函数级数和
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函数级数和连续性定理的注记
定义在某区间上的函数, 有限个连续函数和仍然是连续函数. 有限个不连续函数的和,既可以是连续函数,也可以是不连续函数 而无限个函数的和呢? 即所谓函数级数和的连续性问题.
定理:
现对于定理的两个条件分别进行讨论:
注一:定理中的第一条是充分的,而不是必要的.
研究例1:[2]
该级数在区间[0,1]上非一致收敛.而和函数S(x)=0却是连续的.请注意:?该级数的每一项在[0,1]上是连续的.
注二: 定理中的第二条也是充分的,而不是必要的.
不连续函数序列可否一致收敛于连续函数?
研究 f n (x)=Ψ(X)/n (n=1,2,...)
其中
显然 f n (x)在 -∞ ≡0在-∞ 此例说明不连续函数序列仍可以收敛于连续函数.[3] 现在我们根据这个例子构造一个函数级数; ] 1.[],[)()(, ],[)(2., ],[)(1. ],[)(),(111上是连续的在区间那末上连续在区间 上一致收敛在区间如果上的函数是定义在区间函数级数b a x u x S b a x u b a x u b a x u x u n n n n n n n n ∑∑∑∞ =∞ =∞ ==><><) ()[(22112--∞=----∑n n n n n x x x x ......... 0.......1)(???=是无理数是有理数x x x ψ 2 研究例2: 它的前n 项和是: f n (x)=ψ(x)/n 前n-1项和是: f n-1(x)=ψ(x)/(n-1) 级数的第一项是: u 1(x)=ψ(x) 第二项是: u 2(x)=ψ(x)/2 第三项是: u 3(x)=ψ(x)/6 ………………………………….. 第n 项是: u n (x)=f n (x)-f n-1(x) =ψ(x)/n-ψ(x)/(n-1) =[1/n-1/(n-1)]ψ(x) =ψ(x)/n(n-1). u n (x)在 -∞ S n (x )=f n (x)=ψ(x)/n 由上面的例题知该级数在 -∞ 这个级数满足定理的第一条,不满足定理的第二条,在 -∞ 注三:从以上两点可以看出, 定理中的两个条件有一个成立,?而另一个条件不成立函数级数的和可以是连续的. 自然要产生这样的问题:定理中两个条件都不成立的函数级数的和是不是也可以是连续的呢?换句话,是不是有这样的函数级数,u n (x)不全是连续函数, 又不一致收敛.而和函数s(x)却是连续的. 我们构造这样一个函数级数,例3: 这个级数的第2k 项是例1中的级数的第k 项,而第2k+1项是例2中级数的第k 项. 易知这个级数在[0,1]上不是一致收敛的. 而u n (x)在区间[0,1]上有无限 多个项不连续.但是它的和函数S(x)=0 却是连续的. ∑∞=1) (n n x u ) (1x u n n ∑∞= 综上所述, 定理中的两个条件是和函数连续的充分条件,而不是必要条件.单独看一个条件是这样,两个条件一齐看也是如此. 参考文献: [1] 北京大学数学力学系编《数学分析》下册人民教育出版社 1961年版 ?第406页. [2] 同上第407页. [3] Б.П.吉米多维奇李荣冻译《数学分析习题集》商务印书馆 1958年六月新一版第五章第2783题第260页. 说明:本文主要内容曾在全国第六届MPMH会议上宣读,这次发表又作了些补充修改,使其完善. 3 通常求幂级数的收敛半径和收敛区间 如果幂级数有n，（n+1）和其他系数，则必须先逐项积分级数，将这些系数约化，然后将它们转换为几何级数，然后计算和。当然，对于积分，你必须记住在将来计算级数和的导数。 同理，如果幂级数有1/N，1/（N+1）等系数，则必须先逐项导出级数项，这还需要将这些系数减去并转换成几何级数，然后用计算。只有在将来，我们将对级数的和进行积分。 简言之，如果有导数，它将对应于将来的积分，反之亦然。因为我们可以用微分和积分作为逆运算，这是为了恢复级数。 幂级数及其函数的计算是幂级数运算的重点和难点，具有一定的技巧。结合多年的教学实践，介绍了求幂级数和函数的最基本方法。关键词：幂级数；和函数积分；逐项推导收敛面积。中图分类号：o173文献号：文献号：1008-6714（2009）02-0005-02受理日期：2008年11月27日河南内黄，讲师，高等数学及其在各专业的应用。幂级数与函数的基本思想是：通过加、减、乘、逐项求导或逐项积分运算，将幂级数转化为已知幂级数（如几何级数求原 幂级数）和函数。下面的例子说明了求幂级数和函数的最基本方法。首先需要求和函数的域，即幂级数的收敛区域。很容易得到幂级数的收敛面积[这是X的公比，散度的几何级数。注：逐项扣除后，收敛区间终点的收敛性可能发生变化。终点需要讨论。注：逐项积分后，收敛区间结束时的收敛性可能会发生变化。目前，它们是发散的，因此收敛区域与收敛区间相同。导言：这个问题可以得到一个想法。这是串联连接。利用几何级数的求和公式，可以求出原始幂级数的和。当输入1时，级数是发散的，因此幂级数的收敛区域是（-上一个幂级数。如果你想使它成为一个与X有关的常数，你可以用项积分法。设s11如果幂级数发散，则幂级数的收敛区域为（-2n）X2N-2nx2n- 幂级数是微积分中十分重要的内容之一，而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题。求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算（恒等变形或分析运算）把待求级数化为易求和的级数（即常用级数，特别是几何级数），求出转化后的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂级数的和函数。以下总结了幂级数求和函数问题的四种常见类型：一、通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和函数S(x) 计算幂级数的和函数，首先要记牢常用级数的和函数，再次基础上借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求和函数。二、求通项为P(n)x^n的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和函数。积分总是从收敛中心到x积分。解法2、也可化为几何级数的和函数的导数而求之，这是不必再积分。三、求通项为x^n/P(n)的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、对级数先逐项求导，再逐项积分求其和函数，积分时不要漏掉S(0)的值。解法2、也可化为几何级数的和函数的积分求之。四、含阶乘因子的幂级数（1）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利用e^x、sinx、cosx的幂级数展开式求其和函数。一般分母的阶乘为n!的幂级数常用e^x的展开式来求其和函数，分母的阶乘为(2n+1)!或(2n)!的幂级数常用sinx、cosx的展开式来求其和函数（2）逐项求导、逐项积分法（3）微分方程发：含阶乘因子的幂级数的和函数常用解S(x)满足的微分方程的处之问题而求之。因此先求收敛域，求出和函数的各阶导数以及在点0处的值，建立S(x)的长微分方程的初值问题，求解即得所求和函数题中的类型为第二种类型 求幂级数的和函数的方法，通常是： §4.2 复变函数项级数 教学目的：1．理解复变函数项级数收敛的概念，掌握其收敛的常用 判别法，以及收敛复函数项级数的和函数的基本性质． 2. 能正确灵活运用相关定理判断所给级数的敛散性. 3．掌握幂级数收敛半径的计算公式、幂级数的运算性质以及幂级数和函数的解析性，能灵活正确求出所给级 数的收敛半径；能用 1 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑将简单函数表示为级数． 教学重点：掌握阿贝尔定理以及级数收敛半径的计算方法；能用间 接法和 01 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑求函数的幂级数展式. 教学难点：正确利用 1 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑求函数的幂级数展式. 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： §4.2.1 复变函数项级数 设{()n f z }是定义在平面点集E 上的一列复变函数,（书上为其中各项在区域D 内有定义,）则式子: 12()()()n f z f z f z ++++L L 称为E 上的复函数项级数,记为 1 ()n n f z ∞ =∑. 【定义】※设1 ()n n f z ∞ =∑是定义在E 上的复函数项级数, ()S z 是E 的一个复函数,如果对E 内的某一点0z ,极限 00lim ()() n n S z S z →∞ =存在,则称复变函数项级数在0z 收敛.若对E 上的每一点z E ∈,都有级数 1 ()n n f z ∞ =∑收敛, 则它的和一定是一个z 的函数()S z ,则称 1 ()n n f z ∞ =∑在E 上收敛于()S z ,此时()S z 也称为1 ()n n f z ∞ =∑在E 上的 和函数.记为1 ()()n n S z f z ∞ == ∑或者()lim ()n n S z S z →∞ =, {}()n S z 称为 1 ()n n f z ∞ =∑的部分和函数列. §4.2.2 幂级数 1．【幂级数的定义】通常把形如： 20 010200 () ()()n n n C z z C C z z C z z ∞ =-=+-+-∑ 0()n n C z z ++-+L L 的复函数项级数称为(一般)幂级数, 其中0C ,1C ,L n C ,L .和0z 都 是复常数, 分别称为幂级数 () n n n C z z ∞ =-∑的系数与中心点. 若00z =, 则幂级数0 () n n n C z z ∞ =-∑可简化为 n n n c z ∞ =∑(标准幂级 幂级数求和函数方法概括与总结 常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑ 111 第十章 函数项级数习题课 一、 主要内容 1、基本概念 函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域 2、一致收敛性 A 、 函数列{()}n f x 一致收敛性的判断： （1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性 （2）Cauchy 收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断 （3）确界（最大值方法）：||()()||0n f x f x -→ （4）估计方法：|()()|0n n f x f x a -≤→ （5）Dini-定理：条件1）闭区间[,]a b ；2）连续性；3）关于n 的单调性 注、除Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。 注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。 注、Dini 定理中，要验证的关键条件是关于n 的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 作为数列关于n 是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N ，当n>N 时”条件成立即可，但是，要注意N 必须是与x 无关的，即当n>N 时，对所有任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 关于n 单调，因此，此时的单调性也称为对n 的单调性关于x 一致成立。 非一致收敛性的判断 （1）定义 （2）Cauchy 收敛准则 （3）确界法：存在n x ，使得||()()||n n n f x f x -不收敛于0 （4）和函数连续性定理 （5）端点发散性判别法：{()}n f x 在c 点左连续，{()}n f c 发散，则{()}n f x 在 Ch 13 函数列与函数项级数 （ 1 2 时 ） § 1 一致收敛性（ 6 时 ） 一． 函数列及极限函数：对定义在区间I 上的函数列)}({x f n ，介绍概念： 收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概念. 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N -ε”定义. 例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n x , 用“N -ε”定义 验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且 ∞→n lim )(x f n = ∞→n lim n x =? ??=<. 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例2 )(x f n =n nx sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: ) (∞→n . ⑴ )(x f n =x x x x n n n n --+-. )(x f n →,sgn x R ∈x . ⑵ )(x f n =1 21+n x . )(x f n →,sgn x R ∈x . ⑶ 设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令 )(x f n =???≠∈=. ,,, ] 1 , 0 [ , 0, ,,, , 12121n n r r r x x r r r x 且 )(x f n →)(x D , ∈x ] 1 , 0 [. ⑷ )(x f n =2 22 2x n xe n -. )(x f n →0, R ∈x . 156 ⑸ )(x f n =?? ? ? ? ? ???≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,41 11x x x x x n n n n n n n 有)(x f n →0, ∈x ] 1 , 0 [, ) (∞→n . （ 注意 ? ≡1 1)(dx x f n .） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D 上 )(x f n →)(x f , ) (∞→n . 试问: 通项)(x f n 的解析性质是否必遗传给极限函数)(x f ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 ∞ →n lim () ? ?∞ →≠1 1 0)(lim )(dx x f dx x f n n n . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一 种手段. 对这种函数, ∞ →n lim )(x f n 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限 函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极 限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓 “整体收敛”的结果. 定义 ( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy 准则 ) 函数列}{n f 在数集D 上一致收敛,? N , 0?>?ε, , , N n m >?? ε<-n m f f . ( 介绍另一种形式ε<-+n p n f f .) 证 )? ( 利用式 .f f f f f f n m n m -+-≤-) 常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =L 是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++∈L L 为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞ =∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 200102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-++-+∑L L 第十三章 函数列与函数项级数 目的与要求：1.掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,函数列与函数项级数一致收敛性判别的柯西收敛准则,函数项级数一致收敛性的判别法. 2. 掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性、可积性、可微性的结论． 重点与难点：本章重点是函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,判别法和性质；难点则是利克雷判别法和阿贝尔判别法. 第一节 一致收敛性 我们知道,可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数,在此,将讨论如何用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数. 一 函数列及其一致收敛性 设 ,,,,21n f f f (1) 是一列定义在同一数集E 上的函数,称为定义在E 上的函数列.也可简记为： }{n f 或 n f , ,2,1=n . 设E x ∈0,将0x 代入 ,,,,21n f f f 得到数列 ),(,),(),(00201x f x f x f n (2) 若数列(2)收敛,则称函数列(1)在点0x 收敛,0x 称为函数列(1)的收敛点. 若数列(2)发散,则称函数列(2)在点0x 发散. 若函数列}{n f 在数集E D ?上每一点都收敛,则称}{n f 在数集D 上收敛. 这时对于D x ∈?,都有数列)}({x f n 的一个极限值与之对应,由这个对应法则就确定了D 上的一个函数,称它为函数列}{n f 的极限函数.记作f .于是有 )()(lim x f x f n n =∞ →, D x ∈,或 )()(x f x f n →)(∞→n ,D x ∈. 函数列极限的N -ε定义是： 对每一个固定的D x ∈,对0>?ε,0>?N （注意：一般说来N 值的确定与ε和x 的值都有关）,使得当N n >时,总有 ε<-)()(x f x f n . 使函数列}{n f 收敛的全体收敛点的集合,称为函数列}{n f 的收敛域. 例1 设n n x x f =)(, ,2,1=n 为定义在),(∞-∞上的函数列,证明它的收敛域是]1,1(-,且有极限函数 ? ??=<=1,11 ,0)(x x x f (3) 证明：因为定义域为),(∞-∞,所以根据数列收敛的定义可以将),(∞-∞分为四部分 (i) 10< 第十二讲函数列与函数项级数 12 . 1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛 一、函数列 （一）函数列的收敛与一致收敛 1 ．逐点收敛 函数列(){}I x x f n ∈,，若对I x ∈?，数列(){}x f n 都收敛，则称函数列在区间 I 上逐点收敛，记 ()()I x x f x f n n ∈=∞ →,lim ，称()x f 为(){}x f n 的极限函数．简记为 ()()()I x n x f x f n ∈∞→→, 2 ．逐点收敛的N -ε定义 对I x ∈? ，及 0>?ε，()0,>=?εx N N ，当N n > 时，恒有()()ε<-x f x f n 3 ．一致收敛 若函数列(){}x f n 与函数()x f 都定义在区间 I 上，对 0,0>?>?N ε，当N n > 时，对一切I x ∈恒有()()ε<-x f x f n ，则称函数列(){}x f n 在区间 I 上一致收敛于()x f ．记为()()()I x n x f x f n ∈∞→?, . 4 ．非一致收敛 00>?ε，对N n N >?>?0,0，及I x ∈?0，使得 ()()0000ε≥-x f x f n 例 12 . 1 证明()n n x x f =在[]1,0逐点收敛，但不一致收敛． 证明：当[]1,0∈x 时，()0lim lim ==∞ →∞ →n x n n x x f ，当1=x 时，()11lim =∞ →n n f ，即极限函数 为()[)???=∈=1 ,11,0,0x x x f ．但 ()x f n 非一致收敛，事实上，取031 0>=ε。对0>?N ，取 N N n >+=10，取()1,02101 0∈? ? ? ??=n x · 此时()()00002100ε>==-n x x f x f n ， 即()()()[]1,0,∈∞→≠>x n x f x f n 5 ．一致收敛的柯西准则 函数列(){}x f n 在 I 上一致收敛?对 0,0>?>?N ε，当 n , m > N 时，对一切I x ∈， 求幂级数的和函数 求幂级数的和函数 幂级数的和函数一、幂级数的运算：∞∞∑∑设an?xn与bn?xn两个幂级数，收敛半径分别为R1,R2,则在它们n=0n=0的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：∞∞∞∑∑∑λan?xn±μbn?xn=(λan±μbn)xnn=0n=0n=0其中λ、μ为常数。当R1≠R2时，上式的收敛半径为R=min{R1,R2ii乘法和除法：∞∞∞∑∑∑anxn?bnxn=c0xnn=0n=0n=0其中cn=a0bn+a1bn?1+???+anb1二、和函数：∞∑∑设∞anxn的收敛半径为R(R>0)，S(x)=anxn为和函数，则有以下性质n=0n=0成立i和函数在（-R,+R）内可导，并且有逐项求导同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。ii由此，和函数S（x）在（-R,+R）内任意次可导，并有逐项求导公式：∞∑S(k)(x)=(anxn)(k)n=0∞∑=n(n?1)(n?2)???(n?k+1)anxn?kn=0它的收敛半径仍然为R。iii在（-R,+R）内逐项积分公式成立∫∑∫∑x∞xS(t)dt=0n=00antndt=∞n=0anxn+1n+1并且，逐项积分后收敛半径也不变∞∑iv若幂级数anxn在X=R(-R)出收敛，则该幂级数：n=0（A）∞∑limx→R?S(x)=n=0anRn∞∑limx→R+S(x)=n=0 求幂级数的和函数的方法，通常是： 1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；2113 2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。 需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定 第十三章 函数列与函数项级数 §1 一致收敛性 (一) 教学目的： 掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (二) 教学内容： 函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． 基本要求： 1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致 收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． (三) 教学建议： (1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项 级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． ———————————————————— 一 函数列及其一致收敛性 对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。 使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。 若函数列})({x f n 在数集E D ?上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值 幂级数求和函数方法概括与汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑ § 11. 3 幂 级 数 一、函数项级数的概念 函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )}, 由这函数列构成的表达式 u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x )+ ? ? ? 称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞ =1)(n n x u . 收敛点与发散点: 对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞ =1 0)(n n x u 收敛, 则称 点x 0是级数∑∞ =1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞ =1 0)(n n x u 发散, 则称 点x 0是级数∑∞ =1 )(n n x u 的发散点. 收敛域与发散域: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所 有发散点的全体称为它的发散域. 和函数: 在收敛域上, 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑∞=1 )(n n x u 的和函数, 并写成∑∞ ==1 )()(n n x u x s . ∑u n (x )是∑∞ =1 )(n n x u 的简便记法, 以下不再重述. 在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ), 函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x ). 第十三章函数列与函数项级数 教学目的：1.使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。 教学重点难点：本章的重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛的概念、判别及应用。 教学时数：20学时 § 1 一致收敛性 一． 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念：收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ ”定义. 例1 对定义在 内的等比函数列, 用“”定义验证其收敛域为 , 且 例2 .用“”定义验证在内. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: . ⑴. . ⑵. . ⑶设 为区间上的全体有理数所成数列. 令 , . ⑷. , . ⑸ 有 , , . （注意.） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D上, . 试问: 通项 的解析性质是否必遗传给极限函数 ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等 函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解 析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函 数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列 在数集D上一致收敛, , . ( 介绍另一种形式.) 证 ( 利用式) ,……,有 易见逐点收敛. 设 , 对D成立, . 令 , ，D. 即 推论1 在D上 , ，. D , 推论2 设在数集D上, . 若存在数列 使, 则函数列 在数集D上非一致收敛时, 常选为函数 ―在数集D上的最值点. . 证明函数列在R内一致收敛. 例4 .设,0,)(1 >= ∑∞ =-x ne x S n nx 计算?x dt t S 0 )(=__ 1 1 --x e ________ 求下列幂级数的和函数(同时指出它们的定义域); +++++++1 2531 232n x x x x n =_x x -+11ln 21_____ ,定义域为__(-1,1)_______. 求下列各函数的定义域. 11),(22-+-=y x y x f 定义域是_{ 11,11),(-≤≥≤≤-y y x y x 或}________ )sin(),(22y x y x f +=定义域是_{ ππ)12(2),(22+≤+≤n y x n y x }________ )(1),(2 2 2 2 2222r R r z y x z y x R y x f >-+++ ---=定义域是__ {22222 ),,(R z y x r z y x ≤++≤}_______ 在下列积分中改变累次积分的顺序: ? ? ----2 21111),(x x dy y x f dx =__?? ? ?-------+10 11110 1 ),(),(2 2 y y y y dx y x f dy dx y x f dy ________ dy y x f dx dy y x f dx x x ? ?? ? -+)3(21 3 10 1 ),(),(2 =__? ?-y y dx y x f dy 2310 ),(______________ ?? ---x x dy y x f dx 21 4 1 2 6 2),( 求 ??-D dxdy y x xy )(，其中D 由直线围成及10,0==+=-x y x y x 求 ?? D dxdy y x 22 ，其中D 由直线围成及1,2===xy x y x 利用极坐标计算下列积分： ??D xdxdy ax y x D ≤+22 为其中 ??+D dxdy y x 22sin ，其中D 为22224ππ≤+≤y x 证明下列级数的收敛性,并求其和数: (1) ∑∞ =++1 )2)(1(1 n n n n (2) ∑∞ =++-+1 )122( n n n n 利用已知函数的幂级数展开式求下列函数在处的幂级数展开,并确定它收敛于该函数的区间: 幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑ 学号 数项级数和函数项级数及其收敛性的判定 学院名称：数学与信息科学学院 专业名称：数学与应用数学 年级班别： 姓名： 指导教师： 2012年5月 数项级数和函数项级数及其收敛性的判定 摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。 关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法. Several series and Function of series and the judgment of their convergence Abstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method. Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method 前 言 在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。判别正项级数和函数级数的敛散性是研究级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛，如正项级数的求和问题等。所以探讨正项级数和函数级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习与理解都有重要的作用。 1 正项级数及其收敛性 一系列无穷多个数123,,,,, n u u u u 写成和式 123n u u u u +++ + 就称为无穷级数，记为1 n n u ∞ =∑。如果()0,1,2,3, n u n ≥=，那么无穷级数1 n n u ∞ =∑,就称为正项 级数。 1 第十章函数项级数 § 1 函数项级数的一致收敛性(1) 一、本次课主要内容 点态收敛，函数项级数收敛的一般问题。 二、教学目的与要求 使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数，掌握如何利用函 数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。 三、教学重点难点 函数列一致收敛的概念、性质 四、教学方法和手段 课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置 P68 1（5）（7） 2 一． 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念： 收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. 1.逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ ”定义. 例1 对定义在 内的等比函数列, 用“”定义验 证其收敛域为 , 且 例2 .用“”定义验证在内. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: . （1）. . （2）. （3）设 为区间上的全体有理数所成数列. 令 , . （4）. , . （5） 有, , . （注意 .） 二. 函数列的一致收敛性: 3 问题: 若在数集D上, . 试问: 通项 的解析性质 是否必遗传给极限函数 能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 . 的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研 究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质 能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收 敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. 在数集D上一致收敛, Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列 , . ( 介绍另一种形式.) 证 ( 利用式) ,……,有. 易见逐点收敛. 设 令 ， 推论1 在D上 , ，. D , 使 推论2 设在数集D上, . 若存在数列 在数集D上非一致收敛 . 应用系2 判断函数列 ―在数集D上的最值点. . 证明函数列在R内一致收敛. 例4 在高等数学中,求幂级数的和函数的一般步骤是什么?_ ：通常,首先求出幂级数的收敛半径,收敛区间如果幂级数有n、(n+1)等系数时,需要先将级数逐项积分,约掉这些系数,就可能化为几何级数了,然后求其和.当然,与积分对应的,一定记得将来对这个级数的和再求导数.同理,如果幂级数有1/n、1/(n+1)等系数时,需要先将级数逐项求导,也是为了约掉这些系数,化为几何级数,然后求其和.只是将来对这个级数的和再求积分.总之,有一次求导,将来就要对应一次积分,反之也一样.因为我们可以把求导和积分看成逆运算,这样做的目的是要将级数还原. 【幂级数和函数求法的和函数怎么求?】：答案是1/[(1-x)^2] 采用先逐项求积分,再求导数即可解决. 具体过程见我刚做的图片: 【什么叫函数展开成幂级数以及计算方法】：当x=0 时,S(0)=0.当x≠0 时,S(x) = ∑ n^2*x^n = x∑ [(n+1)n-n]*x^(n-1),S(x)/x = ∑ (n+1)n*x^(n-1) - ∑ n*x^(n-1)= [∑ x^(n+1)]'' - [∑ x^n]'= [x^2/(1-x)]'' - [x/(1-x)]' = 2/(1-x)^3- 1/(1-x^2) = (1+x)/(1-x)^3,得S(x) = x(1+x)/(1-x)^3,已包含了x=0 的情况. 求幂级数和函数具体步骤!_ ：解:设S=∑[(-1)^n][x^(n+1)]/[(n+1)2^(n+1)],两边对x求导,有S'=∑[(-1)^n][x^n]/2^(n+1)=(1/2)∑[(-1)^n][(x/2)^n,而在丨x/2丨<1 第十一章 函数项级数、幂级数 §1. 函数项级数的一致收敛性 1. 讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性： ⑴ ()n f x = (,);x ∈-∞+∞ ⑵ ()sin ,n x f x n = i) (,),x l l ∈- ii) (,);x ∈-∞+∞ ⑶ (),1n nx f x nx = + (0,1);x ∈ ⑷ 1 (),1n f x nx =+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞ ⑸ 22 33 (),1n n x f x n x =+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞ ⑹ (),1n nx f x n x = ++ [0,1];x ∈ ⑺ (),1n n n x f x x =+ i) [0,],1,x b b ∈< ii) [0,1];x ∈ iii) [,),1;x a a ∈+∞> ⑻ 2(),n n n f x x x =- [0,1];x ∈ ⑼ 1 (),n n n f x x x +=- [0,1];x ∈ ⑽ ()ln ,n x x f x n n = (0,1);x ∈ ⑾ 1()ln(1),nx n f x e n -=+ (,);x ∈-∞+∞ ⑿ 2 ()(),x n n f x e --= i) [,],x l l ∈- ii) (,)x ∈-∞+∞ . 2. 设()f x 定义于(,)a b ，令 [()] ()n nf x f x n = (1,2,)n =???. 求证：{()}n f x 在(,)a b 上一致收敛于()f x . 3. 参数α取什么值时， (),nx n f x n xe α-= 1,2,3,n =??? 在闭区间[0,1]收敛？在闭区间[0,1]一致收敛？使1 lim ()n n f x dx ->∞? 可在积分号下取极 限？ 4. 证明序列2 ()nx n f x nxe -=(1,2,)n =???在闭区间[0,1]上收敛，但 1 1 00 lim ()lim ().n n n n f x dx f x dx ->∞ ->∞≠? ? 5. 设{()}n f x 是[,]a b 上的连续函数列，且{()}n f x 在[,]a b 一致收敛于()f x ；又 [,]n x a b ∈(1,2,)n =???，满足0lim n n x x ->∞ =，求证 0lim ()().n n n f x f x ->∞ = 6. 按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ 0(1), [0,1];n n x x x ∞ =-∈∑ ⑵ 12 21(1), (,)(1) n n n x x x -∞ =-∈-∞+∞+∑. 7. 设()n f x (1,2,)n =???在[,]a b 上有界，并且{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛，求证： ()n f x 在[,]a b 上一致有界. 8. 设()f x 在(,)a b 内有连续的导数()f x '，且 1 ()[()()],n f x n f x f x n =+- 求证：在闭区间[,]αβ()a b αβ<<<上，{()}n f x 一致收敛于()f x '. 9. 设1()f x 在[,]a b 上黎曼可积，定义函数序列求幂级数的和函数步骤
求幂级数的和函数
复变函数项级数
幂级数求和函数方法概括与总结
10函数项级数和幂级数 习题课
函数列与函数项级数
幂级数求和函数方法概括与总结
第十三章函数列和函数项级数
第十二讲函数列与函数项级数
求幂级数的和函数
函数列与函数项级数
幂级数求和函数方法概括与汇总
幂级数概念
函数列与函数项级数
求下列幂级数的和函数(同时指出它们的定义域)解读
幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结
数项级数和函数项级数及其收敛性的判定
第十章 函数项级数
求幂级数的和函数
十章函数项级数,幂级数