二次函数中考真题汇编[解析版]

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二次函数真题汇编附答案解析

二次函数真题汇编附答案解析一、选择题1．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线1122y x=+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a＜98C．1≤a＜98或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜98【答案】C【解析】【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．【详解】∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，∴令1122x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0∴△＝9﹣8a＞0∴a＜9 8①当a＜0时，110111 aa++≤⎧⎨-+≤⎩解得：a≤﹣2∴a≤﹣2②当a＞0时，110111 aa++≥⎧⎨-+≥⎩解得：a≥1∴1≤a＜9 8综上所述：1≤a＜98或a≤﹣2故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，则下列4个结论：①abc ＜0；②2a +b ＝0；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定解答．【详解】①由抛物线的对称轴可知：﹣＞0，∴ab ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①正确；②∵﹣＝1， ∴b ＝﹣2a ，∴2a +b ＝0，故②正确．③∵（0，c ）关于直线x ＝1的对称点为（2，c ），而x ＝0时，y ＝c ＞0，∴x ＝2时，y ＝c ＞0，∴y ＝4a +2b +c ＞0，故③正确；④由图象可知：△＞0，∴b 2﹣4ac ＞0，故②正确；故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，属于中考常考题型．3．已知抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ，将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，若四边形''ABA B 为矩形，则c 的值为（）A ．3-B ．3C ．32D ．52【答案】D【解析】【分析】先求出A(2，c-4)，B(0，c)，'(24),'(0)A c B c ---，，，，结合矩形的性质，列出关于c 的方程，即可求解．【详解】∵抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ，∴A(2，c-4)，B(0，c)，∵将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，∴'(24),'(0)A c B c ---，，，， ∵四边形''ABA B 为矩形，∴''AA BB =，∴[][]2222(2)(4)(4)(2)c c c --+---=，解得：52c =．故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键．4．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数b y x=在同平面直角坐标系中的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【详解】∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下，∴a ＜0，∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点，∴c=0，∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧，∴a ，b 同号，∴b ＜0，∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限，反比例函数y=b x图象分布在第二、四象限，故选D ．【点睛】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．5．二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表：下列结论错误的是( )A ．0ac 时，y 的值随x 值的增大而减小；D ．当13x -<<时，()210.ax b x c +-+>【答案】C【解析】【分析】根据函数中的x 与y 的部分对应值表，可以求得a 、b 、c 的值然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断．【详解】解：根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知：当1x =-时，1y =-，即1a b c -+=-，当0x =时，3y =，即3c =，当1x =时，5y =，即5a b c ++=，联立以上方程：135a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴233y x x =-++；A 、1330=-⨯=-<ac ，故本选项正确；B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=，将3x =代入得：232339630-+⨯+=-++=，∴3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确； C 、233y x x =-++化为顶点式得：2321()24=--+y x ， ∵10a =-<，则抛物线的开口向下， ∴当32x >时，y 的值随x 值的增大而减小；当32x <时，y 的值随x 值的增大而增大；故本选项错误； D 、不等式()210ax b x c +-+>可化为2230x x -++>，令2y x 2x 3=-++，由二次函数的图象可得：当0y >时，13x -<<，故本选项正确；故选：C ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．6．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，点E 、F 同时从C 点出发，以1cm /s 的速度分别沿CB ﹣BA 、CD ﹣DA 运动，到点A 时停止运动．设运动时间为t （s ），△AEF 的面积为S （cm 2），则S （cm 2）与t （s ）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF可得S=﹣t2+4t，配成顶点式得S=﹣（t﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=（8﹣t）2=（t﹣8）2，此时抛物线开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断．解：当0≤t≤4时，S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF=4•4﹣•4•（4﹣t）﹣•4•（4﹣t）﹣•t•t=﹣t2+4t=﹣（t﹣4）2+8；当4＜t≤8时，S=•（8﹣t）2=（t﹣8）2．故选D．考点：动点问题的函数图象．7．若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整点”．抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m＞0）与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（）A．12≤m＜1 B．12＜m≤1C．1＜m≤2D．1＜m＜2【答案】B【解析】【分析】画出图象，利用图象可得m的取值范围【详解】∵y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2＝m （x ﹣2）2﹣2且m ＞0，∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x ＝2．由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意．①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意．将（1，﹣1）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到﹣1＝m ﹣4m +4m ﹣2．解得m ＝1．此时抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x +2．由y ＝0得x 2﹣4x +2＝0．解得12120.622 3.42x x ==-≈+≈，． ∴x 轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意．则当m ＝1时，恰好有（1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意．∴m ≤1．【注：m 的值越大，抛物线的开口越小，m 的值越小，抛物线的开口越大】答案图1（m ＝1时）答案图2（ m ＝时） ②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意．此时x 轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意．将（0，0）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到0＝0﹣4m +0﹣2．解得m ＝12．此时抛物线解析式为y ＝12x 2﹣2x ．当x ＝1时，得13121122y =⨯-⨯=-<-．∴点（1，﹣1）符合题意．当x ＝3时，得13923122y =⨯-⨯=-<-.∴点（3，﹣1）符合题意．综上可知：当m ＝12时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣2）、（2，﹣1）都符合题意，共有9个整点符合题意，∴m ＝12不符合题． ∴m ＞12．综合①②可得：当12＜m≤1时，该函数的图象与x轴所围成的区域（含边界）内有七个整点，故选：B．【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，画出图象，数形结合是解题的关键.8．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）A．0＜t＜5 B．﹣4≤t＜5 C．﹣4≤t＜0 D．t≥﹣4【答案】B【解析】【分析】先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，﹣1＜x＜4时﹣4≤y＜5，进而求解；【详解】解：∵对称轴为直线x＝2，∴b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，∵﹣1＜x＜4，∴二次函数y的取值为﹣4≤y＜5，∴﹣4≤t＜5；故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．9．已知抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，则函数y＝的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由题意可求m＜﹣2，即可求解．【详解】∵抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，∴△＝4﹣4（﹣m﹣1）＜0∴m＜﹣2∴函数y＝的图象在第二、第四象限，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键．10．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：①b2﹣4ac＞0②x＝x0是方程ax2+bx+c＝y0的解③x1＜x0＜x2④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0其中正确的是（）A．①③④B．①②④C．①②③D．②③【答案】B【解析】【分析】①根据二次函数图象与x轴有两个不同的交点，结合根的判别式即可得出△=b2-4ac＞0，①正确；②由点M（x0，y0）在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解，②正确；③分a＞0和a＜0考虑，当a＞0时得出x1＜x0＜x2；当a＜0时得出x0＜x1或x0＞x2，③错误；④将二次函数的解析式由一般式转化为交点式，再由点M（x0，y0）在x轴下方即可得出y0=a（x0-x1）（x0-x2）＜0，④正确．【详解】①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac＞0，①正确；②∵图象上有一点M（x0，y0），∴a+bx0+c=y0，∴x=x 0是方程ax 2+bx+c=y 0的解，②正确；③当a ＞0时，∵M （x 0，y 0）在x 轴下方，∴x 1＜x 0＜x 2；当a ＜0时，∵M （x 0，y 0）在x 轴下方，∴x 0＜x 1或x 0＞x 2，③错误；④∵二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象于x 轴的交点坐标分别为（x 1，0），（x 2，0）， ∴y=ax 2+bx+c=a （x-x 1）（x-x 2），∵图象上有一点M （x 0，y 0）在x 轴下方，∴y 0=a （x 0-x 1）（x 0-x 2）＜0，④正确；故选B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的相关知识逐一分析四条结论的正误是解题的关键．11．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c ＞﹣3b ；（3）7a ﹣3b+2c ＞0；（4）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣12，y 2）、点C （7，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2；（5）若方程a （x+1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜5＜x 2．其中正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【解析】根据题意和函数的图像，可知抛物线的对称轴为直线x=-2b a=2，即b=-4a ，变形为4a+b=0，所以（1）正确；由x=-3时，y ＞0，可得9a+3b+c ＞0，可得9a+c ＞-3c ，故（2）正确；因为抛物线与x 轴的一个交点为(-1,0)可知a-b+c=0，而由对称轴知b=-4a ，可得a+4a+c=0，即c=-5a.代入可得7a ﹣3b+2c=7a+12a-5a=14a ，由函数的图像开口向下，可知a ＜0，因此7a ﹣3b+2c ＜0，故（3）不正确；根据图像可知当x ＜2时，y 随x 增大而增大，当x ＞2时，y 随x 增大而减小，可知若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣12，y 2）、点C （7，y 3）在该函数图象上，则y 1=y 3＜y 2，故（4）不正确；根据函数的对称性可知函数与x轴的另一交点坐标为（5，0），所以若方程a（x+1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜x2，故（5）正确．正确的共有3个.故选B.点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．12．若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a*b＝ab﹣a+b，如：3*2＝3×2﹣3+2＝5．以下说法中错误的是（）A．不等式（﹣2）*（3﹣x）＜2的解集是x＜3B．函数y＝（x+2）*x的图象与x轴有两个交点C．在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数D．方程（x﹣2）*3＝5的解是x＝5【答案】D【解析】【分析】根据题目中所给的运算法则列出不等式，解不等式即可判定选项A；根据题目中所给的运算法则求得函数解析式，由此即可判定选项B；根据题目中所给的运算法则可得a*（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a+12）2+34＞0，由此即可判定选项C；根据题目中所给的运算法则列出方程，解方程即可判定选项D.【详解】∵a*b＝ab﹣a+b，∴（﹣2）*（3﹣x）＝（﹣2）×（3﹣x）﹣（﹣2）+（3﹣x）＝x﹣1，∵（﹣2）*（3﹣x）＜2，∴x﹣1＜2，解得x＜3，故选项A正确；∵y＝（x+2）*x＝（x+2）x﹣（x+2）+x＝x2+2x﹣2，∴当y＝0时，x2+2x﹣2＝0，解得，x1＝﹣x2＝﹣1B正确；∵a*（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a+12）2+34＞0，∴在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数，故选项C正确；∵（x﹣2）*3＝5，∴（x﹣2）×3﹣（x﹣2）+3＝5，解得，x＝3，故选项D错误；故选D ．【点睛】本题是阅读理解题，根据题目中所给的运算法则得到相应的运算式子是解决问题的关键.13．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax 2+bx 与y=bx+a 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题解析：A 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，对称轴x=﹣2b a＜0，应在y 轴的左侧，故不合题意，图形错误． B 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＜0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，对称轴x=﹣2b a位于y 轴的右侧，故符合题意， D 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，a ＜0，故不合题意，图形错误．故选C ．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．14．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD →方向运动，当P 运动到B 点时，P Q 、点同时停止运动．设P 点运动的时间为t 秒，APQ ∆的面积为S ，则表示S 与t 之间的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动；②点P 在AB 上运动，点Q 在CD 上运动，依次得出S 与t 的关系式，即可判断得出答案．【详解】解：当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，此时，,2AP t BQ t ==2122APQ S t t t =⋅⋅=V ，函数图象为抛物线；当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，此时，AP t =，APQ V 底边AP 上的高保持不变1422APQ S t t =⋅⋅=V ，函数图象为一次函数；故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键．15．在同一平面直角坐标系中，函数3y x a =+与2+3y ax x =的图象可能是（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据一次函数及二次函数的图像性质，逐一进行判断．【详解】解：A.由一次函数图像可知a ＞0，因此二次函数图像开口向上，但对称轴302a -<应在y 轴左侧，故此选项错误；B. 由一次函数图像可知a ＜0，而由二次函数图像开口方向可知a ＞0，故此选项错误；C. 由一次函数图像可知a ＜0，因此二次函数图像开口向下，且对称轴302a->在y 轴右侧，故此选项正确；D. 由一次函数图像可知a ＞0，而由二次函数图像开口方向可知a ＜0，故此选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是利用数形结合思想分析图像，本题属于中等题型．16．如图1，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，动点P 从点B 开始沿边BA 、AC 向点C 以恒定的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以恒定的速度移动，两点同时到达点C ，设△BPQ 的面积为y （cm 2）．运动时间为x （s ），y 与x 之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC 的中点时，PQ 的长为（）A．2 B．4 C．23D．43【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为3：3，根据x＝2，y＝63，确定P、Q运动的速度，即可求解．【详解】解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC＝3a，设P、Q同时到达的时间为T，则点P的速度为3aT，点Q的速度为3aT，故点P、Q的速度比为3：3，故设点P、Q的速度分别为：3v、3v，由图2知，当x＝2时，y＝63，此时点P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝2×3v＝23v，y＝12⨯AB×BQ＝12⨯6v×23v＝63，解得：v＝1，故点P、Q的速度分别为：3，3，AB＝6v＝6＝a，则AC＝12，BC＝63，如图当点P在AC的中点时，PC＝6，此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ＝3x＝43，CQ＝BC﹣BQ＝63﹣43＝23，过点P作PH⊥BC于点H，PC＝6，则PH＝PC sin C＝6×12＝3，同理CH＝3，则HQ＝CH﹣CQ＝333，PQ22PH HQ+39+3，故选：C ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．17．如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，其中﹣2＜x 1＜﹣1，0＜x 2＜1．下列结论：①4a ﹣2b+c ＜0；②2a ﹣b ＜0；③abc ＜0；④b 2+8a ＜4ac ．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】首先根据抛物线的开口方向可得到a ＜0，抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0，而抛物线与x 轴的交点中，﹣2＜x 1＜﹣1、0＜x 2＜1说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x =﹣2b a＞﹣1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断【详解】由图知：抛物线的开口向下，则a ＜0；抛物线的对称轴x=﹣2b a＞﹣1，且c ＞0； ①由图可得：当x=﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b+c ＜0，故①正确； ②已知x=﹣2b a＞﹣1，且a ＜0，所以2a ﹣b ＜0，故②正确； ③抛物线对称轴位于y 轴的左侧，则a 、b 同号，又c ＞0，故abc ＞0，所以③不正确；④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：244ac b a ＞2，由于a ＜0，所以4ac ﹣b2＜8a ，即b 2+8a ＞4ac ，故④正确；因此正确的结论是①②④．故选：C ．【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．18．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()1,2，将抛物线21322y x x =-+沿坐标轴平移一次，使其经过点P ，则平移的最短距离为（）A ．12B ．1C ．5D ．52【答案】B【解析】【分析】先求出平移后P 点对应点的坐标，求出平移距离，即可得出选项．【详解】解：21322y x x =-+=()215322x --，当沿水平方向平移时，纵坐标和P 的纵坐标相同，把y=2代入得：解得：x=0或6，平移的最短距离为1-0=1；当沿竖直方向平移时，横坐标和P 的横坐标相同，把x=1代入得：解得：y=12-，平移的最短距离为152=22⎛⎫--⎪⎝⎭，即平移的最短距离是1，故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能求出平移后对应的点的坐标是解此题的关键．19．平移抛物线y ＝﹣（x ﹣1）（x +3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（）A ．向左平移1个单位B ．向上平移3个单位C ．向右平移3个单位D ．向下平移3个单位【答案】B【解析】【分析】先将抛物线解析式转化为顶点式，然后根据顶点坐标的平移规律即可解答.【详解】解：y ＝﹣（x ﹣1）（x +3）=-（x+1）2+4A 、向左平移1个单位后的解析式为：y ＝-（x+2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意；B 、向上平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+7，当x=0时，y=3，即该抛物线不经过原点，故本选项符合题意；C 、向右平移3个单位后的解析式为：y=-（x-2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.；D 、向下平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+1，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，函数图像平移规律：上移加，下移减，左移加，右移减.20．在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；根据二次函数的对称轴在y 左侧，a ，b 同号，对称轴在y 轴右侧a ，b 异号，以及当a 大于0时开口向上，当a 小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y 轴于正半轴，常数项为负，交y 轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．【详解】解：由方程组2y ax bx y bx a⎧=+⎨=-⎩得ax 2＝−a ， ∵a ≠0∴x 2＝−1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．故选C．【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．。

专题07二次函数--浙江省2019-2021年3年中考真题数学分项汇编(解析版)

三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（浙江专用）专题07二次函数一．选择题（共15小题）1．（2021•绍兴）关于二次函数y ＝2（x ﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值6【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的．【详解】解：∵二次函数y ＝2（x ﹣4）2+6，a ＝2＞0，∴该函数图象开口向上，有最小值，当x ＝2取得最小值6，故选：D ．2．（2021•杭州）在“探索函数y ＝ax 2+bx +c 的系数a ，b ，c 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A （0，2），B （1，0），C （3，1），D （2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a 的值最大为（）A ．52B ．32C ．56D ．12 【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则a ＜0，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可．【详解】解：由图象知，A 、B 、D 组成的点开口向上，a ＞0；A 、B 、C 组成的二次函数开口向上，a ＞0；B 、C 、D 三点组成的二次函数开口向下，a ＜0；A 、D 、C 三点组成的二次函数开口向下，a ＜0；即只需比较A 、B 、D 组成的二次函数和A 、B 、C 组成的二次函数即可．设A 、B 、C 组成的二次函数为y 1＝a 1x 2+b 1x +c 1，把A （0，2），B （1，0），C （3，1）代入上式得，{c 1=2a 1+b 1+c 1=09a 1+3b 1+c 1=1，解得a 1=56；设A 、B 、D 组成的二次函数为y ＝ax 2+bx +c ，把A （0，2），B （1，0），D （2，3）代入上式得，{c =2a +b +c =04a +2b +c =3，解得a =52，即a 最大的值为52，故选：A ．3．（2020•衢州）二次函数y ＝x 2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（）A ．向左平移2个单位，向下平移2个单位B ．向左平移1个单位，向上平移2个单位C ．向右平移1个单位，向下平移1个单位D ．向右平移2个单位，向上平移1个单位【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．【详解】解：A 、平移后的解析式为y ＝（x +2）2﹣2，当x ＝2时，y ＝14，本选项不符合题意．B 、平移后的解析式为y ＝（x +1）2+2，当x ＝2时，y ＝11，本选项不符合题意．C 、平移后的解析式为y ＝（x ﹣1）2﹣1，当x ＝2时，y ＝0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意．D 、平移后的解析式为y ＝（x ﹣2）2+1，当x ＝2时，y ＝1，本选项不符合题意．故选：C ．4．（2021•湖州）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的交点为A （1，0）和B （3，0），点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是抛物线上不同于A ，B 的两个点，记△P 1AB 的面积为S 1，△P 2AB 的面积为S 2，有下列结论：①当x 1＞x 2+2时，S 1＞S 2；②当x 1＜2﹣x 2时，S 1＜S 2；③当|x 1﹣2|＞|x 2﹣2|＞1时，S 1＞S 2；④当|x 1﹣2|＞|x 2+2|＞1时，S 1＜S 2．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【分析】不妨假设a ＞0，利用图象法一一判断即可．【详解】解：不妨假设a ＞0．①如图1中，P 1，P 2满足x 1＞x 2+2，∵P1P2∥AB，∴S1＝S2，故①错误．②当x1＝﹣2,x2＝﹣1,满足x1＜2﹣x2，则S1＞S2，故②错误，③∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，∴P1，P2在x轴的上方，且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大，∴S1＞S2，故③正确，④如图1中，P1，P2满足|x1﹣2|＞|x2+2|＞1，但是S1＝S2，故④错误．故选：A．5．（2020•宁波）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．c﹣a＞0D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c【分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b ＞0，于是得到abc＞0，故A错误；根据二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2﹣4ac＞0，求得4ac﹣b2＜0，故B错误；根据对称轴方程得到b＝2a，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，于是得到c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，代入解析式得到y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，于是得到y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确．【详解】解：由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，又对称轴方程为x＝﹣1，所以−b2a＜0，所以b＞0，∴abc＞0，故A错误；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B错误；∵−b2a=−1，∴b＝2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确，故选：D．6．（2020•温州）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．【详解】解：抛物线的对称轴为直线x=−−122×(−3)=−2，∵a＝﹣3＜0，∴x＝﹣2时，函数值最大，又∵﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小，∴y3＜y1＜y2．故选：B．7．（2020•嘉兴）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（）A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值B ．当n ﹣m ＝1时，b ﹣a 有最大值C ．当b ﹣a ＝1时，n ﹣m 无最小值D ．当b ﹣a ＝1时，n ﹣m 有最大值【分析】方法1、①当b ﹣a ＝1时，当a ，b 同号时，先判断出四边形BCDE 是矩形，得出BC ＝DE ＝b ﹣a ＝1，CD ＝BE ＝m ，进而得出AC ＝n ﹣m ，即tan ∠ABC ＝n ﹣m ，再判断出45°≤∠ABC ＜90°，即可得出n ﹣m 的范围，当a ，b 异号时，m ＝0，当a =−12，b =12时，n 最小=14，即可得出n ﹣m 的范围； ②当n ﹣m ＝1时，当a ，b 同号时，同①的方法得出NH ＝PQ ＝b ﹣a ，HQ ＝PN ＝m ，进而得出MH ＝n ﹣m ＝1，而tan ∠MHN =1b−a ，再判断出45°≤∠MNH ＜90°，当a ，b 异号时，m ＝0，则n ＝1，即可求出a ，b ，即可得出结论．方法2、根据抛物线的性质判断，即可得出结论．【详解】解：方法1、①当b ﹣a ＝1时，当a ，b 同号时，如图1，过点B 作BC ⊥AD 于C ，∴∠BCD ＝90°，∵∠ADE ＝∠BED ＝90°，∴∠ADE ＝∠BCD ＝∠BED ＝90°，∴四边形BCDE 是矩形，∴BC ＝DE ＝b ﹣a ＝1，CD ＝BE ＝m ，∴AC ＝AD ﹣CD ＝n ﹣m ，在Rt △ACB 中，tan ∠ABC =AC BC =n ﹣m ，∵点A ，B 在抛物线y ＝x 2上，且a ，b 同号，∴45°≤∠ABC ＜90°，∴tan ∠ABC ≥1，∴n ﹣m ≥1，当a ，b 异号时，m ＝0，当a =−12，b =12时，n =14，此时，n ﹣m =14，∴14≤n ﹣m ＜1，即n ﹣m ≥14，即n ﹣m 无最大值，有最小值，最小值为14，故选项C ，D 都错误；②当n ﹣m ＝1时，如图2，当a ，b 同号时，过点N 作NH ⊥MQ 于H ，同①的方法得，NH ＝PQ ＝b ﹣a ，HQ ＝PN ＝m ，∴MH ＝MQ ﹣HQ ＝n ﹣m ＝1，在Rt △MHN 中，tan ∠MNH =MH NH =1b−a， ∵点M ，N 在抛物线y ＝x 2上，∴m ≥0，当m ＝0时，n ＝1，∴点N （0，0），M （1，1），∴NH ＝1，此时，∠MNH ＝45°，∴45°≤∠MNH ＜90°，∴tan ∠MNH ≥1，∴1b−a ≥1，当a ，b 异号时，m ＝0，∴n ＝1，∴a ＝﹣1，b ＝1，即b ﹣a ＝2，∴b ﹣a 无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A 错误；故选：B ．方法2、当n ﹣m ＝1时，当a ，b 在y 轴同侧时，a ，b 都越大时，a ﹣b 越接近于0，但不能取0，即b ﹣a 没有最小值，当a ，b 异号时，当a ＝﹣1，b ＝1时，b ﹣a ＝2最大，当b ﹣a ＝1时，当a ，b 在y 轴同侧时，a ，b 离y 轴越远，n ﹣m 越大，但取不到最大，当a ，b 在y 轴两侧时，当a =−12，b =12时，n ﹣m 取到最小，最小值为14，因此，只有选项B 正确，故选：B．8．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c 是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（）A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0【分析】选项B正确，利用判别式的性质证明即可．【详解】解：A、错误．由M1＝2，M2＝2，可得a2﹣4＞0，b2﹣8＞0，取a＝3，b2＝12，则c=b2a=4，此时c2﹣16＝0．故A错误．B、正确．理由：∵M1＝1，M2＝0，∴a2﹣4＝0，b2﹣8＜0，∵a，b，c是正实数，∴a＝2，∵b2＝ac，∴c=12b2，对于y3＝x2+cx+4，则有△＝c2﹣16=14b4﹣16=14（b4﹣64）=14（b2+8）（b2﹣8）＜0，∴M3＝0，∴选项B正确，C、错误．由M1＝0，M2＝2，可得a2﹣4＜0，b2﹣8＞0，取a＝1，b2＝18，则c=b2a=18，此时c2﹣16＞0．故C错误．D、由M1＝0，M2＝0，可得a2﹣4＜0，b2﹣8＜0，取a＝1，b2＝4，则c=b2a=4，此时c2﹣16＝0．故D错误．故选：B．9．（2020•杭州）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0【分析】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式整理得a（9﹣2h）＝1，将h的值分别代入即可得出结果．【详解】解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：{1=a(1−ℎ)2+k 8=a(8−ℎ)2+k，∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，整理得：a（9﹣2h）＝1，若h＝4，则a＝1，故A错误；若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；若h＝6，则a=−13，故C正确；若h＝7，则a=−15，故D错误；故选：C．10．（2019•湖州）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次函数y ＝ax 2+bx 与一次函数y ＝ax +b （a ≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a 、b 的正负情况，从而可以解答本题．【详解】解：{y =ax 2+bx y =ax +b 解得{x =−b a y =0或{x =1y =a +b ．故二次函数y ＝ax 2+bx 与一次函数y ＝ax +b （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x 轴上为（−b a，0）或点（1，a +b ）．在A 中，由一次函数图象可知a ＞0，b ＞0，二次函数图象可知，a ＞0，b ＞0，−b a ＜0，a +b ＞0，故选项A 有可能；在B 中，由一次函数图象可知a ＞0，b ＜0，二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，由|a |＞|b |，则a +b ＞0，故选项B 有可能；在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C有可能；在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能；故选：D．11．（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．【详解】解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M＝2，∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；综上可知，M＝N或M＝N+1．故选：C．另一解法：∵a≠b，∴抛物线y＝（x+a）（x+b）与x轴有两个交点，∴M＝2，又∵函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，而y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，它至多是一个二次函数，至多与x轴有两个交点，∴N≤2，∴N≤M，∴不可能有M＝N﹣1，故排除A、B、D，故选：C ．12．（2019•舟山）小飞研究二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）性质时得到如下结论： ①这个函数图象的顶点始终在直线y ＝﹣x +1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A （x 1，y 1）与点B （x 2，y 2）在函数图象上，若x 1＜x 2，x 1+x 2＞2m ，则y 1＜y 2；④当﹣1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m ≥2．其中错误结论的序号是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．【详解】解：二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）①∵顶点坐标为（m ，﹣m +1）且当x ＝m 时，y ＝﹣m +1∴这个函数图象的顶点始终在直线y ＝﹣x +1上故结论①正确；②假设存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形令y ＝0，得﹣（x ﹣m ）2﹣m +1＝0，其中m ≤1解得：x 1＝m −√−m +1，x 2＝m +√−m +1∵顶点坐标为（m ，﹣m +1），且顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形∴|﹣m +1|＝|m ﹣（m −√−m +1）|解得：m ＝0或1，当m ＝1时，二次函数y ＝﹣（x ﹣1）2，此时顶点为（1，0），与x 轴的交点也为（1，0），不构成三角形，舍去；∴存在m ＝0，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形故结论②正确；③∵x 1+x 2＞2m∴x 1+x 22＞m∵二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）的对称轴为直线x ＝m∴点A 离对称轴的距离小于点B 离对称轴的距离∵x 1＜x 2，且a ＝﹣1＜0∴y 1＞y 2故结论③错误；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且a＝﹣1＜0∴m的取值范围为m≥2．故结论④正确．故选：C．13．（2019•绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），故选：B．14．（2019•温州）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2B．有最大值0，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1D．有最大值7，有最小值﹣2【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．【详解】解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．故选：D．15．（2019•衢州）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）【分析】由抛物线顶点式可求得答案．【详解】解：∵y＝（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3），故选：A ．二．填空题（共3小题）16．（2021•湖州）已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（3，4），M 是抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当b a 的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM 为直角三角形的点M 的个数也随之确定，若抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）的对称轴上存在3个不同的点M ，使△AOM 为直角三角形，则b a 的值是 2或﹣8 ．【分析】由题意△AOM 是直角三角形，当对称轴x ≠0或x ≠3时,可知一定存在两个以A ，O 为直角顶点的直角三角形，当对称轴x ＝0或x ＝3时，不存在满足条件的点M ,当以OA 为直径的圆与抛物线的对称轴x =−b 2a相切时，对称轴上存在1个以点M 为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M ，使△AOM 为直角三角形，利用图象法求解即可．【详解】解：∵△AOM 是直角三角形，∴当对称轴x ≠0或x ≠3时，一定存在两个以A ，O 为直角顶点的直角三角形，且点M 在对称轴上的直角三角形，当对称轴x ＝0或x ＝3时，不存在满足条件的点M ,∴当以OA 为直径的圆与抛物线的对称轴x =−b 2a相切时，对称轴上存在1个以M 为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M ，使△AOM 为直角三角形（如图所示）．观察图象可知，−b 2a =−1或4，∴b a =2或﹣8，故答案为：2或﹣8．17．（2021•温州）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的d的值为6﹣2√3；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点A′，B′，C′．以大正方形的中心O为圆心作圆，则当点A′，B′，C′在圆内或圆上时，圆的最小面积为(16﹣8√3)π．【分析】如图，连接FW,由题意可知点A′,O,C′在线段FW上,连接OB′,B′C′,过点O作OH⊥B′C′于H．证明∠EGF＝30°,解直角三角形求出JK,OH,B′H,再求出OB′2,可得结论．【详解】解：如图，连接FH,由题意可知点A′,O,C′在线段FW上,连接OB′,B′C′,过点O作OH⊥B′C′于H．∵大正方形的面积＝12，∴FG＝GW＝2√3,∵EF＝WK＝2,∴在Rt△EFG中，tan∠EGF=EFFG=2√3=√33,∴∠EGF＝30°,∵JK∥FG,∴∠KJG＝∠EGF＝30°,∴d＝JK=√3GK=√3(2√3−2)＝6﹣2√3,∵OF＝OW=12FW=√6,C′W=√2,∴OC′=√6−√2,∵B′C′∥QW,B′C′＝2,∴∠OC′H＝∠FWQ＝45°,∴OH＝HC′=√3−1,∴HB′＝2﹣(√3−1)＝3−√3,∴OB′2＝OH2+B′H2＝(√3−1)2+(3−√3)2＝16﹣8√3,∵OA′＝OC′＜OB′,∴当点A′，B′，C′在圆内或圆上时，圆的最小面积为(16﹣8√3)π．故答案为：6﹣2√3，(16﹣8√3)π．18．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝√2．【分析】利用h＝vt﹣4.9t2，求出t1,t2,再根据h1＝2h2，求出v1=√2v2,可得结论．【详解】解：由题意，t1=v14.9,t2=v24.9,h1=−v12−4×4.9=v124×4.9,h2=−v22−4×4.9=v224×4.9,∵h1＝2h2，∴v1=√2v2,∴t1：t2＝v1:v2=√2,故答案为：√2．三．解答题（共7小题）19．（2021•宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【分析】（1）根据抛物线解析式得到抛物线与x 轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a 的值即可．（2）将a 的值代入，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【详解】解：（1）由二次函数y ＝（x ﹣1）（x ﹣a ）（a 为常数）知，该抛物线与x 轴的交点坐标是（1，0）和（a ，0）．∵对称轴为直线x ＝2，∴1+a 2=2．解得a ＝3；（2）由（1）知，a ＝3，则该抛物线解析式是：y ＝x ²﹣4x +3．∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y ＝x ²﹣4x ．20．（2021•金华）某游乐场的圆形喷水池中心O 有一雕塑OA ，从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x 轴，点O 为原点建立直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的点C ，D 为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y =−16（x ﹣5）2+6．（1）求雕塑高OA ．（2）求落水点C ，D 之间的距离．（3）若需要在OD 上的点E 处竖立雕塑EF ，OE ＝10m ，EF ＝1.8m ，EF ⊥OD ．问：顶部F 是否会碰到水柱？请通过计算说明．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A 的坐标，进而可得出雕塑高OA 的值；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D 的坐标，进而可得出OD 的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同,可得出OC 的长，结合CD ＝OC +OD 即可求出落水点C ，D 之间的距离;（3）代入x ＝10求出y 值，进而可得出点（10，116）在抛物线y =−16（x ﹣5）2+6上，将116与1.8比较后即可得出顶部F 不会碰到水柱．【详解】解：（1）当x ＝0时，y =−16（0﹣5）2+6=116， ∴点A 的坐标为（0，116）， ∴雕塑高116m ．（2）当y ＝0时，−16（x ﹣5）2+6＝0，解得：x 1＝﹣1（舍去），x 2＝11，∴点D 的坐标为（11，0），∴OD ＝11m ．∵从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同,∴OC ＝OD ＝11m ，∴CD ＝OC +OD ＝22m ．（3）当x ＝10时，y =−16（10﹣5）2+6=116，∴点（10，116）在抛物线y =−16（x ﹣5）2+6上．又∵116≈1.83＞1.8，∴顶部F 不会碰到水柱．21．（2021•湖州）如图，已知经过原点的抛物线y ＝2x 2+mx 与x 轴交于另一点A （2，0）．（1）求m 的值和抛物线顶点M 的坐标；（2）求直线AM 的解析式．【分析】（1）将A （2，0）代入抛物线解析式即可求出m 的值，然后将关系式化为顶点式即可得出顶点坐标；（2）设直线AM 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将点A ，M 的坐标代入即可．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝2x 2+mx 与x 轴交于另一点A （2，0），∴2×22+2m ＝0，∴m ＝﹣4，∴y ＝2x 2﹣4x＝2（x ﹣1）2﹣2，∴顶点M 的坐标为（1，﹣2），（2）设直线AM 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），∵图象过A （2，0），M （1，﹣2），∴{2k +b =0k +b =−2，解得{k =2b =−4， ∴直线AM 的解析式为y ＝2x ﹣4．22．（2020•温州）已知抛物线y ＝ax 2+bx +1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a ，b 的值．（2）若（5，y 1），（m ，y 2）是抛物线上不同的两点，且y 2＝12﹣y 1，求m 的值．【分析】（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y ＝ax 2+bx +1解方程组即可得到结论；（2）把x ＝5代入y ＝x 2﹣4x +1得到y 1＝6，于是得到y 1＝y 2，即可得到结论．【详解】解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y ＝ax 2+bx +1得，{−2=a +b +113=4a −2b +1，解得：{a =1b =−4；（2）由（1）得函数解析式为y ＝x 2﹣4x +1，把x ＝5代入y ＝x 2﹣4x +1得，y 1＝6，∴y 2＝12﹣y 1＝6，∵y 1＝y 2，且对称轴为直线x ＝2，∴m ＝4﹣5＝﹣1．23．（2020•宁波）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+4x ﹣3图象的顶点是A ，与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于点D ．点B 的坐标是（1，0）．（1）求A ，C 两点的坐标，并根据图象直接写出当y ＞0时x 的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D 恰好落在点A 的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【分析】（1）利用待定系数法求出a，再求出点C的坐标即可解决问题．（2）由题意点D平移到A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，由此可得抛物线的解析式．【详解】解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴A（2，1），∵对称轴为直线x＝2，B，C关于x＝2对称，∴C（3，0），∴当y＞0时，1＜x＜3．（2）∵D（0，﹣3），∴点D平移到点A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．24．（2019•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．【分析】（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，即可求出a；（2）①把m＝2代入解析式即可求n的值；②由点Q到y轴的距离小于2，可得﹣2＜m＜2，在此范围内求n即可；【详解】解：（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，∴a＝2，∴y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴顶点坐标为（﹣1，2）；（2）①当m＝2时，n＝11，②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴﹣2＜m＜2，∴2≤n＜11；25．（2019•湖州）已知抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点．（1）求c的取值范围；（2）若抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由．【分析】（1）由二次函数与x轴交点情况，可知△＞0；（2）求出抛物线对称轴为直线x＝1，由于A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，即可求解；【详解】解：（1）∵抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点，∴△＝b2﹣4ac＝16﹣8c＞0，∴c＜2；（2）抛物线y＝2x2﹣4x+c的对称轴为直线x＝1，∴A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，当x≥1时，y随x的增大而增大，∴m＜n；。

九年级二次函数中考真题汇编[解析版]

九年级二次函数中考真题汇编[解析版]一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．已知函数2266()22()x ax a x a y x ax a x a ⎧-+>=⎨-++≤⎩（a 为常数，此函数的图象为G ）（1）当a ＝1时，①直接写出图象G 对应的函数表达式 ②当y=-1时，求图象G 上对应的点的坐标（2）当x >a 时，图象G 与坐标轴有两个交点，求a 的取值范围（3）当图象G 上有三个点到x 轴的距离为1时，直接写出a 的取值范围【答案】（1）①2266(1)22(1)x x x y x x x ⎧-+>=⎨-++≤⎩，②(1,1),(31),(31)--+--；（2）0a <或2635a <<；（3）1a -<，1153a <<，113a <<-【解析】【分析】（1）①将1a =代入函数解析式中即可求出结论；②分1x >和1x ≤两种情况，将y=-1分别代入求出x 的值即可；（2）根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可；（3）先求出266y x ax a =-+的对称轴为直线6321ax a -=-=⨯，顶点坐标为()23,96a a a -+，222y x ax a =-++的对称轴为直线()221ax a =-=⨯-，顶点坐标为()2,2a aa +，然后根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可．【详解】（1）①1a =时，2266(1)22(1)x x x y x x x ⎧-+>=⎨-++≤⎩②当1x >时，2661x x -+=-2670x x -+=1233x x ==当1x ≤时，2221x x -++=-2230x x --=121,3x x =-=（舍）∴坐标为(1,1),(31),(31)---- （2）当0a <时266()y x ax a x a =-+>与y 轴交点坐标(0,6)a ，266y x ax a =-+对称轴为直线6321ax a -=-=⨯，过点(1,1) ∴x ＞a ＞3a ，此时图像G 与坐标轴有两个交点（与x 轴一个交点，与y 轴一个交点）当0a ≥时，266()y x ax a x a =-+>的图像与y 轴无交点顶点坐标为()23,96a a a -+当x a =时，256y a a =-+＞0①，且2960a a -+<②时，此时图像G 与x 轴有两个交点将①的两边同时除以a ，解得65a <；将②的两边同时除以a ，解得23a > ∴2635a << 即当2635a <<时，图像G 与坐标轴有两个交点，综上，0a <或2635a <<（3）266y x ax a =-+的对称轴为直线6321ax a -=-=⨯，顶点坐标为()23,96a a a -+ 222y x ax a =-++的对称轴为直线()221a x a =-=⨯-，顶点坐标为()2,2a a a + ①当a ＜0时，()222y x ax a x a =-++≤中，当x=a 时，y 的最大值为22a a +由()210a +≥可得221a a +≥-，即此图象必有一个点到x 轴的距离为1而()266y x ax a x a =-+>必过（1,1），即此图象必有一个点到x 轴的距离为1，此时x＞3a ，y ＞225666a a a a a a ⋅+=-+-当2221561a a a a ⎧+<⎨-+<-⎩时，()222y x ax a x a =-++≤与x 轴只有一个交点，()266y x ax a x a =-+>与x 轴有两个交点解得：315a --<；当2221561a aa a⎧+>⎨-+>-⎩时，()222y x ax a x a=-++≤与x轴有两个交点，()266y x ax a x a=-+>与x轴有一个交点解得：1a-+<<，与前提条件a＜0不符，故舍去；②当a≥0时，()222y x ax a x a=-++≤中，当x=a时，y的最大值为22a a+，必过点（-1，-1），即此图象必有一个点到x轴的距离为1而()266y x ax a x a=-+>，此时当x=3a时，y的最小值为296a a-+，由()2310a--≤可得2961a a-+≤，即此图象必有一个点到x轴的距离为1当222221561961961a aa aa aa a⎧+<⎪-+>⎪⎨-+>-⎪⎪-+≠⎩时，()222y x ax a x a=-++≤与x轴只有一个交点，()266y x ax a x a=-+>与x轴有两个交点解得：115a<<-+且13a≠；当222221561961961a aa aa aa a⎧+<⎪-+<⎪⎨-+<-⎪⎪-+≠⎩时，()222y x ax a x a=-++≤与x轴只有一个交点，()266y x ax a x a=-+>与x轴有两个交点此不等式无解，故舍去；当222221561961961a aa aa aa a⎧+>⎪-+<⎪⎨-+>-⎪⎪-+≠⎩时，()222y x ax a x a=-++≤与x轴有两个交点，()266y x ax a x a=-+>与x轴有一个交点此不等式无解，故舍去；综上：315a--<或1153a<<或113a<<-【点睛】此题考查的是二次函数的性质和分段函数的应用，此题难度较大，掌握二次函数的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．2．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．【解析】试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH 垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）．考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值3．如图，过原点的抛物线y=﹣12x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），B为抛物线的顶点，连接OB，点P是线段OA上的一个动点，过点P作PC⊥OB，垂足为点C．（1）求抛物线的解析式，并确定顶点B的坐标；（2）设点P的横坐标为m，将△POC绕着点P按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m的值；（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n（0＜n＜2）个单位，点B、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n，使得四边形OB′C″A的周长最短？若存在，请直接写出n的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2122y x x =-+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=27时，抛物线向左平移．【解析】【分析】（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离．【详解】解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12-x 2+bx+c ．得040c b b c =⎧⎨-++=⎩，∴02c b =⎧⎨=⎩． ∴22112(2)222y x x x =-+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）．（2）∵点B 坐标为（2，2）． ∴∠BOA=45°．∴△PDC 为等腰直角三角形．如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．∵O′P=OP=m ． ∴C′D=12O′P=12m ． ∴点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m ）．当点O′在y=12-x 2+2x 上．则−12m 2+2m ＝m ．解得：12m =，20m =（舍去）． ∴m=2．当点C′在y=12-x 2+2x 上，则12-×(32m )2+2×32m ＝12m ，解得：1209m =，20m =（舍去）． ∴m=209（3）存在n=27，抛物线向左平移．当m=209时，点C′的坐标为（103，109）．如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处．以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短．∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A （4，0），点C′（103，109），点B （2，2）． ∴点A′（83，89）． ∴点A″的坐标为（83，289）．设直线OA″的解析式为y=kx ，将点A″代入得：82839k =，解得：k=76． ∴直线OA″的解析式为y=76x ．将y=2代入得：76x=2，解得：x=127， ∴点B′得坐标为（127，2）． ∴n=212277-=． ∴存在n=27，抛物线向左平移．【点睛】本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m）以及点B′的坐标是解题的关键．4．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()3, 6C ，并与y 轴交于点()0, 3B ，点A 是对称轴与x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式;(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP 、AP ,求ABP ∆的面积的最大值;(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．【答案】（1）21233y x x =-++；（2）当92n =时，PBA S ∆最大值为818；（3）存在，Q 点坐标为((0,-或，理由见解析【解析】【分析】(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-S △AOB,设P 21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭求出关于n 的函数式，从而求S △PAB 的最大值. (3) 求点D 的坐标，设D 21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,过D 做DG 垂直于AC 于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍，联想到同弧所对的圆周角和圆心角，所以以A 为圆心，AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q 点. 【详解】解：()1抛物线顶点为()3,6∴可设抛物线解析式为()236y a x =-+将()0,3B 代入()236y a x =-+得396a =+ 13a ∴=-∴抛物线()21363y x =--+，即21233y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==，PBA BPO PAO ABO S S S S ∆∆∆∆=+-设P 点坐标为21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭1133222BPO x S BO P n n ∆=== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ∆⎛⎫==-++=-++ ⎪⎝⎭11933222ABO S OA BO ∆==⨯⨯= 22231991919813222222228PBA S n n n n n n ∆⎛⎫⎛⎫=+-++-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴当92n =时，PBA S ∆最大值为818()3存在，设点D 的坐标为21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ 过D 作对称轴的垂线，垂足为G ,则213,6233DG t CG t t ⎛⎫=-=--++ ⎪⎝⎭30ACD ∠=2DG DC ∴=在Rt CGD ∆中有222243CG CD DG DG DG DG =+=-=)21336233t t t ⎛⎫-=--++ ⎪⎝⎭化简得(1133303t t ⎛⎫---= ⎪⎝⎭13t ∴=（舍去），2333t =+∴点D(333+3,33AG GD ∴==连接AD ，在Rt ADG ∆中229276AD AG GD =+=+=6,120AD AC CAD ∴==∠=Q ∴在以A 为圆心，AC 为半径的圆与y 轴的交点上此时1602CQD CAD ∠=∠= 设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径则AQ ²=OQ ²+OA ², 6²=m ²+3²即2936m += ∴1233,33m m ==-综上所述，Q 点坐标为()()0,330,33-或故存在点Q ，且这样的点有两个点.【点睛】(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便；(2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.5．在平面直角坐标系中，点(),p tq 与(),q tp ()0t ≠称为一对泛对称点．（1）若点()1,2，()3,a 是一对泛对称点，求a 的值；（2）若P ，Q 是第一象限的一对泛对称点，过点P 作PA x ⊥轴于点A ，过点Q 作QB y ⊥轴于点B ，线段PA ，QB 交于点C ，连接AB ，PQ ，判断直线AB 与PQ 的位置关系，并说明理由；（3）抛物线2y ax bx c =++()0a ＜交y 轴于点D ，过点D 作x 轴的平行线交此抛物线于点M （不与点D 重合），过点M 的直线y ax m =+与此抛物线交于另一点N ．对于任意满足条件的实数b ，是否都存在M ，N 是一对泛对称点的情形？若是，请说明理由，并对所有的泛对称点(),M M M x y ，(),N N N x y 探究当M y ＞N y 时M x 的取值范围；若不是，请说明理由．【答案】（1）23；（2）AB ∥PQ ，见解析；（3）对于任意满足条件的实数b ，都存在M ，N 是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M(x M ，y M )，N(x N ，y N )，当y M ＞y N 时，x M 的取值范围是x M ＜1且x M ≠0【解析】【分析】（1）利用泛对称点得定义求出t 的值，即可求出a.（2）设P ，Q 两点的坐标分别为P （p,tq ），Q （q,tp ），根据题干条件得到A （p,0），B （0,tp ），C （p,tp ）的坐标，利用二元一次方程组证出k 1=k 2，所以AB ∥PQ.（3）由二次函数与x 轴交点的特征，得到D 点的坐标；然后利用二次函数与一元二次方程的关系，使用求根公式即可得到答案.【详解】（1）解：因为点（1，2），（3，a ）是一对泛对称点，设3t ＝2解得t ＝23所以a ＝t×1＝23 （2）解：设P ，Q 两点的坐标分别为P （p,tq ），Q （q,tp ），其中0＜p ＜q ，t ＞0. 因为PA ⊥x 轴于点A ，QB ⊥y 轴于点B ，线段PA ，QB 交于点C ，所以点A ，B ，C 的坐标分别为：A （p,0），B （0,tp ），C （p,tp ）设直线AB ，PQ 的解析式分别为：y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2，其中k 1k 2≠0.分别将点A （p,0），B （0,tp ）代入y ＝k 1x ＋b 1，得111pk b tp b tp +=⎧⎨=⎩. 解得11k t b tp =-⎧⎨=⎩ 分别将点P （p,tq ），Q （q,tp ）代入y ＝k 2x ＋b 2，得2222pk b tp qk b tp +=⎧⎨+=⎩. 解得22k t b tp tp =-⎧⎨=+⎩ 所以k 1＝k 2.所以AB∥PQ（3）解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）交y轴于点D，所以点D的坐标为（0,c）.因为DM∥x轴，所以点M的坐标为（x M,c），又因为点M在抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）上.可得ax M 2＋bx M＋c＝c，即x M（ax M＋b）＝0.解得x M＝0或x M＝－b a .因为点M不与点D重合，即x M≠0，也即b≠0，所以点M的坐标为（－ba,c）因为直线y＝ax＋m经过点M，将点M（－ba,c）代入直线y＝ax＋m可得，a·（－ba）＋m＝c.化简得m＝b＋c所以直线解析式为：y＝ax＋b＋c.因为抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝ax＋b＋c交于另一点N，由ax2＋bx＋c＝ax＋b＋c，可得ax2＋（b－a）x－b＝0.因为△＝（b－a）2＋4ab＝（a＋b）2，解得x1＝－ba，x2＝1.即x M＝－ba，x N＝1，且－ba≠1，也即a＋b≠0.所以点N的坐标为（1,a＋b＋c）要使M（－ba,c）与N（1,a＋b＋c）是一对泛对称点，则需c＝t ×1且a＋b＋c＝t ×（－ba ）.也即a＋b＋c＝（－ba ）·c也即（a＋b）·a＝－（a＋b）·c.因为a＋b≠0，所以当a＝－c时，M，N是一对泛对称点.因此对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形.此时点M的坐标为（－ba,－a），点N的坐标为（1,b）.所以M，N两点都在函数y＝bx（b≠0）的图象上.因为a＜0，所以当b＞0时，点M，N都在第一象限，此时 y随x的增大而减小，所以当y M＞y N时，0＜x M＜1；当b＜0时，点M在第二象限，点N在第四象限，满足y M＞y N，此时x M＜0.综上，对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M（x M,y M），N（x N,y N），当y M＞y N时，x M的取值范围是x M＜1且x M≠0.【点睛】本题主要考察了新定义问题，读懂题意是是做题的关键；主要考察了二元一次方程组，二次函数、一元二次方程知识点的综合，把握题干信息，熟练运用知识点是解题的核心.6．如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=6x(x＞0)经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(57，0)，F(0，53)；（3）t=9﹣15【解析】【分析】（1）由已知求出D点坐标，将点A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；（2）作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；【详解】解；（1）C(0，3)∵CD⊥y，∴D点纵坐标是3．∵D在y=6x上，∴D(2，3)，将点A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，∴a=﹣1，b=2，∴y=﹣x2+2x+3；（2）M(1，4)，B(3，0)，作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，∴M'D'直线的解析式为y=﹣73x+53，∴N(57，0)，F(0，53)；（3）设P(0，t)．∵△PBO和△CDP都是直角三角形，tan∠CDP=32t，tan∠PBO=3t，令y=tan∠BPD=3 233123t tt t-+--，∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，△=﹣15y2+30y+1=0时，y=1541515-+-(舍)或y=1541515+，∴t=32﹣12×1y，∴t=9﹣215，∴P(0，9﹣215)．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．7．如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①有，94；②存在，(2，﹣3)或(32，2﹣2)【解析】【分析】（1）由直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）①根据PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣32）2+94即可求解；②分PM ＝PC 、PM ＝MC 两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）对于y ＝x ﹣3，令x ＝0，y ＝﹣3，y ＝0，x ＝3，故点B 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式得：9303b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：32c b =-⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）设：点M （x ，x ﹣3），则点P （x ，x 2﹣2x ﹣3），①有，理由：PM ＝（x ﹣3）﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣（x ﹣32）2+94， ∵﹣1＜0，故PM 有最大值，当x ＝32时，PM 最大值为：94； ②存在，理由：PM 2＝（x ﹣3﹣x 2+2x+3）2＝（﹣x 2+3x ）2；PC 2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2；MC 2＝（x ﹣3+3）2+x 2；（Ⅰ）当PM ＝PC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2，解得：x ＝0或2（舍去0），故x ＝2，故点P （2，﹣3）；（Ⅱ）当PM ＝MC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝（x ﹣3+3）2+x 2，解得：x ＝0或（舍去0和），故x ＝3，则x 2﹣2x ﹣3＝2﹣，故点P （3，2﹣）．综上，点P 的坐标为：(2，﹣3)或(3，2﹣)．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于．（直接写出答案）【答案】（1）2113442y x x =--+；（2）点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125．【解析】【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解；（2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可；（3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+，即可求解．【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式并解得：14a =-，故函数的表达式为：2113442y x x =--+…①，则点C （0，32）；（2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=35，①∠MAN=∠ABD 时，（Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时，直线AD 所在直线的k 值为34，则直线AM 表达式中的k 值为34-，则直线AM 的表达式为：3(2)4y x =--，故点M （0，32）， AD AB AM AN =，则AN=54，则点N （34，0）；（Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，同理可得：点N （-3，0），点M （0，32），故点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）； ②∠MAN=∠BDA 时，（Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时，∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12， AM ：y=12-（x-2），则点M （-1，32）、点N （-3，0）；（Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，AD BD AM AN =，即3535=，解得：AN=94，故点N （14-，0）、M （-1，32）；故：点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；综上，点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）如图所示，连接PH ，由题意得：tan ∠PQH=43，则cos ∠PQH=35，则直线AD 的表达式为：y=3342x -，设点P （x ，2113442x x --+），则点Q （x ，3342x -），则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++， ∵3020-<，故QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125．【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．9．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 的边AO 在x 轴的负半轴上，边OB 在y 轴的负半轴上．且AO ＝12，OB ＝9．抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 经过点A 和点B ．（1）求抛物线的表达式；（2）在第二象限的抛物线上找一点M ，连接AM ，BM ，AB ，当△ABM 面积最大时，求点M 的坐标；（3）点D 是线段AO 上的动点，点E 是线段BO 上的动点，点F 是射线AC 上的动点，连接EF ，DF ，DE ，BD ，且EF 是线段BD 的垂直平分线．当CF ＝1时．①直接写出点D 的坐标；②若△DEF 的面积为30，当抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 经过平移同时过点D 和点E 时，请直接写出此时的抛物线的表达式．【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣514x ﹣9；（2）M(﹣6，31.5)；（3）①(﹣50)或(﹣3，0)，②y ＝﹣x 2﹣133x ﹣4【解析】【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为解方程组即可解决问题．（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣514m﹣9），根据S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．（3）①分两种情形：如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．根据FD＝FB，构建方程求解．当点F在线段AC上时，同法可得．②根据三角形的面积求出D，E的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．【详解】解：（1）由题意A（﹣12，0），B（0，﹣9），把A，B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得到9144120cb c=-⎧⎨--+=⎩，解得：5149bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣514x﹣9．（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣514m﹣9），S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB＝12×9×（m+12）+12×12×（﹣m2﹣514m﹣9+9）﹣12×12×9＝﹣6m2﹣72m＝﹣6（m+6）2+216，∵﹣6＜0，∴m＝﹣6时，△ABM的面积最大，此时M（﹣6，31.5）．（3）①如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．∵EF 垂直平分线段BD ，∴FD ＝FB ，∵F （﹣12，﹣10），B （0，﹣9），∴102+（m+12）2＝122+12，∴m ＝﹣12﹣55∴D （﹣50）．当点F 在线段AC 上时，同法可得D （﹣3，0），综上所述，满足条件的点D 的坐标为（﹣50）或（﹣3，0）．故答案为（﹣50）或（﹣3，0）．②由①可知∵△EF 的面积为30，∴D （﹣3，0），E （0，﹣4），把D ，E 代入y ＝﹣x 2+b′x+c′，可得'493''0c b c =-⎧⎨--+=⎩，解得：13'3'4b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣133x ﹣4．故答案为：y ＝﹣x 2﹣133x ﹣4．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．10．在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果:3:2ABD BCDS S∆∆=，求tan∠DBC的值；（3）如果点E在该二次函数图像的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．【答案】（1）243y x x=-+-；（2）32；（3）E（2，73-）【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法，把A、B、C三点代入解析式，即可得到答案；（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，利用面积的比得到32ADDC=，然后求出DH和BH，即可得到答案；（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，先证明△OAB∽△OFA，求出点F的坐标，然后求出直线AF的方程，即可求出点E的坐标.【详解】解：（1）将A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入20y ax bx c a=++≠（）得，03,0934,300a ba bc=+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是：243y x x=-+-．（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，则11:():():3:222ABD BCD S S AD h DC h AD DC ∆∆=⋅⋅==，又∵DH//y 轴，∴25CH DC DH OC AC OA ===． ∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，∴△CDH 为等腰直角三角形，∴26355CH DH ==⨯=． ∴64255BH BC CH =-=-=． ∴tan ∠DBC=32DH BH =. （3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC -∠BAC=45°-∠BAC ，∠OFA=∠OCA -∠FAC=45°-∠FAC ，∵∠BAC=∠FAC ，∴∠OAB=∠OFA ．∴△OAB∽△OFA，∴13 OB OAOA OF==．∴OF=9，即F（9，0）；设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），可得093k bb=+⎧⎨-=⎩，解得133kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AF的解析式为：133y x=-，将x=2代入直线AF的解析式得：73y=-，∴E（2，73 -）.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.。

二次函数中考题型汇编(含答案)

5．（10 分）（2019•成都一模）某公司推出一款产品，成本价 10 元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价之间的几组对应值如表：
销售单价 x（元/千克）
14
18
22
26
日销售量 y（千克）
240
180
120
7．（11 分）（2019•葫芦岛模拟）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：
与x
轴、y 轴分别交于点 A 和点 B（0，﹣1），抛物线另一个交点为 C（4，n）．
经过点 B，且与直线 l 的
（1）求 n 的值和抛物线的解析式；（2）点 D 在抛物线上，且点D 的横坐标为 t（0＜t＜4）．DE∥y 轴交直线 l 于点 E，点 F 在直线 l 上，且四边形 DFEG 为矩形（如图 2）．若矩形DFEG 的周长为 p，求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值；（3）M 是平面内一点，将△AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转 9△0°后，得到 A1O1B1，点 A、O、B 的对应点分别是点 A1、O1、B1．若 A△1O1B1 的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点 A1 的横坐标． 8．（11 分）（2017•开封一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣x2+bx+c（a≠0）经过 A、B、C 三点，点 A、C 的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）点 P 是第一象限内抛物线上的一动点，当△ABP 的面积最大时，求出此时 P 的坐标及面积的最大值；（3）若 G 为抛物线上的一动点，F 为 x 轴上的一动点，点 D 坐标为（1，4），点 E 坐标为（1，0），当 D、E、F、G 构成平行四边形时，请直接写出点 G 的坐标．

中考数学真题分项汇编(四川专用)专题10 二次函数(解析版)

专题10二次函数一、选择题1．（2023·四川绵阳·统考中考真题）将二次函数2y x =的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y =2x +b 的图象有公共点，则实数b 的取值范围是（）A ．b ＞8B ．b ＞﹣8C ．b ≥8D ．b ≥﹣8【答案】D【分析】先根据平移原则：上加下减，左加右减写出解析式，再列方程组，有公共点则△≥0，则可求出b 的取值．【详解】解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：2=(3)1y x --，则2(3)12y x y x b⎧=--⎨=+⎩，2(3)12--=+x x b ，2880-+-=x x b ，△=（﹣8）2﹣4×1×（8﹣b ）≥0，b ≥﹣8，故选：D ．【点睛】主要考查的是二次函数图象的平移和两函数的交点问题，二次函数与一次函数图象有公共点．2．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的一个交点坐标为()1,0，对称轴为直线=1x -，下列四个结论：①<0abc ；②420a b c -+<；③30a c +=；④当31x -<<时，20ax bx c ++<；其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】根据二次函数开口向上，与y 轴交于y 轴负半轴，00a c ><，，根据对称轴为直线=1x -可得20b a =>，由此即可判断①；求出二次函数与x 轴的另一个交点坐标为()3,0-，进而得到当2x =-时，0y <，由此即可判断②；根据1x =时，0y =，即可判断③；利用图象法即可判断④．A．4个B【答案】B【分析】由抛物线的开口方向、与正确；由抛物线的对称轴为判断③正确；由图知x=A ．1个B ．【答案】B 【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与可.【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与图象与x 轴交于点(3,0A -10420a b c ∴-+=.5a ∴- 12b a-=-，2b a ∴=.当30a c ∴+=，3c a ∴=-，∴A ．1个B ．2【答案】C 【分析】开口方向，对称轴，与④即可．【详解】∵抛物线的开口向下，对称轴为直线0,0,0a b c <<<∴()11,A x y 和点()22,B x y 关于对称轴对称，∴abc B．A．<0【答案】C【分析】根据开口方向，与即可判断A；根据对称性可得当线开口向上，对称轴为直线【详解】解：∵抛物线开口向上，与A．抛物线的对称轴为直线C．A，B两点之间的距离为【答案】C【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵二次函数∴二次函数解析式为y故A，B选项不正确，不符合题意；a=>，抛物线开口向上，当∵10y=时，2x x+意；当0A ．()55，B ．246,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3224,5⎛ ⎝【答案】C 【分析】如图所示，过点C 作CD AB ⊥于D ，连接CP 三角形，即90C ∠=︒，进而利用等面积法求出24CD =【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键．11．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，二次函数A．①②【答案】C【分析】根据抛物线开口方向可得函数的对称性可得∴-【点睛】本题考查圆的的性质，二次函数图象的性质，19．（2022·四川广元·统考中考真题）二次函数1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：2，y1）、点B（﹣12，y2）、点C（72，为常数）．其中正确的结论有（）【详解】解：A 、根据抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y 轴的左侧可知0a >，该说法正确，故该选项不符合题意；B 、由抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）经过点（1，0）和点（0，－3）可知03a b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得3a b +=，该说法正确，故该选项不符合题意；C 、由抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）经过点（1，0），对称轴在y 轴的左侧，则抛物线不经过（－1，0），该说法错误，故该选项符合题意；D 、关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝－1根的情况，可以转化为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与直线1y =-的交点情况，根据抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）经过点（1，0）和点（0，－3），310-<-<，结合抛物线开口向上，且对称轴在y 轴的左侧可知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与直线1y =-的有两个不同的交点，该说法正确，故该选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及到开口方向的判定、二次函数系数之间的关系、方程的根与函数图像交点的关系等知识点，根据题中条件得到抛物线草图是解决问题的关键．21．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于()1,0A -，B 两点，对称轴是直线1x =，下列说法正确的是（）A ．0a >B ．当1x >-时，y 的值随x 值的增大而增大C ．点B 的坐标为()4,0D ．420a b c ++>【答案】D 【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．【详解】解：A 、根据图像可知抛物线开口向下，即a<0，故该选项不符合题意；B 、根据图像开口向下，对称轴为1x =，当1x >，y 随x 的增大而减小；当1x <，y 随x 的增大而增大，故当11x -<<时，y 随x 的增大而增大；当1x >，y 随x 的增大而减小，故该选项不符合题意；C 、根据二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于()1,0A -，B 两点，对称轴是直线1x =，可得对8A．4B．92∵P 与OB 、AB 均相切，∴△OBP 边OB 上的高为∵P （m ，-m +6）；∴△AOP 边OA 上的高为-m +6，∵AOB AOP APB BOP S S S S =++ ，∴1168622⨯⨯=⨯⨯2y ax =过点P ，∴5a =．故选D ．二、填空题①当31x -≤≤时，1y ≤；AOB 内存在唯一点P ，使得其中正确的结论是___________【答案】②③【分析】根据条件可求抛物线与∴12ABM AMF BMF S S S MF =+=⨯V V V 把()0,3B a -，()30A -,代入得：当=1x -是，2y a =-，∴(F -∵点B 是抛物线与y 轴的交点，∴当则'AOA ，'POP 为等边三角形，∴∵'AOA 为等边三角形，(A -当320,2B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭时，∵'2A B 骣琪=琪琪桫当()0,3B -时，2'232A B 骣骣琪琪琪=+琪琪琪琪桫桫【答案】149/519【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入x =4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过以上条件可设顶点式y =ax 2+2，把点A 点坐标（∴920a +=，∴29a =-，∴抛物线解析式为：当水面下降，水面宽为8米时，有把4x =代入解析式，得∴水面下降149米；故答案为：149；【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题【答案】8【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出时的解析式为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，【答案】17【分析】根据题意可知，当直线经过点（线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，可得出【详解】解：当直线经过点（1，12）时，当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）∴10+k=±12，解得k=2或k=-22（舍去），∴∴k的最大值与最小值的和为15+2=17．故答案为：【答案】1【分析】根据抛物线22y x x k =++与x 轴只有一个交点可知方程22x x k ++=0根的判别式△=0，解方程求出k 值即可得答案．【详解】∵抛物线22y x x k =++与x 轴只有一个交点，∴方程22x x k ++=0根的判别式△=0，即22-4k =0，解得：k =1，故答案为：1【点睛】本题考查二次函数与x 轴的交点问题，对于二次函数2y ax bx c =++（k≠0），当判别式△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点；当k=0时，抛物线与x 轴有一个交点；当x ＜0时，抛物线与x 轴没有交点；熟练掌握相关知识是解题关键．三、解答题支付专利费y 元，y （元）与每日产销x （件）满足关系式 2.800.01y x =+(1)若产销A ，B 两种产品的日利润分别为1w 元，2w 元，请分别写出1w ，2w 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)分别求出产销A ，B 两种产品的最大日利润．（A 产品的最大日利润用含m 的代数式表示）(3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润=（售价-成本）⨯产销数量-专利费】【答案】(1)()()18300500w m x x =--<≤，()220.018800300w x x x =-+-<≤(2)()15003970w m =-+最大元，1420w =2最大(3)当4 5.1m ≤<时，该工厂应该选择产销A 产品能获得最大日利润；当 5.1m =时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；当5.16m <≤时，该工厂应该选择产销B 产品能获得最大日利润，理由见解析【分析】（1）根据题木所给的利润计算公式求解即可；（2）根据（1）所求利用一次函数和二次函数的性质求解即可；（3）比较（2）中所求A 、B 两种产品的最大利润即可得到答案．【详解】（1）解：由题意得，()()18300500w m x x =--<≤，()()()2222012800.010.018800300w x x x x x =--+=-+-<≤（2）解：∵46m ≤≤，∴80m ->，∴1w 随x 增大而增大，∴当500x =时，1w 最大，最大为()()8500305003970m m -⨯-=-+元；()2220.018800.014001520w x x x =-+-=--+，∵0.010-<，∴当400x <时，2w 随x 增大而增大，∴当300x =时，2w 最大，最大为()20.0130040015201420-⨯-+=元；（3）解：当50039701420m -+>，即4 5.1m ≤<时，该工厂应该选择产销A 产品能获得最大日利润；(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点【答案】(1)223y x x =-++(2)PBC 的最大面积为278，32P ⎛ ⎝(3)存在，()4,17或()4,17-或()2,143-+，(2,143--+【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可；（2）利用待定系数法先确定直线BC 的解析式为3y x =-+作PD x ⊥轴于点D ，交BC 于点E ，得出23PE x x =-+，然后得出三角形面积的函数即可得出结果；（3）分两种情况进行分析：若BC 为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可．【详解】（1）解：将点()()()1,0,3,,00,3A B C -代入解析式得：0930a b c a b c -+=⎧⎪12a b =-⎧⎪∴(),3E x x -+，∴2PE x =-+∴(1122PBCS PE OB ∆=⨯⨯=⨯-∴当32x =时，PBC 的最大面积为（3）存在，()2,2N 或(4,17∵()()3,0,0,3B C ，∵抛物线的解析式为设点()()1,,M t N x y ，，若BC 则22BC CM =，即(2181t =+∵31003x t y +=+⎧⎨+=+⎩，∴4,x y t ==-【答案】(1)21262y x x =-++(2)①【分析】（1）根据抛物线对称轴为待定系数法求得c ，即可解答；（设CD a =，则()0,6D a -，求得即可求出CD 的长；②过,E F1322S S S += ，2AD EF ∴+=设21,262F h h h ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则AH ,EG AB FH AB ⊥⊥ ，EG ∴∥DI EG ⊥ ，90DIE ∴∠=︒，∴112333DI AB h ∴==+，即点D(1)求抛物线的表达式．(2)若直线值时，使得AN MN +有最大值，并求出最大值．一动点，将抛物线向左平移点M ，是否能与A 、P 、Q 【答案】(1)223y x x =-++(2)①当以AM 为对角线时，22Q P A M x x x x ++∴=，即-Q 在抛物线24y x =-+上AQ(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当:3:5BM MQ =时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线1l 下方的抛物线上一动点，连接PQ 、PO ，其中于点E ，设OQE 的面积为1S ，PQE 的面积为2S ．求21S S 的最大值．【答案】(1)214y x x =-(2)()6,3N (3)1【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2），过点M 作2MD x ⊥=，垂足为D 根据已知条件得出:BD CD =:3:5BM MQ =，进而列出方程，解方程，即可求解；1⎛⎫⎛设21,4M m m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则212,4D m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵MD QC ∥，∴:BD CD =:3:BM MQ =∵()2,2C -，∴()2210341524m m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=---，解得：∵其中点MQ 在抛物线对称轴的左侧．∴k b ⎧+⎪(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；(3)若该运动员在空中共飞行了4s【答案】(1)该运动员从跳出到着陆垂直下降了过点B 作BD y ⊥轴于点D ．在Rt OBD △中，sin 37OD AB =⋅︒=答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了（2）解：在Rt OBD △中，BD =【分析】（1）设每盒猪肉粽的进价为x 元，每盒豆沙粽的进价为y 元，根据猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元列出方程组，解出即可．（2）根据当50a =时，每天可售出100盒，每盒猪肉粽售价为a 元时，每天可售出猪肉粽()100250a --⎡⎤⎣⎦盒，列出二次函数关系式，再化成顶点式即可得解．【详解】（1）设每盒猪肉粽的进价为x 元，每盒豆沙粽的进价为y 元，由题意得：102100x y x y -=⎧⎨+=⎩解得：4030x y =⎧⎨=⎩∴每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元．（2）(40)[1002(50)]w a a =---22(70)1800a =--+．∴当70a =时，w 最大值为1800元．∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数关系式是解此题的关键．47．（2022·四川广元·统考中考真题）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？(2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？【答案】(1)科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．(2)社区至少要准备2700元购书款．【分析】（1）设科技类图书的单价为x 元，文学类图书的单价为y 元，然后根据题意可列出方程组进行求解；（2）设社区需要准备w 元购书款，购买科技类图书m 本，则文学类图书有（100-m ）本，由（1）及题意可分当3040m ≤<时，当4050m ≤≤时及当5060m <≤时，进而问题可分类求解即可．【详解】（1）解：设科技类图书的单价为x 元，文学类图书的单价为y 元，由题意得：2315445282x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：3826x y =⎧⎨=⎩；答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．（2）解：设社区需要准备w 元购书款，购买科技类图书m 本，则文学类图书有（100-m ）本，由（1）可得：①当3040m ≤<时，则有：()3826100122600w m m m =+-=+，∵12＞0，∴当m =30时，w 有最小值，即为36026002960w =+=；②当4050m ≤≤时，则有：()()2384026100522600w m m m m m =-++-=-++，∵-1＜0，对称轴为直线26m =，∴当4050m ≤≤时，w 随m 的增大而减小，∴当m =50时，w 有最小值，即为250525026002700w =-+⨯+=；③当5060m <≤时，此时科技类图书的单价为785028-=（元），则有()282610022600w m m m =+-=+，∵2＞0，∴当m =51时，w 有最小值，即为10226002702w =+=；综上所述：社区至少要准备2700元的购书款．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用、一次函数与二次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，注意分类讨论．48．（2021·四川雅安·统考中考真题）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现销售量y （瓶）与每瓶售价x （元）之间存在一次函数关系（其中1021x ≤≤，且x 为整数），当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶；（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w 元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大．【答案】（1）5150y x =-+；（2）当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大为500元．(1)求二次函数的表达式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点为t ，PAB 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(3)在二次函数图象上是否存在点M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点说明理由．【答案】(1)22y x x =-(2)2312S t t =-++(3)存在，(1,1)-N 或(3,3)【分析】（1）由二次函数的最小值为1-，点(1,)M m 是其对称轴上一点，得二次函数顶点为顶点式2(1)1y a x =--，将点(0,0)O 代入即可求出函数解析式；（2）连接OP ，根据AOB OAP OBP S S S S =+-△△△求出S 与t 的函数关系式；当0y =时，220x x -=，0x ∴=或点P 在抛物线22y x x =-上，∴AOB OAP OBP S S S S ∴=+-△△△12=⨯（3）设()2,2N n n n -，当AB 为对角线时，由中点坐标公式得，当AM 为对角线时，由中点坐标公式得，当AN 为对角线时，由中点坐标公式得，综上：(1,1)-N 或(3,3)或(1,3)-．。

(易错题精选)初中数学二次函数真题汇编附答案解析

（易错题精选）初中数学二次函数真题汇编附答案解析一、选择题1．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( )A ．a +c ＝0B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2C ．当函数在x ＜110时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a 【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可．【详解】解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2，∴a +c ＝0，b ＝﹣2，∴A 正确；∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2，∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ，∴△＝4+4a 2＞0，∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点，∵x 1+x 2＝2a，x 1x 2＝﹣1，∴|x 1﹣x 2|＝＞2， ∴B 正确；二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣2b a ＝1a ，当a ＞0时，不能判定x ＜110时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误；∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0，∴m +n ＜0，2a ＞0， ∴m +n ＜2a；∴D 正确，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．2．如图是函数223(04)y x x x =--≤≤的图象，直线//l x 轴且过点(0,)m ，将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是（）A ．m 1≥B ．0m ≤C ．01m ≤≤D ．m 1≥或0m ≤【答案】C【解析】【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M 的范围可知.【详解】解：如图1所示，当t 等于0时，∵2(1)4y x =--，∴顶点坐标为(1,4)-，当0x =时，3y =-，∴(0,3)A -，当4x =时，5y =，∴(4,5)C ，∴当0m =时， (4,5)D -，∴此时最大值为0，最小值为5-；如图2所示，当1m =时，此时最小值为4-，最大值为1．综上所述：01m ≤≤，故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m 的值为解题关键．3．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,0)和点(3,0)，有下列说法：①bc ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③2a ＋b ＝0；④4ac ＞b 2．其中错误的是( )A ．②④B ．①③④C ．①②④D ．②③④【答案】C【解析】【分析】利用抛物线开口方向得到0a >，利用对称轴在y 轴的右侧得到0b <，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到0c <，则可对A 进行判断；利用当1x =时，0y <可对B 进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线12b x a=-=，则可对C 进行判断；根据抛物线与x 轴的交点个数对D 进行判断．【详解】解：Q 抛物线开口向上， 0a ∴>，Q 对称轴在y 轴的右侧，a ∴和b 异号，0b ∴<，Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，0c ∴<，0bc ∴>，所以①错误；Q 当1x =时，0y <，0a b c ∴++<，所以②错误；Q 抛物线经过点(1,0)-和点(3,0)，∴抛物线的对称轴为直线1x =，即12b a-=， 20a b ∴+=，所以③正确； Q 抛物线与x 轴有2个交点，∴△240b ac =->，即24ac b <，所以④错误．综上所述：③正确；①②④错误．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置（左同右异）．常数项c 决定抛物线与y 轴交点(0,)c ．抛物线与x 轴交点个数由△决定．4．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数b y x=在同平面直角坐标系中的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【详解】∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下，∴a ＜0，∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点，∴c=0，∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧，∴a，b同号，∴b＜0，∴一次函数y=ax+c，图象经过第二、四象限，反比例函数y=bx图象分布在第二、四象限，故选D．【点睛】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．5．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（）A．当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（13，83）B．当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3 2C．当m≠0时，函数图象经过同一个点D．当m<0时，函数在x>14时，y随x的增大而减小【答案】D【解析】分析：A、把m=-3代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；B、令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；D、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．详解：因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；A、当m=﹣3时，y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣13）2+83，顶点坐标是（13，83）；此结论正确；B、当m＞0时，令y=0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=0，解得：x1=1，x2=﹣12﹣12m，|x2﹣x1|=32+12m＞32，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32，此结论正确；C、当x=1时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）=0 即对任意m ，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确．D 、当m ＜0时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=14m m-，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小．因为当m ＜0时，11114444m m m -=->，即对称轴在x=14右边，因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．故选D ．点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．6．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（）A ．0＜t ＜5B ．﹣4≤t ＜5C ．﹣4≤t ＜0D ．t ≥﹣4【答案】B【解析】【分析】先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解；【详解】解：∵对称轴为直线x ＝2，∴b ＝﹣4，∴y ＝x 2﹣4x ，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4，∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5，∴﹣4≤t ＜5；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．7．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④【答案】D【解析】【分析】根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确.③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确.故答案选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。

初三数学09 二次函数-2024年中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)

专题09 二次函数一．选择题1．（2022·陕西）已知二次函数223y x x =--的自变量123,,x x x 对应的函数值分别为1y ，2y ，3y ．当110x -<<，212x <<，33x >时，1y ，2y ，3y 三者之间的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．312y y y <<D ．213y y y <<【答案】D【分析】先将抛物线配成顶点式，求出对称轴为1x =，再求出抛物线与x 轴的两个交点坐标为(1,0)-和(3,0)，根据开口向上即可判断．【详解】解：抛物线2223(1)4y x x x =--=--，∴对称轴1x =，顶点坐标为(1,4)-，当0y =时，2(1)40--=x ，解得1x =-或3x =，∴抛物线与x 轴的两个交点坐标为：(1,0)-，(3,0)，∴当110x -<<，212x <<，33x >时，213y y y <<，故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．2．（2022·山东潍坊）抛物线y =x 2+x +c 与x 轴只有一个公共点，则c 的值为（）A ．14-B ．14C ．4-D ．4【答案】B【分析】根据抛物线与x 轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c 的值．【详解】解：∵y =x 2+x +c 与x 轴只有一个公共点，∴x 2+x +c =0有两个相等的实数根，∴△=1-4c =0，解得：c =14．故选：B ．【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键．3．（2022·湖南郴州）关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（）A ．函数图象的开口向下B ．函数图象的顶点坐标是()1,5-C ．该函数有最大值，是大值是5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大【答案】D 【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．【详解】解：对于y =（x -1）2+5，∵a =1>0，故抛物线开口向上，故A 错误；顶点坐标为（1，5），故B 错误；该函数有最小值，是小值是5，故C 错误；当1x >时，y 随x 的增大而增大，故D 正确，故选：D ．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．4．（2022·山东青岛）已知二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下，对称轴为直线1x =-，且经过点(30)-，，则下列结论正确的是（）A ．0b >B ．0c <C ．0a b c ++>D ．30a c +=【答案】D【分析】图象开口向下，得a <0，对称轴为直线12b x a=-=-，得b =2a ，则b <0，图象经过(30)-，，根据对称性可知，图象经过点(1)0，，故c >0，当x =1时，a +b +c =0，将b =2a 代入，可知3a +c =0．【详解】解：∵图象开口向下，∴a <0，∵对称轴为直线12b x a=-=-，∴b =2a ，∴b <0，故A 不符合题意；根据对称性可知，图象经过(30)-，，∴图象经过点(1)0，，∴c >0，故B 不符合题意；当x =1时，a +b +c =0，故C 不符合题意；将将b =2a 代入，可知3a +c =0，故D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，对称轴及对称性，与坐标轴的交点，熟练地掌握二次函数的图象特征是解决问题的关键．5．（2022·黑龙江哈尔滨）抛物线22(9)3y x =+-的顶点坐标是（）A ．(9,3)-B ．(9,3)--C ．(9,3)D ．(9,3)-【答案】B【分析】根据二次函数的顶点式2()y a x h k =-+可得顶点坐标为(,)h k 即可得到结果．【详解】∵二次函数解析式为22(9)3y x =+- ，∴顶点坐标为(9,3)--；故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．6．（2022·浙江湖州）把抛物线y=x 2向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是( )A ．y=2x -3B ．y=2x +3C ．y=2(3)x +D ．y=2(3)x -【答案】B【分析】根据二次函数图像平移规律：上加下减，可得到平移后的函数解析式.【详解】∵抛物线y=x 2向上平移3个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：y=x 2+3.故答案为：B.【点睛】本题考查二次函数的平移，熟记平移规律是解题的关键.7．（2022·湖北武汉）二次函数()2y x m n =++的图象如图所示，则一次函数y mx n =+的图象经过（）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【答案】D 【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出m ＜0，n ＜0，即可得出一次函数y =mx +n 的图象经过二、三、四象限．【详解】解：∵抛物线的顶点（-m ，n ）在第四象限，∴-m ＞0，n ＜0，∴m ＜0，∴一次函数y =mx +n 的图象经过二、三、四象限，故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n 、m 的符号．8．（2022·广西玉林）小嘉说：将二次函数2y x =的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法：①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度 ④沿x 轴翻折，再向上平移4个单位长度你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．【详解】解：①将二次函数2y x =向右平移2个单位长度得到：()22y x =-，把点(2,0)代入得：()2220y =-=，所以该平移方式符合题意；②将二次函数2y x =向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：()211y x =--，把点(2,0)代入得：()22110y =--=，所以该平移方式符合题意；③将二次函数2y x =向下平移4个单位长度得到：24y x =-，把点(2,0)代入得：2240y =-=，所以该平移方式符合题意；④将二次函数2y x =沿x 轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：24y x =-+，把点(2,0)代入得：2240y =-+=，所以该平移方式符合题意；综上所述：正确的个数为4个；故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．9．（2022·湖南岳阳）已知二次函数2243y mx m x =--（m 为常数，0m ≠），点(),p p P x y 是该函数图象上一点，当04p x ≤≤时，3p y ≤-，则m 的取值范围是（）A ．m 1≥或0m D ．1m ≤-【答案】A 【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与y 轴的交点坐标，再分两种情况：0m >或0m <，根据二次函数的性质求得m 的不同取值范围便可．【详解】解：∵二次函数2243y mx m x =--，∴对称轴为2x m =，抛物线与y 轴的交点为()0,3-，∵点(),p p P x y 是该函数图象上一点，当04p x ≤≤时，3p y ≤-，∴①当0m >时，对称轴20x m =>，此时，当4x =时，3y ≤-，即2244433m m ⋅-⋅-≤-，解得m 1≥；②当0m <时，对称轴20x m =<，当04x ≤≤时，y 随x 增大而减小，则当04p x ≤≤时，3p y ≤-恒成立；综上，m 的取值范围是：m 1≥或0m <．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．10．（2022·四川宜宾）已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点()2,0A -、()4,0B ，若以AB 为直径的圆与在x 轴下方的抛物线有交点，则a 的取值范围是（）A ．13a ≥B ．13a >C ．103a <<D ．103a <≤【答案】A【分析】根据题意，设抛物线的解析式为()()24y a x x =+-，进而求得顶点的的坐标，结合图形可知当顶点纵坐标小于或等于-3满足题意，即可求解．【详解】解：抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点()2,0A -、()4,0B ，设抛物线的解析式为()()24y a x x =+-()222819y ax ax a a x a ∴=--=--顶点坐标为()1,9a -，6AB = ,以AB 为直径的圆与在x 轴下方的抛物线有交点，则圆的半径为3，如图，93a ∴-≤-解得13a ≥故选：A【点睛】本题考查了圆的的性质，二次函数图象的性质，求得抛物线的顶点纵坐标的范围是解题的关键．11．（2022·山东威海）如图，二次函数y ＝ax 2+bx （a ≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是( )A ．b ＞0B ．a +b ＞0C ．x ＝2是关于x 的方程ax 2+bx ＝0（a ≠0）的一个根D ．点（x 1，y 1），（x 2，y 2）在二次函数的图像上，当x 1＞x 2＞2时，y 2＜y 1＜0【答案】D【分析】根据二次函数的图像和性质作出判断即可．【详解】解：根据图像知，当1x =时，0y a b =+>，故B 选项结论正确，不符合题意，0a < ，0b ∴>，故A 选项结论正确，不符合题意；由题可知二次函数对称轴为12b x a=-=，2b a ∴=-，20a b a a a ∴+=-=->，故B 选项结论正确，不符合题意；根据图像可知2x =是关于x 的方程()200++=≠ax bx c a 的一个根，故C 选项结论正确，不符合题意，若点()11,x y ，()22,x y 在二次函数的图像上，当122x x >>时，120y y <<，故D 选项结论不正确，符合题意，故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．12．（2022·广西）已知反比例函数(0)b y b x=≠的图象如图所示，则一次函数()0y cx a c =-≠和二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先由反比例函数图象得出b >0，再分当a >0，a <0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．【详解】解：∵反比例函数(0)b y b x =≠的图象在第一和第三象限内，∴b >0，若a <0，则-2b a >0，所以二次函数开口向下，对称轴在y 轴右侧，故A 、B 、C 、D 选项全不符合；当a >0，则-2b a<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y 轴左侧，故只有C 、D 两选项可能符合题意，由C 、D 两选图象知，c <0，又∵a >0，则-a <0，当c <0,a >0时，一次函数y =cx -a 图象经过第二、第三、第四象限，故只有D 选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数图象、一次函数图象、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．13．（2022·山东潍坊）如图，在▱ABCD 中，∠A =60°，AB =2，AD =1，点E ，F 在▱ABCD 的边上，从点A 同时出发，分别沿A →B →C 和A →D →C 的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C 时停止，线段EF 扫过区域的面积记为y ，运动时间记为x ，能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分0≤x ≤1，1<x <2，2≤x ≤3三种情况讨论，利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：当0≤x ≤1时，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，∵∠A=60°，AE=AF=x，x，∴AG=12由勾股定理得FG，AE×FG2，图象是一段开口向上的抛物线；∴y=12当1<x<2时，过点D作DH⊥AB于点H，∵∠DAH=60°，AE=x，AD=1，DF= x-1，∴AH=1，2由勾股定理得DH(DF+AE)×DH∴y=12当2≤x≤3时，过点E作EI⊥CD于点I，∵∠C=∠DAB=60°，CE=CF=3-x，同理求得EI x)，CF×EI x)22，图象是一段开口向下的抛物线；∴y= AB×DH -12观察四个选项，只有选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了利用分类讨论的思想求动点问题的函数图象；也考查了平行四边形的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式以及一次函数和二次函数的图象．14．（2022·辽宁）如图，在Rt ABC 中，90,24ABC AB BC ∠=︒==，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB 匀速运动，当点P 运动到点B 时，停止运动，过点P 作PQ AB ⊥交AC 于点Q ，将APQ 沿直线PQ 折叠得到A PQ ' ，设动点P 的运动时间为t 秒，A PQ ' 与ABC 重叠部分的面积为S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由题意易得AP t =，1tan 2A ∠=，则有12PQ t =，进而可分当点P 在AB 中点的左侧时和在AB 中点的右侧时，然后分类求解即可．【详解】解：∵90,24ABC AB BC ∠=︒==，∴1tan 2A ∠=，由题意知：AP t =，∴1tan 2PQ AP A t =⋅∠=，由折叠的性质可得：,90A P AP APQ A PQ ''=∠=∠=︒，当点P 与AB 中点重合时，则有2t =，当点P 在AB 中点的左侧时，即02t ≤<，∴A PQ ' 与ABC 重叠部分的面积为211112224A PQ S A P PQ t t t ''=⋅=⋅= ；当点P 在AB 中点的右侧时，即24t ≤≤，如图所示：由折叠性质可得：,90A P AP t APQ A PQ ''==∠=∠=︒，1tan tan 2A A '∠=∠=，∴4BP t =-，∴24A B t '=-，∴tan 2BD A B A t ''=⋅∠=-，∴A PQ ' 与ABC 重叠部分的面积为()()2111324442224PBDQ S BD PQ PB t t t t t ⎛⎫=+⋅=+-⋅-=-+- ⎪⎝⎭梯形；综上所述：能反映A PQ ' 与ABC 重叠部分的面积S 与t 之间函数关系的图象只有D 选项；故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函数是解题的关键．15．（2022·贵州铜仁）如图，若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若OAC OCB ∠=∠．则ac 的值为（）A ．1-B ．2-C ．12-D ．13-【答案】A 【分析】观察图象，先设11(,0)(<0)A x x ，22(,0)(>0)B x x ，(0,)C c (>0)c ，根据已知条件OAC OCB ∠=∠及OC AB ⊥证明OAC OCB ∽△△，得出21212x x c x x ⋅==-⋅，利用根与系数的关系知12c x x a ⋅=，最后得出答案．【详解】设11(,0)(<0)A x x ，22(,0)(>0)B x x ，(0,)C c (>0)c ，∵二次函数2y ax bx c =++的图象过点(0,)C c ，∴OC c =，∵OAC OCB ∠=∠，OC AB ⊥，∴OAC OCB ∽△△，∴OA OC OC OB=，∴2OC OA OB =⋅，即21212x x c x x ⋅==-⋅，令20ax bx c ++=，根据根与系数的关系知12c x x a ⋅=，∴212c x x c a -=-=，故1ac =- 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠与关于方程20ax bx c ++=(0)a ≠之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．16．（2022·黑龙江牡丹江）若二次函数2y ax =的图象经过点P （－2，4），则该图象必经过点（）A ．（2，4）B ．（－2，－4）C ．（－4，2）D ．（4，－2）【答案】A【详解】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P （－2，4）代入2y ax =，得()2421a a =-⇒=，∴二次函数解析式为2y x =．∴所给四点中，只有（2，4）满足2y x =．故选A ．17．（2022·内蒙古通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数()211y x =-+的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）A ．()221y x =--B ．()223y x =-+ C ．21y x =+ D ．21y x =-【答案】D【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将二次函数()211y x =-+的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为()2211121y x x =-++-=-故选D ．【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．18．（2022·四川遂宁）如图，D 、E 、F 分别是ABC 三边上的点，其中8BC =，BC 边上的高为6，且DE //BC ，则DEF 面积的最大值为（）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】A 【分析】过点A 作AM ⊥BC 于M ，交DE 于点N ，则AN ⊥DE ，设AN a =，根据∥DE BC ，证明ADE ABC ，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到43DE a =，列出DEF 面积的函数表达式，根据配方法求最值即可．【详解】如图，过点A 作AM ⊥BC 于M ，交DE 于点N ，则AN ⊥DE ，设AN a =，DE BC ∥，,ADE B AED C ∴∠=∠∠=∠，ADE ABC ∴ ，DE AN BC AM ∴=，86DE a ∴=，∴43DE a =,2211422(6)4(3)622333DEF S DE MN a a a a a ∴=⋅⋅=⨯⨯-=-+=--+ ，∴当3a =时，S 有最大值，最大值为6，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值，熟练掌握知识点是解题的关键．19．（2022·四川自贡）已知A(−3，−2)，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥−2；②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a=12．其中正确的是（）A．①③B．②③C．①④D．①③④【答案】D【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，可判断①；根据二次函数的增减性判断②；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断④．【详解】解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ，∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；令y=0，则ax2+bx+c=0，设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1x2=ca，∴CD2=( x1-x2) 2=( x1+x2) 2-4x1x22224 ()4b c b aca a a-=--⨯=，根据顶点坐标公式，2424ac ba-=-，∴248ac ba-=-，即248b aca-=，∵四边形ACDB为平行四边形，∴CD=AB=1-（-3)=4，∴8a=42=16，解得a=12，故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选：D ．．【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y 轴上的情况．20．（2022·江苏泰州）已知点()()()1233,,1,,1,y y y --在下列某一函数图像上，且312y y y <<那么这个函数是( )A ．3y x=B ．23y x =C ．3y x =D ．3y x=-【答案】D【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y 1、y 2、y 3的值，比较大小即可得出答案．【详解】解：A ．把点()()()1233,,1,,1,y y y --代入y =3x ，解得y 1=-9，y 2=-3，y 3=3，所以y 1<y 2<y 3，这与已知条件312y y y <<不符，故选项错误，不符合题意；B ．把点()()()1233,,1,,1,y y y --代入y =3x 2，解得y 1=27，y 2=3，y 3=3，所以y 1>y 2=y 3，这与已知条件312y y y <<不符，故选项错误，不符合题意；C ．把点()()()1233,,1,,1,y y y --代入y =3x ，解得y 1=-1，y 2=-3，y 3=3，所以y 2<y 1<y 3，这与已知条件312y y y <<不符，故选项错误，不符合题意；D ．把点()()()1233,,1,,1,y y y --代入y =-3x ，解得y 1=1，y 2=3，y 3=-3，所以312y y y <<，这与已知条件312y y y <<相符，故选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数，解题的关键是掌握函数值的大小变化和函数的性质．21．（2022·广西贺州）已知二次函数y =2x 2−4x −1在0≤x ≤a 时，y 取得的最大值为15，则a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y =15时，x 的值，再根据二次函数的性质得出答案．【详解】解：∵二次函数y =2x 2-4x -1=2（x -1）2-3，∴抛物线的对称轴为x =1，顶点（1，-3），∵1>0，开口向上，∴在对称轴x =1的右侧，y 随x 的增大而增大，∵当0≤x ≤a 时，即在对称轴右侧，y 取得最大值为15，∴当x =a 时，y =15，∴2（a -1）2-3=15，解得：a =4或a =-2（舍去），故a 的值为4．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．22．（2022·内蒙古包头）已知实数a ，b 满足1b a -=，则代数式2267a b a +-+的最小值等于（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A【分析】由已知得b =a +1，代入代数式即得a 2-4a +9变形为(a -2)2+5，再根据二次函数性质求解．【详解】解：∵b -a =1，∴b =a +1，∴a 2+2b -6a +7=a 2+2(a +1)-6a +7=a 2-4a +9=(a -2)2+5，∵(a -2)2≥0，∴当a =2时，代数式a 2+2b -6a +7有最小值，最小值为5，故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成(a -2)2+5是解题的关键．23．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象与y 轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为1x =-，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①2b a =；②32a -<<-；③24<0ac b -；④若关于x 的一元二次方程24ax bx c m ++=- (0)a ≠有两个不相等的实数根，则m >4；⑤当x <0时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】根据二次函数图象与性质逐个结论进行分析判断即可．【详解】解：∵二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的对称轴为1x =-，∴1,2b x a=-=- ∴2,b a =故①正确；∵函数图象开口向下，对称轴为1x =-，函数最大值为4，∴函数的顶点坐标为（-1，4）当x =-1时，4-+=a b c∴24a a c -+=∴4c a =+，∵二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象与y 轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，∴1<c <2∴1<4+a <2∴32a -<<-，故②正确；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ->∴24<0ac b -，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为（-1，4）且方程24ax bx c m ++=-有两个不相等的实数根，∴044m <-<∴48m <<，故④错误；由图象可得，当x >-1时，y 随x 的增大而减小，故⑤错误．所以，正确的结论是①②③，共3个，故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．24．（2022·湖北鄂州）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）的图像顶点为P （1，m ），经过点A （2，1）；有以下结论：①a <0；②abc ＞0；③4a +2b+c ＝1；④x >1时，y 随x 的增大而减小；⑤对于任意实数t ，总有at 2+bt ≤a +b ，其中正确的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定a 、b 、c 的正负即可解答；③将点A 的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则a ＜0，故①正确；②∵抛物线的顶点为P （1，m ）∴12b a-=，b =-2a ∵a ＜0∴b ＞0∵抛物线与y 轴的交点在正半轴∴c ＞0∴abc ＜0，故②错误；③∵抛物线经过点A （2，1）∴1＝a ·22+2b +c ，即4a +2b +c ＝1，故③正确；④∵抛物线的顶点为P （1，m ），且开口方向向下∴x >1时，y 随x 的增大而减小，即④正确；⑤∵a ＜0∴at 2+bt -（a +b ）= at 2-2at -a +2a = at 2-2at +a =a （t 2-2t +1）= a （t -1）2≤0∴at 2+bt ≤a +b ，则⑤正确综上，正确的共有4个．故答案为C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．25．（2022·四川雅安）抛物线的函数表达式为y ＝（x ﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（）①当x ＝2时，y 取得最小值﹣9；②若点（3，y 1），（4，y 2）在其图象上，则y 2＞y 1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y ＝（x ﹣5）2﹣5；④函数图象与x 轴有两个交点，且两交点的距离为6．A ．②③④B ．①②④C ．①③D ．①②③④【答案】B【分析】由二次函数的开口向上，函数有最小值，可判断①，由二次函数的增减性可判断②，由二次函数图象的平移可判断③，由二次函数与x 轴的交点坐标可判断④，从而可得答案．【详解】解： y ＝（x ﹣2）2﹣9，图象的开口向上，∴当x ＝2时，y 取得最小值﹣9；故①符合题意；y ＝（x ﹣2）2﹣9的对称轴为2x =，而3242,-<- 21,y y ∴> 故②符合题意；将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y ＝（x +1）2﹣5，故③不符合题意；当0y =时，则()2290,x --= 解得：125,1,x x ==- 而()516,--= 故④符合题意；故选B【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与x 轴的交点问题，掌握“二次函数的图象与性质”是解本题的关键．二．填空题26．（2022·辽宁营口）如图1，在四边形ABCD 中，,90,45BC AD D A ∠=︒∠=︒∥，动点P ，Q 同时从点A 出发，点P /s 的速度沿AB 向点B 运动（运动到B 点即停止），点Q 以2cm /s 的速度沿折线AD DC →向终点C 运动，设点Q 的运动时间为(s)x ，APQ 的面积为()2cm y ，若y 与x 之间的函数关系的图像如图2所示，当7(s)2x =时，则y =____________2cm ．【答案】354【分析】根据题意以及函数图像可得出AED APQ ∽，则点Q 在AD 上运动时，APQ 为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式得出当面积最大为9时，此时3x =，则26cm AD x ==，当34x <≤时，过点P 作PF AD ⊥于点F ，则此时APQ APF ADQ PQDF S S S S =+- 四边形，分别表示出相关线段可得y 与x 之间的函数解析式，将7(s)2x =代入解析式求解即可．【详解】解：过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，在Rt ADE △中，∵90AED ∠=︒，45EAD ∠=︒，∴AE AD =，∵点P /s ，点Q 的速度为2cm /s ，∴,2AP AQ x =，∴AP AQ 在APQ 和AED 中，∵AE AP AD AQ =45A ∠=︒，∴AED APQ ∽，∴点Q 在AD 上运动时，APQ 为等腰直角三角形，∴AP PQ ==，∴当点Q 在AD 上运动时，21122y AP AQ x =⋅==，由图像可知，当9y =此时面积最大，3x =或3-（负值舍去），∴26cm AD x ==，当34x <≤时，过点P 作PF AD ⊥于点F ，如图：此时APQ APF ADQ PQDF S S S S =+- 四边形，在Rt APQ 中，AP =，45A ∠=︒，∴AF PF x ==，6FD x =-，26QD x =-，∴2111(26)(6)6(26)222APQ S x x x x x =++-⋅--⨯⨯- ，即26y x x =-+，所以当7(s)2x =时，227735(6(cm )224y =-+⨯=，故答案为：354．【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，求出各段函数的函数关系式是解答本题的关键．27．（2022·江苏无锡）把二次函数y =x 2+4x +m 的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m 应满足条件：________．【答案】m >3【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m -4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m -3），根据题意得到不等式m -3>0，据此即可求解．【详解】解：∵y =x 2+4x +m =(x +2)2+m -4，此时抛物线的顶点坐标为（-2，m -4），函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m -4+1），即（1，m -3），∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∴m -3>0，解得：m >3，故答案为：m >3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．28．（2022·福建）已知抛物线22y x x n =+-与x 轴交于A ，B 两点，抛物线22y x x n =--与x 轴交于C ，D 两点，其中n ＞0，若AD ＝2BC ，则n 的值为______．【答案】8【分析】先求出抛物线22y x x n =+-与x 轴的交点，抛物线22y x x n =--与x 轴的交点，然后根据2AD BC =，得出224AD BC =，列出关于n 的方程，解方程即可。

2024年中考数学真题汇编专题14 二次函数的图象与性质+答案详解

2024年中考数学真题汇编专题14 二次函数的图象与性质+答案详解（试题部分）一、单选题1．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线22y x x =+向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（） A ．()213y x =+− B ．()=+−2y x 12C ．()213y x =−−D ．()212y x =−−2．（2024·广东广州·中考真题）函数21y ax bx c =++与2ky x=的图象如图所示，当（）时，1y ，2y 均随着x 的增大而减小．A ．1x <−B ．10x −<<C ．02x <<D ．1x >3．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线()2213y x c =−+经过()()1235202y y y ⎛⎫− ⎪⎝⎭，，，，，三点，则123y y y ，，的大小关系正确的是（） A ．123y y y >>B ．231y y y >>C ．312y y y >>D ．132y y y >>4．（2024·四川达州·中考真题）抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（） A ．1b c +>B ．2b =C ．240b c +<D ．0c <5．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数()2231y ax a x a =+−+−（x 是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a 的取值范围为（） A ．918a ≤时，y 的值随x 的值增大而增大C ．图象经过第二、三、四象限D ．图象的对称轴是直线1x =7．（2024·湖北·中考真题）抛物线2y ax bx c =++的顶点为()1,2−−，抛物线与y 轴的交点位于x 轴上方．以下结论正确的是（） A ．0a >B ．213y y y >>C ．132y y y >>D ．312y y y >>9．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数24y x n =−+，二次函数2(1)3y x n x =+−−，反比例函数1n y x+=在同一直角坐标系中图象如图所示，则n 的取值范围是（）A ．1n >−B ．2n >C ．11n −<<D ．12n <<10．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）的对称轴为直线=1x −，且该抛物线与x 轴交于点()1,0A ，与y 轴的交点B 在()0,2−，()0,3−之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（）①0abc >； ②930a b c −+≥；③213a <<； ④若方程21ax bx c x +=++两根为(),m n m n <，则31m n −<<<．A ．1B ．2C ．3D ．411．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a<0）的顶点为(1,2)．小烨同学得出以下结论：①0abc <；②当1x >时，y 随x 的增大而减小；③若20ax bx c ++=的一个根为3，则12a =−；④抛物线22y ax =+是由抛物线2y ax bx c =++向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④12．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）的图象与x 轴交于点3,02A ⎛⎫− ⎪⎝⎭，对称轴是直线12x =−，有以下结论：①0abc <；②若点()11,y −和点()22,y 都在抛物线上，则12y y <；③21142am bm a b +≤−（m 为任意实数）；④340a c +=．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交于点B ，对称轴为直线1x =，下列四个结论：①0bc <；②320a c +<；③2ax bx a b +≥+；④若21c −<<−，则8433a b c −<++<−，其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．414．（2024·福建·中考真题）已知二次函数()220y x ax a a =−+≠的图象经过1,2a A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()23,B a y 两点，则下列判断正确的是（）A ．可以找到一个实数a ，使得1y a >B ．无论实数a 取什么值，都有1y a >C ．可以找到一个实数a ，使得20y <D ．无论实数a 取什么值，都有20y <15．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++的部分图象与x 轴的一个交点的横坐标是3−，顶点坐标为()1,4−，则下列说法正确的是（）A ．二次函数图象的对称轴是直线1x =B ．二次函数图象与x 轴的另一个交点的横坐标是2C ．当1x <−时，y 随x 的增大而减小D ．二次函数图象与y 轴的交点的纵坐标是316．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数()2211y x x x t =−−≤≤−，当=1x −时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值，则t 的取值范围是（）A ．02t <≤B ．04t <≤C ．24t ≤≤D ．2t ≥17．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线=1x −，则下列结论中： ①0bc> ②2am bm a b +≤−（m 为任意实数） ③31a c +< ④若()1,M x y 、()2,N x y 是抛物线上不同的两个点，则123x x +≤−．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++过点()0,2C −与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，且110x −<<，223x <<，则下列结论：①<0a b c −+；②方程220ax bx c +++=有两个不相等的实数根； ③0a b +>； ④23a >； ⑤2244b ac a −>．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个19．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B两点，()()3,0,1,0A B −，与y 轴交点C 的纵坐标在3−～2−之间，根据图象判断以下结论：①20abc >；②423b <<；③若221122ax bx ax bx −=−且12x x ≠，则122x x +=−；④直线56y cx c =−+与抛物线2y ax bx c =++的一个交点(,)(0)m n m ≠，则12m =．其中正确的结论是（）A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①②③④20．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形ABCD 的顶点A ，C 在抛物线24y x =−+上，点D 在y 轴上．若A C ，两点的横坐标分别为m n ，（0m n >>），下列结论正确的是（）A ．1m n +=B ．1m n −=C ．1mn =D ．1m n= 21．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线()20y ax bx c a =++<的图象交x 轴于点()3,0A −、()1,0B ，交y 轴于点C ．以下结论：①0a b c ++=；②320a b c ++<；③当以点A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，c =3c =时，在AOC 内有一动点P ，若2OP =，则23CP AP +．其中正确结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数()220y ax bx a =++≠的图象与x 轴交于()1,0−，1(,0)x ，其中123x <<．结合图象给出下列结论：①0ab >；②2a b −=−；③当1x >时，y 随x 的增大而减小；④关于x 的一元二次方程()2200ax bx a ++=≠的另一个根是2a−；⑤b 的取值范围为413b <<．其中正确结论的个数是（） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题23．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数221y x x =−+的图象向左平移两个单位得到抛物线C ，点()12,P y ，()23,Q y 在抛物线C 上，则1y 2y （填“＞”或“＜”）；24．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线2y x x c =−+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是．25．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线23y ax bx =++向下平移5个单位长度后，经过点()24,−，则637a b −−= ．26．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 是二次函数241y x x =−+−图象上三点．若101x <<，24x >，则1y 2y （填“>”或“<”）；若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，323m x m +<<+，存在132y y y <<，则m 的取值范围是．27．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数2()y a x m k =−+（0a ≠）中存在一点(),P x y ''，使得0x m y k '−='−≠，则称2x m '−为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线211323y x x =−++“开口大小”为．28．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1−，(),1m 两点，且01m <<．下列四个结论： ①0b >；②若01x <<，则()()2111a x b x c −+−+>；③若1a =−，则关于x 的一元二次方程 22ax bx c ++=无实数解；④点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若1212x x +>−，12x x >，总有12y y <，则102m <≤．其中正确的是（填写序号）．29．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,3n ⎛⎫− ⎪⎝⎭，与x 轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①0abc >；②520b c +<；③若抛物线经过点()()126,,5,y y −，则12y y >；④若关于x 的一元二次方程24ax bx c ++=无实数根，则4n <．其中正确结论是（请填写序号）．30．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程29ax bx c ++=有两个相等的实数根；③当41x −<<时，y 的取值范围为<<0y 5；④若点()1,m y ，()22,m y −−均在二次函数图象上，则12y y =；⑤满足()212ax b x c +++<的x 的取值范围是<2x −或3x >．其中正确结论的序号为．三、解答题31．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数2y x bx c =−++的图像与x 轴交于(2,0)A −，(1,0)B 两点．(1)求b c 、的值；(2)若点P 在该二次函数的图像上，且PAB 的面积为6，求点P 的坐标．32．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线2y x bx =−+（b 为常数）的顶点横坐标比抛物线22y x x =−+的顶点横坐标大1． (1)求b 的值；(2)点()11,A x y 在抛物线22y x x =−+上，点()11,B x t y h ++在抛物线2y x bx =−+上．（ⅰ）若3h t =，且10x ≥，0t >，求h 的值；（ⅱ）若11x t =−，求h 的最大值．33．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2220=−≠y ax a x a .(1)当1a =时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知()11,M x y 和()22,N x y 是抛物线上的两点.若对于13x a =，234x ≤≤，都有12y y <，求a 的取值范围. 34．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数2y x bx c =++（b ，c 为常数）的图象经过点(2,5)A −，对称轴为直线12x =−．(1)求二次函数的表达式；(2)若点(1,7)B 向上平移2个单位长度，向左平移m （0m >）个单位长度后，恰好落在2y x bx c =++的图象上，求m 的值；(3)当2x n −≤≤时，二次函数2y x bx c =++的最大值与最小值的差为94，求n 的取值范围．35．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x 的二次函数223y x ax a =++−的最值问题展开探究．【经典回顾】二次函数求最值的方法．（1）老师给出4a =−，求二次函数223y x ax a =++−的最小值． ①请你写出对应的函数解析式；②求当x 取何值时，函数y y 值；【举一反三】老师给出更多a 的值，同学们即求出对应的函数在x 取何值时，y 的最小值．记录结果，并整理成下表：注：*为②的计算结果．【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a 值后，我们只要取x a =−，就能得到y 的最小值．”乙同学：“我发现，y 的最小值随a 值的变化而变化，当a 由小变大时，y 的最小值先增大后减小，所以我猜想y 的最小值中存在最大值．”（2）请结合函数解析式223y x ax a =++−，解释甲同学的说法是否合理？（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．36．（2024·云南·中考真题）已知抛物线21y x bx =+−的对称轴是直线32x =．设m 是抛物线21y x bx =+−与x 轴交点的横坐标，记533109m M −=．(1)求b 的值；(2)比较M 37．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线L ：()2230y ax ax a a =−−>与x轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），其顶点为C ，D 是抛物线第四象限上一点．(1)求线段AB 的长；(2)当1a =时，若ACD 的面积与ABD △的面积相等，求tan ABD ∠的值；(3)延长CD 交x 轴于点E ，当AD DE =时，将ADB 沿DE 方向平移得到A EB ''．将抛物线L 平移得到抛物线L '，使得点A '，B '都落在抛物线L '上．试判断抛物线L '与L 是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．38．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()2,3P −在二次函数()230y ax bx a =+−>的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线x m =． (1)求m 的值；(2)若点(),4Q m −在23y ax bx =+−的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当04x ≤≤时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；(3)设23y ax bx =+−的图像与x 轴交点为()1,0x ，()()212,0x x x <．若2146x x <−<，求a 的取值范围． 39．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线222y ax ax a =−+（a 为常数且0a >）与y 轴交于点A ．(1)若1a=，求抛物线的顶点坐标；(2)若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；=交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，(3)若抛物线与直线y x求a的取值范围．2024年中考数学真题汇编专题14 二次函数的图象与性质+答案详解（答案详解）一、单选题1．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线22y x x =+向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（） A ．()213y x =+− B ．()=+−2y x 12C ．()213y x =−−D ．()212y x =−− 【答案】A【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为222y x x =+−，再把222y x x =+−化为顶点式即可．【详解】解：抛物线22y x x =+向下平移2个单位后，则抛物线变为222y x x =+−，∴222y x x =+−化成顶点式则为 ()213y x =+−，故选：A ．2．（2024·广东广州·中考真题）函数21y ax bx c =++与2k y x=的图象如图所示，当（）时，1y ，2y 均随着x 的增大而减小．A ．1x <−B ．10x −<<C ．02x <<D ．1x >【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当1x >时，1y 随着x 的增大而减小；2y 位于在一、三象限内，且2y 均随着x 的增大而减小，据此即可得到答案．【详解】解：由函数图象可知，当1x >时，1y 随着x 的增大而减小；2y 位于一、三象限内，且在每一象限内2y 均随着x 的增大而减小，∴当1x >时，1y ，2y 均随着x 的增大而减小，故选：D ．3．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线()2213y x c =−+经过()()1235202y y y ⎛⎫− ⎪⎝⎭，，，，，三点，则123y y y ，，的大小关系正确的是（）A ．123y y y >>B ．231y y y >>C ．312y y y >>D ．132y y y >>4．（2024·四川达州·中考真题）抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（）A ．1b c +>B ．2b =C ．240b c +<D ．0c <【答案】A【分析】本题考查了二次函数的性质，设抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于两点，横坐标分别为1212,,x x x x <，依题意，121,1x x <>，根据题意抛物线开口向下，当1x =时，0y >，即可判断A 选项，根据对称轴即可判断B 选项，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．判断C 选项，无条件判断D 选项，据此，即可求解．【详解】解：依题意，设抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于两点，横坐标分别为1212,,x x x x <依题意，121,1x x <>∵10a =−<，抛物线开口向下，∴当1x =时，0y >，即10b c −++>5．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数()2231y ax a x a =+−+−（x 是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a 的取值范围为（）A ．918a ≤时，y 的值随x 的值增大而增大C ．图象经过第二、三、四象限D ．图象的对称轴是直线1x =7．（2024·湖北·中考真题）抛物线2y ax bx c =++的顶点为1,2−−，抛物线与轴的交点位于x 轴上方．以下结论正确的是（）A ．0a ，0c >，∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=−>，∵抛物线2y ax bx c =++的顶点为()1,2−−，∴2a b c −+=−，观察四个选项，选项C 符合题意，故选：C ．8．（2024·广东·中考真题）若点()()()1230,,1,,2,y y y 都在二次函数2y x =的图象上，则（）A ．321y y y >>B ．213y y y >>C ．132y y y >>D ．312y y y >> 【答案】A【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y 轴（直线0x =），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，再比较即可．【详解】解∶ 二次函数2y x =的对称轴为y 轴，开口向上， ∴当0x >时， y 随x 的增大而增大，∵点()()()1230,,1,,2,y y y 都在二次函数2y x =的图象上，且012<<， ∴321y y y >>，故选∶A ．9．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数24y x n =−+，二次函数2(1)3y x n x =+−−，反比例函数1n y x+=在同一直角坐标系中图象如图所示，则n 的取值范围是（）A ．1n >−B ．2n >C ．11n −<<D ．12n <<【答案】C10．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）的对称轴为直线=1x −，且该抛物线与x 轴交于点()1,0A ，与y 轴的交点B 在()0,2−，()0,3−之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（）①0abc >；②930a b c −+≥；③213a <<； ④若方程21ax bx c x +=++两根为(),m n m n <，则31m n −<<<．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得0a >，20b a =>，32c −<<−，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为()3,0−，即可判断②错误；将c 和b 用a 表示，即可得到332a −<−<−，即可判断③正确；结合抛物线2y ax bx c =++和直线1y x =+与x 轴得交点，即可判断④正确．【详解】解：由图可知0a >，11．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a<0）的顶点为(1,2)．小烨同学得出以下结论：①0abc <；②当1x >时，y 随x 的增大而减小；③若20ax bx c ++=的一个根为3，则12a =−；④抛物线22y ax =+是由抛物线2y ax bx c =++向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【答案】B0a <，02b ∴−<即a bc ++2c a ∴=−c ∴的值可正也可负，a<2,b a =−∴抛物线为09a =−12a ∴=−，故③正确；抛物线12．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）的图象与x 轴交于点3,02A ⎛⎫− ⎪⎝⎭，对称轴是直线12x =−，有以下结论：①0abc <；②若点()11,y −和点()22,y 都在抛物线上，则12y y <；③21142am bm a b +≤−（m 为任意实数）；④340a c +=．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 <02b a−，<0b ∴.>0abc ∴.故①错误；对称轴是直线而(1−−−−故选：B.【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点.13．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交于点B ，对称轴为直线1x =，下列四个结论：①0bc <；②320a c +<；③2ax bx a b +≥+；④若21c −<<−，则8433a b c −<++<−，其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4【详解】解：①函数图象开口方向向上，对称轴在②二次函数2b a =−，1x ∴=−时，a b c ∴−+3a c ∴+=③对称轴为直线④2c −<<∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得3c a =−，23a ∴−<−<−1233a <<，2b a =−，a bc ∴++83a ∴−<+故④正确；综上所述，正确的有②③④，14．（2024·福建·中考真题）已知二次函数()220y x ax a a =−+≠的图象经过1,2a A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()23,B a y 两点，则下列判断正确的是（）A ．可以找到一个实数a ，使得1y a >B ．无论实数a 取什么值，都有1y a >C ．可以找到一个实数a ，使得20y <D ．无论实数a 取什么值，都有20y <【详解】解：二次函数解析式为当15．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++的部分图象与x 轴的一个交点的横坐标是3−，顶点坐标为()1,4−，则下列说法正确的是（）A ．二次函数图象的对称轴是直线1x =B ．二次函数图象与x 轴的另一个交点的横坐标是2C ．当1x <−时，y 随x 的增大而减小D ．二次函数图象与y 轴的交点的纵坐标是3 【答案】D【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A 、B 、C ，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y 轴的交点坐标即可判定选项D ．【详解】解∶ ∵二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标为()1,4−， ∴二次函数图象的对称轴是直线=1x −，故选项A 错误；∵二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的一个交点的横坐标是3−，对称轴是直线=1x −， ∴二次函数图象与x 轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B 错误； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线=1x −，∴当1x <−时，y 随x 的增大而增大，故选项C 错误；设二次函数解析式为()214y a x =++，把()3,0−代入，得()20314a =−++，解得1a =−， ∴()214y x =−++，当0x =时，()20143y =−++=，∴二次函数图象与y 轴的交点的纵坐标是3，故选项D 正确，故选D ．16．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数()2211y x x x t =−−≤≤−，当=1x −时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值，则t 的取值范围是（）A ．02t <≤B ．04t <≤C ．24t ≤≤D ．2t ≥【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由()22211y x x x =−=−−，可知图象开口向上，对称轴为直线1x =，顶点坐标为()11−，，当=1x −时，3y =，即()13−，关于对称轴对称的点坐标为()33，，由当=1x −时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值，可得113t ≤−≤，计算求解，然后作答即可．【详解】解：∵()22211y x x x =−=−−，∴图象开口向上，对称轴为直线1x =，顶点坐标为()11−，，当=1x −时，3y =，∴()13−，关于对称轴对称的点坐标为()33，， ∵当=1x −时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值， ∴113t ≤−≤，解得，24t ≤≤，故选：C ．17．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线=1x −，则下列结论中： ①0bc> ②2am bm a b +≤−（m 为任意实数） ③31a c +< ④若()1,M x y 、()2,N x y 是抛物线上不同的两个点，则123x x +≤−．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++过点()0,2C −与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，且110x −<<，223x <<，则下列结论：①<0a b c −+；②方程220ax bx c +++=有两个不相等的实数根； ③0a b +>； ④23a >； ⑤2244b ac a −>．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【详解】解：①抛物线开口向上，∴2244b ac a −>，故⑤符合题意；故选：C ．19．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B两点，()()3,0,1,0A B −，与y 轴交点C 的纵坐标在3−～2−之间，根据图象判断以下结论：①20abc >；②423b <<；③若221122ax bx ax bx −=−且12x x ≠，则122x x +=−；④直线56y cx c =−+与抛物线2y ax bx c =++的一个交点(,)(0)m n m ≠，则12m =．其中正确的结论是（）A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①②③④20．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形ABCD 的顶点A ，C 在抛物线24y x =−+上，点D 在y 轴上．若A C ，两点的横坐标分别为m n ，（0m n >>），下列结论正确的是（）A ．1m n +=B ．1m n −=C ．1mn =D ．1mn= 先证明(AAS)ANB DMA ≌2)4n +．(2m n E +，4b +−，AM m =，四边形AC ∴、BD 互相平分，AB =90BAN DAM ∴∠+∠=︒，DAM ∠BAN ADM ∴∠=∠．90BNA AMD ∠=∠=︒，BA (AAS)ANB DMA ∴≌．AM NB ∴=，DMAN =．点A 、C 的横坐标分别为24(,)A m m ∴+−，(C (m n E +∴，2m n −−点21．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线()20y ax bx c a =++<的图象交x 轴于点()3,0A −、()1,0B ，交y 轴于点C ．以下结论：①0a b c ++=；②320a b c ++<；③当以点A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，c =3c =时，在AOC 内有一动点P ，若2OP =，则23CP AP +．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3⎝⎭∴42323 OHOP==，∵23 OPOA=，∴OH OP OP OA=，又∵HOP POA∠=∠，Rt OCH 中，由勾股定理得∴正确的有3个，故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．22．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数()220y ax bx a =++≠的图象与x 轴交于()1,0−，1(,0)x ，其中123x <<．结合图象给出下列结论：①0ab >；②2a b −=−；③当1x >时，y 随x 的增大而减小；④关于x 的一元二次方程()2200ax bx a ++=≠的另一个根是2a−；⑤b 的取值范围为413b <<．其中正确结论的个数是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5该函数图象与该图象中，当2b a =+∴关于x 的一元二次方程b x −±=0a <，(1a x −∴=∴④正确；123x <<解得1−<a b −=−1b ∴−<−413b ∴<<∴⑤正确．综上，②③④⑤正确，共二、填空题23．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数221y x x =−+的图象向左平移两个单位得到抛物线C ，点()12,P y ，()23,Q y 在抛物线C 上，则1y 2y （填“＞”或“＜”）；【答案】<【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线C 的解析式为()21y x =+，再利用二次函数图象的性质可得出答案．【详解】解：()22211y x x x =−+=−，∵二次函数221y x x =−+的图象向左平移两个单位得到抛物线C ， ∴抛物线C 的解析式为()21y x =+， ∴抛物线开口向上，对称轴为=1x −， ∴当1x >−时，y 随x 的增大而增大， ∵23<， ∴12y y <，故答案为：<．24．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线2y x x c =−+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是．25．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线23y ax bx =++向下平移5个单位长度后，经过点()24,−，则637a b −−= ．【答案】2【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到23a b −=，再整体代入变形后代数式即可．【详解】解：抛物线23y ax bx =++向下平移5个单位长度后得到22352y ax bx ax bx =++−=+−，把点()24,−代入得到，()24222a b =⨯−−−，得到23a b −=，∴()6373273372a b a b −−=−−=⨯−=，故答案为：226．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 是二次函数241y x x =−+−图象上三点．若101x <<，24x >，则1y 2y （填“>”或“<”）；若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，323m x m +<<+，存在132y y y <<，则m 的取值范围是．27．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数2()y a x m k =−+（0a ≠）中存在一点(),P x y ''，使得0x m y k '−='−≠，则称2x m '−为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线211323y x x =−++“开口大小”为．y 28．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1−，(),1m 两点，且01m <<．下列四个结论： ①0b >；②若01x <<，则()()2111a x b x c −+−+>；③若1a =−，则关于x 的一元二次方程 22ax bx c ++=无实数解；④点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若1212x x +>−，12x x >，总有12y y <，则102m <≤．其中正确的是（填写序号）．29．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,3n ⎛⎫− ⎪⎝⎭，与x 轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①0abc >；②520b c +<；③若抛物线经过点()()126,,5,y y −，则12y y >；④若关于x 的一元二次方程24ax bx c ++=无实数根，则4n <．其中正确结论是（请填写序号）．30．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程29ax bx c ++=有两个相等的实数根；③当41x −<<时，y 的取值范围为<<0y 5；④若点()1,m y ，()22,m y −−均在二次函数图象上，则12y y =；⑤满足()212ax b x c +++<的x 的取值范围是<2x −或3x >．其中正确结论的序号为．【答案】①②④由2228y x y x x =−+⎧⎨=−−+⎩，解得1120x y =⎧⎨=⎩，2235x y =−⎧⎨=⎩， ∴()2,0A ，()3,5B −，由图形可得，当3x <−或2x >时，2282x x x −−+<−+，即()212ax b x c +++<，故⑤错误；综上，正确的结论为①②④，故答案为：①②④．三、解答题31．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数2y x bx c =−++的图像与x 轴交于(2,0)A −，(1,0)B 两点．(1)求b c 、的值；(2)若点P 在该二次函数的图像上，且PAB 的面积为6，求点P 的坐标．【答案】(1)12b c =−=，(2)122434()()P P −−−，，，【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是1PABS=4n =，4n =±，32．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线2y x bx =−+（b 为常数）的顶点横坐标比抛物线22y x x =−+的顶点横坐标大1． (1)求b 的值；(2)点()11,A x y 在抛物线22y x x =−+上，点()11,B x t y h ++在抛物线2y x bx =−+上．（ⅰ）若3h t =，且10x ≥，0t >，求h 的值；（ⅱ）若11x t =−，求h 的最大值．【答案】(1)4b =33．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2220=−≠y ax a x a .(1)当1a =时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知()11,M x y 和()22,N x y 是抛物线上的两点.若对于13x a =，234x ≤≤，都有12y y <，求a 的取值范围.综上，当01a <<或4a <−，都有12y y <．34．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数2y x bx c =++（b ，c 为常数）的图象经过点(2,5)A −，对称轴为直线12x =−．(1)求二次函数的表达式；(2)若点(1,7)B 向上平移2个单位长度，向左平移m （0m >）个单位长度后，恰好落在2y x bx c =++的图象上，求m 的值；(3)当2x n −≤≤时，二次函数2y x bx c =++的最大值与最小值的差为94，求n 的取值范围．35．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x 的二次函数223y x ax a =++−的最值问题展开探究．【经典回顾】二次函数求最值的方法．（1）老师给出4a =−，求二次函数223y x ax a =++−的最小值． ①请你写出对应的函数解析式；②求当x 取何值时，函数y 有最小值，并写出此时的y 值；【举一反三】老师给出更多a 的值，同学们即求出对应的函数在x 取何值时，y 的最小值．记录结果，并整理成下表：注：*为②的计算结果．【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a 值后，我们只要取x a =−，就能得到y 的最小值．”乙同学：“我发现，y 的最小值随a 值的变化而变化，当a 由小变大时，y 的最小值先增大后减小，所以我猜想y 的最小值中存在最大值．”（2）请结合函数解析式223y x ax a =++−，解释甲同学的说法是否合理？（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．36．（2024·云南·中考真题）已知抛物线21y x bx =+−的对称轴是直线32x =．设m 是抛物线21y x bx =+−与x 轴交点的横坐标，记533109m M −=．(1)求b 的值；(2)比较M。

上海市南中学数学二次函数中考真题汇编[解析版]

上海市南中学数学二次函数中考真题汇编[解析版]一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A，C，连接CD．（1）求抛物线和直线AC的解析式：（2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x2x3=-++；3y x=-+；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）【解析】【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论；（2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论；（3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论．【详解】解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得93010b cb c-++=⎧⎨--+=⎩，∴23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，∴点C的坐标是（0，3），把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得11303k bb+=⎧⎨=⎩，∴113kb=-⎧⎨=⎩∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；（2）如图，连接BC，∵点D是抛物线与x轴的交点，∴AD＝BD，∴S△ABC＝2S△ACD，∵S△ACP＝2S△ACD，∴S△ACP＝S△ABC，此时，点P与点B重合，即：P（﹣1，0），过B点作PB∥AC交抛物线于点P，则直线BP的解析式为y＝﹣x﹣1①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②，联立①②解得，1xy=-⎧⎨=⎩或45xy=⎧⎨=-⎩，∴P（4，﹣5），∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）如图，①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q'，由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，∴Q'坐标为（1，2），∵Q'D＝AD＝BD＝2，∴∠Q'AB＝∠Q'BA＝45°，∴∠AQ'B＝90°，∴点Q'为所求，②当点Q在x轴下方时，设点Q（1，m），过点A1'作A1'E⊥DQ于E，∴∠A1'EQ＝∠QDA＝90°，∴∠DAQ+∠AQD＝90°，由旋转知，AQ＝A1'Q，∠AQA1'＝90°，∴∠AQD+∠A1'QE＝90°，∴∠DAQ＝∠A1'QE，∴△ADQ≌△QEA1'（AAS），∴AD ＝QE ＝2，DQ ＝A 1'E ＝﹣m ，∴点A 1'的坐标为（﹣m +1，m ﹣2），代入y ＝﹣x 2+2x +3中，解得，m ＝﹣3或m ＝2（舍），∴Q 的坐标为（1，﹣3），∴点Q 的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，三角形“k ”字型全等，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．2．如图1，抛物线21:C y x b =+交y 轴于()0,1A ．（1）直接写出抛物线1C 的解析式______________．（2）如图1，x 轴上两动点,M N 满足：m n X X n -==．若,B C （B 在C 左侧）为线段MN 上的两个动点，且满足：B 点和C 点关于直线:1l x =对称．过B 作BB x '⊥轴交1C 于B '，过C 作CC x '⊥轴交1C 于C '，连接B C ''．求B C ''的最大值（用含n 的代数式表示）．（3）如图2，将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C ．2C 对称轴左侧的抛物线上有一点M ，其横坐标为m ．以OM 为直径作K ，记⊙K 的最高点为Q ．若Q 在直线2y x =-上，求m 的值．【答案】（1）21y x =+；（2）1|n -；（3）14m =-或12m =- 【解析】【分析】（1）将()0,1A 带入抛物线1C 解析式，求得b 的值，即可得到抛物线1C 的解析式；（2）设(),0B q ，则()2,0C q -，求()2B C ''并进行化简，由1n q -≤<且12,q n <-得21n q -<，则当()2max B C ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，取min 2q q n ==-，带入()2B C ''，即可求得()max B C ''；（3）依题意将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C ，求得2C 解析式，根据解析式特点设21,8M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得到222218OM m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由圆的特性易求得，⊙K 的最高点点Q 坐标为：2111,2228m OM m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设Q y k =，则2111228k OM m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，化简得到22211084k m k m ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，由Q 点在2y x =-上，得2Q k x m =-=-，继而得到231048m m -+=，解得14m =-或12m =-．【详解】解：（1）将()0,1A 带入抛物线21:C y x b =+，得b=1，则21:1C y x =+，（2）设(),0B q ，则()2,0C q -，∴()22222(2)(2)B C q q q q ''⎡⎤=--+--⎣⎦ 2204020q q =-+()2201q =-，∵1n q -≤<且12,q n <-21n q -<∴，∴()2max B C ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，min 2q q n ==-，即()22220(21)20(1)B C n n ''=--=-，∴()max 1|B C n ''=-，（3）根据题意，将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C ， ∴221:8C y x =+， ∴21,8M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴222218OM m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴由圆的特性易求得，⊙K 的最高点点Q 坐标为：2111,2228m OM m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设Q y k =，则2111228k OM m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴222111428OM k m ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，化简上式得：22211084k m k m ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， ∵Q 点在2y x =-上，则2Q k x m =-=-，∴k m =-为上述方程的一个解， ∴分析可知1()04k m k m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 21148m m m -=+∴， ∴231048m m -+=，解得：114m =-，212m =-（经检验114m =-，212m =-是方程231048m m -+=的解），故14m =-或12m =-．【点睛】本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识．解题关键是熟练掌握二次函数的性质，充分利用数形结合的思想．3．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩. （1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值；（2）已知二次函数2142y x x =-+-. ①当点3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值；②当33x -≤≤时，求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭、9,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.【答案】（1）1；（2）①22- ；②max 432y =，min 12y =-；（3）31n -<≤-，514n <≤【解析】【分析】（1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可；②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，然后可此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-12，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围．【详解】解：（1）根据题意，一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)5,(0)ax x y ax x -≥⎧=⎨-+<⎩， ∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则(5)510a -⨯-+=，∴1a =；（2）根据题意，二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214,(0)214,(0)2x x x y x x x ⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩， ①当m ＜0时，将B （m ，32）代入y=x 2-4x+12得m 2-4m+1322=，解得：m=2当m≥0时，将B （m ，32）代入y=-x 2+4x-12得：-m 2+4m-12=32，解得：或m=2．综上所述：m=2-或m=2+或m=2-②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小， ∴当3x =-时，有最大值，即2143(3)4(3)22y =--⨯-+=， ∴此时y 的最大值为432．当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为12-，当x=2时，有最大值，最大值y=72．综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-的相关函数的最大值为432，最小值为12-；（3）如图1所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有1个公共点．∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，∴-n=1，解得：n=-1．∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），∴n=1．如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x 2-4x-n 经过点M （12-，1）， ∴14+2-n=1，解得：n=54． ∴1＜n≤54时，线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n 的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤54．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键．4．如图，已知抛物2(0)y ax bx c a =++≠经过点,A B ，与y 轴负半轴交于点C ，且OC OB =，其中B 点坐标为(3,0)，对称轴l 为直线12x =． (1)求抛物线的解析式； (2) 在x 轴上方有一点P ，连接PA 后满足PAB CAB ∠=∠，记PBC ∆的面积为S ，求当10.5S =时点P 的坐标(3)在(2)的条件下，当点P 恰好落在抛物线上时，将直线BC 上下平移，平移后的10.5S =时点P 的坐标；直线y x t =+与抛物线交于,C B ''两点(C '在B '的左侧)，若以点,,C B P ''为顶点的三角形是直角三角形，求出t 的值．【答案】（1）211322y x x =--（2）(2,6)（3）19或32 【解析】【分析】（1）确定点A 的坐标，再进行待定系数法即可得出结论；（2）确定直线AP 的解析式，用m 表示点P 的坐标，由面积关系求S 和m 的函数关系式即可求解；（3）先确定点P 的坐标，当'''90B PC ∠=，利用根与系数的关系确定'''B C 的中点E 的坐标，利用''2B C PE =建立方程求解，当''''90PC B ∠=时，确定点G 的坐标，进而求出直线''C G 的解析式，得出点''C 的坐标即可得出结论．【详解】（1）∵OC OB =，且B 点坐标为(3,0)，∴C 点坐标为(0,3)-．设抛物线解析式为21()2y a x k =-+．将B 、C 两点坐标代入得2504134a k a k ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，解得12258a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． ∴抛物线解析式为22112511()-322822y x x x =-=--．（2）如图1，设AP 与y 轴交于点'C ．∵PAB CAB ∠=∠，OA OA =，90AOC AOC ∠'=∠=︒，∴AOC ∆≌AOC ∆'，∴3OC OC ='=，∴(0,3)C '．∵对称轴l 为直线12x =，∴(2,0)A-，∴直线AP 解析式为332y x =+， ∵(3,0)B ，(0,-3)C ，∴直线BC 解析式为-3y x =，∴313(3)622PF x x x =+--=+， ∴13924PBC S OB PF x ∆=⨯⨯=+， ∵10.5S =，∴3910.54x +=， ∴2x =．此时P 点的坐标为(2,6)．（3）如图2，由211-322332y x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得6,12P （），当90C PB ∠=''︒时，取''B C 的中点E ，连接PE ．则2B C PE ''=,即224B C PE =''．设1122(,),(,)B x y C x y ''．由211-322y x x y x t⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得23(26)0x x t --+=， ∴12123,(26)x x x x t +==-+，∴点33(,)22E t +，222221212121212()()2()2()41666B C x x y y x x x x x x t ⎡⎤=-+-=-+-=+⎣=⎦''，222233261(6)(1221222PE t t t =-+-=-+）， ∴226116664(21)2t t t +=-+，解得：19t =或6（舍去），当90PC B ''''∠=︒时，延长C P ''交BC 于H ，交x 轴于G ．则90,45BHG PGO ∠=︒∠=︒，过点P 作PG x ⊥轴于点Q ，则12GQ PQ ==，∴(18,0)G ，∴直线C G ''的解析式为18y x =-+，由211-322-18y x x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得725x y =-⎧⎨=⎩或612x y =⎧⎨=⎩（舍去）， ∴(7,25)C '-'，将(7,25)C '-'代入y x t =+中得32t =．综上所述，t 的值为19或32．【点睛】本题主要考查了待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算方法、根与系数的关系、直角三角形的性质，属于二次函数综合题．5．如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．点A 坐标的为3,0，点C 的坐标为()0,3．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作i 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求AEM △的面积；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若=22FG DQ ，求点F 的坐标．【答案】（Ⅰ）223y x x =--+；（Ⅱ）12；（Ⅲ）()4,5F --或()1,0 【解析】【分析】（Ⅰ）将点A ，点C 坐标代入解析式可求解；（Ⅱ）设M （x ，0），P （x ，-x 2-2x+3），利用对称性可求点Q （-2-x ，-x 2-2x+3），可求MP=-x 2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x ，则可用x 表示矩形PMNQ 的周长，由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时，点P 的坐标，即可求点E ，点M 的坐标，由三角形面积公式可求解；（Ⅲ）先求出点D 坐标，即可求2FG=4，设F （m ，-m 2-2m+3），则G （m ，m+3），用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解．【详解】解:（Ⅰ）依题意()()2330{3b c c --+⨯-+== 解得2{3b c =-= 所以223y x x =--+（Ⅱ）2223(1)4y x x x抛物线的对称轴是直线1x =-(,0)M x ，()2,23P x x x --+，其中31x -<<-∵P 、Q 关于直线1x =-对称设Q 的横坐标为a则()11a x --=--∴2a x =--∴()22,23Q x x x ----+∴223MP x x =--+，222PQ x x x =---=--∴周长()222222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++当2x =-时，d 取最大值，此时，(2,0)M -∴2(3)1AM =---=设直线AC 的解析式为y kx b =+ 则303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩∴设直线AC 的解析式为3yx 将2x =-代入3yx ，得1y = ∴(2,1)E -，∴1EM = ∴11111222AEM S AM ME ∆=⋅=⨯⨯= （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形PMNQ 的周长最大时，2x =-此时点()0,3Q ，与点C 重合，∴3OQ =∵2223(1)4y x x x∴()1,4D -过D 作DK y ⊥轴于K ，则1DK =，4OK =∴431OK OK OQ =-=-=∴DKQ 是等腰直角三角形，2DQ =∴224FG DQ ==设()2,23F m m m --+，则(,3)G m m + ()223233FG m m m m m =+---+=+∴234m m +=，解得14m =-，21m =当4m =-时，2235m m --+=-当1m =时，2230m m --+=．∴()4,5F --或()1,0【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等，利用参数表示线段的长度是本题的关键．6．如图①抛物线y ＝ax 2+bx +4（a ≠0）与x 轴，y 轴分别交于点A （﹣1，0），B （4，0），点C 三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D （3，m ）在第一象限的抛物线上，连接BC ，BD ．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P ，满足∠PBC ＝∠DBC ？如果存在，请求出点P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，当以M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）存在．P（﹣34，1916）．（3）1539(,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M【解析】【分析】（1）将A,B,C三点代入y＝ax2+bx+4求出a,b,c值，即可确定表达式；（2）在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，构建△DCB≌△GCB，求直线BG的解析式，再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点，（3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论.【详解】解：如图：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．∴4016440a ba b-+=⎧⎨++=⎩解得13ab=-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）存在．理由如下：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣32）2+254．∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4）∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．连接CD，∴CD∥x轴，∴∠DCB＝∠OBC＝45°，∴∠DCB＝∠OCB，在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，∴△DCB≌△GCB（SAS）∴∠DBC＝∠GBC．设直线BP解析式为y BP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得k＝﹣14，b＝1，∴BP解析式为y BP＝﹣14x+1．y BP＝﹣14x+1，y＝﹣x2+3x+4当y＝y BP时，﹣14x+1＝﹣x2+3x+4，解得x1＝﹣34，x2＝4（舍去），∴y＝1916，∴P（﹣34，1916）．（3）1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M理由如下，如图B(4，0),C(0，4) ，抛物线对称轴为直线32x=，设N(32，n)，M(m, ﹣m2+3m+4)第一种情况：当MN与BC为对边关系时，MN∥BC,MN=BC,∴4-32=0-m，∴m=52-∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴1539 (,)24M--；或∴0-32=4-m，∴m=11 2∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴21139 (,) 24M-；第二种情况：当MN与BC为对角线关系，MN与BC交点为K,则K(2,2)，∴322 2m∴m=52 ∴﹣m 2+3m+4=214 ∴3521(,)24M 综上所述，当以M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，点M 的坐标为1539(,)24M -- 21139(,)24M - 3521(,)24M .【点睛】本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方程思想及分类讨论思想是解答此题的关键.7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于．（直接写出答案）【答案】（1）2113442y x x =--+；（2）点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125．【解析】【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解；（2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可；（3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+，即可求解．【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式并解得：14a =-，故函数的表达式为：2113442y x x =--+…①，则点C （0，32）；（2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=35，①∠MAN=∠ABD 时，（Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时，直线AD 所在直线的k 值为34，则直线AM 表达式中的k 值为34-，则直线AM 的表达式为：3(2)4y x =--，故点M （0，32）， AD AB AM AN =，则AN=54，则点N （34，0）；（Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，同理可得：点N （-3，0），点M （0，32），故点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）； ②∠MAN=∠BDA 时，（Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时， ∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12， AM ：y=12-（x-2），则点M （-1，32）、点N （-3，0）；（Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，AD BD AM AN =，即3535AN =，解得：AN=94，故点N （14-，0）、M （-1，32）；故：点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；综上，点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）如图所示，连接PH ，由题意得：tan ∠PQH=43，则cos ∠PQH=35，则直线AD 的表达式为：y=3342x -，设点P （x ，2113442x x --+），则点Q （x ，3342x -），则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++， ∵3020-<，故QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125．【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．8．定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为（x ，y ），当x ＜0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣x ，y ）；当x≥0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣y ，x ）．（1）若点A （2，1）的变换点A′在反比例函数y=k x的图象上，则k= ；（2）若点B （2，4）和它的变换点B'在直线y=ax+b 上，则这条直线对应的函数关系式为，∠BOB′的大小是度．（3）点P 在抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的图象上，以线段PP′为对角线作正方形PMP'N ，设点P 的横坐标为m ，当正方形PMP′N 的对角线垂直于x 轴时，求m 的取值范围．（4）抛物线y=（x ﹣2）2+n 与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D 是菱形，求n 的值．【答案】(1) －2；(2) y=13x+103，90；(3) m ＜0，或；(4) n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3．【解析】【分析】（1）先求出A 的变换点A ′，然后把A ′代入反比例函数即可得到结论；（2）确定点B ′的坐标，把问题转化为方程组解决；（3）分三种情形讨论：①当m ＜0时；②当m ≥0，PP '⊥x 轴时；③当m ≥0，MN ⊥x 轴时．（4）利用菱形的性质，得到点E 与点P '关于x 轴对称，从而得到点P '的坐标为（2，﹣n ）．分两种情况讨论：①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ），代入抛物线解析式，求解即可；②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入抛物线解析式，求解即可．【详解】（1）∵A （2，1）的变换点为A ′（－1，2），把A ′（－1，2）代入y =k x中，得到k =－2．故答案为：－2．（2）点B （2，4）的变换点B ′（﹣4，2），把（2，4），（﹣4，2）代入y =ax +b 中．得到：2442a b a b +=⎧⎨-+=⎩，解得：13103a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11033y x =+． ∵OB 2=2224+=20，OB ′2=2224+=20，BB ′2=22(42)(24)--+-=40，∴OB 2+OB ′2=BB ′2，∴∠BOB ′=90°．故答案为：y =13x +103，90．（3）①当m ＜0时，点P 与点P '关于y 轴对称，此时MN 垂直于x 轴，所以m ＜0． ②当m ≥0，PP '⊥x 轴时，则点P '的坐标为（m ，m ），点P 的坐标为（m ，﹣m ）．将点P （m ，﹣m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：﹣m =m 2﹣2m ﹣3．解得：121122m m ==（不合题意，舍去）．所以m = ③当m ≥0，MN ⊥x 轴时，则PP '∥x 轴，点P 的坐标为（m ，m ）．将点P （m ，m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：m =m 2﹣2m ﹣3．解得：12m m ==所以32m +=．综上所述：m 的取值范围是m ＜0，m=12+或m=32．（4）∵四边形ECP 'D 是菱形，∴点E 与点P '关于x 轴对称．∵点E 的坐标为（2，n ），∴点P '的坐标为（2，﹣n ）．①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ）．代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣n =（﹣2﹣2）2+n ，解得：n =﹣8．②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣2=（﹣n ﹣2）2+n ．解得：n 1=﹣2，n 2=﹣3．综上所述：n 的值是n =﹣8，n =﹣2，n =﹣3．【点睛】本题是二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、变换点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．9．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边AO在x轴的负半轴上，边OB在y轴的负半轴上．且AO＝12，OB＝9．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线的表达式；（2）在第二象限的抛物线上找一点M，连接AM，BM，AB，当△ABM面积最大时，求点M的坐标；（3）点D是线段AO上的动点，点E是线段BO上的动点，点F是射线AC上的动点，连接EF，DF，DE，BD，且EF是线段BD的垂直平分线．当CF＝1时．①直接写出点D的坐标；②若△DEF的面积为30，当抛物线y＝﹣x2+bx+c经过平移同时过点D和点E时，请直接写出此时的抛物线的表达式．【答案】（1）y＝﹣x2﹣514x﹣9；（2）M(﹣6，31.5)；（3）①(﹣50)或(﹣3，0)，②y＝﹣x2﹣133x﹣4【解析】【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为解方程组即可解决问题．（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣514m﹣9），根据S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．（3）①分两种情形：如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．根据FD＝FB，构建方程求解．当点F在线段AC上时，同法可得．②根据三角形的面积求出D，E的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．【详解】解：（1）由题意A（﹣12，0），B（0，﹣9），把A，B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得到9 144120cb c=-⎧⎨--+=⎩，解得：5149bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣514x﹣9．（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣514m﹣9），S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB＝12×9×（m+12）+12×12×（﹣m2﹣514m﹣9+9）﹣12×12×9＝﹣6m2﹣72m＝﹣6（m+6）2+216，∵﹣6＜0，∴m＝﹣6时，△ABM的面积最大，此时M（﹣6，31.5）．（3）①如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．∵EF垂直平分线段BD，∴FD＝FB，∵F（﹣12，﹣10），B（0，﹣9），∴102+（m+12）2＝122+12，∴m＝﹣12﹣55∴D（﹣50）．当点F 在线段AC 上时，同法可得D （﹣3，0），综上所述，满足条件的点D 的坐标为（﹣12+35，0）或（﹣3，0）．故答案为（﹣12+35，0）或（﹣3，0）．②由①可知∵△EF 的面积为30，∴D （﹣3，0），E （0，﹣4），把D ，E 代入y ＝﹣x 2+b′x+c′，可得'493''0c b c =-⎧⎨--+=⎩，解得：13'3'4b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣133x ﹣4．故答案为：y ＝﹣x 2﹣133x ﹣4．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．10．在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABD BCD S S ∆∆=，求tan ∠DBC 的值；（3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．【答案】（1）243y x x =-+-；（2）32；（3）E （2，73-）【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法，把A 、B 、C 三点代入解析式，即可得到答案；（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，利用面积的比得到32AD DC =，然后求出DH 和BH ，即可得到答案；（3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，先证明△OAB ∽△OFA ，求出点F 的坐标，然后求出直线AF 的方程，即可求出点E 的坐标.【详解】解：（1）将A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0）代入20y ax bx c a =++≠（）得，03,0934,300a b a b c =+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是：243y x x =-+-．（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，则11:():():3:222ABD BCD S S AD h DC h AD DC ∆∆=⋅⋅==，又∵DH//y 轴，∴25CH DC DH OC AC OA ===． ∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，∴△CDH 为等腰直角三角形，∴26355CH DH ==⨯=． ∴64255BH BC CH =-=-=．∴tan∠DBC=32 DHBH=.（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC-∠BAC=45°-∠BAC，∠OFA=∠OCA-∠FAC=45°-∠FAC，∵∠BAC=∠FAC，∴∠OAB=∠OFA．∴△OAB∽△OFA，∴13 OB OAOA OF==．∴OF=9，即F（9，0）；设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），可得093k bb=+⎧⎨-=⎩，解得133kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AF的解析式为：133y x=-，将x=2代入直线AF的解析式得：73y=-，∴E（2，73 -）.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.。

汕头数学二次函数中考真题汇编[解析版]

汕头数学二次函数中考真题汇编[解析版]一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．已知函数222222(0)114(0)22x ax a x y x ax a x ⎧-+-<⎪=⎨---+≥⎪⎩（a 为常数）．（1）若点()1,2在此函数图象上，求a 的值．（2）当1a =-时，①求此函数图象与x 轴的交点的横坐标．②若此函数图象与直线y m =有三个交点，求m 的取值范围．（3）已知矩形ABCD 的四个顶点分别为点()2,0A -，点()3,0B ，点()3,2C ，点()2,2D -，若此函数图象与矩形ABCD 无交点，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）1a =或3a =-；（2）①1x =--1x =+；②724m ≤<或21m -<<-；（3）3a <--或1a ≤<-或a >【解析】【分析】（1）本题根据点(1,2)横坐标大于零，故将点代入对应解析式即可求得a 的取值．（2）①本题将1a =-代入解析式，分别令两个函数解析式y 值为零即可求得函数与x 轴交点横坐标；②本题可求得分段函数具体解析式，继而求得顶点坐标，最后平移直线y m =观察其与图像交点，即可得到答案．（3）本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论，第一种为当2a <-，将2222y x ax a =-+-函数值与2比大小，将2211422y x ax a =---+与0比大小；第二种为当20a -≤<，2222y x ax a =-+-函数值与0比大小，且该函数与y 轴的交点和0比大小，2211422y x ax a =---+函数值与2比大小，且该函数与y 轴交点与2比大小；第三种为2222y x ax a =-+-与y 轴交点与2比大小，2211422y x ax a =---+与y 轴交点与0比大小．【详解】（1）将()1,2代入2211422y x ax a =---+中，得2112422a a =---+，解得1a =或3a =-．（2）当1a =-时，函数为2221,(0)17(0)22x x x y x x x ⎧+-<⎪=⎨-++≥⎪⎩，①令2210x x +-=，解得1x =--1x =-令217022x x -++=，解得1x =+或1x =-综上，1x =--1x =+． ②对于函数()2210y x x x =+-<，其图象开口向上，顶点为()1,2--；对于函数217(0)22y x x x =-++≥，其图象开口向下，顶点为()1,4，与y 轴交于点70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．综上，若此函数图象与直线y m =有三个交点，则需满足724m ≤<或21m -<<-．（3）2222y x ax a =-+-对称轴为x a =；2211422y x ax a =---+对称轴为x a =-． ①当2a <-时，若使得2222y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足当2x =-时，2222y x ax a =-+-24+422a a =->+，解不等式得0a >或4a，在此基础上若使2211422y x ax a =---+图像与矩形ABCD 无交点，需满足当3x =时，2221111493422220y x ax a a a =---+=⨯--+<-，解得3a >或3a <--，综上可得：3a <--．②当20a -≤<时，若使得2222y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足2x =-时，2222y x ax a =-+-24+420a a =+-<；当0x =时，22222=20y x ax a a =-+--≤；得2a ≤<，在此基础上若使2211422y x ax a =---+图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，2221114=42222y x ax a a ---+->=；3x =时，2221111493422222y x ax a a a =---+=⨯--+>-；求得21a -<<-；综上：1a ≤<-．③当0a ≥时，若使函数图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，22222=22y x ax a a =-+--≥且2221114+40222y x ax a a =---+=-<；求解上述不等式并可得公共解集为：a >综上：若使得函数与矩形ABCD 无交点，则322a <--或21a -≤<-或22a >．【点睛】本题考查二次函数综合，求解函数解析式常用待定系数法，函数含参数讨论时，往往需要分类讨论，分类讨论时需要先选取特殊情况以用来总结规律，继而将规律一般化求解题目．2．二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．（1）当m =1时，求顶点P 的坐标；（2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ．①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．【答案】（1）P （2，13）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4．【解析】【分析】（1）把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可；（3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可．【详解】解：（1）当m =1时，二次函数为212163y x x =-+， ∴顶点P 的坐标为（2，13）；（2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上， ∴2263m m b a a m =-+，即：2263m m b m a a -=- ∵0b m ->，∴2263m m a a -＞0， ∵m ＞0， ∴2263a a -＞0，解得：a ＜0或a ＞4，∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =-+， ∴顶点P （2，3m ），当x=0时，y=m ，∴点A （0，m ），∴OA=m ；设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)，把点A （0，m ），点P （2，3m ）代入，得： 23m b m k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：3m k b m⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AP 的解析式为y=3m -x+m ，当y=0时，x=3，∴点B （3，0）；∴OB=3；∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°，且∠OAB+∠FAB =90°，∴∠DAF=∠OAB ，在△ADF 和△ABO 中， DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ABO （AAS ），∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，∴点D 的坐标为：（m ，m+3）；②由①同理可得：C （m+3，3），∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，∴当x =m 时，3y m ≤+，可得322363m m m m -+≤+，化简得：32418m m -≤． ∵0m >，∴2184m m m -≤，∴218(2)4m m--≤，显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，当5m ≥时，2(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4；当x = m +3时，y ≥3，可得2(3)2(3)363m m m m m ++-+≥， ∵0m >，∴21823m m m ++≥，即218(1)2m m++≥，显然：m =1不是上述不等式的解，当2m ≥时，2(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4．【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．3．如图1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:C y ax bx c =++与x 轴相交于,A B 两点，顶点为()0,442D AB =,，设点(),0F m 是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180︒，得到新的抛物线'C ．()1求抛物线C 的函数表达式:()2若抛物线'C 与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围． ()3如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线'C 上的对应点P'，设M 是C 上的动点，N 是'C 上的动点，试探究四边形'PMP N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．【答案】()12142y x =-+；()2222m <<()3四边形'PMP N 可以为正方形，6m =【解析】【分析】（1）由题意得出A,B坐标，并代入,,A B D 坐标利用待定系数法求出抛物线C 的函数表达式；（2）根据题意分别求出当C '过点()0,4D 时m 的值以及当C '过点()22,0B 时m 的值，并以此进行分析求得；（3）由题意设(),P n n ，代入解出n ，并作HK OF ⊥，PH HK ⊥于H ，利用正方形性质以及全等三角形性质得出M 为()2,2m m --，将M 代入21: 42C y x =-+即可求得答案.【详解】解：()142AB =(), 22,0)2,0(2A B ∴-将,,A B D 三点代入得2 y ax bx c =++ 8220.8220.4a b c a b c c ⎧-+=⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩解得1204a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩2142y x ∴=-+； ()2如图21:42C y x =-+．关于(),0F m 对称的抛物线为()21:242C y x m '=-- 当C '过点()0,4D 时有()2140242m =-- 解得:2m =当C '过点()22,0B 时有()21022242m =-- 解得:22m =222m ∴<<；()3四边形'PMP N 可以为正方形由题意设(),P n n ，P 是抛物线C 第一象限上的点2142n n ∴-+= 解得:122,2n n ==-(舍去)即()2,2P如图作HK OF ⊥，PH HK ⊥于H ，MK HK ⊥于K四边形PMP N '为正方形易证PHK FKM ≌2FK HP m ∴==-2MK HF ==M ∴为()2,2m m --∴将M 代入21: 42C y x =-+得 ()212242m m -=--+ 解得:126,0m m ==(舍去)∴当6m =时四边形PMP N ''为正方形.【点睛】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，难度大.4．如图1，抛物线21:C y x b =+交y 轴于()0,1A ．（1）直接写出抛物线1C 的解析式______________．（2）如图1，x 轴上两动点,M N 满足：m n X X n -==．若,B C （B 在C 左侧）为线段MN 上的两个动点，且满足：B 点和C 点关于直线:1l x =对称．过B 作BB x '⊥轴交1C 于B '，过C 作CC x '⊥轴交1C 于C '，连接B C ''．求B C ''的最大值（用含n 的代数式表示）．（3）如图2，将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C ．2C 对称轴左侧的抛物线上有一点M ，其横坐标为m ．以OM 为直径作K ，记⊙K 的最高点为Q ．若Q 在直线2y x =-上，求m 的值．【答案】（1）21y x =+；（2）251|n -；（3）14m =-或12m =- 【解析】【分析】（1）将()0,1A 带入抛物线1C 解析式，求得b 的值，即可得到抛物线1C 的解析式；（2）设(),0B q ，则()2,0C q -，求()2B C ''并进行化简，由1n q -≤<且12,qn <-得21n q -<，则当()2max B C ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，取min 2q q n ==-，带入()2B C ''，即可求得()max B C ''；（3）依题意将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C ，求得2C 解析式，根据解析式特点设21,8M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得到222218OM m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由圆的特性易求得，⊙K 的最高点点Q 坐标为：2111,2228m OM m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设Q y k =，则2111228k OM m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，化简得到22211084k m k m ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，由Q 点在2y x =-上，得2Q k x m =-=-，继而得到231048m m -+=，解得14m =-或12m =-．【详解】解：（1）将()0,1A 带入抛物线21:C y x b =+，得b=1，则21:1C y x =+，（2）设(),0B q ，则()2,0C q -，∴()22222(2)(2)B C q q q q ''⎡⎤=--+--⎣⎦ 2204020q q =-+()2201q =-，∵1n q -≤<且12,q n <- 21n q -<∴，∴()2max B C ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，min 2q q n ==-，即()22220(21)20(1)B C n n ''=--=-，∴()max 1|B C n ''=-，（3）根据题意，将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C ， ∴221:8C y x =+， ∴21,8M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴222218OM m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴由圆的特性易求得，⊙K 的最高点点Q 坐标为： 2111,2228m OM m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设Q y k =，则2111228k OM m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴222111428OM k m ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，化简上式得：22211084k m k m ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， ∵Q 点在2y x =-上，则2Q k x m =-=-， ∴k m =-为上述方程的一个解， ∴分析可知1()04k m k m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 21148m m m -=+∴，∴231048m m -+=，解得：114m =-，212m =-（经检验114m =-，212m =-是方程231048m m -+=的解），故14m =-或12m =-．【点睛】本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识．解题关键是熟练掌握二次函数的性质，充分利用数形结合的思想．5．如图，顶点为M 的抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A (﹣1，0)，B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD ⊥y 轴交抛物线于另一点D ，作DE ⊥x 轴，垂足为点E ，双曲线y =6x(x ＞0)经过点D ，连接MD ，BD ．（1）求抛物线的表达式；（2）点N ，F 分别是x 轴，y 轴上的两点，当以M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，求出点N ，F 的坐标；（3）动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC 方向运动，运动时间为t 秒，当t 为何值时，∠BPD 的度数最大？【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(57，0)，F(0，53)；（3）t=9﹣15【解析】【分析】（1）由已知求出D点坐标，将点A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；（2）作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；【详解】解；（1）C(0，3)∵CD⊥y，∴D点纵坐标是3．∵D在y=6x上，∴D(2，3)，将点A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，∴a=﹣1，b=2，∴y=﹣x2+2x+3；（2）M(1，4)，B(3，0)，作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，∴M'D'直线的解析式为y=﹣73x+53，∴N(57，0)，F(0，53)；（3）设P(0，t)．∵△PBO和△CDP都是直角三角形，tan∠CDP=32t-，tan∠PBO=3t，令y=tan∠BPD=3233123t tt t-+--，∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，△=﹣15y2+30y+1=0时，y=151515-+-舍)或y=151515+，∴t=32﹣12×1y，∴t=9﹣215，∴P(0，9﹣215)．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．6．如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①有，94；②存在，(2，﹣3)或(32，2﹣2)【解析】【分析】（1）由直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）①根据PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣32）2+94即可求解；②分PM＝PC、PM＝MC两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）对于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：9303b cc++=⎧⎨=-⎩，解得：32 cb=-⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设：点M（x，x﹣3），则点P（x，x2﹣2x﹣3），①有，理由：PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣32）2+94，∵﹣1＜0，故PM有最大值，当x＝32时，PM最大值为：94；②存在，理由：PM2＝（x﹣3﹣x2+2x+3）2＝（﹣x2+3x）2；PC2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2；MC2＝（x﹣3+3）2+x2；（Ⅰ）当PM＝PC时，则（﹣x2+3x）2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2，解得：x＝0或2（舍去0），故x＝2，故点P（2，﹣3）；（Ⅱ）当PM＝MC时，则（﹣x2+3x）2＝（x﹣3+3）2+x2，解得：x＝0或3±2（舍去0和3+2），故x＝3﹣2，则x2﹣2x﹣3＝2﹣42，故点P（3﹣2，2﹣42）．综上，点P的坐标为：(2，﹣3)或(3﹣2，2﹣42)．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣12x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣12x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N的坐标．（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝12时，求点F的坐标．（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤tS与t的函数关系式．【答案】（1）y＝﹣12x2+32x+2；（2）点N的坐标为（5，-3）；（3）点F的坐标为：（3，2）或（173，﹣509）；（4）25,049494t tS tt⎧⎛≤≤⎪⎪⎝⎭=-<≤+<≤．【解析】【分析】（1）点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），将点A、C坐标代入抛物线表达式即可求解；（2）抛物线的对称轴为：x＝32，点N的横坐标为：37522+=，即可求解；（3）分点F在直线AC下方、点F在直线AC的上方两种情况，分别求解即可；（4）分0≤t＜t＜t【详解】解：（1）直线y＝﹣12x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣12x2+bx+2，将点C坐标代入上式并解得：b＝32，故抛物线的表达式为：y＝﹣12x2+32x+2…①；（2）抛物线的对称轴为：x＝32，点N的横坐标为：375 22+=，故点N的坐标为（5，-3）；（3）∵tan∠ACO＝2142AOCO==＝tan∠FAC＝12，即∠ACO＝∠FAC，①当点F在直线AC下方时，设直线AF交x轴于点R，∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝32，即点R的坐标为：（32，0），将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：230 2nm n=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：432mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故直线AR的表达式为：y＝﹣43x+2…②，联立①②并解得：x＝173，故点F（173，﹣509）；②当点F在直线AC的上方时，∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，则点F′（3，2）；综上，点F的坐标为：（3，2）或（173，﹣509）；（4）如图2，设∠ACO＝α，则tanα＝12AOCO=，则sinα5，cosα5①当0≤t 35时（左侧图），设△AHK移动到△A′H′K′的位置时，直线H′K′分别交x轴于点T、交抛物线对称轴于点S，则∠DST ＝∠ACO ＝α，过点T 作TL ⊥KH ，则LT ＝HH ′＝t ，∠LTD ＝∠ACO ＝α，则DT ＝'52co 5c s 2os L HH T t αα===，DS ＝tan DT α， S ＝S △DST ＝12⨯DT ×DS ＝254t ； 35＜t 35时（右侧图），同理可得：S ＝''DGS T S 梯形＝12⨯DG ×（GS ′+DT ′）＝12⨯3+55﹣323594-； 35＜t 53594+；综上，S ＝2535,023593535,(245435935(5)1044t t t t t t ⎧⎛≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎨-<≤⎪⎪⎪+<≤⎪⎩．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形平移、图形的面积计算等，其中（3）、（4），要注意分类求解，避免遗漏．8．在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k 与直线y=kx+1交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A ，B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k （k ＞0）与x 轴交于点C 、D 两点（点C 在点D 的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A(-1,0) ，B(2,3) （2）△ABP 最大面积s=1927322288⨯=; P （12，﹣34）（3）存在；25【解析】【分析】（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x 2﹣1，直线解析式为y=x+1，然后解方程组211y x y x ⎧=⎨=+⎩﹣即可；（2）设P （x ，x 2﹣1）．过点P 作PF ∥y 轴，交直线AB 于点F ，则F （x ，x+1），所以利用S △ABP =S △PFA +S △PFB ，，用含x 的代数式表示为S △ABP=﹣x 2+x+2，配方或用公式确定顶点坐标即可．（3）设直线AB ：y=kx+1与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，用k 分别表示点E 的坐标，点F 的坐标，以及点C 的坐标，然后在Rt △EOF 中，由勾股定理表示出EF 的长，假设存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，设点N 为OC 中点，连接NQ ，根据条件证明△EQN ∽△EOF ，然后根据性质对应边成比例，可得关于k 的方程，解方程即可. 【详解】解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x 2﹣1，直线解析式为y=x+1．联立两个解析式，得：x 2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3， ∴A （﹣1，0），B （2，3）．（2）设P （x ，x 2﹣1）．如答图2所示，过点P 作PF ∥y 轴，交直线AB 于点F ，则F （x ，x+1）．∴PF=y F ﹣y P =（x+1）﹣（x 2﹣1）=﹣x 2+x+2．S △ABP =S △PFA +S △PFB =PF （xF ﹣xA ）+PF （xB ﹣xF ）=PF （xB ﹣xA ）=PF ∴S △ABP=（﹣x 2+x+2）=﹣（x ﹣12）2+278当x=12时，yP=x 2﹣1=﹣34． ∴△ABP 面积最大值为，此时点P 坐标为（12，﹣34）．（3）设直线AB ：y=kx+1与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，则E （﹣1k ，0），F （0，1），OE=1k，OF=1．在Rt △EOF 中，由勾股定理得：EF=22111=k k +⎛⎫+ ⎪⎝⎭．令y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k=0，即（x+k ）（x ﹣1）=0，解得：x=﹣k 或x=1． ∴C （﹣k ，0），OC=k ．假设存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，如答图3所示，则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．设点N 为OC 中点，连接NQ ，则NQ ⊥EF ，NQ=CN=ON=2k． ∴EN=OE ﹣ON=1k ﹣2k ． ∵∠NEQ=∠FEO ，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN ∽△EOF ， ∴NQ EN OF EF =，即：1221k k k k-=，解得：k=±25， ∵k ＞0，∴k=25． ∴存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，此时k=25．考点：1.二次函数的性质及其应用；2.圆的性质；3.相似三角形的判定与性质.9．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中点A 的坐标是()1,0，点C 的坐标是()2,3-，抛物线的顶点为点D ．（1）求抛物线和直线AC 的解析式．（2）若点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求APC ∆的面积的最大值及此时点P 的坐标．（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点E ，点M 为直线AC 上的任意一点，过点M 作//MN DE 交抛物线于点N ，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点M 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）y=-x 2-2x+3，y=-x+1；（2）最大值为278，此时点P(12-，154)；（3）能，(0，1)，(1172-+，3172)或(1172--，3172) 【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解，即可得到答案；（2）设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)，求出PQ 的长度，结合三角形的面积公式和二次函数的性质，即可得到答案；（3）根据题意，设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)，可分为两种情况进行分析：①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方；②当点M 在线段AC （或CA ）延长线上时，点N 在点M 下方；分别求出点M 的坐标即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x 2+bx+c 过点A(1，0)，C(-2，3)，∴10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，，解得：23b c =-⎧⎨=⎩，． ∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3．设直线AC 的解析式为y=kx+n ．将点A ，C 坐标代入，得023k n k n +=⎧⎨-+=⎩，，解得11k n =-⎧⎨=⎩，． ∴直线AC 的解析式为y=-x+1．（2）过点P 作PQ ∥y 轴交AC 于点Q ．设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)．∴PQ=(-m 2-2m+3)-(-m+1)=-m 2-m+2．∴S △APC =S △PCQ +S △APQ =12PQ·(x A -x C )=12(-m 2-m+2)×3=23127()228m -++． ∴当m=12-时，S △APC 最大，最大值为278，此时点P(12-，154)．（3）能．∵y=-x 2-2x+3，点D 为顶点，∴点D(-1，4)，令x=-1时，y=-（-1）+1=2，∴点E(-1，2)．∵MN ∥DE ，∴当MN=DE=2时，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．∵点M 在直线AC 上，点N 在抛物线上，∴设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)．①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方，则MN=(-t 2-2t+3)-(-t+1)=-t 2-t+2．∴-t 2-t+2=2，解得：t=0或t=-1（舍去）．∴此时点M 的坐标为（0，1）．②当点M 在线段AC （或CA ）延长线上时，点N 在点M 下方，则MN=(-t+1)-(-t 2-2t+3)=t 2+t-2．∴t 2+t-2=2，解得：或．∴此时点M 的坐标为（1172-+，3172-）或（1172--，3172+）．综上所述，满足条件的点M 的坐标为：（0，1），（117-+，317-）或（117--，317+）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式和二次函数的性质解题；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M 的位置．10．如图，已知顶点为M （32，258）的抛物线过点D （3，2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点P 是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线AD 上方时，求△PAD 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标；（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）最大值为4，点P （1，3）；（3）存在，点P 139313-+）．【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）由△PAD 面积S ＝S △PHA +S △PHD ，即可求解；（3）结合图形可判断出点P 在直线CD 下方，设点P 的坐标为（a ，213222a a -++），当P 点在y 轴右侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．【详解】解：（1）设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣h ）2+k ＝a （x ﹣32）2+258，将点D 的坐标代入上式得：2＝a （3﹣32）2+258，解得：a ＝﹣12， ∴抛物线的表达式为：213222y x x =-++；（2）当x ＝0时，y ＝﹣12x 2+32x +2＝2，即点C 坐标为（0，2），同理，令y ＝0，则x ＝4或﹣1，故点A 、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0），过点P 作y 轴的平行线交AD 于点H ，由点A 、D 的坐标得，直线AD 的表达式为：y ＝12（x +1），设点P （x ，﹣12x 2+32x +2），则点H （x ，12x +12），则△PAD 面积为：S ＝S △PHA +S △PHD ＝12×PH ×（x D ﹣x A ）＝12×4×（﹣12x 2+32x +2﹣12x 12-）＝﹣x 2+2x +3， ∵﹣1＜0，故S 有最大值，当x ＝1时，S 有最大值，则点P （1，3）；（3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方，设直线PQ 交x 轴于F ，点P 的坐标为（a ，﹣12a 2+32a +2），当P 点在y 轴右侧时（如图2），CQ ＝a ，PQ ＝2﹣（﹣12a 2+32a +2）＝12a 2﹣32a ，又∵∠CQ ′O +∠FQ ′P ＝90°，∠COQ ′＝∠Q ′FP ＝90°，∴∠FQ ′P ＝∠OCQ ′，∴△COQ ′∽△Q ′FP ，'''Q C Q P CO FQ =，即213222'a a a Q F-=， ∴Q ′F ＝a ﹣3，∴OQ ′＝OF ﹣Q ′F ＝a ﹣（a ﹣3）＝3，CQ ＝CQ ′22223213CO OQ +=+= 此时a 13P 1393132-+）．【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目．。

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二次函数中考真题汇编[解析版]一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当1236 25SS=时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+23E'B的最小值．【答案】（1）抛物线y＝﹣34x2+94x+3，直线AB解析式为y＝﹣34x+3；（2）P（2，3 2）；（3410【解析】【分析】（1）由题意令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；（2）根据题意由△PNM∽△ANE，推出65PNAN=，以此列出方程求解即可解决问题；（3）根据题意在y轴上取一点M使得OM′＝43，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+23E′B的最小值．【详解】解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），则有330 nm m n⎧⎨⎩++＝＝，解得433mn⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝，∴抛物线239344y x x=-++，令y＝0，得到239344x x-++＝0，解得：x＝4或﹣1，∴A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则340bk b+⎧⎨⎩＝＝，解得334kb⎧-⎪⎨⎪⎩＝＝，∴直线AB解析式为y＝34-x+3．（2）如图1中，设P（m，239344m m-++），则E（m，0），∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∵△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，123625SS＝，∴65PNAN=，∵NE∥OB，∴AN AEAB OA=，∴AN＝54545454（4﹣m），∵抛物线解析式为y ＝239344x x -++， ∴PN ＝239344m m -++﹣（34-m+3）＝34-m 2+3m ， ∴2336455(4)4m mm -+=-，解得m ＝2或4（舍弃）， ∴m ＝2， ∴P （2，32）．（3）如图2中，在y 轴上取一点M′使得OM′＝43，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE ．∵OE′＝2，OM′•OB ＝43×3＝4， ∴OE′2＝OM′•OB ， ∴OE OBOM OE '=''， ∵∠BOE′＝∠M′OE′， ∴△M′OE′∽△E′OB ，∴M E OE BE OB '''='＝23， ∴M′E′＝23BE′，∴AE′+23BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+23BE′最小（两点间线段最短，A 、M′、E′共线时），最小值＝AM′2244()3+410．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM ′就是AE′+23BE′的最小值，属于中考压轴题．2．已知函数222222(0)114(0)22x ax a x y x ax a x ⎧-+-<⎪=⎨---+≥⎪⎩（a 为常数）．（1）若点()1,2在此函数图象上，求a 的值．（2）当1a =-时，①求此函数图象与x 轴的交点的横坐标．②若此函数图象与直线y m =有三个交点，求m 的取值范围．（3）已知矩形ABCD 的四个顶点分别为点()2,0A -，点()3,0B ，点()3,2C ，点()2,2D -，若此函数图象与矩形ABCD 无交点，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）1a =或3a =-；（2）①1x =--1x =+；②724m ≤<或21m -<<-；（3）3a <--或1a ≤<-或a >【解析】【分析】（1）本题根据点(1,2)横坐标大于零，故将点代入对应解析式即可求得a 的取值．（2）①本题将1a =-代入解析式，分别令两个函数解析式y 值为零即可求得函数与x 轴交点横坐标；②本题可求得分段函数具体解析式，继而求得顶点坐标，最后平移直线y m =观察其与图像交点，即可得到答案．（3）本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论，第一种为当2a <-，将2222y x ax a =-+-函数值与2比大小，将2211422y x ax a =---+与0比大小；第二种为当20a -≤<，2222y x ax a =-+-函数值与0比大小，且该函数与y 轴的交点和0比大小，2211422y x ax a =---+函数值与2比大小，且该函数与y 轴交点与2比大小；第三种为2222y x ax a =-+-与y 轴交点与2比大小，2211422y x ax a =---+与y 轴交点与0比大小．【详解】（1）将()1,2代入2211422y x ax a =---+中，得2112422a a =---+，解得1a =或3a =-．（2）当1a =-时，函数为2221,(0)17(0)22x x x y x x x ⎧+-<⎪=⎨-++≥⎪⎩，①令2210x x +-=，解得1x =--1x =- 令217022x x -++=，解得1x =+或1x =-综上，1x =--1x =+．②对于函数()2210y x x x =+-<，其图象开口向上，顶点为()1,2--；对于函数217(0)22y x x x =-++≥，其图象开口向下，顶点为()1,4，与y 轴交于点70,2⎛⎫⎪⎝⎭．综上，若此函数图象与直线y m =有三个交点，则需满足724m ≤<或21m -<<-．（3）2222y x ax a =-+-对称轴为x a =；2211422y x ax a =---+对称轴为x a =-． ①当2a <-时，若使得2222y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足当2x =-时，2222y x ax a =-+-24+422a a =->+，解不等式得0a >或4a ，在此基础上若使2211422y x ax a =---+图像与矩形ABCD 无交点，需满足当3x =时，2221111493422220y x ax a a a =---+=⨯--+<-，解得3a >或3a <--，综上可得：3a <--．②当20a -≤<时，若使得2222y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足2x =-时，2222y x ax a =-+-24+420a a =+-<；当0x =时，22222=20y x ax a a =-+--≤；得2a ≤<，在此基础上若使2211422y x ax a =---+图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，2221114=42222y x ax a a ---+->=；3x =时，2221111493422222y x ax a a a =---+=⨯--+>-；求得21a -<<-；综上：1a ≤<-．③当0a ≥时，若使函数图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，22222=22y x ax a a =-+--≥且2221114+40222y x ax a a =---+=-<；求解上述不等式并可得公共解集为：22a >．综上：若使得函数与矩形ABCD 无交点，则322a <--或21a -≤<-或22a >．【点睛】本题考查二次函数综合，求解函数解析式常用待定系数法，函数含参数讨论时，往往需要分类讨论，分类讨论时需要先选取特殊情况以用来总结规律，继而将规律一般化求解题目．3．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()3, 6C ，并与y 轴交于点()0, 3B ，点A 是对称轴与x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式;(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP 、AP ,求ABP ∆的面积的最大值;(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．【答案】（1）21233y x x =-++；（2）当92n =时，PBA S ∆最大值为818；（3）存在，Q 点坐标为((0,330,33-或，理由见解析【解析】【分析】(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-S △AOB,设P 21,233n n n ⎛⎫-++⎪⎝⎭求出关于n 的函数式，从而求S △PAB 的最大值.(3) 求点D 的坐标，设D 21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,过D 做DG 垂直于AC 于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍，联想到同弧所对的圆周角和圆心角，所以以A 为圆心，AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q 点. 【详解】解：()1抛物线顶点为()3,6∴可设抛物线解析式为()236y a x =-+将()0,3B 代入()236y a x =-+得396a =+ 13a ∴=-∴抛物线()21363y x =--+，即21233y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==，PBA BPO PAO ABO S S S S ∆∆∆∆=+-设P 点坐标为21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭1133222BPO x S BO P n n ∆=== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ∆⎛⎫==-++=-++ ⎪⎝⎭11933222ABO S OA BO ∆==⨯⨯= 22231991919813222222228PBAS n n n n n n ∆⎛⎫⎛⎫=+-++-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴当92n =时，PBA S ∆最大值为818()3存在，设点D 的坐标为21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭过D 作对称轴的垂线，垂足为G , 则213,6233DG t CG t t ⎛⎫=-=--++ ⎪⎝⎭30ACD ∠=2DG DC ∴= 在Rt CGD ∆中有222243CG CD DG DG DG DG =+=-=)21336233t t t ⎛⎫-=--++ ⎪⎝⎭化简得(1133303t t ⎛⎫---= ⎪⎝⎭13t ∴=（舍去），2333t =+∴点D(333+3,33AG GD ∴==连接AD ，在Rt ADG ∆中229276AD AG GD ++=6,120AD AC CAD ∴==∠=Q ∴在以A 为圆心，AC 为半径的圆与y 轴的交点上此时1602CQD CAD ∠=∠= 设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径则AQ ²=OQ ²+OA ², 6²=m ²+3²即2936m +=∴1233,33m m ==-综上所述，Q 点坐标为()()0,330,33-或故存在点Q ，且这样的点有两个点.【点睛】(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便； (2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.4．如图，已知点()1,2A 、()()5,0B n n >，点P 为线段AB 上的一个动点，反比例函数()0ky x x=>的图像经过点P ．小明说：“点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．”（1）当1n =时．①求线段AB 所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k 的最小值和最大值．（2）若小明的说法完全正确，求n 的取值范围．【答案】（1）①1944y x =-+；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当92x =时，k有最大值8116；当1x =时，k 有最小值2；（2）109n ≥；【解析】【分析】（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式； ②由①得直线AB 为1944y x =-+，则21944k x x =-+，利用二次函数的性质，即可求出答案；（2）根据题意，求出直线AB 的直线为21044n n y x --=+，设点P 为（x ，kx），则得到221044n n k x x --=-，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴52ba -≥，即可求出n 的取值范围．【详解】解：（1）当1n =时，点B 为（5，1）， ①设直线AB 为y ax b =+，则251a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1494a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴1944y x =-+； ②不完全同意小明的说法；理由如下：由①得1944y x =-+，设点P 为（x ，kx），由点P 在线段AB 上则 1944k x x =-+， ∴22191981()444216k x x x =-+=--+； ∵104-<， ∴当92x =时，k 有最大值8116；当1x =时，k 有最小值2；∴点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值先增大后减小，当点P 在点A 位置时k 值最小，在92x =的位置时k 值最大．（2）∵()1,2A 、()5,B n ，设直线AB 为y ax b =+，则25a b a b n +=⎧⎨+=⎩，解得：24104n a n b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∴21044n ny x --=+，设点P 为（x ，kx），由点P 在线段AB 上则 221044n n k x x --=-，当204n -=，即n=2时，2k x =，则k 随x 的增大而增大，如何题意；当n≠2时，则对称轴为：101042242n n x n n --==--；∵点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．即k 在15x ≤≤中，k 随x 的增大而增大；当204n ->时，有 ∴20410124n n n -⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪-⎩，解得：26n n >⎧⎨≥-⎩，∴不等式组的解集为：2n >；当204n -<时，有 ∴20410524n n n -⎧<⎪⎪⎨-⎪≥⎪-⎩，解得：1029n ≤<， ∴综合上述，n 的取值范围为：109n ≥．【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．5．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩. （1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值；（2）已知二次函数2142y x x =-+-. ①当点3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值； ②当33x -≤≤时，求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭、9,12⎛⎫⎪⎝⎭，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.【答案】（1）1；（2）①22- ；②max 432y =，min 12y =-；（3）31n -<≤-，514n <≤【解析】【分析】（1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可； ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，然后可此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-12，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围．【详解】解：（1）根据题意，一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)5,(0)ax x y ax x -≥⎧=⎨-+<⎩， ∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则(5)510a -⨯-+=，∴1a =；（2）根据题意，二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214,(0)214,(0)2x x x y x x x ⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，①当m ＜0时，将B （m ，32）代入y=x 2-4x+12得m 2-4m+1322=，解得：m=2 当m≥0时，将B （m ，32）代入y=-x 2+4x-12得：-m 2+4m-12=32，解得：或m=2．综上所述：m=2-或m=2+或m=2- ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小， ∴当3x =-时，有最大值，即2143(3)4(3)22y =--⨯-+=， ∴此时y 的最大值为432．当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为12-，当x=2时，有最大值，最大值y=72．综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-的相关函数的最大值为432，最小值为12-；（3）如图1所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有1个公共点．∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，∴-n=1，解得：n=-1．∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），∴n=1．如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x 2-4x-n 经过点M （12-，1）， ∴14+2-n=1，解得：n=54． ∴1＜n≤54时，线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n 的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤54．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键．6．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．（1）若b ＝1，a ＝﹣12c ，求证：二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点；（2）若a <0，c ＝0，且对于任意的实数x ，都有y ≤1，求4a +b 2的取值范围；（3）若函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0，且2a +3b +6c ＝0，试确定二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）240a b +≤ ；（3）12323b a <-< 【解析】【分析】（1）根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论；（2）根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标，再整理即可；（3）将（0，y 1）和（1，y 2）分别代入函数解析式，由y 1•y 2＞0，及2a +3b +6c ＝0，得不等式组，变形即可得出答案．【详解】解：（1）证明：∵y ＝ax 2+bx+c （a≠0）， ∴令y ＝0得：ax 2+bx+c ＝0 ∵b ＝1，a ＝﹣12c ，∴△＝b 2﹣4ac ＝1﹣4（﹣12c ）c ＝1+2c 2， ∵2c 2≥0，∴1+2c 2＞0，即△＞0，∴二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点；（2）∵a ＜0，c ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx ，其图象开口向下，又∵对于任意的实数x ，都有y≤1，∴顶点纵坐标214b a-≤，∴﹣b 2≥4a ， ∴4a+b 2≤0；（3）由2a+3b+6c ＝0，可得6c ＝﹣（2a+3b ）， ∵函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0， ∴c （a+b+c ）＞0， ∴6c （6a+6b+6c ）＞0，∴将6c ＝﹣（2a+3b ）代入上式得，﹣（2a+3b ）（4a+3b ）＞0， ∴（2a+3b ）（4a+3b ）＜0， ∵a≠0，则9a 2＞0， ∴两边同除以9a 2得，24()()033b b a a ++<， ∴203403b a b a ⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩或203403b a b a ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，∴4233b a -<<-， ∴二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围是：12323b a <-<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．如图，已知抛物2(0)y ax bx c a =++≠经过点,A B ，与y 轴负半轴交于点C ，且OC OB =，其中B 点坐标为(3,0)，对称轴l 为直线12x =． (1)求抛物线的解析式；(2) 在x 轴上方有一点P ，连接PA 后满足PAB CAB ∠=∠，记PBC ∆的面积为S ，求当10.5S=时点P的坐标(3)在(2)的条件下，当点P恰好落在抛物线上时，将直线BC上下平移，平移后的10.5S=时点P的坐标；直线y x t=+与抛物线交于,C B''两点(C'在B'的左侧)，若以点,,C B P''为顶点的三角形是直角三角形，求出t的值．【答案】（1）211322y x x=--（2）(2,6)（3）19或32【解析】【分析】（1）确定点A的坐标，再进行待定系数法即可得出结论；（2）确定直线AP的解析式，用m表示点P的坐标，由面积关系求S和m的函数关系式即可求解；（3）先确定点P的坐标，当'''90B PC∠=，利用根与系数的关系确定'''B C的中点E的坐标，利用''2B C PE=建立方程求解，当''''90PC B∠=时，确定点G的坐标，进而求出直线''C G的解析式，得出点''C的坐标即可得出结论．【详解】（1）∵OC OB=，且B点坐标为(3,0)，∴C点坐标为(0,3)-．设抛物线解析式为21()2y a x k=-+．将B、C两点坐标代入得254134a ka k⎧=+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，解得12258ak⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∴抛物线解析式为22112511()-322822y x x x=-=--．（2）如图1，设AP与y轴交于点'C．∵PAB CAB∠=∠，OA OA=，90AOC AOC∠'=∠=︒，∴AOC∆≌AOC∆'，∴3OC OC ='=， ∴(0,3)C '． ∵对称轴l 为直线12x =， ∴(2,0)A -， ∴直线AP 解析式为332y x =+， ∵(3,0)B ，(0,-3)C ， ∴直线BC 解析式为-3y x =， ∴313(3)622PF x x x =+--=+， ∴13924PBC S OB PF x ∆=⨯⨯=+， ∵10.5S =，∴3910.54x +=， ∴2x =．此时P 点的坐标为(2,6)．（3）如图2，由211-322332y x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得6,12P （），当90C PB ∠=''︒时，取''B C 的中点E ，连接PE ．则2B C PE ''=,即224B C PE =''．设1122(,),(,)B x y C x y ''．由211-3 22y x xy x t⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得23(26)0x x t--+=，∴12123,(26)x x x x t+==-+，∴点33(,)22E t+，222221212121212()()2()2()41666B C x x y y x x x x x x t⎡⎤=-+-=-+-=+⎣=⎦''，222233261(6)(1221222PE t t t=-+-=-+），∴226116664(21)2t t t+=-+，解得：19t=或6（舍去），当90PC B''''∠=︒时，延长C P''交BC于H，交x轴于G．则90,45BHG PGO∠=︒∠=︒，过点P作PG x⊥轴于点Q，则12GQ PQ==，∴(18,0)G，∴直线C G''的解析式为18y x=-+，由211-322-18y x xy x⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得725xy=-⎧⎨=⎩或612xy=⎧⎨=⎩（舍去），∴(7,25)C'-'，将(7,25)C'-'代入y x t=+中得32t=．综上所述，t的值为19或32．【点睛】本题主要考查了待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算方法、根与系数的关系、直角三角形的性质，属于二次函数综合题．8．如图，已知抛物线2y x bx c=-++与x轴交于A，B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中点A的坐标是()1,0，点C的坐标是()2,3-，抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线和直线AC的解析式．（2）若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC∆的面积的最大值及此时点P的坐标．（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点E，点M为直线AC上的任意一点，过点M作//MN DE交抛物线于点N，以D，E，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点M的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）y=-x2-2x+3，y=-x+1；（2）最大值为278，此时点P(12-，154)；（3）能，(0，1)，(1172-+，3172)或(1172--，3172)【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解，即可得到答案；（2）设点P(m，-m2-2m+3)，则Q(m，-m+1)，求出PQ的长度，结合三角形的面积公式和二次函数的性质，即可得到答案；（3）根据题意，设点M(t，-t+1)，则点N(t，-t2-2t+3)，可分为两种情况进行分析：①当点M在线段AC上时，点N在点M上方；②当点M在线段AC（或CA）延长线上时，点N在点M下方；分别求出点M的坐标即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c过点A(1，0)，C(-2，3)，∴10423b cb c-++=⎧⎨--+=⎩，，解得：23bc=-⎧⎨=⎩，．∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3．设直线AC的解析式为y=kx+n．将点A，C坐标代入，得023k n k n +=⎧⎨-+=⎩，，解得11k n =-⎧⎨=⎩，． ∴直线AC 的解析式为y=-x+1．（2）过点P 作PQ ∥y 轴交AC 于点Q ．设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)．∴PQ=(-m 2-2m+3)-(-m+1)=-m 2-m+2．∴S △APC =S △PCQ +S △APQ =12PQ·(x A -x C )=12(-m 2-m+2)×3=23127()228m -++． ∴当m=12-时，S △APC 最大，最大值为278，此时点P(12-，154)．（3）能．∵y=-x 2-2x+3，点D 为顶点，∴点D(-1，4)，令x=-1时，y=-（-1）+1=2，∴点E(-1，2)．∵MN ∥DE ，∴当MN=DE=2时，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．∵点M 在直线AC 上，点N 在抛物线上，∴设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)．①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方，则MN=(-t 2-2t+3)-(-t+1)=-t 2-t+2．∴-t 2-t+2=2，解得：t=0或t=-1（舍去）．∴此时点M 的坐标为（0，1）．②当点M 在线段AC （或CA ）延长线上时，点N 在点M 下方，则MN=(-t+1)-(-t 2-2t+3)=t 2+t-2．∴t 2+t-2=2，解得：t=12-+或t=12-． ∴此时点M）．综上所述，满足条件的点M 的坐标为：（0，1（12-，32）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式和二次函数的性质解题；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M 的位置．9．如图，已知二次函数1L ：()22311y mx mx m m =+-+≥和二次函数2L ：()2341y m x m =--+-()1m ≥图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），（1）函数()22311y mx mx m m =+-+≥的顶点坐标为______；当二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大时，则x 的取值范围是_______；（2）判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线1L ，2L 均会分别经过某些定点；①求所有定点的坐标；②若抛物线1L 位置固定不变，通过平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是多少？【答案】（1）()1,41m --+，13x ；（2）四边形AMDN 是矩形；（3）①所有定点的坐标，1L 经过定点()3,1-或()1,1，2L 经过定点()5,1-或()1,1-；②抛物线2L 应平移的距离是423+423-．【解析】【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M 的坐标；结合函数图象填空；（2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A 、D 、M 、N 的横坐标，可得AD 的中点为（1，0），MN 的中点为（1，0），则AD 与MN 互相平分，可证四边形AMDN 是矩形；（3）①分别将二次函数的表达式变形为1:(3)(1)1L y m x x =+-+和2:(1)(5)1L y m x x =----，通过表达式即可得出所过定点；②根据菱形的性质可得EH 1=EF=4即可，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．【详解】解：（1）12b x a=-=-，顶点坐标M 为(1,41)m --+，由图象得：当13x 时，二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大．故答案为：(1,41)m --+；13x ；（2）结论：四边形AMDN 是矩形．由二次函数21:231(1)L y mx mx m m =+-+和二次函数22:(3)41(1)L y m x m m =--+-解析式可得：A 点坐标为41(1m m ---，0)，D 点坐标为41(3m m -+，0)，顶点M 坐标为(1,41)m --+，顶点N 坐标为(3,41)m -，AD ∴的中点为(1,0)，MN 的中点为(1,0)，AD ∴与MN 互相平分，∴四边形AMDN 是平行四边形，又AD MN =，∴□AMDN 是矩形；（3）①二次函数21:231(3)(1)1L y mx mx m m x x =+-+=+-+，故当3x =-或1x =时1y =，即二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41(1)(5)1L y m x m m x x =--+-=----，故当1x =或5x =时1y =-，即二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，②二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，如图：四个定点分别为(3,1)E -、(1,1)F ，(1,1)H -、(5,1)G -，则组成四边形EFGH 为平行四边形，∴FH ⊥HG ，FH=2，HM=4-x ，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，则EH 1=EF=H 1M=4，由勾股定理可得：FH 2+HM 2=FM 2，即22242(4)x =+-，解得：43x =±抛物线1L 位置固定不变，通过左右平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是423+或423-．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．10．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）224233y x x =--+；（2）存在，点P 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，使△PAC 的面积最大；（3）存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形．Q 点坐标为：Q 1（2，3），Q 2（3，1），Q 3（﹣1，﹣1），Q 4（﹣2，1）．【解析】【分析】（1）直接把点A （﹣3，0），B （1，0）代入二次函数y ＝ax 2+bx+2求出a 、b 的值即可得出抛物线的解析式；（2）设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣23m 2﹣43m+2，连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ．根据三角形的面积公式得出△PAC 的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；（3）以BC 为边，在线段BC 两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ，过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ，根据全等三角形的判定定理得出△Q 1CD ≌△CBO ，△CBO ≌△BQ 2E ，故可得出各点坐标．【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+2过点A （﹣3，0），B （1，0），∴093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得 ∴二次函数的关系解析式为y ＝﹣23x 2﹣43x+2；（2）存在．∵如图1所示，设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣23m 2﹣43m+2．连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ．则PM ＝﹣23m 2﹣43m+2．，PN ＝﹣m ，AO ＝3． ∵当x ＝0时，y ＝﹣23×0﹣43×0+2＝2， ∴OC ＝2，∴S △PAC ＝S △PAO +S △PCO ﹣S △ACO ＝12AO•PM+12CO•PN ﹣12AO•CO ＝12×3×（﹣23m 2﹣43m+2）+12×2×（﹣m ）﹣12×3×2 ＝﹣m 2﹣3m∵a ＝﹣1＜0∴函数S △PAC ＝﹣m 2﹣3m 有最大值∴当m ＝﹣2b a ＝﹣32时，S △PAC 有最大值．∴n＝﹣2 3 m2﹣43m+2＝﹣23×（﹣32）2﹣43×（﹣32）+2＝52，∴存在点P（﹣32，52），使△PAC的面积最大．（3）如图2所示，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1，Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点．过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，过点Q2作Q2E⊥x轴于点E，∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，在△Q1CD与△CBO中，∵11324Q C BC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△Q1CD≌△CBO，∴Q1D＝OC＝2，CD＝OB＝1，∴OD＝OC+CD＝3，∴Q1（2，3）；同理可得Q4（﹣2，1）；同理可证△CBO≌△BQ2E，∴BE＝OC＝2，Q2E＝OB＝1，∴OE＝OB+BE＝1+2＝3，∴Q2（3，1），同理，Q3（﹣1，﹣1），∴存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，二次函数极值、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大．。