工程力学第8章
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工程力学第八章 直梁弯曲
实际加工中，采用在铣刀 对面加顶尖的方式。其力学 原理是：增加铣刀的支座约 束，其受力图如图c所示，使 铣刀根部截面上的弯矩MW 减小。铣刀所受的径向力F， 一部分由顶尖承担，使铣刀 根部截面上的应力也相应减 小，从而保证了铣刀不被折 断，提高了生产效率。
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
二、选择合理的截面形状
Mw y σ= Iz
Mw——横截面上的弯矩，N·m或N·mm； y——点到中性轴z的距离，m或mm； Iz——截面对中性轴z的惯性矩，m4或mm4。
最大正应力：σ max
M w ymax M w = = Iz Wz
Wz =
Iz ymax
Wz为抗弯截面系数，单位为m3或mm3。
§8－3 弯曲正应力
工程中常见梁截面图形惯性矩和抗弯截面系数计算公式 截面图形 惯性矩 抗弯截面系数
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
2．弯矩的正负规定
梁弯曲成凹面向 上时的弯矩为正 梁弯曲成凸面向 上时的弯矩为负
弯矩的计算规律：某一截面上的弯矩，等于该截面 左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩的代数和。
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
三、弯矩图
1．弯矩方程与弯矩图
§8－1 平面弯曲的力学模型
(1)活动铰链支座 (2)固定铰链支座 (3)固定端支座
§8－1 平面弯曲的力学模型
3．载荷的基本类型 (1)集中力
(2)集中力偶 (3)分布载荷
F1
集中力
（分布力）
§8－1 平面弯曲的力学模型
4．静定梁的力学模型
名称
简支 梁
描
述
图
示
一端为活动铰链支座, 另 一端为固定铰链支座的梁 一端或两端伸出支座外的 简支梁，并在外伸端有载 荷作用 一端为固定端，另一端为 自由端的梁
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
二、选择合理的截面形状
Mw y σ= Iz
Mw——横截面上的弯矩，N·m或N·mm； y——点到中性轴z的距离，m或mm； Iz——截面对中性轴z的惯性矩，m4或mm4。
最大正应力：σ max
M w ymax M w = = Iz Wz
Wz =
Iz ymax
Wz为抗弯截面系数，单位为m3或mm3。
§8－3 弯曲正应力
工程中常见梁截面图形惯性矩和抗弯截面系数计算公式 截面图形 惯性矩 抗弯截面系数
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
2．弯矩的正负规定
梁弯曲成凹面向 上时的弯矩为正 梁弯曲成凸面向 上时的弯矩为负
弯矩的计算规律：某一截面上的弯矩，等于该截面 左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩的代数和。
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
三、弯矩图
1．弯矩方程与弯矩图
§8－1 平面弯曲的力学模型
(1)活动铰链支座 (2)固定铰链支座 (3)固定端支座
§8－1 平面弯曲的力学模型
3．载荷的基本类型 (1)集中力
(2)集中力偶 (3)分布载荷
F1
集中力
（分布力）
§8－1 平面弯曲的力学模型
4．静定梁的力学模型
名称
简支 梁
描
述
图
示
一端为活动铰链支座, 另 一端为固定铰链支座的梁 一端或两端伸出支座外的 简支梁，并在外伸端有载 荷作用 一端为固定端，另一端为 自由端的梁
工程力学第八章__直梁弯曲
作用面内的一条曲线。
（3）构件特征：具有一个以上对称面的等截
面直梁。
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
管钳的应用分析
在拧、卸管状零件 时，常常要使用管钳给 管件施加转矩，将管件 拧紧或卸下。当拆卸连 接牢固的管子时，常在 钳柄部分加套管，以增 大转矩。那么，在这种 情况下，钳牙是否会损 坏？
1一固定牙 2一可动牙 3-圆螺母 4一齿条 5一弹簧 6-钳柄 7-销轴
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
2．改变加载方式，在结构允许的条件下，应 尽可能把集中力改变为分散力
集中力改变为分散力
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程应用
吊车与平板车
吊车简图
平板车过桥
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
3．增加约束 如图a所示，某变速器 换挡杆1需要加工一个R8的 月牙槽，以往是把月牙槽 铣刀悬挂地装在铣床主轴 上，利用工作台的升降进 行铣削加工。
§8－3
弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
y
max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。
（3）构件特征：具有一个以上对称面的等截
面直梁。
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
管钳的应用分析
在拧、卸管状零件 时，常常要使用管钳给 管件施加转矩，将管件 拧紧或卸下。当拆卸连 接牢固的管子时，常在 钳柄部分加套管，以增 大转矩。那么，在这种 情况下，钳牙是否会损 坏？
1一固定牙 2一可动牙 3-圆螺母 4一齿条 5一弹簧 6-钳柄 7-销轴
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
2．改变加载方式，在结构允许的条件下，应 尽可能把集中力改变为分散力
集中力改变为分散力
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程应用
吊车与平板车
吊车简图
平板车过桥
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
3．增加约束 如图a所示，某变速器 换挡杆1需要加工一个R8的 月牙槽，以往是把月牙槽 铣刀悬挂地装在铣床主轴 上，利用工作台的升降进 行铣削加工。
§8－3
弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
y
max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。
工程力学--第八章_圆轴的扭转
rdf / dx
df /dx ,称为单位扭转角。
对半径为r的其它各处，可作类 似的分析。
1. 变形几何条件
MT
A
r
B r
rr
C
df
C O D
D
dx
对半径为r的其它各处，作类 似的分析。 同样有：
CC= dx=rdf
即得变形几何条件为：
rdf / dx --(1)
剪应变的大小与半径r成
2
TBC 2
B mx C
2 TBC
2
T
A
用假想截面2将圆轴切开 ，取左段或右段为隔离 体，根据平衡条件求得 ：
TBC=-mx
（3）作扭矩图
2mx +
B
–
Cx mx
[例8-2]图示为一装岩机的后车轴，已知其行走的功率 PK=10.5kW，额定转速n=680r/min，机体上的荷载通过轴承 传到车轴上，不计摩擦，画出车轴的扭矩图
4.78
6.37
15.9
4.78
简捷画法：
MT图 10kN m 10kN m
FN图（轴力）
2kN 8kN
5kN
o
x
A
C B 20kN m
5kN 2kN 8kN
5kN
向 按右手法确定
向
MT / kN m
20
5kN
3kN
10
N图
5kN
A
B
C
在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。
G
df
dx
A
r 2dA
MT
3. 力的平衡关系
令：
df /dx ,称为单位扭转角。
对半径为r的其它各处，可作类 似的分析。
1. 变形几何条件
MT
A
r
B r
rr
C
df
C O D
D
dx
对半径为r的其它各处，作类 似的分析。 同样有：
CC= dx=rdf
即得变形几何条件为：
rdf / dx --(1)
剪应变的大小与半径r成
2
TBC 2
B mx C
2 TBC
2
T
A
用假想截面2将圆轴切开 ，取左段或右段为隔离 体，根据平衡条件求得 ：
TBC=-mx
（3）作扭矩图
2mx +
B
–
Cx mx
[例8-2]图示为一装岩机的后车轴，已知其行走的功率 PK=10.5kW，额定转速n=680r/min，机体上的荷载通过轴承 传到车轴上，不计摩擦，画出车轴的扭矩图
4.78
6.37
15.9
4.78
简捷画法：
MT图 10kN m 10kN m
FN图（轴力）
2kN 8kN
5kN
o
x
A
C B 20kN m
5kN 2kN 8kN
5kN
向 按右手法确定
向
MT / kN m
20
5kN
3kN
10
N图
5kN
A
B
C
在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。
G
df
dx
A
r 2dA
MT
3. 力的平衡关系
令：
工程力学第8章 变形及刚度计算
39
40
解 （1）静力方面 取结点 A为研究对象，分析其受 力如图 8.15（b）所示，列出平衡方程：
（2）几何方面
（3）物理方面 由胡克定律，有：
41
（4）补充方程 式（u）代入式（t），得：
再积分一次，得挠度方程
15
16
17
18
例8.5 图8.7所示等截面简支梁受集中力F作用，已 知梁的抗弯刚度为EI，试求C截面处的挠度yC和A截面 的转角θA。
19
解 取坐标系如图所示，设左、右两段任一横截面 形心的坐标、挠度和转角分别为x1，y1，θ1和x2，y2， θ2。梁的支反力为
20
2
3
8.1.2 横向变形及泊松比 定义
4
5
8.2 圆轴扭转时的变形和刚度计算
8.2.1 圆轴扭转时的变形 在7.6节中提到，圆轴扭转时的变形可用相对扭转角 φ来表示，而扭转变形程度可用单位长度扭转角θ来表示。 由7.6.2节中的式（d），即
6
8.2.2 刚度计算 有些轴，除了满足强度条件外，还需要对其变形加 以限制，如机械工程中受力较大的主轴。工程中常限制 单位长度扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
（3）物理方面 由胡克定律，可得：
37
（4）补充方程 将式（q）代入式（p），可得：
（5）求解 联立求解方程（o）和（r），可得：
38
由上例可以看出解超静定问题的一般步骤为： （1）选取基本体系，列静力平衡方程； （2）列出变形谐调条件； （3）物理方面，将杆件的变形用力表示； （4）将物理关系式代入变形谐调条件，得到补充 方程； （5）联立平衡方程和补充方程，求解未知量。
34
（1）静力方面 选取右端约束为多余约束，去掉该约束并代之以多 余支反力FB，如图8.14（b）所示，称为原超静定问题 的基本体系。所谓基本体系，是指去掉原超静定结构的 所有多余约束并代之以相应的多余支反力而得到的静定 结构。列出其平衡方程为：
工程力学第八章
l－试验段原长（标距） －试验段原长（标距） ∆l0－试验段残余变形
28
断面收缩率
A A − 1 100 × 00 ψ= A
A －试验段横截面原面积 A1－断口的横截面面积 塑性与脆性材料 塑性材料： δ ≥ 5 % 例如结构钢与硬铝等 塑性材料： 脆性材料： δ <5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等 脆性材料： 5
第8章 轴向拉伸与压缩
本章主要研究： ：
拉压杆的内力、应力与强度计算 材料在拉伸与压缩时的力学性能 轴向拉压变形分析 简单拉压静不定问题分析 连接部分的强度计算
1
§1 引 言
轴向拉压实例 轴向拉压实例 轴向拉压及其特点 轴向拉压及其特点
2
轴向拉压实例 轴向拉压实例
3
轴向拉压及其特点
外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线 ： 变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线 ：轴向伸长或缩短， 轴向拉压: 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式 : 拉 压 杆: 以轴向拉压为主要变形的杆件 :
37
应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件， 对于脆性材料构件，当 σmax＝σb 时，构件断裂
对于塑性材料构件， 后再增加载荷， 对于塑性材料构件，当σmax达到σs 后再增加载荷， σ 分布趋于均匀化，不影响构件静强度 分布趋于均匀化， 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展, 对构件（ 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展 对构件（塑 性与脆性材料） 性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
33
应力集中与应力集中因数
应力集中
由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中 由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－
34
应力集中因数
σmax K= σn
工程力学 第八章 刚体的平面运动
例8.1.曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄OA以匀 转动。 求： 当 =45º 时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。 a.基点法; b.速度投影法 解：机构中,OA作定轴转动, AB作平面运动,滑块B作平移。
基点法
研究 AB，以 A为基点， 且 v A l , 方向如图示。 根据
vB vA vBA ,
va ve vr vB vA vBA
所以，任意A，B两点，若A为基点，则：
v
B
v
A
v
BA
v
B
v
A
v
BA
平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动速度的矢量和。这种求解速度的方法称为基点法．
其中
vBA
大小
vBA AB
方向垂直于 AB ，指向同
2 l ( )
在Ｂ点做速度平行四边形，如图示。
vB v A / sin l / sin 45 vBA v A /tg l / tg 45 l AB vBA / AB l / l
（
）
速度投影法
研究AB, vA l ,
方向OA, vB方向沿BO直线
因此，图形S 的位置决定于x A , y A , 三个独立的参变量．
平面运动方程
x A f1 (t ) yA f2 ( t ) f 3 (t )
1)当图形S上A点固定不动，则刚体将作定轴转动； 2)当图形S上角不变时（ =常数），则刚体将作平移。
故刚体平面的运动可以看成是平移和转动的合成运动。
根据速度投影定理 vB AB vA AB
vB sin vA
vB v A / sin l / sin 45 2l( )
清华出版社工程力学答案-第8章弯曲强度问题
eBook工程力学习题详细解答教师用书(第8章)2011-10-1范 钦 珊 教 育 教 学 工 作 室FAN Qin-Shan ,s Education & Teaching Studio习题8－1 习题8－2 习题8－3 习题8－4 习题8－5 习题8－6 习题8－7 习题8－8 习题8－9 习题8－10 习题8－9 习题8－10习题8－11 习题8－12 习题8－13 习题8－14 习题8－15 习题8－16 习题8－17 习题8－18 习题8－19 习题8－20习题8－21工程力学习题详细解答之八第8章 弯曲强度问题8－1 直径为d 的圆截面梁，两端在对称面内承受力偶矩为M 的力偶作用，如图所示。
若已知变形后中性层的曲率半径为ρ；材料的弹性模量为E 。
根据d 、ρ、E 可以求得梁所承受的力偶矩M 。
现在有4种答案，请判断哪一种是正确的。
(A) ρ64π4d E M ＝(B) 4π64d E M ρ＝(C) ρ32π3d E M ＝(D) 3π32dE M ρ＝正确答案是 A 。
8－2 矩形截面梁在截面B 处铅垂对称轴和水平对称轴方向上分别作用有F P1和F P2，且F P1=F P2，如图所示。
关于最大拉应力和最大压应力发生在危险截面A 的哪些点上，有4种答案，请判断哪一种是正确的。
(A) +max σ发生在a 点，−max σ发生在b 点M习题8－1图A Ba b cd P2z固定端习题8－2图(B) +max σ发生在c 点，−max σ发生在d 点 (C) +max σ发生在b 点，−max σ发生在a 点 (D) +max σ发生在d 点，−max σ发生在b 点正确答案是 D 。
8－3 关于平面弯曲正应力公式的应用条件，有以下4种答案，请判断哪一种是正确的。
(A) 细长梁、弹性范围内加载；(B) 弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；(C) 细长梁、弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；(D) 细长梁、载荷加在对称面或主轴平面内。
工程力学第8章第9章作业答案
8
6.6 107 m m4
• P228 9-1 试求图示各梁指定横截面上的剪力和弯矩。
F=ql/2 q
解：求得支座约束力 B
(c)
A
l/4
1
2
3 3D l/2 l
1C 2
ql FA FB 2
FA
FB
(c)
ql Fs1 2
1 2 M 1 ql 8 1 M 2 ql 2 8 1 M 3 ql 2 8
FB
Fs x1 56 4 x1
M x1 56x1 2x12
Fs x2 24 4x2
40kN 56kN
2 M x2 56 x2 80 x2 4 2 x2
max 56kN
M max 192kN m
192kN.m
A支座右侧截面 C截面
1 M max 113.125 2.156 80 1.656 20 1.6562 83.994kN m 2 M max 83.994 103 Wz 494.08 106 m 3 选择28a号工字钢 Wz 508cm3 6 170 10
Fs max Szmax 113.125 103 max 54.1MPa 2 3 Izb 24.6 10 8.5 10
故选择28a号工字钢。
F
F
F
F
F
q
A
113kN B
h 360mm, b 96mm d 9.0mm, t 16mm
z
* Sz max 96 16 180 8
6×1m=6m
y
180 16 2 385224 10 9 m 3 180 16 9
6.6 107 m m4
• P228 9-1 试求图示各梁指定横截面上的剪力和弯矩。
F=ql/2 q
解：求得支座约束力 B
(c)
A
l/4
1
2
3 3D l/2 l
1C 2
ql FA FB 2
FA
FB
(c)
ql Fs1 2
1 2 M 1 ql 8 1 M 2 ql 2 8 1 M 3 ql 2 8
FB
Fs x1 56 4 x1
M x1 56x1 2x12
Fs x2 24 4x2
40kN 56kN
2 M x2 56 x2 80 x2 4 2 x2
max 56kN
M max 192kN m
192kN.m
A支座右侧截面 C截面
1 M max 113.125 2.156 80 1.656 20 1.6562 83.994kN m 2 M max 83.994 103 Wz 494.08 106 m 3 选择28a号工字钢 Wz 508cm3 6 170 10
Fs max Szmax 113.125 103 max 54.1MPa 2 3 Izb 24.6 10 8.5 10
故选择28a号工字钢。
F
F
F
F
F
q
A
113kN B
h 360mm, b 96mm d 9.0mm, t 16mm
z
* Sz max 96 16 180 8
6×1m=6m
y
180 16 2 385224 10 9 m 3 180 16 9
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x
s2 s1 s2 s3
将②代入式（8-3）得tan2a0的计算表达式的分母为0，说明 2a0=90°或2a0=270°，故a0=45°或a0 =135°。 以上结果表明，从x轴出发，由a0=45°和a0=135°所确定的 斜截面为主平面，其主应力分别为 s1=smax=t，s2=0，s3=smin=- t 纯剪应力状态属于二向应力状态，两个主应力的绝对值相等， 都等于切应力τ， 一个为拉应力，一个为压应力。 圆截面铸铁试件扭转时，表面各点的主应力与轴线成45°倾 角，当该应力达到材料的抗拉强度时，试件将沿主应力方向断裂， 从而形成与轴线成45°的螺旋断口(见图8-4c)。
魏道德
主编
8．2
平面应力状态分析
故 s1=120MPa，s2=0MPa，s3=-10MPa (2) 求主平面的方位。 由式(8-3)得
2t x 2 (60) tan 2a 0 2.4 s x s y 80 30
得
a0=33.7°， a0 = a0 -90°=-56.3°
将a0=33.7°代入式（8-1）的第一个方程，得sa=120MPa，说 明a0=33.7°所确定的平面为主应力 s1所在的平面， a0 =-56.3° 所确定的平面为主应力s3所在的平面（见图8-5）。
《工程力学》 魏道德 贾玉梅
魏道德
主编
8．3
三向应力状态与广义胡克定律
8．3．1 三向应力状态简介
60MPa 80MPa a056.3
图8-5 已知各面应力的单元体
s x s y 2 s max s x s y ( ) t x2 s min 2 2
120MPa 80 30 80 30 2 ( ) (60) 2 2 2 10MPa
《工程力学》 魏道德 贾玉梅
《工程力学》 魏道德 贾玉梅
魏道德
主编
8．2
平面应力状态分析
30MPa 60MPa
例8-3 从受力构件中截取的单元 体，其应力状态如图8-5所示。试其 求主应力和主平面方位。 解 (1) 求主应力大小。将应 力σx=80MPa，σy=30MPa，τx =-60 MPa，代入式（8-4），可得
s3
s1
《工程力学》 魏道德 贾玉梅
魏道德
主编
8．2
平面应力状态分析
50MPa 30 MPa
例8-1 在图8-3所示的应力 状态中，求指定斜截面上的应 力。 解 由图可知，α=60°， σx= 100MPa，σy =－50MPa ， τx=τy =0。由式（8-1）得
sa s x s y
2
n
600
100 MPa
y
sx
tx
ty ty
sy
tx
sy
sx
ty
x
sy
y
n α
sx
e
tx
ty
b)
f
tx
sx
x sx
tx sa ty sy
c)
a ta
x
a)
sy
图8-2 求单元体斜截面上的应力
《工程力学》 魏道德 贾玉梅
魏道德
主编
8．2
平面应力状态分析
如图8-2b所示，运用截面法，假想地把单元体沿ef面截开，由 分离体的平衡条件，可推导出（推导过程从略）斜截面上的应力 sa 、ta的计算公式，即 s x s y s x s y sa cos 2a t x sin 2a 2 2 （8-1） s x s y ta sin 2a t x cos 2a 2 由此可知，当σx、σy、τx均为已知时，利用式（8-1）可以求 出任意α斜截面上的应力。这种求应力的方法也称为解析法。下 面通过实例来说明解析法的应用。
s x s y tan 2a1 2t x
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(8-5)
主编8．2平面应力态分析比 较 式 （ 8-3 ） 和 式 （ 8-5 ） 可 见 ， tan2a0· a1=-1 ， 故 tan2 2a1=2a0+π/2，从而a1=a0+π/4，即最大切应力和最小切应力所在 平面与主平面成45°夹角。把式（8-5）代入到式（8-1）的第二 式得：
s x s y
2
sin 2a 0 t x cos 2a 0 0
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(8-2)
魏道德
8．2
由此得出
平面应力状态分析
2t x tan 2a 0 s x s y
（8-3）
在0°～360°的范围内，式(8-3)可以求出相差90°的两个角度 a0和a0+90°，它们确定两个互相垂直的平面，其中一个是最大 正应力所在平面，另一个是最小正应力所在的平面。 比较式（8-1）第二个方程和式（8-2）可见，满足式（8-2）的 a0恰好使ta也等于零。也就是说，在切应力等于零的平面上，正 应力为最大值或最小值。因为切应力为零的平面是主平面，主平 面上的正应力为主应力，所以主应力就是最大或最小的正应力。 从式（8-3）求出sin2a0和cos2a0，并代入式（8-1）的第一个方程， 可以求得最大及最小的正应力，即
sx=sy=0，tx = t
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8．2
平面应力状态分析
y A
t s1
D
MT a) MT
t
B
s3
t
45°
b)
t C
M c)
M
图8-4 铸铁试件受扭时的破坏分析
a) 铸铁试件 b) 单元体 c) 断口
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8．2
平面应力状态分析
s x s y 2 s max s x s y ( ) t x 2 t s min 2 2
ta s x s y
2
平面应力状态分析
sin 2a t x cos 2a 100 50 sin120 MPa = 65 MPa 2
斜截面上的正应力sa和切应力ta方向如图8-3所示。
8．2．2 主平面与主应力
利用求函数极值的方法，可以确定单元体上的正应力和切 应力的最大值以及它们所在截面的方位。 对式(8-1)中的第一个方程，令dsa/da =0，由此方程解出来 的角度用a0表示。在a0所确定的截面上，正应力取得极值（也 是最大值和最小值）。即
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8．1
应力状态概念
8．1．2 应力状态的分类
一般情况下，单元体各斜截面上既存在正应力，又存在切应力。但 可以证明，任何单元体中都存在三个相互垂直的平面，其上的切应力等 于零，
这种平面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。主平 面的法线方向称为主方向，主方向一般用主平面法线正方向与 坐标轴的正向间夹角来描述。沿主平面截取的单元体称为主单 元体，三个主平面上存在三个主应力，按其代数值大小顺序分 别用σ1、σ2、σ3表示。 根据单元体上不为零的主应力的个数，可将一点处的应力 状态分为3大类，即单向应力状态、二向应力状态和三向应力 状态三种类型。
ta
50MPa 30 MPa
sa
100 MPa
s x s y
2
cos 2a t x sin 2a
图8-3
求单元体指定斜截面上的应力 图 8-3
100 50 100 50 MPa cos120 MPa = -12.5 MPa 2 2
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8．2
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8．2
平面应力状态分析
8．2．1 平面应力状态单元体任意斜截面上的应力
如图8-2a所示，设某平面应力状态单元体在x、y平面内的应力 分别为σx、τx和σy、τy，根据切应力互等定理可知τx=-τy。现求任意 α斜截面ef上的应力，其中α为该斜截面的法线n与x轴的夹角，并 规定从x轴的正向出发，逆时针旋转所得的α角为正，反之为负。
s x s y 2 t max ( ) t x2 t min 2
（8-6）
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8．2
平面应力状态分析
例8-2 试讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭 时的破坏现象。 解 圆轴扭转时，在横截面的边缘处各点切应力最大，其值为
MT t WP
①
在圆轴的最外层，按图8-4a所示方式取出单元体ABCD，单 元体应力状态如图8-4b所示，故 ② 由图8-4b可知，该单元体侧面上只有切应力，而无正应力。 这种应力状态称为纯剪应力状态。把②代入式（8-4）得：
s max s 1 ,s min s 3 ,t max
8．3．2 广义胡克定律
s1 s 3
2
（8-8）
在单向应力状态下的胡克定律与泊松比为：
s
E
,
s
E
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8．3
y
三向应力状态与广义胡克定律
s2 s3 s1 s1
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8．1
y
应力状态概念
sa
s
x
sα+90°
ta ta sa
b)
s
z a)
sα-90°
图8-1 两种不同方向截面的单元体 a) 沿横截面截取 b) 沿s斜截面截取
单元体各面的名称，按照其法线方向的名称来称谓。如图81a所示的单元体，其左、右面的法线因沿x轴方向，故皆称为x面； 同理，上、下面称为y面，前、后面称为z面。
s2 s1 s2 s3
将②代入式（8-3）得tan2a0的计算表达式的分母为0，说明 2a0=90°或2a0=270°，故a0=45°或a0 =135°。 以上结果表明，从x轴出发，由a0=45°和a0=135°所确定的 斜截面为主平面，其主应力分别为 s1=smax=t，s2=0，s3=smin=- t 纯剪应力状态属于二向应力状态，两个主应力的绝对值相等， 都等于切应力τ， 一个为拉应力，一个为压应力。 圆截面铸铁试件扭转时，表面各点的主应力与轴线成45°倾 角，当该应力达到材料的抗拉强度时，试件将沿主应力方向断裂， 从而形成与轴线成45°的螺旋断口(见图8-4c)。
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8．2
平面应力状态分析
故 s1=120MPa，s2=0MPa，s3=-10MPa (2) 求主平面的方位。 由式(8-3)得
2t x 2 (60) tan 2a 0 2.4 s x s y 80 30
得
a0=33.7°， a0 = a0 -90°=-56.3°
将a0=33.7°代入式（8-1）的第一个方程，得sa=120MPa，说 明a0=33.7°所确定的平面为主应力 s1所在的平面， a0 =-56.3° 所确定的平面为主应力s3所在的平面（见图8-5）。
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8．3
三向应力状态与广义胡克定律
8．3．1 三向应力状态简介
60MPa 80MPa a056.3
图8-5 已知各面应力的单元体
s x s y 2 s max s x s y ( ) t x2 s min 2 2
120MPa 80 30 80 30 2 ( ) (60) 2 2 2 10MPa
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8．2
平面应力状态分析
30MPa 60MPa
例8-3 从受力构件中截取的单元 体，其应力状态如图8-5所示。试其 求主应力和主平面方位。 解 (1) 求主应力大小。将应 力σx=80MPa，σy=30MPa，τx =-60 MPa，代入式（8-4），可得
s3
s1
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8．2
平面应力状态分析
50MPa 30 MPa
例8-1 在图8-3所示的应力 状态中，求指定斜截面上的应 力。 解 由图可知，α=60°， σx= 100MPa，σy =－50MPa ， τx=τy =0。由式（8-1）得
sa s x s y
2
n
600
100 MPa
y
sx
tx
ty ty
sy
tx
sy
sx
ty
x
sy
y
n α
sx
e
tx
ty
b)
f
tx
sx
x sx
tx sa ty sy
c)
a ta
x
a)
sy
图8-2 求单元体斜截面上的应力
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8．2
平面应力状态分析
如图8-2b所示，运用截面法，假想地把单元体沿ef面截开，由 分离体的平衡条件，可推导出（推导过程从略）斜截面上的应力 sa 、ta的计算公式，即 s x s y s x s y sa cos 2a t x sin 2a 2 2 （8-1） s x s y ta sin 2a t x cos 2a 2 由此可知，当σx、σy、τx均为已知时，利用式（8-1）可以求 出任意α斜截面上的应力。这种求应力的方法也称为解析法。下 面通过实例来说明解析法的应用。
s x s y tan 2a1 2t x
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(8-5)
主编8．2平面应力态分析比 较 式 （ 8-3 ） 和 式 （ 8-5 ） 可 见 ， tan2a0· a1=-1 ， 故 tan2 2a1=2a0+π/2，从而a1=a0+π/4，即最大切应力和最小切应力所在 平面与主平面成45°夹角。把式（8-5）代入到式（8-1）的第二 式得：
s x s y
2
sin 2a 0 t x cos 2a 0 0
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(8-2)
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8．2
由此得出
平面应力状态分析
2t x tan 2a 0 s x s y
（8-3）
在0°～360°的范围内，式(8-3)可以求出相差90°的两个角度 a0和a0+90°，它们确定两个互相垂直的平面，其中一个是最大 正应力所在平面，另一个是最小正应力所在的平面。 比较式（8-1）第二个方程和式（8-2）可见，满足式（8-2）的 a0恰好使ta也等于零。也就是说，在切应力等于零的平面上，正 应力为最大值或最小值。因为切应力为零的平面是主平面，主平 面上的正应力为主应力，所以主应力就是最大或最小的正应力。 从式（8-3）求出sin2a0和cos2a0，并代入式（8-1）的第一个方程， 可以求得最大及最小的正应力，即
sx=sy=0，tx = t
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8．2
平面应力状态分析
y A
t s1
D
MT a) MT
t
B
s3
t
45°
b)
t C
M c)
M
图8-4 铸铁试件受扭时的破坏分析
a) 铸铁试件 b) 单元体 c) 断口
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8．2
平面应力状态分析
s x s y 2 s max s x s y ( ) t x 2 t s min 2 2
ta s x s y
2
平面应力状态分析
sin 2a t x cos 2a 100 50 sin120 MPa = 65 MPa 2
斜截面上的正应力sa和切应力ta方向如图8-3所示。
8．2．2 主平面与主应力
利用求函数极值的方法，可以确定单元体上的正应力和切 应力的最大值以及它们所在截面的方位。 对式(8-1)中的第一个方程，令dsa/da =0，由此方程解出来 的角度用a0表示。在a0所确定的截面上，正应力取得极值（也 是最大值和最小值）。即
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应力状态概念
8．1．2 应力状态的分类
一般情况下，单元体各斜截面上既存在正应力，又存在切应力。但 可以证明，任何单元体中都存在三个相互垂直的平面，其上的切应力等 于零，
这种平面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。主平 面的法线方向称为主方向，主方向一般用主平面法线正方向与 坐标轴的正向间夹角来描述。沿主平面截取的单元体称为主单 元体，三个主平面上存在三个主应力，按其代数值大小顺序分 别用σ1、σ2、σ3表示。 根据单元体上不为零的主应力的个数，可将一点处的应力 状态分为3大类，即单向应力状态、二向应力状态和三向应力 状态三种类型。
ta
50MPa 30 MPa
sa
100 MPa
s x s y
2
cos 2a t x sin 2a
图8-3
求单元体指定斜截面上的应力 图 8-3
100 50 100 50 MPa cos120 MPa = -12.5 MPa 2 2
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8．2
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8．2
平面应力状态分析
8．2．1 平面应力状态单元体任意斜截面上的应力
如图8-2a所示，设某平面应力状态单元体在x、y平面内的应力 分别为σx、τx和σy、τy，根据切应力互等定理可知τx=-τy。现求任意 α斜截面ef上的应力，其中α为该斜截面的法线n与x轴的夹角，并 规定从x轴的正向出发，逆时针旋转所得的α角为正，反之为负。
s x s y 2 t max ( ) t x2 t min 2
（8-6）
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平面应力状态分析
例8-2 试讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭 时的破坏现象。 解 圆轴扭转时，在横截面的边缘处各点切应力最大，其值为
MT t WP
①
在圆轴的最外层，按图8-4a所示方式取出单元体ABCD，单 元体应力状态如图8-4b所示，故 ② 由图8-4b可知，该单元体侧面上只有切应力，而无正应力。 这种应力状态称为纯剪应力状态。把②代入式（8-4）得：
s max s 1 ,s min s 3 ,t max
8．3．2 广义胡克定律
s1 s 3
2
（8-8）
在单向应力状态下的胡克定律与泊松比为：
s
E
,
s
E
主编
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8．3
y
三向应力状态与广义胡克定律
s2 s3 s1 s1
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y
应力状态概念
sa
s
x
sα+90°
ta ta sa
b)
s
z a)
sα-90°
图8-1 两种不同方向截面的单元体 a) 沿横截面截取 b) 沿s斜截面截取
单元体各面的名称，按照其法线方向的名称来称谓。如图81a所示的单元体，其左、右面的法线因沿x轴方向，故皆称为x面； 同理，上、下面称为y面，前、后面称为z面。