因式分解定理(高等代数)
高等代数知识点总结
次多项式之和
，
fn≠对0称，多且其项中式f基i是本0或定i次理齐次每多个项对式称，多0≤项i式≤，n，都f可i称唯为f
的一地i次表齐示次成分初量等. 对称多项式的多项式
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运算及其关系
转置
加 法
(A+B)T=AT+BT
数 乘
(kA)T= k AT
取逆
(kA)1= k1A1
d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)
• 互素
f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
• 因式分解唯一定理
次数大于1的多项式都可分解成有限个既约多项式之 积，且不计因子次序和常数因子倍时，分解唯一.
• 标准分解定理
每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解
倍法变换
统称线性
|...+...| = |......| + |......|
AA*=A*A=|A|E 当A可逆时，
A*＝|A|A1
定义 性质
若P,Q可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ)
=r(PAQ)
高等代数知识点总结
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转置
取逆
伴随
加法 (A+B)T=AT+BT
数乘 (kA)T= k AT (kA)1= k1A1 (kA)*= kn1A*
乘法 (AB)T= BT AT (AB) 1= B1 A1 (AB)*= B*A*
则f(x)是有理数域上的既约多项式. • 有理根：有理根的分母整除首项系数，分子整除常 数项
高等代数知识点总结
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高等代数（二）预习——4、唯一因式分解定理
⾼等代数（⼆）预习——4、唯⼀因式分解定理4、唯⼀因式分解定理 上⼀篇介绍到了公因式的问题，为探索多项式最重要的问题之⼀——因式分解问题，做了很好的准备。
下⾯我们就来介绍这个问题。
因式分解问题与整数的质因数分解问题很相似，我们先来介绍基本的不需要分解的多项式：⼀、不可约多项式 不可约多项式的定义是类⽐质数做出的，实际上在因式分解问题⾥，它们也是基本的因式，因为它们不能被继续分解。
定义：⼀个多项式p∈K[x]是不可约多项式，当且仅当deg p>0，且它在K[x]中的因式只有零次多项式或者它⾃⾝的相伴式。
即若q|p，则q∼1或q∼p。
如同质数，不可约多项式有⼀些基本的性质：1、K[x]中，若p不可约，则对任意的f∈K[x]，或者(p,f)=1，或者p|f。
证明：由于(p,f)|p，则或者(p,f)=1，或者(p,f)∼p，从⽽由传递性，p|(p,f)|f。
2、K[x]中，若p不可约，且p|fg，则或者p|f，或者p|g。
证明：不妨设p∤f，那么由于不可约，(p,f)=1，⼜由于p|fg，可知p|g。
性质2可以推⼴到多个多项式的情形，即若p|f1f2...f s，则⾄少存在i=1,2...或s，使p|f i。
3、多项式p不可约当且仅当p不可表⽰为两个次数更低（但是次数为正）的多项式之积。
证明：必要性是显然的，充分性⽤反证法即可。
性质3⽴刻告诉我们，每个1次多项式都是不可约的。
有了这三条性质，我们就可以介绍此篇最重要的定理了。
⼆、唯⼀因式分解定理定理：K[x]中的任意⾮零多项式f可以唯⼀地表⽰为若⼲个K[x]中不可约多项式的乘积：f=p1p2...p s。
注意，定理中的唯⼀是指，若存在f=p1p2...p s=q1q2...q t，则s=t，且调整过顺序后，有p i∼q i,i=1,2,...,s。
证明：先来证存在性。
对f的次数做数学归纳法。
1° n=1时，显然存在分解式。
2° 假设次数⼩于n时定理均成⽴，那么对次数为n的多项式f，若其是不可约多项式，分解式显然存在，否则，由性质3，我们可以找到次数更低但是为正的f1、f2，使得f=f1f2，从⽽由归纳法，f的分解式也存在。
高等代数几个重要定理的证明-毕业论文
---文档均为word文档，下载后可直接编辑使用亦可打印--- 摘要代数是学学的心础课程，是其它课程的要提.本文共分三大部分，第一大部分主要介绍了高等代数课程的七个重要定理的内容、证明.因高等代数中提出了许多新概念、新定义、新定理，譬如多项式、数域、线性空间、映射等，且都是较为抽象的内容，故此将其中各章节中的重要定理列举出来，并寻找多个定理证明来加深对其的理解及认识.第二大部分主要介绍了在高等代数学习中遇到的问题及解决的方法.第三大部分则主要讲了高等代数在实际问题中的应用中的两种应用方法，即矩阵密码与保密通讯和情报信息检索模型.关键词：定理证明；矩阵；行列式；线性空间；高等代数应用AbstractHigher algebra is the core curriculum of university mathematics,and it is an important prerequisite for learning other courses. This paper is divided into three parts,and the first part mainly introduces the seven important theorems in advanced algebra course content. Because of Higher Algebra put forward many new concepts and new definition, theorems, such as polynomial, the number of domain, linear space mapping, etc., which are more abstract content.Therefore one of the important theorem of various sections of the list, and to find a proof of the theorem to deepen understanding and understanding of these.The second part mainly introduces the problems and solutions in the study of higher algebra. The third part focuses on the application of advanced algebra in the practical application of the two methods, namely, matrix cryptography and secure communications and information retrieval model.Key words：Theorem proving;matrix;determinant;application of Advanced algebra目录TOC \o "1-2" \u 前言11 定理阐述及证明21.1因式分解及唯一性定理21.2最大公因式存在定理41.3最小数原理51.4替换定理61.5哈密尔顿-凯莱定理81.6带余除法101.7行列式计算定理121.8定理：在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵132 高等代数的重要定理在相关的对应理论中的作用、地位与应用132.1因式分解及唯一性定理142.2 最大公因式存在定理142.3 最小数定理142.4 替换定理142.5 哈密尔顿-凯莱定理152.6 带余除法152.7 行列式计算定理152.8 对称矩阵合同于对角矩阵153 高等代数的学习15结束语17参考文献18引言高代数是范学校学业的学生所学习的一门主要，是学的继与高.它的内容由多项式理论、解理论、线性空间理论三大部分组成.这三大部分的特殊性在于其中的定理和概念较多，具体的模型稀少，，可引导用的例题较少，计算性弱，逻辑性强.在对高等代数几个重要定理的证明方法的探索中，能够改变我们的思维，增强大家都思维能力，辑思维能力和代数计算.此外，高等代数已经是从事科学研究的科技人员必备的数学基础知识，因它是理论化学与理论物理的不可替代的代数基础知识，也已经渗透到了管理、经济、科学技术等多项领域，除此以外，矩阵又有了新的意，尤其是对矩阵的数值分析方面的贡献.由是对于本文探索高等代数的定理新证明又有了重大意义.1 定理阐述及证明1.1因式分解及唯一性定理：理容：数上有的多式都可一地解为域，一些可多项的积，所说的性是说，如有个分式，则，同在当排因的次后有，，且是些零数.证法一：首先要证明的式分解式是否存在，我们对的次数作数学归纳法.因为一次性多项式都是不可约的，所以当时结论成立.先，同设此论对于数的多项式已成立.如果，那么然论成，不是约的，，其的次数都.由归纳假和都可以分解成数上一些多式的积.把，的分式来就可以得到的一个式.由归纳法原理，可知结论普遍成立.下证它的一性.设可以解成约项式的积.如果还有另一个分解，其中都可约多项式，于是. （1）我们对作归纳法.当，是不可约多项式，由定义一定有且现在设可约式的时性已证.由（1）因此，能尽中的一个，.因为也可多式，，（2）在（1）式两边消去，就有.由归纳假设，有，即，（3）并且适当排列次序之后有，，（4）即（2）,（3），（4)三式加起来就是我们所要证得，即证明了分解的唯一性.[1]证法二：可以对因式的用数学归纳法.对于可多式，也是对于的情来说，理成立.假定对于能分解成个不可约因式的乘积的多项式来说，定理成立.们明对于能可因的积的多项来说也立.等(1)表明，积可以被可多式整.性，若项与的积能被可多式，则有一能被的，且某一能被.适当调整的次序，可以假定即.但不是可约多项式，而的次数是零，所以必须是一个多项式：（2）, 把的表示式代入式（1）的右端，得:，等端除为的多项式，得出式,令那么是一个能分解成不约多项式乘积的多项式.于是由归纳假定得，亦即，并且可以假定（3）其及都是次多式.令，由（2）及（3）得，这样得到明1.2最大公因式存在定理：如果中意个项在中存一个大因，且表示为的一个合，即中项式使.证法一：数学归纳法证明：将定理证明过程中会用到的引理列出：引理[1]:如有式成，和有同的因式.下面用归纳证明大因式在定理.（种形证）证明当或时，的最大公因式为或，显然有或当且时，不妨设，令，下面对n实行归纳法：.当时设，则（非零常数）或，当时，，于是的最大公因式为，有. 当（非零常数）时，由于，故的最大公因式为，由引理，的最大公因式也为，且有定理成立..假对于的自然，定都成.看n时情形设，则或，⑴时，，于是的最大公因式为，有.⑵时，设，则或⑶时，的最大公因式为，由引理，的最大公因式也为，且有.⑷当时，由归纳假设，存在最大公因式，且由引理，的最大公因式也为，进而的最大公因式也是.所以，对于一切都存在最大公因式.由于所以,取,,则有.[3]1.3最小数原理：负整数集合的任意一个非空子集一定含一个最小数，接下来通过构造的方法证明最大公因式存在定理.证明：分成两种情况当或时，的最大公因式为或，显然有或当且时，令,记,由于，所以，则是非负整数集的一个非空子集.由最小数原理，中存在最小数，故存在，且，即是中最小次数多项式.于是，有中多项式使由带余除法或或’若则，但,即，于是，与是中最小次数多项式矛盾.因此，从而.同理可证：.于是是与的公因式.设是与的任一公因式，则，，由得：，所以是与的最大公因式，且有.1.4替换定理：设无关的量组（1）可由组（2）线表，则，且（2）中个量使得向组，（3）与量（2）.证法1.由可知性无的向组由量（2）表示，则有:可由向量组线性表示.从而，由可向量线性表示，得（3）性关.那么根据前面所提供的定理，可知至少有一个向量能用其前个向量线性表示.在向量组（3）中将除去，剩下个向量为（4）这时向量组（4）与（2）等价.同理可得（6）如果线性无关向量组的元素个数，则进行次可得向量组（7）则这个组（7）不含向，但量组（7）与向组（2）价.此又于可由，则可由性出.这与性关，故.由以上的证明过程可以的知向量组同向量组（2）等价. [4]证法2.运极无组的性质证，之后过扩极大关组来证明向量的价.设向组的极大无关组（8），然，因（1）可由线性表示，所也是的一个大无关，又因为性无关，因，又，故.因为的秩为,然，当选，可以把（1）为的一个极无关.因为，均是的极无关组，因此和等价，因此是极1.5哈密尔顿-凯莱定理：设是数上一个阵，是的，则：.证法一：是.因为矩阵都是的多项式，次数不超过，故此由矩阵的运算性质，可以写成.其中都是数字矩阵.设（6）而（7）比较（6）和（7）得（8）以依次从右边乘以（8）的第一式，第二式，…，第式，第式，得（9）把的个式子一块儿起来，就成了，右边，故.证法二:幂级数证法对于，由行列的拉普公式可得标准方程其中表示的伴随矩阵，的系数取自于的形式幂级数.因为所以可逆且为其逆矩阵，因此：将写成的次数取自于的形式幂级数，可得可以注意到中的元素都是的次数不超过的多项式，因此是零矩阵，等式两的系数，可得：，即. [5]1.6带余除法：对于中两个多项，其中，中的项存在，使（1）成立，其中，并且这样是唯一决定的.证法一：（1）中的存在性可以由高等代数北师大第四版课本上第八页所提及的除法直接得出，如果.下面设.令的次数分别为.对的次数作第二数学归纳法.当时，显然取，（1）式成立接下来讨论的情形，假设当次数时，的存在已证，现在看当次数等于时的情形.令的项，然有同的，因多项的数或为0.7对于者，取对于者，由归假，对在使其中，于是，也就是说，有,使成立.由归纳法原理，对的存在性就证明了.下面明性，设另有项使，其中，于是，即如果，又，那么,且有,但,所以不可能立，这就，因此证法二：用限维性来证明的带除法理.引理1：数上的任何线性关向量组构的一基；引理2：上一元多项式中，小于的组成的是上的；引理3：在中，一个互相同的项式组都是无关的.叙述：设是一元多项式环中的任意两个多项式，并且，那么存在唯一一对多项式满足：（1）（2）证明：设先证存在性，如果，那么就是满足定理条件（1）和（2）的唯一,如果，那么由引理2可知，中的个多项式组成的集合是线性空间的一组基.事实上，由引理3知，是一个线性无关集合，再由引理1和引理2的结论可知，它构成了的一组基.因为，所以在数域中存在唯一的一组数令，，于是满足定理的条件.再证唯一性：由于数域中的数是唯一的，所以也是唯一的1.7行列式计算定理：1.首先给出一个上三角行列式行列其实于主对线上素乘积即行列式计算定理.2.定义：数域上列式转化为三角行列式i ；ii ，；iii 换列式中的.比如把行列式的-2倍加到，得到再把第一行加到第三行，得到-2，我们将形如，，其分为三行列式和.1.8定理：在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵对角矩阵：形式为的矩阵，其中是数，通常称为对角矩阵.对称矩阵：矩阵称为对称矩阵，如果：数域上矩阵之，如果有上的矩阵，使.合同是间的一个关系，具备下列三个特点：1）自反性：；2）对称性：由即得;3) 传递性：由和即得.2 高等代数的重要定理在相关的对应理论中的作用、地位与应用2.1因式分解及唯一性定理，我们前把它成几个能再，只是续分解这个是由于我们，并它不能，实际上这是相对于系数的数域而言的，并不是绝对的.因式分解及唯一性定理是对我们初中多项式分解知识有更深刻更宽广的认知，可是该并给出能够解多项式的以上便是多项式理论中的地位与局限.此外，初阶的因式分解定理常应用于初中考试题中.2.2 最大公因式存在定理我们在维纳的经典控制论等学科里常常会用到最大公因式，这说明最大公因式不仅是数学中的重要概念，而且在多个学科里都占据着不可替代的地位，因此在求解两个多项式之间的最大公因式时所用的辗转相除法是最大公因式定理的核心内容，它又被称为欧几里得算法，历史源远流长，是现代人们已得知的最古老的算法，这就是最大公因式存在定理的地位.辗转相除法是证明与计算最大公因式的核心，并且应用范围十分广泛.当需要寻找剩余定理的数时，它会被用来解丢翻图方程；在现代密码学里，RSA的主要构成部分就是它……这些都是辗转相除法应用里的沧海一粟.2.3 最小数定理，它等故此在解决许多存在性问题时常会用到最小数定理，证法与之结合解题常有2.4 替换定理替换定理是高等代数量空间理论的又.它应用广泛，可以被，也可被用于比较大无关量组向量的；亦；也可被用于证明基的扩充性，替换定理可以使这些问题可以得到更好的解决.2.5 哈密尔顿-凯莱定理哈密尔顿-凯莱定理是线性代数中的，是式所具备的一个，它揭示了和它式之间的关系，并且在解决.哈密尔顿-凯莱定理的应用可谓十分广泛，在计算方面可以辅助证明方阵的幂与方阵的逆阵，在证明方面即矩阵多项式等于零的有关问题中，可以使问难快速的得到解决.2.6 带余除法高等代数课程中占有重要地位的多项式的整除理论的基础就是带余除法，它是初等代数中最最基础，最最重要也是最直白的定理及工具.带余除法在初等代数中常被用到，常在小学初中的试卷中以应用题的形式出现，而在做这一类题的时候，就需要把题目外面包裹的各种各样的情境忽略掉而直接注意题目的本2.7 行列式计算定理，计算理，学习行列式的计算是学好高等代数的重要基石.，也很要，学会行列式的，我们可以应用它，还可以应用它求.2.8 对称矩阵合同于对角矩阵矩阵概念在高等代数课程的应用与内容中占据了非常广泛且重要的地位.首先，线性方程组的重要性质里就包含了矩阵的知识，例如它的系数矩阵和增广矩阵，除了线性方程组之外，许多问题的研究也常常会用到矩阵，甚至会研究有关于矩阵的方面.此外，对称矩阵、对角矩阵也是矩阵理论的重要研究对象.矩阵的应用方面包括，保密通讯技术时常会用到矩阵，信息的解码和编码也是需要用到矩阵密码这个技巧的.3 高等代数的学习《等代数》与相同，是学习的大学生要学习的核心课程之，是数学在，通过对高等代数的学习，我们可以加强自身的数学素养.在对高等代数的学习过程中，我们应该注意以下几点要求，可以让我们对这门课程的学习领悟更加深刻，更加透彻.高等代数里的抽象概念非常多，学生理解起来就有困难，譬如数域，映射，线性空间等概念，这些概念的特点就在于它们从很多具体的例子中被抽象出来的，总的来说学习高等代数时首要的是注意解相关.一方面，等代数这门课程的理与概念基本属于学专业的，由此，学生首先应注重对课程义的领会和运用，在充分理解定义定理后，我们对这门课的理解也就更深刻，在面对一些复杂的题目时更容易领会解答，从而使学生解高等代数象的内容，也会使学生对这门课程产生，唯有这样，才能对数学学习有正的度.另一方面，寻求正确的学习策略是在以培养学习的兴趣，端正学习的态度的条件下所进行的十足紧要的学习步骤.有些同学学习刻苦努力，但是成绩不算太好，就把原因归结为自己太笨，自暴自弃，其实这不是计算能力的问题，而是因为概念理解能力不行，即习对大家来说，要从、象的高等代数思维蛮困难的，故此我们在学习过程中，不应只是一味努力，也要注重学习方法，课前预习，课后复习，借力于具体的例子来理解抽象的定义定理，加深对定理的理解和掌握，寻找正确的途径学习高等代数.总而言之，学习高等代数，基本上就是在熟练掌握代数方法的同时尝试深入理解几何意义.结束语在完成这篇论文的近一百天的过程中，我再次复习了OFFICE的使用方法，对此更加熟练；阅读了许多关于高等代数重要定理的书本与论文，使我对高等代数的理解变得深刻，兴趣愈发浓厚，这也是我在大学真真正正用心去做，独立思考的稚嫩的成果，希望写论文的这段人生体验能让我在以后的学习生活中乘风破浪，积极进取.参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数[M].第四版.北京：高等教育出版社，2013：18.[2]张禾瑞，郝鈵新.高等代数上[M].第二版.北京人民教育出版社，1979：58.[3]苏白云，张瑞.最大公因式存在定理的两个新证法[D].河南郑州：河南财经政法大学数学与信息科学系，2013.[4]杜奕秋.替换定理的若干证明方法[D].吉林四平：吉林师范大学数学学院，2006.[5]邓勇.关于Cayley-Hamilton定理的新证明[D].新疆喀什：喀什师范学院数学系，2015.[6]王萼芳，石生明.高等代数[M].第四版高等教育出版社2013:8.[7]邓勇.多项式带余除法定理的一种新证明[D].新疆喀什：喀什大学数学与统计学院，[8]韦城东，尹长明，何世榕，庞伟才.大学数学学习成败的原因的成败分析[D].广西：广西师范学院学报，2006.[9]王喜建.高等代数课程教学中的几点体会[D].广东：广东五邑大学数学物理系[10]白永成，郑亚林.数学中的基本元素[D].陕西：安康师专学报,1998.[11]欧阳伦群，欧阳伦键.高等代数学习中的困惑与解决对策[D].湖南:当代教育理论与实践，2015.[12]熊斌，周瑶.最小数原理[D].数学通讯：教师阅读，2017.[13]李丽花.哈密尔顿-凯莱定理的应用[D].上海电力学院学报，2008.[14]侯波，郭艳红.高等代数教学的几点探索[D].学园，2015.[15]张爱萍.可逆矩阵的判定及求法[D].赤峰学院学报(自然科学版)，2011.。
高等代数 第4章多项式 4.5 多项式的因式分解
虽然根据多项式的标准分解式写出
f x, g x 是简单的，但由于任意多项式的典型
分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法 还是采用辗转相除法。
2020/3/2
高等代数
问：如何求 f x 的标准分解式？
由定义可得：
① 一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上 多项式是否可约是重点讨论对象）；
② 多项式的可约性与数域有关（例 x2 2 在C上
可约，在R中不可约）。 ③ 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。
2. 性质
性质1 若 p x不可约，则 cp x 也不可约，
c 0, c F.
问题： f xF x, f 0, f x 是否可分解为
不可约多项式的乘积？
定理1.5.1： F x 中任一个nn 0 次多项式 f x
都可以分解成 F x 中不可约多项式的乘积。
2020/3/2
高等代数
证（归纳法）：
n=1时，命题显然成立。 假设命题对一切小于n的多项式成立，则当
其他因式，则称 f x 在数域F上可约。
等价定义：如果 F x 中一个 nn 0 次多项式 f x 可分解成 F x 中两个次数都小于 n 的多项式
g x,hx 的积，即 f x g xhx, 则称
f x 在数域F上可约。
2020/3/2
高等代数
高等代数
若 f x p1 x p2 xL pr x, 取 c1c2 L cr 1.
则 f x c1 p1 xc2 p2 xL cr pr x, 可见 f x 分解式不唯一。
定理1.5.2：F x 中任一个次数大于零的多项式
高等代数北大第三版
即 rs Z . f ( x) rsg1( x) h1( x). 得证．
推论 设 f ( x), g( x) 是整系数多项式，且 g( x)是本原
旳，若 f ( x) g( x)h( x), h( x) Q[ x], 则 h( x) 必为整系数多项式．
f ( x) (bl xl bl1 xl1 b0 )(cm xm cm1 xm1 c0 ) bi ,c j Z , l, m n, l m n
an blcm , a0 b0c0 . p | a0 , p | b0 或 p | c0 ,
又 p2 | a0 , p 不能同步整除 b0 , c0 . 不妨设 p | b0 但 p | c0 .
对a,b Q ( a 0), 多项式 g( x) f (ax b) 在有理数域上不可约．
例5 证明：f ( x) x2 1 在 Q上不可约． 证： 作变换 x y 1, 则
f ( x) y2 2 y 2, 取 p 2, 由Eisenstein鉴别法知， y2 2 y 2 在Ｑ上不可约， 所以 f ( x) 在Ｑ上不可约．
bi Z , i 0,1, 2, , n. 若 bn ,bn1, ,b1,b0 没有 异于 1 旳公因子，即 bn ,bn1, ,b1,b0 是互素旳， 则称 g( x)为本原多项式．
有关性质
1．f ( x) Q[ x], r Q, 使 f ( x) rg( x), 其中 g( x)为本原多项式． （除了相差一种正负号外，这种表达法是唯一旳）．
在 R 上，不可约多项式只有一次多项式与某些 二次多项式；
但在 Q上有任意次数旳不可约多项式．如
xn 2, n Z . 怎样判断 Q上多项式旳不可约性呢?
因式分解的高级方法(解析版)
因式分解的高级方法一．双十字相乘法1．双十字相乘法原理计算()()22235316731385x y x y x xy y x y -++-=--++-．从计算过程可以发现，乘积中的二次项22673x xy y --只和乘式中的一次项有关，而与常数项无关；乘积中的一次项138x y +，只和乘式中的一次项及常数项有关系；乘积中的常数项，只和乘式中的常数项有关系。
2．所以运用双十字乘法对22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++型的多项式分解因式的步骤： （1）用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；（2）在这个十字相乘图右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式中含y 的一次项的系数E ，同是还必须与第一个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含x 的一次项的系数D ． 二．对称式与轮换对称式【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x g g g ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =g g g g g g g g g g g g g g g g g g ，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。
例如，222x yx y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。
如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。
由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。
高等代数定理汇总前三章
第一章多项式定理1对于数域上的任意两个多项式f(x)，g(x)，其中g(x)≠0，g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零.定理2对于P[x]中任意两个多项式f(x)，g(x)，在P[x]中存在一个最大公因式ⅆ(x)，且ⅆ(x)可以表成f(x)，g(x)的一个组合，即有P[x]中多项式u(x)，v(x)使ⅆ(x)=u(x)f(x)+ν(x)g(x).定理3P[x]中两个多项式f(x)，g(x)互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u(x)，v(x)使u(x)f(x)+ν(x)g(x)=1.定理4如果(f(x),g(x))=1，且f(x)|g(x)ℎ(x)，那么f(x)|ℎ(x).推论如果f1(x)|g(x)，f2(x)|g(x)，且(f1(x)，f2(x))=1，那么f1(x)f2(x)|g(x).定理5如果p(x)是一个不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f(x)，g(x)，由p(x)|f(x)g(x)一定推出p(x)|f(x)或者 p(x)|g(x).因式分解及唯一性定理数域P上每一个次数≥1的多项式f(x)都可以唯一地被分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.定理6如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k≥1)，那么它是微商f′(x)的k−1重因式.推论1如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k≥1)，那么p(x)是f(x)，f′(x)，⋯，f(k−1)(x)的因式，但不是f(k)(x)的因式.推论2不可约多项式p(x)是f(x)的重因式的充分必要条件为p(x)是f(x)与f′(x)的公因式.推论3多项式f(x)没有重因式的充分必要条件是f(x)与f′(x)互素.定理7（余数定理）用一次多项式x−α去除多项式f(x)，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f(α).推论α是f(x)的根的充分必要条件是(x−α)|f(x).定理8P[x]中n次多项式(n≥0)在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数计算.如果多项式f(x)，g(x)的次数都不超过n，而它们对n+1个不同的数α1，α2，⋯，αn+1有相同的值，即f(αi)=g(αi)，i=1，2，⋯，n+1，那么f(x)=g(x).代数基本定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域中有一根.复系数多项式因式分解定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理每个次数≥1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.定理10（高斯引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.设f(x)=a n x n+a n−1x n−1+⋯+a0是它的一个有理根，其中r，s互素，那么必是一个整系数多项式，而rs有s|a n，r|a0.特别地，如果f(x)的首项系数a n=1，那么f(x)的有理根都是整根，而且是a0的因子.定理13（艾森斯坦判别法）设f(x)=a n x n+a n−1x n−1+⋯+a0是一个整系数多项式.如果有一个素数p，使得1）p∤a n；2）p|a n−1， a n−2， ⋯， a0；3）p2∤a0，那么f(x)在有理数域上是不可约的.第二章行列式定理1对换改变排列的奇偶性.推论个在全部n级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有n!2定理2任意一个n级排列与排列12⋯n都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.行列式性质1 行列互换，行列式不变.性质2 如果行列式一行为零，那么行列式为零.性质3 如果某一行是两组数的和，那么行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应行一样.性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零. 性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零. 性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变.性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号.定理3设ⅆ=|a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n ⋮⋮⋮a n1a n2⋯a nn|， A ij 表示元素a ij 的代数余子式，则下列公式成立：a k1A i1+a k2A i2+⋯+a kn A in={ⅆ，当k =i ，0，当k ≠i ； a 1l A 1j +a 2l A 2j +⋯+a nl A nj={ⅆ，当l =j ，0，当l ≠j.用连加号简写为∑a ks A is =n s=1{ⅆ，当k =i ，0，当k ≠i ； ∑a sl A sj=n s=1{ⅆ，当l =j ，0，当l ≠j.定理4（克拉默法则）如果线性方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=b1，a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=b2，⋯⋯⋯⋯a n1x1+a n2x2+⋯+a nn x n=b n的系数矩阵A=[a11a12⋯a1n a21a22⋯a2n ⋮⋮⋮a n1a n2⋯a nn]的行列式，即系数行列式ⅆ=|A|≠0，那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为x1=d1d ，x2=d2d，⋯，x n=d nd，其中ⅆj是把矩阵A中第j列换成方程组的常数项b1，b2，⋯，b n所组成的矩阵的行列式.定理5如果齐次线性方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=0，a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=0，⋯⋯⋯⋯a n1x1+a n2x2+⋯+a nn x n=0的系数矩阵的行列式|A|≠0，那么它只有零解.换句话说，如果方程组有非零解，那么必有|A|=0.第三章线性方程组定理1在齐次线性方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=0，a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=0，⋯⋯⋯⋯a s1x1+a s2x2+⋯+a sn x n=0中，如果s<n，那么它必有非零解.定理2设α1，α2，⋯ ，αr与β1，β2，⋯，βs是两个向量组.如果1)向量组 α1，α2，⋯ ，αr可以经β1，β2，⋯，βs线性表出；2)r>s，那么向量组α1，α2，⋯ ，αr必线性相关.推论1如果向量组 α1，α2，⋯ ，αr可以经向量组β1，β2，⋯，βs线性表出，且α1，α2，⋯ ，αr线性无关，那么r≤s.推论2任意n+1个n维向量必线性相关.推论3两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量.定理3一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.定理4矩阵的行秩与列秩相等. 定理5n×n矩阵A=[a11a12⋯a1n a21a22⋯a2n ⋮⋮⋮a n1a n2⋯a nn]的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n. 推论齐次线性方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=0，a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=0，⋯⋯⋯⋯a n1x1+a n2x2+⋯+a nn x n=0 有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵A=[a11a12⋯a1n a21a22⋯a2n ⋮⋮⋮a n1a n2⋯a nn]的行列式等于零.定理6一矩阵的秩是r的充分必要条件为矩阵中有一个r级子式不为零，同时所有r+1级子式全为零.。
高等代数实系数和复系数多项式的因式分解
−
n−2
(ε 2
+
ε
n+2 2
)x
+
1].
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
例题选讲
例 设 f(x), g(x) 是两多项式，且 f(x3) + xg(x3) 可被 x2 + x + 1 整除， 则 f(1) = g(1) = 0.
两边取共轭数，有
f(α¯) = anα¯n + an−1α¯n−1 + · · · + a0 = 0,
这就是说，f(α¯) = 0，α¯ 也是 f(x) 的根.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
实系数多项式因式分解定理
. .. . . ..
高斯与代数基本定理
代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用. 据说，关于 代数学基本定理的证明，现有 200 多种证法. 迄今为止，该定理 尚无纯代数方法的证明. 大数学家 J.P. 塞尔曾经指出：代数基本 定理的所有证明本质上都是拓扑的. 美国数学家 John Willard Milnor 在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直 观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的 sard 定理. 复变 函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很 多经典的复变函数的理论结果.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
高斯与代数基本定理
该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但证明不完 整. 接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷，拉格朗日于 1772 年又重新证明了该定理，后经高斯分析，证明仍然很不严 格的. 代数基本定理的第一个严格证明通常认为是高斯给出的 (1799 年在哥廷根大学的博士论文)，高斯后来又给出了另外三个 证法，其中第四个证法是他 71 岁公布的，并且在这个证明中他 允许多项式的系数是复数.
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证：若 p( x ) f ( x ), 结论成立 . 若 p( x ) 不整除 f ( x ) ，则 ( p( x ), f ( x )) = 1
Th4
⇒
p( x ) g ( x ).
不可约， 推论： 推论： p( x )不可约，p( x ) f1 ( x ) f 2 ( x )L f s ( x ), 则必有某个 f i ( x ), 使得 p( x ) f i ( x ).
一、不可约多项式 二、因式分解及唯一性定理
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问题的引入
因式分解与多项式系数所在数域有关 如： x 4 − 4 = x 2 − 2
(
)(
x2 + 2
)（在有理数域上） 在有理数域）= x− 2 = x− 2
其中 c 为 f ( x )的首项系数， pi ( x )为互不相同的， 的首项系数， 为互不相同的，
ri ∈ Z + . 称之为 f ( x ) 首项系数为1的不可约多项式 的不可约多项式， 首项系数为 的不可约多项式，
的标准分解式. 标准分解式
§1.5 因式分解定理
说明
的标准分解式, ① 若已知两个多项式 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式, 则可直接写出
§1.5 因式分解定理
∴ f ( x )可分解为一些不可约多项式的积 可分解为一些不可约多项式的积.
再证唯一性 . 设 f ( x ) 有两个分解式
f ( x ) = p1 ( x ) p2 ( x )L ps ( x )
= q1 ( x )q2 ( x )L qt ( x )
⑴
pi ( x ), q j ( x ) ( i = 1,2,L , s ; j = 1,2,L , t . ) 都是不可约
u1 u2
us
( x ),
f ( x ) g ( x ) ⇔ ri ≤ li , i = 1, 2,L , s
§1.5 因式分解定理
虽然因式分解定理在理论有其基本重要性， ② 虽然因式分解定理在理论有其基本重要性， 但并未给出一个具体的分解多项式的方法． 但并未给出一个具体的分解多项式的方法． 实际上， 实际上，对于一般的情形普通可行的分解多项 式的方法是不存在的．而且在有理数域上，多项 的方法是不存在的．而且在有理数域上， 式的可约性的判定都是非常复杂的． 式的可约性的判定都是非常复杂的．
一个多项式是否不可约依赖于系数域. ① 一个多项式是否不可约依赖于系数域 一次多项式总是不可约多项式. ② 一次多项式总是不可约多项式
§1.5 因式分解定理
③ 多项式 p( x ) ( ∂ ( p( x )) ≥ 1) 不可约
⇔ p( x ) 的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍 的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍.
§1.5 因式分解定理
二、因式分解及唯一性定理
1. 定理：∀f ( x ) ∈ P ( x ), 若 ∂ ( f ( x )) ≥ 1 ，则 f ( x )可 定理：
上一些不可约多项式的乘积. 唯一地分解成数域 P上一些不可约多项式的乘积 上一些不可约多项式的乘积 所谓唯一性是说， 所谓唯一性是说，若有两个分解式
( f ( x ), g( x ) ) = p1 ( x ) p2 ( x )L ps λi = min ( ri , li ) , i = 1,2,L , s
λ1 λ2
λs
( x ),
[ f ( x ), g( x )] = p1 ( x ) p2 ( x )L ps ui = max ( ri , li ) , i = 1,2,L , s
§1.5 因式分解定理
的次数作数学归纳. 证：对 f ( x ) 的次数作数学归纳
1o
∂ ( f ( x )) = 1 时，结论成立． 一次多项式都不可约） （ 结论成立． 一次多项式都不可约）
2o 设对次数低于 的多项式结论成立． 设对次数低于n的多项式结论成立． 的多项式结论成立
的情形. 下证 ∂ ( f ( x ) ) = n 的情形 若 f ( x )是不可约多项式 是不可约多项式. 结论显然成立． 结论显然成立．
即 d ( x ) = 1, 或 d ( x ) = cp( x ) ⇓ ⇓ p( x ) f ( x ) ( p( x ), f ( x )) = 1
§1.5 因式分解定理
不可约. 定理5： 定理 ： p( x ) 不可约 ∀f ( x ), g( x ) ∈ P[ x ] ，若
p( x ) f ( x ) g ( x ), 则 p( x ) f ( x ) 或 p( x ) g ( x ).
不是不可约多项式， 若 f ( x )不是不可约多项式，则存在 f1 ( x ), f 2 ( x ), 且 ∂ ( f i ( x )) < n, i = 1,2 使
f ( x ) = f1 ( x ) f 2 ( x )
皆可分解成不可约多项式的积. 由归纳假设 f1 ( x ), f 2 ( x ) 皆可分解成不可约多项式的积
( f ( x ), g( x ) ) .
f ( x ), g ( x ) 的标准
( f ( x ), g( x ) ) 就是那些同时在
分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积， 分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带 方幂指数等于它在 f ( x ), g ( x ) 中所带的方幂指数 中较小的一个． 中较小的一个．
(
)(
x+ 2
)(
x2 + 2
)
（在实数域上） 在实数域上）
(
) ( x + 2 ) ( x − 2i ) ( x +
在复数域上） 2i （在复数域上）
)
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§1.5 因式分解定理
一、不可约多项式
由归纳假设有
§1.5 因式分解定理
s − 1 = t − 1,
∴ s = t.
2. 标准分解式： 标准分解式：
对 ∀f ( x ) ∈ P[ x ], ∂ ( f ( x ) ) ≥ 1,
f ( x ) 总可表成
f ( x ) = cp1r1 ( x ) p2 r2 ( x )L ps rs ( x )
不可约， ④ 多项式 p( x ) 不可约，对 ∀f ( x ) ∈ P[ x ] 有
p( x ) f ( x ) 或 ( p( x ), f ( x ) ) = 1.
证：设 ( p( x ), f ( x )) = d ( x ), 则 d ( x ) p( x )
⇒ d ( x ) = a ≠ 0 或 d ( x ) = cp( x ), c ≠ 0
定义： 定义： 设 p( x ) ∈ P[ x ] ，且 ∂ ( p ( x ) ) ≥ 1 ，若 p( x )
不能表示成数域 P上两个次数比 p( x )低的多项式的 上两个次数比 乘积，则称 p( x ) 为数域 上的不可约多项式 为数域P上的不可约多项式. 上的不可约多项式 乘积，
说明： 说明：
§1.5 因式分解定理
作业
1 分别在复数域、 分别在复数域、实数域和有理数域上分解多 为不可约因式的乘积。 项式 x4＋1 为不可约因式的乘积。 2 证明： 证明：g 2 ( x ) f 2 ( x ) ⇔ g ( x ) f ( x ) .
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多项式. 多项式 作归纳法． 对 s 作归纳法． 若 s = 1, 则必有 s = t = 1, f ( x ) = p1 ( x ) = q1 ( x )
§1.5 因式分解定理
时唯一性已证. 假设不可约多项式个数为 s − 1 时唯一性已证 由(１) １
p1 ( x ) q1 ( x )q2 ( x )L qt ( x )
§1.5 因式分解定理
如果 f ( x ), g ( x ) 的分解式分别为
f ( x ) = ap1r1 ( x ) p2 r2 ( x )L ps rs ( x ), ri ≥ 0 g ( x ) = bp1l1 ( x ) p2 l2 ( x )L ps ls ( x ), li ≥ 0
则有
⇒ ∃q j ( x ), 使得
p1 ( x ) q j ( x ).
不妨设 q j ( x ) = q1 ( x ), 则
p1 ( x ) q1 ( x )
⇒ q1 ( x ) = c1 p1 ( x ), c1 ≠ 0
(1)两边消去 q1 ( x ), 两边消去 即得
p2 ( x )L ps ( x ) = c1−1q2 ( x )L qt ( x )
f ( x ) = p1 ( x ) p2 ( x )L ps ( x ) = q1 ( x )q2 ( x )L qt ( x )
且适当排列因式的次序后， 则 s = t ，且适当排列因式的次序后，有
pi ( x ) = ci qi ( x )
是一些非零常数． 其中 ci ( i = 1,2,L , s ) 是一些非零常数．