材料力学课件 第十三章 动荷载
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力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所 表现出的力学性能
一
试
件
和
实
常
验
温
条
、
件
静
载
材料拉伸时的力学性质
材料拉伸时的力学性质
二 低 碳 钢 的 拉 伸
材料拉伸时的力学性质
二 低碳钢的拉伸（含碳量0.3%以下）
e
b
f 2、屈服阶段bc（失去抵抗变 形的能力）
b
e P
a c s
s — 屈服极限
（二）关于塑性流动的强度理论
1．第三强度理论（最大剪应力理论） 这一理论认为最大剪应力是引起材料塑性流动破坏的主要
因素，即不论材料处于简单还是复杂应力状态，只要构件危险 点处的最大剪应力达到材料在单向拉伸屈服时的极限剪应力就 会发生塑性流动破坏。
这一理论能较好的解释塑性材料出现的塑性流动现象。 在工程中被广泛使用。但此理论忽略了中间生应力 2的影响， 且对三向均匀受拉时，塑性材料也会发生脆性断裂破坏的事 实无法解释。
许吊起的最大荷载P。
CL2TU8
解： N AB
A [ ]
0.0242 4
40 106
18.086 103 N 18.086 kN
P = 30.024 kN
6.5圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转时的强度计算
▪ 最大剪应力：圆截面边缘各点处
max
Tr
Ip
max
Wp T
Wp
Ip r
—
抗扭截面模量
3、强化阶段ce（恢复抵抗变形
的能力）
o
b — 强度极限
4、局部径缩阶段ef
明显的四个阶段
1、弹性阶段ob
材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
P1
P2
1 dV 2 M( x )d
一般情况下： 剪力对变形的影响很小，剪切 应变能远远小于弯曲应变能。
M 2( x )dx dV 2EI
w = M(x) = dθ EI dx
d M( x) dx
EI
M 2( x )dx
V l 2EI
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
1
V
W
F 2
F2
F3
采用比例加载
2 3
外力
比例
0
位移
比例
F1、F2、F3
1、 2、 3
0
V
W
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F33
n i1
1 2
Fii
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
克拉贝依隆原理
对于组合变形
M (x)
Fs(x)
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
材料力学课件-第十三章---动荷载
解：①
j Qh1 / E1A1 QL / EA
50.024 81030.152
514 10106 0.32
71.5105 m
Kd 1
1 53.4 210.02 71.5105
②
QL / EA 514
j
10106 0.32
0.707 105 m
Kd 1
1 533 21 0.707105
33
34
1 2
mv
2
mg 2
K
2 d
j
冲击前：
动能T1mv2 /2 势能V10 变形能U10
冲击后：
动能T2 0 势能V2 0 变形能U 2 Pd d /2
动荷系数 Kd
2
g j
17
三、冲击响应计算 等于静响应与动荷系数之积.
[例5 ] 直径0.3m旳木桩受自由落锤冲击，落锤重5kN, 求：桩旳最大动应力。E=10GPa Wv
25
解：⒈ 求冲击点C处旳静位移用能量法可求得冲击点C处旳
静位移
st
Wl13 3EI
Wl 3
3EI
BAl1
W
l13 l 3 3EI
Wl1l GI P
l1
100N 0.3m3 0.8m3
3 200 109 Pa π (0.06m)4
100N (0.3m)2 0.8m 80 109 Pa π (0.06m)4
加速度提起重50kN 旳物体，试校核钢丝绳旳强度。
解：①受力分析如图:
Nd
a Nd (GqL)(1 g )
②动应力
L q(1+a/g) G(1+a/g)
d
Nd A
1 (GqL)(1 A
材料力学课件第十三章弯曲的几个补充问题
（2） 绘制弯矩图 绘出 Mz (x)图 绘出 My(x) 图
A截面为梁的危险截面
y
F1=1kN
0.5m 0.5m
A z
B
C
x
F2=2kN
x
Mz = 1 kN·m
1kN·m
My= 1 kN·m
1kN·m
Mz使A截面上部受拉，下部受压
My使A截面前部受拉，后部受压
Mz(x)图
x My(x)图
（3） 应力分析
1.分解(Resolution) 将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的
平面弯曲 2.叠加(Superposition)
对两个平面弯曲进行研究，然后将计算结果叠加起来
Fz
z
j
Fy F
y
A
z y
Bx
Fz
Fy
F
垂直纵向对称面
梁在垂直纵向对 称面 xy 面内发 生平面弯曲 。 z轴为中性轴
' My z
Iy
2.与 Mz 相应的正应力为(The bending normal stress corresponding to Mz)
'' M z y
Iz
C 点处的正应力(The normal stress at point C)
' '' M y z Mz y
Iy
Iz
m
z C ( y,z )
Fy 与均布荷载 q使梁在 xy平面内产生弯曲(z为中性轴)
Fz 使梁在 xz平面内产生弯曲(y为中性轴)
q
F 40° Fy
z
A
C
Fz B
a
a
y
（1） 画弯矩图
材料力学第13章 动荷载
于是，水平冲击动荷因数为
24
三、起吊重物的冲击 如图13.11所示一钢绳下端挂一重 量为Q的物体，以速度v匀速下降。当 卷筒突然被刹住时，物体的速度由v迅 速减到零，这时钢绳受到冲击荷载作 用。下面来求钢绳内的最大动应力。 起吊重物四节 提高构件抗冲击能力的措施 冲击对于工程构件的应力和变形的影响，对于 大多数问题，集中反映在动荷因数上。因此，在工 程构件设计中，降低动荷因数就能有效地减小构件 的冲击应力和变形。由式（13.14）式（13.17）和 式（13.18）可以看到，静位移Δs越大，动荷因数 Kd越小。这是因为静位移Δs大，表示构件刚度小， 构件柔软，能更多地吸收冲击物的能量，从而降低 冲击荷载和冲击应力，提高构件抗冲击的能力。
第13章
动荷载
第一节 概述 前面研究了构件在静荷载作用下的强度、刚度 和稳定性问题。所谓静荷载（static load），是指 构件所承受的荷载从零开始缓慢地增加到最终值,然 后不再随时间而变化的荷载。静荷载作用下构件内 部各个质点的加速度很小，可以忽略不计。如果当 荷载引起构件内部各个质点的加速度比较显著，不 能忽略它对变形和应力的影响时，这种荷载就称为 动荷载（dynamic load）。
当a=0时，杆件为静荷载作用，相应的静应力 为
6
将式（c）代入式（b），得
引入因数Kd Kd称为动荷因数。
7
将式(13.4)代入式（d），得
式（13.5）表明，动应力等于静应力乘以动荷 载因数。
8
由式（b）可知，动应力ζd沿轴线按线性规律 分布（见图13.1（c）），当x=l时，得到最大动应 力
杆的强度条件为
9
若材料服从胡克定律，则杆的动伸长δd与静伸 长δs之间也存在同样的关系 总之，根据动静法，将惯性力系虚加在运动杆 件上，使之在原有外力和惯性力共同作用下构件处 于形式上的平衡状态，从而将动荷载问题转化为静 荷载问题而求解。
材料力学2--动荷载、交变应力
解：①受力分析如图: FNd
惯性力：
FNd man 2 Rm 2 LG / g
②强度条件
O
L
FNd / A
2GL A ( g )
FNd
12.3 构件受冲击时动应力计算
计算采用能量守恒定律 冲击物在冲击过程中减少的动能 Ek 和势能Ep 等于被冲击构件所增加的应变能 Vd ，即
2 d
解出 d 的两个根，取其中大于 st 的那个根，即得
2h Δd Δst (1 1 ) Δst
2h 引用记号 K d (1 1 ) Δst
则
Δd Kd Δst
将上式两边乘以 E/l 后得
d Kd st
(1)
注意：当 h0 时，相当于P 骤加在杆件上，这时
对于铝合金等有色金属，其S-N曲线没有明显的
水平部分，一般规定 N0 5 106 ~ 107 时对应的 max 称
N 为条件疲劳极限，用 表示。 1
0
对低碳钢，其 其弯曲疲劳极限 拉压疲劳极限
b 400 ~ 500MPa
( -1 ) b 170 ~ 220MPa ( -1 ) t 120 ~ 160MPa
r < 0 ：拉压循环 ； r > 0 ：拉拉循环 或压压循环。
(2)应力幅 (3)平均应力 m
max min
1 m ( max min ) 2
一个非对称循环应力可以看作是在一个平均应力 m 上叠加一个应力幅为 的对称循环应力组合构成。
疲劳极限 将若干根尺寸、材质相同的标准试样，在疲劳试验 机上依次进行r = -1的常幅疲劳试验。各试样加载应 力幅 均不同，因此疲劳破坏所经历的应力循环次 数N各不相同。 以 为纵坐标，以N为横坐标（通常为对数坐标）， 便可绘出该材料的应力—寿命曲线即S-N曲线如图（以 40Cr钢为例） 注：由于在r =-1时， max = /2，故 S-N曲线纵坐标 也可以采用 max 。
惯性力：
FNd man 2 Rm 2 LG / g
②强度条件
O
L
FNd / A
2GL A ( g )
FNd
12.3 构件受冲击时动应力计算
计算采用能量守恒定律 冲击物在冲击过程中减少的动能 Ek 和势能Ep 等于被冲击构件所增加的应变能 Vd ，即
2 d
解出 d 的两个根，取其中大于 st 的那个根，即得
2h Δd Δst (1 1 ) Δst
2h 引用记号 K d (1 1 ) Δst
则
Δd Kd Δst
将上式两边乘以 E/l 后得
d Kd st
(1)
注意：当 h0 时，相当于P 骤加在杆件上，这时
对于铝合金等有色金属，其S-N曲线没有明显的
水平部分，一般规定 N0 5 106 ~ 107 时对应的 max 称
N 为条件疲劳极限，用 表示。 1
0
对低碳钢，其 其弯曲疲劳极限 拉压疲劳极限
b 400 ~ 500MPa
( -1 ) b 170 ~ 220MPa ( -1 ) t 120 ~ 160MPa
r < 0 ：拉压循环 ； r > 0 ：拉拉循环 或压压循环。
(2)应力幅 (3)平均应力 m
max min
1 m ( max min ) 2
一个非对称循环应力可以看作是在一个平均应力 m 上叠加一个应力幅为 的对称循环应力组合构成。
疲劳极限 将若干根尺寸、材质相同的标准试样，在疲劳试验 机上依次进行r = -1的常幅疲劳试验。各试样加载应 力幅 均不同，因此疲劳破坏所经历的应力循环次 数N各不相同。 以 为纵坐标，以N为横坐标（通常为对数坐标）， 便可绘出该材料的应力—寿命曲线即S-N曲线如图（以 40Cr钢为例） 注：由于在r =-1时， max = /2，故 S-N曲线纵坐标 也可以采用 max 。
材料力学第十三章
A 2L
CL
P=4KN
B
y1
L=1m y2
D
8、各构件均为圆截面，直径d＝20毫米，材料弹性模
量E＝200GPa，L＝1米，第一特征柔度λp= 100，第 二特征柔度λs=57，经验公式σcr＝304－1.12λ，稳定安 全系数nw=3，许用应力 [σ]=140MPa，求此结构的许 可载荷[P]。
C
P
L
B
A
D
L
L
L EL
9、横梁为刚性杆，1、2杆件的材料相同均为A3钢，比例极 限σP＝200MPａ，屈服极限为σs=240Mpa，强度极限为σb＝ 400MPａ。 1杆的直径为ｄ１＝10毫米，杆长L1＝1米。2杆 的直径为ｄ２＝20毫米，杆长为L2＝1米。1杆与横梁的夹角 为30度，2杆与横梁的夹角为60度。两杆的强度与稳定安全 系数均为2.0。求结构的许可载荷[P]＝？
材料和直径均相同问题压杆的临界应力总图弹性失稳弹塑性稳定问题强度失效细长杆细长杆中长杆中长杆粗短粗短杆杆临界应力总图150030sin30cos1计算工作压力mm161081610732crcr26118ab杆满足稳定性要求3选用公式计算临界应力4计算安全系数5结论kn11822两根直径均为两根直径均为dd的压杆杆材料都是材料都是qq235235钢钢但二者长度和约束条件但二者长度和约束条件各不相同各不相同
A
B
L
L
C
3、钢制矩形截面杆的长度为L＝1.732米，横截面为 60×100，P＝100KN，许用应力为[σ]＝30MPａ， 弹性模量E＝200GPａ，比例极限σP＝80MPａ， 屈服极限σS＝160MPａ，稳定安全系数ｎw＝2， ａ＝304MPａ，ｂ＝1.12MPａ。构件安全吗？
《材料力学》13动荷载.
圆环以等角速度 w 旋转.
dθ
2 厚度t << D ( 平均直径 ).
θ
环横截面积为A， 比重γ ,
Nd
确定动应力.
（1）动荷载
可认为质量集中在环中线
各质点
an
Dw 2
2
惯性力 沿环圆周线均布
qd
ma n
(A
g
) ( Dw2 )
2
2g
ADω2
（2）动内力 环各向对称，仅截取1/4环分析： ( Y 0)
11
三. 构件转动
质点 质量m，等角速度 在水平面上绕O点旋转，惯性力？
惯性力 Fd
an m
动力分析:
向心加速度：an Rω2 v 2（线速度）
R
R
O
w
惯性力： Fd ma n
－号表示方向与 a n相反
Fd mR ω2
m v2 R
12
qd
an
D
w
t
D
Nd
qd
ds D d
动载荷下Hooke定律仍成立； 且弹性模量 E动 = E静 . 以下将Hooke定律直接用于动荷问题
7
§2 构件加速运动问题
Dynamic Stresses of Structure Members in Uniform Linear 重物加速起落M中o构ve件m及e吊nt索o受r动R力o，tation
郑州大学 工程力学系
Dynamic Loads
第十三章 动荷载
§13–1 基本概念 §13–2 构件加速运动问题 §13–3 冲击问题
2
§1 基本概念 Basic Concept
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0 . 707 10
5
无橡皮垫
j QL / EA
Kd 1 1
5 1 4 6 2 10 10 0 . 3
m
2 1 5 0 . 707 10
533
28
13-21 如图所示折杆，A端固定，B端支承于轴承中，今有重 物W自高度h=l以初速度v下落至D点，E、G为已知。求梁受冲 击时最大的相当应力（按第三强度理论考虑）。
GL
( g )
[例4] 设圆环的平均直径D、厚度t ，且 t« D，环的横截面面积
为A，单位体积重量为 ，圆环绕过圆心且垂直于圆环平面的轴 以等角速度旋转，如图所示，试确定圆环的动应力，并建立强 度条件。
O D
qG t
解：①惯性力分析，见图１
qG
Aa n AD
g 2g
f Cj AA 1 2
3
h A L D A1
EI AB
C C1 C2
C 1C 2
RAL 96 EI
5 PL
3
PL 48 EI
3
DE
AB
EI
DE
EI
192 EI
E
mg =P
②动荷系数 B
K 1 1 2h 5 PL
3
h A L A1
EI
C C1 C2
d
192 EI 1 1 384 EIh 5 PL
25
解：⒈ 求冲击点C处的静位移用能量法可求得冲击点C处的 静位移
st
Wl 1 3 EI
3
Wl
3
3 EI
BA l 1
3
W l 1 l
3
3
Wl 1 l GI
P
100 N 0 . 3 m 0 . 8 m 3 200 10 Pa
9
st max
Wl Wz
100 N 0 . 8 m π ( 0 . 06 m)
3
3 . 77 10 Pa
6
= 3.77MPa
st
M
T
32 100 N 0 . 3 m
WP
π 16
0 . 7 10 Pa
6 3
= 0.7MPa
( 0 . 06 m)
⒋ 计算最大动应力
3 EI
3
l1
2
100 N ( 0 . 3 m) 80 10 Pa
9
0 .8 m
4
π 64
( 0 . 06 m)
4
π 32
( 0 . 06 m)
= 2.11×10-4m
⒉ 计算动荷系数
Kd 1 1 2 50 0 . 211 22 . 8
26
⒊ 计算静载时的最大应力
若：
满足 不满足
d max
[例2 ] 起重机钢丝绳长60m，名义直径28cm，有效横截面面积
A=2. 9cm2 , 单位长度重量q=25. 5N/m , [] =300MPa , 以a=2m/s2的 加速度提起重50kN 的物体，试校核钢丝绳的强度。 解：①受力分析如图: Nd ②动应力 L q(1+a/g)
j
d mg
1 2
m
2
mg ( h K d j )
2
mg 2
Kd
2
j
Kd 1
1
/ g 2h
j
△j:冲击物落点的静位移。
讨论：
(1) 0 :, K d 1 1 2h
j
(2)突加荷载
h 0,
K
d
2
二、不计重力的轴向冲击：
冲击前：
动能 T1 mv 势能 V 1 0
等于静响应与动荷系数之积.
[例5 ] 直径0.3m的木桩受自由落锤冲击，落锤重5kN, 求：桩的最大动应力。E=10GPa W 解：①求静变形 P j L WL
j 425 mm EA
2h
j
v h=1m
EA
21000 425
②动荷系数
K d 1 1 1 1 217 . 9
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法
( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分 析。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若干假设 的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变形进
行偏于安全的简化计算。
1.假设： ①冲击物为刚体； ②冲击物不反弹； ③不计冲击过程中的声、光、热等能量损耗（能量守恒）；
j
2
1 2
Pd f d
2
f
( fd )
1 mg 2 f
j
( fd )
2
冲击前、后，能量守恒，所以：
1 2 mv mg ( h f d )
2
mg 2 f
j
( fd )
2
f d (1
1
(
2
g ) 2h fj
) fj Kd fj
动荷系数
:Kd
fd f
j
1
1
(
加速度与质量的乘积。只要在物体上加上惯性力，就可以
把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理，这就是动 静法。
一、直线运动构件的动应力
[例1 ] 起重机钢丝绳的有效横截面面积为A , 已知[], 单位 体积重为 , 以加速度a上升，试校核钢丝绳的强度（不计绳
重）。
解：①受力分析如图:
惯性力：
x a L m x n qj qG a Nd
mg
A C h
②不计被冲击物的重力势能和动能；
③冲击物不反弹；
④不计声、光、热等能量损耗（能 量守恒）。
L
A
C
fd
B
x
冲 击击 T1 V 1 U 1 1 2 m
2
mg ( h f d ) 0
f
A
C fd
B
x
冲 击击 T 2 V 2 U 0 0 1 Pj 2 f
qG
A
g
a
a g )
N d ( q j q G ) x Ax (1
②动应力
d
Nd A x (1 a g )
d max
L (1
a g
) K d
j max
动荷系数：
K d 1
a g
强度条件：
d max
d max
K d
j max
1
第十三章 动荷载
§13–1 基本概念 §13–2 加速运动问题的动响应
§13–3 冲击荷载问题的动响应
§13-1 基本概念 一、动载荷： 载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢）且使构件各部件 加速度保持为零（或可忽略不计），此类载荷为静载荷。 载荷随时间急剧变化且使构件的速度有显著变化（系统产生
解： j Qh 1 / E 1 A1 QL / EA
5 0 . 02 4 8 10 0 . 15
5
3
2
5 1 4 10 10
6
0 .3
2
71 . 5 10
Kd 1 1
m
5
2 1 0 . 02 71 . 5 10
53 . 4
Kd
2
g j
l
2
2
g j
19
⒉ 计算冲击点在静载下的变形 位移
st Wl l l 1 3 EI
2
⒊ 计算最大静应力
st
M Wz
W ( l l1 ) Wz
⒋ 计算最大冲击应力
d
K d
st
Wz
3 EIWl g
20
四、 梁的冲击问题
1.假设： ①冲击物为刚体； B
2
g ) 2h f
j
(1)自由落体
:K
d
1
1
2h f
j
( 2 ) 突加荷载
:K
d
2
五、动响应计算：动响应计算等于静响应计算与动荷系数之积.
[例7 ] 结构如图，AB=DE=L，A、C 分别为 AB 和 DE 的中 点，求梁在重物 mg 的冲击下，C 面的动应力。 E
mg =P
解：①求C点静挠度 B
④冲击过程为线弹性变形过程。(保守计算)
2.动能 T ，势能 V ，变形能 U，冲击前、后，能量守恒：
( 冲击前 ) T1 V1 U 1 T 2 V 2 U
2
( 冲击后 )
最大冲击效应：冲击后的动能为零，T2=0 一个冲击力的变形能为U2=(1/2)PdΔ
d
3.动荷系数为Kd：
Pd K d P j d K d
速度不能确定，要采用“能量法”求解；
3.交变应力： 应力随时间作周期性变化，属疲劳问题。 4.振动问题： 求解方法很多。
§13-2 加速运动问题的动响应
方法原理：D’Alembert’s principle ( 动静法 ）
达朗伯原理认为：处于不平衡状态的物体，存在惯性 力，惯性力的方向与加速度方向相反，惯性力的数值等于
2
②内力分析如图2
qG 图1
an D 2
2
2 N d q G D 0
5
无橡皮垫
j QL / EA
Kd 1 1
5 1 4 6 2 10 10 0 . 3
m
2 1 5 0 . 707 10
533
28
13-21 如图所示折杆，A端固定，B端支承于轴承中，今有重 物W自高度h=l以初速度v下落至D点，E、G为已知。求梁受冲 击时最大的相当应力（按第三强度理论考虑）。
GL
( g )
[例4] 设圆环的平均直径D、厚度t ，且 t« D，环的横截面面积
为A，单位体积重量为 ，圆环绕过圆心且垂直于圆环平面的轴 以等角速度旋转，如图所示，试确定圆环的动应力，并建立强 度条件。
O D
qG t
解：①惯性力分析，见图１
qG
Aa n AD
g 2g
f Cj AA 1 2
3
h A L D A1
EI AB
C C1 C2
C 1C 2
RAL 96 EI
5 PL
3
PL 48 EI
3
DE
AB
EI
DE
EI
192 EI
E
mg =P
②动荷系数 B
K 1 1 2h 5 PL
3
h A L A1
EI
C C1 C2
d
192 EI 1 1 384 EIh 5 PL
25
解：⒈ 求冲击点C处的静位移用能量法可求得冲击点C处的 静位移
st
Wl 1 3 EI
3
Wl
3
3 EI
BA l 1
3
W l 1 l
3
3
Wl 1 l GI
P
100 N 0 . 3 m 0 . 8 m 3 200 10 Pa
9
st max
Wl Wz
100 N 0 . 8 m π ( 0 . 06 m)
3
3 . 77 10 Pa
6
= 3.77MPa
st
M
T
32 100 N 0 . 3 m
WP
π 16
0 . 7 10 Pa
6 3
= 0.7MPa
( 0 . 06 m)
⒋ 计算最大动应力
3 EI
3
l1
2
100 N ( 0 . 3 m) 80 10 Pa
9
0 .8 m
4
π 64
( 0 . 06 m)
4
π 32
( 0 . 06 m)
= 2.11×10-4m
⒉ 计算动荷系数
Kd 1 1 2 50 0 . 211 22 . 8
26
⒊ 计算静载时的最大应力
若：
满足 不满足
d max
[例2 ] 起重机钢丝绳长60m，名义直径28cm，有效横截面面积
A=2. 9cm2 , 单位长度重量q=25. 5N/m , [] =300MPa , 以a=2m/s2的 加速度提起重50kN 的物体，试校核钢丝绳的强度。 解：①受力分析如图: Nd ②动应力 L q(1+a/g)
j
d mg
1 2
m
2
mg ( h K d j )
2
mg 2
Kd
2
j
Kd 1
1
/ g 2h
j
△j:冲击物落点的静位移。
讨论：
(1) 0 :, K d 1 1 2h
j
(2)突加荷载
h 0,
K
d
2
二、不计重力的轴向冲击：
冲击前：
动能 T1 mv 势能 V 1 0
等于静响应与动荷系数之积.
[例5 ] 直径0.3m的木桩受自由落锤冲击，落锤重5kN, 求：桩的最大动应力。E=10GPa W 解：①求静变形 P j L WL
j 425 mm EA
2h
j
v h=1m
EA
21000 425
②动荷系数
K d 1 1 1 1 217 . 9
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法
( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分 析。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若干假设 的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变形进
行偏于安全的简化计算。
1.假设： ①冲击物为刚体； ②冲击物不反弹； ③不计冲击过程中的声、光、热等能量损耗（能量守恒）；
j
2
1 2
Pd f d
2
f
( fd )
1 mg 2 f
j
( fd )
2
冲击前、后，能量守恒，所以：
1 2 mv mg ( h f d )
2
mg 2 f
j
( fd )
2
f d (1
1
(
2
g ) 2h fj
) fj Kd fj
动荷系数
:Kd
fd f
j
1
1
(
加速度与质量的乘积。只要在物体上加上惯性力，就可以
把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理，这就是动 静法。
一、直线运动构件的动应力
[例1 ] 起重机钢丝绳的有效横截面面积为A , 已知[], 单位 体积重为 , 以加速度a上升，试校核钢丝绳的强度（不计绳
重）。
解：①受力分析如图:
惯性力：
x a L m x n qj qG a Nd
mg
A C h
②不计被冲击物的重力势能和动能；
③冲击物不反弹；
④不计声、光、热等能量损耗（能 量守恒）。
L
A
C
fd
B
x
冲 击击 T1 V 1 U 1 1 2 m
2
mg ( h f d ) 0
f
A
C fd
B
x
冲 击击 T 2 V 2 U 0 0 1 Pj 2 f
qG
A
g
a
a g )
N d ( q j q G ) x Ax (1
②动应力
d
Nd A x (1 a g )
d max
L (1
a g
) K d
j max
动荷系数：
K d 1
a g
强度条件：
d max
d max
K d
j max
1
第十三章 动荷载
§13–1 基本概念 §13–2 加速运动问题的动响应
§13–3 冲击荷载问题的动响应
§13-1 基本概念 一、动载荷： 载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢）且使构件各部件 加速度保持为零（或可忽略不计），此类载荷为静载荷。 载荷随时间急剧变化且使构件的速度有显著变化（系统产生
解： j Qh 1 / E 1 A1 QL / EA
5 0 . 02 4 8 10 0 . 15
5
3
2
5 1 4 10 10
6
0 .3
2
71 . 5 10
Kd 1 1
m
5
2 1 0 . 02 71 . 5 10
53 . 4
Kd
2
g j
l
2
2
g j
19
⒉ 计算冲击点在静载下的变形 位移
st Wl l l 1 3 EI
2
⒊ 计算最大静应力
st
M Wz
W ( l l1 ) Wz
⒋ 计算最大冲击应力
d
K d
st
Wz
3 EIWl g
20
四、 梁的冲击问题
1.假设： ①冲击物为刚体； B
2
g ) 2h f
j
(1)自由落体
:K
d
1
1
2h f
j
( 2 ) 突加荷载
:K
d
2
五、动响应计算：动响应计算等于静响应计算与动荷系数之积.
[例7 ] 结构如图，AB=DE=L，A、C 分别为 AB 和 DE 的中 点，求梁在重物 mg 的冲击下，C 面的动应力。 E
mg =P
解：①求C点静挠度 B
④冲击过程为线弹性变形过程。(保守计算)
2.动能 T ，势能 V ，变形能 U，冲击前、后，能量守恒：
( 冲击前 ) T1 V1 U 1 T 2 V 2 U
2
( 冲击后 )
最大冲击效应：冲击后的动能为零，T2=0 一个冲击力的变形能为U2=(1/2)PdΔ
d
3.动荷系数为Kd：
Pd K d P j d K d
速度不能确定，要采用“能量法”求解；
3.交变应力： 应力随时间作周期性变化，属疲劳问题。 4.振动问题： 求解方法很多。
§13-2 加速运动问题的动响应
方法原理：D’Alembert’s principle ( 动静法 ）
达朗伯原理认为：处于不平衡状态的物体，存在惯性 力，惯性力的方向与加速度方向相反，惯性力的数值等于
2
②内力分析如图2
qG 图1
an D 2
2
2 N d q G D 0