第五组回溯算法(硬币分配问题)
动态规划之硬币组合问题
动态规划之硬币组合问题问题：如果我们有⾯值为1元、3元和5元的硬币若⼲枚，如何⽤最少的硬币凑够11元？动态规划的本质是将原问题分解为同性质的若⼲相同⼦结构，在求解最优值的过程中将⼦结构的最优值记录到⼀个表中以避免有时会有⼤量的重复计算。
例如硬币组合问题，若求凑够11元的最少硬币数，可以先从凑够0元、1元、2元……的⼦结构开始分析。
假设d(i)为凑够i元所需最少硬币数，则d(0) = 0 理所当然d(1) = 1 要凑够1元，需要从⾯值⼩于等于1元的硬币中选择，⽬前只有⾯值为1元的硬币 此时d(1) = d(0) + 1d(2) = d(2 - 1) + 1 = 2，从⾯值⼩于等于2元的硬币中选择，符合要求的硬币⾯值为：1元。
此时d(2) = d(2-1) + 1d(3) = d(3 - 3) + 1 = 1，从⾯值⼩于等于3元的硬币中选择，符合要求的硬币⾯值为：1元，3元。
此时有有两种选择：是否选择含有⾯值3元的硬币 含有3元硬币：d(3) = d(3 - 3) + 1 = 1 不含3元硬币：d(3) = d(3 - 1) + 1 = d(2) + 1 = 3 ⾃然是选择⼆者中较⼩值依次类推...就该问题总结⼀下，随着要凑够钱数的增加：1.⾸先要知道所有不⼤于该钱数的⾯值，2.对于每种⾯值的硬币，求出当选择⼀个该⾯值的硬币时所需的硬币数当选择⼀个硬币后，所需硬币数+1，所要凑够的钱数=原所要凑的钱数-该硬币⾯值，所要凑够的钱数减少，求减少后要凑钱数最少所需硬币数，属于原问题的⼦结构，已求出解3.在上述求出的结果集中，选择最⼩值，即为要凑够该钱数所需的最少硬币数由此可以看出，每个问题的最优值都是借其⼦结构的最优值得到的。
⽽该算法的最⼩的⼦结构的最优解是已知的，即：当要凑钱数为0元时，最少需要0枚硬币。
利⽤这个最⼩的⼦结构，通过递推式便可求出所指定值凑够钱数的最优值上⾯所提到的递推式，便是状态转移⽅程。
回溯法的几种算法框架
回溯法的几种算法框架回溯法是一种经典的求解问题的算法框架，通常用于解决组合优化、搜索和排列问题。
下面将介绍回溯法的几种常见算法框架。
1. 全排列问题：全排列问题是指对给定的一组数字或字符，求出所有可能的排列方式。
回溯法可以通过递归的方式实现。
首先选择一个初始位置，然后从剩余的数字中选择下一个位置，依次类推，直到所有位置都被填满。
当所有位置都填满时，得到一个排列。
随后继续回溯，在上一次选择的位置后面选择下一个数字，直到得到所有的排列。
2. 子集问题：子集问题是指对给定的一组数字或字符，求出所有可能的子集。
回溯法可以通过递归的方式实现。
从给定的集合中选择一个元素，可以选择将其添加到当前正在构建的子集中，也可以选择跳过。
递归地遍历所有可能的选择路径，直到得到所有的子集。
3. 组合问题：组合问题是指在给定的一组数字或字符中，取出若干个元素进行组合，求解出所有不重复的组合方式。
回溯法可以通过递归的方式实现。
从给定的集合中选择一个元素，将其添加到当前正在构建的组合中，然后以当前选择元素的下一个位置为起点，递归地构建后续的组合。
如果当前组合已经满足条件或者已经遍历完所有可能的位置，则回溯到上一次选择的位置，继续尝试其他可能的选择。
4. 搜索问题：搜索问题是指在给定的搜索空间中，找到满足特定条件的解。
回溯法可以通过递归的方式实现。
从初始状态开始，选择一个操作或移动方式，然后递归地探索所有可能的状态转移路径。
每次探索时，进行剪枝操作，排除一些不符合条件的状态。
当找到满足条件的解或搜索空间遍历完时，回溯到上一次选择的位置，继续探索其他可能的路径。
总结：回溯法是一种求解问题的经典算法框架，适用于组合优化、搜索和排列问题。
通过选择和回溯的方式，可以遍历所有可能的解空间，并找到满足特定条件的解。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点，选择合适的算法框架和相应的优化策略，以提高算法的效率和准确性。
典型的回溯算法问题
典型的回溯算法问题一、购票问题有2n个人排队购一件价为0.5元的商品，其中一半人拿一张1元人民币，另一半人拿一张0.5元的人民币，要使售货员在售货中，不发生找钱困难，问这2n个人应该如何排队？找出所有排队的方案。
（售货员一开始就没有准备零钱）分析：（1）根据题意可以看出，要使售货员在售货中，不发生找钱困难，则在排队中，应该是任何情况下，持0.5元的排在前面的人数多于持1元的人数。
（2）该问题可以用二进制数表示：用0表示持0.5元的人，用1表示持1元的人，那么2n个人排队问题化为2n个0、1的排列问题。
这里我们用数组B[1..2n ] 存放持币情况。
（3）设k是B数组下标指针，B[K]=0或B[K]=1，另用数组d[0]、d[1]记录0与1的个数，且必须满足：n >d[0]>=d[1]。
（4）算法：回溯搜索。
（a）先将B[1]、B[2]、……B[2n]置-1，从第一个元素开始搜索，每个元素先取0，再取1，即B[K]+1→B[K]，试探新的值，若符合规则，增加一个新元素；（b）若k<2n，则k+1→k，试探下一个元素，若k=2n则输出B[1]、B[2] ……，B[2n]。
（c）如果B[K]的值不符合要求，则B[K]再加1，试探新的值，若B[K]=2，表示第k 个元素的所有值都搜索过，均不符合条件，只能返回到上一个元素B[K-1]，即回溯。
（d）返回到上一个元素k：=k-1 ，并修改D[0]、D[1]。
（5）直到求出所有解。
二、骑士游历问题在n×n的国际象棋上的某一位置上放置一个马，然后采用象棋中“马走日字”的规则，要求这个马能不重复地走完 n×n个格子，试用计算机解决这个问题。
分析：本题是典型的回溯算法问题，设骑士在某一位置，设(X,Y )，按规则走，下一步可以是如图 ( n=5 ) 所示的8个位置之一。
我们将重点考虑前进的方向：如果某一步可继续走下去，就试探着走下去且考虑下一步的走法，若走不通则返回，考虑另选一个位置。
五大常用算法回溯算法
五大常用算法回溯算法一、回溯算法的概述回溯算法是一种常用的解决问题的算法，通常用于解决组合优化问题，如排列、组合、子集等问题。
回溯算法通过不断地尝试可能的解，直到找到问题的解或者确定不存在解为止。
它的核心思想是通过递归实现穷举，然后进行剪枝，以提高效率。
回溯算法主要包含以下五个步骤：1.选择：在每一步中，可以根据条件选择一个或多个可能的路径。
2.约束：根据问题的约束条件，限制可选择的路径。
3.：以递归的方式进行，尝试所有可能的解。
4.判断：在的过程中，判断当前路径是否符合问题的要求，如果符合则接受，否则进行回溯。
5.取消选择：在判断出当前路径不符合要求时，撤销当前选择，回到上一步继续尝试其他可能的选择。
回溯算法的优缺点：优点：1.简单直观：回溯算法的思路清晰，易于理解和实现。
2.灵活性高：回溯算法适用于各种问题，没有固定的限制条件，可以根据具体问题进行调整。
3.扩展性好：回溯算法可以通过剪枝策略提高效率，并且可以和其他算法结合使用。
缺点：1.效率低：回溯算法通常需要穷举所有的可能解，因此在处理大规模问题时效率较低。
2.可能的重复计算：由于回溯算法会尝试所有可能的解，所以有可能会产生重复计算的问题。
二、回溯算法的应用回溯算法在许多实际问题中都有应用，包括但不限于以下几个领域：1.组合求解：回溯算法可以用来求解排列、组合、子集等问题。
例如，在给定一组数字的情况下，找到所有可能的组合，使其和等于给定的目标值。
2.图的：回溯算法可以用来解决图的遍历问题，如深度优先、广度优先等。
例如，在给定一张无向图的情况下，找到从起点到终点的路径。
3.数独游戏：回溯算法可以用来解决数独游戏。
数独是一种逻辑类的游戏，在一个9×9的网格中填入1-9的数字，要求每行、每列、每个3×3的子网格都包含1-9的数字，且不能重复。
4.八皇后问题：回溯算法可以用来解决八皇后问题。
八皇后问题是在一个8×8的棋盘上放置八个皇后，要求每行、每列、每个对角线上都不能有两个皇后。
动态规划基础之硬币问题
动态规划基础之硬币问题 动态规划是⼀种算法思想，可以简单解释为将复杂问题分解为许多个⼦问题，在⽆后效性的前提下⼀⼀解决，最后得到原复杂问题的最优解。
1.最少硬币问题 有n种硬币，⾯值为v1,v2,....vn，数量⽆限。
输⼊⾮负整数s，选⽤硬币，使其和为s。
输出最少硬币的组合的数量。
易得其状态转移⽅程为ans[i]=min(ans[i],ans[i-v[j]]+1) (j=1,2...n)其中ans[i]表⽰硬币之和，v[j]表⽰硬币种类，此题本质为背包问题。
2.打印最少硬币的组合 把dp的代码改为：if(ans[i]>ans[i-v[i]]+1){//⽤的硬币变了ans_path[i]=v[i]; //在每个⾦额上记录路径，即某个硬币的⾯值ans[i]=ans[i-v[i]]+1; //递推式} 3.所有硬币组合 有n种硬币，⾯值为v1,v2,....vn，数量⽆限。
输⼊⾮负整数s，选⽤硬币，使其和为s。
输出所有可能的硬币组合的数量。
其状态转移⽅程为dp[i]+=dp[i-v[j]] (j=1,2,3,...n) 例题Coin ChangeTime Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 34000 Accepted Submission(s): 12212Problem DescriptionSuppose there are 5 types of coins: 50-cent, 25-cent, 10-cent, 5-cent, and 1-cent. We want to make changes with these coins for a given amount of money.For example, if we have 11 cents, then we can make changes with one 10-cent coin and one 1-cent coin, or two 5-cent coins and one 1-cent coin, or one 5-cent coin and six 1-cent coins, or eleven 1-cent coins. So there are four ways of making changes for 11 cents with the above coins. Note that we count that there is one way of making change for zero cent.Write a program to find the total number of different ways of making changes for any amount of money in cents. Your program should be able to handle up to 100 coins.InputThe input file contains any number of lines, each one consisting of a number ( ≤250 ) for the amount of money in cents.OutputFor each input line, output a line containing the number of different ways of making changes with the above 5 types of coins.Sample Input11 26Sample Output4 13 此题与3的区别在于硬币的数量有限，这就需要建⽴第⼆个维度来存储硬币的数量这个状态了。
硬币问题-动态规划详解
硬币问题-动态规划详解基本动态规划之硬币问题问题描述假设有 1 元，3 元，5 元的硬币若⼲（⽆限），现在需要凑出 11 元，问如何组合才能使硬币的数量最少？问题分析乍看之下，我们简单的运⽤⼀下⼼算就能解出需要 2 个 5 元和 1 个 1 元的解。
当然这⾥只是列出了这个问题⽐较简单的情况。
当硬币的币制或者种类变化，并且需要凑出的总价值变⼤时，就很难靠简单的计算得出结论了。
贪⼼算法可以在⼀定的程度上得出较优解，但不是每次都能得出最优解。
这⾥运⽤动态规划的思路解决该问题。
按照⼀般思路，我们先从最基本的情况来⼀步⼀步地推导。
我们先假设⼀个函数d(i)来表⽰需要凑出i的总价值需要的最少硬币数量。
1. 当i = 0时，很显然我们可以知道d(0) = 0。
因为不要凑钱了嘛，当然也不需要任何硬币了。
注意这是很重要的⼀步，其后所有的结果都从这⼀步延伸开来。
2. 当i = 1时，因为我们有 1 元的硬币，所以直接在第 1 步的基础上，加上 1 个 1 元硬币，得出d(1) = 1。
3. 当i = 2时，因为我们并没有 2 元的硬币，所以只能拿 1 元的硬币来凑。
在第 2 步的基础上，加上 1 个 1 元硬币，得出d(2) = 2。
4. 当i = 3时，我们可以在第 3 步的基础上加上 1 个 1 元硬币，得到3这个结果。
但其实我们有 3 元硬币，所以这⼀步的最优结果不是建⽴在第 3 步的结果上得来的，⽽是应该建⽴在第 1 步上，加上 1 个 3 元硬币，得到d(3) = 1。
5. ...接着就不再举例了，我们来分析⼀下。
可以看出，除了第 1 步这个看似基本的公理外，其他往后的结果都是建⽴在它之前得到的某⼀步的最优解上，加上 1 个硬币得到。
得出：d(i) = d(j) + 1这⾥j < i。
通俗地讲，我们需要凑出i元，就在凑出j的结果上再加上某⼀个硬币就⾏了。
那这⾥我们加上的是哪个硬币呢。
嗯，其实很简单，把每个硬币试⼀下就⾏了：1. 假设最后加上的是 1 元硬币，那d(i) = d(j) + 1 = d(i - 1) + 1。
回溯算法原理和几个常用的算法实例
回溯算法原理和几个常用的算法实例回溯算法是一种通过不断尝试和回退的方式来进行问题求解的算法。
它的基本思想是在过程中，当发现当前的选择并不符合要求时，就进行回退，尝试其他的选择，直到找到符合要求的解或者遍历完所有可能的选择。
回溯算法通常用于问题求解中的和排列组合问题，比如求解八皇后问题、0-1背包问题、数独等。
下面将介绍几个常用的回溯算法实例。
1.八皇后问题：八皇后问题是指在一个8×8的国际象棋棋盘上，放置八个皇后，使得任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一斜线上。
可以通过递归的方式依次尝试每一行的位置，并判断当前位置是否满足条件。
如果满足条件，则进入下一行尝试；否则回溯到上一行，并尝试其他的位置，直到找到解或遍历完所有的可能。
2.0-1背包问题：0-1背包问题是指在给定一组物品和一个容量为C的背包，每个物品都有自己的重量和价值，求解在不超过背包容量时，如何选择物品使得背包中物品的总价值最大。
可以通过递归的方式依次考察每个物品，并判断是否选择当前物品放入背包。
如果放入当前物品，则背包容量减小，继续递归考察下一个物品；如果不放入当前物品，则直接递归考察下一个物品。
直到遍历完所有物品或背包容量为0时，返回当前总价值。
3.数独问题：数独是一种通过填充数字的方式使得每一行、每一列和每一个九宫格内的数字都满足一定条件的谜题。
可以通过递归的方式依次尝试填充每一个空格，并判断当前填充是否符合条件。
如果符合条件，则继续递归填充下一个空格；如果不符合条件，则回溯到上一个空格，并尝试其他的数字，直到找到解或遍历完所有的可能。
回溯算法的时间复杂度一般较高，通常为指数级别。
因此，在实际应用中，可以结合剪枝等优化策略来提高算法的效率。
此外，回溯算法也可以通过非递归的方式进行实现，使用栈来存储当前的状态，从而避免递归带来的额外开销。
总之，回溯算法是一种非常有效的问题求解方法，通过不断尝试和回退，可以在复杂的空间中找到符合要求的解。
硬币找零 状态转移方程
硬币找零状态转移方程硬币找零是一个经典的问题，常常出现在数学和算法的学习中。
其背后涉及到状态转移方程的应用，通过寻找最优解来解决问题。
本文将围绕硬币找零的状态转移方程展开讨论，从问题的背景、定义和求解方法等方面进行详细阐述。
一、问题背景硬币找零是指在购买商品时，支付的金额超过了商品的价格，需要找零。
一般情况下，我们使用的硬币有不同面值，如1元、2元、5元等。
当找零金额较大时，我们希望使用最少的硬币数量来完成找零操作，以节省时间和劳力。
二、问题定义硬币找零问题可以定义为：给定一个要找零的金额和一组硬币的面值，找出能够组合成该金额的最少硬币数量。
三、求解方法为了解决硬币找零问题，我们可以使用动态规划的方法，其中关键在于建立状态转移方程。
下面，我们将详细介绍求解硬币找零问题的步骤。
1. 确定状态我们需要确定问题的状态。
在硬币找零问题中，状态可以定义为“要找零的金额”。
例如，当要找零的金额为10元时，我们可以将其记为状态10。
2. 定义状态转移方程接下来，我们需要定义状态转移方程。
状态转移方程描述了状态之间的转移关系。
在硬币找零问题中，我们可以使用以下状态转移方程：dp[i] = min(dp[i - coin] + 1)，其中dp[i]表示要找零金额为i 时所需的最少硬币数量，coin表示硬币的面值。
3. 初始化状态在使用动态规划求解问题时，我们需要初始化状态。
对于硬币找零问题，我们可以将dp[0]初始化为0，表示要找零金额为0时不需要任何硬币。
4. 确定计算顺序在使用动态规划求解问题时，我们需要确定计算的顺序。
对于硬币找零问题，我们可以从小到大依次计算每个状态的最优解。
具体而言，我们可以从状态1开始，一直计算到状态n，其中n为要找零的金额。
5. 求解最优解通过以上步骤，我们可以得到要找零的金额为n时所需的最少硬币数量。
这是因为在计算每个状态的最优解时，我们已经记录了每个状态的最优解所需的硬币数量。
四、举例说明为了更好地理解硬币找零问题的求解过程，我们举一个具体的例子来说明。
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实训一
硬币分法问题的回溯算法与实现
一、设计目的
1）掌握硬币分法问题的回溯算法；
2）进一步掌握回溯算法的基本思想和算法设计方法；
二、设计内容
1．任务描述
1）算法简介
回溯算法也叫试探法，它是一种系统地搜索问题的解的方法。
回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。
八皇后问题就是回溯算法的典型，第一步按照顺序放一个皇后，然后第二步符合要求放第2个皇后，如果没有符合位置符合要求，那么就要改变第一个皇后的位置，重新放第2个皇后的位置，直到找到符合条件的位置就可以了回溯在迷宫搜索中使用很常见，就是这条路走不通，然后返回前一个路口，继续下一条路。
回溯算法说白了就是穷举法。
不过回溯算法使用剪枝函数，剪去一些不可能到达最终状态（即答案状态）的节点，从而减少状态空间树节点的生成。
回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。
它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。
如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。
否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。
回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。
而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。
2）硬币分法问题简介
假设有5种硬币：50美分，25美分，10美分，5美分和1美分。
我们给一定数量的资金，要求这些硬币作出变化。
例如，如果我们有11美分，那么我们可以给出一个10美分的硬币和一个1美分硬
币，或者2个 5美分的硬币和一个1美分硬币，或者一个5美分硬币和6个 1美分的硬币，或11个
1美分硬币。
因此，有四个使上述11美分硬币的变化方式。
编写一个程序来查找，作出任何不同数额的美分方式改变的总数。
你的程序最多能够处理100美分以内的。
3）设计任务简介
对于回溯类似的问题。
首先，要能理解该问题运用到的回溯的概念；其次，根据回溯相关的基本思想，找出相应的数学公式；最后，进行程序的设计和编写。
利用回溯的基本思想和计算步骤，有助于我们解决生活中遇到的各种数学问题。
4）问题分析
从最小面值的开始先算起,慢慢地将大面值的硬币累计进来,统计不同种硬币的分配方法。
同样的，从最大的面值先算起，慢慢加入最小面值的硬币来统计不同硬币的分配方法。
但是这种算法所用的循环次数太多，最终的结果虽然一样，单这种利用率不高，不适合。
故我们会采用先从最
小面值的先入手做循环递进。
硬币分法问题的表示方案
2．递推过程的抽象描述
本设计采用前向或后向递推公式。
用自然语言、伪程序设计语言或流程图等形式针对硬币分法问题的求解（抽象地）描述递推过程……
3．解题思路
给定一个金额总数I，求所有硬币的分配方法,利用多重FOR循环语句,层层递进。
4．主要数据类型与变量
Int i;//总金额
Int a,b,c,d,e//分别对应不同面额的硬币数
Int count//方法统计
5．算法或程序模块
for(int a=0;a<=i;a++)
for(int b=0;b*5<=i;b++)
for(int c=0;c*10<=i;c++)
for(int d=0;d*25<=i;d++)
for(int e=0;e*50<=i;e++)
if(a+b*5+c*10+d*25+e*50==i)
printf("第%d种方法:1美分要%d张;5美分要%d张;10美分要%d张;25美分要%d 张;50美分要%d张;\n",count++,a,b,c,d,e);
三、测试
1．方案
描述测试方案、测试模块、测试数据实例（文字数据、图或表等形式）……
2．结果
四、总结与讨论
通过构造函数，利用回溯思想编写代码，利用回溯的基本思想和计算步骤，有助于我们解决生活中遇到的各种数学问题。
附：程序模块的源代码
#include<stdio.h>
int main()
{
int count=1,i,countf=0;
printf("请输入总数:\n");
scanf("%d",&i);
for(int a=0;a<=i;a++)
for(int b=0;b*5<=i;b++)
for(int c=0;c*10<=i;c++)
for(int d=0;d*25<=i;d++)
for(int e=0;e*50<=i;e++)
{
if(a+b*5+c*10+d*25+e*50==i)
printf("第%d种方法:1美分要%d张;5美分要%d张;10美分要%d张;25美分要%d 张;50美分要%d张;\n",count++,a,b,c,d,e);
countf++;
}
printf("循环共执行了:%d次\n",countf);
}。