苏教版数学高二-高中数学苏教版选修1-1第1章《常用逻辑用语》单元检测(A)

第1章 常用逻辑用语(A)

(时间：120分钟 满分：160分)

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)

1．命题“若A ?B ，则A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．

2．设a ∈R ，则a >1是1a

<1的________条件． 3．与命题“若x ∈A ，则y ?A ”等价的命题是________．(填序号)

①若x ?A ，则y ?A ；②若y ?A ，则x ∈A ；

③若x ?A ，则y ∈A ；④若y ∈A ，则x ?A .

4．对于命题“我们班学生都是团员”，给出下列三种否定：

①我们班学生不都是团员；②我们班有学生不是团员；③我们班学生都不是团员． 正确答案的序号是________．

5．已知命题p ：?x ∈R ，使sin x ＝52

；命题q ：?x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命

题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题．其中正确的是________．(填序号)

6．下列命题是真命题的为________．(填序号) ①若1x ＝1y

，则x ＝y ； ②若x 2＝1，则x ＝1；

③若x ＝y ，则x ＝y ；

④若x

7．命题“若x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是______．(填序号)

①若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1；

②若－1＜x ＜1，则x 2＜1；

③若x ＞1或x ＜－1，则x 2＞1；

④若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1.

8．下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)

①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”；

②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件；

③命题“?x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“?x∈R，均有x2＋x＋1<0”；

④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．

9．设x，y∈R，命题p：|x－y|<1，命题q：|x－y|≤1，则p是q的______________条件．10．下列四个命题中

①“k＝1”是“函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π”的充要条件；

②“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7相互垂直”的充要条件；

③函数y＝x2＋4

x2＋3

的最小值为2.

其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上)

11．已知命题p：?x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1

其中正确的是________．(填序号)

12．设A、B为两个集合，下列四个命题：

①A?B?对任意x∈A，有x?B；②A?B?A∩B＝?；③A?B?A?B；④A?B?存在x∈A，使得x?B.

其中真命题的序号是________(把符合要求的命题的序号都填上)．

13．已知α、β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β，命题p：a与b无公共点；命题q：α∥β，则p是q的__________条件．

14．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是__________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)

15．(14分)(1)当c<0时，若ac>bc，则a

(2)p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形，请写出“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题．

16．(14分)判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

17.(14分)设α、β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试分析“a>2且b>1”是“两根都大于1”的什么条件？

18．(16分)已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．

19.(16分)已知c>0，c≠1，设命题p：函数y＝c x在R上单调递减，命题q：不等式x2－2x＋c>0的解集为R.如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数c的取值范围．

20．(16分)已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a ＝0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．

单元检测卷答案解析

第1章 常用逻辑用语(A )

1．2

解析 原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真；

故共有2个真命题．

2．充分不必要

解析 ∵a>1?1a <1；1a

<1?a>1或a<0 a>1， ∴是充分不必要条件．

3．④

解析 原命题与它的逆否命题为等价命题．

故④正确．

4．①②

5．②③

解析 因p 为假命题，q 为真命题，故綈p 真，綈q 假；所以p ∧q 假，p ∧綈q 假，綈p ∨q 真，綈p ∨綈q 真．

6．①

解析 由1x ＝1y

得x ＝y ，①正确，②、③、④错误． 7．④

解析 因“－1

8．④

9．充分不必要

解析 由命题p 可以推出命题q ，而由命题q 不能推出命题p.

10．①②③

解析 ①“k ＝1”可以推出“函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π”，但是函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π，

即y ＝cos 2kx ，T ＝2π|2k|

＝π，k ＝±1. ②“a ＝3”不能推出“直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7相互垂直”，反之

垂直推出a ＝25

； ③函数y ＝

x 2＋4x 2＋3＝x 2＋3＋1x 2＋3＝x 2＋3＋1x 2＋3，令x 2＋3＝t ，t ≥3，y min ＝3＋

13

＝433. 11．①②③④

解析 易知命题p 为真，命题q 也为真命题，所以p ∧q 为真，故①正确；由于p 真綈q 假，故p ∧綈q 为假，所以②正确；由于綈p 假q 真，故綈p ∨q 为真，所以③为正确；由于綈p ，綈q 都是假命题．故綈p ∨綈q 也为假命题，所以④正确．

12．④

解析 ∵A ?B ，∴有两种可能：

(1)A ∩B ≠?；(2)A ∩B ＝?.∴①②③都不对，只有④对．

13．必要不充分

解析 q ?p ，p ?q.

14．[－3,0]

解析 ax 2－2ax －3≤0恒成立，

当a ＝0时，－3≤0成立； 当a ≠0时，由?

??

a<0Δ＝4a 2＋12a ≤0得－3≤a<0； ∴－3≤a ≤0.

15．解 (1)逆命题：当c<0时，若abc(真命题)

否命题：当c<0时，若ac ≤bc ，则a ≥b(真命题)

逆否命题：当c<0时，若a ≥b ，则ac ≤bc(真命题)．

(2)p 或q ：对角线互相垂直的四边形或对角线互相平分的四边形是菱形．

p 且q ：对角线互相垂直的四边形且对角线互相平分的四边形是菱形．

非p ：对角线互相垂直的四边形不是菱形．

16．解 方法一 (直接法)

逆否命题：已知a 、x 为实数，如果a<1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．

判断如下：

二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2图象的开口向上，

判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7.

∵a<1，∴4a －7<0.

即二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点，∴关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．

方法二 (先判断原命题的真假)

∵a 、x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空， ∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，

解得a ≥74，∵a ≥74

>1， ∴原命题为真．

又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真．

方法三 (利用集合的包含关系求解)

命题p ：关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有非空解集． 命题q ：a ≥1.

∴p ：A ＝{a|关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有实数解}＝{a|(2a ＋1)2－4(a 2＋2)

≥0}＝????

??a|a ≥74， q ：B ＝{a|a ≥1}．

∵A ?B ，∴“若p ，则q ”为真，

∴“若p ，则q ”的逆否命题“若綈q ，则綈p ”为真． 即原命题的逆否命题为真．

17．解 由根与系数的关系得????? α＋β＝a αβ＝b ，判定的条件是p ：??? a>2b>1，结论是q ：???

α>1β>1

(Δ≥0)．

①由α>1且β>1?a ＝α＋β>2，b ＝αβ>1?a>2且b>1，故q ?p.

②取α＝4，β＝12，则满足a ＝α＋β＝4＋12>2，b ＝αβ＝4×12

＝2>1，但pD ?/q. 综上所述，“a>2且b>1”是α>1且β>1的必要不充分条件．

18．解 令f(x)＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，方程有两个大于1的实数根? ????? Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0－2k －12>1f (1)>0，

即k<－2.

所以其充要条件为k<－2.

19．解 ∵y ＝c x 在R 上单调递减，

∴0

∵不等式x 2－2x ＋c >0的解集为R ，

∴Δ＝(－2)2－4c <0，c >12

， ∴命题q ：c >12

. ∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，

∴命题p 与命题q 恰好一真一假，

∴p 为真q 为假，或p 为假q 为真，

即????? 0

c ≤0或c ≥1c >12

，解得 0

或c ≥1. 综上可知，实数c 的取值范围是(1，12

]∪[1，＋∞)． 20．解 假设三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，

x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0都没有实数根，则????? Δ1＝(4a )2－4(－4a ＋3)<0Δ2＝(a －1)2－4a 2<0Δ3＝(2a )2－4(－2a )<0，

即??? －3213，或a <－1，－2

或a ≥－1.