江苏省海安高级中学高三数学试题
2024-2025学年江苏省南通市海安高级中学高三上学期9月月考数学试题及答案
江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1.已知集合{}{}20,1,2,3,log 1A B xx ==≤∣，则A B ⋂=（ ）A.{}0,1,2B.{}1,2C.{}0,1D.{}12.命题“20,10x x x ∀>-+>”的否定为（ ）A.20,10x x x ∀>-+≤B.20,10x x x ∀≤-+≤C.20,10x x x ∃>-+≤D.20,10x x x ∃≤-+≤3.已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 是偶函数B.()f x 是增函数C.()f x 是周期函数D.()f x 的值域为[)1,∞-+4.若a b >，则（ ）A.ln ln a b >B.0.30.3a b >C.330a b ->D.0a b ->5.已知函数()()1ln 1f x x x=+-，则()y f x =的图象大致是（ ）A. B.C. D.6.如图，矩形ABCD 的三个顶点A B C ､､分别在函数12,,xy y x y ===的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为（）A.11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B.11,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭7.已知()912160,0,log log log a b a b a b >>==+，则ab=（ ）C.128.已知()()5,15ln4ln3,16ln5ln4a b c ==-=-，则（ ）A.a c b <<B.c b a <<C.b a c <<D.a b c<<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求､全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9.下列函数中，在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的函数是（ ）A.πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.cos y x x=-C.sin2y x =D.πcos 3y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭10.下面的结论中正确的是（ ）A.若22ac bc >，则a b >B.若0,0a b m >>>，则a m ab m b+>+C.若110,0,a b a b a b>>+=+，则2a b +≥D.若20a b >>，则()44322a b a b +≥-11.已知函数()cos sin2f x x x =，下列结论中正确的是（ ）A.()y f x =的图像关于()π,0中心对称B.()y f x =的图像关于π2x =对称C.()f xD.()f x 既是奇函数，又是周期函数三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()321f x g x x x -=+-，则()()11f g +=__________.13.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为__________.14.若存在实数t ，对任意的(]0,x s ∈，不等式()()ln 210x x t t x -+---≤成立，则整数s 的最大值为__________.（参考数据：ln3 1.099,ln4 1.386≈≈）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题13分）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90,6,A BC D E ∠== ､分别是,AC AB 上的点，CD BE O ==为BC 的中点.将ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中AO =（1）求证：A O '⊥平面BCDE ；（2）求点B 到平面A CD '的距离.16.（本题15分）设数列{}n a 的各项均为正整数.（1）数列{}n a 满足1121212222n n n n a a a a n --++++= ，求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 是等比数列，且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，求公比q .17.（本题15分）已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在2π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在2π,π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，设()0,0x 为曲线()y f x =的对称中心.（1）求0x 的值；（2）记ABC 的角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若0cos cos ,6A x b c =+=，求BC 边上的高AD 长的最大值.18.（本题17分）已知函数()()e ln xf x x m =-+.（1）当0m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当2m ≤时，求证()0f x >.19.（本题17分）在平面内，若直线l 将多边形分为两部分，多边形在l 两侧的顶点到直线l 的距离之和相等，则称l 为多边形的一条“等线”，已知O 为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F E 的离心率为2，点P 为E 右支上一动点，直线m 与曲线E 相切于点P ，且与E 的渐近线交于,A B 两点，当2PF x ⊥轴时，直线1y =为12PF F 的等线.（1）求E 的方程；（2）若y =是四边形12AF BF 的等线，求四边形12AF BF 的面积；（3）设13OG OP =，点G 的轨迹为曲线Γ，证明：Γ在点G 处的切线n 为12AF F 的等线江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷答案解析人：福佑崇文阁一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678BCDCBADB二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.91011ACACDABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.11-14.2四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【详解】（1）解：（1）连接,,45,3OD OE B C CD BE CO BO ∠∠====== ，在COD 中，OD ==，同理得OE =，因为6BC =，所以AC AB ==所以AD A D A E AE ='==='因为AO =所以222222,A O OD A D A O OE A E '+=='+''所以,A O OD A O OE'⊥⊥'又因为0,OD OE OD ⋂=⊂平面,BCDE OE ⊂平面BCDE 所以A O '⊥平面BCDE ；（2）取DE 中点H ，则OH OB ⊥以O 为坐标原点，,,OH OB OA '所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系则()(()()0,0,0,,0,3,0,1,2,0O A C D --'，设平面A CD '的一个法向量为(),,n x y z =，又((),1,1,0CA CD ==' ，所以300n CA y n CD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪'⎩，令1x =，则1,y z =-=，则(1,n =-，又()()0,3,0,0,6,0B CB =，所以点B 到平面A CD '16.【详解】（1）因为1121212222n n n na a a a n --++++= ，①所以当2n ≥时，1121211222n n a a a n --+++=- ，②由①-②得，12nn a =，所以2nn a =，经检验，当1n =时，12a =，符合题意，所以2nn a =（2）由题设知0q >.若1q =，则1,n n a a a n n n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是递减数列，符合题意.若1q <，则当1log q n a >时，11nn a a q =<，不为正整数，不合题意.若1q >，则()()1111n n n qn n a a a n n n n +⎡⎤-+⎣⎦-=++，当1qn n >+，即11n q >-时，11n n a a n n +>+，这与n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列相矛盾，不合题意.故公比1q =.17.【详解】（1）因为()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在2π(0,}3上单调递增，在2π,π3⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以2π13f ⎛⎫=⎪⎝⎭且4π3T ≥，所以2πππ2π,362k k ω⋅+=+∈Z ，可知13,2k k ω=+∈Z ，又由2π4π3ω≥，可知302ω<≤，所以12ω=，故()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1ππ,26x m m +=∈Z ，可得π2π3x m =-，即0π2π,3x m m =-∈Z .（2）22222201()2362cos cos 2222b c a b c bc a bc a A x bc bc bc+-+----=====，化简得2363a bc =-，因为11sin 22ABC S a AD bc A =⋅=，所以AD =，所以()22223()3()44363bc bc AD a bc ==-，又b c +≥，所以9bc ≤，当且仅当3b c ==时取等号，所以()22223()3327363436343634499()bc AD bc bc bc ==≤=-⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以AD ≤，故AD.18.【详解】（1）当()()10,e ln ,e xxm f x x f x x==--'=，所以()1e 1k f '==-，而()1e f =，切线方程为()()e e 11y x -=--，即所求切线方程为()e 110x y --+=；（2）()f x 得定义域为()()1,,e xm f x x m∞='-+-+，设()()1e xg x f x x m='=-+，则()21e 0()xg x x m '=+>+，故()f x '是增函数，当x m →-时，(),f x x ∞∞→-→+'时，()f x ∞'→+，所以存在()0,x m ∞∈-+，使得001e x x m=+①，且()0,x m x ∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，()0,x x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，故()()0min 00()e ln xf x f x x m ==-+②，由①式得()00ln x x m =-+③，将①③两式代入②式，结合2m ≤得：min 000011()20f x x x m m m m x m x m =+=++-≥-=-≥++，当且仅当01x m =-时取等号，结合（2）式可知，此时()00e 0x f x =>，故()0f x >恒成立.19.【详解】（1）由题意知()()212,,,0,,0b P c F c F c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，显然点P 在直线1y =的上方，因为直线1y =为12PF F 的等线，所以222212,2,b ce c a b a a -====+，解得1a b ==，E 的方程为2213y x -=（2）设()00,P x y ，切线()00:m y y k x x -=-，代入2213y x -=得：()()()2222200000032230k xk kx y x k x y kx y -+--+-+=，故()()()22222000000243230k kx y kkx y kx y ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，该式可以看作关于k 的一元二次方程()22200001230x k x y k y --++=，所以000002200031113x y x y x k x y y ===-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即m 方程为()001*3y y x x -=当m 的斜率不存在时，也成立渐近线方程为y =，不妨设A 在B 上方，联立得A B x x ==，故02A B x x x +==，所以P 是线段AB 的中点，因为12,F F 到过O 的直线距离相等，则过O 点的等线必定满足：,A B 到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点P ，即OP的方程为y =，由2213y y x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故P .所以03A A y ====，所以03B B y ====-，所以6A B y y -=，所以1212122ABCD A B A B S F F y y y y =⋅-=-=（3）设(),G x y ，由13OG OP =，所以003,3x x y y ==，故曲线Γ的方程为()229310x y x -=>由（*）知切线为n ，也为0093133x y y x -=，即00133y y x x -=，即00310x x y y --=易知A 与2F 在n 的右侧，1F 在n 的左侧，分别记12,,F F A 到n 的距离为123,,d d d ，由（2）知000011A A x y y y x x ===--，所以3d 由01x ≥得12d d ==因为231d d d +==，所以直线n 为12AF F .等线.。
海安中学数学高三试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各式中，绝对值最小的是（）A. |x-1|B. |x+1|C. |x-2|D. |x+2|2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的对称轴是（）A. x=1B. x=2C. x=3D. x=43. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S5=20，则a10=（）A. 10B. 11C. 12D. 134. 下列各函数中，有最大值的是（）A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^4D. y=x^55. 在三角形ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°6. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则b5=（）A. 54B. 162C. 243D. 4867. 若复数z满足|z-2i|=3，则复数z在复平面内的轨迹是（）A. 一条直线B. 一个圆C. 一条射线D. 无轨迹8. 已知函数f(x) = log2(x+1)，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 无意义9. 下列不等式中，正确的是（）A. |x| > 1B. |x| ≥ 1C. |x| ≤ 1D. |x| < 110. 若直线l的斜率为k，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A. (0, π/2)B. (π/2, π)C. (-π/2, π/2)D. (-π/2, π]二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x)的图像关于y轴对称，则x的取值为______。
12. 等差数列{an}中，若a1=1，d=2，则第10项an=______。
13. 已知函数f(x) = (x-1)/(x+1)，则f(-1)的值为______。
14. 在三角形ABC中，若∠A=90°，∠B=30°，则AB的长度是AC的______倍。
海安中学高三数学试卷
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. -3/4D. 2.52. 函数f(x) = 2x - 1在区间[1, 3]上的最大值是（）A. 1B. 3C. 5D. 73. 若复数z满足|z - 1| = 2，则复数z在复平面上的轨迹是（）A. 圆B. 线段C. 双曲线D. 双曲线的一部分4. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 55，S15 = 120，则数列{an}的公差是（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 下列命题中正确的是（）A. 函数y = log2(x + 1)在定义域内单调递增B. 函数y = x^2在定义域内单调递减C. 函数y = e^x在定义域内单调递增D. 函数y = sinx在定义域内单调递增6. 若平面α与直线l垂直，直线m在平面α内，且m垂直于l，则m与α的位置关系是（）A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 异面7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f'(x) = 0，则f(x)的极值点为（）A. x = -1B. x = 1C. x = -2D. x = 28. 若直线l的方程为x - 2y + 3 = 0，则直线l的斜率是（）A. 1/2B. 2C. -1/2D. -29. 已知等比数列{an}的首项a1 = 3，公比q = 2，则数列{an}的前n项和S_n是（）A. 3(2^n - 1)B. 3(2^n + 1)C. 3(2^n - 2)D. 3(2^n + 2)10. 若函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且a + b + c = 0，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a ≥ 0D. a ≤ 0二、填空题（每小题5分，共25分）11. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的实部是______。
海安中学高考数学试卷真题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2ax + 1，其中a为常数。
若f(x)在区间[1, 3]上单调递增，则a的取值范围为（）A. a ≤ 1B. 1 < a < 2C. a ≥ 2D. a > 22. 设复数z满足|z-1| = |z+1|，则z的取值范围是（）A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限3. 若log2x + log3x = 1，则x的取值范围是（）A. (0, 1)B. (1, 2)C. (2, +∞)D. (0, +∞)4. 已知函数f(x) = (x-1)^2 + k，其中k为常数。
若f(x)的图像关于直线x=2对称，则k的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 65. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1 + a2 + a3 = 12，a1 + a2 +a3 + a4 = 20，则d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知椭圆的方程为x^2/4 + y^2/9 = 1，则该椭圆的离心率为（）A. 2/3B. 3/4C. 4/3D. 3/27. 若函数g(x) = |x-1| + |x+1| + |x-2| + |x+2|在区间[-2, 2]上的最小值为5，则g(x)在区间[-2, 2]上的最大值为（）A. 6B. 7C. 8D. 98. 已知函数h(x) = (x-1)(x+1)(x+2)(x+3)，则h(x)的零点个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 59. 若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 8B. 10C. 12D. 1610. 已知公比为2的等比数列{an}中存在两项m, n，满足2^m 2^n = 2^(m+n)，则2^(m-n)的最小值为（）A. 2B. 4C. 8D. 1611. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6在区间[-1, 2]上存在两个不同的零点，则f(x)在该区间上的最大值和最小值之差为（）A. 1B. 2C. 3D. 412. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1 + a2 + a3 + a4 = 24，a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 40，则a1的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
海安高级中学高三数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. y = x^2B. y = 2x - 3C. y = 3 - 2xD. y = √x2. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 - 6xC. 3x^2 + 6xD. 3x^2 + 33. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 25，S10 = 75，则公差d = （）A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0，则圆C的半径r = （）A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知向量a = (2, -3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/56. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 3|，则函数f(x)的值域为（）A. [-1, 5]B. [-5, 1]C. [1, 5]D. [5, 1]7. 已知数列{an}满足an = an-1 + 2n，且a1 = 1，则数列{an}的前n项和Sn = （）A. n^2 + nB. n^2 - nC. n^2 + 2nD. n^2 - 2n8. 已知直线l的方程为x + 2y - 3 = 0，点P(1, 2)到直线l的距离d = （）A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知等比数列{bn}的公比q = 2，且b1 + b2 + b3 = 12，则b1 = （）A. 2B. 4C. 6D. 810. 已知函数f(x) = e^x - x^2，则f'(x) = （）A. e^x - 2xB. e^x - 2C. e^x + 2xD. e^x + 2二、填空题（每题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = (x - 1)^2 + 2，则f(x)的最小值为______。
江苏省海安高级中学高三数学试题
江苏省海安高级中学高三数学试题江苏省海安高级中学高三数学试题必做题部分(本部分满分160分,考试时间120分钟)一、填空题: 本大题共14小题,每小题5分,共计70分1.为虚数单位,则的实部是▲ .2.已知集合,,若,则实数a ▲ .3.设是等差数列,若,,则数列的前10项和为▲ .4.三张卡片上分别写上字母E、E、B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词BEE的概率为▲ .5.已知是三个互不重合的平面,是一条直线,给出下列四个命题:①若,则; ②若,则;③若上有两个点到的距离相等,则;④若,则.其中正确命题的序号是▲ .6.如图,在6×6方格纸中有向量,若满足,则▲ .7. 按如图所示的程序框图运行程序后,输出的结果是63,则判断框中的整数H的值是▲ .8.某校举行演讲比赛,9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示,统计员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91,复核员在复核时,发现有一个数字茎叶图中的无法看清,若统计员计算无误,则数字应该是▲ .9.已知实数满足,则的最大值是▲ .10.已知函数若数列满足,且是递增数列,则实数a的取值范围是▲ .11.已知A、B、C是直线l上的三点,向量满足,则函数y fx的表达式为▲ .12. 已知实数满足,则的取值范围是▲ .13.设圆:,直线:,点在直线上,若在圆上存在一点,使得(为坐标原点),则的取值范围为▲ .14.若数列满足:对任意的,只有有限个正整数m使得成立,记这样的m 的个数为,则得到一个新数列.例如,若数列是,则数列是.已知对任意的,,▲ .二、解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系中,点A在轴的正半轴上,直线AB的倾斜角为,OB 2,设. (1)用表示点B的坐标及OA的长度; (2)若的值.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P?ABCD中,侧面PAD是正三角形,且垂直于底面ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD60°,M为PC上一点,且PA?//?平面BDM. (1)求证:M为PC的中点; (2)求证:平面ADM⊥平面PBC.17.(本小题满分14分)某海滨城市坐落在一个三角形海域的顶点O处(如图),一条海岸线AO在城市O的正东方向,另一条海岸线OB在城市O北偏东方向,位于城市O北偏东方向15km 的P处有一个美丽的小岛.旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路:从城市O出发沿海岸线OA到达C处,再从海面直线航行,途经小岛P到达海岸线OB的D处,然后返回城市O.设OC t km,这条旅游观光线路所围成的三角形区域面积为St. (1)写出St关于t的函数关系式及函数定义域;(2)要使面积最小,C应选址何处?并求出最小面积.18.(本题满分16分)已知圆:交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,直线l:为准线的椭圆.(1)求椭圆的标准方程;(2)若M是直线l上的任意一点,以OM为直径的圆K与圆O相交于P、Q两点,求证:直线PQ 必过定点E,并求出点E的坐标;(3)在(2)的条件下,直线PQ与椭圆C交于G、H两点,点G在x轴上方, ,求此时弦PQ的长.19.(本题满分16分)已知定义在上的三个函数,,,且在处取得极值.w_w w. k#s5_u.c o*m(1)求实数a的值及函数的单调区间;(2)求证:当时,恒有成立;(3)把对应的曲线C1向上平移6个单位后得曲线C2,求C2与对应曲线C3的交点个数,并说明理由.20. (本题满分16分)已知集合中的元素都是正整数,且,对任意的且,有≥.(1)求证:≥;(2)求证:;(3)对于,试给出一个满足条件的集合.附加题部分(本部分满分40分,考试时间30分钟)21.(本题满分10分)设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸压变换.(1)求矩阵M及其逆矩阵;(2)在平面xoy中,求在的作用下,椭圆变换后的曲线方程.22.(本题满分10分)求经过极点三点的圆的极坐标方程.23.(本题满分10分)某地区举办科技创新大赛,有50件科技作品参赛,大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分,每项评分均按等级采用5分制,若设“创新性”得分为,“实用性”得分为,统计结果如下表:作品数量实用性1分2分3分4分5分创新性 1分 1 3 1 0 12分 1 0 7 5 13分 2 1 0 9 34分16 05分0 0 1 1 3(1)求“创新性为4分且实用性为3分”的概率;(2)若“实用性”得分的数学期望为,求、的值.24.(本题满分10分),求证: .江苏省海安高级中学高三数学试题参考答案1. 2. 3.4. 5.②④ 6. 7. 5 8. 29.9 10. 2,3 11. 1213. 14.15.解:(1)由三角函数的定义,得点B的坐标为. ……………… 2分在由正弦定理得,得, ……………… 4分即.所以.……………… 6分注:若用直线AB方程求得也得分. (2)由(1)得.…………… 8分因为所以.……………… 10分又所以 . ………………14分16.解(1)证明:连AC,设AC与BD交于G.由于 PA//平面BDM,面PAC∩面BDMMG,所以, PA//MG ………………3分底面ABCD为菱形, G为AC的中点,则MG为△PAC的中位线.故M是PC的中点. ………………6分 (2)分别取AD、PB的中点O、N,连PO,BO,ON, MN.△PAD是正三角形,于是PO⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,所以,PO⊥平面ABCD.则 PO⊥BC. ………………8分底面ABCD是菱形,且∠BAD60°,有△ABD是正三角形,AD⊥OB.因BC//AD,所以BC⊥OB.PO∩OBO,于是BC⊥平面POB .ON平面POB .从而BC⊥ON. ………………10分而△PAD≌△BAD,POBO, N是PB的中点,于是,PB⊥ON.PB∩BCB,所以ON⊥平面PBC.………………12分又M、N分别是PC、PB的中点,MN//BC,且BC//AD,则MN//AD.所以ON平面ADM.故面ADM⊥面PBC. ………………14分17.解(1)以O为原点,直线OA为x轴建立平面直角坐标系据题意,直线OB的倾斜角为 ,从而直线OB的方程为y 3x. ………………3分由已知,OP15,,得点P的坐标为(9,12). ………6分直线PC的方程为 :, 联立y3x,得,,则 t >5.于是, t >5.………9分(2)120.上当且仅当,即t10时取等号. ……………12分而当时,.当t10时,S△OCD取最小值120.答:当C地处于城市O正东方向10km处时,能使三角形区域面积最小,其最小面积为120km2. ……………14分18.解(1)设椭圆的标准方程为.则从而故.椭圆的标准方程为. …………………4分(2)设,则圆方程为 .将圆方程与圆方程联立,消去得直线PQ的方程为,所以直线过定点. …………………8分(3)设G、H两点的坐标分别为、,则①……10分由于, ,即……………12分代入①解得:(由图舍去正值),,即. ……………………14分所以直线PQ的方程为 .圆心到直线PQ的距离, 于是...................16分19.解(1),,,∴. (2)分而,,令得;令得.∴函数单调递增区间是;单调递减区间是. ………………4分(2)∵,∴,∴,欲证,只需要证明,即证明,……7分记,∴,当时,,∴在上是增函数,∴,∴,即,∴,故结论成立. ………………10分(3)由(1)知,,∴C2对应的表达式为,问题转化为求函数与图象交点个数.即求方程,即根的个数.…………12分设,,.当时,,为减函数;当时,,为增函数.而,图象是开口向下的抛物线.作出函数与的图象,,而可知交点个数为2个,即曲线C2与C3的交点个数为2个. ………16分k#s5_u.c o*m20. 1 证明:依题意有,又,因此.可得.所以.即. …………………4分(2)证明:由1可得.又,可得,因此.同理,可知.又,可得,所以均成立.当时,取,则,可知又当时,.所以. …………… 10分(3)解:对于任意,,由可知,,即.因此,只需对,成立即可.因为;;;,因此可设;;;;.由,可得,取.由,可得,取.由,可得,取.由,可得,取.所以满足条件的一个集合.……………16分附加题部分21.解(1)由条件得矩阵, …………3分.…………6分(2)椭圆在的作用下的新曲线的方程为.………10分22.解将点的极坐标化为直角坐标,点的直角坐标分别为,故是以为斜边的等腰直角三角形,圆心为,半径为,圆的直角坐标方程为,即,…………5分将代入上述方程,得,即. ……………10分23.解(1)从表中可以看出,“创新性为4分且实用性为分”的作品数量为6件,∴“创新性为4分且实用性为3分”的概率为. …………3分(2)由表可知“实用性”得分有1分、2分、3分、4分、5分五个等级,且每个等级分别有5件,件,15件,15件,件. “实用性”得分的分布列为:1 2 3 4 5 ……………7分又∵“实用性”得分的数学期望为,∴.∵作品数量共有50件,∴解得,. ……………………10分24. 证明由于,,……………………4分所以.即. ……………………6分令,则有. ……………………8分即,即.因此原不等式成立.……………………10分。
江苏省海安高级中学高三月月考数学试题含答案
阶段性测试（三）数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．锥体的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 设全集U ={1，2，3，4，5}．若U A =ð{1，2，5}，则集合A = ▲ ． 2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是 ▲ ．3. 已知样本数据1234a a a a ，，，的方差为2，则数据123421212121a a a a ++++，，，的方差为 ▲ ． 4. 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为 ▲ ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．7. 将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 的值为 ▲ ．8. 设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0 )+∞，上是单调减函数，且2(3)f x x -(2)f +0>，则实数x 的取值范围是 ▲ ．9. 在锐角三角形ABC 中，若3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为 ▲ ．10. 设S n 为数列{}n a 的前n 项和．若S n ＝na n －3n (n －1)（n ∈N *），且211a =，则S 20的值为 ▲ ． 11. 设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ▲ ． 12. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F（第4题）CA 1分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， 则四棱锥1A AEFD -的体积为 ▲ ．13．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 ▲ ．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；②()4x ∃∈-∞-，，()()0f x g x ⋅<，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知△ABC的面积为()18AC AB CB ?=u u u r u u u ru u u r，向量(tan tan sin 2)A B C =+,m 和(1cos cos )A B =,n 是共线向量.（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的三边长.16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且 AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ⊥DE ． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本题满分14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区． （1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分（第16题）AOBPQMN（第17题）钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，r =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(1，（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．①求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数k ＞0），112n n n n k a a a a -+-+=（n ≥3，*n ∈N ）．数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（*n ∈N ）． （1）求b 1，b 2的值； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数? 若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；（2）若a ＜0，且函数f (x )在区间()22e e -，内有两个极值点，求实数a 的取值范围； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的x ∈(t ，t ＋a )， f (x )＜a －1．数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 【答案】{3，5}2. 【答案】33. 【答案】84. 【答案】1011 5. 【答案】356. 【答案】y ＝±3x7. 【答案】48. 【答案】（1，2）9. 【答案】79 10. 【答案】1 24011. 【答案1 12. 【答案】9 13．【答案】4514．【答案】()42--，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解：（1）因为向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量，所以()cos cos tan tan sin 20A B A B C +-=， ……2分 即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. ……4分 因为0πC <<，所以sin C >0，从而1cos 2C =，π.3C = ……6分（2）()()218AC AB CB AC BC BA AC =?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ，于是AC =. ……8分因为△ABC 的面积为1sin 2CA CB C ?，即1πsin 23CB ，解得CB = …… 11分 在△ABC 中，由余弦定理得((2222212cos 254.2AB CA CB CA CB C=+-?+-创所以AB = …… 14分16．（本题满分14分）证明：（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ， 因为F ，G 分别为PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12C D ． ……2分又因为E 为AB 中点，所以AE //CD ，且AE ＝12C D ． ……4分所以AE //FG ，AE ＝FG ．故四边形AEFG 为平行四边形． 所以EF //AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，故EF //平面PA D ． ……6分（2）设AC ∩DE ＝H ，由△AEH ∽△CDH 及E 为AB 中点得AG CG ＝AE CD ＝12，又因为AB ＝2，BC ＝1，所以AC ＝3，AG ＝13AC ＝33． 所以AG AE ＝AB AC ＝23，又∠BAD 为公共角，所以△GAE ∽△BA C ．所以∠AGE ＝∠ABC ＝90︒，即DE ⊥A C ． ……10分 又DE ⊥PA ，PA ∩AC ＝A ，所以DE ⊥平面PA C ． ……12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． ……14分17．（本题满分14分）解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则由题设得：A (6，0)，直线ON 的方程为()()003 30y x Q x x =->，，．，解得03x =，所以()3 3Q ，． ……2分 故直线AQ 的方程为()6y x =--，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得39x y =-⎧⎨=⎩，，即()3 9B -，，故AB == …… 5分答：水上旅游线AB 的长为． ……6分 （2）将喷泉记为圆P ，由题意可得P (3，9)，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处， 则BC ＝2t ，0≤t ≤9，所以C (－3＋t ，9－t )．若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立，即PC 2＝(6－t )2＋t 2＝2t 2－12t ＋36＞4at ， ……10分 当t ＝0时，上式成立，当t ∈(0，9]时，2a ＜t ＋18t －6，(t ＋18t －6)min ＝62－6，当且仅当t ＝32时取等号， 因为a ∈(0，1)，所以r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．……13分 答：喷泉的水流不会洒到观光车上． ……14分18．解：（1）设椭圆焦距为2c，所以223121 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪⎩，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=； ……4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， ……8分所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ，， ()22002200488488y y y y --=+=++． ……10分 ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：依题意，()020200208822828PB y y k y y y +==----+，由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =， 所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． ……16分 19．（本题满分16分）解：（1）由已知得，41a k =+， 所以1312=2a a b a +=，2423121a a k k kb a k k ++++===． ……2分 （2）由条件可知：()1213n n n n a a k a a n +--=+≥，①所以()21+12n n n n a a k a a n +-=+≥.② ……4分 ①－②得122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-. 即：121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+．因此：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=， ……6分故()23n n b b n -=≥，又因为12b =，221k b k+=，所以221n n b k n k⎧⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，为偶数． ……8分（3）假设存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则k 为正整数． ……10分由（2）知21221222122(123)21n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪=⎨+=-⎪⎩L ，，③ 由162Z 4Z a k a k k=∈=++∈，，所以k =1或2， ……12分检验：当1k =时，312=+kk 为整数， 利用123Z a a a ∈，，结合③，{a n }各项均为整数； ……14分 当2k =时③变为21221222122(123)52n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪=⎨=-⎪⎩L ，， 消去2121n n a a +-，得：222223(2)n n n a a a n +-=-≥ 由24Z a a ∈，，所以偶数项均为整数，而2221252n n n a a a ++=-，所以21n a +为偶数，故12a k ==，故数列{}n a 是整数列. 综上所述，k 的取值集合是{}12，. ……16分 20．（本题满分16分）解：（1）当a ＝0时，f (x )＝x ln x －x ，f’(x )＝ln x ，令f’(x )＝0，x ＝1，列表分析x (0，1) 1 (1，＋∞)f’(x ) － 0 ＋ f (x ) 单调递减单调递增故f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ……3分（2）f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f’(x )＝ln x －ax ，其中x ＞0，令g (x )＝x ln x －a ，分析g (x )的零点情况．g ’(x )＝ln x ＋1,令g ’(x )＝0，x ＝1e ，列表分析g (x )min ＝g (1e )＝－1e －a ， ……5分而f’(1e )＝ln 1e －a e ＝－1－a e ，()2e f -'＝－2－a e 2＝－(2＋a e 2)，f’(e 2)＝2－a e 2＝1e 2(2e 2－a )，①若a ≤－1e ，则f’(x )＝ln x －ax ≥0， 故f (x )在()22e e -，内没有极值点，舍；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)＞0，f’(e 2)＝1e 2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有两个零点，设为1x ，2x ，所以当()21e x x -∈，时，f (x )单调递增，当()12x x x ∈，时，f (x )单调递减， 当()22e x x ∈，时，f (x )单调递增，此时f (x )在()22e e -，内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)≤0， f’(e 2)＝1e 2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有一个零点，f (x )在()22e e -，内有一个极值点；综上所述，实数a 的取值范围为(－1e ，－2e 2)． ……10分 （3）存在1t =：x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1恒成立． ……11分 证明如下：由（2）得g (x )在(1e ，＋∞)上单调递增， 且g (1)＝－a ＜0，g(1＋a )＝(1＋a )ln(1＋a )－a ．因为当x ＞1时，ln x ＞1－1x (*)，所以g(1＋a )＞(1＋a )(1－1a ＋1)－a ＝0．故g (x )在(1，1＋a )上存在唯一的零点，设为x 0．由知，x ∈(1，1＋a )，f (x )＜max{f (1)，f (1＋a )}． ……13分又f (1＋a )＝ln(1＋a )－1，而x ＞1时，ln x ＜x －1(**)， 所以f (1＋a )＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f (1)． 即x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a )，使 f (x )＜a －1． ……15分补充证明（*）：令F (x )＝ln x ＋1x －1，x ≥1．F ’(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递增． 所以x ＞1时，F (x )＞F (1)＝0，即ln x ＞1－1x ． 补充证明（**）令G (x )＝ln x －x ＋1，x ≥1．G ’(x )＝1x －1≤0，所以G (x )在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G (x )＜G (1)＝0，即ln x ＜x －1．……16分数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ． 选修4－2：矩阵与变换【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α，即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩， ……5分 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得2321， ， ， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ……10分B ．解：因为A ( 1，π3 )，B ( 9，π3)，所以线段AB 的中点坐标为(5，π3)， ……2分设点P (ρ，θ)为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，ρcos(θ－π3)＝5，所以，l 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝5， ……6分令θ＝0，得ρ＝10，即C (10，0)． …… 8分 所以，△ABC 的面积为：12×(9－1)×10×sin π3＝203． ……10分C ．证明：因为|a ＋b |≤2，所以|a 2＋2a －b 2＋2b |＝|a ＋b ||a －b ＋2| ＝|a ＋b ||2a －(a ＋b )＋2| ≤|a ＋b |(|2a |＋|a ＋b |＋2)≤4(|a |＋2)． ……10分22．解：依题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz 则B (1，0，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，因为DC →＝λAB →，所以C (λ，2，0)， ……2分 （1）从而PC →＝(λ，2，－2)，BD →＝(－1，2， 0)， 则cos ＜PC →，BD →＞＝PC →·BD →|PC →|·|BD →|＝4－λλ2＋8×5＝1515，解得λ＝2；（第22题）（2）易得PC →＝(2，2，－2)，PD →＝(0，2，－2)， 设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·PC →＝0，且n ·PD →＝0， 即x ＋y －z ＝0，且y －z ＝0， 所以x ＝0，不妨取y ＝z ＝1，则平面PCD 的一个法向量n ＝(0，1，1)， …… 8分 又易得PB →＝(1，0，－2)，故cos ＜PB →，n ＞＝PB →·n |PB →|·|n |＝－22×5＝－105，所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105． ……10分 23．(本小题满分10分)解：（1）S 1＝C 11a 1＝1，S 2＝C 12a 1＋C 22a 2＝3． ……2分（2）记α＝1＋52，β＝1－52．则S n ＝15∑n i ＝1C i n (αi －βi )＝15∑n i ＝0C i n (αi －βi )＝15(∑n i ＝0C i n αi －∑n i ＝0C i n βi)＝15[(1＋α)n －(1＋β)n ]＝15[(3＋52)n －(3－52)n ]． ……6分因为(3＋52)×(3－52)＝1．故S n ＋2＝15{[(3＋52)n ＋1－(3－52)n ＋1][ (3＋52)＋(3－52)]－[(3＋52)n － (3－52)n]}＝3S n ＋1－S n ．所以存在=3λ，使得213n n n S S S +++=恒成立． ……10分。
江苏省海安高级中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题(含答案)
2023届高三年级阶段测试（二）数 学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}11236A =-，，，，，{}25B =，，{}13C x x =<≤，则()A C B =（ ）A ．{}12，B ．{}25，C ．{}125，， D ．{}1235，，， 2．i 为虚数单位，则32i -满足的方程是（ ） A ．26130x x --= B ．26130x x ++=C ．26130x x +-=D ．26130x x -+=3．8()()-+x y x y 的展开式中36x y 的系数为（ ）A ．28B ．28-C ．56D ．56- 4．设D 为△ABC 所在平面内一点，且满足3CD BD =，则（ ）A ．3122AD AB AC =- B ．3122AD AB AC =+C ．4133AD AB AC =- D ．4133AD AB AC =+ 5．已知数列{}n a ．若p ：数列{}n a 是等比数列；q ：()()22222212123-++++++=n n a a a a a a()212231-+++n n a a a a a a ，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．关于函数()2022⎧-<=⎨-⎩x a x f x b x x ，，≥，≤其中∈a b R ，，给出下列四个结论：甲：6是该函数的零点； 乙：4是该函数的零点；丙：该函数的零点之积为0； 丁：方程()52=f x 有两个不等的实根．若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．设常数a 使方程sin 2+=x x a 在区间[]02π，上恰有五个解()12345=i x i ，，，，，则51==∑i i x（ ）A ．7π3 B ．25π6 C ．13π3 D ．14π38．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知函数()()()ππcos 22sin cos 22=--+f x x x x ，则（ ）A ．()f x 的最大值为3B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线π8=x 对称D ．()f x 在区间3ππ88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递减 10．已知实数a ，b ，c ，满足>>a b c 且0<abc ，则下列不等关系一定正确的是（ ） A ．>c c a b B ．2+c a a c ≥ C ．22>ac bc D ．22<c c a b11．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，则（ ）A ．02+≤≤a bB ．11-⋅≤≤a bC ．()2π103+>⇔∈，θa b D ．()ππ13∈⇒->，θa b 12．连接正方体每个面的中心构成一个正八面体．甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响， 则（ ）A ．甲选择的三个点构成正三角形的概率为25B ．甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为25C ．乙选择的三个点构成正三角形的概率为17D ．甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为1135三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()()2222e =+-+⋅x f x ax x x ．不论a 为何值，曲线()=y f x 均存在一条固定的切线，则这条切线的方程是_________．14．已知函数32()2f x x ax b =-+．若存在a ，b ，使得f (x )在区间[]01，的最小值为1-且最大值为1，则符合条件的一组a ，b 的值为_________．15．在数列{}n a 中，1212a a ==，．数列{}n b 满足()11N *nn n n b a a n +=+-∈，．若2210--=n n b b ，．16．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()2 0F ，．经过原点O 且斜率k 椭圆C 交于A ，B 两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ．若⊥OM ON ，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，前n 项和为S n ，且满足a 1+a 3=2q +1，S 3=3a 2+1． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n =⎩⎪⎨⎪⎧a n +1- a n，n 为奇数，3a n4a n 2-5a n +1，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．18．（本小题满分12分）在检测中为减少检测次数，我们常采取“n 合1检测法”，即将n 个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则还需对本组的每个人再做检测．现有10k （k ∈N*）人，已知其中有2人感染病毒．（1）若k =5，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率；（2）设采取“5合1检测法”的总检测次数为X ，采取“10合1检测法”的总检测次数为Y ，若仅考虑总检测次数的期望值，当k 为多少时，采取“10合1检测法”更适宜？请说明理由．19．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，D 为边BC 上一点，若AB AC =DBDC ．（1）证明：（i ）AD 平分∠BAC ，（ii ）AD 2=AB ∙AC -DB∙DC ；（2）若(1+sin B )sin ∠BAC =cos B (1+cos ∠BAC )，求a+bc 的最大值．20．（本小题满分12分）在一张纸上有一圆C ：(x +5)2+y 2=4，定点M (5,0)，折叠纸片使圆C 上某一点M 1恰好与点M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线M 1C 的交点为T ．（1）求证：||TC | -|TM ||为定值，并求出点T 的轨迹C ′方程； （2）设A (-1,0)，M 为曲线C ′上一点，N 为圆x 2+y 2=1上一点（M ，N 均不在x 轴上）．直线AM ，AN 的斜率分别记为k 1，k 2，且k 2=-14k 1．求证：直线MN 过定点，并求出此定点的坐标．21．（本小题满分12分）已知底面ABCD 为菱形的直四棱柱，被平面AEFG 所截几何体如图所示，若AB = DG =2，CF =3，∠BAD =π3．（1）求点D 到平面BFG 的距离； （2）求锐二面角A －EC －B 的余弦值．22．（本小题满分12分）已知函数f (x )=2x ln x ，g (x )= x 2+ax -1，a ∈R ．（1）若F (x )= g (x )-f (x )在[1, +∞)存在极小值点，求a 的取值范围； （2）若函数h (x )= |f (x )|-2a 有3个零点x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，求证：（i ） x 3>1+2a ； （ii ）x 32x 22>e+2e -2．一、单项选择题．1．C 2．D 3．B 4．A 5．A 6．B 7．C 8． A 二、多项选择题．9．BC 10．AC 11．ABD 12．ACD 三、填空题．13．2=y 14．0=a ，1=-b 或4=a ，1=b15 16．1⎤⎥⎦四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（1）因为a 1+a 3=2q +1，S 3=3a 2+1，所以a 1=1，q =2，所以a n =2n -1；（2）因为 b n =⎩⎪⎨⎪⎧a n +1- a n，n 为奇数，3a n4a n 2-5a n +1，n 为偶数， n 为偶数时，b n =3a n 4a n 2-5a n +1=3×2n -1(2n -1-1) (2n +1-1)=12n -1-1 -12n +1-1 所以T 2n =a 2- a 1+b 2+ a 4- a 3+b 4+…+a 2n - a 2n -1+b 2n=( a 1+ a 3+ … + a 2n -1)+(121-1 -122-1+122-1 -123-1+…+12n -1-1 -12n +1-1) =1- 12n +1-1+ 22n -13．18．解：（1）对50个人采取“10合1检测法”需平均分为5组，先检测5次，因为共检测15次，即2个感染者分在同一组；只需考虑其中某位感染者所在的小组，原题等价于：从49人中任选9人与他组成一组，求选到的9人中有另一位感染者的概率，此概率为C 848C 949=949；（2）若2个感染者分在同一组，则X =2k +5，P =C 310k -2C 410k -1=410k -1，Y =k +10，P =C 810k -2C 910k -1=910k -1，若2个感染者分在不同小组，则X =2k +10，P =1- 410k -1，Y =k +40，P =1- 910k -1， E (X ) = 2k +10- 2010k -1，E (Y ) = k +20- 9010k -1，令E (X )> E (Y )，所以2k +10- 2010k -1> k +20- 9010k -1，则10k 2-101k +80>0（k ∈N*），所以k ≥10，综上，当k ≥10时，采取“10合1检测法”更适宜． 19．解：（1）（i ）设∠BAD ＝α，∠CAD ＝β，在△ABD 中，由正弦定理得，BD sin α=csin ∠BDA ①，在△ACD 中，由正弦定理得，CD sin β=bsin ∠CDA ②因为AB AC =DBDC ，sin ∠ADB =sin ∠ADC ，所以sin α=sin β，又因为0＜α、β＜π2，所以α=β，所以AD 平分∠BAC ，（i ）因为cos ∠ADB =cos ∠ADC ，所以AB 2+BD 2-AD 22AB ∙BD =AB 2+BC 2-AD 22AB ∙BC所以AD 2=AB 2+ BD 2-DB BC (AB 2+ BC 2-AC 2)=DC BC AB 2+DBBCAC 2-BD (BC -BD )因为AB AC =DBDC，所以AD 2=AC AB+AC AB 2+ABAB+ACAC 2-BD∙DC= AB∙A C (AB AB+AC +AC AB+AC )-BD∙DC= AB ∙AC -DB∙DC ；（2）因为(1+sin B )sin ∠BAC =cos B (1+cos ∠BAC )， 所以sin ∠BAC 1+cos ∠BAC =cos B1+sin B，所以tan α=tan B2，所以A +B =π2．所以a+b c 的最大值为22．20．解：（1）证明：如图，由点M 1与M 关于PQ 对称，则|M 1T | = |TM |，所以||TC | - |TM ||=||TC | - |TM 1||=|CM 1|=2，故为定值．由||TC | - |TM 1||=2<|CM |=25，由双曲线定义知，点T 的轨迹为以C (-5,0)，M (5,0)为焦点，实轴长为2的双曲线，设双曲线C ′方程为：x 2a 2- y 2b 2=1（a >0，b >0），所以a =1，c =5，b 2=c 2-a 2=4，所以双曲线方程为x 2-y 24=1；（2）因为A (-1,0)，所以设直线AM 的方程为x =m 1y -1，直线AN 的方程为x =m 2y -1， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x =m 1y -1，x 2-y 24=1，整理得(4m 12-1)y 2-8m 1y =0，解得y =0或y =8m 14m 12-1，所以M (4m 12+14m 12-1,8m 14m 12-1)， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x =m 2y -1，x 2+y 2=1，整理得(m 22+1)y 2-2m 2y =0，解得y =0或y =2m 2m 22+1，N (m 22-1m 22+1,2m 2m 22+1)，因为k 2=-14k 1，所以m 2=-4m 1，所以N (16m 12-116m 12+1,-8m 116m 12+1)，所以k MN =8m 14m 12-1--8m 116m 12+14m 12+14m 12-1-16m 12-116m 12+1=4m 1，所以直线MN 的方程为y -8m 14m 12-1=4m 1(x -4m 12+14m 12-1)，即y=4m 1x -4m 1 y=4m 1(x -1)4m 1，此时直线过定点(1,0)， 即直线MN 恒过定点(1,0).21．解：（1）设D 到平面BFG 的距离为d ，连接BD ，交AC 于点O ，在直四棱柱中所以GD ⊥底面ABCD ，又AC ⊆平面ABCD ，所以GD ⊥AC ，GD ⊥BD ， 同理FC ⊥AC ，BE ⊥底面ABCD ，CF ∥GD ，GD ⊆平面BGD ，CF ⊈平面BGD ，所以CF ∥平面BGD ， 所以F 到平面BDG 的距离为=C 到平面BDG 的距离，菱形ABCD 中，BD ⊥AC ，所以V 三棱锥D －BFG =13S △BFG ∙d =V 三棱锥F －BDG =13S △BDG ∙OC ，因为AB = DG =2，CF =3，∠BAD =π3，菱形ABCD 中，所以BD =2，OC =3，S △BDG =2，Rt △BDG 中，BG =22，Rt △BCF 中，BF =13，直角梯形CDGF 中，GF =5， 所以BG 2+ FG 2= BF 2，所以∠BGF =π2，所以S △BFG =10所以d =305，所以D 到平面BFG 的距离为305．（2）因为平面ABE ∥平面CFGD ，平面AEFG ∩平面ABE =AE ， 平面AEFG ∩平面CFGD =GF ， 所以FG ∥AE ， 同理AG ∥BF ，所以四边形AEFG 为平行四边形，在平面ACF 内作Oz ∥CF ，又因为CF ⊥AC ，CF ⊥BD ，所以Oz ⊥AC ，Oz ⊥BD ，所以Oz ⊥底面ABCD ，又菱形ABCD 中，BD ⊥AC ，如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (3,0,0)，B (0,1,0)，C (-3,0,0)，G(0,-1,2)，F (-3,0,3)， OE →=OA →+AE →=OA →+GF →=(0,1,1)，CE →=(3,1,1)，CB →=(3,1,0)， 设平面BCE 的法向量为m =(x ,y ,z )，则m ∙CE →=0，m ∙CB →=0，则得其中一个m =(1,-3,0)，由（1）知BG ⊥GF ，FG ∥AE ，所以BG ⊥AE ，又BG ⊥AC ，所以BG ⊥平面ACE ， 所以平面ACE 的一个法向量为m =BG →=(0,-2,2)， 所以cos<m ，m >=64， 所以锐二面角A －EC －B 的余弦值为64．22．解：（1）F (x )= g (x )-f (x )= x 2+ax -1-2x ln x ，F ′(x )=2x +a -2-2ln x ，F ′′(x )=2-2x ≥0在[1，) 恒成立，F ′(x )在[1, +∞)，单调递增，又F ′(1)=a ，所以a ≥0时，F (x )在[1, +∞)单调递增，F (x )=在[1, +∞)不存在极小值点， a <0时，F ′(1)<0，F ′(x ) =2x +a -2-2ln x>2x +a -2-2x ，令2x +a -2-2x >0，x >1+5-2a2>1， 令t =(1+5-2a 2)2，所以存在x 0∈(1,t )，F ′(x 0) =0，且F (x )在(1, x 0)单调递减，F (x )在( x 0,t )单调递增，F (x )在[1, +∞)存在极小值点x 0．（2）（i ）f (x )=2x ln x ，令G (x )=x ln x ，G ′(x )=1+ln x =0，x =1e ，G (x )在(0,1e )单调递减，G (x )在(1e , +∞)单调递增，G (x )min = - 1e ，h (x )= |f (x )|-2a 有3个不同的零点x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，即|G (x )|-a =0有3个不同的零点x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，又G (1)=0，所以x 1<0<x 2<1<x 3，由（1）知a ≥0时，当x ≥1时，x ln x ≤x 2-12，所以x 3ln x 3=a ≤x 32-12，令x 2-12=a ，x =1+2a ，所以x 3>1+2a ；（ii ）同（i ）知|G (x )|-a =0有3个不同的零点x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，x 1<0<x 2<1<x 3，所以0<a <1e ，且0<x ≤1时，0≤x 2-12≤x ln x ，所以x 2<1-2a ，所以x 32x 22=1+2a 1-2a =-1+21-2a ，所以x 32x 22>e+2e -2．。
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江苏省海安高级中学高三数学试题江苏省海安高级中学高三数学试题必做题部分(本部分满分160分,考试时间120分钟)一、填空题: 本大题共14小题,每小题5分,共计70分1.为虚数单位,则的实部是▲ .2.已知集合,,若,则实数a ▲ .3.设是等差数列,若,,则数列的前10项和为▲ .4.三张卡片上分别写上字母E、E、B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词BEE的概率为▲ .5.已知是三个互不重合的平面,是一条直线,给出下列四个命题:①若,则; ②若,则;③若上有两个点到的距离相等,则;④若,则.其中正确命题的序号是▲ .6.如图,在6×6方格纸中有向量,若满足,则▲ .7. 按如图所示的程序框图运行程序后,输出的结果是63,则判断框中的整数H的值是▲ .8.某校举行演讲比赛,9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示,统计员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91,复核员在复核时,发现有一个数字茎叶图中的无法看清,若统计员计算无误,则数字应该是▲ .9.已知实数满足,则的最大值是▲ .10.已知函数若数列满足,且是递增数列,则实数a的取值范围是▲ .11.已知A、B、C是直线l上的三点,向量满足,则函数y fx的表达式为▲ .12. 已知实数满足,则的取值范围是▲ .13.设圆:,直线:,点在直线上,若在圆上存在一点,使得(为坐标原点),则的取值范围为▲ .14.若数列满足:对任意的,只有有限个正整数m使得成立,记这样的m 的个数为,则得到一个新数列.例如,若数列是,则数列是.已知对任意的,,▲ .二、解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系中,点A在轴的正半轴上,直线AB的倾斜角为,OB 2,设. (1)用表示点B的坐标及OA的长度; (2)若的值.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P?ABCD中,侧面PAD是正三角形,且垂直于底面ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD60°,M为PC上一点,且PA?//?平面BDM. (1)求证:M为PC的中点; (2)求证:平面ADM⊥平面PBC.17.(本小题满分14分)某海滨城市坐落在一个三角形海域的顶点O处(如图),一条海岸线AO在城市O的正东方向,另一条海岸线OB在城市O北偏东方向,位于城市O北偏东方向15km 的P处有一个美丽的小岛.旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路:从城市O出发沿海岸线OA到达C处,再从海面直线航行,途经小岛P到达海岸线OB的D处,然后返回城市O.设OC t km,这条旅游观光线路所围成的三角形区域面积为St. (1)写出St关于t的函数关系式及函数定义域;(2)要使面积最小,C应选址何处?并求出最小面积.18.(本题满分16分)已知圆:交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,直线l:为准线的椭圆.(1)求椭圆的标准方程;(2)若M是直线l上的任意一点,以OM为直径的圆K与圆O相交于P、Q两点,求证:直线PQ 必过定点E,并求出点E的坐标;(3)在(2)的条件下,直线PQ与椭圆C交于G、H两点,点G在x轴上方, ,求此时弦PQ的长.19.(本题满分16分)已知定义在上的三个函数,,,且在处取得极值.w_w w. k#s5_u.c o*m(1)求实数a的值及函数的单调区间;(2)求证:当时,恒有成立;(3)把对应的曲线C1向上平移6个单位后得曲线C2,求C2与对应曲线C3的交点个数,并说明理由.20. (本题满分16分)已知集合中的元素都是正整数,且,对任意的且,有≥.(1)求证:≥;(2)求证:;(3)对于,试给出一个满足条件的集合.附加题部分(本部分满分40分,考试时间30分钟)21.(本题满分10分)设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸压变换.(1)求矩阵M及其逆矩阵;(2)在平面xoy中,求在的作用下,椭圆变换后的曲线方程.22.(本题满分10分)求经过极点三点的圆的极坐标方程.23.(本题满分10分)某地区举办科技创新大赛,有50件科技作品参赛,大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分,每项评分均按等级采用5分制,若设“创新性”得分为,“实用性”得分为,统计结果如下表:作品数量实用性1分2分3分4分5分创新性 1分 1 3 1 0 12分 1 0 7 5 13分 2 1 0 9 34分16 05分0 0 1 1 3(1)求“创新性为4分且实用性为3分”的概率;(2)若“实用性”得分的数学期望为,求、的值.24.(本题满分10分),求证: .江苏省海安高级中学高三数学试题参考答案1. 2. 3.4. 5.②④ 6. 7. 5 8. 29.9 10. 2,3 11. 1213. 14.15.解:(1)由三角函数的定义,得点B的坐标为. ……………… 2分在由正弦定理得,得, ……………… 4分即.所以.……………… 6分注:若用直线AB方程求得也得分. (2)由(1)得.…………… 8分因为所以.……………… 10分又所以 . ………………14分16.解(1)证明:连AC,设AC与BD交于G.由于 PA//平面BDM,面PAC∩面BDMMG,所以, PA//MG ………………3分底面ABCD为菱形, G为AC的中点,则MG为△PAC的中位线.故M是PC的中点. ………………6分 (2)分别取AD、PB的中点O、N,连PO,BO,ON, MN.△PAD是正三角形,于是PO⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,所以,PO⊥平面ABCD.则 PO⊥BC. ………………8分底面ABCD是菱形,且∠BAD60°,有△ABD是正三角形,AD⊥OB.因BC//AD,所以BC⊥OB.PO∩OBO,于是BC⊥平面POB .ON平面POB .从而BC⊥ON. ………………10分而△PAD≌△BAD,POBO, N是PB的中点,于是,PB⊥ON.PB∩BCB,所以ON⊥平面PBC.………………12分又M、N分别是PC、PB的中点,MN//BC,且BC//AD,则MN//AD.所以ON平面ADM.故面ADM⊥面PBC. ………………14分17.解(1)以O为原点,直线OA为x轴建立平面直角坐标系据题意,直线OB的倾斜角为 ,从而直线OB的方程为y 3x. ………………3分由已知,OP15,,得点P的坐标为(9,12). ………6分直线PC的方程为 :, 联立y3x,得,,则 t >5.于是, t >5.………9分(2)120.上当且仅当,即t10时取等号. ……………12分而当时,.当t10时,S△OCD取最小值120.答:当C地处于城市O正东方向10km处时,能使三角形区域面积最小,其最小面积为120km2. ……………14分18.解(1)设椭圆的标准方程为.则从而故.椭圆的标准方程为. …………………4分(2)设,则圆方程为 .将圆方程与圆方程联立,消去得直线PQ的方程为,所以直线过定点. …………………8分(3)设G、H两点的坐标分别为、,则①……10分由于, ,即……………12分代入①解得:(由图舍去正值),,即. ……………………14分所以直线PQ的方程为 .圆心到直线PQ的距离, 于是...................16分19.解(1),,,∴. (2)分而,,令得;令得.∴函数单调递增区间是;单调递减区间是. ………………4分(2)∵,∴,∴,欲证,只需要证明,即证明,……7分记,∴,当时,,∴在上是增函数,∴,∴,即,∴,故结论成立. ………………10分(3)由(1)知,,∴C2对应的表达式为,问题转化为求函数与图象交点个数.即求方程,即根的个数.…………12分设,,.当时,,为减函数;当时,,为增函数.而,图象是开口向下的抛物线.作出函数与的图象,,而可知交点个数为2个,即曲线C2与C3的交点个数为2个. ………16分k#s5_u.c o*m20. 1 证明:依题意有,又,因此.可得.所以.即. …………………4分(2)证明:由1可得.又,可得,因此.同理,可知.又,可得,所以均成立.当时,取,则,可知又当时,.所以. …………… 10分(3)解:对于任意,,由可知,,即.因此,只需对,成立即可.因为;;;,因此可设;;;;.由,可得,取.由,可得,取.由,可得,取.由,可得,取.所以满足条件的一个集合.……………16分附加题部分21.解(1)由条件得矩阵, …………3分.…………6分(2)椭圆在的作用下的新曲线的方程为.………10分22.解将点的极坐标化为直角坐标,点的直角坐标分别为,故是以为斜边的等腰直角三角形,圆心为,半径为,圆的直角坐标方程为,即,…………5分将代入上述方程,得,即. ……………10分23.解(1)从表中可以看出,“创新性为4分且实用性为分”的作品数量为6件,∴“创新性为4分且实用性为3分”的概率为. …………3分(2)由表可知“实用性”得分有1分、2分、3分、4分、5分五个等级,且每个等级分别有5件,件,15件,15件,件. “实用性”得分的分布列为:1 2 3 4 5 ……………7分又∵“实用性”得分的数学期望为,∴.∵作品数量共有50件,∴解得,. ……………………10分24. 证明由于,,……………………4分所以.即. ……………………6分令,则有. ……………………8分即,即.因此原不等式成立.……………………10分。