定积分的证明题44题word文档良心出品

题目1证明题 容易
d x 证明丄 f (X _t) f Tt)dt = f(X)_ f (a)。

dx 'a
题目2证明题 容易
题目3证明题 一般
b
设函数 f(x)在［a,b ］内可导，且 f(a)=0,［ f(x)dx
= 0 证明：在［a,b ］内至少存在一点E 使f(E )=0。

题目4证明题 一般
设f(X)= f(X +a).
na
证明：当n 为正整数时 L f(x)dx= nj0f(x)dx 。

利用积分中值定理证明 :lim f 4 sin n
xdx = 0。

」0
1 1
证明：x m (1-x)n dx = Lx n (1 —x)m dx 。

题目6证明题 一般
设f (x)在［a,b ］上有定义,且对［a,b ］上任意两点x, y,
x — y |.则f (x)在［a,b ］上可积，且
1 2
题目7证明题 一般
设f(X)在［a,b ］上的连续,在(a,b)内可导,且f(a) = f (b) =0. 证明：4a|f(x)|dx<M(b —a)2,其中M = sup f'(x)。

f(x)dx —(b —a)f(a) <?(b —a)。

f(X)。

(a,b)内至少存在一点匕，设f (x)在［a,b］上正值，连续，则在
£ b 1 b
使J a f (x)dx = J E f (x)dx = —J a f (x)dx。

■* 2
题目9证明题一般
丑丑
证明：0＜FsinXxdxc『sin n xdx。

题目10证明题一般
1/ dx 兀
求证:一＜〔＜-。

20 2,3 6
2V4 —X +x 6
题目11证明题一般
设f(x)在区间(a,b)上连续，且在(a,b)内任一闭区间上积分为零，证明f(x)在(a,b)内恒等于零。

题目12证明题一般
若函数f(x)在［0,1］上连续，
a 3 2 1 a2
(a A O)。

证明:J0x f(x )dx=5 J o xf (x)dx
题目13证明题一般
设函数f(x)和g(x)在［a,b］上连续，
b 2 b 2 b 2
证明:［f f(x)g(x)dx］< f f (x)dx 订g (x)dx。

a a a
题目14证明题一般
设f (x)在［0,1］上连续，
丑丑
证明：『f (sin2®)cos® d W = J； f (sin2W)(cos® +sin
申)d W 。

题目15证明题一般
设f(X)在[a,b]上可导,且f(X)<M, f(a) =0, 证明:a
f(x)dx<M(b-a)2。

题目16证明题一般
设f(x)在[Q2a],(a >0)上连续，
2a a
证明：f(x)dx= .0[f(x) + f(2a—x)]dx。

题目17证明题一般
设k为正整数，证明:
(1H 兀cos2 kxdx =兀
(2H^si n 2kxdx =兀
，-n;
题目18证明题一般
设f(x)在［0,1］上有一阶连续导数•且f(1) - f(0) =1.
2
1
试证：［［f '(X)］ dx 3。

题目19证明题一般
若m为正整数，
迟1
fcos E xdx。

证明：『cos m x sin m xdx =班
若函数f(x)在区间［a,b］上连续，
b b
贝y L f(x)dx=(b-a) Jaf［a+(b-a)x］dx。

题目21证明题一般
设函数f(x)在［0,1］上连续，
1 2兀
证明：『f(
cosx|)dx =；)0 f (cosx )dx。

题目22证明题一般
x
若函数f(x)在R连续，且f(x)=l' f(t)dt,则f(x)三0。

・a
设f(x)是以；I 为周期的连续函数，
2 吓 -TT-
证明：『(sinx + x)f (x)dx =+ (x)dx o
题目24证明题 一般
设f (x)在[0,1]上连续且单调递减, 试证明:对于任何q€[0,1],都有不等式 q 1 、
Jo f (x)dx >q L f (x)dx 成立。

题目25证明题 一般
设f(X)在［a,b ］上单调增加且f "(X)>0.
、 b 证明：(b-a) f (a) C J a f(x)dx v(b-a)
f(a)+ f(b) --------- o
设函数f(x)在［a, b］上连续且单调递增。

1 X
F(x)［ f (t)dt ,(a c x<b)
X - a 'a
F(a) = f(a), 证明：F(x)在［a,b］上单调增.。

题目27证明题一般
设f (X)在［a,b］上二阶可导且f 7x) c O, b a + b
证明：a f (x)dx <(b -a) f (^^)。

题目28证明题一般
设f (x)在［a,b］上连续，在［a,b］可导，且f'(x)vO,证明函数
F(X)=广丄％
'a X -a
在(a,b)内满足 F '(X)<0。

试证：如果f(x)在［a,b］上连续，且对于一切X忘［a,b］,
f(x)＞0
” b
同时至少存在一点©引a, b］，使f(©)；＞0,则f f(x)dx；＞0。

*■ a
题目30证明题一般
b c _a
试证 f f (c —x)dx = f f (x)dx。

■a・c_b
题目31证明题一般
设函数f(x)在［0,1］上可微，且满足等式:
1
f(1)—2fxf(x)dx =0
试证在(0,1)内至少存在一点©，使f佗)=-響
J
设f(x)在［a,b］上连续，并且对于每一个在［a,b］ b
上的连续函数g(x).都有［g(x) f (x)dx = 0 证明：f(x)=O
(a<x<b)。

题目33证明题难
b — a b ' 2
则J a|f(x)「(x)|dx J a[ f (x)]
设函数f(x)在［a,b］上有连续导数f'(x，且f(a) = O,
一 . b
J a
题目34证明题难
设f(x)在[a,b]上二阶连续可微，其中acOcb，则在该区间上必存在一个E，使
b 1
2 2
f(x)dx=bf(b)—af(a)—2![bf(b)—af(a)]
a
+»)*)。

题目35证明题难
若f(x)关于X =T对称，且acTcb,
b b 2T』
贝y J a f (x)dx =2 J T f (x)dx + J a f (x)dx。

2
x .
1 ~A 4 dx= L
1+x 242
题目37证明题难
证明奇函数的一切原函
偶函数的原函数中有一
数皆为偶函数,
为奇函数。

X X 4 设f（X）在［a,b］上连续，且f（x）〉O,又F（x） = Ja f
（t）dt + Jb〒話dt
证明：F（X）= 0在［a, b］内有且仅有一个实根。

题目39证明题难
a a 2 1 a
a
2 1
证明:当a A1 时，有f f(X2+-2) — dx= f f(x+—)—dx。

1X X 1X X
题目41证明题 难
证明：若 f f 2（x ）dx =0则f （X ）=0
a
题目40证明
题 难 f （X ）在［0,+=c ］连
续，且
lim f(X)= A, 则：lim X T^X -r f (t)dt = A 。

「0 \ /
X 忘［a,b ］。

设函数f(x)在[a,b]上连续，
1 x
证明：I迪¥ J a[f(t +h)-f(t)]dt = f(x)-f(a) (a e x
<b)。

题目43证明题难
设f(x)处处二阶可导，且f“(x)30又u(t)为任一连续函
数，
1 a 1 a
(a》0)。

证明：一0 f[u(t)]dt > f[- f u(t)dt]
a 0 a 0
证明：若函数f (x)在［0^)一致连续，
-4^
且无穷积分J o「f(x)dX攵敛，则lim f(x)=0。