直线的点斜式方程与斜截式方程习题课
《第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程》教学设计
《第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程》教学设计一、问题引入请同学们思考:1.在直角坐标系内确定一条直线,需要几个条件?2.求直线斜率的方法有哪些?3.已知直线l 的斜率k ,且直线l 经过点()000,P x y ,如何求直线l 的方程?设计意图:引导学生复习旧知,提出问题,引入新课题.二、探索研究(一)直线的点斜式方程1.循序渐进:思考1:设12,l l 是平面直角坐标系中的直线,分别判断满足下列条件的12,l l 是否唯一.如果唯一，作出相应的直线,并思考直线上任意一点的坐标(,)x y 应该满足什么条件.（1）已知1l 的斜率不存在;（2）已知1l 的斜率不存在且1l 过点(2,1)A -;（3）已知2l 的斜率为3;（4）已知2l 的斜率为3且2l 过点(1,2)B .教师提出问题,学生分组进行思考讨论,教师让学生行口答,并给予点评.教师:不难看出,满足条件(1)的直线1l 有无数条,但满足条件(2)的直线1l 是唯一的,如图所示.此时若(,)x y 为直线1l 上的点,则必有2x =-;另外,任意横坐为2-的点,一定都在直线1l 上.满足条件(3)的直线2l ,只要倾斜角为60︒即可,因此2l 也有无数条.满足条件(4)的直线2l 是唯一的,如图(2)所示.此时若(,)P x y 为直线2l 上不同于B 的点,则BP k即21y x -=-,化简可得21),y x -=-容易验证,(1,2)B 的坐标也能使上式成立,因此直线2l 上的点都使得上式成立;另外,如果,x y 能使得上式成立,即要么(,)P x y 就是点(1,2)B ,要么BP k =也就是说,点P 一定在直线2l 上.思考2：（2）中直线1l 上点的坐标与方程2x =-的解有什么关系?（4）中直线2l 上点的坐标与方程2y -=1)x -的解有什么关系?由此你能得出什么结论?教师提出问题,学生进行思考,教师让同学回答,并给出一般结论.教师:一般地,如果直线l 上点的坐标都是方程(F x ,)0y =的解,而且以方程(,)0F x y =的解为坐标的点都在直线l 上,则称(,)0F x y =为直线l 的方程,而直线l 称为方程(,)0F x y =的直线.此时,为了简单起见,“直线l ”也可说成“直线(,)0F x y =”,并记作:(,)0l F x y =.思考3:设点()000,P x y 为直线l 上一定点,而且知道的l 斜率信息,我们怎样得到直线l 的方程?教师提出问题,学生进行思考讨论并进行回答.教师:（1）如果直线l 的斜率不存在,则直线l 的方程为0.x x =（2）如果直线l 的斜率存在且为k ,设(,)P x y 为直线l 上不同于0P 的点,则0P P k k =,即00y y k x x -=-,化简可得 ()00y y k x x -=-.①而且()000,P x y 的坐标也能使上式成立;另外,如果,x y 能使得上式成立,则要么(,)P x y 就是点()000,P x y ,要么0P Pk k =,也就是说,点P 一定在直线l 上,从而①就是直线l 的方程.因为方程①由直线上一点和直线的斜率确定,所以通常称为直线的点斜式方程.思考4:你能用方向向量来推导直线的点斜式方程吗?教师提出问题,学生进行思考讨论并进行回答.教师:直线的点斜式方程还可以用方向向量来得到:如果已知()000,P x y 是直线l 上一点,而且l 的斜率为k ,则直线的一个方向向量为(1,)a k =;另一方面,设(P x ,y )为平面直角坐标系中任意一点,则P 在直线l 上的充要条件是0P P 与a 共线,又因为()000,P P x x y y =--,所以()00y y k x x -=-.思考5:直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?引导学生分组讨论,然后说明理由,使学生掌握直线的点斜式方程的适用范围.教师:归纳总结:1.点斜式方程的局限性:只能表示斜率存在的直线,不能表示与x 轴垂直的直线.2.经过点()000,P x y 的直线有无数条,可分成两类:①斜率存在的直线(如图),方程为()00y y k x x -=-;斜率不存在的直线(如图):0x x =.（二)直线的斜截式方程思考6:已知直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为(0,b),求直线l 的方程.学生独立求出直线l 的方程:y kx b =+.②在此基础上,教师给出截距的概念,引导学生分析方程②由哪两个条件确定,让学生理解斜截式方程概念的内涵.教师:一般地,当直线l 既不是x 轴也不是y 轴时:若l 与x 轴的交点为(,0)a ,则称l 在x 轴上的截距为a ;若l 与y 轴的交点为(0,)b ,则称l 在y 轴上的截距为b .一条直线在y 轴上的截距简称为截距.方程y kx b =+由直线的斜率和截距确定,因此通常称为直线的斜截式方程.思考7:观察方程y kx b =+,它的形式具有什么特点?直线y kx b =+在y 轴上的截距是什么? 使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别.教师:从直线的截距式方程y kx b =+,可以方便地看出直线的斜率k 和截距b .思考8:你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx b+?直线方程中k和b的几何意义是什么?你能说出一次函数21,3,3=-==-+的截距吗?y x y x y x使学生进一步加深对直线截距式方程的认识和理解.三、应用举例（一)点斜式方程应用举例例1 已知直线l经过点P,且l的斜率为k,分别根据下列条件求直线l的方程：（1）(0,3),2P k=-.P k=;(2)(1,0),3解（1）根据已知可得直线l的点斜式方程为-=⨯-32(0)y x化简得23=+.y x（2）根据已知可得直线l的点斜式方程为0y x=-+.-⨯-,化简得33y-=(3)(1)x教师可以找两个同学上黑板完成,其他同学在练习本上完成,完成后教师进行讲解.（二)斜截式方程应用举例例2 已知直线l经过点(2,3)P-,且l的倾斜角为45︒,求直线l的方程,并求直线l的截距.解因为直线l的斜率tan451k=︒=,所以可知直线l的方程为-=⨯--，31[(2)]y x即5=+.因此直线l的截距为5.y x学生思考讨论并上台讲解,教师给予点评.四、小结归纳教师引导学生概括：（1）本节课我们学习了哪些知识点？（2）直线方程的点斜式、斜截式的特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道什么条件？五、课后作业教材第85页练习A第1~4题.板书设计教学研讨本节内容由8个思考问题构成，每个思考问题要给学生充分的讨论探究时间，这样设计有助于学生自主学习能力的提高.对于例题，这里选择了教材上的例题，数量和难度都有些不足，建议教师可以再安排一些难度较大的例题.。
人教B版必修2练习2.2.2 直线方程的几种形式 点斜式、斜截式 Word版含解析
课时目标掌握由直线上一点和斜率导出直线方程的方法．．＋＝(－) ．－＝(＋)．－＝(＋) ．＋＝(－)答案：解析：＝°＝，则点斜式方程为－＝(＋)．二、填空题(每个分，共分)．斜率为，与轴交点的横坐标为－的直线的点斜式方程为．答案：－＝[－(－)]解析：由直线与轴交点的横坐标为－，得直线过点(－)．又斜率为，所以所求直线的点斜式方程为－＝[－(－)]．.直线－＋＝在轴上的截距为．答案：解析：直线的斜截式方程为＝＋，所以在轴上的截距为.．直线＝＋＋恒过一定点，则此点是．答案：(－)解析：把直线方程化为点斜式－＝(＋)．显然当＝－时＝，即直线恒过定点(－)．三、解答题．(分)已知直线过点(－)，且其倾斜角与直线－＝－(－)的倾斜角相等，求直线的方程．解：由于直线的倾斜角与直线－＝－(－)的倾斜角相等，所以直线的斜率与直线－＝－(－)的斜率相等．又直线－＝－(－)的斜率为－，故所求直线的方程为－＝(－)·[－(－)]，可化为＋－＝.．(分)已知直线与直线：＝＋在轴上有相同的截距，且的斜率与的斜率互为相反数，求直线的方程．解：由题意，知直线在轴上的截距为，其斜率为－，故直线的方程为＝－＋.能力提升．(分)设直线的方程为(－－)＋(＋－)＝－，根据下列条件分别求的值．()经过定点(，－)；()在轴上的截距为；()与轴平行；()与轴平行．解：()点在直线上，即(，－)适合方程(－－)＋(＋－)＝－，把(，－)代入，得(－－)－(＋－)＝－，解得＝.()令＝，得＝，由题意知＝，解得＝－或.()与轴平行，则有(\\(－－≠，＋－＝，))解得＝.()与轴平行，则有(\\(－－＝，＋－≠，))解得＝.．(分)已知所求直线的斜率是直线＝－＋的斜率的－倍，且分别满足下列条件：()经过点(，－)，求该直线方程；()在轴上的截距是－，求该直线的方程．解：∵直线方程为＝－＋，∴＝－.根据题意知：所求直线的斜率′＝－×＝.()∵直线过点(，－)，∴所求直线方程为＋＝(－)，即－－＝.()∵直线在轴上的截距为－，∴所求直线方程为＝－，即－－＝.。
直线的点斜式方程与斜截式方程教案(一)
直线的点斜式方程与斜截式方程教案(一)教案：直线的点斜式方程与斜截式方程一、概述本节课主要介绍直线的点斜式方程与斜截式方程的概念及求解方法，以及如何在坐标平面中绘制直线。
二、学习目标1.了解直线的点斜式方程与斜截式方程的含义及公式；2.能够根据给定的直线上的一点和斜率求解直线的点斜式方程；3.能够根据给定的直线在坐标轴上的截距求解直线的斜截式方程；4.能够在坐标平面中用点斜式方程和斜截式方程绘制直线。
三、教学内容及步骤1.直线的点斜式方程–点斜式方程的定义：y−y1=k(x−x1)，其中(x1,y1)为直线上的一点，k为直线的斜率。
–求解步骤：•已知直线上的一点(x1,y1)和斜率k；•代入点斜式方程，得到直线的方程。
2.直线的斜截式方程–斜截式方程的定义：y=kx+b，其中k为直线的斜率，b 为直线在纵轴上的截距。
–求解步骤：•已知直线的斜率k和截距b；•将斜率k和截距b代入斜截式方程，得到直线的方程。
3.绘制直线–使用点斜式方程：•确定一点(x1,y1)和斜率k；•选取适当的x值，计算对应的y值；•将得到的点(x,y)连接起来，绘制直线。
–使用斜截式方程：•确定斜率k和截距b；•选取适当的x值，计算对应的y值；•将得到的点(x,y)连接起来，绘制直线。
四、教学示例给定直线上一点A(2, 3)和斜率k=2，求直线的点斜式方程和斜截式方程，并在坐标平面上绘制该直线。
1.点斜式方程的求解：–点斜式方程：y−y1=k(x−x1)–将点A(2, 3)和斜率k=2代入，得到方程：y−3=2(x−2)–化简得到点斜式方程：y−3=2x−4–整理得到点斜式方程：y=2x−12.斜截式方程的求解：–斜截式方程：y=kx+b–已知斜率k=2和点A(2, 3)，代入得到方程：3=2(2)+b–求解得到截距b= -1–整理得到斜截式方程：y=2x−13.绘制直线：–表示直线的点对：(0, -1), (1, 1), (2, 3), (3, 5), (4,7)等；–将这些点用直线连接起来，得到一条斜率为2的直线。
02 教学课件_直线的点斜式方程与斜截式方程(第1课时)(4)
而直线l称为方程F(x,y)=0的直线.此时,为了简单起见,“直线l”也可
说成“直线F(x,y)=0”,并且记作l:F(x,y)=0.
微判断
(1)如图所示,线段AB的方程为y=x+1.(
)
(2)在平面直角坐标系中,y轴所在直线方程为y=0.(
∴直线 l 的方程为 y= 3x-2.
答案:D
探究一
探究二
当堂检测
4.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为
(
)
1
A.y=2x+4
B.y=2x+4
C.y=-2x+4
1
D.y=-2x+4
1
解析:由题意可设所求直线方程为 y=kx+4,又由 2k=-1,得 k=-2,∴所
1
求直线方程为 y=-2x+4.
表示出来呢?
结论展示问题1 提示(1)直线l1上的点的坐标都是二元方程
y=kx+b的解.
(2)以方程y=kx+b的解为坐标的点都在直线l1上.
-
问题 2 提示可以利用斜率公式 k=- 0 得出 y-y0=k(x-x0).
0
激趣诱思
知识点拨
1.直线与方程
一般地,如果直线l上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,而且以方程
B.y=2x+3
C.y=-2x-3
D.y=-2x+3
答案:A
(2)直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有(
)
A.k>0,b>0
B.k>0,b<0
《8.2.2直线的点斜式方程与斜截式方程》教学设计
《8.2.2直线的点斜式方程与斜截式方程》教学设计一、内容及其解析1.内容：这是一节建立直线的点斜式方程(斜截式方程)的概念课.学生在此之前已学习了在直角坐标系内确定直线一条直线几何要素,已知直线上的一点和直线的倾斜角(斜率)可以确定一条直线,已知两点也可以确定一条直线.本节要求利用确定一条直线的几何要素直线上的一点和直线的倾斜角,建立直线方程,通过方程研究直线.2.解析：直线方程属解析几何的基础知识，就是研究解析几何的已经开始.从整体来看,直线方程初步彰显了解析几何的实质用代数的科学知识研究几何问题.从子集与对应的角度构筑了平面上的直线与二元一次方程的一一对应关系,就是自学解析几何的基础.对时程圆、直线与圆的边线关系等内容的自学，无论是科学知识上还是方法上都有著积极主动的意义.从本节来看,学生对直线既就是熟识的，又就是陌生的.熟识就是学生晓得一次函数的图像就是直线，陌生就是用解析几何的方法谋直线的方程.直线的点斜式方程就是推论其它直线方程的基础,在直线方程中占据关键地位.二、目标及其解析1.目标掌握直线的点斜式和斜截式方程的推导过程,并能根据条件熟练求出直线的点斜式方程和斜截式方程.2.解析①知道直线上的一点和直线的倾斜角的代数含义是这个点的坐标和这条直线的斜率.知道建立直线方程就是将确定直线的几何要素用代数形式表示出来.②认知创建直线点斜式方程就是用直线上任一一点与未知点这两个点的座标则表示斜率.③经历直线的点斜式方程的推导过程,体会直线和直线方程之间的关系,渗透解析几何的基本思想.④在探讨直线的点斜式方程的应用领域条件与创建直线的斜截式方程中,体会分类探讨的思想,体会特定与通常思想.⑤在建立直线方程的过程中,体会数形结合思想.在直线的斜截式方程与一次函数的比较中,体会两者区别与联系,特别是体会两者数形结合的区别,进一步体会解析几何的基本思想.三、教学问题确诊分析1.学生在初中已经学习了一次函数,知道一次函数的图像是一条直线,因此学生对研究直线的方程可能心存疑虑,产生疑虑的原因是学生初次接触到解析几何,不明确解析几何的实质,因此应跟学生讲请解析几何与函数的区别.2.学生能听懂创建直线的点斜式的过程,但可能会不晓得为什么必须这么搞.因此还是必须跟学生摆事实座标法的实质把几何问题转化成代数问题,用代数运算研究几何图形性质.3.由于学生没有学习曲线与方程,因此学生难以理解直线与直线的方程,甚至认为验证直线是方程的直线是多余的.这里让学生初步理解就行,随着后面教学的深入和反复渗透,学生会逐步理解的.四、教法与学法分析1、教法分析新课标表示,学生就是教学的主体.教师必须以学生活动居多线.在旧有科学知识的基础上,构筑代莱科学知识体系.本节课可以使用启发式问题教学法教学.通过问题串成,鼓舞学生独立自主探究去达至对科学知识的辨认出和拒绝接受.通过横向发掘科学知识的深度，纵向强化科学知识间的联系，培育学生的技术创新精神.并且并使学生的有效率思维量加强，随着对崭新科学知识和方法产生急于特别注意，并使能力与科学知识的构成相随而行，并使学生在解决问题的同时，构成方法.2、学法分析提升学生的自学方式就是高中数学课程崇尚的基本理念.学生的数学自学活动不仅仅局限于对概念结论和技能的记忆、恶搞和累积.独立思考,独立自主积极探索,动手课堂教学,合作交流,写作自学等都就是自学数学的关键方式,这些方式有利于充分发挥学生自学主观能动性,并使学生的自学过程沦为在教师鼓励下的再缔造的过程.为学生构成积极主动的、多样的自学方式缔造不利的条件.以唤起学生的自学兴趣和技术创新创造力,协助学生培养独立思考,积极探索的习惯.通过直线的点斜式方程的推导，加深对用坐标求方程的理解;通过求直线的点斜式方程，理解一个点和方向可以确定一条直线;通过求直线的斜截式方程，熟悉用待定系数法求的过程，让学生利用图形直观启迪思维，实现从感性认识到理性思维质的飞跃.让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力.五、教学过程设计问题1：在直角坐标系内确定直线一条直线几何要素是什么?如何将这些几何要素代数化?[设计意图]使学生认知直线上的一点和直线的倾斜角的代数含义就是这个点的座标和这条直线的斜率.问题2：建立直线方程的实质是什么?[设计意图]创建直线方程就是将确认直线的几何要素用代数形式则表示出.也就是将直线上点的座标满足用户的条件用方程则表示出.引例：若直线经过点,斜率为,点在直线上运动,那么点的坐标满足什么条件?[设计意图]使学生通过具体内容例子经历谋直线的点斜式方程的过程,初步介绍谋直线方程的步骤.问题2.1要得到坐标满足什么条件,就是找出与、斜率为之间的关系,它们之间有何种关系?(过与两点的直线的斜率为)[设计意图]让学生寻找确定直线的条件，体会动中找静.问题2.2如何将上述条件用代数形式则表示出?[设计意图]让学生理解和体会用坐标表示确定直线的条件.用代数式则表示出就是,即.问题2.3为什么说是满足条件的直线方程?[设计意图]使学生初步体会直线与直线方程的关系.此时的坐标也满足此方程.所以当点在直线上运动时,其坐标满足.另外以方程的意指座标的点也在直线上.所以我们得到经过点,斜率为的直线方程是.问题2.4：若想说道方程就是经过,斜率为的直线方程?[设计意图]让学生初步感受直线(曲线)方程的完备性.尽管学生不可能深刻理解直线(曲线)方程的完备性，但在这里仍要渗透，为后因理解曲线方程的埋下伏笔.问题3：推展：未知一直线过一定点,且斜率为k,怎样谋直线的方程?[设计意图]由特殊到一般的学习思路，培养学生的是归纳概括能力.问题4：直线上存有无数个点,如何就可以挑选出所有的点?以前自学中是不是相似的处置问题的方法?[设计意图]引导学生掌握解析几何取点的方法.备注：在谋直线方程的过程中要表明直线上的点的座标满足用户方程,也必须表明以方程的意指座标的点在直线上,即为方程的Haudouin直线上的点的座标就是一一对应的.为以后学习曲线与方程踢不好基础.教学中使学生感觉到这一点就可以.不必搞过多表述.问题5：从求直线方程的过程中,你知道了求几何图形的方程的步骤有哪些吗?[设计意图]使学生初步体会解析几何谋曲线方程的步骤.①设点---用表示曲线上任一点的坐标;②找寻条件----写下适宜条件;③列出方程----用坐标表示条件,列出方程④化简---化方程为最珍形式;⑤证明----证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.基准1分别谋经过点,且满足用户以下条件的直线的方程,并图画出来直线.⑴倾斜角⑵斜率⑶与轴平行;⑷与轴平行.[设计意图]让学生掌握直线的点斜式的使用条件,把直线的点斜式方程作公式用，让学生熟练掌握直线的点斜式方程，并理解直线的点斜式方程使用条件.备注：⑴应用领域直线的点斜式方程的条件就是：①定点，②斜率存有,即为直线的'倾斜角.⑵与的区别.后者表示过,且斜率为k的直线方程，而前者不包括.⑶当直线的倾斜角时,直线的斜率，直线方程就是.⑷当直线的倾斜角时,此时不能直线的点斜式方程表示直线,直线方程是.练：1..2.已知直线的方程是，则直线的斜率为，倾斜角为，这条直线经过的一个已知点为.[设计意图]在直线的点斜式方程的逆用过程中，进一步体会和认知直线的点斜式方程.问题6：特别地，如果直线的斜率为,且与轴的交点坐标为(0,b),求直线的方程.[设计意图]由通常至特定，培育学生的推理小说能力，同时带出dT的概念和直线斜截式方程.将斜率与定点代入点斜式直线方程可得：表明：我们把直线与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫作直线在y轴上的dT.这个方程就是由直线的斜率与它在y轴上的dTb确认,所以叫作直线的斜截式方程.注(1)截距可取任意实数,它不同于距离.直线在轴上截距的是.(2)斜截式方程中的k和b存有显著的几何意义.(3)斜截式方程的使用范围和斜截式一样.问题7：直线的斜截式方程与我们研习过的一次函数的相似.我们晓得,一次函数的图像就是一条直线.你如何从直线方程的角度重新认识一次函数?一次函数中k和b的几何意义就是什么?[设计意图]让学生理解直线方程与一次函数的区别与联系，进一步理解解析几何的实质.函数图像是以形助数，而解析几何是以数论形.练：1..2.直线的斜率为2，在轴上的截距为，求直线的方程.[设计意图]使学生明晰dT的含义.3.直线过点，它的斜率与直线的斜率相等，求直线的方程.[设计意图]使学生进一步认知直线斜截式方程的结构特征.4.已知直线过两点和，求直线的方程.[设计意图]使学生能够合理挑选直线方程的相同形式谋直线方程,同时为下节自学直线的两点式方程种下伏笔.例2：已知直线,试讨论(1)与平行的条件就是什么?(2)与重合的条件是什么?(3)与横向的条件就是什么?说明：①平行、重合、垂直都是几何上位置关系，如何用代数的数量关系来刻画.②教学中从两个方面去表明，若两直线平行，则且反过来，若且，则两直线平行.③若直线的斜率不存在，与之平行、垂直的条件分别是什么?练：问题8：本节课你有哪些收获?要点：(1)直线方程的点斜式、斜截式的命名都就是顾名思义的,必须可以予以区别.(2)两种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用.总结：制订教学计划的主要目的就是为了全面介绍学生的数学自学历程，鞭策学生的自学和改良教师的教学。
学案1：2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程~2.2.2 第2课时 直线的两点式方程
2.2.2第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程~2.2.2第2课时直线的两点式方程学习目标核心素养1．会求直线的点斜式、斜截式、两点式和一般式的方程．(重点)2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系．(重点)3．灵活选用恰当的方式求直线方程．(难点)1．通过直线方程的几种形式的学习，培养数学抽象的核心素养．2．通过直线方程的几种形式适用范围的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养．【情境导学】情境引入斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．怎样表示直线的方程呢？新知初探1．直线的点斜式方程与斜截式方程在平面直角坐标系中，如果已知P0(x0，y0)是直线l上一点及l的斜率信息，就可以写出直线l的方程．(1)如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为．(2)直线的点斜式方程：若直线l的斜率存在且为k，P(x，y)为直线l上不同于P0的点，则直线l的方程为y－y0＝k(x －x0)．由直线上一点和直线斜率确定，通常称为直线的点斜式方程．思考1：直线的点斜式方程应用范围是什么？(3)直线的斜截式方程当直线l既不是x轴也不是y轴时，若直线l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a，与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b．如果已知直线的斜率为k，截距为b，则直线l的方程为．由直线的斜率和截距确定，通常称为直线斜截式方程．思考2：直线的斜截式方程应用范围是什么？2．直线的两点式方程与截距式方程(1)直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x2≠x1，y2≠y1时，则称为直线的两点式方程．(2)若直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0，则方程称为直线的截距式方程．思考3：直线的两点式方程和截距式方程的应用范围分别是什么？3．直线的一般式方程直线的一般式方程为．初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1,3)．()(2)直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3．()(3)斜率不存在的直线能用两点式方程表示．()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为13．过点(1,2)和(3,5)的直线方程为．4．经过点P(－2,1)，且斜率为－1的直线方程为．【合作探究】【例1】写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点(2,5)，倾斜角为45°；(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程；(3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直．[规律方法]1．求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．[跟进训练]1．求满足下列条件的直线的点斜式方程．(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率是3，在y 轴上的截距是－3．(2)倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5．(3)过点A (－1，－2)，B (－2,3)．[思路探究] 先求直线的斜率，结合y 轴上的截距可用斜截式方程求解．[规律方法]1．用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截距和距离的区别．2．直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 不仅形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和b 的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k ，b 的几何意义进行判断．[跟进训练]2．(1)写出直线斜率为－1，在y 轴上截距为－2的直线的斜截式方程；(2)求过点A (6，－4)，斜率为－43的直线的斜截式方程； (3)已知直线l 的方程为2x ＋y －1＝0，求直线的斜率，在y 轴上的截距以及与y 轴交点的坐标．【例3】在△ABC中，A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，(1)求BC所在直线的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．[思路探究](1)由两点式直接求BC所在直线的方程；(2)先求出BC的中点，再由两点式求直线方程．[规律方法]1．由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标．(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．2．求直线的两点式方程的策略以及注意点当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．[跟进训练]3．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为；(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝．[探究问题]1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为什么？2．每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线吗？为什么？【例4】设直线l的方程为(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．若直线l不过第三象限，则a的取值范围为．[思路探究]含有参数的一般式直线方程问题⇒化为直线方程的相应形式，根据实际情况求解．[母题探究]1．本例中若将方程改为“x＋(a－1)y－2－a＝0(a∈R)”，其他条件不变，又如何求解？2．若本例中的方程不变，当a取何值时，直线不过第二象限？[规律方法]当题目给出直线的一般式方程而考查直线经过的象限问题时，可将一般式方程转化为斜截式方程(但它的参数要有限制，注意分类讨论)，直接研究y＝kx＋b：①k>0，b>0，经过第一、二、三象限；②k>0，b<0，经过第一、三、四象限；③k<0，b>0，经过第一、二、四象限；④k<0，b<0，经过第二、三、四象限．【课堂小结】1．本节课的重点是了解直线方程的五种形式，难点是根据条件求直线的方程并能在几种形式间相互转化．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求点斜式方程与斜截式方程的方法．(2)求截距式方程与两点式方程的方法．(3)求一般式方程的方法．3．本节课的易错点是利用斜截式方程求参数时漏掉斜率不存在的情况．【达标检测】1．过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程为()A．y＋2＝3(x－3)B．y－2＝33(x＋3)C．y－2＝3(x＋3) D．y＋2＝33(x＋3)2．直线y－2＝3(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为()A．60°，2 B．60°，2＋3C．120°，2＋ 5 D．120°，23．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜04．已知直线l过点P(2,1)，且斜率为－1，则l的点斜式方程为．5．直线l经过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y＝3x＋3的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．【参考答案】【情境导学】新知初探1．直线的点斜式方程与斜截式方程(1) x＝x0思考1：[提示]直线l的斜率k存在．(3)y＝kx＋b思考2：[提示]直线既不与x轴重合也不与y轴重合．2．直线的两点式方程与截距式方程(1) y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(2)xa＋yb＝1思考3：[提示]两点式表示的直线l不与坐标轴平行或重合，截距式表示的直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点．3．直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)初试身手1．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√[提示](1)由点斜式方程的形式知正确．(2)由斜截式方程的形式知正确．(3)两点式方程不能表示与坐标轴平行或重合的直线，错误．(4)正确．2．C[方程变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1．]3．3x－2y＋1＝0[由直线的两点式方程，得y－25－2＝x－13－1，化简得3x－2y＋1＝0．] 4．x＋y＋1＝0[由题意知，直线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋y＋1＝0．]【合作探究】【例1】[解] (1)因为倾斜角为45°，所以斜率k ＝tan 45°＝1，所以直线的方程为y －5＝x －2．(2)直线y ＝x ＋1的斜率k ＝1，所以倾斜角为45°．由题意知，直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k ′＝tan 135°＝－1．所以直线的方程为y －4＝－(x －3)．(3)由题意知，直线的斜率k ＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y －(－1)＝0，即y ＝－1．(4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x ＝1，该直线没有点斜式方程．[跟进训练]1．[解] (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)．(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x －3)，即y ＋4＝0．(3)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线的斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1． 又∵直线过点P (－2,3)，∴直线的点斜式方程为y －3＝－(x ＋2)．【例2】[解] (1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y ＝3x －3．(2)∵倾斜角是60°，∴斜率k ＝tan 60°＝3，由斜截式可得方程y ＝3x ＋5．(3)斜率为k ＝3＋2－2＋1＝－5，由点斜式得y －3＝－5(x ＋2)，化为斜截式y ＝－5x －7． [跟进训练]2．[解] (1)易知k ＝－1，b ＝－2，故直线的斜截式方程为y ＝－x －2．(2)由于直线的斜率k ＝－43，且过点A (6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y ＋4＝－43(x －6)，化成斜截式为y ＝－43x ＋4． (3)直线方程2x ＋y －1＝0可化为y ＝－2x ＋1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k ＝－2，在y 轴上的截距b ＝1，直线与y 轴交点的坐标为(0,1)．【例3】[解] (1)∵BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)，∴由两点式得y －(－4)(－2)－(－4)＝x －50－5， 即2x ＋5y ＋10＝0．故BC 所在直线的方程为2x ＋5y ＋10＝0． (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝5＋02＝52， y 0＝(－4)＋(－2)2＝－3．∴M ⎝⎛⎭⎫52，－3， 又BC 边上的中线经过点A (－3,2)．∴由两点式得y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0． 故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0．[跟进训练]3．(1)x ＝2 (2)－2 [(1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2．(2)由两点式方程得，过A ，B 两点的直线方程为y ＋14＋1＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0． 又点P (3，m )在直线AB 上，所以3＋m －1＝0，得m ＝－2．][探究问题]1．[提示] 都可以，原因如下：(1)直线和y 轴相交于点(0，b )时：此时倾斜角α≠π2，直线的斜率k 存在．直线可表示成y ＝kx ＋b ，可转化为kx ＋(－1)y ＋b ＝0，这是关于x ，y 的二元一次方程．(2)直线和y 轴平行(包含重合)时：此时倾斜角α＝π2，直线的斜率k 不存在，不能用y ＝kx ＋b 表示，而只能表示成x －a ＝0，它可以认为是关于x ，y 的二元一次方程，此时方程中y 的系数为0．2．[提示] 能表示一条直线，原因如下：当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0可变形为y ＝－A Bx －C B ，它表示过点⎝⎛⎭⎫0，－C B ，斜率为－A B的直线． 当B ＝0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0变成Ax ＋C ＝0．即x ＝－C A，它表示与y 轴平行或重合的一条直线． 【例4】[1，＋∞) [把直线l 化成斜截式，得y ＝(1－a )x ＋a ＋2，因为直线l 不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y 轴上的截距大于等于零．即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤0，a ＋2≥0，解得a ≥1．所以a 的取值范围为[1，＋∞)．][母题探究]1．[解] (1)当a －1＝0，即a ＝1时，直线为x ＝3，该直线不过第三象限，符合．(2)当a －1≠0，即a ≠1时，直线化为斜截式方程为y ＝11－a x －2＋a 1－a， 因为直线l 不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y 轴上的截距大于等于零． 即⎩⎪⎨⎪⎧ 11－a ≤0，－2＋a 1－a ≥0，解得a ＞1．由(1)(2)可知a ≥1．2．[解] 把直线l 化成斜截式，得y ＝(1－a )x ＋a ＋2，因为直线l 不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在y 轴上的截距小于等于零．即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥0，a ＋2≤0，解得a ≤－2．所以a 的取值范围为(－∞，－2]．【达标检测】1．C [因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3，由直线方程的点斜式，可得方程为y －2＝3(x ＋3)．]2．B [由y －2＝3(x ＋1)的可知斜率k ＝3，故倾斜角60°，令x ＝0可得在y 轴上的截距2＋3．]3．B [∵直线经过一、三、四象限，由图知，k ＞0，b ＜0．]4．y－1＝－(x－2)[直线l的斜率k＝－1，又过点P(2,1)，所以l点斜式方程为y－1＝－(x－2)．]5．[解]直线y＝3x＋3的斜率k＝3，则其倾斜角α＝60°，∴直线l的倾斜角为120°．∴直线l的斜率为k′＝tan 120°＝－3．∴直线l的点斜式方程为y－4＝－3(x－3)．。
中职数学基础模块下册第6章《直线的点斜式方程与斜截式方程》课件
1
，斜率为 ；
2
6
(2)直线经过点 2,3 ，倾斜角为 ；
(3)直线经过点M(2,3), (−1, −3).
1
且斜率为 ，由直线的点斜式方程
2
解 (1)直线经过点 1,2
得 − 2 =
1
2
− 1 ，即 − 2 + 3 = 0
数学是打开科学大门的钥匙。
直线的点斜式方程
高教版数学基础模块（下册）
第六章 直线与圆的方程
6.2.2 直线的点斜式方程与斜截式方程
数学是打开科学大门的钥匙。
直线的点斜式方程
根据平面内直线上的一点以及
直线的倾斜角能画出一条直线.在平
面直角坐标系中，已知一个点的坐
标(0 , 0 )和直线的斜率，如何写
出一条直线的方程？
为便于解决问题，在这里我们引入直线的方程．
时直线平行于轴(或与轴重合),或称直线与
轴垂直.如图(2)所示.
数学是打开科学大门的钥匙。
直线的点斜式方程
【例题】根据下列条件求直线的方程:
（1）直线 :平行于 轴，且过点 （ 3，4）；
（2）直线 :垂直于 轴，且过点 （ 3，4）.
解：(1) 因为直线平行于轴，斜率 = 0，由点斜式方程得 − 4 = 0( − 3)，
即
− 0 = ( − 0 ).
方程是由直线上一点0 (0 , 0 )及斜率确定的,
这个方程叫做这条直线的方程，
这条直线就是这个方程的图形，
而这个方程的图形是一条直线．
因此称为直线的点斜式方程.
数学是打开科学大门的钥匙。
直线的点斜式方程
【例3】分别求满足下列各条件的直线的点斜式方程.
课件2：2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程~2.2.2 第2课时 直线的两点式方程
【新知初探】
知识点一 直线方程的概念 如果以一个方程的解为坐标的点都在_某__条__直__线_上，且这条 直线上点的坐标都是这个方程的____解____，那么这个方程 叫做_这__条__直__线 ___的__方__程__，这条直线叫做__这__个__方__程__的__直__线__． 状元随笔 如何判断点 P(2,1)是否在直线 y＝x－1 上？ [提示] 把点的坐标代入方程，若满足方程，点就在直线 上，反之，不在直线上．
状元随笔 含有参数的一般式直线方程问题⇒化为直线方程的相应形式， 根据实际情况求解．
方法归纳 直线恒过定点的求解策略 1．将方程化为点斜式，求得定点的坐标． 2．将方程变形，把 x，y 作为参数的系数，因为此式子对任 意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得 x，y 的 值，即为直线过的定点．
跟踪训练 4 (改变问法)若例题中的方程不变，当 a 取何值时， 直线不过第二象限？ 解析：把直线 l 化成斜截式，得 y＝(1－a)x＋a＋2，因为直线 l 不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在 y 轴 上的截距小于等于零．即1a－ ＋a2≥ ≤00， ， 解得 a≤－2. 所以 a 的取值范围为(－∞，－2]．
2．已知直线的方程是 y＋2＝－x－1，则( ) A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为 1 解析：方程变形为 y＋2＝－(x＋1)， ∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1. 答案：C
(2)设 BC 的中点为 M(x0，y0)， 则 x0＝5＋2 0＝52，y0＝－4＋2 －2＝－3. ∴M25，－3，又 BC 边上的中线经过点 A(－3,2)． ∴由两点式得－y－3－22＝52x－－－－33，即 10x＋11y＋8＝0. 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x＋11y＋8＝0.
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直线的点斜式方程与斜截式方程习题课
班 组 姓名 组评
学习目标：
1、理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
2、能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；
重点：正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
难点：理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围。
学法指导：
1、小组长带领组员回顾有关知识，精读教材第50页内容完成导学案，将不能独立完成的问题提交组上，有本组成员共同讨论完成，若本组共同无法完成，将问题提交老师，全班共同完成.
2、课堂上注意用“红笔”做好改正和记录.
3、课后组长带领大家对本节中出现的错误，共同讨论进行纠错，各组成员将纠错内容记录在“纠错本”上.
一、【检查预习、引入新课】——教师检查问题导读评价单完成情况，并对问题导读评价单中出现的问题进行规范指导.
（一）、知识梳理、双基再现
1、方程___________________叫做直线的点斜式方程．．．．．，简称点斜式．．．。
其中点 为直线上的点， k 为直线的 。
特殊情况：当直线经过点000(,)P x y 且斜率 时，直线的倾角为90°，此时直线与x 轴 ，直线上所有的点横坐标都是0x ，因此其方程为 。
2、方程___________________叫做直线的斜截式．．．方程．．，简称斜截式．．．。
其中k 为直线的 ，b 为直线在_________________。
3、如图所示，设直线l 与x 轴交于点(,0)A a ，与y 轴交于点(0,)B b 。
则a 叫做直线l _______________（或_________）；
b 叫做直线l _______________（或__________）
（二）、小试身手、轻松过关
写出下列直线的点斜式方程：
（1）经过点A(2，5)，斜率是4； （2）经过点B(3，-1)，斜率是2；
（3）经过点C(2 ，2)，倾斜角是30°； （4）经过点D(0，3)，倾斜角是0°；
（5）经过点E(4，-2)，倾斜角是120°
【我的疑惑】
二、【基础训练、锋芒初显】——自主学习，合作探究——教师发放问题生成评价单；学生分组讨论，教师巡回指导；各学习小组选派学生，汇报问题生成评价单完成情况；教师对问题生成评价单完成情况进行点评.
1、写出下列直线的点斜式方程：
①经过点A(3，-1)，斜率是2； ②经过点B(- 2，2)，倾斜角是30°；
2、写出下列直线的斜截式方程： ①斜率是
32
，在y 轴上的截距是-2； ②斜率是-2，在y 轴上的截距是4
3、过点（1，3），且平行于x 轴的直线方程为 ，平行于y 轴的直线方程为 。
【我的疑惑】
三、【举一反三、能力拓展】——强化训练，形成能力——教师发放问题训练拓展评价单；学生分组讨论完成问题训练拓展评价单上的练习题，教师巡回指导；各学习小组选派学生，汇报问题训练拓展评价单完成情况；教师对问题训练拓展评价单完成情况进行点评.
1、已知直线l 的倾角为6
π，在x 轴上的截距为1，求直线l 的方程。
2、已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：
（1）12-=-x y ； （2）)4(33-=-x y ； （3）)1(3--=+x y ；（4）)1(332+-
=+x y
3、求斜率为34
，且与两坐标轴围成的三角形周长为12的直线方程。
4、已知P （3，m ）在过点M （2，－1）和N （－3，4）的直线上，求m 的值。
5、直线过点（－4，0），倾斜角的正弦值为
10
10，求这条直线的方程。
【我的疑惑】
四、【畅谈收获、提升意义】
1、教师提问：（1）咱们今天学习的是什么内容？（2）你们今天学会了什么内容？
2、学生自我小结:（1）今天学习了什么内容？（2）今天学会了什么内容?（3）我有什么疑惑？
五、【布置作业、知识巩固】习题8.2 A 组 4 B 组 1 ,2。