变量，S(x)为级数的和。
函数项级数的求和可以通过数列的部分和逐渐逼近的方式进行。
二、函数项级数的应用函数项级数在数学的各个分支以及其他领域中都有着广泛的应用。
以下是函数项级数在实际问题中的几个应用领域。
1. 近似计算函数项级数可以用来近似计算某些复杂函数的值。
例如，我们可以利用泰勒级数来近似计算指数函数、三角函数等。
通过截取级数的前几项，可以得到函数在某个点附近的近似值，从而简化计算过程。
2. 物理问题的建模与求解函数项级数在物理问题的建模与求解中有着广泛的应用。
例如，某个物理问题可以通过级数展开的形式进行描述，进而通过求和得到问题的解析解。
函数项级数的求和性质可以帮助我们解决各种物理问题，如天体力学、电磁场分布等。
3. 信号处理函数项级数在信号处理领域也有着重要的应用。
例如，傅里叶级数是一种将周期信号拆解为基本频率的级数展开形式，通过傅里叶级数可以实现信号的频域分析、滤波和合成等操作。
4. 统计学函数项级数在统计学中也有一定的应用。
例如，通过泊松级数可以描述在给定时间间隔中某个事件发生的概率。
通过控制级数的求和次数，我们可以得到不同精度的概率估计，用于解决统计学问题。
5. 金融学在金融学中，函数项级数常常用于建立金融模型，对金融市场进行预测和分析。
例如，布莱克-斯科尔斯期权定价模型就是基于波动率的函数项级数展开，用于计算期权的价格。
三、函数项级数的实例下面通过几个具体的例子来展示函数项级数的应用。
1. 求解三角函数可以将三角函数利用泰勒级数展开，从而实现对三角函数的近似求解。
级数求和的八种方法
级数求和的八种方法一、列方程法：列方程法是通过将级数的部分项与一些已知的函数进行比较，然后列出方程，并求解得到级数的和。
常用的列方程法有以下几种：1.等差级数：等差级数是指级数的每一项与前一项之间的差都相等的级数。
求等差级数和的方法有两种常用的方式：（1）利用等差级数的通项公式：对于等差级数来说，其通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。
利用这个通项公式，可以列出等差级数的部分和Sn的表达式，然后求解得到 Sn 的值。
（2）利用等差级数的求和公式：等差级数的求和公式是 Sn = (a1 + an)n/2，其中n表示级数的项数，a1表示首项，an表示末项。
将对应的值代入公式，即可求得等差级数的和。
2.等比级数：等比级数是指级数的每一项与前一项之间的比例都相等的级数。
求等比级数和的方法有以下两种常见的方式：（1）利用等比级数的通项公式：对于等比级数来说，其通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。
利用这个通项公式，可以列出等比级数的部分和Sn的表达式，然后求解得到 Sn 的值。
（2）利用等比级数的求和公式：等比级数的求和公式是Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中a1表示首项，q表示公比，n表示级数的项数。
将对应的值代入公式，即可求得等比级数的和。
二、借助公式法：由于有些级数的部分和难以直接计算，可以利用已知的级数求和公式，借助一些已知级数的和，表示成新的级数的和。
常见的借助公式法有以下几种：1.幂级数的求和公式：幂级数是指级数的每一项都是幂函数的项。
对于幂级数来说，有一些常用的求和公式，可以将一个复杂的幂级数表示成一个已知幂级数的和，从而利用已知的幂级数求和公式得到级数的和。
2.三角函数级数的求和公式：三角函数级数是指级数的每一项都是一个三角函数的项。
对于三角函数级数来说，有一些常用的求和公式，可以将一个复杂的三角函数级数表示成一个已知三角函数级数的和，从而利用已知的三角函数级数求和公式得到级数的和。
函数项级数的收敛域与和函数
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(3) 定义3 若{ f n ( x )}在D上收敛,则可确定一个新的 函数f ( x ),x D. 则称f ( x )为函数列{ f n ( x )}的极限函数. 记为: lim f n ( x ) f ( x ), x D或x D, f n ( x ) f ( x ), n n
0,| x | 1 从而 f n ( x ) f ( x) , x (1,1] 1, x 1 fn ( x) f ( x ),(n ), x D 0 0,N N, n0 N , x0 D,有 fn0 ( x0 ) f ( x0 ) 0
1. 函数列的定义: (1) 定义1 设函数f1 ( x ), f 2 ( x ),, f n ( x ),是定义在同 一个数集E上,则称其为E上的函数列. 记为: { f n ( x )}或f n ( x ), n 1,2, 特别地取定x x0 ,则函数列{ f n ( x )}为一个数列 { f n ( x0 )}.
k 1 k 1 1 n n 1
1 un ( x )dx 0[lim u ( x ) ] dx 0 n s k 0[lim n ( x )]dx n k 1 1 n
1
1
n
uk ( x )dx lim [0 uk ( x )dx] [0 un ( x )dx] lim 0 n n n1
三角函数的级数展开与级数和计算
三角函数的级数展开与级数和计算三角函数是数学中重要的函数之一，可以通过级数展开的方式进行求解和计算。
在本文中，将介绍三角函数的级数展开方法以及如何计算级数和。
注意，本文的格式将以说明文的形式展示，并提供示例来帮助读者理解。
一、正弦函数的级数展开与级数和计算正弦函数可以用无穷级数展开，其级数展开形式如下：sin x = x - (x^3/3!) + (x^5/5!) - (x^7/7!) + ...其中，x为角度（弧度制），!表示阶乘。
根据该级数展开形式，我们可以计算正弦函数的级数和。
例如，给定角度为π/4，我们可以通过计算前n项的和来近似计算sin(π/4)的值。
具体计算过程如下：sin(π/4) ≈ π/4 - (π/4)^3/3! + (π/4)^5/5! - (π/4)^7/7! + ...二、余弦函数的级数展开与级数和计算余弦函数也可以用无穷级数展开，其级数展开形式如下：cos x = 1 - (x^2/2!) + (x^4/4!) - (x^6/6!) + ...同样地，我们可以根据该级数展开形式计算余弦函数的级数和。
例如，给定角度为π/3，我们可以通过计算前n项的和来近似计算cos(π/3)的值。
具体计算过程如下：cos(π/3) ≈ 1 - (π/3)^2/2! + (π/3)^4/4! - (π/3)^6/6! + ...三、正切函数的级数展开与级数和计算正切函数同样可以用无穷级数展开，其级数展开形式如下：tan x = x + (x^3/3) + (2x^5/15) + (17x^7/315) + ...根据该级数展开形式，我们可以计算正切函数的级数和。
例如，给定角度为π/6，我们可以通过计算前n项的和来近似计算tan(π/6)的值。
具体计算过程如下：tan(π/6) ≈ π/6 + (π/6)^3/3 + (2(π/6)^5/15) + (17(π/6)^7/315) + ...四、级数展开与级数和计算的应用三角函数的级数展开与级数和计算在数学和工程等领域中有着广泛的应用。
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1
函数级数和连续性定理的注记
定义在某区间上的函数, 有限个连续函数和仍然是连续函数. 有限个不连续函数的和,既可以是连续函数,也可以是不连续函数 而无限个函数的和呢? 即所谓函数级数和的连续性问题.
定理:
现对于定理的两个条件分别进行讨论:
注一:定理中的第一条是充分的,而不是必要的.
研究例1:[2]
该级数在区间[0,1]上非一致收敛.而和函数S(x)=0却是连续的.请注意:•该级数的每一项在[0,1]上是连续的.
注二: 定理中的第二条也是充分的,而不是必要的.
不连续函数序列可否一致收敛于连续函数?
研究 f n (x)=Ψ(X)/n (n=1,2,...)
其中
显然 f n (x)在 -∞<x<+∞ 上每一点均不连续, 但是由于∣f n (x)∣≤1/n (n=1,2,…-∞<x<+∞) 故当n →∞时f n (x), 在 -∞<x<+∞ 上一致趋于0,而f(x)
≡0在-∞<x<+∞上显然是连续函数.
此例说明不连续函数序列仍可以收敛于连续函数.[3]
现在我们根据这个例子构造一个函数级数;
]
1.[],[)()(,
],[)(2.,
],[)(1.
],[)(),(111上是连续的在区间那末上连续在区间 上一致收敛在区间如果上的函数是定义在区间函数级数b a x u x S b a x u b a x u b a x u x u n n n n n n n n ∑∑∑∞
=∞
=∞
==><><)
()[(22112--∞=----∑n n n n n x x x x
.........
0.......1)(⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x x ψ
2 研究例2:
它的前n 项和是: f n (x)=ψ(x)/n
前n-1项和是: f n-1(x)=ψ(x)/(n-1)
级数的第一项是: u 1(x)=ψ(x)
第二项是: u 2(x)=ψ(x)/2
第三项是: u 3(x)=ψ(x)/6
…………………………………..
第n 项是: u n (x)=f n (x)-f n-1(x)
=ψ(x)/n-ψ(x)/(n-1)
=[1/n-1/(n-1)]ψ(x)
=ψ(x)/n(n-1).
u n (x)在 -∞<x<+∞ 上每一点均不连续,但该级数部分和,即前n 项和
S n (x )=f n (x)=ψ(x)/n
由上面的例题知该级数在 -∞<x<+∞上一致收敛于连续函数
这个级数满足定理的第一条,不满足定理的第二条,在 -∞<x<+∞上一致收敛于连续函数,当然在[0,1]上也一致收敛于连续函数
注三:从以上两点可以看出, 定理中的两个条件有一个成立,•而另一个条件不成立函数级数的和可以是连续的.
自然要产生这样的问题:定理中两个条件都不成立的函数级数的和是不是也可以是连续的呢?换句话,是不是有这样的函数级数,u n (x)不全是连续函数,
又不一致收敛.而和函数s(x)却是连续的.
我们构造这样一个函数级数,例3:
这个级数的第2k 项是例1中的级数的第k 项,而第2k+1项是例2中级数的第k 项.
易知这个级数在[0,1]上不是一致收敛的. 而u n (x)在区间[0,1]上有无限
多个项不连续.但是它的和函数S(x)=0 却是连续的.
∑∞=1)
(n n x u
)
(1x u
n n ∑∞=
综上所述, 定理中的两个条件是和函数连续的充分条件,而不是必要条件.单独看一个条件是这样,两个条件一齐看也是如此.
参考文献:
[1] 北京大学数学力学系编《数学分析》下册人民教育出版社 1961年版 •第406页.
[2] 同上第407页.
[3] Б.П.吉米多维奇李荣冻译《数学分析习题集》商务印书馆 1958年六月新一版第五章第2783题第260页.
说明:本文主要内容曾在全国第六届MPMH会议上宣读,这次发表又作了些补充修改,使其完善.
3。