江苏省海安高级中学高三数学试题

江苏省海安高级中学高三数学试题

江苏省海安高级中学高三数学试题必做题部分

(本部分满分160分,考试时间120分钟)

一、填空题: 本大题共14小题,每小题5分,共计70分1.为虚数单位,则的实部是▲ .2.已知集合,,若,则实数a ▲ .

3.设是等差数列,若,,则数列的前10项和为▲ .

4.三张卡片上分别写上字母E、E、B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词BEE

的概率为▲ .

5.已知是三个互不重合的平面,是一条直线,给出下列四个命题:

①若,则; ②若,则;

③若上有两个点到的距离相等,则;④若,则.

其中正确命题的序号是▲ .

6.如图,在6×6方格纸中有向量,若满足,则▲ .

7. 按如图所示的程序框图运行程序后,输出的结果是63,则判断框中的整数H的值是▲ .

8.某校举行演讲比赛,9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示,统计员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91,复核员在复核时,发现有一个数字茎叶图中的无法看清,若统计员计算无误,则数字应该是▲ .

9.已知实数满足,则的最大值是▲ .

10.已知函数若数列满足,且是递增数列,则实数a的取值范围是▲ .

11.已知A、B、C是直线l上的三点,向量满足,则函数y fx的表达式为▲ .

12. 已知实数满足,则的取值范围是▲ .

13.设圆:,直线:,点在直线上,若在圆上存在一点,使得(为坐标原点),则的取值范围为▲ .

14.若数列满足:对任意的,只有有限个正整数m使得成立,记这样的m 的个数为,则得到一个新数列.例如,若数列是,则数列是.已知对任意的,,▲ .

二、解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

15.(本小题满分14分)

如图,在平面直角坐标系中,点A在轴的正半轴上,直线AB的倾斜角为,OB 2,设. (1)用表示点B的坐标及OA的长度; (2)若的值.

16.(本小题满分14分)

如图,在四棱锥P?ABCD中,侧面PAD是正三角形,且垂直于底面ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD60°,M为PC上一点,且PA?//?平面BDM. (1)求证:M为PC的中点; (2)求证:平面ADM⊥平面PBC.

17.(本小题满分14分)

某海滨城市坐落在一个三角形海域的顶点O处(如图),一条海岸线AO在城市O的正东方向,另一条海岸线OB在城市O北偏东方向,位于城市O北偏东方向15km 的P处有一个美丽的小岛.旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路:从城市O出发沿海岸线OA到达C处,再从海面直线航行,途经小岛P到达海岸线OB的D处,然

后返回城市O.设OC t km,这条旅游观光线路所围成的三角形区域面积为St. (1)写出St关于t的函数关系式及函数定义域;

(2)要使面积最小,C应选址何处?并求出最小面积.

18.(本题满分16分)

已知圆:交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,直线l:为准线的椭圆.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若M是直线l上的任意一点,以OM为直径的圆K与圆O相交于P、Q两点,

求证:直线PQ 必过定点E,并求出点E的坐标;

(3)在(2)的条件下,直线PQ与椭圆C交于G、H两点,点G在x轴上方, ,求此时弦PQ的长.

19.(本题满分16分)

已知定义在上的三个函数,,,且在处取得极值.w_w w. k#s5_u.c o*m

(1)求实数a的值及函数的单调区间;

(2)求证:当时,恒有成立;

(3)把对应的曲线C1向上平移6个单位后得曲线C2,求C2与对应曲线C3的交点个数,并说明理由.

20. (本题满分16分)

已知集合中的元素都是正整数,且,对任意的且,有≥.

(1)求证:≥;

(2)求证:;

(3)对于,试给出一个满足条件的集合.

附加题部分

(本部分满分40分,考试时间30分钟)

21.(本题满分10分)

设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸压变换.

(1)求矩阵M及其逆矩阵;

(2)在平面xoy中,求在的作用下,椭圆变换后的曲线方程.

22.(本题满分10分)

求经过极点三点的圆的极坐标方程.

23.(本题满分10分)

某地区举办科技创新大赛,有50件科技作品参赛,大赛组委会对这50件作品分别

从“创新性”和“实用性”两项进行评分,每项评分均按等级采用5分制,若设“创新性”得分为,“实用性”得分为,统计结果如下表:

作品数量实用性

1分2分3分4分5分

创

新

性 1分 1 3 1 0 1

2分 1 0 7 5 1

3分 2 1 0 9 3

4分16 05分0 0 1 1 3

(1)求“创新性为4分且实用性为3分”的概率;

(2)若“实用性”得分的数学期望为,求、的值.

24.(本题满分10分)

,求证: .

江苏省海安高级中学高三数学试题参考答案

1. 2. 3.4. 5.②④ 6. 7. 5 8. 29.9 10. 2,3 11. 1213. 14.

15.解:(1)由三角函数的定义,得点B的坐标为. ……………… 2分在

由正弦定理得,得, ……………… 4分

即.所以.……………… 6分

注:若用直线AB方程求得也得分. (2)由(1)得.…………… 8分

因为

所以.……………… 10分

又所以 . ………………14分

16.解(1)证明:连AC,设AC与BD交于G.

由于 PA//平面BDM,面PAC∩面BDMMG,

所以, PA//MG ………………3分

底面ABCD为菱形, G为AC的中点,