全国高职教材高等数学1-3

当 n 无限增大时,
数学语言描述: ∀ε > 0, ∃ 正整数 N, 当 n > N 时, 总有
A −S < ε n
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定义：自变量取正整数的函数称为数列，记作
或
第一章
称为通项(一般项) .
当 n > N 时, 总有
若数列
及常数 a 有下列关系 :
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2. 收敛数列一定有界 收敛数列一定有界. 证: 设
第一章
取 ε =1, 则 ∃N , 当 n > N 时， 有
xn −a <1, 从而有
≤ xn − a + a <1+ a
取 则有
M = m { x1 , x2 , L, xN , 1+ a ax xn ≤ M ( n =1, 2 , L) .
n→∞
例如： 例如： 1 , 2 , 3 , L, n , L 2 3 4 n +1 n xn = →1 (n →∞) n +1
第一章
收 敛
n + (−1) xn = n 2 , 4 , 8 , L , 2n , L
n−1
→1 (n →∞)
xn = 2
n
→∞ (n →∞)
发 散
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第一章
内容与小结
1. 数列极限的 “ ε – N ” 定义及应用 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限 3. 极限存在准则: 夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则
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xn = (−1)n+1 趋势不定
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例1. 已知 证:
证明数列
的极限为1.
第一章
n + (−1)n xn −1 = −1 n
即
1 只要 n > ε
∀ε > 0 , 欲使
1
因此 , 取 N = [ ] , 则当 n > N 时，就有
ε
n + (−1)n −1 < ε n
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 a −ε < xn < a +ε (n > N ) 几何解释 : 即 xn ∈U( a, ε ) (n > N ) （ ） xN+2 a + ε a −ε xN+1
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则称该数列 的极限为 a , 记作 lim xn = a 或 xn → a (n →∞)
同理, 因 lim xn = b, 故存在 N2, 使当 n > N2 时,
n→∞
从而 xn > a+b 2
取N = m { N1 , N2}, 则当 n > N 时, xn 满足的不等式 ax 矛盾. 故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
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推论: 推论 若数列从某项起
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(≤ 0)
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(≤ 0). (用反证法证明)
4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 证: 设数列 若 是数列 的任一子数列 . 则 ∀ε > 0, ∃N ,当
第一章
时, 有
现取正整数 K , 使
于是当 k > K 时, 有
(n+1)
不一定取最小的 N .
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取
N =[
1
ε
−1 ]
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例3. 设 q <1, 证明等比数列 的极限为 0 . 证： xn − 0 只要 即 lnε 亦即 n >1+ . ln q 1+ lnε 因此，取 N = ln q , 则当 n > N 时, 就有 欲使
第一章
第三节
数列的极限
一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质 三、极限存在准则
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一 、数列极限的定义
逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知
第一章
引例: 引例 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积
π
n
r
无限逼近 S （刘徽的割圆术）,
第一章
qn−1 − 0 < ε
故
n→∞
lim qn−1 = 0
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二、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限唯一 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法 假设 取
n→∞
第一章
及
且 a < b.
因 lim xn = a, 故存在 N1, 使当 n > N1 时, 从而 xn < a+b 2
由此证明收敛数列必有界. 说明: 说明 此性质反过来不一定成立 . 数列 (−1)n+1 虽有界但不收敛 .
}
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{
}
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3. 收敛数列的保号性 收敛数列的保号性. 若 有， 且
第一章
(< 0) ,
时，
(< 0).
证： 对 a > 0 , 取
第一章
∀ε > 0, 存在正整数 N , 使当 m > N , n > N 时,
xn − xm < ε
n→∞
证: “必要性”. lim xn = a, 则 设
使当
因此
xn −a < ε , xm −a < ε 2 2 xn − xm =
时, 有
≤ xn − a + xm − a < ε
“充分性” 证明从略 .
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思考与练习
1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.
第一章
2. 已知 x1 =1, xn+1 =1+ 2xn (n =1, 2,L 求 lim xn ) 时下述作法是否正确? 说明理由.
n→∞ n→∞
设 lim xn = a , 由递推式两边取极限得
故
n + (−1)n lim xn = lim =1 n→∞ n→∞ n
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例2. 已知
证明
第一章
1 1 = 证: xn −0 = 2 < (n +1) n +1 1 1 < ε , 即 n > −1. 只要 ∀ε ∈(0,1), 欲使 n +1 ε 1 取 N = [ −1] ,则当 n > N 时, 就有 xn − 0 < ε , ε (−1)n 故 lim xn = lim =0 2 n→∞ n→∞ (n +1 ) 说明: 说明 N 与 ε 有关, 但不唯一. 也可由 xn − 0 = 1 2
例如，
发散 !
k →∞
lim x 2k = −1
三、极限存在准则
夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .
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1. 夹逼准则 (准则1)
第一章
(1) yn ≤ xn ≤ zn ( n =1, 2, L)
(2) lim yn = lim zn = a
例4. 证明数列 证: 用反证法.{ xn} 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取 ε = 1 , 则存在 N , 使当 n > N 时 , 有 2 a − 1 < xn < a + 1 2 2 但因
xn 交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
2 2
长度为 1 的开区间 ( a − 1 , a + 1 ) 内, 因此该数列发散 .
nk >
≥N
xN
*********************
N
从而有 x n −a < ε , 由此证明 lim x n = a . k k
k →∞
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第一章 说明: 说明 由此性质可知，若数列有两个子数列收敛于不同的 极限，则原数列一定发散．
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2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 )
第一章
n→∞
lim xn = a ( ≤ M )
a
n→∞
lim xn = b ( ≥ m )
( 证明略 )
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b
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*3. 柯西极限存在准则 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) 数列 有 极限存在的充要条件是:
a =1+ 2a
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a = −1
不对! 不对 此处 lim xn = ∞
n→∞
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第一章
作业: 作业
P22 1,2(1),(3),(4),(5),(6)