微探究 圆与动态几何

微探究圆与动态几何以圆为载体，通过点的运动、直线的运动，探讨点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，或运动中的圆与圆的位置关系，这是圆与动态几何的基本表现形式. 解这类问题需运用到分类讨论、数形结合、方程与函数等思想方法，关键是动中觅静、以静制动、以动制动.例1 如图所示，点A 、B 在直线MN 上，AB =11cm ，⊙A 、⊙B 的半径均为1cm ，⊙A 以每秒2cm 的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也在不断增大，其半径r （cm ）与时间t （s ）之间的关系式为1(0)r t t =+≥，当⊙A 出发后 s 两圆相切.试一试 ⊙A 自左向右运动，应考查动点A 在定点B 的左右两侧的情形，而⊙A 在运动的同时，⊙B 在变大，又需考查⊙A 与⊙B 内外切的情况.视野窗对于例1，不但要注意圆的运动，而且要关注圆半径的变化，还要考查两圆内切、外切的情形，这是本例的难点所在.例2 如图，平面直角坐标系中，⊙A 的圆心在x 轴上，半径为1，直线l 为，若⊙A 沿x 轴向右运动，当⊙A 与l 有公共点时，点A 移动的最大距离是（ ）A.B. 3C.D.试一试 点A 移动的最大距离，是指向右运动过程中圆心A 在直线l 左侧时第一次与直线l 相切，到圆心A 在直线l 右侧第二次与直线l 相切，点A 移动的距离.视野窗以静制动，常表现为在运动过程中，考查图形的临界状态或特殊状态.对于例2，当⊙A 与l 相切或相交时，它们有公共点，于是将问题转化为直线与圆相切时的线段计算.动中觅静，即分清图形中不变元素或变动元素，或探寻那些隐含的、在运动中没有改变的不变量或不变关系.例3 如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，OP =10cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q . A 、B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动. 设运动时间为t s. （1）求PQ 的长；（2）当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？MP试一试 对于（2），把相关线段用t 的式子表示，寻找相似三角形，而动态思考、讨论动点构成的直线AB 与⊙O 相切的几种位置关系是解题的关键.例4 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P 是BC 上的一个动点，过点P 作BC 的平行线交AB 的延长线于点D.（1）当点P 在什么位置时，DP 是⊙O 的切线？请说明理由. （2）当DP 为⊙O 的切线时，求线段DP 的长.CD试一试 直觉引领，点P 在BC 上特殊位置时，DP 为⊙O 的切线？由此展开证明与计算.例5 如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点(3,0)D 和点(0,4)E . 动点C 从点(5,0)M 出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左做匀速运动，与此同时，动点P 从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向做匀速运动. 设运动时间为t 秒. （1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标；（2）以点C 为圆心、12t 个单位长度为半径的⊙C 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接P A 、PB .① 当⊙C 与射线DE 有公共点时，求t 的取值范围； ② 当△P AB 为等腰三角形时，求t 的值.x分析 对于（2），当⊙C 与射线DE 有公共点时，建立t 的不等式组，求t 的取值范围. 考查两种特殊情形：点A 在点D 的左侧，⊙C 与射线DE 相切；当△P AB 为等腰三角形，由相等的线段建立t 的方程.解 （1）(5,0)C t -，34(3,)55P t t -； （2）① 当⊙C 的圆心C 由点(5,0)M 向左运动，使点A 到点D 并随继续向左运动时，有3532t -≤，即43t ≥.x当点C 在点D 的左侧时，过点C 作CF ⊥DE ，垂足为F ，则由∠CDF=∠EDO ，得△CDF ∽△EDO ，则3(5)45CF t --=，解得485t CF -=. 由12CF t ≤，即48152t t -≤，解得163t ≤.∴当⊙C 与射线DE 有公共点时，求t 的取值范围为41633t ≤≤. ② 当P A=PB时，过点P 作PQ ⊥x轴，垂足为Q ，有222221633(53)2525P A P Q A Qtt t=+=+--+. ∴2229184205t t t -+=，即2972800t t -+=，解得12420,33t t ==. 当P A=PB 时，有PC ⊥AB ，∴3535t t -=-，解得35t =.当PB=AB 时，有222221613(53)2525PB PQ BQ t t t =+=+--+，∴221324205t t t ++=，即278800t t --=，解得45204,7t t ==-（不合题意，舍去）. 当△P AB 为等腰三角形时，43t =、4、5或203.练一练1. 如图，在12×6的网格中（每个小正方形的边长均为1个单位），⊙A 的半径为1，⊙B 的半径为2，要使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示位置向右平移 个单位.（第1题） （第2题）2. 如图，⊙O 的半径为3cm ，B 为⊙O 外一点，O B 交⊙O 于点A ，AB=OA ，动点P 从点A 出发，以πcm/s 的速度在⊙O 上按逆时针方向运动一周回到点A 立即停止，当动点P 运动时间为 s 时，BP 与⊙O 相切.3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 过点(4,0)A -、(0,4)B ，⊙O 的半径为1，点P 为直线AB 上一动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线PQ 的最小值为 .4. 如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，∠AOB =45°，点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设OP=x ，则x 的取值范围是（ ）A. 0x ≤≤B. x ≤C. 11x -≤≤B. xABP（第3题） （第4题） （第5题）5. 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交于点P ，当点C 在上半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （ ）A. 到CD 的距离保持不变B. 位置不变C. 等分DBD. 随点C 的移动而移动 6. 如图，⊙O 1的半径为1，正方形ABCD 的边长为6，点O 2为正方形ABCD 的中心，O 1O 2⊥AB 于P 点，O 1O 2=8，若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 1与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）A. 3次B. 5次C. 6次 B. 7次CD（第6题）7. 如图，已知直线3:34l y x =+. 它与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B 两点. （1）求点A 、B 的坐标；（2）设F 是x 轴上一动点，用尺规作图作出⊙P ，使⊙P 经过点B 且与x 轴相切于点F （不写作法和证明，保留作图痕迹）；（3）设（2）中所作的⊙P 的圆心坐标为(,)P x y ，求y 与x 的函数关系式；（4）是否存在这样的⊙P ，既与x 轴相切又与直线l 相切于点B ？若存在，求出圆心P 的坐标；若不存在，请说明理由.（第7题）8. 如图，直线3ky x k =-分别与y 轴、x 轴相交于点A 、B ，且AB=5. 一个圆心在坐标原点，半径为1的圆，以0.8个单位长度/秒的速度向y 轴正方向运动. 设此动圆圆心离开坐标原点的时间为t 秒. （1）求直线AB 的解析式；（2）如图①，t 为何值时，动圆与直线AB 相切？（3）如图②，若在圆开始运动的同时，一动点P 从B 点出发，沿BA 方向以1个单位长度/秒的速度运动，设t 秒时点P 到动圆圆心C 的距离为s ，求s 与t 的关系式； （4）在（3）中，动点P 自刚接触圆面起，经多长时间离开了圆面？图① 图②（第8题）9. 如图①，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，且C 为AE 的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A 的坐标为(2,0)-，AE=8.（1）求点C 的坐标；（2）连接MG 、BC ，求证：MG ∥BC ；（3）如图②，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P ，动点F 在⊙M 的圆周上运动时，OFPF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.图① 图②（第9题） （第10题）10. 如图，A 、B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A 、B 重合），我们称∠APB 是⊙O 上关于点A 、B 的滑动角.（1）已知∠APB 是⊙O 上关于点A 、B 的滑动角. ① 若AB 是⊙O 的直径，则∠APB= ； ② 若⊙O 的半径是1，AB APB 的度数.（2）已知O 2是⊙O 1外一点，以O 2为圆心作一个圆与⊙O 1相交于A 、B 两点. ∠APB 是⊙O 1上关于点A 、B 的滑动角，直线P A 、PB 分别交⊙O 2于点M 、N （点M 与点A ，点N 与点B 均不重合），连接AN ，试探索∠APB 与∠MAN ，∠ANB 之间的数量关系.。