考研数学一(线性代数)模拟试卷132(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷132 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设n维行向量矩阵A=E－αTα，B=E+2αTα，则AB= ( )
A．0
B．－E
C．E
D．E+αTα
正确答案：C
解析：AB=(E－αTα)(E+2αTα)=E+αTα－2αTααTα=E+αTα－2αT(ααT)α，其中故 AB=E+αTα－2．αTα=E． 知识模块：线性代数
2． 设A为n阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是 ( )
A．(A+A－1)2=A2+2AA－1+(A－1)2
B．(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2
C．(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2
D．(A+E)2=A2+2AE+E2
正确答案：B
解析：由矩阵乘法的分配律可知
(A+B2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2，因此，(A+B)2=A2+2AB+B2的充要条件是BA=AB，也即A，B的乘积可交换． 由于A与A－1，A与A*以及A与B都是可交换的，故A，C，D中的等式都是成立的．故选
B． 知识模块：线性代数
3． 设n阶(n≥3)矩阵若矩阵A的秩为n－1，则a必为 ( )
A．1
B．
C．－1
D．
正确答案：B
解析：因由r(A)=n－1，知1+(n－1)a=0，故 知识模块：线性代数
4． 已知ξ1，ξ2是方程(λE－A)X=0的两个不同的解向量，则下列向量中必是A的对应于特征值λ的特征向量的是 ( )
A．ξ1
B．ξ2
C．ξ1－ξ2
D．ξ1，+ξ2
正确答案：C
解析：因ξ1≠ξ2，故ξ1－ξ2≠0，且仍有关系 A(ξ1－ξ2)=λξ1－λξ2=λ(ξ1－ξ2)，故ξ1－ξ2是A的特征向量． 而Aξ1，Bξ2，Dξ1+ξ2均有可能是零向量，因此不一定是A的特征向量． 知识模块：线性代数
5． 设则必有 ( )
A．AP1P2=B
B．AP2P1=B
C．P1P2A=B
D．P2P1A=B
正确答案：C
解析：B由A第1行加到第3行(P2右边乘A)再将第1，2行对换(再P1右边乘P2A)得到，故C成立． 知识模块：线性代数
6． 已知r(A)=r1，且方程组AX=α有解，r(B)=r1，且BY=B无解，设A=[α1，α2，…，αn]，B=[β1，β2，…，βn]，且r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn，β)=r，则 ( )
A．r=r1+r2
B．r＞r1+r2
C．r=r1+r2+1
D．r≤r1+r2+1
正确答案：D
解析：由题设有 r(α1，α2，…，αn，α)=r1，r(β1，β2，…，βn，β)=r2+1，故 r(α1，α2，…，αn，α，β1，β2，…，βn，β)≤r1+r2+1． 知识模块：线性代数
7． 设A为n阶矩阵．则下列命题正确的是 ( )
A．若α为AT的特征向量，那么α为A的特征向量
B．若α为A*的特征向量，那么α为A的特征向量
C．若α为A2的特征向量，那么α为A的特征向量
D．若α为2A的特征向量，那么α为A的特征向量
正确答案：D
解析：①矩阵AT与A的特征值相同，但特征向量不一定相同，故A错误． ②假设α为A的特征向量，λ为其特征值，当λ≠0时，α也为A*的特征向量．这是由于 Aα=λα=>A*Aα=λA*α=>A*α=λ－1｜A｜α． 但反之，α为A*的特征向量，那么α不一定为A的特征向量．例如：当r(A)＜n－1时，A*=O，此时，任意n维非零列向量都是A*的特征向量，故A*的特征向量不一定是A的特征向量．可知B错误． ③假设α为A的特征
向量，λ为其特征值，则α为A2的特征向量．这是由于 A2α=A(Aα)=λAα=λ2α． 但反之，若α为A2的特征向量，α不一定为A的特征向量．例如：假设Aβ1=β1，Aβ2=－β2，其中β1，β2≠O．此时有A2(β1+β2)=A2β1+A2β2=β1+β2，可知β1+β2为A2的特征向量．但β1，β2是矩阵A两个不同特征值的特征向量，它们的和β1+β2不是A的特征向量．故C错误． ④若α为2A的特征向量，则存在实数λ使得2Aα=λα，此时有Aa=λα，因此α为A的特征向量．可知D是正确的．故选
D． 知识模块：线性代数
8． 设A，B是n阶实对称可逆矩阵，则存在n阶可逆阵P，使得下列关系式 ①PA=B； ②P－1ABP=BA； ③P－1AP=B； ④PTA2P=B2成立的个数是 ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
正确答案：C
解析：逐个分析关系式是否成立． ①式成立．因为A，B均是N阶可逆矩阵，故存在可逆矩阵Q，w，使QA=E，WB=E(可逆矩阵可通过初等行变换化为单位矩阵)，故有QA=WB，W－1QA=
B．记W－1Q=P，则有PA=B成立，故①式成立． ②式成立．因为A，B均是n阶可逆矩阵，可取P=A，则有A－1(AB)A=(A－1A)BA=BA，故②式成立． ③式不成立．因为A，B均是n阶实对称矩阵，它们均可以相似于对角阵，但不一定相似于同一个对角阵，即A，B不一定相似．例如(均满足题设的实对称可逆阵的要求)，但对任意可逆阵P，均有P－1AP=P－1EP=E≠B，故③式不成立． ④式成立．因为A，B均是实对称可逆矩阵，其特征值均不为零，A2，B2的特征值均大于零．故A2，B2的正惯性指数为n(秩为n，负惯性指数为0)，故A2B2，即存在可逆阵P，使得PTA2P=B2．故④式成立．由以上分析，故应选
C． 知识模块：线性代数
填空题
9． 设A为奇数阶矩阵，且AAT=ATA=E，｜A｜＞0，则｜A－E｜=______．
正确答案：0
解析：｜A－E｜=｜A－AAT｜=｜A(E－AT)｜=｜A｜｜(E－A)T｜=｜A｜｜E－A｜．由AAT=ATA－E，可知｜A｜2=1．又由｜A｜＞0，可知｜A｜=1．又A为奇数阶矩阵，故｜E－A｜=｜－(A－E)｜=－｜A－E｜，故有｜A－E｜=－｜A－E｜，于是｜A－E｜=0． 知识模块：线性代数
10． 设B是3阶非零矩阵，且AB=O，则Ax=0的通解是______．
正确答案：k[－1，1，0]T，k为任意常数
解析：由于A为4×3矩阵，AB=O，且B≠O，可知r(A)＜3，对A作变换由r(A)＜3，有a=1． 当a=1时，求得Ax=0的基础解系为[－1，1，0]T，因此通解为k[－1，1，0]T，k为任意常数． 知识模块：线性代数
11． 行列式Dn+1==______．
正确答案：
解析：行列式Dn+1与范德蒙德行列式的形式不同，可以利用行列式性质将Dn+1化为范德蒙德行列式计算．将行列式Dn+1的第n+1行依次与相邻上一行进行交换，经过n次交换后，换到了第1行．完全类似，Dn+1的第n行经过n－1次相邻两行交换，换到第2行．如此继续进行，共进行了n+(n－1)+…+2+1=次行交换后，Dn+1化为范德蒙德行列式． 知识模块：线性代数
12． 已知n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且r(A)=n=1，则线性方程组AX=0的通解是______．
正确答案：k[1，1，…，1]T，其中志为任意常数
解析：由r(A)=n－1知Ax=0的基础解系由n－(n－1)=1个非零向量组成． A的各行元素之和均为零，即 ai1+ai2+…+ain=0，i=1，2，…，n．也就是 ai1.1+ai2.1+…+ain.1=0，i=1，2，…，n，即ξ=[1，1，…，1]T是AX=0的非零解，于是方程组AX=0的通解为k[1，1，…，1]T，其中k为任意常数． 知识模块：线性代数
13． 已知则r(A－E)+r(2E+A)=______．
正确答案：3
解析：因故存在可逆矩阵P，使得则 r(A－E)=r(PAP－1－E)=r(P(Λ－E)P－1)=r(Λ－E)=r(A+2E)=r(P(Λ+2E)P－1)=r(Λ+2E)=故 r(A－E)+r(A+2E)=1+2=3． 知识模块：线性代数
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14． 计算行列式
正确答案： =(a2+b2+c2+d2)4．观察可知原行列式中a4的系数为1，故原式=(a2+b2+c2+d2)2． 涉及知识点：线性代数
15． 设可逆，其中A，D皆为方阵，证明A，D可逆，并求M－1．
正确答案：M可逆=>｜M｜=｜A｜.｜D｜≠0=>｜A｜≠0且｜D｜≠0=>A，D可逆．设M的逆矩阵为 涉及知识点：线性代数
16． 已知向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)，若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，且
r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r．证明：(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．
正确答案：设(Ⅰ)的一个极大无关组为ξ1，ξ2，…，ξr，(Ⅱ)的一个极大无关组为η1 ，η2 ，…，ηr． 因为(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，即ξ1，ξ2，…，ξr，可由η1 ，η2 ，…，ηr线性表示，于是 r(ξ1，ξ2，…，ξr，η1 ，η2 ，…，ηr)=r(η1 ，η2 ，…，ηr)=r． 又ξ1，ξ2，…，ξr线性无关，则ξ1，ξ2，…，ξr也可作为ξ1，ξ2，…，ξr，η1 ，η2 ，…，ηr的一个极大无关组，于是η1 ，η2 ，…，ηr也可由ξ1，ξ2，…，ξr线性表示，即(Ⅱ)也可由(Ⅰ)线性表示，得证． 涉及知识点：线性代数
17． 设矩阵有三个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值，试求可逆矩阵P使得P－1AP=Λ，其中Λ是对角矩阵．
正确答案：A有三个线性无关的特征向量，λ=2是二重特征值，故特征矩阵2E－A的秩应为1．解得x=2，y=－2，故因tr(A)=10==4+λ3，故λ3=6．当λ=2时，由当λ=6时，由令P=[ξ1，ξ2，ξ3]= 涉及知识点：线性代数
18． 已知求An(n≥2)．
正确答案：将A分块为则B=3E+J，其中于是Bn=(3E+J)n=3nE+C213n－1+C223n－2J2+…+Jn，而C2=6C，…，CN=6n－1C，所以当n≥2时， 涉及知识点：线性代数
19． 设向量组α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0．证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
正确答案：设kβ+k1(β+α1)+…+kt(β+αt)=0，即 (k+k1+…+kt)β+k1α1+…+ktαt=0，等式两边左边乘A，得(k+k1+…+kt)Aβ=0k+k1+…+kt=0，故k1α1+…+ktαt=0．由α1，α2，…，αt线性无关，得k1=…=kt=0，故k=0，所以β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关． 涉及知识点：线性代数
考研数学一(填空题)模拟试卷112(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷112 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． =________．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
2． (Ⅰ)设S是球面(χ－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝R2的上半部分，取上侧，则J＝χdydz＋ydzdχ＋zdχdy＝_______； (Ⅱ)设S是球面χ2＋y2＋z2－2aχ－2ay－2az＋a2＝0(a＞0为常数)，则J＝(χ＋y＋z－)dS＝_______．
正确答案：(Ⅰ)；2πR3＋πR2c；(Ⅱ)8(3－)πa3． 涉及知识点：高等数学
3． 设矩阵A=，则A3的秩为_________。
正确答案：1
解析：因为A2=A3=所以，A3的秩为1。 知识模块：矩阵
4． 设f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则fx’(0，1，一1)=______
正确答案：1 涉及知识点：高等数学
5． 设f(μ)可导，y=f(x2)在x0=一1处取得增量△x=0．05时，函数增量△y的线性部分为0．15，则f’(1)=_________．
正确答案：
解析：由dy=2xf’(x2)△x得dy｜x=－1=一2f’(1)×0．05=一0．1f’(1)，因为△y的线性部分为dy，由一0．1f’(1)=0．15得f’(1)=． 知识模块：高等数学
6． 设矩阵A的伴随矩阵A*＝，且矩阵A，B满足[(A)-1]*BA-1＝2AB＋12E，则矩阵B＝_______．
正确答案：
解析：由｜A｜3＝｜A*｜＝＝8，知｜A｜＝2． 由于(A)-1＝2A-1，(2A-1)*＝23(A-1)*＝8，故矩阵方程为 4ABA-1＝2AB＋12E． 上式左乘A*，有2BA-1－B＝3A*，即B(A*－E)＝3A*． 那么B＝3A*(A*－E)-1 知识模块：线性代数
考研数学一(解答题)模拟试卷128(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）模拟试卷128 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 求w=
正确答案：属型．先作恒等变形然后用等价无穷小因子替换：x→0时 sin3x～x3，ln(1+～x2～sin2x，于是 w=最后用洛必达法则得w=2 涉及知识点：高等数学
2． 求w=．
正确答案：属∞一∞型．先通分化成型未定式，则有w=．直接用洛必达法则比较麻烦，若注意到这表明ln(x+)～x(x→0)．因此对分母先作等价无穷小因子替换后再用洛必达法则，并利用ln(1+x)～x(x→0)就有 涉及知识点：高等数学
3． 判别级数的敛散性．
正确答案： 涉及知识点：无穷级数
4． 求下列函数的导数与微分：
正确答案：(Ⅱ)这是求连乘积的导数，用对数求导法方便．因函数可取负值，先取绝对值后再取对数得若只求y’(1)，用定义最简单．利用y(1)=0可得
涉及知识点：一元函数的导数与微分概念及其计算
5．
正确答案： 涉及知识点：高等数学部分
6． 设f(x)连续，∫0xtf(x－t)dt=1－cosx，求∫0π／2f(x)dx．
正确答案：由∫0xtf(x－t)dt∫x0(x－u)f(u)(－du)=∫0x(x－u)f(u)du=x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du，得x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du=1－cosx，两边求导得∫0xf(u)du=sinx，令x=π／2得∫0π／2f(x)dx=1． 涉及知识点：高等数学
7． 设问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P—1AP=D为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵
D．
正确答案：由｜E一A｜==(A+1)2(一1)=0，得A的全部特征值为λ1=λ2=
一1，λ3=1．故A可对角化A的属于2重特征值λ1=λ2=—1的线性无关特征向量有2个方程组(一E—A)x=0的基础解系含2个向量 k=0．当k=0时，可求出A的对应于特征值一1，一1；1的线性无关特征向量分别可取为α1=(一1，2，0)T，α2=(1，0，2)T；α3=(1，0，1)T，故令P=[α1 α2 α3]=，则有P—1AP=diag(一1，一1，1)． 涉及知识点：线性代数
考研数学一(填空题)模拟试卷40(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷40 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)=在x=0处连续，则a=__________。
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
2． 设B=(E+A)—1(E—A)，则(E+B)—1=________．
正确答案：
解析：E+B=E+(E+A)—1(E一A)，两端左乘E+A，得(E+A)(E+B)=E+A+E—A=2E→[(E+A)](E+B)=E→(E+B)—1= 知识模块：线性代数
3． 设数列{an}单调递减，an=0，Sn=ak(n=1,2,...)无界，则幂级数an（x-1）n的收敛域是___________.
正确答案：[0,2) 涉及知识点：无穷级数
4．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学部分
5． 经过点A(一1，2，3)，垂直于直线L：且与平面∏：7x+8y+9z+10=0平行的直线方程是______．
正确答案：
解析：用交面式．所求直线在过点A以L的方向向量S={4，5，6}为法向量的平面∏1上，也在过A点以∏的法向量n={7，8，9}为法向量的平面∏2上． ∏1： 4(x+1)+5(y一2)+6(z一3)=0， ∏2： 7(x+1)+8(y一2)+9(z一3)=0，故所求直线方程为 知识模块：向量代数和空间解析几何
6． 已知A是4阶矩阵，α1与α2是线性方程组Aχ＝b的两个不同的解，则r((A*)*)＝_______．
正确答案：0
解析：因为α1－α2是齐次方程组Aχ＝0的非零解，故｜A｜＝0． 由于r((A*)*)＝ 可见r((A*)*)＝0． 知识模块：线性代数
7． 若α，β，γ是单位向量且满足α+β+γ=0，则以α，β为边的平行
四边形的面积S=________。
正确答案：
解析：令＜α，β＞=θ，则以α，β为边的平行四边形的面积为 S=｜α×β｜=｜α｜｜β｜sinθ由α+β+γ=0可得如下方程组解得α.β=。因此，所求平行四边形的面积 知识模块：高等数学
考研数学一(解答题)模拟试卷121(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）模拟试卷121 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设在上半平面D={(x，y)丨y>0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t>0都有f(tx，ty)=t-2f(x．y)．证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有
正确答案： 涉及知识点：多元函数积分学
2． 设A为n阶矩阵，αn≠0，满足Aα0＝0，向量组α1，α2满足Aα1＝α0，A2α2＝α0．证明α1，α2，α3线性无关．
正确答案：用定义证明．即要说明当c1，c2，c3满足c1α0＋c2α1＋c3α2＝0时它们一定都是0． 记此式为(1)式，用A乘之，得 c2α0＋c3Aα2＝0 (2) 再用A乘(2)得c3α0＝0．由α0≠0，得c3＝0．代入(2)得c2＝0．再代入(1)得c1＝0． 涉及知识点：向量组的线性关系与秩
3．
正确答案：注意分解1+x6=1+(x2)3=(1+x2)(1－x2+x4)． 涉及知识点：高等数学
4． 求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3)．
正确答案：f(x)=x2[x-xn+1/2+…+(-1)xn-2/(n-2)+o(xn-1)]=x3-x4/2+…+(-1)n+1xn/(n-2)+o(xn) (n≥3)可得f(n)(0)/n!=(-1)n+11/(n-2).f(n)(0
涉及知识点：一元函数微分学
5． 设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f’’(ξ)｜≥4．
正确答案：把函数f(x)在x=0处展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得
f(x)=f(0)+f’(0)x+(ξ1)x2(0＜ξ1＜x)．在公式中取把函数f(x)在x=1处展开成泰勒公式，得f(x)=f(1)+f’(1)(x－1)+f’’(ξ2)(x－1)2(x＜ξ2＜1)．在公式中取①－②消去未知的函数值即得f’’(ξ1)－f’’(ξ1)=8=>｜f’’(ξ1)｜+｜f’’(ξ1)｜≥8． 从而，在ξ1和ξ2中至少有一个点，使得f(x)在该点的二阶导数绝对值不小于4，把该点取为ξ，就有ξ∈(0，1)，使｜f’’(ξ)｜≥4． 涉及知识点：一元函数微分学
考研数学一(填空题)高频考点模拟试卷100(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）高频考点模拟试卷100 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． =________．
正确答案：x4．
解析：将第2、3、4列都加至第1列，并提出第1列的公因子z，再将第1列的1倍、(一1)倍、1倍分别加至第2、3、4列，然后按第4行展开． 知识模块：线性代数
2． 微分方程xy”+3y’=0的通解为__________.
正确答案：y=C1+C2/x2 涉及知识点：常微分方程
3． 设f(x)是连续函数，并满足∫f(x)sinxdx=cos2x+C，又F(x)是f(x)的原函数，且满足F(0)=0，则F(x)=_________．
正确答案：一2sinx
解析：由题设及原函数存在定理可知，F(x)=∫f(t)dt．为求f(x)，将题设等式求导得 f(x)sinx=[∫f(x)sinxdx]’=(cos2x+C)’=一2sinxcosx，从而f(x)=一2cosx，于是 F(x)=∫0xf(t)dt=∫0x一2cost=一2sinx． 知识模块：高等数学
4． 设曲线y=ax3+bx2+cx+d经过(-2，44)，x=-2为驻点，(1，-10)为拐点，则a，b，c，d分别为_____
正确答案：1，-3，-24，16
解析：由条件解方程可得a=1，b=-3，c=-24，d=16． 知识模块：一元函数微分学
5． 平行于平面5x-14y+2z+36=0且与此平面距离为3的平面方程为_______．
正确答案：5x一14y+2z+81=0或5x一14y+2z一9=0 涉及知识点：高等数学
6． 设y=ln(1+3-x)，则dy=__________．
正确答案：
解析：复合函数求导 知识模块：一元函数微分学
7． =__________．
正确答案：sinx2
解析： 知识模块：一元函数微分学
8． =_________．
考研数学一(填空题)模拟试卷23(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷23 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)=在x=0处连续，则a=_________，b=_________。
正确答案：a=一1，b=1
解析：由题设条件因为f(x)在x=0处连续，所以a+4b=3=2b+1，解得a=一1，b=1。 知识模块：函数、极限、连续
2． 已知A=，则A-1=__________。
正确答案：
解析：因为，所以那么A-1= 知识模块：矩阵
3． 若则a=___________，b=___________。
正确答案：1，－4
解析：因为且所以得a=1，于是由等价无穷小代换 得b=－4。因此，a=1，b=－4。 知识模块：函数、极限、连续
4． 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则P{X+Y≤1}=__________.
正确答案：1/4 涉及知识点：综合
5． 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份．随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份． (1)求先抽取的一份是女生表的概率P=___________； (2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q=___________．
正确答案：29/90,20/61 涉及知识点：综合
6． 交换积分次序：
正确答案： 涉及知识点：高等数学
7． 曲线y2=2x在任意点处的曲率为_______.
正确答案：
解析：用曲率计算公式由y2=2x2yy’=2，y’=1／y，y”=－1／y2y’=－1／y3. 知识模块：高等数学
8． 设f(x)在[a，b]上连续可导，f(a)=f(b)=0，且f2(x)dx=1，则xf(x)f′(x)dx=____________．
正确答案：
解析：因=f(x)f′(x)，所以 知识模块：一元函数积分概念、计算及应用
考研数学一(填空题)模拟试卷99(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷99 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 极限
正确答案：2
解析： 知识模块：函数、极限、连续
2． 若f(x)=在x=0处连续，则a=________．
正确答案：2
解析：，f(0)=a，因为f(x)在x=0处连续，所以1+=a，故a=2． 知识模块：高等数学
3． 若函数f(x)在x＝1处的导数存在，则极限＝______．
正确答案：9f’(1)
解析：按导数定义，将原式改写成＝f’(1)＋2f’(1)＋6f’(1)＝9f’(1)． 知识模块：高等数学
4． 设y=ln(1+x2)，则y(n)(0)=_______．
正确答案：0
解析：y为偶函数y(5)(x)为奇函数y(5)(0)=0． 知识模块：高等数学
5． 由曲线x=a(t－sint)，y=a(1－cost)(0≤t≤2π)(摆线)及x轴围成平面图形的面积S=__________．
正确答案：3πa2
解析：当t∈[0，2π]时，曲线与x轴的交点是x=0，2πa(相应于t=0，2π)，曲线在x轴上方，见图3．25．于是图形的面积 知识模块：一元函数积分概念、计算及应用
6． 函数y=x+2cosx在区间上的最大值为__________。
正确答案：
解析：令y’=1－2sinx=0，解得把x=0，分别代入函数解析式中得， 因此函数在区间上的最大值为 知识模块：一元函数微分学
7． 设ξ和η是两个相互独立且均服从正态分布N(0，1／2)的随机变量，则E(|ξ-η|)=_______。
正确答案：
解析：若记X=ξ-η，则EX=Eξ-Eη=0，DX=Dξ+Dη=1可得X～N(0，1)． 知识模块：概率论与数理统计
8． 方程组有非零解，则k＝_______．
正确答案：－1
解析：一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即＝12(k＋1)＝0，因此得k＝－1． 知识模块：线性方程组
考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编15 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵．A*为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为
A．α1，α3．
B．α1，α2．
C．α1，α2，α3．
D．α2，α3，α4
正确答案：D
解析：首先，4元齐次线性方程组A*x=0的基础解系所含解向量的个数为4一r(A*)，其中r(A*)为A*的秩，因此求r(A*)是一个关键．其次，由Ax=0的基础解系只含1个向量，即4一r(A)=1，得r(A)=3，于是由r(A*)与r(A)的关系，知r(A*)=1，因此，方程组A*x=0的基础解系所含解向量的个数为4一r(A*)=3，故选项A、(B)不对．再次，由(1，0，1，0)T是方程组Ax=0或x1α1+x2α2+x3α3 +x4α4=0的解，知α1+α3=0，故α1与α3线性相关，于是只有选项D正确． 知识模块：线性方程组
2． 设矩阵A=，若集合Ω={1，2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：对方程组的增广矩阵施行初等行变换(化成阶梯形)：由于方程组有无穷多解，当然不能有唯一解，所以有(a一1)(a一2)=0，即a=1或a=2，此时系数矩阵的秩为2，由有解判定定理知，当且仅当a∈Ω且d∈Ω，所以选
D． 知识模块：线性方程组
3． 设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是A的
A．列向量组线性无关．
B．列向量组线性相关．
C．行向量组线性无关．
D．行向量组线性相关．
正确答案：A 涉及知识点：线性方程组
4． 设齐次线性方程组的系数矩阵为A，且存在3阶方阵B≠O，使AB=O，则
考研数学一(解答题)模拟试卷139(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）模拟试卷139 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)具有连续导数，且满足f(x)=x+∫0xtf’(x－t)dt．求极限
正确答案：由已知条件∫0xtf’(x－t)dt可化为f(x)=x+x∫0xf’(u)du－∫0xuf’(u)du．两边对x求导，得：f’(x)=1+∫0xf’(u)du+x f’(x)－ x f’(x)=1+f(x)－f(0)=
1+f(x) (f(0)=0) 于是，f(x)=ex一1．所以
解析：f(x)的表达式中含有参变量的积分，应经变量替换将参变量移至积分号外或积分限上，再求极限．∫0xtf’(x－t)dt ∫0x(x－u)f’(u)du=x∫0xf’(u)du－∫0xuf’(u)du将参变量x提到积分号外后，已知条件可化为：f(x)=x+x∫0xf’(u)du－∫0xuf’(u)du ．(1)本题的关键是求出f(x)的表达式．当已知条件是由积分方程给出时，通过求导可得出f(x)所满足的微分方程： f’(x)一f(x)=1， f(0)=0．由通解公式，可得通解为：f(x)=e－∫(－1)dx[∫1．e∫(－1)dxdx+c]=cex－1 由f(0)=0，得f(x)=ex一1．一般地，一阶线性微分方程Y’+p(x)y=q(x)的通解为：y=
e－∫p(x)dx[∫1．e∫p(x)dx+c](2)在计算含参变量的积分时，应通过变量替换将参变量提至积分号外或积分限上，再作计算．
2． 设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0、方差为的正态分布，求随机变量|X—Y|的方差。
正确答案：令Z=X—Y，由于X，Y相互独立，且都服从正态分布，因此Z也服从正态分布，且E(Z)=E(X)一E(y)=0，D(Z)=D(X)+D(Y)==1。于是，Z = X —
Y～ N(0，1) 。D(|X —Y|)= D(|Z|)= E(|2|2)—(E|Z|)2= D(Z)+[E(Z)]2— (E|Z|)2= 1— (E|Z|)2，而故 D(|X —Y|)=1—。 涉及知识点：概率论与数理统计
考研数学一(选择题)模拟试卷113(题后含答案及解析)
考研数学一（选择题）模拟试卷113 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设A是3阶矩阵，将A的第2行加到第1行上得B，将B的第1列的一1倍加到第2列上得
C．则C=( )．
A．P-1AP．
B．PAP-1．
C．PTAP．
D．PAPT．
正确答案：B
解析：根据初等矩阵的有关性质，则B=PA，C=BP-1，得C=PAP-1． 知识模块：线性代数
2． 下列命题中错误的是 ( )
A．若必定收敛
B．若必定发散
C．若不一定发散
D．若必定收敛
正确答案：D
解析：由级数收敛的性质知命题A正确．由反证法可知命题B正确．若设，这两个级数都发散，但是收敛，可知命题C正确，但命题D错误． 知识模块：无穷级数
3． 设f(x)=则( )
A．f(X)在点x=1连续，在点x=一1间断．
B．f(x)在点x=1间断，在点x=一1连续．
C．f(x)在点x=1，x=一1都连续．
D．f(x)在点x=1，x=一1都间断．
正确答案：B
解析：由函数连续的定义可知， 所以，f(x)在x=一1处连续，故选
B． 知识模块：函数、极限、连续
4． 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=O，则( )
A．E—A不可逆，E+A不可逆．
B．E—A不可逆，E+A可逆．
C．E—A可逆，E+A可逆．
D．E—A可逆，E+A不可逆．
正确答案：C
解析：由于(E—A)(E+A+A2)=E一A3=e，(e+A)(e一A+A2)=E+A3=E，故由可逆矩阵的定义知：E—A和E+A均是可逆的． 知识模块：线性代数
5． 设函数f(x)在(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是
A．若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛
B．若{xn}单调，则{f(xn)}收敛
C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛
D．若{f(xn)}单调，则{xn}收敛
正确答案：B 涉及知识点：常微分方程