太阳能小屋的设计 数学建模国赛国奖文之令狐文艳创作
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
令狐文艳
承诺书
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太阳能小屋的设计
摘要
本文针对光伏电池在太阳能小屋外表面的优化铺设问题，采用了矩形Packing算法，建立了贡献率最优化以及太阳辐射模型，使用LINGO、MATLAB求解，并用CAD进行画图，实现了光伏电池的串并联铺设和逆变器的最优选配。
对于问题一，在仅考虑贴附安装方式下对小屋的部分外表面进行铺设。借助于矩形Packing问题的砌墙式启发式算法，首先依据单位面积发电效率贡献最优的方法筛选出贡献率最优的电池组件A3进行铺设，之后再用次优的C8电池填补空隙。依照价格功率最优的原则我们又筛选出SN12和SN4逆变器，对各个外表面进行电池的串并联。之后用MATLAB拟合算出太阳辐射一年的总强度，求出电池转化的电能减去成本，得到净经济效益为7.9万元，投资回收年限为23年。
对于问题二，选择架空方式安装光伏电池。我们首先计算出了电池矩阵的最佳倾角。为此我们建立了太阳辐射模型，探讨了光伏电池表面一年接收的总辐射能关于倾角的函数，之后令导数为零即得最佳倾角为40°。然后按最佳倾角来架空铺设电池，求出电池的等效长宽后依照问题一的方法进行铺设，求的净经济效益为13.17万元，投资回收年限为16年。
对于问题三，设计全新的小屋。首先确定最佳的朝向为正南方向，光伏电池全部铺设A3，之后按照最佳倾角40°的原则，结合题目对小屋的限定条件，设计出屋顶和南墙面积最大的太阳能小屋。最后按照问题一的方法进行铺设，并得到净经济效益为22万元，投资回收年限为7年。
关键词：贡献率最优化矩形Packing算法 CAD画图太阳辐射模型微积分
一、问题重述
如何建筑物外表面（屋顶及外墙）光伏电池的铺设是设计太阳能小屋最关键也是最基本的一个环节之一。光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。
附件1-7提供了相关信息。请参考附件提供的数据，对下列三个问题，分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh计算）及投资的回收年限。
在求解每个问题时，都要求配有图示，给出小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图，也要给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表。
在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联。在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接。应注意分组连接方式及逆变器的选配。
本文需解决的问题有：
问题1：请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋（见附件2）的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。
问题2：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1。
问题3：根据附件7给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。
二、模型的假设
假设一：所用光伏电池每峰瓦的实际发电效率或发电量只受太阳辐射强度、光线入射角、所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）的影响，而不考虑光谱值、温度等其他因素的影响；
假设二：不考虑逆变器及连接线路在小屋外表面的所占的面积；
假设三：三十五年内山西省大同市每年的气象数据均与所给定的第一年的气象数据一致；
假设四：设计小屋时只考虑所给要求及如何使之吸收阳光辐射能最大，不考虑美观等其他因素；
假设五：所选用的光伏电池均可达到35年寿命，中途不需更换，所有光伏组件在0～10年效率均可按100%，10～25年均可按照90%折算，25年后均可按80%折算。
三、名词解释与符号说明
1、名词解释
（1）Wp：太阳能电池峰值功率。随着太阳照射的角度不同，太阳能电池输出的功率也不相同。Wp表示的最大输出功率，标准阳光下的太阳能电池输出功率单位。
（2）换效率：光伏电池的单位面积有效的转换效率。
（3）率价格：逆变器单位功率所需的成本。
2、符号说明
符号符号说明单位
W 发电量kw/h
连接A型逆变器的电池个数个
转换效率—
逆变效率—
太阳辐射强度w/m2
太阳时h
时角度I日期序号—
赤纬角度
入射角度
太阳高度角度
日出时刻—
日落时刻—
直接辐射—
散射辐射—
四、问题分析
本文研究的是光伏电池在太阳能小屋外表面的优化铺设问题。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射方向、建筑物所处的地理纬度、安装部位及方式（贴附或架空）以及逆变器的选择等。要使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，就要选择一个优化方案。
对于问题一，在仅考虑贴附安装方式下对小屋的部分外表面进行铺设。首先需要选择铺设的电池组件的类型。可以用单位面积，发电效率贡献最优的方法进行统计计算，筛选出贡献率最优的电池组件，保证全年太阳能光伏发电总量尽可能大。之后进行电池组件的铺设，借助于矩形Packing 问题的砌墙式启发式算法，用LINGO求解。铺设完毕后可以用次优的电池填补。最后用CAD 画图。接着是选择逆变器的类型，同样我们依照逆变器单位价格功率最高原则，筛选出最优的逆变器，然后根据逆变器连接的原则和电池的额定电压、电流和功率来选择串并联方式及逆变器的搭配。对于经济效益，通过计算电池板表面接收的总辐射能可以计算电池发电的收入和成本从而计算出利润，题目给出了一年中每一天每一小时的太阳辐射强度，可以通过MATLAB进行曲线拟合，计算出曲线与x轴所夹的面积即为年总辐射强度。最后对每一个外表面进行上述处理，算出辐射能并转化为电能，相加即可得解。
对于问题二，在选择架空方式下安装光伏电池。因为电池板的朝向与倾角会影响到光伏电池的工作效率，我们需要求出光伏组件的最佳朝向和最佳倾角。对于朝向，因为大同位于北回归线以外，所以朝南能够接受到更多的阳光。故最佳朝向为向南。对于倾角，我们可以先计算出某一时刻电池板表面接收的总辐射强度，然后先关于时间积分，再关于年份积分，即得到电池板表面一年接收的总辐射强度关于倾角的函数，之后求函数极值（导数为零）即得最佳倾角。然后按照最佳倾角架空，求得架空面积，转化为第一问的求解过程。
而对于问题三，通过第一问的分析可知：某一型号的光伏电池具有最大的平米转换效率，故在设计小屋时全部采用该电池。另外在设计小屋时，应首先保证屋檐在最佳倾角的情况下具有最大面积，之后再保证南面具有最大面积，最后依照各限制条件确定其他墙面最大面积的设计方法。设计完太阳能小屋后，再根据第一问的方法解出屋顶光伏电池的数目和贴附铺设，依据第二问的方法接触墙面电池的架空铺设、串并联方式及逆变器的选择，最后算出总收益。
五、模型的建立与求解
问题1：
模型一：贡献率最优化模型
①转换效率最优化：对于不同型号的光伏电池，其规格、组件功率
（w)、转换效率η（%）、开路电压（V oc）、短路电流（/A）、太
阳光辐照阀值是不同的。欲使发电量尽可能大，需要单位面积的发电量最多，由此我们计算了每种型号的光伏电池的单位面积有效的转换效率（平米转换效率）。
通过excel数据处理得到下表2。
考虑尽可能的安装A3电池，用其他电池补充剩余空间。A3和C8电池的功率、开路电压、短路电流如下表3.
②逆变器功率价格最优化
考虑到不管是串联还是并联，总功率都是各支路功率之和。故以功率总量一
定为出发点，将逆变器的选择简化为单一类型的选取，选择单位功率所需成本最少的逆变器即为最优方案。又因为总功率不太可能使逆变器的选择数为整数，故单位功率的变电器价格为
P=8544 （1）
序列型号参考价格额定功率功率价格（元/W）
1 SN1 2900 600 5.091292135
2 SN2 4500 1200 4.213483146
3 SN3 4500 1152 4.213483146
4 SN4 6900 2304 3.230337079
5 SN5 10200 3504 3.581460674
6 SN6 15000 5520 3.511235955
7 SN7 10200 3300 3.581460674
8 SN8 15300 5610 3.581460674
9 SN9 35000 11110 4.096441948
10 SN10 63800 22220 7.467228464
11 SN11 4500 1100 4.213483146
12 SN12 6900 2200 3.230337079
13 SN13 10300 3344 3.616573034
14 SN14 15300 5566 3.581460674
15 SN15 22000 8338 5.149812734
16 SN16 35000 10648 4.096441948
17 SN17 43750 26000 5.120552434
18 SN18 54700 26000 6.402153558
由上表4可知SN4和SN12功率价格最小，故选择SN4和SN12，它们的参数如下表所示。
表5 SN4和SN12的参数
序
号型号
直流输入交流输出
逆变效
率
（80%
阻性负
载）额定额定
允许输
入
额定额定额定
电压
（V）
电流
（A）
电压范
围
（V）
电压/频率
（V/Hz）
电流
（A）
功率
（KW）
4 SN4 48 48 42～64 AC220/50 9 1.6 86%
12 SN12 220 10 180～
300
AC220/50 9.1 1.6 94%
模型二：矩形Packing算法
采用二维背包装箱（2KP）算法【1】来计算用A3电池装填屋顶的最大个数。先给定一个宽为W高为H的大矩形容器，一个大小为n的小矩形集合
R，其中每个矩形的宽为、高为。把大矩形容器的左下角定位在二维笛
卡尔坐标的原点，并使其宽平行于坐标x轴，高平行于坐标y轴(如图)，2KP 的目标是找一个装填，使得装入大矩形容器中的小矩形总面积最大，装填必须满足以下条件：
(1)每个装入的小矩形必须完全在大矩形容器里面； (2)每个小矩形边
必须跟大矩形容器的边平行，也就是所谓的直角装填；
(3)装入的任意两个小矩形不能重叠；
(4)不要求一刀切。
令表示小矩形是否可旋转，=l表示可以，否则表示不可以。(1≤i≤
n)表示小矩形是否已经装入大矩形容器中，如果已经装入则置=l，否则置=O。
对于每个装入大矩形容器的小矩形，令(,)表示其左下角的坐标，
(,)表示其右上角的坐标。
该问题可以形式化描述如下：
（2）
满足：=0 V (0≤≤W0≤≤H), i=1,2,…,n; （3）
=0V(-=-=)V（=1-=-=）i=1,2…n; （4）=0 V =0 V (V V V ) i,j=1,2,…,n,i（5）
{0,1} （6）
其中（2）式表示所有装入的小矩形必须完全放入大矩形中，（3）式表示小矩形装入大矩形容器后必须满足的坐标关系；(4)式表示放入的任意两个小矩形不能够重叠；（5）式表示对每个小矩形，可以选择放入或不放入。
模型求解：
题目要求给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小。求出光伏电池的容量和数量后，再选配相应的逆变器型号，最终确定变器与电池组件的分组匹配。最后计算出小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh计算）及投资的回收年限。
（1）南面屋顶
①光伏电池的贴附铺设
在此问题中，由于其贴附安装的屋顶是不规则矩形，安装面积为大矩形面积减去小矩形面积，为简化算法，我们将整个屋顶分成两部分分别进行贴附安装。以点（0,3232）和点（10100,3232）的连线将整个屋顶分成两个部分，再分别对其进行二维背包装箱（2KP）算法，算法中W,=10100mm，H=3232mm，
H'=3279.53mm，=0, W1=1580mm, h1=808mm。运用lingo软件求得
n1=24,n2=18,n=42个。
此时借助于CAD画图软件进行空间填充分配，在保证A3电池占据最大空间后，我们发现还有一部分剩余空间没有贴附，而分析其电池型号知剩余空间只可以铺设C7和C8，又由于C8的平米转换功率大于C7的，故采用C8铺设剩余空间。铺设完毕后还留有狭长的缝隙，是不能再被利用了。
通过CAD画图，我们解得一共可以铺设42个A3和18个C8，其即为屋顶的最佳铺设方案。
以上我们选择了42个A3电池和18个C8电池的分组方案。接下来我们将根据其连接方式选配相应的逆变器的容量和数量。
图1 南面屋顶的最佳铺设方案
②逆变器的选配：
选配逆变器的要求有：
①光伏分组阵列的端电应满足逆变器直流输入电压范围。（串联要求）
②光伏分组阵列的端电流应满足逆变器直流输入电流范围。（并联要求）
③光伏阵列的最大功率不能超过逆变器的额定容量。
综合考虑，SN12逆变器在交流输出方面要比SN4优秀，故选择SN12逆
变器。若只采用SN12型号，所需数量为 (台。但由于额定电压限定了串联最多5个A3电池（220/46.1=4.8），并联最多一条支线
（10/5.5=1.8），但同时也可以将6台A3串联后再与9台C8并联，得到两条支线，其效率要比一条支线效率高。或5台A3串联后再与8台C8并联，而此时求得逆变器的台数需9台。
若只采用SN4型号，此时所需数量为 (4台，但由于额
定电压限定了串联最多1个A3电池（48/46.1=1.04），并联最多一条支线（48/5.5=8.7）。对于C8电池，串联时最多C8电池（48/26.7=1.8），并联最多（48/0.7=68），此时变换器的台数将大于6台。
而考虑到SN4的额定电流较大，SN12的额定电压较大，故我们可以考虑下将两种型号逆变器的组合，综上分析，我们可以将2台SN12型号的逆变器与4台SN4型号的逆变器进行组合，其中一台SN12型号的连接方式为5台
A3串联.后再与串联的8台C8并联，一条支路直流端电压为230.5<300V，另一条直流端电压为240.3<300V且两条支路间的电压差
电流为5.5+0.7=6.2A<10V，满足要
求。另一台SN12的连接方式为6台A3串联后再与串联的9台C8并联，其中一条支路直流端电压为276.6V<300V,另一条支路直流端电压为240.3V<300V,
且两条支路间的电压差，电流为
5.5+0.7=
6.2A<10A，满足要求。而SN4的连接方式为8台A3并联，其输入电压为46.1V<48V，电流为44A<48A，也满足。而此时所需的逆变器台数却降为6台，成本减少。
故采用相同连接方式的SN4。一共6台。
（2）南立面
南立面的光伏电池铺设和南面屋顶的铺设原理相同，即运用二维背包装（2KP）算法对A3型号电池进行最优铺设，铺设完后再考虑其未铺设的剩余面积决定采用C8型号电池对其铺设。
运用lingo软件求得A3一共需要8个。同时采用CAD画图软件进行空间填充分配，在保证A3电池占据最大空间后，我们发现还有一部分剩余空间没有贴附，而分析其电池型号知剩余空间只可以铺设C7和C8，又由于C8的平米转换功率大于C7的，故采用C8铺设剩余空间。铺设完毕后还留有狭长的缝隙，是不能再被利用了。
通过CAD画图，我们解得一共可以铺设8个A3和26个C8，其即为南立面的最佳铺设方案。其铺设图形如下：
图2 南立面的最佳铺设方案
根据所需铺设的8个A3和26个C8，确定其连接方式，再根据其连接方式选配相应的逆变器的容量和数量。其分析过程与原理同南屋顶分析过程。
此时需要一个SN4和三个SN12型号的逆变器，一共四个。即将8个A3分别并联后再与一个SN4逆变器相连；同时将8个C8串联后再与一个SN12逆变
器相连，此时直流输入端电压为826.7=213.6V<300V,直流输出电流为
80.7=5.6A<10A,满足题意；最后将9个C8串联后再与一个SN12逆变器相连，此时有两组相同连接方式的SN12。其直流输出电压为
926.7=240.3V<300V,直流输出电流为9
综上可知，对于南立面应当8个A3和26个C8电池进行铺设，其中逆变器一共需四台（1台SN4和3台SN12）使得南立面的发电量高成本较低。
（3）其他面
同理，可分别求得小屋其余表面的电池铺设情况、串并联方式和逆变器规格和数量。如下表：
表面A3电池
个数C8电池个
数
串并联方式逆变器台
数
南面屋顶43 17 5个A3电池串联后再与个串联
的C8电池并联—SN12
6个A3电池串联后再与9个串
联的C8电池并联—SN12
8个A3电池并联—2SN4
4台SN12
2台SN4
南立面8 26 8个C8串联后—SN12
9个C8串联后—2SN12
8个A3电池并联—SN4 3台SN12 1台SN4
北面屋 6 18 6个A3电池串联后再与9个串2台SN12
顶联的C8电池并联—SN12
9个C8串联后—SN12
东立面14 9 6个A3电池串联后再与9个串
联的C8电池并联—SN12
8个A3电池并联—SN4 1台SN12 1台SN4
西立面17 11 8个A3电池并联—SN4
9个A3电池并联—SN4
11个C8串联后—SN12 2台SN4 1台SN12
北立面18 11 9个A3电池并联—SN4
11个C8串联后—SN12 1台SN12 1台SN4
效益计算：
整理附录4大同典型气象参数，先将附录4中的辐射强度大于等于
80W/m2和小于80W/m2且大于30W/m2的数据整理并统计出来，接着运用matlab[3]将各个方向的光照强度随时间变化的散点图拟合出来，再通过拟合的函数进行积分计算求得各个方向上的年光照强度总量，如表：
方向强度 W/m230W/m2强度
80W/m2
水平面总辐射强度1437833.33 22205.47
水平面散射辐射强度447723.53 67205.62
法向直射辐射强度1745902.77 5062.76
东向总辐射强度522399.48 56273.43
南向总辐射强度1007701.51 35700.9
西向总辐射强度795135.47 77666.12
北向总辐射强度132000.71 111180.34 屋檐角度a=arctan=10.620,北面屋顶的屋檐角度为
b=arctan=59.740。因其南面屋顶屋檐角度为10度左右，为方便计算，我
们将南面屋顶接受的辐射强度近似等于法相直射辐射强度，北面屋顶接受的辐射强度为北向总辐射强度。
因铺设南面屋顶所用的电池为：43个A3电池和17个C8电池，A3电池的转换效率为18.7%，C8的为3.66%，故其单个A3电池接受辐射的总面积为
1.5800.808m2=1.27664m2,其电池年输出能量
W A=1.27664=416.802kw/h，而C8电池的接受辐射
总面积为0.6150.355m2= 0.218325m2，C8电池年输出能量为W B=0.218325×(1745902.77+5062.76)=14.0kw/h。
再考虑电池和逆变器的连接方式和逆变器效率，算出其输出电能，其计算公式如下：
W=(+)η
2+( W
A
+W
B
)η
2
’
（6）
其中表示连接A种逆变器的电池个数，η2表示连接A种逆变器的逆
变效率，本模型中η2=86%，η2’=94%。
根据其连接方式可求得
W=（32416.8）
86%+((5+6)416.8+(8+9)14)94%=15843.968kw/h。
故其35年内南面屋顶的发电总量为15843.968（10+150.9+100.8）
=499085kw/h，其经济效率为4990850.5元=249542.5元
接着再计算其成本：
光伏电池成本：2004314.9 +817 4.8 =128792.8元
逆变器成本：66900元=41400元
综上可得：35年内南面屋顶的总的利润为24.95万元-12.88万元-4.14万元=7.93万元。
（2）南立面
需铺设8个A3和26个C8电池，根据南面屋顶的上述算法求得其输出电能为
W‘=（8 1.27664）86%+
（260.218325(+35700.9)94%=1858.9kw/h，故其35年内的发电总量为1858.9kw/h（10+150.9+100.8）
=58555.1kw/h，转化为经济效益为58555.10.5元=29277.5元
此时光伏电池的成本为：200814.9 +826 4.8 =24838.4元.
逆变器成本：46900=27600元。
综上可求得：35年内南立面的总的利润为29277元-24838元-27600元=-
2.31万元。其中负号代表亏本，故此时不应当设置南立面。
（3）北面屋顶
需要铺设6个A3和18个C8电池，运用同种算法求得
W=(6 1.27664×132000.7)×94%+18×0.218325×
(132000.71+111180.34)×94%=210.61kw/h
故其35年内的发电总量为210.61kw/h×（10+15×0.9+10×0.8）
=6634.23kw/h，转化为经济效益为6634.23×0.5元=3317.1元。
此时总的成本为2×6900+200×6×14.9+18×8×4.8=32371.2元
显然若在北面屋顶铺设需亏本，故北面屋顶我们将不铺设电池。
（4）东立面
需要铺设14个A3和9个C8电池，此时
W=8×1.27664×522399.48××86%+（6×1.27664×522399.48×+9×0.218325（522399.48+56273.43）××94%=1600.6kw/h
故其35年的发电总量为1600.6kw/h×（10+15×0.9+10×0.8）
=50419.04kw/h，转化成经济效益为50419.04 ×0.5元=2.52万元。
此时的总成本为2×6900+20014×14.9+8×9×4.8=5.58万元
故其总的效益为负，此时不应当铺设东立面。
（5）西立面
需铺设17个A3和11个C8电池，此时
W=17×1.27664×795135.47××86%+11×0.218325
（795135.47+77666.12）×94%=3299.12kw/h,
其35年内的总电量为3299.12kw/h×（10+15×0.9+10×0.8）
=103922.3kw/h，转化为经济效益为103922.3×0.5=5.2万元。
其总的成本为3×6900+200×17×14.9+8×11×4.8=7.18万元。
故此时在西立面铺设时将亏本，故西立面不铺设电池。
（6）北立面
需铺设18个A3和11个C8电池，此时W=18×1.27664×132000.71××86%+11×0.218325（132000.71+111180.34）×94%=507.91kw/h,
其35年内的总电量为507.91kw/h×（10+15×0.9+10×0.8）=15999.2kw/h，转化为经济效益为15999.2×0.5=8000元。
其总的成本为3×6900+200×18×14.9+8×11×4.8=7.476万元。
分析知其效益为负，故北立面不应铺设电池。
综上可知，小屋只有在南面屋顶铺设电池时才能在35年内有效益，其净经济效益为7.9万元。其投资回收年限为（12.88+4.14）×2/(1.5843968×
(10+0.9×x))=1，解得x=23年。
即投资回收年限为23年。
问题2：
模型三：太阳辐射模型
太阳辐射强度在地球大气层外界是基本不变的,但是到达地球表面的辐射变化很大.即使是在同一地点,不同倾角接收面上所获得的太阳辐射能也有很大差异。
1大气层外的太阳辐射强度()
当太阳光垂直入射在大气上界时,其太阳辐射强度
= (1+0.033cos(2π·)) （7）
式中:为太阳辐射常数,是地球大气上界垂直于太阳直射方向单位面积上的太阳辐射通量,取=1367 W/;N为日序,即一年中从元旦算起的天数。
2太阳时
时间的计量以地球自转为依据，地球自转一周，计24太阳时，当太阳达到正南处为12:00。钟表所指的时间也称为平太阳时（简称为平时），我国采用东经120度经圈上的平太阳时作为全国的标准时间，即“北京时间”。（注：大同的经度为'
113o）。（该定义摘自《太阳能应用技术》的第二章——太
18
阳辐射）
3.时角
时角是以正午12点为0度开始算，每一小时为15度，上午为负下午为正，即10点和14点分别为-30度和30度。因此，时角的计算公式为
（度） (8) t为太阳时（单位：小时）。（该定义摘自《太阳能应用技术》的第二其中
s
章——太阳辐射）
4. 赤纬角（
赤纬角也称为太阳赤纬，即太阳直射纬度，其计算公式近似为
（度） (9)
其中n 为日期序号，例如，1月1日为1=n ，3月22日为81=n 。（该定义摘自《太阳能应用技术》的第二章——太阳辐射） 5. 太阳高度角（
太阳高度角是太阳相对于地平线的高度角，这是以太阳视盘面的几何中心和理想地平线所夹的角度。太阳高度角可以使用下面的算式，经由计算得到很好的近似值：
(10)
其中为太阳高度角，为时角，为当时的太阳赤纬，为当地的纬度(大同的纬度为40.1)。（该定义摘自维基百科） 6.日出、日落时刻(Tsr,Tss)
日出、日落时刻,水平面上太阳高度角为0,即
（11）
式中,为水平面上日出、日落时角。
求解(4)式,得：
(12)
在北半球,纬度为、朝向正南、与水平面成倾斜角的太阳能电池板上,太阳光的入射角与纬度为
的水平面上太阳光入射角是相等的,即
(13)
式中
为倾斜面上日出、日落时角,
（14）
综合考虑式(10)至式(13),得到：
（15）
由此得到倾斜面上日出日落时刻:
(16)
(17)
7.太阳直辐射和散射透明度系数()
直接辐射透明度系数()【2】的经验公式:
（18）
上式中,表示一定地形高度下的大气量,计算公式为：
(19)
为海平面上的大气量,其值取决于太阳高度角,
= -614sinα (20)
是大气修正系数,与当地海拔高度h有关,
(21)
散射辐射与直接辐射存在线性关系[5]:
=0.271-0.294（22）
8.倾斜放置的太阳能光伏板上太阳总辐射能的计算:
本文倾斜放置的光伏阵列朝向赤道
某一时刻,倾斜放置的太阳能光伏板上接收的总辐射能()主要由直接辐射()、散射辐射()和反射辐射()三部分组成[5],即
=++（23）
由于太阳能单晶硅电池光谱响应主要集中在短波区,而地表的反射辐射主要以长波辐射为主,所以很大一部分的地面反射辐射对太阳能硅电池来说是无效的.因此,上式倾斜放置太阳能光伏板的瞬时总辐射能改写为：
=+（24）
上式中,电池板上太阳瞬时直接辐射能：
（25）
电池板上瞬时太阳散射辐射
（26）
1天内,电池板表面接收的总辐射能
（27）
式中:为日直接辐射能,=（28）
为日散射辐射能,=（29）
1年内,电池板表面接收的总辐射能
=（30）
9. 最佳倾角的计算
倾角为的太阳能光伏板表面1年内接收的总辐射是一个关于变量的函数,对关于变量求导并取值为0,即
(31)
求解方程(31),即可得到年最佳倾角
模型的求解：
1天的总辐射能的表达式是一个关于太阳时、日期序号n、倾角
查到大同的纬度高度h=1067 m。
为了简化计算，我们借助于MATLAB输入年总辐射量的表达式。之后将0取到90，每间隔1取值，求得总辐射量，之后取总辐射量最大的那个倾角值[4]，近似为最佳倾角。经过求解，我们得到最佳倾角为
图3 架空的光伏组件示意图