因式分解是中学数学中最重要恒等变形之一
因式分解-提公因式法、公式法的综合运用
• 将$a^2b^2 - 2ab + 1$视为$(ab)^2 2ab + 1^2$，即 $(ab - 1)^2$。
• 因此，原多项式可以 分解为$(ab - 1)^2$ 。
04
注意事项与易错点分析
提公因式法中的易错点
80%
未找全公因式
在提取公因式时，学生可能只关 注到部分项的公因式，而忽略了 其他项的公因式，导致提取不完 全。
因式分解-提公因式法、公式 法的综合运用
目
CONTENCT
录
• 引言 • 公式法 • 提公因式法与公式法的综合运用 • 注意事项与易错点分析 • 练习题与答案解析
01
引言
因式分解的概念
因式分解是把一个多项式分解成几个 整式的乘积的形式。
因式分解是中学数学中重要的恒等变 形之一，它被广泛地应用于初等数学 之中，在求根、化简根式、解一元二 次方程等方面都经常用到因式分解。
找出多项式的公因式。
第二步
提取公因式，将多项式化为两个多项式的积的形式。
提公因式法的应用举例
例1：分解因式 $6x^3y + 9x^2y^2 - 3xy^3$。
$6x^3y + 9x^2y^2 - 3xy^3 = 3xy(2x^2 + 3xy - y^2)$
解：观察多项式各项，发现它们 的公共因子是 $x-y$，提取公因
100%
符号处理不当
在提取公因式时，需要注意各项 的符号。若符号处理不当，可能 导致结果错误。
80%
忽视数字系数
在提取公因式时，学生可能会忽 视数字系数的提取，只关注字母 部分，从而导致结果不准确。
公式法中的易错点
公式选择不当
针对不同的多项式，需要选择合 适的公式进行因式分解。若公式 选择不当，可能导致分解失败或
初中数学因式分解的概念及分解方法整理
初中数学因式分解的概念及分解方法整理什么是因式分解把一个多项式化为几个整式乘积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫作分解因式），它是中学数学中最重要的恒等变形之一．因式分解没有普遍适用的方法，往往需要观察题目中多项式的形式、次数、系数特征，具体问题具体来分析．初中数学教材中主要介绍了提公因式法和公式法，考试也以这两种方法为主。
当然除此之外，我们还有十字相乘法，分组分解法，拆项和添减项法，待定系数法，双十字相乘法，换元法等内容需要给大家介绍．因式分解的原则在学习方法之前我们先来介绍一下因式分解的原则：（1）结果一定是乘积的形式；（2）每一个因式都是整式；（3）相同因式的积要写成幂的形式；（4）每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；（5）没有大括号和中括号；（6）单项式因式写在多项式因式的前面；（7）多项式因式第一项系数一般不为负；（8）如无特别说明，因式分解的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止．接下来我们按照优先级来逐一介绍因式分解的几种方法。
因式分解具体方法一、提公因式法如果多项式的各项有公因式，将公因式提到括号外面．确定公因式的方法：（1）系数——取多项式各项系数的最大公约数；（2）字母（或多项式因式）——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂．易错点：提公因式后项数不变，易漏掉常数项．例题口诀：找准公因式，全家都搬走，提负要变号，变形看奇偶。
二、公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
常用公式例题三、十字相乘法十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
十字相乘一般是两种形式：形式一形式二相关练习四、分组分解法分组分解是解方程的一种简洁的方法，能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法．例题相关练习五、拆添项法拆项添项法：为了分组分解，常常采用拆项添项的方法，使得分成的每一组都有公因式可提或者可以应用公式．常用思路：在按某一字母降幂排列的三项式中，拆开中项是最常见的．六、换元法换元法作为一种因式分解的常用方法，其实质是整体思想，当看作整体的多项式比较复杂时，应用换元法能够起到简化计算的作用．例题七、主元法在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时，可以选其中的某一个未知数为主元，把其他未知数看成是字母系数进行因式分解．例题八、双十字相乘法例题。
九年级数学分解因式法
立方差公式
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
识别立方和与立方差
观察多项式是否具备立方和或立方差公式的形式，即两个立方项相加或相减。
分解步骤
确定$a$和$b$的值，使得多项式可以表示为$(a+b)(a^2-ab+b^2)$或$(a-b)(a^2+ab+b^2)$的形式，然后进行因式分分组，找出各组间的公因式。 分组后，分别在各组中提取公因式。 最后将各组提取公因式后的结果相乘，得到最终分解结果。
综合运用各种方法进行因式分解
#O5
观察和判断适合的方法
观察多项式的形式和特点，判断适合使用哪种因式分解方法。 对于二次多项式，可以尝试完全平方公式或者平方差公式进行因式分解。 对于高次多项式，可以尝试分组分解法或者十字相乘法进行因式分解。
三项分组法
技巧
将多项式中的三项分为一组，考虑每组的公因式，提取公因式后进行化简。
实例
$x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = x^2(x + 2) - (5x + 6) = x^2(x + 2) - (5 + 3)(x + 2) = (x + 2)(x^2 - 5) = (x + 2)(x + sqrt{5})(x - sqrt{5})$
公式法分解因式技巧与实例
#O2
完全平方公式应用
完全平方公式
观察多项式是否具备完全平方公式的形式，特别是检查中间项的系数是否为$2ab$或$-2ab$。
识别完全平方
分解步骤
确定$a$和$b$的值，使得多项式可以表示为$(a+b)^2$或$(a-b)^2$的形式，然后进行因式分解。
初高中衔接-第2讲、因式分解
第2讲、因式分解知识点1、因式分解基本概念1、定义把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
例如：注：分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。
实质上是多项式运算的逆运算。
2、作用因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，广泛地应用于高中数学之中。
①解二次方程、一元二次不等式等需要因式分解转化乘积形式；②定义法、导数法证明函数单调性中变形、符号判定等；③三角形恒等变换对三角式子分解；④比较大小或者不等式证明，做差法因式分解判断符号。
3、分解步骤：（1）提：提负号，提公因数（公因式）①多项式的首项为负，应先提取负号，使括号内第一项系数是正的；②提取公因式，括号内切勿漏掉1；③要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
（2）套：套公式平方差、立方差、完全平方式等；（3）分解：如果用上述方法不能分解，再尝试用十字相乘法、分组、拆项、补项法来分解。
注意：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”；某项提出莫漏1；括号里面分到“底”再看能否套公式，后用十字相乘试一试，分组分解要合适。
4、分解原则：①分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；②每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；③结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；④结果的多项式首项一般为正。
在一个公式内把其公因子抽出，即通过公式重组，然后再抽出公因子；⑤括号内的首项系数一般为正；⑥如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。
如a c b )(+要写成)(c b a +；⑦注意因式分解的范围，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。
知识点2、因式分解常用方法:公式法1、平方差公式：22()()a b a b a b -=+-两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
2、完全平方式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。
论文浅谈多项式因式分解的方法
浅谈多项式因式分解的方法重庆师范大学涉外商贸学院数学与应用数学(师范) 2008级徐传华指导教师：赵振华中文摘要：多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，是代数式恒等变形的一个重要组成部分，也是处理数学问题的重要手段和工具.因式分解在代数式的运算、解方程等方面有极其广泛的运用.本文通过对因式分解概念的阐述和方法的介绍来说明它在数学中的应用.关键词：多项式因式分解转化方法应用Chinese Abstract: polynomial factorization of polynomial multiplication is the inverse process, are algebraic identical deformation is an important part of solving mathematical problems, is also the important means and tools.. Factorization in algebraic operations, such as solutions of equations has extremely extensive application. Based on the factorization of concept and method are presented to illustrate its application in mathematics.Key words: Factorization of polynomial transformation method and its application.在初等数学中，因式分解是一个十分重要的概念，在解题过程中有着广泛的应用，借助分解因式可解决计算、求值、说理等多方面的问题，因式分解也是整式乘法的一种重要变形，而转化是其中最重要的数学思想，即将高次的多项式分解转化为若干个较低次的因式的乘积.这种转化通常要通过观察、分析、尝试，应用提取公因式、乘法公式、分组分解等方法来达到目的.在解题过程中，问题变化万千，方法灵活多变.本文归纳总结因式分解的几种常用方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、简单的十字相乘法、拆、添项法、配方法、因式定理法、换元法、求根法、综合除法、整除法、图象法、主元法、特殊值法、待定系数法、双十字相乘法、综合法.1.定义定义把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.学习它，既可以复习整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.分解因式与整式乘法为相反变形.(a-b)(a+b) a2-b2 整式乘法(a-b)(a+b) a2-b2 因式分解同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.2.基本方法2.1提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式.例1 分解因式 bm-am+cm分析在多项式bm-am+cm中，每个单项式都含有字母m，故提出m就可以了.解 bm-am+cm=m(b-a+c)例2 分解因式 a(x-y)+b(y-x)分析通过适当的变形可以找出公因式（x-y）或（y-x），再提出就可以了.解1 a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)解2 a(x-y)+b(y-x)=-a(y-x)+b(y-x)=(y-x)(b-a).2.2公式法若把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.例3 分解因式 4a2-9b2分析①∵4a2=(2a)2,9b2=(3b)2,那么只要把2a和3b看作平方差公式中的a和b 即可.②将两项交换后，这两项式是平方差的形式.解 4a2-9b2=(2a)2-(3b)2=(2a+3b)(2a-3b)注为保证解题正确要将中间步骤(2a)2-(3b)2写上，即先化为公式的左边形式.例4 分解因式(1)x(x2-1)-x2+1(2)(x 2+x+2)(x 2+x+7)-6分析 (1)可看成二项式：将-x 2+1变形为-(x 2-1)则可提取公因式(x 2-1)再将公因式用平方差公式分解.(2)题若将此式展开一定繁琐，注意到x 2+x+2与x 2+x+7的平均数为292++x x ，故可用换元法解： 解 (1)x(x 2-1)-x 2+1 =x(x 2-1)-(x 2-1) =(x 2-1)(x-1) =(x+1)(x-1)(x-1) =(x+1)(x-1)2(2)设y= 2)7()2(22+++++x x x x =292++x x则(x 2+x+2)(x 2+x+7)-6 =6)25)(25(-+-y y=64252--y =4492-y=)27)(27(-+y y=)2729)(2729(22-+++++x x x x=(x 2+x+8)(x 2+x+1)注 此题也可以展开式子(x 2+x)2+9(x 2+x)+8再应用十字相乘法进行.说明 此题虽然题目中没有因式分解的要求，但是248-1是因式分解的平方差公式的基本形式.将其进行等价转化，逐步地运用平方差公式，直到出现26+1=65和26-1=63两个因式. 例5 分解因式(1)x 2+6ax+9a 2 (2)-x 2-4y 2+4xy (3)9(a-b)2+6(a-b)+1分析这题的三个小题都为三项式，又都没有公因式，可考虑是否能用公式中的完全平方公式.(1)题的x2=(x)2，9a2=(3a)2，且这两项的符号相同，可写成平方和.这样x和3a就为公式中的a和b了.另外6ax正好是2(x)(3a)即公式中的2ab项，这样这题就可用和的完全平方公式分解.(2)题中的-x2-4y2，这两项符号相同，提取负号后可写成平方和，即-x2-4y2=-[x2+(2y)2]，4xy正好是2(x)(2y)是公式中的2ab项，此题可用完全平方公式.注意提取负号时4xy要变号为-4xy.(3)题9(a-b)2+1可写成平方和[3(a-b)] 2+12，就找到公式中的a和b项为3(a-b)和1，6(a-b)正好是2×3(a-b)×1为公式中的2ab项，符合完全平方公式.解 (1)x2+6ax+9a2=(x)2+2(x)(3a)+(3a)2=(x+3a)2注再写第一步的三个项的和时实际上先写x2和(3a)2项，再写固定的“2”常数再将公式中的a、b数即x和3a写进二个括号内；计算出来为6ax，即原题中的中间项.(2)-x2-4y2+4xy=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2(x)(2y)+(2y)2]=-(x-2y)2(3)9(a-b)2+6(a-b)+1=[3(a-b)]2+2×3(a-b)×1+12=[3(a-b)+1]2=(3a-3b+1)2例6 分解因式 (m2+n2+1)2-4m2n2分析本题是一个二项式，符合平方差公式.用平方差公式分解后的两个多项式的因式后，都可分别先用完全平方公式再用平方差公式.解 (m2+n2-1)2-4m2n2=(m2+n2-1+2mn)(m2+n2-1-2mn)=[(m2+2mn+n2)-1][(m2-2mn+n2)-1]=[(m+n)2-12][(m-n)2-12]=(m+n+1)(m+n-1)(m-n+1)(m-n-1)例7 把下列多项式分解因式（1）a3＋8（2）27－8y3分析（1）因为8=23，故这是形如a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，就完全可以运用立方和公式.（2）通过变形就可以运用立方差公式 a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2).解（1）a3＋8=a3+23=（a+2）(a2-2a+22)=(a+2)( a2-2a+4)（2）27－8y3=33-(2y)3=(3-2y)[(32+6y+(2y)2)]=(3-2y)(9+6y+4y2)注运用公式法分解因式时，先观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，然后尝试选择何种公式进行分解，并记住公式的结构特点和应用条件，不要把因式中的符号和系数搞错了2.3分组分解法能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法.例8 把多项式ax+ay+bx+by分解因式分析通过观察、分析，发现此题应用二二分法：把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配.解 ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)同样，这道题也可以这样做.ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)例9 把多项式x²-x-y²-y分解因式分析利用二二分法，再利用公式法a²-b²=(a+b)(a-b)，然后相合解决.解 x²-x-y²-y=(x²-y²)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)例10 把45am2-20ax2+20axy-5ay2分解因式.分析这个多项式的各项有公因式5a,先提取公因式,再观察余下的因式,可以按“一、三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式.解 45am2-20ax2+20axy-5ay2=5a(9a2-4x2+4xy-y2)=5a[9a2-(4x2-4xy+y2)]=5a[(3a)2-(2x-y)2]=5a(3a-2x+y)(3a+2x-y).2.4十字相乘法十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1×a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1×c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1c1╳a2 c2按斜线交叉相乘，再相加，得到a1×c2+a2×c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1×c2+a2×c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.但十字相乘法只能把某些二次三项式分解因式，而在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号.例11 把多项式x2+2x-15分解因式分析通过观察，此题采用十字相乘法就可以了.解1 -3╳1 5 1×5+1×(-3)=2所以x+2x-15=(x-3)(x+5).例12 把2x²-7x+3分解因式.分析先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数因为取负因数的结果与正因数结果相同！2=1×2=2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1╳2 3 1×3+2×1=51 3╳2 1 1×1+2×3 =71 -1╳2 -3 1×(-3)+2×(-1)=-51 -3╳2 -1 1×(-1)+2×(-3)=-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 2x²-7x+3=(x-3)(2x-1)例13 把多项式(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.分析这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解，但用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?通过观察发现第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解 (x-y)(2x-2y-3)-2=(x-y)[2(x-y)-3]-2=2(x-y)2-3(x-y)-21 -2╳2 1 1×1+2×(-2)=－3原式=[(x-y)-2][2(x-y)+1]=(x-y-2)(2x-2y+1).注把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.2.5 拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例14 分解因式 x³-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x³-9x-1+9=(x³-1)-9x+9=(x-1)(x²+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x²+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x³-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x²+x-8)．解法3 将三次项x³拆成9x³-8x³．原式=9x³-8x³-9x+8=(9x³9x)+(-8x³+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x²+x+1)=(x-1)(x²+x-8)．解法4 添加两项-x²+x²．原式=x³9x+8=x³-x²+x²-9x+8=x²(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x²+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最好的一种．这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.例15 把m2-6m+8 分解因式用添项，拆项法做！解法一 m²-6m+8=m²-6m+9-1=(m-3)²-1²=(m-3+1)(m-3-1)=(m-2)(m-4)解法二 m²-6m+8=m²-2m-4m+8=m(m-2)-4(m-2)=(m-2)(m-4)2.6 配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、补项法的一种特殊情况.也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.例16 把多项式x²+6x-7分解因式解 x²+6x-7=x²+6x+9-16=(x+3)2-(4)2=(x+7)(x-1)．2.7 应用因式定理对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．例17 分解因式：x²+5x+6分析令 f(x)=x²+5x+6，则f(-2)=0，故可确定x+2是x2+5x+6的一个因式.解 x²+5x+6=(x+2)(x+3)注意 1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数2．对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数2.8 换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法.注意：换元后勿忘还元.例18 把x4+7x2-30分解因式分析这个多项式不是关于x的二次三项式，如果把x2设为y，那么这个多项式就可以转化为y²+7y-30.这是关于y的二次三项式，就可以利用上题的方法分解因式了.这里，设y=x2，把y称为辅助元，这种方法叫做换元法.解1 设x2=y,则多项式可化为：y2+7y-30y2+7y-30=(y+10)(y-3)∴x4+7x2-30=(x2+10)(x2-3)说明通过辅助元，把所给的多项式转化为形如x2+px+q的二次三项式，在解题中，代换的步骤可以省略.解2 x4+7x2-30=(x2)2+7x2-30=(x2+10)(x2-3)例19 把(a2+a)2-14(a2+a)+24分解因式分析题目中的多项式有什么特点？含有字母的项可以作什么变换？解令a2+a=u则原式变为u2-14u+24因为u2-14u+24=(u-2)(u-12)所以(a2+a)2+14(a2+a)+14=(a2+a-2)(a2+a-12)=(a+2)(a-1)(a+4)(a-3)说明换元法将原多项式化为二次三项式形式，可用十字相乘法分解因式，这是常用方法.换元的步骤可以不写出来.例20 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式分析这个多项式是两个因式之积与另一个因式之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再分解因式.两个乘积的因式有什么特点？用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解 (x-y)(2x-2y-3)-2=(x-y）[2(x-y)-3]-2=2(x-y)2-3(x-y)-2=[(x-y)-2][2(x-y)+1]=(x-y-2)(2x-2y+1)说明把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这是运用了数学中的“整体”思想方法，当然也可以运用换元法，只是我们在熟悉后就直接把它当做一个整体.2.9 求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3， (x)n，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．例21 把多项式2x4+7x3-2x2-13x+6分解因式解令2x4+7x3-2x2-13x+6=0，则通过综合除法或整除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．例22 分解因式 3x³－4x²－13x－6分析(1)用综合除法试商时，要由常数项和最高次项系数来决定．常数项的因数除以最高次项系数的因数都可能是除的整除商．上例中常数项是6，则因数是±1，±2，±3，±6，最高次项系数是3,则因数是±1，±3，所以根可能是±1，±1/3，±2，±2/3，±3，±6，它们的因式可能是x±1，x±2，x±3，x±6，3x ±1，3x±2．试除时先从简单的入手 (2)因式可能重复．解 3x³－4x²－13x－6=(x+1)(x－3)(3x+2)．例23 把多项式2x³+3x²-8x+3分解因式.解 (有理根定理的使用)2x³+3x²-8x+3常数项3的因数：±1，±3首项系数2的因数：±1，±2可能的有理根就是常数项的因数除以首项系数的因数.23,23,21,21,3,3,1,1----由验算这些可能的根时，得知x=1就是其中的一个根. 2×1³+3×1²-8×1+3=2+3-8+3=0 现在由综合除法可得到下面的结果. 1 2 3 -8 3 2 5 -3 2 5 -3 0所以 (x-1)(2x ²+5x-3)= 2x ³+3x ²-8x+3 最后,因式分解(2x ²+5x-3)=(2x-1)(x+3) 故，可得2x ³+3x ²-8x+3=(x-1)(2x-1)(x+3). 我们也可以用带余除法的方法来解此题x-1(除式) 2x ³+3x ²-8x+3(被除式) 2x 2+5x-3(商式) 2x ³-2x ² 5x ²-8x+ 3 5x ²-5x -3x+3 -3x+3 0(余式)于是求得商为2x 2+5x-3，余式为0.所得结果可以写成 3x ³+4x ²-5x+6=(2x 2+5x-3)(x-1)再对多项式2x 2+5x-3进行分解为(2x-1)(x+3) 故3x ³+4x ²-5x+6=(x-1)(2x-1)(x+3).2.10 图象法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X 轴的交点x 1,x 2,x 3,……x n ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x 1)(x-x 2)(x-x 3)……(x-x n )．与方法9相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确.例24 分解因式：x³ +2x²-5x-6分析在分解x³ +2x²-5x-6时，可以令y=x³ +2x² -5x-6.作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 则x³+2x²-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．解 x³+2x²-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)2.11主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解.例25 分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列解 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) [a -a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)例26 分解因式 x2-8xy-48y2分析这是多个字母的式子，关键是要确定其中的主要字母，而把其它字母看作这个字母的系数，题中的主要字母是x，它是关于x的二次三项式.解 x2-8xy-48y2=(x-12y)(x+4y)说明如果认定题中的y为主要字母，并把x看作这些字母的系数，用这种分解方法也可以得到同样的分解结果.2.12 特殊值法将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式.例27 把x³+9x²+23x+15分解因式分析在分解x³+9x²+23x+15时，令x=2，则 x³ +9x+23x+15=8+36+46+15=105，将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，则x³+9x²+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此.2.13 待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解.例28 把 x4-x3-5x2-6x-4分解因式分析在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式.于是设x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4．解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．则x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)．2.14 双十字相乘法双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法.双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下：ax2+bxy+cy2+dx+ey+fx、y为未知数，其余都是常数用一道例题来说明如何使用.例29 分解因式 x2+5xy+6y2+8x+18y+12．分析这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解.解图如下，把所有的数字交叉相连即可x 2y 2①②③x 3y 6∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．双十字相乘法其步骤为：①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项.如十字相乘图②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错.例30 求证2x-3y-1是多项式4x2-4xy-3y2+4x-10y-3的一个因式.分析先用十字相乘法分解关于x,y的二次齐次式4x2-4xy-3y2,,再把常数项-3分解为(+3)×(-1)，再利用十字相乘法，就可以得出最后结果.证明 4x2-4xy-3y2+4x-10y-3=(2x+y)(2x-3y)+4x-10y-3=(2x+y+3)(2x-3y-1)说明此题是运用双十字相乘，先把多项式前三项用十字相乘法分解，然后再次使用十字相乘法，将多项式分解，命题得证.2.15 综合法应用多种方法来因式分解.例31 分组分解后再用十字相乘把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式解原式=(2x2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15=2(x-2y)2-11(x-2y)+15=[(x-2y)-3][2(x-2y)-5]=(x-2y-3)(2x-4y-5)说明分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项一组，一次项一组，常数项一组.本题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解.例32 换元法与十字相乘法把(x2+x+1)(x2+x+2)-6分解因式分析观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把(x2+x)看成一个“字母”，把这个式子展开，就可以得到关于(x2+x)的一个二次三项式(或设x2+x=u，将原式化为(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4，则更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解解 (x2+x+1)(x2+x+2)-6=[(x2+x)+1][(x2+x)+2]-6=(x2+x)2+3(x2+x)-4=(x2+x+4)(x2+x-1)说明本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，若能分解一定要继续分解.例33 因式分解与十字相乘法已知(x2+y2)(x2-1+y2)=12 求：x2+y2的值解 (x2+y2)(x2-1+y2)=12(x2+y2)[(x2+y2)-1]-12=0(x2+y2)2-(x2+y2)-12=0[(x2+y2)-4][(x2+y2)+3]=0∵x2+y2≥0∴(x2+y2)+3≠0∴(x2+y2)-4=0∴x2+y2=4说明我们把(x2+y2)看成一个“字母”，则原式转化为关于这个“字母”的一个一元二次方程.通过这个题，我们可以发现，二次三项式因式分解是解一元二次方程的方法之一.例34 先补项后用完全平方分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2．解原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（补项）=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（完全平方）=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2=[(1+y)+x2(1-y)+2x][(1+y)+x2(1-y)-2x]=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．例35 先分组在提公因式用平方差公式x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5．解原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)=x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y)=(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．3.多项式因式分解的一般步骤3.1步骤1.如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；2.如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；3.如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解4.分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式.十字相乘试一试，分组分解要合适.”4.注意4.1 因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”.现举下例供参考例36 把-a2-b2+2ab+4分解因式.解 -a2-b2+2ab+4=-（a2－2ab+b2－4）=-（a－b+2）（a－b－2）这里的“负”，指“负号”.如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的.防止学生出现诸如－9x2+4y2=（－3x）2－（2y）2=（－3x+2y）（－3x－2y）=（3x－2y）（3x+2y）的错误例37 把ｘ4+2x3+x分解因式.解ｘ4+2x3+x2=x2(x2+2x+1)=x2(x+1)2这里的“公”指“公因式”.如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1.分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.即分解到底，不能半途而废的意思.其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解.防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2=y2（4x4－5x2－9）=y2（x2+1）（4x2－9）的错误.4.2考试时应注意在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数！由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，王萼芳，石生明．高等代数.北京：高等教育出版社，2003(3)：8-12.[2] 课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中. 八年级上册.人民教育出版社，2008(2):41-176.。
初中数学《因式分解》单元教学设计以及思维导图
因式分解学习难点：让学生识别多项式的公因式。
准确找出公因式，并能正确进行分解因式。
教学方法：独立思考与合作交流单元与主题的关系：本单元是解决主题的一种方法三、运用公式法学习重点：让学生掌握运用平方差公式分解因式使学生会用完全平方公式分解因式，让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法。
学习难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力，让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式。
教学方法：练习法，课堂讨论启发法。
单元与主题的关系：本单元是解决主题的另一种方法，并且综合运用各种方法来解决主题。
主题单元规划思维导图第1课时活动一：算一算活动内容：计算：（1）学生回答：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？活动目的：引入这一步的目的旨在让学生通过乘法分配律的逆运算（因数分解）这一特殊算法，使学生通过类比的思想方法很自然地过渡到正确理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握扫清障碍．活动二：想一想活动内容：多项式ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式x2+4x 呢？多项式mb2+nb–b呢？结论：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．活动目的：在学生能顺利地寻找数的简便运算中的公因数之后，再深一步引导学生采用类比的方法由寻找相同的因数过渡到在多项式中寻找相同的因式．活动三：议一议活动内容：多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生感受事物间的因果联系.专题问题设计1. 平方差公式的特点。
2. 完全平方公式的特点。
3. 运用整体法，及两种公式综合运用解题。
所需教学环境和教学资源电子白板学习活动设计第1课时活动一：练一练活动内容：填空：（1）（x+3）（x–3）= ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= ．根据上面式子填空：（1）9m2–4n2= ；（2）16x2–y2= ；（3）x2–9= ；（4）1–4x2= ．活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系．活动二：想一想活动内容：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？结论：a2–b2=（a+b）（a–b）活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，通过自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征．注意事项：学生对平方差公式的正确使用掌握的比较快，但用语言叙述第二组式子的左右两边的共同特征有一定的困难，必须在老师的指导下才能完成．活动三：做一做活动内容：把下列各式因式分解：（1）25–16x2 （2）9a2–活动目的：培养学生对平方差公式的应用能力．注意事项:学生对含有分数的平方差公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．活动四：议一议活动内容：的完全平方公式．注意事项：由于有了七年级的整式乘法的学习基础，同时对照口诀，大多数学生能顺利识别完全平方式，但少部分同学由于对完全平方公式的特征的理解模糊，不能很好地掌握完全平方公式，这需要老师更加耐心地引导和启发．活动三：试一试活动内容：把下列各式因式分解：（1）x2–4x+4 （2）9a2+6ab+b2（3）m2–（4）活动目的：(1)培养学生对平方差公式的应用能力；（2）让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．注意事项：学生对第（3）小题含有分数的完全平方公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．活动四：想一想活动内容：将下列各式因式分解：（1）3ax2+6axy+3ay2 （2）–x2–4y2+4xy活动目的：使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解. 活动五：反馈练习活动内容：1、判断正误：（1）x2+y2=（x+y）2 ( )（2）x2–y2= (x–y)2 ( )（3）x2–2xy–y2= (x–y)2 ( )（4）–x2–2xy–y2=–（x+y）2 ( )2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：（1）x2–x+ （2）9a2b2–3ab+1（3）（4）3、把下列各式因式分解：（1）m2–12mn+36n2 （2）16a4+24a2b2+9b4（3）–2xy–x2–y2 （4）4–12（x–y）+9（x–y)2活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．注意事项：当完全平方公式中的a与b表示两个或两个以上字母时，学生运用起来有一定的困难，此时，教师应结合完全平方公式的特征给学生以有效的学法指导．活动六：学生反思。
因式分解是中学数学中最重要恒等变形之一
因式分解是中学数学中最重要地恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题地有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需地,而且对于培养学生地解题技能,发展学生地思维能力,都有着十分独特地作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等．⑴提公因式法①公因式：各项都含有地公共地因式叫做这个多项式各项地～.②提公因式法：一般地,如果多项式地各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积地形式,这种分解因式地方法叫做提公因式法.am＋bm＋cm＝m<a+b+c）③具体方法：当各项系数都是整数时,公因式地系数应取各项系数地最大公约数；字母取各项地相同地字母,而且各字母地指数取次数最低地. 如果多项式地第一项是负地,一般要提出“－”号,使括号内地第一项地系数是正地.⑵运用公式法①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b>(a－b>②完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b>^2※能运用完全平方公式分解因式地多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式>地平方和地形式,另一项是这两个数(或式>地积地2倍.③立方和公式：a^3+b^3＝(a+b>(a^2-ab+b^2>.立方差公式：a^3-b^3＝(a-b>(a^2+ab+b^2>.④完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b>^3⑤a^n-b^n=(a-b>[a^(n-1>+a^(n-2>b+……+b^(n-2>a+b^(n-1>]a^m+b^m=(a+b>[a^(m-1>-a^(m-2>b+……-b^(m-2>a+b^(m-1>](m为奇数>⑶分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后,再进行分解因式地方法.分组分解法必须有明确目地,即分组后,可以直接提公因式或运用公式.⑷拆项、补项法拆项、补项法：把多项式地某一项拆开或填补上互为相反数地两项<或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意,必须在与原多项式相等地原则进行变形.⑸十字相乘法①x^2＋<p q）x＋pq型地式子地因式分解这类二次三项式地特点是：二次项地系数是1；常数项是两个数地积；一次项系数是常数项地两个因数地和.因此,可以直接将某些二次项地系数是1地二次三项式因式分解：x^2＋<p q）x＋pq＝<x＋p）<x＋q）②kx^2＋mx＋n型地式子地因式分解如果能够分解成k＝ac,n＝bd,且有ad＋bc＝m 时,那么kx^2＋mx＋n＝<ax b）<cx d）a \-----/b ac＝k bd＝nc /-----\d ad＋bc＝m※多项式因式分解地一般步骤：①如果多项式地各项有公因式,那么先提公因式；②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.(6>应用因式定理：如果f<a）=0,则f<x）必含有因式<x-a）.如f<x）=x^2+5x+6,f<-2）=0,则可确定<x+2）是x^2+5x+6地一个因式.经典例题：1.分解因式(1+y>^2-2x^2(1+y^2>+x^4(1-y>^2解：原式=(1+y>^2+2(1+y>x^2(1+y>+x^4(1-y>^2-2(1+y>x^2(1-y>-2x^2(1+y^2>=[(1+y>+x^2(1-y>]^2-2(1+y>x^2(1-y>-2x^2(1+y^2>=[(1+y>+x^2(1-y>]^2-(2x>^2=[(1+y>+x^2(1-y>+2x]·[(1+y>+x^2(1-y>-2x]=(x^2-x^2y+2x+y+1>(x^2-x^2y-2x+y+1>=[(x+1>^2-y(x^2-1>][(x-1>^2-y(x^2-1>]=(x+1>(x+1-xy+y>(x-1>(x-1-xy-y>2.证明：对于任何数x,y,下式地值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5解：原式=(x^5+3x^4y>-(5x^3y^2+15x^2y^3>+(4xy^4+12y^5> =x^4(x+3y>-5x^2y^2(x+3y>+4y^4(x+3y>=(x+3y>(x^4-5x^2y^2+4y^4>=(x+3y>(x^2-4y^2>(x^2-y^2>=(x+3y>(x+y>(x-y>(x+2y>(x-2y>当y=0时,原式=x^5不等于33；当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数地积,所以原命题成立因式分解地十二种方法把一个多项式化成几个整式地积地形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解地方法多种多样,现总结如下：1、提公因法如果一个多项式地各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积地形式. 例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题> x -2x -x=x(x -2x-1> 2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆地关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式. 例2、分解因式 a +4ab+4b (2003南通市中考题> 解： a +4ab+4b =<a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n>+b(m+n>,又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b>(m+n>例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m >+(-mn+5n> =m(m-5>-n(m-5>=(m-5>(m-n>4、十字相乘法对于mx +px+q形式地多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d>(bx+c>例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19解：7x -19x-6=<7x+2）(x-3> 5、配方法对于那些不能利用公式法地多项式,有地可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解. 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( > -( > -40 =(x+ > -( > =(x+ + >(x+ - > =(x+8>(x-5>6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解. 例6、分解因式bc(b+c>+ca(c-a>-ab(a+b> 解：bc(b+c>+ca(c-a>-ab(a+b>=bc(c-a+a+b>+ca(c-a>-ab(a+b> =bc(c-a>+ca(c-a>+bc(a+b>-ab(a+b>=c(c-a>(b+a>+b(a+b>(c-a>=(c+b>(c-a>(a+b>7、换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中地相同地部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来. 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1>-x(x +1>-6x =x [2(x + >-(x+ >-6 令y=x+ , x [2(x + >-(x+ >-6 = x [2(y -2>-y-6] = x (2y -y-10> =x (y+2>(2y-5> =x (x+ +2>(2x+ -5> = (x +2x+1> (2x -5x+2> =(x+1> (2x-1>(x-2> 8、求根法令多项式f(x>=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x>=(x-x >(x-x >(x-x >……(x-x > 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x>=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法可知,f(x>=0根为,-3,-2,1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1>(x+3>(x+2>(x-1> 9、图象法令y=f(x>,做出函数y=f(x>地图象,找到函数图象与X轴地交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x>= f(x>=(x-x >(x-x >(x-x >……(x-x > 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2 则x +2x -5x-6=(x+1>(x+3>(x-2> 10、主元法先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解. 例10、分解因式 a (b-c>+b (c-a>+c (a-b> 分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列解： a (b-c>+b (c-a>+c (a-b>=a (b-c>-a(b -c >+(b c-c b> =(b-c> [a -a(b+c>+bc] =(b-c>(a-b>(a-c>11、利用特殊值法将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当地组合,并将组合后地每一个因数写成2或10地和与差地形式,将2或10还原成x,即得因式分解式. 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数地积,即105=3×5×7 注意到多项式中最高项地系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时地值则x +9x +23x+15=<x+1）<x+3）<x+5）12、待定系数法首先判断出分解因式地形式,然后设出相应整式地字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解. 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式. 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b>(x +cx+d> = x +(a+c>x +(ac+b+d>x +(ad+bc>x+bd 所以解得则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1>(x -2x-4>。
第9课 因式分解(2)
第9课 因式分解(2)【知识要点】因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，具有一定的灵活性和技巧性，下面我们在初中教材已经介绍过基本方法的基础上，结合竞赛再补充介绍添项、拆项法，待定系数法、换元法、因式定理分解等有关内容和方法。
【例题选讲】1.添项.拆项分组法添项、拆项的目的是把某些在乘法过程中被合并的项复原，以便在各项间制造公因式或便于利用公式分解因式。
十字相乘法其实是一种拆项法，配方法其实是一种添项法。
例1、分解因式(1) 4323-+x x (2) 444b a + (3)4224y y x x ++例2、分解因式(1)2426923+++x x x (2)abc c b a 3333-++例3、已知a 、b 、c 都是非零整数，且a 2+b 2+c 2=1,3)11()11()11(-=+++++ba c a cbc b a ,求a+b+c 的值。
2.待定系数法若两多项式f (x )=g (x )，则它们同次的对应项系数一定相等，利用这条结论可将某些因式分解的问题转化为解方程组的问题来解决.例4、分解因式3x 2+5xy -2y 2+x +9y -4分析：观察该式子的前3项，发现3x 2+5xy -2y 2＝(x +2y )(3x -y ),因此想到设3x 2+5xy -2y 2+x +9y -4=( x +2y +a )( 3x-y+b ),两边算出来以后，比较两边的系数即可得到a 、b .例5、已知多项式x 3+bx 2+cx +d 的系数都是整数,若bd+cd 是奇数,,证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积.3、换元法把式子中的某些比较复杂的部分看作一个整体，并用一个字母暂时代替，称为换元法，换元以后能使得整个式子得到简化，各项之间的关系更加清晰。
如何换元，则需要仔细观察。
例6、分解因式 (x 2+x +1)(x 2+x +2)-12例7、证明: 若a 为整数a (a +1)(a +2)(a +3)+1必为完全平方数。
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因式分解是中学数学中最重要地恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题地有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需地,而且对于培养学生地解题技能,发展学生地思维能力,都有着十分独特地作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等．⑴提公因式法①公因式：各项都含有地公共地因式叫做这个多项式各项地～.②提公因式法：一般地,如果多项式地各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积地形式,这种分解因式地方法叫做提公因式法.am＋bm＋cm＝m<a+b+c）③具体方法：当各项系数都是整数时,公因式地系数应取各项系数地最大公约数；字母取各项地相同地字母,而且各字母地指数取次数最低地. 如果多项式地第一项是负地,一般要提出“－”号,使括号内地第一项地系数是正地.⑵运用公式法①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b>(a－b>②完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b>^2※能运用完全平方公式分解因式地多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式>地平方和地形式,另一项是这两个数(或式>地积地2倍.③立方和公式：a^3+b^3＝(a+b>(a^2-ab+b^2>.立方差公式：a^3-b^3＝(a-b>(a^2+ab+b^2>.④完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b>^3⑤a^n-b^n=(a-b>[a^(n-1>+a^(n-2>b+……+b^(n-2>a+b^(n-1>]a^m+b^m=(a+b>[a^(m-1>-a^(m-2>b+……-b^(m-2>a+b^(m-1>](m为奇数>⑶分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后,再进行分解因式地方法.分组分解法必须有明确目地,即分组后,可以直接提公因式或运用公式.⑷拆项、补项法拆项、补项法：把多项式地某一项拆开或填补上互为相反数地两项<或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意,必须在与原多项式相等地原则进行变形.⑸十字相乘法①x^2＋<p q）x＋pq型地式子地因式分解这类二次三项式地特点是：二次项地系数是1；常数项是两个数地积；一次项系数是常数项地两个因数地和.因此,可以直接将某些二次项地系数是1地二次三项式因式分解：x^2＋<p q）x＋pq＝<x＋p）<x＋q）②kx^2＋mx＋n型地式子地因式分解如果能够分解成k＝ac,n＝bd,且有ad＋bc＝m 时,那么kx^2＋mx＋n＝<ax b）<cx d）a \-----/b ac＝k bd＝nc /-----\d ad＋bc＝m※多项式因式分解地一般步骤：①如果多项式地各项有公因式,那么先提公因式；②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.(6>应用因式定理：如果f<a）=0,则f<x）必含有因式<x-a）.如f<x）=x^2+5x+6,f<-2）=0,则可确定<x+2）是x^2+5x+6地一个因式.经典例题：1.分解因式(1+y>^2-2x^2(1+y^2>+x^4(1-y>^2解：原式=(1+y>^2+2(1+y>x^2(1+y>+x^4(1-y>^2-2(1+y>x^2(1-y>-2x^2(1+y^2>=[(1+y>+x^2(1-y>]^2-2(1+y>x^2(1-y>-2x^2(1+y^2>=[(1+y>+x^2(1-y>]^2-(2x>^2=[(1+y>+x^2(1-y>+2x]·[(1+y>+x^2(1-y>-2x]=(x^2-x^2y+2x+y+1>(x^2-x^2y-2x+y+1>=[(x+1>^2-y(x^2-1>][(x-1>^2-y(x^2-1>]=(x+1>(x+1-xy+y>(x-1>(x-1-xy-y>2.证明：对于任何数x,y,下式地值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5解：原式=(x^5+3x^4y>-(5x^3y^2+15x^2y^3>+(4xy^4+12y^5> =x^4(x+3y>-5x^2y^2(x+3y>+4y^4(x+3y>=(x+3y>(x^4-5x^2y^2+4y^4>=(x+3y>(x^2-4y^2>(x^2-y^2>=(x+3y>(x+y>(x-y>(x+2y>(x-2y>当y=0时,原式=x^5不等于33；当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数地积,所以原命题成立因式分解地十二种方法把一个多项式化成几个整式地积地形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解地方法多种多样,现总结如下：1、提公因法如果一个多项式地各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积地形式. 例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题> x -2x -x=x(x -2x-1> 2、应用公式法因为分解因式与整式乘法有着互逆地关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式. 例2、分解因式 a +4ab+4b (2003南通市中考题> 解： a +4ab+4b =<a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n>+b(m+n>,又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b>(m+n>例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m >+(-mn+5n> =m(m-5>-n(m-5>=(m-5>(m-n>4、十字相乘法对于mx +px+q形式地多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d>(bx+c>例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19解：7x -19x-6=<7x+2）(x-3> 5、配方法对于那些不能利用公式法地多项式,有地可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解. 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( > -( > -40 =(x+ > -( > =(x+ + >(x+ - > =(x+8>(x-5>6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解. 例6、分解因式bc(b+c>+ca(c-a>-ab(a+b> 解：bc(b+c>+ca(c-a>-ab(a+b>=bc(c-a+a+b>+ca(c-a>-ab(a+b> =bc(c-a>+ca(c-a>+bc(a+b>-ab(a+b>=c(c-a>(b+a>+b(a+b>(c-a>=(c+b>(c-a>(a+b>7、换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中地相同地部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来. 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1>-x(x +1>-6x =x [2(x + >-(x+ >-6 令y=x+ , x [2(x + >-(x+ >-6 = x [2(y -2>-y-6] = x (2y -y-10> =x (y+2>(2y-5> =x (x+ +2>(2x+ -5> = (x +2x+1> (2x -5x+2> =(x+1> (2x-1>(x-2> 8、求根法令多项式f(x>=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x>=(x-x >(x-x >(x-x >……(x-x > 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x>=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法可知,f(x>=0根为,-3,-2,1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1>(x+3>(x+2>(x-1> 9、图象法令y=f(x>,做出函数y=f(x>地图象,找到函数图象与X轴地交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x>= f(x>=(x-x >(x-x >(x-x >……(x-x > 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2 则x +2x -5x-6=(x+1>(x+3>(x-2> 10、主元法先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解. 例10、分解因式 a (b-c>+b (c-a>+c (a-b> 分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列解： a (b-c>+b (c-a>+c (a-b>=a (b-c>-a(b -c >+(b c-c b> =(b-c> [a -a(b+c>+bc] =(b-c>(a-b>(a-c>11、利用特殊值法将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当地组合,并将组合后地每一个因数写成2或10地和与差地形式,将2或10还原成x,即得因式分解式. 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数地积,即105=3×5×7 注意到多项式中最高项地系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时地值则x +9x +23x+15=<x+1）<x+3）<x+5）12、待定系数法首先判断出分解因式地形式,然后设出相应整式地字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解. 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式. 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b>(x +cx+d> = x +(a+c>x +(ac+b+d>x +(ad+bc>x+bd 所以解得则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1>(x -2x-4>。