快速傅里叶变换(FFT)原理及源程序

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快速傅里叶变换 FFT

快速傅里叶变换 FFT

因为
,所以:
上式中X1(k)和X2(k)分别为x2(r)和x2(r)的N/2点DFT, 即
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期,且 X(k)又可表示为:
,以
即将一个N点的DFT分解成为两个N/2点的DFT。 上述运算可用右下图来表示,称为蝶形运算符号。
从右图可知,要完成一 个蝶形运算需要进行一 次复数相乘和两次复数 相加运算。
对于象雷达、通信、声纳等需要实时处理的信号, 因为其运算量更大,所以无法满足信号处理的实时 性要求。迫切需要有新的算法。
二、DFT运算的特点
实际上,DFT运算中包含有大量的重复运算。在WN
矩阵中,虽然其中有N2个元素,但由于WN的周期
性,其中只有N个独立的值,即
,且
这N个值也有一些对称关系。总之,WN因子具有如 下所述周期性及对称性:
N 1
X (k) x(n)WNkn n0
x(n)
1 N
N 1
X (k)WNkn
k 0
k 0,1,2, , N 1 n 0,1,2, , N 1
计算X(k)的运算量:需要N2次复数乘法,N(N-1)
次复数加法。在N较大时计算量很大。
例如:N=1024时, 需要1,048,576次复数乘法, 即 4,194,304次实数乘法
1.对称性
2.周期性 由上述特性还可得出:
利用上述对称特性,可使DFT运算中有些项可以合 并,这样,可使乘法次数减少大约一半;利用WN 矩阵的对称性及周期性,可以将长序列的DFT分解 为短序列的DFT,N越小,运算量能够减少。 例如,对于四点的DFT,直接计算需要16次复数乘 法,根据上述特性可以有以下形5年,J. W. Cooley和J. W. Tukey巧妙应用DFT中 W因子的周期性及对称性提出了最早的FFT,这是 基于时间抽取的FFT。具有里程碑式的贡献(运算量 缩短两个数量级)

快速傅里叶变换fft的c程序代码实现

快速傅里叶变换fft的c程序代码实现

快速傅里叶变换fft的c程序代码实现标题:一种高效实现快速傅里叶变换(FFT)的C语言程序代码导言:快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform,FFT)是一种在信号处理、图像处理、通信系统等领域广泛应用的重要算法。

它通过将输入信号从时域转换到频域,实现了对信号的频谱分析和频率成分提取。

在实际应用中,为了获得高效的FFT计算过程,我们需要使用合适的算法和优化技巧,并将其转化为高质量的C语言代码。

本文将介绍一种基于Cooley-Tukey算法的快速傅里叶变换的C语言程序代码实现。

我们将从原理开始详细讲解FFT算法,然后逐步引入代码实现的步骤,并进行相关优化。

我们将总结整个实现过程,并分享一些个人对FFT算法的理解和观点。

一、快速傅里叶变换(FFT)的原理(1)傅里叶级数与离散傅里叶变换傅里叶级数是将一个周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的和的方法。

然而,实际数字信号往往是离散的。

我们需要离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)来对离散信号进行频谱分析。

(2)DFT的定义及其计算复杂度离散傅里叶变换通过对离散信号的变换矩阵进行乘法运算,得到其频谱表示。

然而,直接使用定义式计算DFT的时间复杂度为O(N^2),其中N为信号长度,这对于大规模信号计算是不可接受的。

(3)引入快速傅里叶变换 (FFT)Cooley-Tukey算法是一种最常用的FFT算法,通过将DFT分解为多个较小规模的DFT计算来降低计算复杂度。

FFT的时间复杂度为O(NlogN),大大提高了计算效率。

二、快速傅里叶变换(FFT)的C语言实现(1)算法流程和数据结构设计以一维FFT为例,我们需要定义合适的数据结构来表示复数和存储输入输出信号,同时设计实现FFT的主要流程。

(2)递归实现方法递归实现是最直观的FFT实现方法,基于Cooley-Tukey算法的思想。

将输入信号分为偶数和奇数两部分,然后递归计算它们的FFT。

FFT的算法原理应用

FFT的算法原理应用

FFT的算法原理应用FFT(快速傅里叶变换)是一种用于计算傅里叶变换的算法,它通过分治法和迭代的方式,将O(n^2)时间复杂度的离散傅里叶变换(DFT)算法优化到O(nlogn)的时间复杂度。

FFT算法在信号处理、图像处理、通信系统等领域应用广泛。

1.算法原理:FFT算法的核心思想是将一个长度为n的序列分解为两个长度为n/2的子序列,然后通过递归的方式对子序列进行FFT计算。

在将子序列的FFT结果合并时,利用了傅里叶变换的对称性质,即可以通过递归的方式高效地计算出整个序列的FFT结果。

具体来说,FFT算法可以分为升序计算和降序计算两个过程。

升序计算是将原始序列转换为频域序列的过程,而降序计算则是将频域序列转换回原始序列的过程。

在升序计算中,序列的奇数项和偶数项被分开计算,而在降序计算中,FFT结果被奇数项和偶数项的和和差重新组合成原始序列。

2.算法应用:2.1信号处理:FFT算法在数字信号处理中广泛应用,可以将信号从时域转换为频域,从而实现滤波、降噪、频谱分析等操作。

例如,在音频处理中,可以利用FFT算法对音频信号进行频谱分析,从而实现声音的等化处理或实时频谱显示。

2.2图像处理:FFT算法在图像处理中也有重要的应用。

图像的二维傅里叶变换可以将图像从空间域转换为频域,从而实现图像的频域滤波、频域增强等操作。

例如,可以通过对图像进行傅里叶变换,找到图像中的频域特征,进而实现图像的降噪、边缘检测等功能。

2.3通信系统:FFT算法在通信系统中也有广泛应用,特别是在OFDM (正交频分复用)系统中。

OFDM系统可以将高速数据流分成多个低速子流,然后利用FFT对每一个子流进行频域调制,再通过并行传输的方式将它们叠加在一起。

这样可以提高信号的传输效率和容量,降低频率的干扰。

2.4数据压缩:FFT算法在数据压缩领域也得到了广泛应用。

例如,在JPEG图像压缩算法中,就使用了离散余弦变换(DCT),它可看做是FFT的一种变种。

快速傅里叶变换FFT算法源码经典

快速傅里叶变换FFT算法源码经典

快速傅里叶变换FFT算法源码经典以下是一个经典的快速傅里叶变换(FFT)算法的源码,包含详细的注释解释每个步骤的作用。

```pythonimport cmath#递归实现快速傅里叶变换def fft(x):N = len(x)#基本情况:如果输入向量只有一个元素,则直接返回该向量if N <= 1:return x#递归步骤:#将输入向量分成两半even = fft(x[0::2]) # 偶数索引的元素odd = fft(x[1::2]) # 奇数索引的元素T = [cmath.exp(-2j * cmath.pi * k / N) * odd[k] for k in range(N // 2)]#组合结果return [even[k] + T[k] for k in range(N // 2)] + \[even[k] - T[k] for k in range(N // 2)]#逆傅里叶变换def ifft(X):N = len(X)#将输入向量取共轭X_conj = [x.conjugate( for x in X]#应用快速傅里叶变换x_conj = fft(X_conj)#将结果取共轭并归一化return [(x.conjugate( / N).real for x in x_conj]#示例测试if __name__ == "__main__":x=[1,2,3,4]X = fft(x)print("快速傅里叶变换结果:", X)print("逆傅里叶变换恢复原始向量:", ifft(X))```这个源码实现了一个经典的快速傅里叶变换(FFT)算法。

首先,`fft`函数实现了递归的快速傅里叶变换,接收一个输入向量`x`作为参数,返回傅里叶变换后的结果`X`。

如果输入向量只有一个元素,则直接返回。

否则,将输入向量分成两半,分别对偶数索引和奇数索引的元素递归应用FFT。

FFT算法设计(含程序设计)

FFT算法设计(含程序设计)

FFT算法设计(含程序设计)简介快速傅里叶变换(FFT)是一种高效计算离散傅里叶变换(DFT)的算法,它的运算复杂度是O(nlogn)。

FFT在信号处理、图像处理、通信以及其他领域中广泛应用。

本文将介绍FFT算法的原理,并给出一个简单的FFT算法的程序设计示例。

FFT算法原理FFT算法基于DFT的性质,通过利用对称性和周期性,将一个长度为n的序列划分为多个规模较小的子序列,并对其进行逐步变换,最终得到整个序列的傅里叶变换结果。

FFT算法的核心思想是分治法,即将一个长度为n的序列划分为两个长度为n/2的子序列,然后对子序列分别进行FFT变换,再进行组合得到原序列的DFT。

具体的步骤如下:1. 如果n=1,DFT即为序列本身;2. 将长度为n的序列划分为两个长度为n/2的子序列,分别为序列A和序列B;3. 对序列A进行FFT变换得到A的傅里叶变换结果;4. 对序列B进行FFT变换得到B的傅里叶变换结果;5. 将A和B的傅里叶变换结果按照以下公式组合得到原序列的傅里叶变换结果:![FFT公式]()FFT算法程序设计示例下面是一个使用语言实现的简单FFT算法的程序设计示例:import cmathdef fft(x):N = len(x)if N <= 1:return xeven = fft(x[0::2])odd = fft(x[1::2])T = [cmath.exp(-2j cmath.pi k / N) odd[k] for k in range(N // 2)]return [even[k] + T[k] for k in range(N // 2)] + [even[k] T[k] for k in range(N // 2)]测试代码x = [1, 2, 3, 4]X = fft(x)print(X)以上代码实现了一个递归版本的FFT算法。

输入序列x为长度为2的幂次的复数序列,输出序列X为其傅里叶变换结果。

fft的计算原理

fft的计算原理

fft的计算原理FFT(Fast Fourier Transform)是一种高效地计算离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT)的算法。

FFT能够将一个时域上的离散信号转换到频域上,并可以用于信号分析、滤波、图像处理以及编码等领域。

FFT的计算原理可以从两个角度来讲解:一是从离散傅里叶变换(DFT)的定义出发,二是从FFT的具体计算过程中各个步骤的推导和实现。

首先,从DFT的定义出发,对一个离散信号x(n)进行DFT计算,可以得到其频域表示X(k),表示为:X(k) = Σ(x(n) * exp(-j2πkn/N))其中,N为信号的长度,k为频域采样点的索引,n为时域采样点的索引。

直接按照DFT的定义计算的复杂度是O(N^2),当信号长度很大时,计算量非常大。

FFT算法通过对DFT的变换矩阵进行分解,将复杂度降低到O(NlogN)。

然后,从FFT的具体计算过程中各个步骤的推导和实现来看。

以下是常见的快速傅里叶变换算法,即Cooley-Tukey算法的计算过程:1. 将信号x(n)分为两个部分:偶数索引部分x_e(n)和奇数索引部分x_o(n),分别由原信号的偶数索引和奇数索引采样得到。

2. 对x_e(n)和x_o(n)分别进行FFT计算,得到频域表示X_e(k)和X_o(k)。

3. 将得到的频域表示X_e(k)和X_o(k)按照以下公式合并得到最终的频域表示X(k):X(k) = X_e(k) + W_N^k * X_o(k)其中,W_N^k = exp(-j2πk/N)为旋转因子,可由欧拉公式得到。

4. 重复以上步骤,直到计算得到所有频域采样点的值。

以上就是FFT算法的基本原理和计算过程。

通过对信号进行分解和合并的方式,FFT算法能够大大减少计算量,快速地计算得到离散信号的频域表示。

后续还有一些对FFT算法进行改进和优化的方法,如快速傅里叶变换的再加工算法(Radix-2 FFT Algorithm)以及快速余弦和正弦变换(Fast Cosine and Sine Transform)等。

试说明快速傅里叶变换的基本思路和原理

试说明快速傅里叶变换的基本思路和原理

快速傅里叶变换的基本思路和原理一、引言快速傅里叶变换(FFT)是一种高效的算法,用于计算离散傅里叶变换(DFT)及其逆变换。

它通过将DFT计算中的复杂度从O(N^2)降低到O(N log N),极大地提高了计算效率,成为信号处理、图像处理、通信等领域中的重要工具。

本文将介绍快速傅里叶变换的基本思路和原理,主要包括分治策略、递归实施、周期性和对称性、蝶形运算、高效算法等方面。

二、分治策略快速傅里叶变换的基本思路是将原问题分解为若干个子问题,通过对子问题的求解,逐步递归地得到原问题的解。

这种分治策略的思想来源于算法设计中的“分而治之”原则,即将一个复杂的问题分解为若干个较小的、简单的问题来处理。

在FFT中,分治策略将DFT的计算过程分为多个步骤,逐步简化问题规模,最终实现高效的计算。

三、递归实施递归是实现分治策略的一种常用方法。

在快速傅里叶变换中,递归地实施分治策略,将问题规模不断缩小,直到达到基本情况(通常是N=1或2),然后逐步推导到原问题。

递归实施使得FFT算法的代码简洁明了,易于实现和理解。

同时,递归也使得算法能够利用计算机的存储器层次结构,将计算过程中的中间结果存储起来,避免重复计算,进一步提高计算效率。

四、周期性和对称性在快速傅里叶变换中,利用了离散傅里叶变换的周期性和对称性。

周期性是指DFT的结果具有周期性,即对于输入序列x[n],其DFT的结果X[k]具有N的周期性。

对称性是指DFT的结果具有对称性,即对于输入序列x[n],其DFT的结果X[k]具有对称性。

这些性质在FFT算法中得到了广泛应用,它们有助于简化计算过程,提高计算效率。

例如,在蝶形运算中,利用周期性和对称性可以避免某些不必要的计算,从而减少运算量。

五、蝶形运算蝶形运算是快速傅里叶变换中的基本运算单元。

它利用离散傅里叶变换的周期性和对称性,将多个复数相加和相乘组合在一起,形成一个类似蝴蝶形状的运算流程。

蝶形运算的复杂度为O(log N),是实现快速傅里叶变换的关键步骤之一。

快速傅里叶变换 (FFT) 实现

快速傅里叶变换 (FFT) 实现

§2.4 快速傅里叶变换 (FFT) 实现一、实验目的 1. 掌握FFT 算法的基本原理;2. 掌握用C 语言编写DSP 程序的方法。

二、实验设备 1. 一台装有CCS3.3软件的计算机; 2. DSP 实验箱的TMS320F2812主控板;3. DSP 硬件仿真器。

三、实验原理傅里叶变换是一种将信号从时域变换到频域的变换形式,是信号处理的重要分析工具。

离散傅里叶变换(DFT )是傅里叶变换在离散系统中的表示形式。

但是DFT 的计算量非常大, FFT 就是DFT 的一种快速算法, FFT 将DFT 的N 2 步运算减少至 ( N/2 )log 2N 步。

离散信号x(n)的傅里叶变换可以表示为∑=-=10][)(N N nk N W n x k X , Nj N e W /2π-=式中的W N 称为蝶形因子,利用它的对称性和周期性可以减少运算量。

一般而言,FFT 算法分为时间抽取(DIT )和频率抽取(DIF )两大类。

两者的区别是蝶形因子出现的位置不同,前者中蝶形因子出现在输入端,后者中出现在输出端。

本实验以时间抽取方法为例。

时间抽取FFT 是将N 点输入序列x(n) 按照偶数项和奇数项分解为偶序列和奇序列。

偶序列为:x(0), x(2), x(4),…, x(N-2);奇序列为:x(1), x(3), x(5),…, x(N-1)。

这样x(n) 的N 点DFT 可写成:()()∑++∑=-=+-=12/0)12(12/02122)(N n kn NN n nkNW n x Wn x k X考虑到W N 的性质,即2/)2//(22/)2(2][N N j N j N W e e W ===--ππ因此有:()()∑++∑=-=-=12/02/12/02/122)(N n nkN kNN n nkN W n x W Wn x k X或者写成:()()k Z W k Y k X kN +=)(由于Y(k) 与Z(k) 的周期为N/2,并且利用W N 的对称性和周期性,即:k NN k N W W -=+2/可得:()()k Z W k Y N k X kN -=+)2/(对Y(k) 与Z(k) 继续以同样的方式分解下去,就可以使一个N 点的DFT 最终用一组2点的DFT 来计算。

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创作编号:GB8878185555334563BT9125XW创作者: 凤呜大王*《测试信号分析及处理》课程作业快速傅里叶变换一、程序设计思路快速傅里叶变换的目的是减少运算量,其用到的方法是分级进行运算。

全部计算分解为M 级,其中N M 2log =;在输入序列()i x 中是按码位倒序排列的,输出序列()k X 是按顺序排列;每级包含2N 个蝶形单元,第i 级有i N2个群,每个群有12-i 个蝶形单元; 每个蝶形单元都包含乘r N W 和rN W -系数的运算,每个蝶形单元数据的间隔为12-i ,i 为第i 级; 同一级中各个群的系数W 分布规律完全相同。

将输入序列()i x 按码位倒序排列时,用到的是倒序算法——雷德算法。

自然序排列的二进制数,其下面一个数总比上面的数大1,而倒序二进制数的下面一个数是上面一个数在最高位加1并由高位向低位仅为而得到的。

若已知某数的倒序数是J ,求下一个倒序数,应先判断J 的最高位是否为0,与2Nk =进行比较即可得到结果。

如果J k >,说明最高位为0,应把其变成1,即2NJ +,这样就得到倒序数了。

如果J k ≤,即J 的最高位为1,将最高位化为0,即2N J -,再判断次高位;与4Nk =进行比较,若为0,将其变位1,即4NJ +,即得到倒序数,如果次高位为1,将其化为0,再判断下一位……即从高位到低位依次判断其是否为1,为1将其变位0,若这一位为0,将其变位1,即可得到倒序数。

若倒序数小于顺序数,进行换位,否则不变,防治重复交换,变回原数。

注:因为0的倒序数为0,所以可从1开始进行求解。

二、程序设计框图(1)倒序算法——雷德算法流程图(2)FFT算法流程三、FFT源程序void fft(x,n)int n;double x[];{int i,j,k,l,m,n1,n2;double c,c1,e,s,s1,t,tr;for(j=1,i=1;i<n/2;i++){ m=i;j=2*j;if(j==n)break;} //得到流程图的共几级n1=n-1;for(j=0,i=0;i<n1;i++){if(i<j) //如果i<j,即进行变址{tr=x[j];x[j]=x[i];x[i]=tr;}k=n/2; //求j的下一个倒位序while(k<(j+1)) //如果k<(j+1),表示j 的最高位为1{j=j-k; //把最高位变成0 k=k/2; //k/2,比较次高位,依次类推,逐个比较,直到某个位为0}j=j+k; //把0改为1 }for(i=0;i<n;i+=2){tr=x[i];x[i]=tr+x[i+1];x[i+1]=tr-x[i+1];}n2=1;for(l=1;l<=m;l++) // 控制蝶形结级数{n4=n2;n2=2*n4;n1=2*n2;e=6.28318530718/n1;for(i=0;i<n;i+=n1) //控制同一蝶形结运算,即计算系数相同蝶形结{tr=x[i];x[i]=tr+x[i+n2];创作编号:GB8878185555334563BT9125XW创作者:凤呜大王*x[i+n2]=tr-x[i+n2];x[i+n2+n4]=-x[i+n2+n4];a=e;for(j=2;j<=(n4-1);j++) //控制计算不同种蝶形结,即计算系数不同的蝶形结{i1=i+j;i2=i-j+n2;i3=i+j+n2;i4=i-j+n1; cc=cos(a); ss=sin(a); a=a+e; t1=cc*x[i3]+ss*x[i4]; t2=ss*x[i3]-cc*x[i4]; x[i4]=x[i2]-t2; x[i3]=-x[i2]-t2; x[i2]=x[i1]-t1; x[i1]=x[i1]+t1; } } } }四、计算实例及运行结果设输入序列)(i x 为)1,...,2,1,0(,200sin )(-=∆=n i t i i x π其离散傅里叶变换为)1,...,2,1,0(,)()(10-==∑-=n k W i x k X N i ikN这里njeW π2-=。

选n=512,计算离散傅里叶变换)(k X 。

所用软件为Turbo c 2.0,操作界面如图1所示图1 Turbo c 2.0操作界面程序运行结束后的界面如图2所示图2 程序运行后的界面例子的具体程序如下:#include<math.h>#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#define pi 3.14159265359void fft(x,n)int n;double x[];{int i,j,k,l,i1,i2,i3,i4,n4,m,n1,n2;double a,e,cc,ss,tr,t1,t2;for(j=1,i=1;i<n/2;i++){ m=i;j=2*j;if(j==n)break;}n1=n-1;for(j=0,i=0;i<n1;i++){if(i<j){tr=x[j];x[j]=x[i];x[i]=tr;}k=n/2;while(k<(j+1)){j=j-k;k=k/2;}j=j+k;}for(i=0;i<n;i+=2){tr=x[i];创作编号:GB8878185555334563BT9125XW创作者:凤呜大王* x[i]=tr+x[i+1];x[i+1]=tr-x[i+1];}n2=1;for(l=1;l<=m;l++){n4=n2;n2=2*n4;n1=2*n2;e=6.28318530718/n1;for(i=0;i<n;i+=n1){tr=x[i];x[i]=tr+x[i+n2];x[i+n2]=tr-x[i+n2];x[i+n2+n4]=-x[i+n2+n4];a=e;for(j=2;j<=(n4-1);j++){i1=i+j;i2=i-j+n2;i3=i+j+n2;i4=i-j+n1;cc=cos(a);ss=sin(a);a=a+e;t1=cc*x[i3]+ss*x[i4];t2=ss*x[i3]-cc*x[i4];x[i4]=x[i2]-t2;x[i3]=-x[i2]-t2;x[i2]=x[i1]-t1;x[i1]=x[i1]+t1;}}}}main(){FILE *p;int i,j,n;double dt=0.001;double x[512];p=fopen("d:\123.c","w");n=512;for(i=0;i<n;i++){x[i]=sin(200*pi*i*dt);}for(i=0;i<n;i++){ fprintf(p,"%10.7f",x[i]);fprintf(p,"\n");printf("%10.7f",x[i]);printf("\n");}fft(x,n);fprintf(p,"\n DISCRETE FOURIER TRANSFORM\n");printf("\n DISCRETE FOURIER TRANSFORM\n");fprintf(p,"%10.7f",x[0]);printf("%10.7f",x[0]);fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f\n",x[1],x[n-1]);printf("%10.7f+J%10.7f\n",x[1],x[n-1]);for(i=2;i<n/2;i+=2){fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f",x[i],x[n-i]);fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f",x[i+1],x[n-i-1]);fprintf(p,"\n");printf("%10.7f+J%10.7f",x[i],x[n-i]);printf("%10.7f+J%10.7f",x[i+1],x[n-i-1]);printf("\n");}fprintf(p,"%10.7f",x[n/2]);printf("%10.7f",x[n/2]);fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f\n",x[n/2-1],-x[n/2+1]);for(i=2;i<n/2;i+=2){fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f",x[n/2-i],-x[n/2+i]);fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f",x[n/2-i-1],-x[n/2+i+1]);fprintf(p,"\n");printf("%10.7f+J%10.7f",x[n/2-i],-x[n/2+i]);printf("%10.7f+J%10.7f",x[n/2-i-1],-x[n/2+i+1]);printf("\n");创作编号:GB8878185555334563BT9125XW创作者:凤呜大王*}}将程序运行后所得数据绘制成曲线图(其中FFT变换的数据要先取绝对值后再画图)如下由上图可知,变换后的图开在频率100Hz处出现一个峰值,这与理论上的结果一致。

创作编号:GB8878185555334563BT9125XW创作者:凤呜大王*。

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